DESCOBRINDO ROTAS GEOGRÁFICAS SUB-ÓTIMAS DISCOVERING SUB-OPTIMAL GEOGRAPHIC ROUTES

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1 DESCOBRINDO ROTAS GEOGRÁFICAS SUB-ÓTIMAS CRUZ FONSECA, M. A. 1 ; MATOS, L. N.²; SILVA, M. A. S.³ RESUMO: Este trabalho apresenta uma solução heurística para uma variação do clássico problema computacional do Caixeiro Viajante. Adotaremos a seguinte definição para o problema: Dado um conjunto de localidades no espaço geográfico, encontrar o menor caminho baseado nas coordenadas das mesmas. Devido à natureza dos dados processados (coordenadas geográficas) e ao grande esforço computacional exigido para a descoberta de rotas, esse trabalho procurou uma resposta sub-ótima à variação do problema chamada de Euclidiana, com baixo esforço computacional usando Mapas Auto Organizáveis (SOM, do inglês). No método heurístico aplicado a base teórica foi o SOM e a implementação consistiu em funcionalidades acrescentadas à biblioteca SOMCode. Os resultados alcançados, apesar de classificarem a solução proposta como satisfatória, apontaram para várias áreas a serem exploradas no futuro com o objetivo de aumentar a eficiência da solução proposta. PALAVRAS-CHAVE: problema do caixeiro viajante; redes neurais artificiais; mapas auto organizáveis. DISCOVERING SUB-OPTIMAL GEOGRAPHIC ROUTES ABSTRACT: This work shows a heuristic solution for the classic computing problem of the Traveling Salesman (TSP). We will adopt the following definition for the problem: Given a set of localities in the geographic space, to find the shortest path based on the coordinates of the same ones. Due to nature of the processed data (geographic coordinates) and to the great demanded computational effort for the discovery of routes, this work looked for a sub-optimal answer to the problem s variety called Euclidian, with low computing effort using Self-organizing Maps (SOM). In the heuristical method applied the theoretical base was the SOM and the implementation consisted of functionalities added to the SOMCode library. The reached results, although to classify the proposed solution as satisfactory, had pointed some areas to be explored in the future with the objective to increase the efficiency of the proposed heuristic. KEYWORDS: traveling salesman problem; artificial neural networks; self-organizing maps 1 Marco Aurélio Cruz Fonseca, Graduando em Ciência da Computação, Estudante Estagiário, Universidade Federal de Sergipe - UFS, Rua Maruim 323, Centro CEP: , marco_ufs@yahoo.com.br, telefone Dr. Leonardo Nogueira Matos, Doutor em Ciência da Computação, Professor, Universidade Federal de Sergipe - UFS. 3 Marcos Aurélio Santos da Silva, Mestre em Computação Aplicada, Analista de Sistemas, Embrapa Tabuleiros Costeiros.

2 INTRODUÇÃO: O Problema do Caixeiro Viajante pode ser assim definido: Dado um conjunto de cidades, onde cada par de cidades é ligado por um caminho de determinado tamanho, encontrar um percurso tal que o caixeiro viajante parta de uma cidade origem, visite todas as outras cidades e retorne à origem percorrendo a menor distância possível. Ainda não existe algoritmo que resolva eficientemente este problema para todos os casos (quanto maior o número de cidades no conjunto, mais difícil é encontrar o percurso). Este problema tem a seguinte variação: Dado um conjunto de pontos dispostos num plano bidimensional (euclidiano), encontrar o polígono de menor perímetro formado por estes pontos. Essa variação onde as cidades são representadas pelos pontos e o polígono corresponde ao percurso do caixeiro viajante é chamada de Problema do Caixeiro Viajante Euclidiano [1]. O presente trabalho focou justamente essa variação. MATERIAL E MÉTODOS: O método computacional trabalhado para resolver esse problema é baseado no em um modelo especial de Redes Neurais Artificiais e é conhecido por SOM [2]. Este tipo de rede é formado por duas camadas: uma camada (I) de entrada de dados e uma camada (U) de saída constituída por uma rede de neurônios (Figura 1). O treinamento da rede é medido em épocas, onde em cada uma é aplicado o processo de aprendizagem, dividido em três fases [3]: Competitiva: para cada vetor de entrada K é buscado o BMU (Best Match Unit), que corresponde ao neurônio mais próximo a K; Cooperativa: conhecido o BMU, é determinada sua vizinhança (neurônios vizinhos); Adaptativa: as coordenadas (pesos) do BMU e de seus vizinhos são atualizadas segundo a taxa de aprendizagem; Dentro da divisão das RNA proposta por Kohonen, SOM é classificada como uma Rede de Aprendizado Competitivo [4]. Das características apresentadas por esse tipo de rede, citamos como as mais importantes para o nosso trabalho o processo competitivo de aprendizado e o treinamento nãosupervisionado da rede.

3 A implementação do SOM utilizada ao longo do trabalho foi o SOMCode [5], uma biblioteca C++ de código aberto que provê ferramentas necessárias para trabalharmos com Mapas Auto- Organizáveis. A solução avaliada não teve foco em encontrar o percurso de caixeiro viajante para o Problema do Caixeiro Viajante Euclidiano (nesse caso seria gerada uma solução ótima), mas encontrar o menor percurso possível dentro do baixo esforço computacional aplicado. Essa estratégia de encontrar soluções sub-ótimas (que resolvem dentro do contexto trabalhado) para problemas que ainda não tem (caso existam) algoritmos implementáveis é conhecida como Heurística. A solução heurística aplicada tem três pontos chave: inclusão no SOMCode da possibilidade de trabalhar com redes de neurônios unidimensionais dispostos no formato toroidal [6], incluir no SOMCode a inicialização dessa rede em janela [6](onde no inicio do treinamento os neurônios encontrar-se-iam dispostos em retângulo ao redor dos pontos) e da aplicação da aprendizagem em lote na rede. Ao final do treinamento (após um número relativamente baixo de épocas) os neurônios estariam dispostos entre os pontos, sendo ainda necessário interpretar qual o percurso apontado pela posição final da rede. Para isso aplicamos uma função que tem como entradas as posições dos neurônios no final do treinamento e as coordenadas dos pontos usadas durante o treinamento, e que tem como saída uma seqüência das coordenadas dos pontos que representa o percurso encontrado. RESULTADOS E DISCUSSÃO: Realizamos os testes trabalhando com um conjunto de exemplos de TSP (Travelling Salesman Problem Problema do Caixeiro Viajante) Euclidianos obtidos através do repositório de testes TSPLIB [7]. De cada exemplo é conhecida a quantidade de cidades e o comprimento de seu percurso ótimo. Após cada teste era gerado o percurso e calculado o seu comprimento. Os parâmetros padronizados para todos os testes foram a inicialização dos neurônios em janela, aprendizagem em lote, raio de vizinhança de 0,25(ou seja, inicialmente cada neurônio é considerado vizinho aos n outros mais próximos que compõem 25% do total de neurônios da rede), 200 épocas e quantidade de neurônios da rede próxima à quantidade de cidades do exemplo (sempre que possível igual). Para cada exemplo foram gerados dois resultados, sendo o primeiro a configuração final (conjunto de coordenadas) da rede neural e o segundo o percurso gerado por ela com seu respectivo comprimento. Desses resultados foram geradas imagens para sua melhor análise (Figura 2).

4 Abaixo apresentamos uma tabela com os resultados obtidos: Exemplo ETSP Número de cidades Número de Neurônios Percurso Ótimo (PO) Percurso Encontrado (PE) Percentual de Aumento ((PE/PO) - 1)x100 bier , eil ,55 7, eil ,5 19, kroa ,77 18, lin ,19 20, pcb ,3 37, pr ,21 49, pr ,72 22, pr ,52 21, rat ,57 23, rd ,93 23, st ,6 9, CONCLUSÃO: Considerando o baixo esforço computacional aplicado e a abordagem inovadora de combinar a aprendizagem em lote e a inicialização em janela ao TSP Euclidiano, com os exemplos testados conseguimos percursos que são em média 22,5% maiores que os respectivos percursos ótimos, o que classificamos como sendo um resultado satisfatório. Das análises das imagens geradas levantamos algumas questões que, se abordadas mais a fundo, poderiam melhorar os resultados desse trabalho numa futura continuação. Essas questões têm impacto direto na qualidade do percurso gerado e no uso da solução proposta, e por isso evidenciamos que seriam os principais pontos a serem atacados numa possível continuação do trabalho. A primeira questão levantada é a ocorrência de laços durante o treinamento da rede neural, onde o caminho cruza o próprio trajeto. Da literatura do problema do caixeiro viajante é sabido que se um percurso apresenta laço(s) sempre existe um percurso menor correspondente, sendo que a solução

5 proposta deveria apresentar esse como resultado. Caso se consiga evitar a ocorrência dos laços conseguiremos percursos mais próximos aos ideais (mais curtos), melhorando assim os resultados obtidos e consequentemente as rotas geográficas descobertas. A segunda questão levantada é uma melhor análise da função de geração do percurso a partir da posição final da rede. Como a posição final da rede neural após o treinamento está em estado bruto, ou seja, não apresenta explicitamente o percurso produzido, é necessário fazer a interpretação da disposição dos neurônios em relação aos pontos. É justamente essa interpretação que a função de geração do percurso implementa. Qualquer melhoria no algoritmo, ou até mesmo a descoberta de outro mais eficiente tem impacto direto no resultado obtido. A terceira questão levantada durante a análise das imagens é de natureza mais geral, se refere à melhoria da ferramenta utilizada, o SOMCode. A otimização das funções e comandos escritos em linguagem C++ são um campo promissor para a melhoria da eficiência da ferramenta, pois terão impacto direto no esforço computacional aplicado para executar os serviços oferecidos pela ferramenta. Tais benefícios atingiriam tanto a área de Redes Neurais quanto a área de Geoprocessamento, que normalmente demanda o processamento de um grande montante de dados. Uma última questão abordada leva em conta a utilização prática da solução proposta. O processamento de coordenadas geográficas e geração de percursos (rotas) que realmente interessem a usuários finais (geógrafos, pesquisadores, etc.) dependem fortemente da inserção dessa solução em seu ambiente de trabalho. Em termos operacionais essa inserção significa disponibilizar a solução proposta numa ferramenta que trabalhe com dados dessa natureza (geográficos). Um Sistema de Informações Geográficas (SIG) se enquadra perfeitamente nesse caso, visto que a solução entraria no contexto da análise de dados processados num SIG (geográficos, espaciais, demográficos). Sendo assim, mesmo após o refinamento da solução (aprofundamento das questões anteriormente abordadas), não devemos esquecer que o sucesso final do trabalho aqui iniciado reside em levar os avanços obtidos ao profissional que deles tirará proveito. Atingido esse objetivo estaremos contribuindo não somente para a área de Computação, mas também para a área de Geoprocessamento. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] LEUNG, Kwong-Sak; JIN, Hui-Dong; XU, Zong-Ben. An expanding self-organizing neural network for the traveling salesman problem. Neurocomputing, p. 268, fev [2] KOHONEN, Teuvo. Self-Organizing Maps. Springer, Third Edition. [3] SILVA, Marcos Aurélio Silva. SOMCode: Design Patterns and Generic Programming in the Implementation of Self-Organizing Maps

6 [4] CARVALHO, Marcio Ribeiro. Otimização de Algoritmos do SOMCode. São Cristóvão. Relatório de Estagio Departamento de Ciência da Computação e Estatística, Universidade Federal de Sergipe, São Cristóvão, [5] SILVA, Marcos Aurélio Silva. SOMCode: Self-Organizing Map Code Project. Aracaju, Disponível em : < Acesso em nov [6] VIEIRA, Frederico Carvalho.; NETO, Adrião Duarte Dória; COSTA, José Alfredo Ferreira. An efficient approach to the traveling salesman problem using Self-Organizing Maps. International Journal of Neural Systems, v. 13, p , [7] REINELT, Gerhard. TSPLIB: Symemetric traveling salesman problem (TSP). Heidelberg, Disponível em: < Acesso em fev