Prova. t ::= t t. t 1 t 4 t 2 t 3 (t 1 t 2 ) (t 3 t 4 ) (t 2 t 1 ) (t 4 t 3 )

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1 Sistema de Tipos - II/UFRGS 1 1. Marque verdadeiro ou falso: Prova ( ) A relação de avaliação small-step deve ser determinística (ou seja para qualquer termo deve existir somente uma maneira para ele progredir em um passo) para que o teorema da preservação seja verdadeiro. ( ) A propriedade de unicidade de tipo (ou seja, em um dado contexto, um termo deve ter no máximo um tipo T) deve ser verdadeira para que se possa provar o teorema da preservação para uma linguagem. ( ) Se o teorema da preservação é verdade para uma linguagem, removendo uma regras de tipo pode torná-lo falso. ( ) Se o teorema do progresso é verdadeiro para uma linguagem removendo uma regra de tipo pode torná-lo falso. ( ) No cálculo lambda tipado puro todo os termos fechados (ou seja, sem variáveis livres) ou vão divergir ou vão avaliar para uma valor. ( ) As regras algorítmicas para o cáculo lambda com subtipos possuem a propriedade de unicidade de tipos. ( ) As regras (não algorítmicas) para o cálculo lambda com subtipos possuem a propriedade de unicidade de tipos. 2. Considere a linguagem de termos dada pela gramática abaixo: t ::= t t Considere também a seguinte relação binária entre os termos dessa linguagem especificada pelas regras de inferência abaixo: (AX1) (AX2) t 1 t 4 t 2 t 3 (t 1 t 2 ) (t 3 t 4 ) (t 2 t 1 ) (t 4 t 3 ) (t 1 t 2 ) (t 3 t 4 ) (AMP1) (AMP2) (a) Construa uma derivação para ( ) ( ) (b) O conjunto de regras acima não é dirigido a sintaxe. Mostre uma derivação diferente da apresentada na questão anterior para: ( ) ( ) (c) Podemos remover exatamente uma regra e produzir uma relação que (i) é dirigida a sintaxe e (ii) é equivalente a relação anterior. Qual regra devemos eliminar? (d) Para todo x existe pelo menos um y tal que x y? Se for o caso, prove esse fato. Se não, mostre um contra-exemplo.

2 Sistema de Tipos - II/UFRGS 2 3. A seguinte questão se refere ao cálculo lambda tipado. A sintaxe e as regras de avaliação para esse sistema são apresentadas abaixo: t ::= termos: x variável λx.t abstração t t aplicação v ::= λx. t t 1 t 1 t 1 t 2 t 1 t 2 (APP1) t 2 t 2 v t 2 v t 2 (λx.t) v [x v] t (APP2) (β) Marque as formas normais dos seguintes termos do cálculo lambda, se houver (a forma normal de um termo t é um termo u tal que t u e u ) (a) (λy.(λz.xy))(λx.z) i. (λy.(λz.xy))(λx.z) ii. (λz.x(λx.z)) iii. (λw.(λx.z)(λx.z)) iv. (λw.x(λx.z)) (b) (λy.(λz.zz)y)(λx.x) i. (λy.(λz.zz)y)(λx.x) ii. (λz.zz)(λx.x) iii. (λx.x) iv. (λy.yy)(λz.z) (c) (λx.xxx)(λx.xxx) i. (λx.xxx)(λx.xxx) ii. (λx.xxx) iii. (λx.xxx)(λx.xxx)(λx.xxx) iv. xxx (d) (λx.(λy.yy)(λz.zz)) i. (λx.(λy.yy)(λz.zz)) ii. (λx.(λy.yy)) iii. (λy.(λz.zz)) iv. (λy.yy)(λz.zz)

3 Sistema de Tipos - II/UFRGS 3 4. A seguinte questão se refere ao cálculo lambda tipado simples com produtos e booleanos. A sintaxe, regras de tipo e de avalição estão no anexo. Os seguintes teoremas são verdadeiros para essa linguagem: Progresso: se t : T, então, ou t é um valor ou existe t tal que t t. Preservação: Se Γ t : T e t t, então Γ t : T. Unicidade de tipos: todo termo t tem no máximo um tipo e, se t tem um tipo, então existe exatamente uma derivação de tipo. Suponha que a regra em (a) abaixo é adicionada a essa linguagem. Verifique se os teoremas acima permanecem verdadeiros após essa adição e, para cada teorema que fica falso, explique o porque através de um contra-exemplo. Repita o mesmo execício considerando a adição da regra em (b) ao sistema original e idem considerando a regra em (c): (a) Γ {t 1, t 2 } : Nat (T-PARNAT) (b) pred {t 1, t 2 } t 1 (E-PREDPAR) (c) Γ t 1 : T 1 Γ t 2 : T 2 Γ fst {t 1, t 2 } : Nat (T-FSTNAT)

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5 Sistema de Tipos - II/UFRGS 5 t ::= termos: x variável λx : T.t abstração t t aplicação true constante true false constante false if t then t 1 else t 2 condicional {t, t} pares t.1 projeção 1.o componente t.2 projeção 2.o componente v ::= λx : T. t true false {v, v} Semântica Operacional T ::= Bool T 1 T 2 T 1 T 2 t 1 t 1 t 1 t 2 t 1 t 2 (E-APP1) t 2 t 2 v t 2 v t 2 (λx : T.t) v [x v] t (E-APP2) (E-β) t 1 t 1 if t 1 then t 2 else t 3 if t 1 then t 2 else t 3 if true then t 2 else t 3 t 2 if false then t 2 else t 3 t 3 (E-IF) (E-IF-TRUE) (E-IF-FALSE) t 1 t 1 {t 1, t 2 } {t 1, t 2 } (E-PAIR1) t 2 t 2 {v, t 2 } {v, t 2} (E-PAIR2) t 1 t 1 t 1.1 t 1.1 (E-PROJ1) {v 1, v 2 }.1 v 1 (E-BETAPROJ1) t 1 t 1 t 1.2 t 1.2 (E-PROJ2) {v 1, v 2 }.2 v 2 (E-BETAPROJ2) Sistema de Tipos

6 Sistema de Tipos - II/UFRGS 6 x : T Γ Γ x : T (T-VAR) Γ, x : T 1 t 2 : T 2 Γ λx : T 1. t 2 : T 1 T 2 (T-ABS) Γ t 1 : T 11 T 12 Γ t 2 : T 11 Γ t 1 t 2 : T 12 Γ true : Bool Γ false : Bool Γ t 1 : Bool Γ t 2 : T Γ t 3 : T Γ if t 1 then t 2 else t 3 : T (T-APP) (T-TRUE) (T-FALSE) (T-IF) Γ t 1 : T 1 Γ t 2 : T 2 Γ {t 1, t 2 } : T 1 T 2 (T-PAIR) Γ t 1 : T 1 T 2 Γ t 1.1 : T 1 (T-PROJ1) Γ t 1 : T 1 T 2 Γ t 1.2 : T 2 (T-PROJ2)