Tipos de Polimorfismo

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1 Subtipos

2 Tipos de Polimorfismo Uma construção que pode assumir diferentes tipos, de acordo com o contexto, é dita polimórfica. três formas de polimorfismo em linguagens modernas: polimorfismo paramétrico - uma função pode ser aplicada a qualquer argumento cujo tipo casa com uma expressão de tipos envolvendo variáveis de tipos polimorfismo ad-hoc - outro termo para overloading, no qual duas ou mais implementações com tipos diferentes são referenciadas pelo mesmo nome polimorfismo baseado em subtipos - relações entre tipos permitem uma expressão ter mais do que um tipo Sistemas de Tipos UFRGS-2007 p.2/20

3 Subtipos encontrados em linguagens orientadas a objetos considerados fundamentais nesse paradigma aqui veremos idéia básica com registros e funções interação com outras contruções: referências outra semântica para subtipos: inserção de "coerção"em tempo de execução subtipagem algoritmica (algoritmo) subtipos com polimorfismo paramétrico e com tipos recursivos, Sistemas de Tipos UFRGS-2007 p.3/20

4 Subtipos - Motivação um sistema de tipo é projetado com o objetivo de não permitir a tentativa de avalição de termo preso, e de termo cuja avaliação eventualmente levaria a termo preso mas como estamos considerando verificação estática de tipos (ou seja em tempo de compilação) certos termos são excluidos mesmo que suas avaliações sejam bem comportadas Exercício: mostre três exemplos de termos não tipados mas bem comportados de acordo com a semântica operacional. Sistemas de Tipos UFRGS-2007 p.4/20

5 Subtipos - Motivação O termo (λr : {x : Nat}. r.x) {x = 0,y = 1} não é bem tipado devido a seguinte regra para aplicação Γ t 1 : T T Γ t 1 t 2 : T Γ t 2 : T (T-APP) Porém sua avaliação não fica presa em nenhum momento de acordo com as regras da semântica operacional Sistemas de Tipos UFRGS-2007 p.5/20

6 Subtipos - Motivação A função λr : {x : Nat}. r.x só tem um exigência quanto ao seu argumento: ele deve ser um registro que possua um campo de nome x e do tipo Nat Sempre será seguro passar um argumento do tipo {x : Nat,y; Nat}, por exemplo, para uma função que espera argumento do tipo {x : Nat} com subtipos, termos bem comportados como (λr : {x : Nat}. r.x) {x = 0,y = 1} passam a ser bem tipados Sistemas de Tipos UFRGS-2007 p.6/20

7 Subtipos dizemos que o tipo S é subtipo do tipo T, escrito S <: T, quando termo do tipo S pode ser utilizado com segurança em algum contexto onde termo do tipo T é esperado vimos que registro do tipo {x : Nat,y : Nat} pode ser usado em contexto que espera registro do tipo {x : Nat}, logo {x : Nat,y : Nat} <: {x : Nat} Sistemas de Tipos UFRGS-2007 p.7/20

8 A Relação de Subtipo até agora não vimos como determinar quando um tipo é subtipo de outro vamos condições para que um tipo registro seja subtipo de outro tipo registro e para que um tipo função seja subtipo de outro tipo função antes disso, eis duas características da relação <: de subtipo S <: S (S-REFL) S <: U S <: T U <: T (S-TRANS) Sistemas de Tipos UFRGS-2007 p.8/20

9 Subtipos e Registros {l i : T i 1...n+k i } <: {l i : Ti i 1...n }(S-RCDWIDTH) S i <: T i para cada i {l i : S i 1...n } <: {l i : T i 1...n } (S-RCDDEPTH) {k j : S j 1...n j } é permutação de {l i : Ti i 1...n } {k j : S j 1...n j } <: {l i : T i 1...n i } (S-RCDPERM) Sistemas de Tipos UFRGS-2007 p.9/20

10 Subtipos e Funções Considere um contexto que espera função do tipo T 1 T 2, como saber se uma função do tipo S 1 S 2 pode ser usada com segurança? ou seja, como deve ser defnida a relação <: para tipos função??? (S-ARROW) S 1 S 2 <: T 1 T 2 Sistemas de Tipos UFRGS-2007 p.10/20

11 Subtipos e Funções contexto espera função do tipo T 1 T 2, isso quer dizer que: função pode receber do contexto argumento do tipo T 1 função, caso seja aplicada a algum argumento, retornará ao contexto termo do tipo T 2 Sistemas de Tipos UFRGS-2007 p.11/20

12 Subtipos e Funções para função do tipo S 1 S 2 poder ser usada no lugar dessa função do tipo T 1 T 2 duas condições devem ser observadas T 1 <: S 1, após a troca de função o argumento que poder vir continuará sendo do tipo T 1, mas a nova função espera argumento do tipo S 1 S 2 <: T 2, ou seja espera que resultado seja do tipo T 2 mas pode ser do tipo S 2, e Sistemas de Tipos UFRGS-2007 p.12/20

13 Subtipos e funções A regra fica portanto: T 1 <: S 1 S 2 <: T 2 (S-ARROW) S 1 S 2 <: T 1 T 2 Sistemas de Tipos UFRGS-2007 p.13/20

14 Subtipos a conexão entre a relação de subtipo <: e o sistema de tipos é dada pela seguinte regra: Γ t : S Γ t : T S <: T (T-SUB) Exercício: use o fato acima mais a regra T-Sub e mostre uma derivação de tipos para o termo (λr : {x : Nat}. r.x) {x = 0,y = 1} Sistemas de Tipos UFRGS-2007 p.14/20

15 Subtipos e Variantes As regras de subtipos para variantes são quase idênticas as regras para registros A diferença é que a regra S-VARIANTWIDHT permite adição (e não remoção) de novos variantes de um subtipo para um supertipo: < l i : T i 1...n i > <: < l i : T i 1...n+k i > (S-VARIANT-WIDTH) Por que? Sistemas de Tipos UFRGS-2007 p.15/20

16 Subtipos e Variantes Combinando variantes com subtipos não é necessário escrever anotação de tipo < l = t > as < l i : T i 1...n i >, basta escrever < l = t > Por que? Sistemas de Tipos UFRGS-2007 p.16/20

17 Listas Tipo List T descreve lista de tamanho finito cujos elementos são do tipo T a lista vazia (de elementos do tipo T ) é escrita nil[t] a lista formada adicionando elemento t 1, do tipo T, em fronte da lista t 2 é escrita cons[t] t 1 t 2 a cabeça e a cauda de uma lista t são escritas head[t] t e tail[t] t respectivamente o termo isnil[t] t retorna true se a lista t for vazia Sistemas de Tipos UFRGS-2007 p.17/20

18 Listas Exercícios: 1. defina sintaxe, semântica operacional e regras de tipos para listas 2. verifique se progresso e preservação de tipos são verdadeiros para cáclulo lambda tipado simples com listas Sistemas de Tipos UFRGS-2007 p.18/20

19 Listas e Subtipos o contrutor de tipos List é covariante: S <: T List S <: List T (S-LIST) Sistemas de Tipos UFRGS-2007 p.19/20

20 Referências Nem todo construtor de tipos é covariante ou contravariante o construtor ref por exemplo, é invariante para garantir segurança do sistema de tipos: Um valor do tipo ref T pode ser usado em duas situações: para leitura e para escrita Usado para leitura: contexto espera obter valor do tipo T, mas se a leitura traz um valor do tipo S então é preciso que S <: T Usado para escrita: valor fornecido pelo contexto é do tipo T. Se o tipo da referência for ref S então alguém mais tarde pode ler esse valor e usá-lo comose fosse do tipo S Então é preciso que T <: S Sistemas de Tipos UFRGS-2007 p.20/20