Assimilação de Dados em Modelos do Sistema Terra 2º ciclo MOG FCUL Prof. Carlos Pires

Transcrição

1 1 Introdução 1.1 Noções gerais A assimilação de dados é uma generalização da teoria da estimação. A teoria da estimação é um ramo da estatística que permite obter estimativas de certas variáveis e parâmetros, baseadas no conhecimento de observações afetadas por erros de natureza aleatória. Na assimilação de dados, os parâmetros e as variáveis são aglutinados respectivamente num vector de parâmetros (fixos) e num vector de variáveis de estado (variáveis em geral no tempo) e que caracterizam um determinado sistema. A dimensão destes vectores pode ser muito elevada em sistemas geofísicos. Em assimilação de dados, as observações são tomadas em sentido lato sendo constituídas por informação de natureza muito mais geral, tais como modelos dinâmicos que governam o sistema, estimativas à priori, estatísticas climatológicas do sistema, informação qualitativa do sistema, para além de outros tipos de informação. Os modelos geofísicos exprimem se por equações aplicadas ao vector de estado do modelo. A dimensão N deste vector pode ser muito elevada; na atmosfera e para o estado da arte em modelos de previsão meteorológica, N~ Desse modo as técnicas convencionais de estimação estatística lidam com quantidades de dados da ordem de N q (q=1,2,3: vetores, matrizes, tensores), tornando se demasiado morosas e exigindo muitos recursos em memória computacional e tempo de cálculo. Deste modo há também a preocupação na assimilação de dados geofísicos com a redução da dimensionalidade do problema de estimação, tornando o algoritmicamente mais viável. Além disso o sistema sobre o qual se executa a assimilação de dados tem a sua complexidade natural intrínseca. O sistema pode ser estruturalmente muito complexo e heterogéneo (ex. estrutura da crosta terrestre) ou exibir caos determinista (sensibilidade a erros nas condições iniciais), o que dificulta a performance assimilação de dados. Outro problema pode ser a escassez de observações em relação ao número de variáveis do sistema (sub observação), sendo o seu erro elevado (incerteza das observações) ou mesmo as estatísticas desse erro mal conhecidas (incerteza das estatísticas de erro, nomeadamente a amplitude das barras de erro). Poderemos definir assimilação de dados como: Conjunto de técnicas matemáticas que permitem estimar o melhor possível o estado de um sistema a partir de informação sobre este e a partir do grau de incerteza dessa informação. A estimativa obtida pretende ser melhor em média que as observações disponíveis e denomina se análise. Cada um dos termos sublinhados pode englobar vários tipos conforme o problema particular de assimilação de dados. 1

2 1.2 Técnicas matemáticas As técnicas matemáticas usadas na assimilação de dados podem usar vários ramos da matemática tais como: Teoria da estimação, Estatística Bayesiana, Teoria dos sistemas dinâmicos, Análise funcional, Teoria do problema inverso, Teoria do controle. Análise variacional, Teoria da informação, Teoria dos Jogos etc. 1.3 Sistema e estado do Sistema O sistema pode ser natural ou artificial (construído) sendo caracterizado de forma unívoca por um vector de estado de certa dimensão N, isto é com N componentes. Cada estado corresponde a um e um só valor do vector e vice versa. A palavra vector é de certo modo abusiva porque o vector de estado pode não necessariamente pertencer a um espaço vectorial. Cada componente tem certas dimensões físicas. Os valores assumidos por essas componentes podem ser quantitativas (em R) ou qualitativas (i.e. assumirem um conjunto finito de possíveis valores). O sistema poderá ser espacialmente extenso (atmosfera, oceano, crosta terrestre etc.), e variável no tempo, sendo geralmente caracterizado por um vetor de estado multivariado de grande dimensão, cobrindo uma rede no espaço ou uma certa representação espectral. Pelo contrário, o sistema pode ser de baixa dimensão sendo caracterizado por um vector de estado com poucas variáveis (low order models). 1.4 Estimação A estimação é um valor quantitativo, qualitativo, ou na forma de uma distribuição de probabilidade, quer de parte ou da totalidade do vector de estado. 1.5 Critério para melhor estimação possível A melhor estimação possível exige um critério quantitativo para distinguir uma boa de uma má estimação. Um critério usual é a minimização do erro quadrático médio da estimação. Este critério pode ser substituído por critérios mais sofisticados como por exemplo a maximização da informação de Shannon, definida na teoria da informação. 1.6 Informação A estimação é em geral dada como uma função da informação disponível usada. A informação usada poderá ser de natureza muito variada, tal como observações in situ ou remotas (ex. obtidas por satélites artificiais); previsões do estado do sistema executadas anteriormente (informação à priori ou no jargão da assimilação de dados, background); modelo de dinâmico de evolução do estado do sistema (ex. equações termo hidrodinâmicas da atmosfera e oceano); informação climatológica do sistema, isto é o conjunto de estatísticas acumuladas sobre o estado do sistema. Nem toda a informação disponível poderá ser usada na assimilação de dados. Em geral as observações são sujeitas a um Controle de qualidade que rejeita as observações que manifestamente têm erros grosseiros de medição ou foram mal transmitidos ou codificados etc. Muitos dados podem não ser assimilados por alguma das razões seguintes: 1: podem ser 2

3 redundantes em relação a outros (possuem elevada correlação com outros); 2: O grau de incerteza dos dados é mal conhecido e portanto se esses dados forem indevidamente assimilados, produzem se estimativas piores do que se não se assimilarem; 3) Não há técnica matemática conhecida para assimilar certo tipo de dados. Na verdade, presentemente têm se disponíveis diariamente muitos dados de satélite e de superfície que ainda não são assimilados por alguma das razões anteriormente enunciadas. 1.7 Grau de incerteza da informação O grau de incerteza da informação é a quantificação da amplitude do erro. Esta quantificação pode ser dada pela variância do erro ou de forma mais geral pela distribuição de probabilidade do erro. Esta quantificação é decisiva na assimilação de dados porque determina a ponderação dada a cada dado. É natural que dados de melhor qualidade (menor variância de erro) contribuam mais que dados de pior qualidade (maior variância de erro). É por vezes comum ter uma ideia incompleta ou mesmo incorrecta do grau de incerteza da informação. Uma informação incorrecta significa atribuir a variância indevida ao erro a uma observação, quer por sobre estimação da variância do erro (sub avaliação da observação) ou por sub estimação da variância do erro (sobre avaliação da observação). Os erros de diferentes observações podem igualmente estar correlacionados. Por exemplo a pressão e o vento longe da camada limite satisfaz em boa aproximação à relação do vento geostrófico. Desse modo os erros na pressão p e nas componentes (u,v) do vento estão relacionados e portanto correlacionados. A assimilação de dados pressupõe por hipótese um modelo matemático de erro da informação disponível usada. 1.8 Análise O resultado final da assimilação de dados são as análises. Se o esquema de assimilação aplicado for correcto, as análises deverão em média apresentar uma melhor qualidade que as próprias observações, por muito boas que estas já sejam. Se as observações forem já de grande qualidade, o incremento de qualidade pode ser marginal. 1.9 A assimilação de dados como um problema inverso A assimilação de dados consiste num problema inverso. Para tal apresentemos as definições de problema directo e inverso. Consideremos X, o vector de estado e Y o vector reunindo as observações do sistema. As observações efectuadas por medição directa ou indirecta são sujeitas a diversos tipos de erro que juntamos de forma sintética no vector erro W. As observações estão relacionadas com o vector de estado através de um operador H que é o operador de observação. Assim Y=H(X,W). Um problema directo consiste na obtenção, a partir de um suposto estado do sistema: X 0, das observações perfeitas Y 0 que se obteriam a partir de X 0, isto é na assumpção de erro nulo (W=0) ou seja: Problema directo Y 0 =H(X 0, W=0). Um problema inverso é muito mais difícil de resolver e consiste em obter uma estimativa X a do vector de estado do sistema, a chamada análise em assimilação de dados, a partir das observações disponíveis Y, de estatísticas hipotéticas dos erros W e de outros possíveis constrangimentos (tais como modelos dinâmicos, relações de diagnóstico (i.e. atemporais) 3

4 entre as variáveis de estado). Representando por p=dim(y), a dimensão de Y e N=dim(X), temos os seguintes casos: p<n ou seja o problema é sub determinado ou sub observado. Existem menos observações que variáveis de estado. A condição de observabilidade não é verificada ou seja, no caso de observações exactas com erro nulo, não é possível obter rigorosamente o vector de estado. p>n ou seja o problema é sobre determinado ou sobre observado. Existem mais observações que variáveis de estado. Neste caso, põe se o problema da consistência das observações, isto é, neste caso de observações em demasia, observações rigorosas devem conduzir a um e a apenas um estado rigoroso compatível com as observações. A condição de observabilidade é então satisfeita. Em qualquer dos casos, quando as observações têm erro, é possível obter uma estimação X a do sistema, em função das observações, com o menor erro quadrático médio possível. Só no caso p=n, o operador H poderá ser invertível, isto é ter se X=H 1 (Y,W). Apresentemos alguns casos em que as técnicas da assimilação podem ser usadas 1.10 Exemplos de assimilação de dados e aplicações Exemplo 1 Determinação dos campos espaciais termohidrodinâmicos da atmosfera num determinado instante t com vista a serem usados como condição inicial de modelos dinâmicos de previsão meteorológica até ao instante t+, onde é o prazo de previsão. As observações estão assimiláveis estão disseminadas no espaço (em 3 dimensões) no instante t e em instantes anteriores t. Portanto a informação cobre 4 dimensões (3 espaciais e uma temporal). Referimo nos por isso à assimilação de dados tetradimensional ou quadridimensional. Se a informação se referir apenas a um instante e estiver disseminada em 3 dimensões, a assimilação de dados diz se tridimensional. O mesmo tipo de problema se aplica na previsão do oceano ou na previsão da distribuição da crosta terrestre ou da distribuição dos continentes à escala geológica ou seja com prazo de milhões de anos Exemplo 2 Estimação do campo espacial à superfície da Terra (espacialização) de uma certa grandeza (ex. pressão, temperatura, componentes do vento, grandezas sobre as características hidrológicas, geológicas dos solos etc.) numa certa escala espacial, a partir de um conjunto de observações discretas e também de um modelo de covariância espacial dessas observações. As variáveis têm uma certa correlação espacial à distância uma vez que a mesma variável física tomada em pontos distintos não muito longínquos varia de forma mais ou menos suave. Este tipo de estimação no espaço é conhecido pelo nome de geoestatística Exemplo 3 Determinação do perfil geológico (composição, densidade, radioactividade etc.) a partir de observações indirectas obtidas por prospeção geofísica e também a partir de um modelo à 4

5 priori (informação background) do perfil, obtido com conhecimentos anteriores. O perfil é assim aperfeiçoado com novas e mais perfeitas medições. As observações indirectas podem resultar de um estímulo activo (ex. explosão provocada à superfície fonte e registo do eco correspondente registado em geofones colocados noutros locais diferentes do da fonte). A resposta obtida nos geofones é uma função resposta conhecida do perfil, baseada em modelos físicos. Essa função corresponde ao chamado operador de observação. As observações poderão ser passivas não activas se não houver qualquer estímulo artificial provocado sobre o sistema. Este é tipicamente um problema inverso em que se pretende inverter (extrair, estimar) o estado do sistema (perfil) a partir de observações relacionadas com as variáveis do sistema por operadores de observação complexos. Outro exemplo equiparável a este é o da obtenção do perfil de temperatura, vento, densidade e composição química da atmosfera a partir de satélites passivos (recebem radiação natural) e satélites activos (recebem o eco transformado após a emissão pelo satélite de radiação). Outro exemplo é equivalente na medicina é o da interpretação de electroencefalogramas (EEG) a partir de um conjunto de eléctrodos activos colocados sobre o cérebro. O problema inverso consiste assim em determinar a estrutura cerebral ou alguma anomalia (ex. tumor) a partir das observações registadas Exemplo 4 Completagem (preenchimento de falhas e extensão), reconstrução e aperfeiçoamento de séries temporais de variáveis geofísicas, usando modelos de evolução dinâmica e observações de várias naturezas. Essas observações podem por vezes ser escassas, com falhas no espaço e no tempo e afectadas de grande incerteza. A reconstrução de séries geofísicas tem aplicação na reconstrução de bases de dados geofísicos de elevada qualidade, disponíveis para estudos à posteriori. Tal é o caso das reanálises meteorológicas do NCEP NCAR ( dispondo de dados meteorológicos de grande qualidade em grelha regular sobre toda a Terra e em vários níveis, desde 1948 até à actualidade. Outra aplicação é a recuperação e extensão de dados paleoclimáticos Exemplo 5 Problema inverso a partir de dados qualitativos. A informação é por vezes dada de forma qualitativa ou seja discreta. Por exemplo, o tipo observado de nuvens na atmosfera é classificado segundo uma tabela finita de categorias. O cruzamento de toda a informação categórica e suas probabilidades associadas conduz a uma distribuição probabilista categórica do estado do sistema. Como tal usam se métodos Bayesianos da Estatística, Análise de complexidade em sistemas discretos e outros. Este tipo de análises é utilizado em modelos qualitativos de previsão de ocorrências extremas ou não (ex. fenómenos meteorológicos, hidrológicos ou geofísicos extremos), investigação forense, investigação histórica, diagnósticos médicos. 5

6 Exemplo 6 Determinação ou estimação do estado (ex. posição) e sua evolução de um veículo móvel controlado ou não, a partir de informação à priori (modo como o veículo responde a condições ambientais); observações registadas na vizinhança do veículo e mapa à priori do ambiente onde se desloca esse veículo. Aqui veículo é entendido de forma lata. São exemplos: 1) um satélite artificial controlando por motores controlados à distância 2); um avião em piloto automático; 3) uma sonda ou rover enviada para um planeta ou corpo celeste distante ou fundo do mar, deslocando se sobre ambiente desconhecido inóspito; 4) uma sonda médica percorrendo o tubo digestivo; 5) o encaminhamento de uma pessoa numa casa às escuras. O veículo pode ser controlado, isto é existe alguma liberdade para alterar o seu estado ou trajectória através de um controlo externo não influenciado (ou pouco influenciado) pelo ambiente. Pretende se em geral que a evolução ou comportamento do veículo corresponda a um certo objectivo ou ao desempenho de uma certa tarefa. Muitas vezes o alcance do objectivo traduz se na minimização ou maximização de uma certa função objectivo ou função custo. Um exemplo é o controle de objecto voador não pilotado com o objectivo de chegar até um determinado alvo. Neste caso as observações são dados gps e o controle consiste nos motores próprios que o fazer seguir ou corrigir certa trajectória. A função custo ou função objetivo exprime se em função das variáveis de estado. A sua evolução é função delas próprias, dos parâmetros e de certas variáveis externas de controle. A determinação do controle óptimo com vista ao alcance do objectivo é objecto da teoria do controle. Um bom desempenho em função do controle aplicado depende de conhecer com rigor o estado do veículo ou neste caso do sistema. Assim, a assimilação de dados e o controle óptimo estão muito ligados em certos casos Exemplo 7 A assimilação de observações de uma rede de monitorização de natureza geofísica, atmosférica ou oceânica (ex. rede de avaliação da qualidade do ar), permite obter os campos de certas variáveis com determinada precisão. A qualidade média das estimativas avalia se sobre um elevado número de casos independentes. Essa qualidade pode depender da quantidade de observações, da sua localização, da frequência temporal etc. A qualidade das análises pode mesmo ser melhorada através de observações adaptativas, isto é executadas em locais estratégicos que são função da situação particular instantânea do sistema. A assimilação de dados permite obter expressões da precisão esperada das análises. Uma vez que esta precisão é uma função explicita da configuração das observações, há liberdade para se proceder à optimização da rede de observações com vista à melhoria, isto é aumento da precisão das análises. Em particular em meteorologia, existem aviões dedicados para fazer observações aerológicas em determinados locais, em função da situação sinóptica Sistema observacional do planeta Terra As observações atmosféricas, oceânicas e geofísicas foram inicialmente executadas de modo esporádico e irregular, isto é ocupando uma determinada área e por um certo intervalo de tempo, sem garantia de continuidade. As observações foram progressivamente adquirindo carácter mais permanente. O carácter global dos sistemas de observação actuais (ex. satélites) só foi conseguido com sofisticados meios, uma elevada capacidade de processamento e 6

7 armazenamento de dados e com o estabelecimento de protocolos, aceites mundialmente sobre a logística das observações (onde, quando, como, com que procedimentos e o que observar). A informação é sujeita a controle de qualidade, é armazenada, assimilada para a produção de análises e eventualmente usada operacionalmente em modelos de previsão da Terra (atmosfera, oceanos, solos etc.) a curto, médio ou longo prazo. Este processo é extremamente complexo e exige grande robustez no sentido de garantir a sua continuidade mesmo que haja falhas informáticas, instrumentais, humanas, em alguma parte do processo Sistema observacional na atmosfera Tipos de dados As observações assimiladas e usadas na previsão operacional do tempo dividem se em convencionais (ex. medidas in situ à superfície da terra, mar, em aviões, foguetes, sondas) e nas obtidas por detecção remota por satélite. As medições convencionais definidas pela WMO (World Meteorological Organization) são entre outras, e usando as respectivas siglas: SYNOP, SYNOP MOBIL (sobre estações em terra e em estações móveis em terra respectivamente); SHIP (sobre estações no mar instaladas em barcos ancorados); METAR (observações em aérodromos); BUOY (sobre bóias no mar); RADOB (dados de radar meteorológico); RADREP (dados radiológicos); PILOT, PILOT SHIP e PILOT MOBIL (Observações do vento em altitude através de balões derivantes lançados respectivamente de estações fixas em terra, do mar e de estações móveis em terra); TEMP, TEMP SHIP, TEMP DROP, TEMP MOBIL (radiosondas por balão que obtem temperatura, pressão e humidade, lançadas de terra, mar, de balões ou aviões em sentido descendente e de estações móveis em terra); ROCOB, ROCOB SHIP (sondagens aerológicas obtidas por lançamento de foguetes); PROFL (sondagem activa obtida por eco de sinais enviados na vertical); AIREP (dados obtidos ao longo de voos comerciais). As medições obtidas remotamente são obtidas por medições em instrumentos montados em satélites. Os satélites orbitam em torno da Terra e são geoestacionários (estão sempre na mesma vertical geográfica) ou de baixa altitude, rodando em torno da Terra. Os satélites geostacionários estão à altitude de km, sobre o equador e não têm movimento relativo em relação à Terra, e portanto prospectam sempre a mesma área da Terra. Os satélites de baixa altitude estão situados entre 400 a 800 km de altitude, são de órbita polar (passam pelos pólos), varrem progressivamente o planeta numa trajectória periódica que pode demorar vários dias até o satélite repetir o mesmo ponto de partida. Os dados de satélite envolvem uma complicada logística. Os satélites estão organizados em constelações (conjuntos) que são geridos por certas instituições (ESA, NASA e NOAA). A NASA e a NOAA gerem a constelação GOES e a UARS. A ESA gere a constelação METEOSAT. Cada constelação é constituída de satélites diferentes a bordo dos quais seguem instrumentos específicos que medem radiâncias electromagnéticas numa diversidade de frequências (canais ou bandas). Há também satélites isolados para fins específicos Dados assimilados 7

8 Em 2010 executam se diariamente cerca de ( )x10 6 observações de satélite mas apenas 6 10 % é assimilada (~25x10 6 dados) no ECMWF (European Center for Medium Range Weather Forecasts), responsável por previsões diárias do tempo até 10 dias de prazo. Os dados de satélite são cerca de 99% dos dados assimilados sendo apenas 1% constituídos por dados convencionais. Apesar da enormidade de dados recolhidos, o sistema em 2010 era ainda subobservado. Na verdade o modelo operacional do ECMWF, desde Janeiro de 2010, tem um vector de estado de dimensão N~1.5x10 9, correspondente a uma malha espacial de ~16km com discretização vertical com 91 níveis. A quantidade de dados assimilados de satélite é cada vez maior e dominante ao longo dos anos conforme mostra a figura. 18 number of data used per day (millions) quantity of satellite data used per day at ECMWF Year CONV +SAT WIND S TOTA L As figuras seguintes mostram para um dia particular a quantidade de dados de diferentes tipos que foram assimilados no modelo do ECMWF. 8

9 9

10 10

11 11

12 12

13 1.13 Qualidade das previsões atmosféricas As previsões do tempo têm melhorado de qualidade devido à melhoria da física dos modelos, à maior discretização horizontal e vertical e ainda à melhoria da qualidade das condições iniciais obtidas a partir de assimilação de dados. O gráfico seguinte mostra a evolução da qualidade da previsão (100: previsão perfeita, 0: previsão ao acaso) do geopotencial aos 500 hpa (z500) para prazos entre 1 e 8 dias desde 1980 até Assiste se a um aumento gradual da qualidade da previsão. 13

14 14