Melhores momentos AULA 1

Transcrição

1 Melhores momentos AULA

2 Digrafos digrafo = de vértices e conjunto de arcos arco = par ordenado de vértices Exemplo: v e w são vértices e v-w é um arco b d a f c e

3 Especicação Digrafos podem ser especicados através de sua lista de arcos Exemplo: a b c d e f d-f b-d a-c b-e e-f a-b

4 Grafos grafo = digrafo simétrico aresta = par de arcos anti-paralelos Exemplo: b-a e a-b formam uma aresta b d a f c e

5 Grafos Um grafo é um digrafo simétrico Exemplo: representação usual b d a f c e

6 Estrutura de dados Vértices são representados por objetos do tipo Vertex. Arcos sao representados por por objetos do tipo Arc #dene Vertex int typedef struct { Vertex v; } Arc; Vertex w;

7 Grafos no computador Usaremos duas representações clássicas: matriz de adjacência (agora) vetor de listas de adjacência (próximas aulas)

8 Matriz de adjacência de digrafo Matriz de adjacência de um digrafo tem linhas e colunas indexadas por vértices: adj[v][w] = se v-w é um arco adj[v][w] = em caso contrário Exemplo: Consumo de espaço: Θ(V ) fácil de implementar

9 Estrutura digraph V = número de vértices A = número de arcos adj = ponteiro para a matriz de adjacência struct digraph { int V; int A; int **adj; }; typedef struct digraph *Digraph;

10 Digrafo Digraph G

11 G 3 5 Estruturas de dados V A adj

12 MATRIXint Aloca uma matriz com linhas..r- e colunas..c-, cada elemento da matriz recebe valor val int **MATRIXint (int r, int c, int val) { Vertex i, j; int **m = malloc(r * sizeof(int *)); for (i = ; i < r; i++) 3 m[i] = malloc(c * sizeof(int)); for (i = ; i < r; i++) 5 for (j = ; j < c; j++) 6 m[i][j] = val; 7 return m; }

13 Consumo de tempo linha número de execuções da linha = = Θ() = r + = Θ(r) 3 = r = Θ(r) = r + = Θ(r) 5 = r (c + ) = Θ(r c) 6 = r c = Θ(r c) total Θ() + 3 Θ(r) + Θ(r c) = Θ(r c)

14 Conclusão Supondo que o consumo de tempo da função malloc é constante O consumo de tempo da função MATRIXint é Θ(r c).

15 DIGRAPHinit Devolve (o endereço de) um novo digrafo com vértices,..,v- e nenhum arco. Digraph DIGRAPHinit (int V) { Digraph G = malloc(sizeof *G); G>V = V; G>A = ; 3 G>adj = MATRIXint(V,V,); return G; }

16 AULA

17 Funções básicas (continuação) S 7.3

18 DIGRAPHinsertA Insere um arco v-w no digrafo G. Se v == w ou o digrafo já tem arco v-w, não faz nada void DIGRAPHinsertA(Digraph G,Vertex v,vertex w)

19 DIGRAPHinsertA Insere um arco v-w no digrafo G. Se v == w ou o digrafo já tem arco v-w, não faz nada void DIGRAPHinsertA(Digraph G,Vertex v,vertex w) { } if (v!= w && G>adj[v][w] == ) { } G>adj[v][w] = ; G>A++;

20 DIGRAPHremoveA Remove do digrafo G o arco v-w Se não existe tal arco, a função nada faz. void DIGRAPHremoveA(Digraph G,Vertex v,vertex w)

21 DIGRAPHremoveA Remove do digrafo G o arco v-w Se não existe tal arco, a função nada faz. void DIGRAPHremoveA(Digraph G,Vertex v,vertex w) { } if (G>adj[v][w] == ) { } G>adj[v][w] = ; G>A;

22 DIGRAPHshow : 3 : : 3: 5 : 5 5:

23 DIGRAPHshow Para cada vértice v de G, imprime, em uma linha, os vértices adjacentes a v void DIGRAPHshow (Digraph G) {

24 DIGRAPHshow Para cada vértice v de G, imprime, em uma linha, os vértices adjacentes a v void DIGRAPHshow (Digraph G) { Vertex v, w; for (v = ; v < G>V; v++) { printf("%d:", v); 3 for (w = ; w < G>V; w++) if (G>adj[v][w] == ) 5 printf("%d", w); 6 printf("\n"); } }

25 Consumo de tempo linha número de execuções da linha = V + = Θ(V) = V = Θ(V) 3 = V (V + ) = Θ(V ) = V V = Θ(V ) 5 V V = O(V ) 6 = V = Θ(V) total 3 Θ(V) + O(V ) + 3 Θ(V ) = Θ(V )

26 Conclusão O consumo de tempo da função DIGRAPHShow é Θ(V ).

27 Funções básicas para grafos

28 Funções básicas para grafos #dene GRAPHinit DIGRAPHinit #dene GRAPHshow DIGRAPHshow Função que insere uma aresta v-w no grafo G void GRAPHinsertE (Graph G, Vertex v, Vertex w)

29 Funções básicas para grafos #dene GRAPHinit DIGRAPHinit #dene GRAPHshow DIGRAPHshow Função que insere uma aresta v-w no grafo G void GRAPHinsertE (Graph G, Vertex v, Vertex w) { } DIGRAPHinsertA(G, v, w); DIGRAPHinsertA(G, w, v); Exercício. Escrever a função GRAPHremoveE

30 Caminhos em digrafos S 7.

31 Caminhos Um caminho num digrafo é qualquer seqüência da forma v v v...v k v p, onde v k -v k é um arco para k =,..., p. Exemplo: é um caminho com origem é término 5 3 5

32 Caminhos simples Um caminho é simples se não tem vértices repetidos Exemplo: é um caminho simples de a 5 3 5

33 Procurando um caminho Problema: dados um digrafo G e dois vértices s e t decidir se existe um caminho de s a t Exemplo: para s = e t = a resposta é SIM

34 Procurando um caminho Problema: dados um digrafo G e dois vértices s e t decidir se existe um caminho de s a t Exemplo: para s = e t = a resposta é SIM 3 5

35 Procurando um caminho Problema: dados um digrafo G e dois vértices s e t decidir se existe um caminho de s a t Exemplo: para s = 5 e t = a resposta é NÃO

36 DIGRAPHpath Recebe um digrafo G e vértices s e t e devolve se existe um caminho de s a t ou devolve em caso contrário Supõe que o digrafo tem no máximo maxv vértices. int DIGRAPHpath (Digraph G, Vertex s, Vertex t)

37 Caminhos em digrafos S 7.

38 Caminhos Um caminho num digrafo é qualquer seqüência da forma v v v...v k v p, onde v k -v k é um arco para k =,..., p. Exemplo: é um caminho com origem é término 5 3 5

39 Caminhos simples Um caminho é simples se não tem vértices repetidos Exemplo: é um caminho simples de a 5 3 5

40 Procurando um caminho Problema: dados um digrafo G e dois vértices s e t decidir se existe um caminho de s a t Exemplo: para s = e t = a resposta é SIM

41 Procurando um caminho Problema: dados um digrafo G e dois vértices s e t decidir se existe um caminho de s a t Exemplo: para s = e t = a resposta é SIM 3 5

42 Procurando um caminho Problema: dados um digrafo G e dois vértices s e t decidir se existe um caminho de s a t Exemplo: para s = 5 e t = a resposta é NÃO

43 DIGRAPHpath Recebe um digrafo G e vértices s e t e devolve se existe um caminho de s a t ou devolve em caso contrário Supõe que o digrafo tem no máximo maxv vértices. int DIGRAPHpath (Digraph G, Vertex s, Vertex t)

44 DIGRAPHpath(G,,)

45 DIGRAPHpath(G,,)

46 pathr(g,)

47 pathr(g,)

48 pathr(g,)

49 pathr(g,)

50 pathr(g,)

51 pathr(g,)

52 pathr(g,)

53 pathr(g,)

54 pathr(g,)

55 pathr(g,)

56 pathr(g,5)

57 pathr(g,5)

58 pathr(g,5)

59 pathr(g,)

60 pathr(g,)

61 pathr(g,)

62 pathr(g,)

63 pathr(g,3)

64 pathr(g,3)

65 pathr(g,3)

66 pathr(g,3)

67 pathr(g,)

68 pathr(g,)

69 pathr(g,)

70 DIGRAPHpath(G,,)

71 DIGRAPHpath(G,,3)

72 DIGRAPHpath(G,,3)

73 pathr(g,)

74 pathr(g,)

75 pathr(g,)

76 pathr(g,)

77 pathr(g,)

78 pathr(g,)

79 pathr(g,)

80 pathr(g,)

81 pathr(g,5)

82 pathr(g,5)

83 pathr(g,5)

84 pathr(g,)

85 pathr(g,)

86 DIGRAPHpath(G,,3)

87 DIGRAPHpath static int lbl[maxv]; int DIGRAPHpath (Digraph G, Vertex s, Vertex t) { Vertex v; for (v = ; v < G>V; v++) lbl[v] = ; 3 pathr(g,s); if (lbl[t] == ) return ; 5 else return ; }

88 pathr Visita todos os vértices que podem ser atingidos a partir de v void pathr (Digraph G, Vertex v)

89 pathr Visita todos os vértices que podem ser atingidos a partir de v void pathr (Digraph G, Vertex v) { Vertex w; lbl[v] = ; for (w = ; w < G>V; w++) 3 if (G>adj[v][w] == ) if (lbl[w] == ) 5 pathr(g, w); }

90 DIGRAPHpath(G,,) - pathr(g,) - pathr(g,) - pathr(g,) - -5 pathr(g,5) pathr(g,3) existe caminho

91 DIGRAPHpath(G,,3) - pathr(g,) - pathr(g,) - -5 pathr(g,5) 5- nao existe caminho

92 Consumo de tempo Qual é o consumo de tempo da função DIGRAPHpath?

93 Consumo de tempo Qual é o consumo de tempo da função DIGRAPHpath? linha número de execuções da linha = V + = Θ(V) = V = Θ(V) 3 = =???? = = Θ() 5 = = Θ() total = Θ() + Θ(V) +??? = Θ(V) +????

94 Conclusão O consumo de tempo da função DIGRAPHpath é Θ(V) mais o consumo de tempo da função PathR.

95 Consumo de tempo Qual é o consumo de tempo da função PathR?

96 Consumo de tempo Qual é o consumo de tempo da função PathR? linha número de execuções da linha V = O(V) V (V + ) = O(V ) 3 V V = O(V ) V V = O(V ) 5 V = O(V) total = O(V) + 3 O(V ) = O(V )

97 Conclusão O consumo de tempo da função PathR para matriz de adjacência é O(V ). O consumo de tempo da função DIGRAPHpath para matriz de adjacência é O(V ).