P(A 1 A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) P(A 1 A 2 ). ËÓÐÙÓ P(A 1 ) = P(A 2 ) = 1/4 P(A 1 A 2 ) = 1/12 P(A 1 A 2 ) = 5/12º

Transcrição

1 ¾ a Ë Ö Ü Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÒØÖÓÔ Ø ÓÖ Ò ÓÖÑ Ó Ü Ö Ó ½º ÓÑ Ð ØÖ a b c d e f ÕÙ ÒØ Ô Ð ÚÖ Ð ØÖ ÔÓ ÑÓ ÓÒ ØÖÙ Ö ËÙÔ ÕÙ µ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ð ØÖ ÔÓ Ö Ö Ô Ø Ó Ò Ñ ÖÓ Ú Þ ÕÙ ÕÙ Ö µ Ò Ò ÙÑ Ð ØÖ ÔÓ Ö Ö Ô Ø º ËÓÐÙÓ µ ½¾ µ ¼º ¾º ÍÑ Ò Ô ØÓÖ Ú Ø Ñ ÕÙ Ò Ö ÒØ ÙÖ ÒØ Ó º È Ö Ú Ø Ö ÕÙ Ó ÓÔ Ö ÓÖ Ñ ÕÙ Ò Ñ ÕÙ Ò Ó ÕÙ Ð Ú Þ Ö Ò Ô Ó Ñ ÕÙ Ò Ú Ö Ö ÓÖ Ñ Ú Ø º ÕÙ ÒØ Ñ Ò Ö ÔÓ Þ ¹ÐÓ ËÓÐÙÓ ¾¼º º ÒØÖ Ó Ò Ñ ÖÓ 1,2,...,50 ÓÐ ¹ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ð ØÓÖ Ñ ÒØ º ÉÙ Ð ÔÖÓ Ð ÕÙ Ó Ò Ñ ÖÓ ÓÐ Ó Ú Ú Ð ÔÓÖ ÓÙ ÔÓÖ ËÓÐÙÓ ¼º¾ º º ÒØÖ Ó ØÓ ½ ¾ ÓÐ ¹ ÙÑ Ð ÔÓ Þ¹ ÙÑ ÙÒ ÓÐ ÒØÖ Ó ÓÙØÖÓ ÕÙ ØÖÓº µ ÉÙ ÒØÓ Ö ÙÐØ Ó ÔÓ Ú Ü Ø Ñ Ñ Ø ÓÖ ÕÙ ØÓ Ó Ó Ö ÙÐØ Ó ÔÓ Ú Ø Ñ Ñ Ñ ÔÖÓ Ð º Ø ÖÑ Ò ÔÖÓ Ð Ð ÓÒ Ö ÙÑ ØÓ ÑÔ Ö µ Ò ÔÖ Ñ Ö ÓÐ µ Ò ÙÒ ÓÐ µ Ñ Ñ ÓÐ µ Ñ ÙÑ Ù ÓÐ º ËÓÐÙÓ µ ¾¼ µ ¼º µ ¼º µ ¼º µ ¼º º º ÍÑ Ü ÓÒØ Ñ Ö ÒÙÑ Ö 1,2,...,nº Ê Ø Ö ¹ ÙÑ Ö Ü Ù Ö Ö Ø Ö ¹ ÓÙØÖ Ö Ð ØÓÖ Ñ ÒØ Ñ Ñ Ó Ó Ó º ÐÙÐ ÔÖÓ Ð ÕÙ Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ñ ÒØ ÖÓ ÓÒ ÙØ ÚÓ ÔÓ Ö Ø Ö Ö ÔÖ Ñ Ö Ö µ Ø ÓÐÓ ÒÓÚÓ Ò Ü µ Ø Ñ ÒØ ÓÖ Ü º ËÓÐÙÓ µ 2(n 1)/n 2 µ 2/nº º ÆÙÑ Ø Ó ÒÓÒØÖ Ñ¹ Ù ÒØ Ô Ó ÓÑ Ò ÓÑ Ñ ¾½ ÒÓ ÓÑ Ò ÓÑ Ñ ÒÓ ¾½ ÒÓ ÑÙÐ Ö ÓÑ Ñ ¾½ ÒÓ ÑÙÐ Ö ÓÑ Ñ ÒÓ ¾½ ÒÓ º ÓÐ ¹ ÙÑ Ô Ó Ð ØÓÖ Ñ ÒØ º ÓÒ Ö Ó Ù ÒØ ÓÒØ Ñ ÒØÓ A ¹ Ô Ó Ø Ñ Ñ ¾½ ÒÓ B ¹ Ô Ó Ø Ñ Ñ ÒÓ ¾½ ÒÓ C ¹ Ô Ó ÓÑ Ñ D ¹ Ô Ó ÑÙÐ Öº ÐÙÐ Ù ÒØ ÔÖÓ Ð µ P(B D) µ P(Ā C)º ËÓÐÙÓ µ ½»½ µ ½» º

2 ¾ Ë Ö Ü Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ó Ò Ò Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø Í Áµ ¾ º ÓÒ Ö ¾ Ô ÖÑÙØ Ó Ñ ÓÐÓ ½ ¾ ØÖ Ù ÙÑ Ð ÔÖÓ Ð ½»¾ º Ë A i Ó ÓÒØ Ñ ÒØÓ Ó ØÓ i Ô Ö ÒÓ Ù ÐÙ Ö Ò ØÙÖ Ð ÓÒ i = 1,2,3,4µº ÐÙÐ P(A 1 ) P(A 2 ) P(A 1 A 2 ) P(A 1 A 2 )º ÔÓ Ú Ö ÖÑÙÐ P(A 1 A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) P(A 1 A 2 ). ËÓÐÙÓ P(A 1 ) = P(A 2 ) = 1/4 P(A 1 A 2 ) = 1/12 P(A 1 A 2 ) = 5/12º º Ä Ò Ñ¹ Ó Ó º Ë A Ó ÓÒØ Ñ ÒØÓ ÓÑ Ó Ó Ò Ñ ÖÓ Ó Ø Ó ÑÔ Ö B Ó ÓÒØ Ñ ÒØÓ Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ Ó Ò Ñ ÖÓ Ó Ø Ó ÙÑ ½ º µ Ö Ú Ó ÓÒØ Ñ ÒØÓ A B A B A Bº µ Ç Ø Ñ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò Ó ÕÙ Ó ÓÒØ Ñ ÒØÓ Ð Ñ ÒØ Ö Ø Ñ ÔÖÓ Ð Ù º ËÓÐÙÓ µ A B ÙÑ Ó Ò Ñ ÖÓ Ó Ø Ó ÙÑ ½ Ó ÓÙØÖÓ Ô Ö A B ÓÑ Ó Ó Ò Ñ ÖÓ Ó Ø Ó ÑÔ Ö ÓÙ ÙÑ Ð ÙÑ ½ A B ÓÑ Ó Ó Ò Ñ ÖÓ Ó Ø Ó ÑÔ Ö Ò Ò ÙÑ Ð ÙÑ ½ µ P(A B) = 1/6 P(A B) = 23/36 P(A B) = 1/3 º º ÍÑ Ü ÓÒØ Ñ ¼ Ô Ö Ù Ó ÓÒ ½¼ ØÙÓ Ó º Ë Ù Ö Ñ ½¼ Ô Ö Ù Ó ÓÐ Ó Ð ØÓÖ Ñ ÒØ ÕÙ Ð ÔÖÓ Ð ÕÙ Ò Ò ÙÑ Ð ØÙÓ Ó ËÓÐÙÓ ¼º ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ º ½¼º Ù Ô Ó Ð Ò Ñ ØÖ ÑÓ ÙÑ º ÉÙ Ð ÔÖÓ Ð ÕÙ Ó Ø Ò Ñ Ó Ñ ÑÓ Ò Ñ ÖÓ Ö ËÓÐÙÓ»½ º ½½º ÍÑ ÐÓØ ÓÒ Ø ½¼ ÖØ Ó ÓÒ ÓÑ Ô ÕÙ ÒÓ ØÓ ¾ ÓÑ ØÓ Ö Ú º ÓÖÑ Ð Ø Ö ÓÐ ¹ ÔÖ Ñ ÖÓ ÙÑ ÖØ Ó ÔÓ ÓÙØÖÓ Ù Ö Ñ Ö ÓÐÓ Ö Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ÒÓ ÐÓØ Ô ÔÖ Ñ Ö ÓÐ µº Ø ÖÑ Ò ÔÖÓ Ð ÕÙ µ Ñ Ó Ó ÖØ Ó Ñ ÓÒ µ Ñ Ó Ó ÖØ Ó Ø Ò Ñ ØÓ Ö Ú µ Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ Ó ÖØ Ó ÓÑ µ ÒÓ Ñ Ü ÑÓ ÙÑ Ó ÖØ Ó ÓÑ µ Ü Ø Ñ ÒØ ÙÑ ÖØ Ó ÓÑ µ Ò Ò ÙÑ Ó ÖØ Ó Ø Ò ØÓ Ö Ú µ Ò Ò ÙÑ Ó ÖØ Ó ÓѺ ËÓÐÙÓ µ» µ ½»½¾¼ µ» µ» µ ½»¾ µ ½»½¾¼ µ ½» º ½¾º Ç Ó ÓÖ Ð Ò Ó Ò Ó Ø Ú Ö Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ ½º Ç Ó ÓÖ Ð Ò ÓÞ Ó Ò Ó Ø Ú Ö Ô ÐÓ Ñ ÒÓ Ó ½º ÉÙ Ð Ð Ø Ñ Ñ ÓÖ ÔÖÓ Ð Ò Ö ËÙ ØÓ ÐÙÐ ÔÖÓ Ð Ô Ö Ö ÙÑ Ó Ó ÓÖ º ËÓÐÙÓ Ç Ó ÓÖ P( Ò ) ÒÕÙ ÒØÓ ÕÙ P( Ò ) 0.619º ½ º ÈÖÓÚ ÕÙ Ñ ÔÖÓÚ Ú Ð Ó Ø Ö Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ ½ Ð Ò Ò Ó ÙÑ Ó ÕÙ ØÖÓ Ú Þ Ó ÕÙ Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ ÙÔÐÓ ½ Ð Ò Ò Ó Ó Ó Ú ÒØ ÕÙ ØÖÓ Ú Þ º Ø Ö ÙÐØ Ó ÓÒ Ó ÓÑÓ Ô Ö ÓÜÓ Å Ö º ËÓÐÙÓ P(Ó Ø Ö Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ ½ Ð Ò Ò Ó ÙÑ Ó Ú Þ ) P(Ó Ø Ö Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ ÙÔÐÓ ½ Ð Ò Ò Ó Ó Ó ¾ Ú Þ ) 0.491º ½ º ÌÖ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÙÑ Ñ Ò ÑÓ Ò Ó C 1 C 2 C 3 ØÓ ÓÐÓ Ó Ñ Ö ÒÙÑ Ð Ò Ö Ø µº ËÙÔ ÕÙ Ñ Ò ÑÓ ØÓ ÔÓ ØÓ ÙÑ ÓÖÑ Ð Ø Ö º Ë R Ó ÓÒØ Ñ ÒØÓ C 2 Ø Ö Ø C 1 S Ó ÓÒØ Ñ ÒØÓ C 3 Ø Ö Ø C 1 º Ç ÓÒØ Ñ ÒØÓ R S Ó Ò Ô Ò ÒØ ÈÓÖÕÙ ËÓÐÙÓ ÆÓ ÕÙ P(R S) = 1/3 P(R) = P(S) = 1/2 ÐÓ Ó P(R S) P(R)P(S)º

3 ¾ Ë Ö Ü Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ó Ò Ò Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø Í Áµ ½ º ÈÖÓÚ ÕÙ A B Ó ÓÒØ Ñ ÒØÓ Ò Ô Ò ÒØ ÒØÓ Ø Ñ Ñ Ó Ò Ô Ò ÒØ Ó ÓÒØ Ñ ÒØÓ A B Ó ÓÒØ Ñ ÒØÓ Ā B Ó ÓÒØ Ñ ÒØÓ Ā Bº ½ º ËÙÔ ÕÙ A B Ó Ó ÓÒØ Ñ ÒØÓ Ò Ô Ò ÒØ Ó Ó ÓÑ ÙÑ ÖØ ÜÔ Ö Ò¹ º Ë ÔÖÓ Ð ÕÙ A ÓÙ B ÓÓÖÖ Ñ Ù Ð ¼º ÒÕÙ ÒØÓ ÕÙ ÔÖÓ Ð ÕÙ A ÓÓÖÖ Ù Ð ¼º Ø ÖÑ Ò ÔÖÓ Ð ÕÙ B ÓÓÖÖ º ËÓÐÙÓ ½» º ½ º Ë Ñ A B Ó ÓÒØ Ñ ÒØÓ Ó Ó ÓÑ ÙÑ ÜÔ Ö Ò º ËÙÔ ÕÙ P(A) = 0.4 ÒÕÙ ÒØÓ ÕÙ P(A B) = 0.7º Ë P(B) = pº È Ö ÕÙ ÓÐ p µ A B Ö ÙÐØ Ñ ÙÒØÓ µ Ö ÙÐØ Ñ A B Ò Ô Ò ÒØ ËÓÐÙÓ µ p = 0.3 µ p = 0.5º ½ º Ç Ø Ù Ñ Ó ÖÐÓ Þ¹Ø ÕÙ Ø Ñ Ó ÖÑÓ ÒØ Ò Ó ÖÒ Ö Óº µ ÉÙ Ð ÔÖÓ Ð ÕÙ Ó ÖÐÓ Ñ Ú Ð Ó Ó ÕÙ Ó ÖÒ Ö Ó µ Ç ÖÐÓ ÓÒ ÕÙ Ð Ñ Ú Ð Ó Ó ÕÙ Ó ÒØ Ò Óº ÉÙ Ð ÓÖ ÔÖÓ Ð ÕÙ Ó ÖÐÓ Ñ Ú Ð Ó Ó ÕÙ Ó ÖÒ Ö Ó Á ÒÓÖ ÔÓ Ð Ú Ö Ñ ÖÑÓ Ñ Ó º ËÓÐÙÓ µ ½»¾ µ ¾» º ½ º ÍÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ð ØÖ Ò Ó ÓÒ Ø Ó Ù Ø Ñ A Bº Ô ÖØ Ö Ð ÙÑ ÜÔ Ö Ò ÔÖ Ú ¹ ÕÙ P( Ð A) = 0.20, P( Ð B) = 0.15, e P( Ð Ñ Ñ Ó A B) = ÐÙÐ ÔÖÓ Ð Ù ÒØ µ P( Ð A B Ð ÓÙ) µ P( Ð A)º ËÓÐÙÓ µ ¼º µ ¼º¼ º ¾¼º ÈÖÓÚ Ù ÒØ ÔÖÓÔÖ Ë P(A B) > P(A) ÒØÓ P(B A) > P(B)º ¾½º Î Ö ÕÙ Ó Ø ÓÖ Ñ ÑÙÐØ ÔÐ Ó P(A B) = P(A B)P(B) Ø Ð Ó Ô Ö Ó ÓÒØ Ñ ÒØÓ ÔÓ Ö Ò Ö Ð Þ Ó Ô Ö ØÖ ÓÒØ Ñ ÒØÓ Ù ÒØ ÓÖÑ P(A B C) = P(A B C)P(B C)P(C). ¾¾º ÆÙÑ Ó ÔÙ Ð Ó Ó ÓÖÒ A B Cº ÍÑ ÓÒ Ñ Ö ÒØ Ò Ó Ù ÒØ ¾¼± Ó Ð ØÓÖ ÓÑÔÖ Ó ÓÖÒ Ð A ½ ± ÓÑÔÖ Ó B ½ ± Ð Ó C ± ÓÑÔÖ A B ± Ð A C ± ÓÑÔÖ B C ¾± Ð A B Cº È Ö ÙÑ ÙÐØÓ ÓÐ Ó Ð ØÓÖ Ñ ÒØ ÐÙÐ ÔÖÓ Ð ÕÙ µ ÒÓ Ð Ò Ò ÙÑ Ó ÓÖÒ µ Ð Ô Ò ÙÑ Ó ÓÖÒ µ Ð Ô ÐÓ Ñ ÒÓ A B Ò Ó ÕÙ Ð Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ Ó ØÖ ÓÖÒ º ËÓÐÙÓ µ ½»¾¼ µ ½½» ¼ µ» º ¾ º Ë n Ó Ò Ñ ÖÓ Ú Þ ÕÙ Ò Ö Ó Ð Ò Ö ÙÑ Ó Ô Ö ÕÙ Ô Ö ÙÑ ½º Ë Ò Ó ÕÙ n Ô Ö ÕÙ Ð ÔÖÓ Ð ÕÙ n = 2 ÈÓ Ù Ö Ö Ð Ó r n = 1 1 r n=0 Ú Ð Ô Ö r < 1µ ÕÙ ÓÑ ÙÑ Ö ÓÑ ØÖ º Ì ÒØ ÑÓÒ ØÖ Ö Ø Ö Ð Ó ËÓÐÙÓ ½½» º

4 ¾ Ë Ö Ü Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ó Ò Ò Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø Í Áµ ¾ º Ä Ò Ñ¹ ØÖ Ó º Ë Ó Ø Ú Ö Ñ ØÖ Ò Ñ ÖÓ Ö ÒØ ÕÙ Ð ÔÖÓ Ð ÕÙ ÙÑ Ð ÙÑ ½ ËÓÐÙÓ ½»¾º ¾ º ÆÙÑ Ö Ô Ö Ù Ó Ñ ÕÙ Ò A B C ÔÖÓ ÙÞ Ñ Ö Ô Ø Ú Ñ ÒØ ¾ ± ± ¼± Ó ØÓØ Ðº Ù ÔÖÓ Ù Ö Ô Ø Ú ± ± ¾± Ó Ô Ö Ù Ó ØÙÓ Ó º ÓÐ ¹ ÓÖØ ÙÑ Ô Ö Ù Ó ÔÖÓ ÙÓ ÐÓ Ð Ú Ö ¹ ÕÙ Ð ØÙÓ Óº ÐÙÐ ÔÖÓ Ð ÕÙ Ô Ö Ù Ó Ø Ò Ó ÔÖÓ ÙÞ Ó Ô Ð µ Ñ ÕÙ Ò A µ Ñ ÕÙ Ò B µ Ñ ÕÙ Ò Cº ËÓÐÙÓ µ ¾» µ ¾» µ ½» º ¾ º ÍÑ ÒÕÙ Ö ØÓ Ø Ò Ó Ú Ð Ö Ó Ö Ù Ø Ó Ó Ø ÒØ Ó ÌÓÖØÓ Ò Ó ÕÙ ØÖ Ð Ñ Ò ÓÚ Ð ÒÓ ÕÙ Ö Ô Ø Ó ØÖ Ò ÔÓÖØ Ô Ð Ó Ô ÖÑ Ø Ù ÓÒÐÙ Ö ÕÙ ¾¼± Ø Ú Ñ Ò Ø ØÓ ÕÙ ¼± Ó ÕÙ ÜÓ Ó Ù Ú Ñ ÖÖÓ ÔÖ ÔÖ Ó Ô Ö ÐÓ Ö Ñ ÒØÖ Ù Ó Ù ÐÓ Ð ØÖ Ð Óº ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó Ú Ö ÓÙ¹ ÕÙ ¼± Ó Ø ÒØ Ó ÌÓÖØÓ Ò Ó ÕÙ ØÖ Ð Ñ Ò ÓÚ Ð Ù Ñ ÖÖÓ ÔÖ ÔÖ Ó Ô Ö ØÓº µ ÉÙ Ð ÔÖÓ Ð ÙÑ ÒÕÙ Ö Ó Ø Ö Ò Ø ØÓ Ò Ó ÕÙ Ù ÖÖÓ ÔÖ ÔÖ Ó µ ÉÙ Ð ÔÖÓ Ð ÙÑ ÒÕÙ Ö Ó ÒÓ Ù Ö ÖÖÓ ÔÖ ÔÖ Ó Ò Ó ÕÙ ÒÓ Ø Ò Ø ØÓ µ Ó Ù Ö ÖÖÓ ÔÖ ÔÖ Ó Ó ØÓ Ø Ö Ò Ø ØÓ Ó Ò Ô Ò ÒØ ÈÓÖÕÙ µ ÓÑÔÐ Ø Ù ÒØ Ø Ð ÔÖÓ Ð ÓÒ ÙÒØ ÖÙÞ Ò Ó Ò ÓÖÑ Ó Ó Ö Òµ Ø Ó Ó Ø ÒØ Ó ÌÓÖØÓ Ò Ó ÓÑ Ó Ù Ó ÖÖÓ ÔÖ ÔÖ Ó Ô ÐÓ Ñ ÑÓ º P X X Y Y X Ø Ö Ò Ø ØÓ Y Ù Ö ÖÖÓ ÔÖ ÔÖ Ó ËÓÐÙÓ µ ½» µ» µ ÆÓ P(X Y ) = 1/10 2/25 = P(X)P(Y ) P X X µ Y ½»½¼»½¼ Y ½»½¼ ½»¾ ¾ º ÓÒ Ö ÙÑ Ú Ö Ú Ð Ð Ø Ö x ÕÙ ÔÓ ÙÑ Ö Ó Ú ÐÓÖ {x 1,x 2,...,x N } ÓÑ ÔÖÓ ¹ Ð Ö Ô Ø Ú {P 1,P 2,...,P N }º Ç Ú ÐÓÖ Ô Ö Ó ÓÙ Ú ÐÓÖ Ñ Ó ÓÙ Ô Ö Ò µ x Ö ÔÖ ÒØ Ó ÔÓÖ x Ò Ó ÓÑÓ x N x i P i. i=1 Ú Ö Ò x Ö ÔÖ ÒØ ÔÓÖ σ 2 Ò ÓÑÓ σ 2 (x x ) 2. ÕÙ ÒØ σ Ò Ú Ó Ô ÖÓº ÈÖÓÚ ÕÙ Ú Ö Ò ÔÓ Ö ÐÙÐ ØÖ Ú ÜÔÖ Ó σ 2 = x 2 x 2. ÆÓØ Ø ÜÔÖ Ó ÑÙ ØÓ Ø Ð ÕÙ Ô ÖÑ Ø ÐÙÐ Ö Ú Ö Ò Ó Ú Ó Ô ÖÓµ ÙÑ ÓÖÑ Ø ÒØ Ñ ÑÔÐ Ó ÕÙ Ô ÖØ Ò Ó Ö Ø Ñ ÒØ Ù Ò Óº

5 ¾ Ë Ö Ü Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ó Ò Ò Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø Í Áµ ¾ º Ø Ñ Ø ÓÖÓÐ Ð Ñ Ó Ø ÔÓ Ù ÕÙ Ú Ú Ð ÓÖ Ó ÓÑ Ó Ö Ù Ò ÙÐÓ º Í ¹ ÙÑ Ð ÓÑ ½½ Ø ÓÖ ¼ ½ ¾ ººº ½¼ Ñ ÕÙ ¼ Ö ÔÖ ÒØ ÙÑ Ù Ô Ö Ø Ñ ÒØ Ð ÑÔÓ ½¼ Ö ÔÖ ÒØ ÙÑ Ù ØÓØ ÐÑ ÒØ Ó ÖØÓ Ó ÓÙØÖÓ Ú ÐÓÖ Ö ÔÖ ÒØ Ñ Ú Ö ÓÒ ÒØ ÖÑ º Ë x Ú Ö Ú Ð Ð Ø Ö ÕÙ ÔÓ Ø Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö ÙÑ Ó ½½ Ú ÐÓÖ ÒØ Ö ÓÖ Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÖ ÙÑ Ø Ó Ñ Ø ÓÖÓÐ Ô ÒÙÑ ÓÖ Ô Ó º ËÙÔ ÕÙ ØÖ Ù Ó ÔÖÓ Ð x P 0 = P 10 = 0.05 P 1 = P 2 = P 8 = P 9 = 0.15 P 3 = P 4 = P 5 = P 6 = P 7 = 0.06º Ø ÖÑ Ò Ó Ú ÐÓÖ Ô Ö Ó Ú Ö Ò Ó Ú Ó Ô ÖÓ Ó Ó Ú Ö Ú Ð xº ËÓÐÙÓ x = 5 σ 2 = 10.6 σ 3.26º ¾ º Ë ÔÖÓ Ð ÖØ Ö ÒÙÑ ÐÚÓ ½» Ó ØÙ Ó ½¼ Ô ÖÓ Ò Ô Ò ÒØ ÕÙ Ð ÔÖÓ Ð ÖØ Ö Ô ÐÓ Ñ ÒÓ Ù Ú Þ ËÓÐÙÓ ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ ¼º ¾ º ¼º Ë Ò Ó ÕÙ Ñ Ñ ½± Ò ÓØÓ ÐÙÐ ÔÖÓ Ð Ú Ö Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÕÙ ØÖÓ Ò ÓØÓ ÒØÖ ¾¼¼ Ô Ó º ËÓÐÙÓ ¼º½ ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ º ( ) N ½º ÓÒ Ö ÜÔÖ Ó Ö Ð P(n;N,p) = p n (1 p) N n N! = n n!(n n)! pn (1 p) N n Ó ØÖ Ù Ó ÒÓÑ Ð ÔÖÓ Ð º ÈÖÓÚ ÕÙ Ó Ú ÐÓÖ Ñ Ó n Ú Ñ Ó ÔÓÖ n = Np ÕÙ Ú Ö Ò n σ 2 = Np(1 p)º Ù ØÙ ÑÙ Ò ÓÒÚ Ò ÒØ Ú Ö Ú Ð Ô Ö Ö Ö Ú Ö Ó ÓÑ Ø Ö Ó ÒÚÓÐÚ Ó N ÒÓØ ÕÙ P(n;N,p) = 1 ÓÑ ØÓ ÔÖÓ Ð Ù Ð ½µº n=0 ¾º ÍÑ Ü ÓÒØ Ñ ÓÐ Ñ Ö Ð ÓÐ Ú ÖÑ Ð Ò Ù ÒØ ÕÙ ÒØ a ÓÐ Ñ Ö Ð v ÓÐ Ú ÖÑ Ð º Ç Ñ Ö Ó Ö Ø Ö Ü ÙÑ ÓÐ ÓÐ Ð ØÓÖ Ñ ÒØ ÚÓÐØ ÓÐÓ ¹Ð Ò Ü N Ú Þ Ù º µ ÉÙ Ð ÔÖÓ Ð p N (n) ÕÙ Ó Ò Ñ ÖÓ ÓÐ Ú ÖÑ Ð Ö Ø Ö Ü n 0 n N) ÓÑÓ Ò Ø ØÖ Ù Ó ÔÖÓ Ð N µ ÈÖÓÚ ÕÙ p N (n) = 1º Ù Ù ÜÔÖ Ó Ó Ò Ñ Ó Æ ÛØÓÒº n=0 µ ÐÙÐ Ó Ú ÐÓÖ Ô Ö Ó ÓÙ Ú ÐÓÖ Ñ Óµ Ú Ö Ú Ð n Ò Ó n º µ Ø ÖÑ Ò Ú Ö Ò σ 2 Ó Ú Ó Ô ÖÓ σ Ó Ó Ú Ö Ú Ð nº µ ËÙÔ ÕÙ a = 8 v = 2º Ç Ø Ñ Ú ÐÓÖ ÒÙÑ Ö Ó Ô Ö n Ô Ö σ ÒÓ Ó N = 5 N = 400º ( ) N v n a N n ( ) N ËÓÐÙÓ µ p N (n) = n (a + v) ÓÒ N! N = ØÖ Ù Ó ÒÓÑ Ð n n!(n n)! µ n = Nv a + v µ σ2 = Nva Nva (a + v) 2 σ = a + v µ È Ö N = 5 n = 1 σ 0.89 Ô Ö N = 400 n = 80 σ = 8º º ÆÙÑ ÖÙÔÓ ÒÓ ÓÑ Ò Ø ÑÙÐ Ö ÓÐ ÑÓ ÕÙ ØÖÓ Ò Ú ÙÓ Ó Óº ÉÙ Ð ÔÖÓ Ð ÓÐ ÖÑÓ µ ÙÑ ÓÑ Ñ ØÖ ÑÙÐ Ö µ Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ÙÑ ÓÑ Ñ µ Ñ ÓÑ Ò Ó ÕÙ ÑÙÐ Ö µ ÒÓ Ñ Ü ÑÓ ÙÑ ÓÑ Ñ ÔÖ ÒØ ÙÑ Ó Ø Ù Ö ÙÐØ Ó Ò ÓÖÑ Ö Ó ÖÖ ÙØ Ú Ðº ËÓÐÙÓ µ» µ ¾» µ» µ ½» º

6 ¾ Ë Ö Ü Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ó Ò Ò Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø Í Áµ º µ ÙÞ ÔÖÓÜ Ñ Ó ËØ ÖÐ Ò lnn! N lnn N Ù Ø ØÙ Ò Ó ÓÑ Ô ÐÓ ÒØ Ö Ð Ò ÜÔÖ Ó lnn! = N lnx x=1 N 1 lnxdx. Ç Ö¹ Ú Ó Ø ÔÖÓÜ Ñ Ó Ú Ó Ù ÒÓÑ Â Ñ ËØ ÖÐ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ó Ó ÕÙ Ú Ú Ù ÒØÖ ½ ¾ ½ ¼º µ ÓÑÔ Ö Ó Ú ÐÓÖ lnn! N lnn N Ô Ö N = 50 N = 100 N = 250 Ù Ò Ó ÕÙ ØÖÓ Ð Ö ÑÓ Ò Ø ÚÓ º ÐÙÐ Ó ÖÖÓ Ö Ð Ø ÚÓ Ó Ó ÔÖÓÜ Ñ Ó ËØ ÖÐ Ò Ñ Óº Ç ÕÙ ÕÙ ÓÒÐÙ µ Ø ÖÑ Ò Ô Ö ÕÙ Ú ÐÓÖ N Ó ÖÖÓ Ö Ð Ø ÚÓ ÒÚÓÐÚ Ó Ò ÔÖÓÜ Ñ Ó ËØ ÖÐ Ò Ñ ÒÓÖ ÕÙ º ½ ± º ¼º½ ± º 10 6 º ÆÓØ Î ÔÖ Ö ÙÑ ÓÑÔÙØ ÓÖ Ô Ö Ö ÓÐÚ Ö Ø Ð Ò ËÓÐÙÓ µ Ô Ö N = 50 ½ º ½ º ½º ± ÖÖÓµ Ô Ö N = 100 º ¼º ¼º ± ÖÖÓµ Ô Ö N = 250 ½½ ½½ ¼ ¼º ¾ ± ÖÖÓµ Ó ÖÚ ¹ ÕÙ Ó ÖÖÓ Ö Ð Ø ÚÓ Ú Ñ ÒÙ Ò Ó µ º N 90 º N 752 º N º º ÓÐÓ Ñ¹ ½¼¼ ÑÓ Ù ÒÙÑ Ø Ø ¹ Ø Ø Ö Ñ¹ ÑÓ Ô Ö Ó Óº º µ ÉÙ ÒØ ÓÒ ÙÖ Ö ÒØ Ö ¹ÙÒ Ó Ñ ÖÓ Ø Ó µ Ó ÔÓ Ú µ ÐÙÐ ÔÖÓ Ð ÒÓÒØÖ Ö Ü Ø Ñ ÒØ º ¼ Ö º Ö º ÙÒ Ó Úº ¼ Ö Úº ¼ Ö º ËÓÐÙÓ µ µ º º ± º º ± º º ± Úº ½º¼ ± Úº ¼º¼¼¾ ¾ ±º µ ÕÙ ÒØ Ñ Ò Ö Ò Ô Ò ÒØ ÔÓ Ñ Ö Ú ¾¼¼ ÑÓÐ ÙÐ Ñ Ò Ö ÕÙ Ñ Ø ÑÓÐ ÙÐ Ñ Ñ Ø ÙÑ Ü µ ÉÙ ÒØÓ Ñ ÖÓ Ø Ó Ü Ø Ñ Ô Ö ÙÑ ÓÒ ÙÖ Ó Ñ ÕÙ ½ ¼ ÑÓÐ ÙÐ ØÓ ÒÙÑ Ñ Ø Ü ¼ ØÓ Ò ÓÙØÖ Ñ Ø Þ Ó ÐÙÐÓ Ù Ñ Ò Ö Ö ÒØ ÓÑ Ù ÙÑ ÓÑÔÙØ ÓÖ Ô Ö Ó Ø Ö Ó Ú ÐÓÖ Ü ØÓµ Ù Ò Ó ÔÖÓÜ Ñ Ó ËØ ÖÐ Ò Ó Ü Ö Ó Ô Ö Ó Ø Ö ÙÑ Ø Ñ Ø Ú µº ÜÔÖ Ó Ø Ù Ö ÙÐØ Ó ÓÑ Ó Ð Ö ÑÓ Ò Ø ÚÓ º ËÓÐÙÓ µ Ü ØÓµ ËØ ÖÐ Ò µ µ Ü ØÓµ ËØ ÖÐ Ò µº ÆÓØ ÆÓ ÔÖ Ü ÑÓ Ü Ö Ó Ù Ó Ú ÐÓÖ k = Â»Ã Ô Ö ÓÒ Ø ÒØ ÓÐØÞÑ ÒÒº º ÍÑ Ø Ñ ÔÓØ Ø Ó ÓÒ Ø Ñ ØÖ Ô ÖØ ÙÐ º Ô ÖØ ÙÐ ÔÓ Ø Ö ÙÑ Ò Ö ¼ ½ ÓÙ ¾ ÙÒ º µ ÉÙ ÒØÓ Ñ ÖÓ Ø Ó Ø Ñ ÙÑ Ò Ö ØÓØ Ð Ù Ð ÙÒ ÂÙ Ø º µ Ç Ø Ñ Ó Ò Ñ ÖÓ Ñ ÖÓ Ø Ó Ó Ó Ñ ÖÓ Ø Ó Þ ÕÙ Ð Ó Ñ ÖÓ ¹ Ø Ó Ñ ÔÖÓÚ Ú Ð ÐÙÐ ÒØÖÓÔ Ø ÖÑÓ ÒÑ Ñ ÖÓ Ø Óº ËÓÐÙÓ µ Ó Ñ ÖÓ Ø Ó Áµ Å ÖÓ Ø Ó Ñ ÕÙ ÙÑ Ô ÖØ ÙÐ Ø Ñ Ò Ö ¼ ÙÑ Ô ÖØ ÙÐ Ø Ñ Ò Ö ½ ÙÑ Ô ÖØ ÙÐ Ø Ñ Ò Ö ¾ ÁÁµ Å ÖÓ Ø Ó Ñ ÕÙ ÙÑ Ô ÖØ ÙÐ Ø Ñ Ò Ö ½ µ Ç Ñ ÖÓ Ø Ó Á Ø Ñ Ñ ÖÓ Ø Ó Ó Ñ ÖÓ Ø Ó ÁÁ Ø Ñ ÙÑ Ñ ÖÓ Ø Ó ÐÓ Ó Ó Ñ ÖÓ Ø Ó Á Ú Þ Ñ ÔÖÓÚ Ú Ð ÕÙ Ó Ñ ÖÓ Ø Ó ÁÁ S I = k ln Ȉ S II = 0º º µ ÓÒ Ö ÙÑ Ø Ñ ÓÒ Ø ØÙ Ó ÔÓÖ Ù Ô ÖØ ÙÐ Ø Ò Ù Ú Ò A Bº ÙÑ Ô ÖØ ÙÐ ÔÓ Ø Ö ÙÑ Ò Ö ¼ ½ ¾ ººº ÙÒ º º ÉÙ ÒØÓ Ñ ÖÓ Ø Ó Ü Ø Ñ Ô Ö Ø Ø Ñ Ù Ò Ö ØÓØ Ð ÓÖ ÙÒ º ÐÙÐ ÒØÖÓÔ Ø ÖÑÓ ÒÑ Ó Ø Ñ º µ Ê Ô Ø Ð Ò ÒØ Ö ÓÖ Ô Ö ÙÑ Ø Ñ ÓÒ Ø ØÙ Ó ÔÓÖ ØÖ Ô ÖØ ÙÐ Ø Ò Ù Ú A B C Ù Ò Ö ØÓØ Ð ÙÒ º ËÓÐÙÓ µ º º Ȉ µ º ¾ º »ú

7 ¾ Ë Ö Ü Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ó Ò Ò Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø Í Áµ º Ù ÒØ Ø Ð Ö ÔÖ ÒØ ØÓ Ó Ó Ñ ÖÓ Ø Ó ÔÓ Ú ÕÙ ØÖÓ ÑÓÐ ÙÐ ÒÙÑ Ü ÕÙ Ó Ö ØÖ Ö Ñ ÒØ Ú Ñ Ù Ô ÖØ ÕÙ Ö µ Ö Ø µº ÑÓÐ ÙÐ ÓÖ Ñ Ò Ô Ð Ð ØÖ Ó ÔÓ Ú Ð Ø Ò Ù Ö ÓÒ ÙÖ Ö ÒØ Ò Á ÁÁ ÁÁÁ ÁΠε ÙÑ ÕÙ Ø Ñ ÙÑ ÑÙÐØ ÔÐ Mµ ÙÑ ÔÖÓ ¹ Ð Pµ Ó º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÓÒ ÙÖ Ó ÁÎ Ò ÐÓ ØÓ Ó Ó Ñ ÖÓ Ø Ó Ñ ÕÙ Ü Ø ½ ÑÓÐ ÙÐ Ò Ô ÖØ ÕÙ Ö Ü ÑÓÐ ÙÐ Ò Ô ÖØ Ö Ø Ù ÑÙÐØ ÔÐ Ù ÔÖÓ Ð 4/16 = 1/4º ÒØÖÓÔ Ø ÖÑÓ ÒÑ ÓÒ ÙÖ Ó ÔÓÖ S = k lnmº Ñ ÖÓ Ø Ó ÓÒ ÙÖ Ó ÑÙÐØ ÔÐ ÔÖÓ Ð ÒØÖÓÔ M P S »õ Á ½ ½»½ ¼ ÁÁ»½ ½º ½ ÁÁÁ»½ ¾º Áλ½ ½º ½ Î ½ ½»½ ¼ µ ÅÓ ØÖ ÕÙ Ó Ò Ñ ÖÓ ØÓØ Ð Ñ ÖÓ Ø Ó 2 N ÓÒ N Ó Ò Ñ ÖÓ ÑÓÐ ÙÐ º µ Î Ö ÕÙ ÑÙÐØ ÔÐ M ÙÑ ÓÒ ÙÖ Ó ÕÙ ÐÕÙ Ö ÔÓ Ö ÐÙÐ Ù Ò Ó ÜÔÖ Ó M = N! n E!n D!, ÓÒ n E Ó Ò Ñ ÖÓ ÑÓÐ ÙÐ ÕÙ ØÓ Ò Ô ÖØ ÕÙ Ö Ü n D Ó Ò Ñ ÖÓ ÑÓÐ ÙÐ ÕÙ ØÓ Ò Ô ÖØ Ö Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÓÒ ÙÖ Óº µ ÓÒ ØÖ ÙÑ Ø Ð Ñ Ð Ö Ø Ð ÓÖÒ Ñ Ô Ö ÑÓÐ ÙÐ Ñ Ú Þ º ¼º ÓÒ Ö ÙÑ Ö Ô ÒØ ÕÙ Ø Ú Ó Ñ Ù ÚÓÐÙÑ Ù º µ ÁÒ ÐÑ ÒØ N ÑÓÐ ÙÐ ÙÑ ØÓ ÒÙÑ Ó Ó ÓÙØÖÓ Ð Ó Ø Ú Þ Óº ÐÙÐ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ø Ó Ò Ðº µ ÔÓ Þ Ö ÙÑ ÙÖ Ó Ò Ô Ö Ú Ö Ó Ò ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ ØÓ Ó Ó Ö Ô ÒØ ÓÑ N/2 ÑÓÐ ÙÐ Ð Óº ÐÙÐ ÑÙÐØ ÔÐ Ó Ø Ó Ò Ðº µ ÅÓ ØÖ ÕÙ Ô Ö N Ö Ò Ú Ö Ó ÒØÖÓÔ Ø ÖÑÓ ÒÑ S = kn ln 2º ËÙ ØÓ Í ÔÖÓÜ Ñ Ó ËØ ÖÐ Ò Ó Ü Ö Ó º ËÓÐÙÓ µ ½ µ N! [(N/2)!] 2 º ½º ÍÑ Ö Ð Ó ÖØ ÓÒØ Ñ ¾ ÖØ Ö ÒØ º µ ÕÙ ÒØ Ñ Ò Ö Ø ÒØ ÔÓ Ñ Ö ÔÓ Ø ÖØ ÙÑ Ö Ð Ó µ ÉÙ Ð ÒØÖÓÔ Ø ÖÑÓ ÒÑ Ó Ö Ð Ó ÖØ ÔÓ Ö Ö Ð Ó µ ÉÙ Ð Ó ÖÖÓ Ô Ö ÒØÙ Ð ÕÙ ÓÑ Ø Ó ÐÙÐ Ö Ð Ò ÒØ Ö ÓÖ Ù Ò Ó ÔÖÓÜ Ñ Ó ËØ ÖÐ Ò ËÓÐÙÓ µ Ñ Ò Ö Ö ÒØ µ Ȉ µ ½º ±º

8 ¾ Ë Ö Ü Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ó Ò Ò Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø Í Áµ ¾º ÓÒ Ö ÙÑ Ô Ö ØÓ N ÑÓÐ ÙÐ Ñ ÕÙ Ð Ö Ó ÒÙÑ Ö Ô ÒØ ÚÓÐÙÑ V º ÐÙÐ µ ÔÖÓ Ð P 1 ÒÓÒØÖ Ö ØÓ ÑÓÐ ÙÐ ÓÒ ÒØÖ ÒÙÑ ÚÓÐÙÑ V/3 Ñ ÖÓ Ø Ó ½µ µ ÔÖÓ Ð P 2 ÒÓÒØÖ ¹Ð ØÓ ÒÙÑ ÚÓÐÙÑ 2V/3 Ñ ÖÓ Ø Ó ¾µ µ ÔÖÓ Ð P ÒÓÒØÖ Ö N/3 ÑÓÐ ÙÐ Ñ V/3 ÓÙØÖ ÒÓ ÚÓÐÙÑ Ö Ø ÒØ ÙÔ Ò ØÙÖ ÐÑ ÒØ ÕÙ N/3 ÙÑ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓµ µ Ö Ò ÒØÖÓÔ Ø ÖÑÓ ÒÑ S = S 2 S 1 ÒØÖ Ó Ñ ÖÓ Ø Ó ½ ¾ µ Ó Ú ÐÓÖ ÒÙÑ Ö Ó P 1 P 2 P Ô Ö N = 9º ( ) N ( ) N 1 2 ËÓÐÙÓ µ P 1 = µ P 2 = 3 3 ( ) ( ) N/3 ( ) 2N/3 N 1 2 N! 2 2N/3 µ P = = µ S = kn ln 2 N/3 3 3 (N/3)!(2N/3)! 3N µ P 1 = P 2 = P = 0.273º º ÍÑ Ü ÓÒØ Ñ N ÑÓÐ ÙÐ º ÓÒ Ö Ü Ú Ñ ØÖ Ô ÖØ Ù ÕÙ Ö ÒØÖ Ð Ö Ø º µ Ç Ø Ñ ÙÑ ÖÑÙÐ Ô Ö ÑÙÐØ ÔÐ M ÕÙ ÐÕÙ Ö ÓÒ ÙÖ Ó ÔÓÖ Ü Ñ¹ ÔÐÓ ÙÑ Ñ ÕÙ n 1 ÑÓÐ ÙÐ ØÓ Ò Ô ÖØ ÕÙ Ö Ü n 2 ÑÓÐ ÙÐ ØÓ Ò Ô ÖØ ÒØÖ Ð n 3 ÑÓÐ ÙÐ ØÓ Ò Ô ÖØ Ö Ø º Ù Î Ð Ò µ Ó Ü Ö Ó Ø Ò Ó Ö ÙÐØ Óº µ ÓÒ Ö Ù ÒØ ÓÒ ÙÖ µ Á Ù Ð Ò Ñ ÖÓ ÑÓÐ ÙÐ Ñ ÙÑ ØÖ Ô ÖØ Ü µ Á Ù Ð Ò Ñ ÖÓ ÑÓÐ ÙÐ Ñ Ñ Ø Ü º ÐÙÐ Ö ÞÓ M A /M B ÒØÖ ÑÙÐØ ÔÐ ÓÒ ÙÖ º µ Ç Ø Ñ ÙÑ Ú ÐÓÖ ÒÙÑ Ö Ó Ô Ö M A /M B ÒÓ Ó N = 90º ËÓÐÙÓ µ M = N! n 1!n 2!n 3! µ M A M B = [(N/2)!]2 [(N/3)!] 3 µ º º ÐÙÐ ÙÖÔÖ h Ó ÓÓÖÖ Ò Ó Ù ÒØ ÓÒØ Ñ ÒØÓ µ Ë Ö ÙÑ ÒÙÑ Ð Ò Ñ ÒØÓ ÙÑ Óº µ Ë Ö ÙÒ Ó ÒÓ Ð Ò Ñ ÒØÓ Ó Ö ÙÑ ÑÓ º µ Ê Ø Ö Ö Ñ ÓÔ ÙÑ Ö Ð Ó ¾ ÖØ º µ Ë Ö ÙÑ ÓÑÓ ØÖÙÒ Ó ÒÙÑ Ó Ó Ù ¼ ÖØ µº ÔÖ ÒØ Ó Ø Ù Ö ÙÐØ Ó Ñ Ø ÓÑ ØÖ Ð Ö ÑÓ Ò Ø ÚÓ º ËÓÐÙÓ µ h(6) = 2.58 Ø µ h(ùò Ó) = 1.00 Ø µ h( ÓÔ ) = 5.70 Ø µ h( ÓÑÓ ØÖÙÒ Ó) = 3.32 Ø º º Ø Ö ÔÖ Ô Ö ÙÑ ÜÔ Ö Ò Ó Ù ÕÙ ØÖÓ Ö ÙÐØ Ó ÔÓ Ú Ò Ö Ñ ÒØ Ö ÔÖ ÒØ Ó Ô Ð Ð ØÖ Ø Ñ Ù ÒØ ØÖ Ù Ó ÔÖÓ Ð ¼º¾ ¼º ¼º ¼º½ µ ÉÙ Ð Ó ÕÙ ØÖÓ ÓÒØ Ñ ÒØÓ Ð Ñ ÒØ Ö Ø Ñ ÙÑ Ñ ÓÖ ÙÖÔÖ ÉÙ ÒØÓ Ú Ð µ ÉÙ Ð Ò ÖØ Þ ÓÙ ÒÓÖÒ ÓÙ ÒØÖÓÔ µ H Ó Ø ÜÔ Ö Ò µ ÉÙ Ð Ö Ò ÖØ Þ Ó ÕÙ ØÖÓ ÓÒØ Ñ ÒØÓ Ð Ñ ÒØ Ö Ó Ñ ÕÙ ÔÖÓÚ Ú ÓÑÔ Ö Ó Ö ÙÐØ Ó ÓÑ Ó Ð Ò ÒØ Ö ÓÖ ÓÑ ÒØ º ÜÔÖ Ñ ÙÖÔÖ Ò ÖØ Þ Ñ Ø ÓÑ ØÖ Ð Ö ÑÓ Ò Ø ÚÓ º ËÓÐÙÓ µ ÓÒØ Ñ ÒØÓ h(d) = 3.32 Ø µ H ÜÔ = 1.85 Ø µ H ÕÙ = 2.00 Ø > H ÜÔ µº

9 ¾ Ë Ö Ü Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ó Ò Ò Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø Í Áµ º Ä Ò Ñ¹ Ó Ó ÙÑ Ù Ö Ó ÓÙØÖÓ Ö Ø Ñ¹ Ó Ò Ñ ÖÓ Ó ÖÚ Ó Ò Ù ÙÔ Ö ÓÖ º µ ÓÒ Ö Ó Ù ÒØ ÓÒØ Ñ ÒØÓ R = { ÓÑ Ó Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ø Ó Ù Ð } S = {Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ø Ó Ô Ö Ó ÙÒ Ó Ò Ñ ÖÓ Ñ ÐØ ÔÐÓ } ÕÙ Ð Ø Ó ÓÒØ Ñ ÒØÓ Ø Ó ÙÑ Ñ ÓÖ ÙÖÔÖ ÉÙ ÒØÓ Ú Ð Ñ Ø ÓÑ ØÖ Ð Ö ÑÓ Ò Ø ÚÓ µ ÓÒ ØÖ ØÖ Ù Ó ÔÖÓ Ð Ó Ó ÔÖÓ ÙØÓ P Ó Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ø Ó º ÐÙÐ Ò ÖØ Þ P Ñ Ø ÓÑ Ó Ð Ö ÑÓ Ò Ø ÚÓ º ËÓÐÙÓ µ Ó ÓÒØ Ñ ÒØÓ R ÕÙ h(r) = 2.85 Ø ÒÕÙ ÒØÓ ÕÙ h(s) = 2.58 Ø µ P(1) = P(9) = P(16) = P(25) = P(36) = 1/36 P(2) = P(3) = P(5) = P(8) = P(10) = P(15) = P(18) = P(20) = = P(24) = P(30) = 1/18 P(4) = 1/12 P(6) = P(12) = 1/9 H(P) = 4.0 Ø º º Ç Ö ÙÐØ Ó ÔÓ Ú ÙÑ ÜÔ Ö Ò Ò Ö Ñ ÒØ Ö ÔÖ ÒØ Ó Ô Ð Ð ØÖ Ø Ñ Ù ÒØ ØÖ Ù Ó ÔÖÓ Ð º ¼º½¼¼ ¼º¾¼¼ ¼º ¼¼ ¼º¾¼¼ a b µ Ë ¹ ÕÙ ÙÖÔÖ Ó Ó Ö ÙÐØ Ó ½º¾ Ú Þ ÙÔ Ö ÓÖ ÙÖÔÖ Ó Ó Ö ÙÐØ Ó º ÉÙ ÒØÓ Ú Ð a µ Ì Ò Ó Ñ ÓÒØ Ö ÔÓ Ø Ð Ò ÒØ Ö ÓÖ ÕÙ ÒØÓ Ú Ð b µ ÕÙ Ð Ø Ö ÙÐØ Ó Ø Ó ÙÑ Ñ ÒÓÖ ÙÖÔÖ ÉÙ ÒØÓ Ú Ð Ñ Ø µ ÉÙ Ð Ò ÖØ Þ ÓÙ ÒÓÖÒ ÓÙ ÒØÖÓÔ µ H Ó Ø ÜÔ Ö Ò Ñ Ø ËÓÐÙÓ µ a µ b µ Ê ÙÐØ Ó h(c) 1.74 Ø µ H 2.43 Ø º µ ÉÙ Ð ÒØÖÓÔ Ð Ò Ù ÔÓÖØÙ Ù ¾ Ð ØÖ µ ÙÔÓÒ Ó Ð ØÖ ÕÙ ÔÖÓÚ Ú Ð µ Æ Ö Ð Ð ØÖ ÒÓ Ó ÕÙ ÔÖÓÚ Ú º Ñ Ø Ò Ó ÕÙ Ð ØÖ ÓÓÖÖ Ñ ÓÑ ÔÖÓ Ð Ò Ò Ø Ð Ù ÒØ ÕÙ ÒØÓ Ú Ð ÒØÖÓÔ Ð ØÖ Ç Ì À Á Æ Ê Ë Ä Å È Í Â É Î ÔÖÓ Ð ¼º½½ ¼º¼ ¼º¼¾ ¼º¼½ ÜÔÖ Ñ Ó Ø Ù Ö ÙÐØ Ó Ñ Ø ÓÑ ØÖ Ð Ö ÑÓ Ò Ø ÚÓ º ËÓÐÙÓ µ º ¾ Ø µ º¼¼ Ø º º Ø Ð Ö ÕÙ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ø Ú ÒÓØ Ó Ø ÒÙÑ Ü Ñ ÔÓÖ ÙÑ ÖØÓ ÓÒ ÙÒØÓ ÐÙÒÓ Ó Ù ÒØ ÒÓØ Ö ÕÙ Ò ÒÓØ Ö ÕÙ Ò ÒÓØ Ö ÕÙ Ò ÒÓØ Ö ÕÙ Ò ½ ¾ ½½ ½¼ ½ ¼ ¾ ½¾ ½¾ ½ ¾ ¾ ½ ½ ¼ ½ ¾ ½ ¼ ½ ½¼ ½ ¼ ¾¼ ¼ µ Ç Ø Ñ ØÖ Ù Ó ÔÖÓ Ð Ó º µ ÐÙÐ Ñ Ø ÓÑ Ó Ð Ö ÑÓ Ò Ø ÚÓ ÙÖÔÖ Ó ÒÓØ ½ º µ ÐÙÐ Ñ Ø ÓÑ Ó Ð Ö ÑÓ Ò Ø ÚÓ ÒÓÖÒ H ÕÙ ÔÓ ÑÓ Ó Ö Ø ÓÒ ÙÒØÓ ÒÓØ º ËÓÐÙÓ µ h(17) = 5.0 Ø µ H = 3.6 Ø º

10 ¾ Ë Ö Ü Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ó Ò Ò Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø Í Áµ ½¼ ¼º Ó Ó Ó Ð Ò Ó Ó Ñ ÑÓ Ø ÑÔÓº µ ÉÙ Ð ØÖ Ù Ó ÔÖÓ Ð Ó ÓÑ Ó Ú ÐÓÖ Ó Ø Ó ÉÙ Ð ÒØÖÓÔ H + ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ µ ÉÙ Ð ØÖ Ù Ó ÔÖÓ Ð Ó Ó Ú ÐÓÖ ÓÐÙØÓ Ö Ò Ó Ú ÐÓÖ Ó Ø Ó ÉÙ Ð ÒØÖÓÔ H ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÐÙÐ ÒØÖÓÔ Ñ Ø ÓÑ ØÖ Ð Ö ÑÓ Ò Ø ÚÓ º ËÓÐÙÓ µ P(2) = P(12) = 1/36 P(3) = P(11) = 1/18 P(4) = P(10) = 1/12 P(5) = P(9) = 1/9 P(6) = P(8) = 5/36 P(7) = 1/6 H + = 3.27 Ø µ P(0) = P(3) = 1/6 P(1) = 5/18 P(2) = 2/9 P(4) = 1/9 P(5) = 1/18 H = 2.44 Ø º ½º ÍÑ ÑÓ Ð Ò Ø ÕÙ Ô Ö ÔÖ Ñ Ö Ö º Ë n Ó Ò Ñ ÖÓ Ð Ò Ñ ÒØÓ Ò Ö Óº Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ Ú Ö Ú Ð n ÒØÖÓÔ H Ñ Ø Ñ Ò Ø Ñ ÖØÐ Ý º ÜÔÖ Ó Ø Ù Ö ÙÐØ Ó ÓÑ Ó Ð Ö ÑÓ Ò Ø ÚÓ º ÈÓ Ù Ö Ö Ð Ó nr n r = Ú Ð Ô Ö r < 1º ÓÑÔ Ö Ø Ü Ö Ó ÓÑ Ó Ü Ö Ó ¾ Ø ÒØ (1 r) 2 n=0 ÑÓÒ ØÖ Ö Ø Ö Ð Ó Ø Ñ Ñ ¾º ËÓÐÙÓ 2.0 Ø 1.4 Ò Ø 0.60 ÖØÐ Ý º µ ÍÑ ÑÓ Ð Ò Ó Öº ÐÙÐ Ò ÓÖÑ Ó ÕÙ Ö Ó Ö Ó Ð Ó ÑÓ ÕÙ ÓÙ Ú Ö Ó Ô Ö ÜÓ ÕÙ Ò Ó ÕÙ Ð Ó Ó Ð Ó ÕÙ ÓÙ Ú Ö Ó Ô Ö Ñ º µ Ä Ò ¹ ÙÑ Óº Ø ÖÑ Ò Ò ÓÖÑ Ó ÕÙ Ö Ó Ö Ó Ó ÕÙ ÓÙ Ú Ö Ô Ö ÜÓ ÕÙ Ò Ó ÕÙ Ð Ó ÕÙ ÓÙ Ú Ö Ô Ö Ñ º µ Ä Ò ¹ ÙÑ Óº Ø ÖÑ Ò Ò ÓÖÑ Ó ÕÙ Ö Ó Ö Ó Ó ÕÙ ÓÙ Ú Ö Ô Ö Ñ ÕÙ Ò Ó Ú Ð Ø Ö Ð ÕÙ Ø Ú Ö Ô Ö Ø º ÜÔÖ Ö ÔÓ Ø Ñ Ø ÓÑ ØÖ Ð Ö ÑÓ Ò Ø ÚÓ º ËÓÐÙÓ µ ½º¼¼ Ø µ ¾º Ø µ ¼º غ º Ó ØÙ ÙÑ ÔÖÓÚ Ó Ö ÙÐØ Ó Ñ Ñ ÓÖ Ñ Ö ÔÖ ÒØ Ó ØÖ Ú ÙÑ Ø Ð Ö ÕÙ Ò ÒÓØ Ö ÕÙ Ò ÒÓØ Ö ÕÙ Ò ÒÓØ Ö ÕÙ Ò ÒÓØ Ö ÕÙ Ò ½ ¼ ¾ ½½ ½ ¾ ½ ¾ ½¾ ½¼ ½ ½¾ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ¼ ½¼ ½¾ ½ ¾¼ ¼ µ Ç Ø Ñ ØÖ Ù Ó ÔÖÓ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ø Ø Ð º µ ÉÙ ØÖ ÒÓØ ÕÙ Ñ ÙÖÔÖ Ò Ñ ÕÙ ØÖ ÕÙ Ñ ÒÓ ÙÖÔÖ Ò Ñ ÐÙÐ Ù ÙÖÔÖ Ö Ô Ø Ú º µ Ø ÖÑ Ò ÒØÖÓÔ H Ó Ø ÓÒ ÙÒØÓ Ó º µ ÔÖ ÒØ Ø Ð Ö ÕÙ Ò ÕÙ ÓÖÖ ÔÓÒ Ñ Ü Ñ ÒØÖÓÔ º ÉÙ Ð Ó Ú ÐÓÖ H Ñ Ü ÒØÖÓÔ Ñ Ü Ñ µ ÅÓ ØÖ ÙÑ Ø Ð Ö ÕÙ Ò Ô Ö ÕÙ Ð ÒØÖÓÔ Ñ Ò Ñ º µ ËÙÔÓÒ Ó ÕÙ ÒØ ÔÖÓÚ Ó ÔÖÓ ÓÖ ÒÓ Ø Ò ÕÙ ÐÕÙ Ö ÓÒ Ñ ÒØÓ Ó Ö ØÙÖÑ ÕÙ ÒØÓ Ú Ð Ò ÓÖÑ Ó I ÕÙ Ð Ó Ø Ú ØÖ Ú Ø ÔÖÓÚ ÜÔÖ Ñ ØÓ Ó Ó Ø Ù Ö ÙÐØ Ó Ñ Ø ÓÑ ØÖ Ð Ö ÑÓ Ò Ø ÚÓ º ËÓÐÙÓ µ ÒÓØ ½ ½ ¾¼ Ó ÕÙ Ñ ÙÖÔÖ Ò Ñ h(1) = h(19) = h(20) = ÒÓØ ½¼ Ó ÕÙ Ñ ÒÓ ÙÖÔÖ Ò Ñ h(8) = h(10) = 3.06 Ø h(9) = 2.74 Ø µ H = 3.72 Ø µ Ø Ð Ñ ÕÙ ØÓ ÒÓØ Ø Ñ Ñ Ñ Ö ÕÙ Ò µ H Ñ Ü = 4.32 Ø µ ÍÑ Ø Ð Ñ ÕÙ ØÓ ÒÓØ Ø Ú Ñ Ö ÕÙ Ò ¼ Ü ÔØÓ ÙÑ ÓÑ Ö ÕÙ Ò ½¼¼ µ I = غ

11 ¾ Ë Ö Ü Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ó Ò Ò Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø Í Áµ ½½ º ÓÒ Ö Ù ÑÓ ÙÑ ÒÓÖÑ Ð ÓÑ ÙÑ Ö ÒÙÑ Ó Ð Ó ÙÑ ÙÒ Ó ÒÓ ÓÙØÖÓ Ð Óµ ÓÙØÖ Ð ÓÑ Ö Ñ Ñ Ó Ó Ð Ó µº ÍÑ ÑÓ Ð ÓÒ Ð ØÓ¹ Ö Ñ ÒØ Ø Ö Ó Ö Ù Ú Þ Ö Ø ¹ Ó Ò Ñ ÖÓ Ö º µ ÐÙÐ Ñ Ø ÓÑ Ó Ð Ö ÑÓ Ò Ø ÚÓ Ò ÓÖÑ Ó ÕÙ ØÖ Ò Ñ Ø º Ö Ó Ø ÔÓ ÑÓ ÕÙ Ò Ó Ô Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ö Ø Ó º Ö Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ö Ø Ó ÕÙ Ò Ó Ô Ó Ø ÔÓ ÑÓ º µ Ç ÕÙ ÕÙ ÔÓ Ò ÙÞ Ö Ô ÖØ Ö Ó Ó Ö ÙÐØ Ó Ó Ø Ó ÆÓØ Ç Ö ÙÐØ Ó Ò ÙÞ Ó Ò Ð Ò µ Ô ÖÑ Ø ¹ÒÓ Ð Ö Ò ÓÖÑ Ó Ñ ØÙ º ËÓÐÙÓ µ º ¼º Ø º ¼º Ø µ ÁÒ ÙÞ¹ Ù ÒØ Ö Ð Ó I(X Y ) = I(Y X)º º Ä Ò ¹ ÙÑ Óº Ë Ò Ð Ô Ö Ö ½ ¾ ÓÙ ÙÑ ÑÓ Ø Ö Ó Ö ÙÑ Ú Þº Ë ÒÓ Ó Ô Ö Ö ÓÙ ÑÓ Ø Ö Ó Ö Ù Ú Þ º Ø ÖÑ Ò Ñ Ø ÓÑ ØÖ Ð Ö ÑÓ Ò Ø ÚÓ Ò ÓÖÑ Ó ØÖ Ò Ñ Ø Ö Ó Ò Ñ ÖÓ ÒÓ Ó ÕÙ Ò Ó Ô Ó Ò Ñ ÖÓ Ó ÖÚ Ó Ö º ËÓÐÙÓ ¼º½ Ø º º Ù ÓÑÔ Ò ÔÓÖØÙ Ù ÓÑÓÐ Á Ö ÓÐ Ó ØÙÑ Ñ Ù Ñ Ø Ö ÔÖÓÔÓ Ø ÔÖÓ ØÓ Ó Ö Ô Ø ÚÓ Ñ Ò Ø Ö Ó Ô Ö Ó Ø Ö ÙÑ Ù Óº ÉÙ Ò Ó ÓÑÓÐ Ù Ñ Ø ÙÑ ÔÖÓ ØÓ ÔÖÓ Ð ÓÒ Ù Ö Ó Ù Ó ¼º ÔÖÓ Ð Ð Ö Ù Ö Ó ÕÙ Ö Ö Ú ÔÖÓÔÓ Ø ¼º½¾ ÔÖÓ Ð Ò ÓÒ Ù Ö ¼º½¾ º ÉÙ ÒØÓ Á Ö ÓÐ Ñ ½¾º ± Ú Þ Ö Ù Ó Ñ ± Ú Þ Ø Ñ Ö Ö Ú Ö ÔÖÓÔÓ Ø Ñ ½¾º ± Ú Þ ÒÓ Ö Ñ ÑÓ Ò º Ö ÐÑ ÒØ Á Ö ÓÐ Ù Ñ Ø Ø Ú Þ Ñ ÔÖÓ ØÓ ÕÙ ÓÑÓÐ ÕÙ ÐÕÙ Ö ÔÖÓÔÓ Ø Ö Ö Ø ÓÒ Ö ÙÑ ÒÓÚ ÔÖÓÔÓ Ø º ÐÙÐ Ñ Ø ÓÑ ÕÙ ØÖÓ Ð Ö ÑÓ Ò Ø ÚÓ ÕÙ ÒØ Ò ÓÖÑ Ó ÕÙ Ò Ö ÒØ Ó ÔÖÓÔÓÒ ÒØ ÕÙ Ò Ó µ ÒÓ Þ Ñ ÕÙ Ó ÓÒ Ó ÙÑ Ù Ó µ ÒÓ Þ Ñ ÕÙ ÔÖÓÔÓ Ø Ú Ö Ö Ö Ø µ ÒÓ Þ Ñ ÕÙ Ó Ù Ó Ó Ö Ù Ó µ ÒÓ Þ Ñ ÕÙ Ð Ó Ö ÔÓ Ø Ó Ñ Ò Ø Ö Óº ËÓÐÙÓ µ ¼º ¾¾ Ø µ ¼º ¾ Ø µ ¼ µ ¼º½ غ º ÆÙÑ ÔÓÔÙÐ Ó Ñ Ò Ò ÕÙ ÓÒ Ø Ñ ½» ÐÓ Ö ½»¾ ÑÓÖ Ò ½» ÖÙ Ú ÐÓ Ö Ñ ÑÔÖ ÓÖ Ó Ù ÓÑÔÖÓÑ Ó ÖÙ Ú Ñ ÑÔÖ ØÖ ÑÓÖ Ò Ð Ò ÑÔÖ ÙÑ ÑÓ Ó Ö Ô Ö Ö ¹ Ö ØÖ ÓÙ ÒÓº Ë X Ú Ö Ú Ð ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ó Ø ÔÓ ÑÙÐ Ö ÐÓ Ö ÑÓÖ Ò ÓÙ ÖÙ Ú µ Y Ú Ö Ú Ð ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ó ØÓ Ð Ö ÓÙ ÒÓ ØÖ ÙÑ ÓÑÔÖÓÑ Óº µ Ê ÔÖ ÒØ Ó Ö Ñ Ó Ò Ð X Y ÒÐÙ Ò Ó ÔÖÓ Ð ÒØÖ º µ Ø ÖÑ Ò ÒÓÖÒ Ó Ú Ö Ú X Y º µ Ô ÖØ Ö Ø Ð ÔÖÓ Ð ÓÒ ÙÒØ ÐÙÐ ÒØÖÓÔ Ú Ö Ú Ð ÓÒ ÙÒØ (X,Y )º µ ÉÙ Ð Ó Ú ÐÓÖ Ò ÓÖÑ Ó ÕÙ Ö Ö Ó Ø ÔÓ ÙÑ ÑÙÐ Ö ÕÙ Ò Ó Ø Þ Ñ ÓÙ ÓÙ ÒÓ ØÖ ÙÑ ÓÑÔÖÓÑ Ó ÔÖ ÒØ Ó Ø Ù Ö ÙÐØ Ó Ð Ò µ µ Ñ Ø º ËÓÐÙÓ µ µ H(X,Y ) = 2 Ø µ 1 2 غ µ H(X) = 3 2 Ø H(Y ) = 1 Ø

12 ¾ Ë Ö Ü Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ó Ò Ò Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø Í Áµ ½¾ º ÆÙÑ ÖØ ÙÒ Ú Ö Ü Ø Ñ Ù Ñ Ò Ö ÙÑ ØÙ ÒØ Ò Ö Ú Ö ÙÑ ¹ ÔÐ Ò Ö Ø Ñ ÒØ ÒÓ Ë ÖÚ Ó Ñ Ó ÔÓ Ð ½µ ÓÙ ØÖ Ú ÁÒØ ÖÒ Ø ÔÓ ¹ Ð ¾µº ÔÐ Ò Ú Ö Ò Ö Ø Ò Ú Ù ÐÑ ÒØ º Î Ö ¹ ÕÙ ¼± Ò Ö Ó ÓÒ¹Ð Ò º Ç ÒÓ Ô Ó Ó ÔÖÓ Ó Ò Ö Ö Ú ÐÓÙ¹ ÙÑ ÙØ ÒØ Ó Ô ÐÓº ÈÖ Ñ ÖÓ ÙÑ Ü ÓÑ ÑÔÖ Ó Ò Ö Ó ÔÖ Ò Ó Ô Ö Ù Ó Ë ÖÚ Ó Ñ Ó Þ Ò Ó ÓÑ ÕÙ ± Ò Ö Ö Ø ÒÓ ÓÒÖ Ø Þ Ñº ÔÓ Ú Ó ÙÑ ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÓÖÑ Ø Ó ½ ± Ò Ö ÓÒ¹Ð Ò ÓÖ Ñ Ô º ÓÑÓ Ö ÙÐØ Ó Ò Ñ ØÓ Ò Ö ÓÖ Ñ Ñ Ù º Ç ÂÓÓ Ò Ö Ú Ù¹ Ö Ø Ñ ÒØ Ð ÙÑ ÔÐ Ò ÓÒ¹Ð Ò ÓÙØÖ ÒÓ Ð Ñ Ö ÕÙ Ð Ó Ø ÔÓ Ò Ö Ó ÕÙ ÓÐ Ù Ô Ö ÔÐ Ò º Ë T Ú Ö Ú Ð ÕÙ Ö Ú Ó Ø ÔÓ Ò Ö Ó ½ ÓÙ ¾µ V Ú Ö Ú Ð ÕÙ Ö Ú Ó Ù Ó Sµ ÓÙ Ö Ó F µ Ò Ö Óº µ Ð ÓÖ Ó Ö Ñ ÔÖÓ Ð ÕÙ Ö Ð ÓÒ Ú Ö Ú T V Ò Ð T V µº ÁÒÐÙ Ò Ð ÔÖÓ Ð ÒØÖ º µ Ø ÖÑ Ò ÒØÖÓÔ Ú Ö Ú T V º µ ÉÙ Ð Ò ÓÖÑ Ó ÕÙ Ó ÂÓÓ Ö Ö Ó Ù Ø ÔÓ Ò Ö Ó ÐÙÐÓ ÕÙ Ò Ó Ð Þ Ñ ÕÙ Ø Ø Ú Ñ ÒØ Ò Ö ØÓ ÔÐ Ò µ Ñ ÕÙ ÒØÓ Ñ ÒÙ Ö ÒÓÖÒ Ó ÂÓÓ Ö Ó Ù Ó ÓÙ Ö Ó Ù Ò Ö Ó Ð Ñ Ö ÓÑÓ Þ Ö ÔÓ Ø Ð Ò µ µ µ Ñ Ø ÓÑ ØÖ Ð Ö ÑÓ Ò Ø ÚÓ º ËÓÐÙÓ µ µ H(T) = Ø H(V ) = Ø µ Ø µ غ º ÆÙÑ ÓÒ Ñ ØÙ ÒØÖ ÐÙÒÓ ÙÒ Ú Ö Ø Ö Ó Ó ÜÓ Ñ ÙÐ ÒÓ ÔÙÖÓÙ¹ ÕÙ ¼± Ö Ñ Ó Ò ¼± Ö Ñ Ó ËÔÓÖØ Ò ½ ± Ö Ñ Ó ÈÓÖØÓ Ó Ö Ø ÒØ Ö Ñ ÔØÓ ÓÙØÖÓ ÐÙ ÓÙ ÒÓ Ø Ò Ñ ÔÖ Ö Ò ÐÙ Ø º Î Ö ÓÙ¹ Ò ÕÙ ÒØÖ Ó ÔØÓ Ó Ò ÙÑ ÕÙ ÖØ Ô ÖØ Þ Ñ¹ Ñ Ù Ó ÒØÖ Ó Ô Ð Ó Ñ Ò ÒÓ Ó Ñ ÑÓ ÓÒØ Ò Ó ÓÑ Ñ Ø Ó ÔØÓ Ó ËÔÓÖØ Ò ÓÑ ØÓ Ó Ó ÔØÓ Ó ÈÓÖØÓ ÓÑ ± Ó Ö Ø ÒØ º µ Ð ÓÖ Ó Ö Ñ ÔÖÓ Ð ÕÙ Ö Ð ÓÒ Ú Ö Ú X ÔÖ Ö Ò ÐÙ ¹ Ø µ Y Ù Ó ÒØÖ Ó Ô Ð Ó Ñ Ò ÒÓµº ÓÖÒ ÔÖÓ Ð ÒØÖ º µ ÐÙÐ ÒØÖÓÔ Ú Ö Ú X Y º µ ÓÒ ØÖ Ø Ð ÔÖÓ Ð ÓÒ ÙÒØ Ø ÖÑ Ò ÒÓÖÒ Ó Ú Ö Ú Ð (X,Y )º µ ÉÙ Ð Ò ÓÖÑ Ó ÕÙ Ö Ö ÔÖ Ö Ò ÐÙ Ø ÙÑ ÐÙÒÓ ÕÙ Ò Ó Ð ÓÙ ÒÓ Ñ Ù Ó ÒØÖ Ó Ô Ð Ó Ñ Ò ÒÓ Ó Ö ÙÐØ Ó Ð Ò µ µ Ñ Ø ÓÑ ØÖ Ð Ö ÑÓ Ò Ø ÚÓ º ËÓÐÙÓ µ µ H(X) = 1.58 Ø H(Y ) = Ø µ H(X,Y ) = 2.30 Ø µ ¼º¾ غ

13 ¾ Ë Ö Ü Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ó Ò Ò Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø Í Áµ ½ ¼º ÆÙÑ ÒÕÙ Ö ØÓ Ö Ð ÓÒ Ó ÓÑ Ó Ñ Ö ÒØ Ö Ö Ò Ó Ó Ö Ó ÓÖØÓ Ó Ô ÖØ Ö Ó Ó ÆÇ Ó ¹Ð Ô Ó ÕÙ ÓÐ Ñ ÒØÖ Ù ÒØ ÕÙ ØÖÓ ÓÔ ÕÙ Ð ÕÙ Ñ Ð ÓÖ Ö ÔÖ ÒØ Ú Ö ÞÓ ÔÖ Ò Ô Ð Ó Ù ÚÓØÓ º Ç Ö ØÓ Ú ÙÑ ÔÖ Ò Ô Ó ÙÒ Ñ ÒØ Ðº º ÉÙ ÐÕÙ Ö ÑÙÐ Ö ÕÙ ÓÖØ ØÓ ÙÑ Ö Ñ ÒÓ º º Ç ÓÑ Ø Ó ÓÖØÓ ÒÓ ÓÒ Ù Ô Ò Ð Þ Ò Ó¹Ó ÒØ Ô ÐÓ ÓÒØÖ Ö Óº º ÎÓØ Ö ËÁÅ Ö Ð Ö Ó ÓÚ ÖÒÓ Ù Ö ÔÓÒ Ð Ò Ø Ñ Ø Ö º Ê ÔÓÒ Ö Ñ Ó ÒÕÙ Ö ØÓ ¼ ÑÙÐ Ö ¾¼ ÓÑ Ò º Ó Ö ÙÐØ Ó ½¾ ÑÙÐ Ö ¾½ ÓÑ Ò ÓÐ Ö Ñ A ÑÙÐ Ö ¾ ÓÑ Ò ÓÐ Ö Ñ B ¾ ÑÙÐ Ö ¾ ÓÑ Ò ÓÐ Ö Ñ C ½ ÑÙÐ Ö ½ ÓÑ Ò ÓÐ Ö Ñ Dº µ Ð ÓÖ Ó Ö Ñ ÔÖÓ Ð ÕÙ Ö Ð ÓÒ Ú Ö Ú Ð S ÜÓ Ô Ó Ò¹ ÕÙ Ö ÑÙÐ Ö ÓÙ ÓÑ Ñµ ÓÑ Ú Ö Ú Ð R ÓÔÓ ÓÐ A B C ÓÙ Dµº ÁÒ ÔÖÓ Ð ÒØÖ º µ Ø ÖÑ Ò ÒÓÖÒ Ó Ú Ö Ú S Rº µ Ô ÖØ Ö Ø Ð ÔÖÓ Ð ÓÒ ÙÒØ ÐÙÐ ÒØÖÓÔ Ú Ö Ú Ð ÓÒ ÙÒØ (S, R)º µ ÉÙ Ð Ó Ú ÐÓÖ Ò ÓÖÑ Ó ÕÙ Ó Ø Ò Ö Ó ÜÓ ÙÑ Ô Ó ÒÕÙ Ö ÕÙ Ò Ó ÓÔÓ ÕÙ Ð ÓÐ Ù ÔÖ ÒØ Ó Ø Ù Ö ÙÐØ Ó Ð Ò µ µ Ñ Ø ÓÑ ÔÖ Ó Ø Ø Ö Ö Ñ Ðº ËÓÐÙÓ µ µ H(S) = Ø H(R) = Ø µ H(S,R) = Ø µ غ ½º Ù Ö Ø Ö ÔÖ ÒØ Ó Ó Ö Ñ ÔÖÓ Ð ØÖ Ò Ó ÕÙ Ö Ð ÓÒ ØÖ Ú Ö Ú Ð Ø Ö U V W º Ç Ú ÐÓÖ ÔÓ Ú U Ó ÕÙ ÔÖÓÚ Ú º µ Í Ó Ñ ØÓ Ó Ñ ØÖ Ð Ô Ö ÓÒ ØÖÙ Ö Ó Ö Ñ ÔÖÓ Ð ÕÙ Ö Ð ÓÒ ¹ Ö Ø Ñ ÒØ Ú Ö Ú U W Ò Ð U W µº µ ÕÙ Ð Ó Ö ÙÐØ Ó W 1 W 2 W 3 W 4 µ Ú Ö Ú Ð W Ó ÑÓ ÙÑ Ñ ÓÖ ÙÖÔÖ ÉÙ Ò Ó Ú Ð Ñ Ø ÓÑ ØÖ Ð Ö ÑÓ Ò Ø ÚÓ µ Ø ÖÑ Ò Ò ÖØ Þ ÓÒ ÓÒ Ð H(W U = U 1 ) Ñ Ø ÓÑ ØÖ Ð Ö ÑÓ Ò ¹ Ø ÚÓ º ËÓÐÙÓ µ µ Î Ö Ú Ð W 4 h(w 4 ) = 2.58 Ø µ ½º غ

14 ¾ Ë Ö Ü Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ó Ò Ò Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø Í Áµ ½ ¾º ÓÒ Ö Ó Ù ÒØ Ö Ñ ÖÚÓÖ Ñ ÕÙ X Y Z Ó ØÖ Ú Ö Ú Ð Ø Ö P(X = 0) = 1/4º µ Ø ÖÑ Ò ÒØÖÓÔ H(Y ) Y º µ Ø ÖÑ Ò ÒØÖÓÔ H(Z) Zº µ ÐÙÐ Ò ÓÖÑ Ó Ñ ØÙ I(X,Y )º µ ÐÙÐ Ò ÓÖÑ Ó Ñ ØÙ I(X,Z)º µ Ó ÖÚ Ó Ó Ú ÐÓÖ Z Ö ÙÞ Ò ÖØ Þ ÕÙ Ø Ñ Ö Ó Ú ÐÓÖ Y º ÉÙ ÒØÓ Ú Ð Ö ÙÓ ÓÖÒ ØÓ Ó Ó Ø Ù Ö ÙÐØ Ó Ñ Ø ÓÑ ØÖ Ð Ö ÑÓ Ò Ø ÚÓ º ËÓÐÙÓ µ ½º Ø µ ¼º ½¾ Ø µ ¼º Ø µ ¼º¼ Ø µ ¼º¾ غ º ÓÒ Ö Ó Ù ÒØ Ö Ñ ÖÚÓÖ Ñ ÕÙ W X Y Z Ó Ú Ö Ú Ð Ø Ö P(W = w 1 ) = 0.4º µ Ø ÖÑ Ò ÒØÖÓÔ ÓÒ ÓÒ Ð H(X W) Ñ Ø º µ Ö Ú Ñ ØÖ Þ M WX ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ó Ò Ð W Xµ M XY ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ó Ò Ð X Y µ M Y Z ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ó Ò Ð Y Zµº µ Í Ó Ñ ØÓ Ó Ñ ØÖ Ð Ô Ö Ö ÙÞ Ö Ó Ö Ñ ÖÚÓÖ ÑÓ ØÖ Ó ÙÑ Ö Ñ ÕÙ ÒÐÙ Ô Ò Ú Ö Ú W Z Ö Ô Ø Ú ÔÖÓ Ð ØÖ Ò Óº µ ÔÖÓÚ Ø Ó Ö Ñ Ó Ø Ó Ò Ð Ò ÒØ Ö ÓÖ Ô Ö ÐÙÐ Ö Ò ÓÖÑ Ó Ñ ØÙ I(W,Z) Ñ Ø º ØÓ ØÙ Ö ÔÓ Ø ÓÑ ØÖ Ð Ö ÑÓ Ò Ø ÚÓ º ËÓÐÙÓ µ ½º¾ Ø µ M WX = M XY = M Y Z = ( ) µ µ ¼º¼¼¼ ½¾ غ

15 ¾ Ë Ö Ü Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ó Ò Ò Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø Í Áµ ½ º Ù Ö Ø Ö ÔÖ ÒØ Ó Ó Ö Ñ ÔÖÓ Ð ØÖ Ò Ó ÕÙ Ö Ð ÓÒ ÕÙ ØÖÓ Ú Ö Ú Ð Ø Ö A B C Dº Ë ¹ ÕÙ P(A = A 1 ) = 0.4º µ Í Ó Ñ ØÓ Ó Ñ ØÖ Ð Ô Ö ÓÒ ØÖÙ Ö Ó Ö Ñ ÔÖÓ Ð ÕÙ Ö Ð ÓÒ ¹ Ö Ø Ñ ÒØ Ú Ö Ú A D Ò Ð A Dµº µ ÕÙ Ð Ó Ö ÙÐØ Ó D 1 D 2 D 3 µ Ú Ö Ú Ð D Ø Ó ÙÑ Ñ ÓÖ ÙÖÔÖ ÉÙ Ò Ó Ú Ð Ñ Ø ÓÑ ØÖ Ð Ö ÑÓ Ò Ø ÚÓ µ Ø ÖÑ Ò Ò ÖØ Þ ÓÒ ÓÒ Ð H(D A) Ñ Ø ÓÑ Ó Ð Ö ÑÓ Ò Ø ÚÓ º ËÓÐÙÓ µ µ Î Ö Ú Ð D 2 h(d 2 ) = 3.34 Ø µ ½º½ غ º Æ ÙÖ Ø Ö ÔÖ ÒØ Ó ÙÑ Ò Ð W Xº Ë ¹ ÕÙ P(W = w 1 ) = 0.6º µ Ø ÖÑ Ò ÒØÖÓÔ ÓÒ ÓÒ Ð H(X W) Ñ Ø ÓÑ ØÖ Ð Ö ÑÓ Ò Ø ÚÓ º µ Ó ÖÚ Ó Ú Ö Ú Ð X Ô ÖÑ Ø Ö ÙÞ Ö Ò ÖØ Þ ÕÙ Ø Ñ Ó Ö Ú Ö Ú Ð W º Ç Ø Ñ Ö ÙÓ Ò ÖØ Þ Ñ Ø ÓÑ ØÖ Ð Ö ÑÓ Ò Ø ÚÓ µº µ Ç Ò Ð ÒØ Ö ÓÖ ÓÐÓ Ó Ñ Ö ÓÑ ÓÙØÖÓ Ó Ò X Y Y Z ÓÑÓ ÑÓ ØÖ Ò ÙÖ Ó Ð Óº Ç Ø Ñ Ó Ö Ñ Ó Ò Ð ÕÙ Ú Ð ÒØ W Z Ù Ñ ØÖ Þ ØÖ Ò Ó M WZ º ËÓÐÙÓ µ ¼º Ø µ ¼º ½ Ø µ M WZ = ( )

16 ¾ Ë Ö Ü Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ó Ò Ò Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø Í Áµ ½ º ÓÒ Ö Ó Ù ÒØ Ö Ñ ÖÚÓÖ ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ ÙÑ Ò Ð X Y Ç Ð Ñ ÒØÓ X Ó ÕÙ ÔÖÓÚ Ú º ÓÒ Ö Ø Ñ Ñ ÙÑ ÓÙØÖÓ Ò Ð Y Z ÓÑ Z = 0,1,2,3 Ù Ñ ØÖ Þ ØÖ Ò Ó M Y Z = µ ÐÙÐ ÒØÖÓÔ ÓÒ ÓÒ Ð H(Y X)º µ Ó ÓÒ ÖÑÓ Z Ö ÙÞ ÑÓ Ò ÖØ Þ ÕÙ Ø ÑÓ Ó Ö Xº ÉÙ ÒØ Ö ÙÓ Ò ÖØ Þ º ÜÔÖ Ó Ö ÙÐØ Ó Ñ Ø ÓÑ ØÖ Ð Ö ÑÓ Ò Ø ÚÓ º ËÓÐÙÓ µ ¼º Ø µ ¼º¼ ¾ غ º ÆÓ Ø Ò ÙÑ ÑÔ Ø ÓÒ Ø ÒÙÑ Ö ØÖ Ó Ó ÕÙ Ø ÖÑ Ò ÐÓ Ó ÕÙ ÙÑ Ó Ó ÓÖ Ú Ò Ó Ó Ó º Ë X Ú Ö Ú Ð Ð Ø Ö ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ó Ö ÙÐØ Ó ÙÑ ÑÔ Ø ÒØÖ Ó Ó ÓÖ A B Ü ÑÔÐÓ Ú ÐÓÖ ÔÓ Ú X Ó AA BABº Ë Y Ó Ò Ñ ÖÓ Ó Ó Ø Ú Ñ ÒØ Ó Ó ÕÙ ÔÓ Ö ¾ ÓÙ º ËÙÔ ÕÙ A B Ó Ó ÓÖ Ó Ñ ÑÓ Ò Ú Ð ÕÙ Ó Ó Ó Ó Ò Ô Ò ÒØ º µ ÐÙÐ ÒØÖÓÔ H(X) H(Y )º µ ÐÙÐ ÒØÖÓÔ ÓÒ ÓÒ H(Y X) H(X Y )º µ Ë Z Ó Ó ÓÖ Ú Ò ÓÖº Ø ÖÑ Ò H(X Z) ÓÑÔ Ö ÓÑ H(X)º Ø ÖÑ Ò Ø Ñ Ñ H(Z X)º µ ÐÙÐ Ò ÓÖÑ Ó Ñ ØÙ I(Y,Z)º ØÙ Ö ÔÓ Ø Ñ Ø ÓÑ Ó Ð Ö ÑÓ Ò Ø ÚÓ ÒØ ÖÔÖ Ø Ó Ö ÙÐØ Ó º ËÓÐÙÓ µ H(X) = 2.5 Ø H(Y ) = 1.0 Ø µ H(Y X) = 0 Ø H(X Y ) = 1.0 Ø µ H(X Z) = 1.5 Ø < H(X) H(Z X) = 0 Ø µ I(Y,Z) = 0 غ º Ø Ð ÑÓ ØÖ ØÖ Ù Ó ÔÖÓ Ð ÓÒ ÙÒØ Ù Ú Ö Ú Ð Ø Ö X Y P(X,Y ) Y = 0 Y = 1 X = 0 ½» ½» X = 1 ¼ ½» µ Ç Ø Ñ ØÖ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ò P(X) P(Y )º µ ÐÙÐ P(X = 0 Y = 0) P(X = 1 Y = 1) P(Y = 0 X = 1)º µ ÐÙÐ ÒØÖÓÔ H(X) H(Y ) Ñ Ø º µ Ø ÖÑ Ò ÒØÖÓÔ ÓÒ ÓÒ H(X Y ) H(Y X) Ñ Ø º Î Ö Ö Ð Ó H(X) H(X Y ) = H(Y ) H(Y X)º µ ÐÙÐ ÒØÖÓÔ ÓÒ ÙÒØ H(X,Y ) Ñ Ø º µ Ç Ø Ñ Ñ Ø Ò ÓÖÑ Ó Ö Ú Ö Ú Ð X ÕÙ ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ Ô ÐÓ ÓÒ ¹ Ñ ÒØÓ Ó Ú ÐÓÖ Ú Ö Ú Ð Y º Ê Ð ÓÒ Ø Ö ÙÐØ Ó ÓÑ Ù Ð Ú Ö Ò Ð Ò µº ØÙ Ö ÔÓ Ø ÓÑ ØÖ Ð Ö ÑÓ Ò Ø ÚÓ º ËÓÐÙÓ µ P(X = 0) = P(X = 1) = P(Y = 0) = P(Y = 1) = µ P(X = 0 Y = 0) = 1.00 P(X = 1 Y = 1) = P(Y = 0 X = 1) = 0 µ ¼º ½ Ø Ñ µ µ ¼º Ø Ñ µ µ ½º Ø µ ¼º¾ ¾ غ

17 ¾ Ë Ö Ü Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ó Ò Ò Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø Í Áµ ½ º Ø Ð ÑÓ ØÖ ØÖ Ù Ó ÔÖÓ Ð ÓÒ ÙÒØ Ù Ú Ö Ú Ð Ø Ö X Y P(X,Y ) X = 1 X = 2 X = 3 X = 4 Y = 1 ½» ½»½ ½» ¾ ½» ¾ Y = 2 ½»½ ½» ½» ¾ ½» ¾ Y = 3 ½»½ ½»½ ½»½ ½»½ Y = 4 ½» ¼ ¼ ¼ µ Ç Ø Ñ ØÖ Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ò P(X) P(Y )º µ ÐÙÐ ÒØÖÓÔ H(X) H(Y )º ÓÑÔ Ö ¹ º µ ÐÙÐ ÒØÖÓÔ ÓÒ ÓÒ H(X Y ) H(Y X)º ÓÑÔ Ö ¹ º µ ÐÙÐ H(X) H(X Y ) H(Y ) H(Y X)º ÓÑÔ Ö º ÉÙ ÕÙ ÒØ Ø µ Ø ÖÑ Ò ÒØÖÓÔ ÓÒ ÙÒØ H(X,Y )º Î Ö Ù ÒØ Ù Ö Ð Ö H(X,Y ) = H(X) + H(Y X) = H(Y ) + H(X Y )º ËÓÐÙÓ µ P(X = 1) = 1/2 P(X = 2) = 1/4 P(X = 3) = 1/8 P(X = 4) = 1/8 P(Y = 1) = 1/4 P(Y = 2) = 1/4 P(Y = 3) = 1/4 P(Y = 4) = 1/4 µ H(X) = 7/4 Ø H(Y ) = 2 Ø µ H(X Y ) = 11/8 Ø H(Y X) = 13/8 Ø µ H(X) H(X Y ) = H(Y ) H(Y X) = 3/8 Ø = I(X,Y ) ÕÙÒ ÓÖÑ Ó Ñ ØÙ µ H(X,Y ) = 27/8 Ø º ¼º ÌÖ ÙÖÒ U 1 U 2 U 3 ÓÒØ Ñ ÓÐ ÓÐÓÖ º ÙÖÒ U 1 Ø Ñ ÓÐ Ú ÖÑ Ð ÓÐ ÔÖ Ø ÙÖÒ U 2 Ø Ñ ½ ÓÐ Ú ÖÑ Ð ¾ ÓÐ ÔÖ Ø ÙÖÒ U 3 Ø Ñ ÓÐ Ú ÖÑ Ð ÓÐ ÔÖ Ø º ËÙÔ ÕÙ ÓÐ ÙÑ ÙÖÒ ÓÖØ ÕÙ Ö Ø Ö Ð ÙÑ ÓÐ º Ò Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÙÖÒ ÔÓÖ U = {U 1,U 2,U 3 } Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÓÖ ÓÐ ÔÓÖ C = {V,P } Ñ ÕÙ V ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ò Ù ÙÑ ÓÐ Ú ÖÑ Ð º Æ ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ñ Ø ÓÑ ÕÙ ØÖÓ Ð Ö ÑÓ Ò Ø ÚÓ µ ÒØÖÓÔ H(U) U µ ÒØÖÓÔ H(C) C µ ÒØÖÓÔ ÓÒ ÙÒØ H(U,C) µ ÒØÖÓÔ ÓÒ ÓÒ Ð H(C U) µ ÒØÖÓÔ ÓÒ ÓÒ Ð H(U C) µ Ò ÓÖÑ Ó Ñ ØÙ I(U,C)º Î Ö Ù ÒØ Ö Ð H(C U) = H(C) I(U,C) H(U C) = H(U) I(U,C) H(U,C) = H(U) + H(C) I(U,C) = H(U) + H(C U) = H(C) + H(U C)º ÆÓØ Ö Ð ÒØ Ö ÓÖ Ó ÑÙ ØÓ Ø Ð Ö Ô ÖØ Ö Ó Ù ÒØ Ö Ñ Î ÒÒ Ú Ð Ó Ô Ö ÕÙ ÕÙ Ö Ú Ö Ú Ð Ø Ö X Y ÓÒ ÖÑ µ ËÓÐÙÓ µ ½º Ø µ ¼º Ø µ ¾º ½ Ø µ ¼º ½ Ø µ ½º ¾ Ø µ ¼º¼¾ ½ غ

18 ¾ Ë Ö Ü Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ó Ò Ò Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø Í Áµ ½ ÈÖÓ Ð Ñ ½º Ç ÂÓÓ ÓÒ Ð Ó Þ Ö ÙÑ Ø Ø Ô Ö Ö ÓÒØÖ Ù ÙÑ ÖØ Ó Ò º Ë ¹ ÕÙ ¾± Ô Ó ÓÑ Ó ÒØ ÒØ Ó ÂÓÓ Ø Ñ Ø Ó Ò º Ë ¹ Ø Ñ Ñ ÕÙ Ó Ø Ø ¾± Ú Ð ÓÙ Ó Ø Ø ÔÓ Ø ÚÓ Ñ ¾± Ó Ó Ô Ó ÕÙ Ø Ñ Ó Ò Ò Ø ÚÓ Ñ ¾± Ó Ó Ô Ó ÕÙ ÒÓ Ø Ñ Ó Ò º Ñ Ø ÕÙ Ó ÂÓÓ Þ Ó Ø Ø ÕÙ Ó Ö ÙÐØ Ó Ó Ñ ÑÓ ÔÓ Ø ÚÓº ÉÙ Ð ÔÖÓ Ð ÕÙ Ð Ø Ò Ø Ú Ñ ÒØ Ó Ò ÓÑ ÒØ Ö Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÑÓ ØÖ ÓÑÓ ÔÓÖ Ú Þ ÒØÙ Ó ÔÓ ÔÖ Ö¹ÒÓ Ô ÖØ º ¾º ÍÑ ÖØÓ ÖÙÔÓ ÓÒ Ñ Ó Ó Ù Ó ÔÖ Ø Ö Ö Ñ Ò Ó ÒØÖ ÜÓ Ò Ù ÓÒ¹ ØÖ Ø ÒÙÑ ÓÒÙÖ Ó Ô Ö ½½¼ Ú Ó ÕÙ Ð Ø Ò Ñ Ò Ø Ó ¾½¼ Ò Ú ÙÓ ½¼ ÓÑ Ò ½¼ ÑÙÐ Ö µ Ó ÖÙÔÓ Ø Ò ÓÒØÖ Ø Ó ¾ ÓÑ Ò ¾ ÑÙÐ Ö º µ ÓÑ Ò Ø Ò Ñ ÖÓ ÐÙÐ ÔÖÓ Ð ÙÑ ÓÑ Ñ Ö ÓÒØÖ Ø Ó ÔÓÖ Ø ÖÙÔÓ ÓÒ Ñ Ó ÓÑÔ Ö ÓÑ ÔÖÓ Ð ÙÑ ÑÙÐ Ö Ö ÓÒØÖ Ø Ô ÐÓ ÖÙÔÓº Æ ØÙ ÓÔ Ò Ó Ó ÖÙÔÓ Ø ÓÙ ÒÓ ÔÖ Ù Ö ÑÙÐ Ö Ç ÖÙÔÓ ÓÒ Ø ØÙ Ó ÔÓÖ ÙÑ ÒÓ ÔÓÖ ÙÑ ÙÖ ÓÖ ÕÙ Ó ÒØ ÙØ ÒÓÑ ØÙ Ö Ñ Ó Ù ÓÒÙÖ Ó Ò Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ º ÆÓ Ó Ó ÒÓ Ú ¼ Ú º Ò ¹ Ø Ö Ñ¹ ÓÑ Ò ½¼ ÑÙÐ Ö º ÓÖ Ñ ÓÒØÖ Ø Ó ½ ÓÑ Ò ÑÙÐ Ö º µ ÐÙÐ ÔÖÓ Ð ÙÑ ÓÑ Ñ Ö ÓÒØÖ Ø Ó Ô ÐÓ ÒÓ ÓÑÔ Ö ÓÑ ÔÖÓ Ð ÙÑ ÑÙÐ Ö Ö ÓÒØÖ Ø Ô ÐÓ ÒÓº Æ ØÙ ÓÔ Ò Ó Ó ÒÓ Ø ÓÙ ÒÓ ÔÖ Ù Ö ÑÙÐ Ö µ Ô ÖØ Ö Ó Ó ÒØ Ö ÓÖ Ö Ø Ö Þ Ó ÓÒÙÖ Ó ØÙ Ó Ô Ð ÙÖ ÓÖ Ò Ñ ÖÓ Ú Ò Ñ ÖÓ ÓÑ Ò ÕÙ Ò Ø Ö Ñ Ò Ñ ÖÓ ÑÙÐ Ö ÕÙ Ò ¹ Ø Ö Ñ Ò Ñ ÖÓ ÓÑ Ò ÓÒØÖ Ø Ó Ò Ñ ÖÓ ÑÙÐ Ö ÓÒØÖ Ø º ÐÙÐ ÔÖÓ Ð ÙÑ ÓÑ Ñ Ö ÓÒØÖ Ø Ó Ô Ð ÙÖ ÓÖ ÓÑÔ Ö ÓÑ ÔÖÓ Ð ¹ ÙÑ ÑÙÐ Ö Ö ÓÒØÖ Ø Ô Ð ÙÖ ÓÖ º Æ ØÙ ÓÔ Ò Ó ÙÖ ÓÖ Ø ÓÙ ÒÓ ÔÖ Ù Ö ÑÙÐ Ö µ Æ ØÙ ÓÔ Ò Ó Ù Ó ÕÙ Ó ÖÙÔÓ Ø Ö ÐÚÓ Ø Ñ ÙÒ Ñ ÒØ ÂÙ Ø º ÓÑ ÒØ Ö Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÙÑ Ü ÑÔÐÓ Ó Ñ Ó Ô Ö ÓÜÓ Ë ÑÔ ÓÒ ÙÑ Ò Ñ ÒÓ Ô Ö Ó ÕÙ Ð Ó Ñ Ø ÒÓ Ñ ½ ½ Ô ÐÓ Ø Ø Ø Ó Ö ØÒ Ó º Àº Ë ÑÔ ÓÒº ÈÓ ÒÓÒØÖ Ö Ñ Ò ÓÖÑ Ó Ö Ø Ô Ö ÓÜÓ ÒÓ Ô ØÙÐÓ Ó Ð ÚÖÓ Ç Ñ Ó ÑÙÒ Ó Ø ÔÖ Ü ÑÓ ÂÓÖ Ù Ù Ö Ú Ä Ó ¾¼¼ µº

19 ¾ Ë Ö Ü Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ó Ò Ò Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø Í Áµ ½ º ÍÑ ØÖÙ ÐÓ Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ ÙÑ Ù ÐÓ ÓÑ ØÖ Ú Ö Ö Ó Ñ Ú Þ Ó º Ç Ñ Ö Ó Ó ÐÑ ÖÓ Ó Ð Ù Ó Ñ ÔÖÓØ ÓÒ Þ Ö ÙÑ ØÖÙ ÐÓ ÓÑ Ù ÒØ Ö Ö ÙÑ Ð ÓÐÓ ¹ ÒÙÑ Ó Ú ÖØ ÙÑ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓº ÙÑ Ð ÔÓ Ù ÙÑ Ô ØÓÐ ÙÑ ÕÙ ÒØ Ò ÓØ Ú Ð Ð º Ð Ô Ö Ñ ÙÑ Ú Þ ÒÙÑ ÓÖ Ñ ÕÙ Ò ÒÓ Ò Ó ÔÓÖ ÓÖØ Óº À ÓÖ Ò ÔÓ Ú Ñ Ø ¹ ÕÙ Ø Ñ ØÓ Ñ Ñ ÔÖÓ Ð ÓÓÖÖ Ö Ñºµ ÉÙ Ò Ó Ú Þ Ô Ö Ö Ô Ò ØÖ ÓÔ Ô Ö Ö ÓÒØÖ Ó Ú Ö Ö Ó ÕÙ Ø Ö Ø Ô Ö Ö ÓÒØÖ Ó Ú Ö Ö Ó ÕÙ Ø ÕÙ Ö ÓÙ Ô Ö Ö Ô Ö Ó Öº ÙÑ Ó ÔÖÓØ ÓÒ Ø ÓÐ ÑÔÖ ÓÔÓ ÕÙ Ð Ö ÒØ Ñ ÓÖ ÔÖÓ Ð Ó Ö Ú Ú Ò Ñ Ø ÓÔÓ Ò Ñ ÑÔÖ Ú µº Ó ÑÓÖÖ Ö Ô Ð ÔÖ Ñ Ö Ú Þ ÙÑ ÔÖÓØ ÓÒ Ø Ó ÓÙØÖÓ Ó ÓÒØ ÒÙ Ñ ÒÙÑ Ù ÐÓ Ñ ÒØ Ò Ó ÓÖ Ñ Ò ÒÓ Ò Óº Ç ØÖÙ ÐÓ ÕÙ Ò Ó Ô Ò ÙÑ Ó ÔÖÓØ ÓÒ Ø Ó Ö Ú Ú º Ð Ó ØÖ Ú Ö Ö Ó ÓÑ Ô ØÓÐ ÒÓ Ó Ù º Ñ Ó Ñ Ö Ó ÙÑ ÙØ ÒØ Ó Ô Ö ØÓ ÖØ Ò Ó ÑÔÖ ÒÓ Ù ÐÚÓ Ó ÐÑ ÖÓ Ø ÒØ Ð ÖØ Ò Ó Ñ ¼± Ú Þ Ó Ð Ù Ó Ó Ñ ÒÓ ØÖÓ ÕÙ ÖØ Ñ Ø Ú Þ º ÌÓ Ó Ð Ø Ñ ÓÒ Ñ ÒØÓ ØÓº ÐÙÐ ÔÖÓ Ð Ó Ö Ú Ú Ò ÙÑ Ó ÔÖÓØ ÓÒ Ø º ËÙ ØÓ ÓÑÓ ÕÙ ÐÕÙ Ö ØÖÙ ÐÓ ÓÒ ÙÞ ÙÑ Ù ÐÓ ÓÑ ÔÓÖ ÐÙÐ Ö ÔÖÓ Ð Ó Ö Ú Ú Ò ÒÓ Ö ÒØ Ù ÐÓ Ñ Ö Ó ÐÑ ÖÓ ÐÑ ÖÓ Ñ Ö Ó Ñ Ö Ó Ð Ù Ó Øºµº Ò Ð ÔÓ ÙÑ Ó ØÖÙ ÐÓ ÔÓ Ú Ô Ö ÔÖÓØ ÓÒ Ø Þ Ñ ÔÖÓ Ð Ó Ö Ú Ú Ò Ó Ø º Ì Ö Ò Ù Ö Ö Ð Ó ÓÖÒ ÒÓ Ü Ö Ó ¾ ÓÑ ÙÑ Ö ÓÑ ØÖ µº ÆÓØ ½ Ç Ö ÙÐØ Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ó ÓÑÓ Ð Ó Ñ Ö Ó º ÆÓØ ¾ ÍÑ ØÖÙ ÐÓ ÑÓ Ó Ò Ø Ö Ó Ò Ñ Ó ÕÙ ÓÓÖÖ ÒÓ ÐÑ Ë Ö Ó Ä ÓÒ Ì ÓÓ Ø Ò Ø Í ÐÝ Ç ÓÑ Ó Å Ù Ó Óµ Ò Ó Ð ÒØ ØÛÓÓ ÙÑ Ó ØÖÙ Ð Ø º Ò Ñ Ö Ö Ú Ø Ú ØØÔ»» ÖºÝÓÙØÙ ºÓÑ»Û Ø Ú Û ÃÏÞ Ð ÓÑ ÒØ Ö Ó ÈÓ ÒÓÒØÖ Ö Ñ Ò ÓÖÑ Ó Ö ØÖÙ ÐÓ ÒÓ Ô ØÙÐÓ Ó Ð ÚÖÓ Ç Ñ Ó ÑÙÒ Ó Ø ÔÖ Ü ÑÓ ÂÓÖ Ù Ù Ö Ú Ä Ó ¾¼¼ µº

20 ¾ Ë Ö Ü Ö Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ó Ò Ò Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø Í Áµ ¾¼ º Ç Ø ÒØ ÙÑ ÖØ Ó Ú Ó Ñ Ó ÖÙÔÓ º Ñ ÖÙÔÓ Ü Ø Ñ ØÖ Ø ÔÓ Ô Ó º ÆÓ ÖÙÔÓ Ñ Ø Ô Ó Þ Ñ ÑÔÖ Ú Ö ÙÑ Ø ÖÓ Ñ ÒØ Ñ ÑÔÖ ÙÑ ÜØÓ Ö Ù Ñ¹ ÑÔÖ Ö ÔÓÒ Öº ÆÓ ÖÙÔÓ ÙÑ Ø ÖÓ Ô Ó Þ Ñ ÑÔÖ Ú Ö Ñ Ø Ñ ÒØ Ñ ÑÔÖ ÙÑ ÜØÓ ÒÙÒ Ö ÔÓÒ Ñº Ë p ÔÖÓ Ð ÕÙ ÙÑ Ô Ó Ð ÓÒ Ð ØÓÖ Ñ ÒØ Ô ÖØ Ò Ó ÖÙÔÓ º µ Ð ÓÖ Ó Ö Ñ Ó Ò Ð Ì ÕÙ Ö Ð ÓÒ Ú Ö Ú Ð ÖÙÔÓ ÙÑ Ô Ó ÓÙ µ ÓÑ Ú Ö Ú Ð Ì Ø ÔÓ ÙÑ Ô Ó Ú Ö Ö Ñ ÒØ ÖÓ ÓÙ ÕÙ ÒÓ Ö ÔÓÒ µº ÁÒÐÙ ÔÖÓ Ð ÒØÖ p 1 pµ ÐÙÐ ØÖ ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒÓ pº µ Ë I = I(p) Ò ÓÖÑ Ó ØÖ Ò Ñ Ø Ó Ö Ó Ø ÔÓ ÙÑ Ô Ó Ó Ô Ö Ó ÖÙÔÓ ÕÙ Ô ÖØ Ò º Ç Ø Ñ ÙÒÓ I(p)º µ ÐÙÐ Ñ Ø ÓÑ ØÖ Ð Ö ÑÓ Ò Ø ÚÓ Ó Ú ÐÓÖ Ñ Ü ÑÓ ÔÓ Ú Ð I Ó Ú ÐÓÖ p Ô Ö Ó ÕÙ Ð ÓÓÖÖ Ø Ñ Ü ÑÓº º ËÙÔ ÕÙ ÒÙÑ ÖØ ¼± Ó µ ØÙ ÒØ ÙÒ Ú Ö Ø Ö Ó µ ÔÖÓÚ Ñ ¼± Ö ¹ ÔÖÓÚ Ñº Ó µ ÕÙ ÔÖÓÚ Ñ ¾¼± Ø Ñ ÖÖÓ ÒÕÙ ÒØÓ ÕÙ ¼± Ó µ ÕÙ Ö ÔÖÓÚ Ñ Ø Ñ ÖÖÓº ¼± Ó µ ØÙ ÒØ ÓÑ ÖÖÓ Ø Ñ Ò ÑÓÖ Óµ ÒÕÙ ÒØÓ ÕÙ Ñ Ø Ó µ ÕÙ ÒÓ Ø Ñ ÖÖÓ Ø Ñ Ò ÑÓÖ Óµº µ ÉÙ Ò ÓÖÑ Ó Ö Ð Ø Ú Ó ÑÔ Ò Ó Ñ Ó ÙÑ µ ØÙ ÒØ ØÖ Ò Ñ Ø ÕÙ Ò Ó Ô Ð µ Ø Ñ ÓÙ ÒÓ Ø Ñ ÖÖÓ µ ÉÙ Ò ÓÖÑ Ó Ö Ð Ø Ú Ó ÑÔ Ò Ó Ñ Ó ÙÑ µ ØÙ ÒØ ØÖ Ò Ñ Ø ÕÙ Ò Ó Ô Ð µ Ø Ñ ÓÙ ÒÓ Ò ÑÓÖ Óµ µ Ë Ó ÑÔ Ò Ó Ñ Ó ÙÑ µ ØÙ ÒØ Ó ØÓ Ð µ Ø Ö ÓÙ ÒÓ ÖÖÓ Ó ØÓ Ð µ Ø Ö ÓÙ ÒÓ Ò ÑÓÖ Óµ ÓÖ Ñ ØÖ Ò Ñ Ø Ó ØÖ Ú ØÖ ØÓ Ò Ö Ó Ù ÚÓ ÕÙ Ò ÓÖÑ Ó Ø ÓÒØ Ñ ÙÑ Ó ØÓ ÓÖÒ ØÓ ØÙ Ö ÔÓ Ø Ñ Ø ÓÑ ØÖ Ð Ö ÑÓ Ò Ø ÚÓ º