1. E 1 R 1 X R 2 (equi-join) C = D

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1 UERJ FACULDADE DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE SISTEMAS E COMPUTAÇÃO ENGENHARIA DE SISTEMAS B A. Considere as seguintes relações: R 1 (A:Dom 1; B:Dom 2; C:Dom 3) R 2 (D:Dom 3; E:Dom 4) R 3 (F: Dom 4) R 4 (G:Dom 3; H:Dom 4) ÁLGEBRA RELACIONAL Lista de Exercícios onde A, B, C, D, E, F, G e H representam atributos e Dom i representa os domínios de valores desses atributos. Suponha, ainda, que R 1, R 2, R 3 e R 4 possuam 100, 50, 25 e 10 tuplas, respectivamente. Calcule o máximo e o mínimo de tuplas na relação resultante de cada uma das seguintes expressões da Álgebra Relacional: 1. E 1 R 1 X R 2 (equi-join) C = D Considerando que: a operação de junção é equivalente a uma operação de seleção sobre o produto cartesiano das tabelas operandas; o número de tuplas gerado pelo produto cartesiano é igual ao produto do número de tuplas das tabelas operandas; no caso dos operandos R 1 e R 2 esse número é igual a tuplas (100 x 50). Temos que: no máximo, a condição (C = D) será válida para todas as tuplas do produto cartesiano; no mínimo, nenhuma tupla do produto cartesiano atenderá a condição (C = D). Logo, max(e 1 ) = e min(e 1 ) = 0

2 2. E 2 E 1 X R 3 (equi-join) E = F Da mesma forma, considerando que: a relação E 1 possui no mínimo zero e no máximo tuplas; e a relação E 3 possui 25 tuplas; Temos que: o produto cartesiano de E 1 por R 3 terá no máximo tuplas (i.e. 5000*25); a condição de seleção (E = F) será válida no máximo para todas essas tuplas e no mínimo para nenhuma delas. Logo, max(e 2 ) = e min(e 2 ) = 0 3. E 3 R 3 R 4 (união) Considerando que R 3 e R 4 possuem 25 e 10 tuplas, respectivamente, temos que: o máximo de tuplas de E 3 ocorrerá quando R 3 e R 4 forem disjuntas, isto é, quando não possuírem tuplas em comum. Neste caso, o número de tuplas da união será igual à soma do número de tuplas nas duas relações (35); o mínimo de tuplas de E 3 ocorrerá quando R 4 estiver totalmente contida em R 3. Nesse caso, o número de tuplas da união será igual ao número de tuplas de R 3 (25). Logo, max(e 3 ) = 35 e min(e 3 ) = 25

3 4. E 4 E 1 X R 2 (left-join) C = D Considerando que: a relação E 1 possui no mínimo zero e no máximo tuplas; a relação R 2 possui 50 tuplas; o produto cartesiano de E 1 por R 2 terá no máximo tuplas (i.e. 5000*50); e a junção à esquerda inclui todas as tuplas de E 1, incluindo aquelas que não satisfazem a condição de seleção (C = D); Temos que: o máximo de tuplas em E 4 será igual , quando todas as tuplas do produto cartesiano satisfizerem a condição (C = D); o mínimo de tuplas em E 4 será igual 5.000, quando nenhuma tupla do produto cartesiano satisfizer a condição (C = D). Logo, max(e 4 ) = e min(e 4 ) = E 5 E 1 X R 2 (right-join) C = D Considerando que: a relação E 1 possui no mínimo zero e no máximo tuplas; a relação R 2 possui 50 tuplas; o produto cartesiano de E 1 por R 2 terá no máximo tuplas (i.e. 5000*50); e a junção à direita inclui todas as tuplas de R 2, incluindo aquelas que não satisfazem a condição de seleção (C = D); Temos que: o máximo de tuplas em E 5 será igual , quando todas as tuplas do produto cartesiano satisfizerem a condição (C = D); o mínimo de tuplas em E 5 será igual 50, quando nenhuma tupla do produto cartesiano satisfizer a condição (C = D). Logo, max(e 5 ) = e min(e 4 ) = 50

4 6. E6 R 2 R 4 (divisão) Considerando que R 2 e R 4 possuem o mesmo número de atributos, esta operação é inválida, uma vez que a divisão requer que o primeiro operando tenha no mínimo um atributo a mais do que o segundo operando. 7. E 7 R 2 R 3 (divisão) Considerando que a relação R 2 possui 50 tuplas e a relação R 3 possui 25 tuplas, temos que: o máximo de tuplas em E 7 será igual 2, quando todas as tuplas de R 2 formarem um conjunto total de combinações com todas as tuplas de R 3. Neste caso, o total de tuplas de E 7 será igual à divisão do número de tuplas de R 2 pelo número de tuplas de R 3 (i.e. 50/25). o mínimo de tuplas em E 7 será igual zero, quando não houver em R 2 nenhum conjunto de tuplas que represente uma combinação total com todas as tuplas de R 3. Logo, max(e 5 ) = 2 e min(e 4 ) = zero B. Dadas duas relações R 1 e R 2, onde R 1 contém n 1 tuplas, R 2 contém n 2 tuplas e n 2 >n 1 >0, calcule o máximo e o mínimo de tuplas na relação resultante de cada uma das seguintes expressões da álgebra relacional: 1. R 1 R 2 Considerando que: R 1 e R 2 possuem n 1 e n 2 tuplas, respectivamente; e n 2 > n 1 > 0; Temos que: o máximo de tuplas geradas pela operação de união ocorrerá quando R 1 e R 2 forem disjuntas, isto é, quando não possuírem tuplas em comum. Nesse caso, o número de tuplas será igual à soma do número de tuplas nas duas relações (n 1 + n 2 ); o mínimo de tuplas geradas pela operação de união ocorrerá quando R 1 estiver totalmente contida em R 2. Nesse caso, o número de tuplas será igual ao número de tuplas de R 2 (n 2 ). Logo, max(r 1 R 2 ) = n 1 + n 2 e min(r 1 R 2 ) = n 2

5 2. R 1 R 2 Da mesma forma: o máximo de tuplas geradas pela operação de interseção ocorrerá quando R 1 estiver totalmente contida em R 2. Nesse caso, o número de tuplas será igual ao número de tuplas de R 1 (n 1 ). o mínimo de tuplas geradas pela operação de interseção ocorrerá quando R 1 e R 2 forem disjuntas, isto é, quando não possuírem tuplas em comum. Nesse caso, o número de tuplas será igual zero. Logo, max(r 1 R 2 ) = n 1 e min(r 1 R 2 ) = zero 3. R 1 X R 2 Como a operação de produto cartesiano combina cada tupla do primeiro operando com todas as tuplas do segundo operando, sem quaisquer restrições, o número de tuplas geradas por essa operação é constante e igual ao produto do número de tuplas em ambos os operandos. Assim, max(r 1 x R 2 ) = min(r 1 x R 2 ) = n 1 * n 2 4. a=7 (R 1 ) Sabemos que R 1 possui 100 tuplas. Se todas elas satisfizerem a condição de seleção (a = 7) teremos no máximo 100 tuplas no resultado. Se nenhuma delas satisfizer essa condição, teremo no mínimo zero tuplas. Assim, max( a=7 (R 1 )) = 100 e min(( a=7 (R 1 )) = zero 5. a [R 1 ] Sabemos que R 1 possui 100 tuplas. Se todas elas possuírem o mesmo valor para o atributo a, teremos apenas uma tupla no resultado da operação de projeção. Por outro lado, se cada tupla de R 1 possuir um valor diferente para o atributo a, teremos 100 tuplas no resultado. Assim, max ( a [R 1 ]) = 100 e min ( a [R 1 ]) = 1 C. Escreva uma expressão que traduza a operação de interseção em termos das operações de união e diferença. Sabemos que: a operação de união inclui as tuplas de ambas as relações operandas sem duplicação; a operação de diferença inclui todas as tuplas do primeiro operando que não estão presentes no conjunto de tuplas do segundo operando. Assim sendo, se subtrairmos do resultado da união as tuplas que estão em um operando mas não estão no outro obteremos as tuplas que estão na sua interseção: R S = (R S) (R S) (S R)

6 D. Seja o seguinte esquema de Banco de Dados Relacional: LIVRO AUTOR AUTORIA EDITORA (Lid, Título, Editora, Assunto) (Aid, Nome) (Lid, Aid) (Eid, Nome) onde Lid, Aid e Eid representam os atributos chaves das suas respectivas relações. Escreva as expressões em Álgebra Relacional que resolvem as seguintes consultas: 1. Nome das editoras que publicaram livros escritos, em parceria, por dois ou mais autores. R 1 Autoria R 2 Autoria T R1.Lid [ R1.Aid R2.Aid ( R 1 X R 2 ) ] S Editora [ T X Livro ] 2. Nome dos autores que nunca publicaram livros pela editora McGraw-Hill. Códigos dos livros publicados pela editora McGraw-Hill: R 1 Lid [ Editora = McGraw-Hill (Livro) ] Autores que publicaram livros pela editora McGraw-Hill: R 2 Aid [ R 1 x Autoria ] Universo de autores: R 3 Aid [Autor] Códigos dos autores que nunca publicaram livros pela editora McGraw-Hill: R 4 R 3 R 2 Nomes desses autores: S Nome [R 4 X Autor ]

7 3. Nomes dos autores que só publicaram livros individualmente e sempre na mesma editora. Autores que publicaram livros em parceria: R 1 Autoria R 2 Autoria R 3 R1.Aid [ R1.Aid R2.Aid ( R 1 X R 2 ) ] Autores com mais de uma publicação e seus respectivos livros: T 1 R1.Aid, R1.Lid [ R1.Lid R2.Lid (R 1 X R 2 ) ] Editoras dos livros publicados por esses autores: T 2 T1.Aid, Livro.Editora [ T 1 X Livro ] Autores com publicações em mais de uma editora: R 4 Aid [ Editora Editora (T 2 X T 2 ) ] Universo de autores: R 5 Aid [Autor] Autores que só publicaram livros individualmente: R 6 R 5 R 3 Autores que publicaram livros em apenas uma editora: R 7 R 5 R 4 Autores que só publicaram livros individualmente e em apenas uma editora: R 8 R 6 R 7 Nomes desses autores: S Nome [R 8 X Autor ]

8 4. Autores que só publicaram livros numa mesma editora. Autores com mais de uma publicação e seus respectivos livros: R 1 Autoria R 2 Autoria T 1 R1.Aid, R1.Lid [ R1.Lid R2.Lid (R 1 X R 2 ) ] Editoras dos livros publicados por esses autores: T 2 T1.Aid, Livro.Editora [ T 1 X Livro ] Autores com publicações em mais de uma editora: R 3 Aid [ Editora Editora (T 2 X T 2 ) ] Universo de autores: R 4 Aid [Autor] Autores que publicaram livros em apenas uma editora: R 5 R 4 R 3 Nomes desses autores: S Nome [R 5 X Autor ]

9 5. Autores que publicaram livros sobre todos os assuntos registrados no banco de dados. A consulta inclui o pronome indefinido todos e portanto envolve a operação de divisão. Resta apenas determinar a forma das relações operandas que vão atuar como dividendo e divisor nessa operação. Considerando que: o número de atributos da relação dividendo deve ser pelo menos uma unidade maior do que o número de atributos da relação divisora; todo os atributos da relação divisora devem corresponder, em termos de domínio, a um subconjunto não vazio dos atributos da relação dividendo; o resultado da operação inclui todos os atributos da relação dividendo que não têm correspondência na relação divisora; temos que: a relação dividendo deverá incluir, única e exclusivamente, dois atributos: o primeiro deles com domínio código de autor e o segundo com domínio assunto, uma vez que o resultado da operação resume-se aos códigos dos autores que publicaram livros sobre todos os assuntos; a relação divisora deverá possuir apenas um atributo com domínio assunto (i.e., um a menos que a relação dividendo). Assim; Dividendo Autoria.Aid, Livro.Assunto [ Autoria X Livro ] Divisor Assunto [ Livro ] Autores que publicaram livros em todos os assuntos: S Dividendo Divisor

10 E. Considere o seguinte esquema de BD: PACIENTE (Nome, Doença, Tratamento) MÉDICO (Nome, Especialidade) Assuma que nomes identificam univocamente tanto pacientes como médicos e que alguns médicos eventualmente podem tornar-se pacientes. Assuma também que doenças e especialidades possuem o mesmo domínio, isto é, gripe pode aparecer como doença e como especialidade. Um médico pode ter mais de uma especialidade. Um paciente pode ter mais de uma doença e pode receber mais de um tratamento para a mesma doença. Expresse as consultas abaixo em expressões da Álgebra Relacional. Nomes dos médicos acometidos de uma doença de sua especialidade. Neste caso, o médico também é paciente e sua doença é da sua especialidade. Logo: Médicos que também são pacientes: R 1 Médico X Paciente Nome = Nome Médicos pacientes cuja doença é a mesma da sua especialidade: R 2 Especialidade = Doença (R 1 ) Solução: S Médico.Nome [ R 2 ] Doenças que possuem um único tratamento. Universo de doenças: R 1 Doença [ Paciente ] Universo de doenças com mais de um tratamento: T 1 Paciente T 2 Paciente R 2 T1.Doença [ Tratamento Tratamento ( T 1 X T 2 ) ] Doença = Doença Universo de doenças com um único tratamento: R 5 R 1 R 2

11 Nomes dos pacientes que estão sendo submetidos a todos os tratamentos para suas doenças. F. Seja o seguinte esquema de BD: PEÇAS (#p, nome, tipo) CONTÉM (#p, #c) Onde uma tupla (k, j) de CONTÉM representa o fato de que a peça de código k contém a peça de código j. Evidentemente, #p e #c possuem o mesmo domínio. Obtenha expressões da Álgebra Relacional que resolvam as seguintes consultas: a) Código e nome das peças do tipo parafuso. b) Código das peças atômicas, isto é, que não possuem componentes. c) Nome e tipo das peças que possuem um ou mais componentes. d) Código das peças que não são componentes de nenhuma peça. e) Códigos das peças que possuem mais de um componente. f) Código das peças que possuem exatamente um componente. g) Código das peças compostas que entram na composição de outras peças.

12 G. Considere as Relações F e D que representam Funcionários e Dependentes, respectivamente, com o seguinte esquema simplificado: F(#f, nomef) D(#f, nomed, par) onde: #f: matrícula do funcionário, nomef: nome do funcionário, nomed: nome do dependente, e par: parentesco, que pode ser um dentre: 'filho', 'filha', 'esposa/o', etc. Observe que em D, #f é uma chave-estrangeira que casa com a chave-primária #f de F. Abaixo é mostrada uma possível instância dessas relações: F D #f nomef #f nomed par 01 F1 01 Alice filha 02 F2 02 Alice esposa 03 F3 02 Clara filha 04 F4 03 José filho Para as instâncias acima obtenha: a) F x D b) F x D, c) nomef, nomed (F x D ) d) σ par='filha'(d) Obtenha expressões da álgebra relacional que respondem às seguintes consultas: a) Nomes e parentescos de todos os dependentes? b) Matrículas dos funcionários que possuem dependentes filhas? c) Matrículas do funcionários que não possuem dependentes? d) Matrículas dos funcionários que possuem algum dependente. e) Nomes dos funcionários que possuem uma dependente chamada Alice. f) Matrículas dos funcionários que possuem mais de um dependente? g) Matrículas dos funcionários que possuem exatamente um dependente? h) Matrículas dos funcionários que não têm Alice como dependente. i) Matrículas dos funcionários que possuem uma dependente chamada Alice, juntamente com os nomes de seus demais dependentes, quando for o caso. j) Matrículas dos funcionários que possuem exatamente um dependente.