ALGORITMOS PARA OS PROBLEMAS DE ROTEIRIZAÇÃO ESTÁTICA E DINÂMICA DE VEÍCULOS COM JANELAS DE TEMPO

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1 ALGORITMOS PARA OS PROBLEMAS DE ROTEIRIZAÇÃO ESTÁTICA E DINÂMICA DE VEÍCULOS COM JANELAS DE TEMPO Orivalde Soares da Silva Júnior José Eugenio Leal Departamento de Engenharia Industrial - PUC-Rio RESUMO Neste trabalho são propostos diversos algoritmos para resolver as versões estática e dinâmica de roteirização de veículos com janelas de tempo. Estes problemas têm como objetivo determinar rotas de custo mínimo para uma frota homogênea, atendendo a demanda de um conjunto de clientes dentro de intervalos de tempo, chamados de janelas de tempos. Além disto, na versão dinâmica no problema, novos clientes podem ser atendidos durante a execução das rotas pelos veículos. Para a versão estática do problema propôs-se um algoritmo híbrido utilizando otimização por colônias de formigas e o método de descida em vizinhança variável aleatória. Para a versão dinâmica do problema foram propostos seis algoritmos, baseados em métodos de inserção, de otimização por colônia de formigas e das versões sequencial e aleatória do método de busca em vizinhança variável. Os resultados computacionais mostram que a maior parte dos algoritmos propostos é competitiva com os algoritmos propostos na literatura. ABSTRACT This paper proposes several algorithms to solve the static and dynamic versions of the vehicle routing problem with time windows. These problems involve determining minimum cost routes for a homogeneous fleet in order to meet the demand of a set of customers within specified time intervals popularly called time windows. In addition, in the dynamic version of the problem, new customers can be assigned to vehicles during the execution of the routes. For the static version it was proposed a hybrid algorithm using ant colony optimization and the random variable neighborhood search method. For the dynamic version it was proposed six algorithms, based on an insertion procedure, ant colony optimization and random and sequential versions of variable neighborhood search methods. Computational results show that most of the proposed algorithms are competitive regarding the state of the art. 1. INTRODUÇÃO O investimento em pesquisas que visam a proposição de novos algoritmos para a resolução de problemas de roteirização é relevante tanto sob o ponto de vista teórico quando o ponto de vista prático. Quanto ao ponto de vista teórico, a otimização do problema de roteirização e suas variantes, pertencem à classe NP-Difícil (Lenstra e Rinnooy Kan, 1981). Desta forma, a resolução eficiente destes problemas corresponde a um desafio para os pesquisadores, que precisam desenvolver métodos para obter soluções de boa qualidade no menor tempo computacional possível. Para tanto, a maioria dos pesquisadores optam pelo desenvolvimento de heurísticas e meta-heurísticas. No ponto de vista prático, os custos relacionados ao transporte de pessoas e mercadorias geralmente são elevados e absorvem, em média, a porcentagem mais elevada de custos do que qualquer outra atividade logística (Ballou, 2006). Visando a redução destes custos, as empresas procuram ser cada vez mais competitivas no mercado, buscando por soluções de apoio à decisão às atividades logísticas que atendam as suas características reais de planejamento. Uma destas características é a possibilidade de atender novas requisições, ou seja, que são recebidas em tempo real. Neste ambiente, os gerenciadores da frota frequentemente precisam reconfigurar as rotas dos veículos em tempo real para melhorar a eficiência e aumentar a qualidade do serviço com o atendimento de novas requisições. Com os avanços em tecnologias de informação, tornou-se possível o gerenciamento de frota em tempo real.

2 Atualmente, muitas empresas possuem sistemas de rastreamento e monitoramento de veículos, sistemas de comunicação com motoristas, informações sobre o trânsito e sobre o clima e outras informações obtidas em tempo real. Porém, em geral não possuem softwares de roteirização que permitam utilizar estas informações para realização de alterações nas rotas em tempo real. O presente trabalho realiza o estudo, implementação e avaliação de algoritmos de otimização (heurísticas e meta-heurísticas) visando à solução do Problema de Roteirização de Veículos com Janelas de Tempo (Vehicle Routing Problem with Time Windows VRPTW) e do Problema de Roteirização Dinâmica de Veículos com Janelas de Tempo (Dynamic Vehicle Routing Problem with Time Windows DVRPTW). O artigo está organizado da seguinte forma: a seção 2 apresenta a definição do VRPTW e do DVRPTW. Na seção 3, apresenta-se a revisão bibliográfica destes problemas e os métodos já propostos para resolvê-los. Na seção 4, apresentam-se seis algoritmos propostos para resolver o VRPTW e o DVRPTW. Na seção 5 são apresentados os resultados computacionais. Por fim, na seção 6 são apresentadas as conclusões e as contribuições do artigo ao estado da arte. 2. DEFINIÇÕES DOS PROBLEMAS O VRPTW pode ser descrito por um grafo G(N,A), onde N é um conjunto contendo todos os nós, e A é um conjunto contendo todos os arcos. Os nós representam os clientes e o depósito, os quais são representados através dos índices i ou j. O depósito, de onde partem as rotas, usualmente é representado pelo nó com índice 0. Os arcos representam os caminhos que ligam estes nós e são acessados através do par ordenado i-j. Considera-se o grafo como sendo completo, ou seja, existe um arco ij entre todos os nós i e j para i j. Cada arco ij possui um custo c ij associado, que para o Problema do Caixeiro Viajante (Travelling Salesman Problem TSP), usualmente representa a distância de cada arco. No caso do VRPTW, este custo também pode representar o tempo necessário para se percorrer cada arco t ij, onde t ij =c ij. No depósito, existem V veículos homogêneos à disposição, todos com a mesma capacidade K. Cada cliente i possui uma demanda d i 0 associada, bem como um tempo de serviço s i. Além disso, cada cliente possui também sua janela de tempo; esta janela é dada por [a i, b i ], sendo que a i representa o instante mais cedo para início do atendimento e b i o instante mais tarde para início do atendimento. O depósito possui demanda e tempo de serviço iguais a zero e janela de tempo com a 0 igual a zero e b 0 igual a um valor que indique o horário de fechamento do depósito. A janela de tempo do depósito é chamada de jornada de trabalho JT. O objetivo do problema é encontrar rotas de distância total mínima que atendam todos os clientes, respeitando as restrições de capacidade dos veículos e das janelas de tempo. Além disso, deseja-se encontrar o número mínimo de veículos necessários para a realização da tarefa. Na literatura, diversos autores, principalmente aqueles que propõem métodos exatos, priorizam a minimização da distância total. No entanto, a maioria dos autores hierarquiza os objetivos de forma que a minimização do número de veículos (NV) é mais importante que a distância total (DT). Esta hierarquização sugere uma maior aproximação com a realidade, pois o custo fixo de se alocar um veículo geralmente é bem maior que o custo operacional do percurso.

3 No contexto da taxonomia proposta por Psaraftis (1995) e adaptada por Pillac et al. (2013), o DVRPTW abordado neste trabalho trata problemas que são dinâmicos e determinísticos. Não são aceitas interrupções do destino atual dos veículos (não-preemptivo) (Gendreau et al., 1999). Novos veículos podem ser inseridos na solução, deste que estejam disponíveis no depósito. A restrição que obriga que todos os clientes sejam visitados é relaxada, podendo existir soluções factíveis com clientes não atendidos. A cada cliente i {1, 2,..., N} são associados os parâmetros: momento que o cliente é conhecido tai 0; estado do cliente e i {planejado, atribuído, em_trânsito, entregue}. O problema passa a ter um terceiro objetivo, que é a minimização do número de clientes não atendidos. Os objetivos passam a ser: minimizar o número de clientes não atendidos (NA), minimizar o número de veículos (NV) e minimizar a distância total (DT). 3. REVISÃO DA LITERATURA O VRPTW é um problema clássico que tem sido intensivamente estudado na literatura e diversos métodos exatos e aproximados têm sido propostos. O trabalho precursor foi desenvolvido por Solomon (1987), no qual foram estudadas diversas heurísticas e foram propostas 56 instâncias do problema com 100 clientes, as quais são utilizadas até hoje como base para avaliação do desempenho dos algoritmos propostos para o VRPTW. Apesar de serem instâncias relativamente pequenas, é importante ressaltar que apenas no ano de 2012 é que foram descobertas as soluções ótimas para as 56 instâncias (Ropke, 2013) e (Roberti, 2012). Estas soluções foram obtidas por métodos exatos visando apenas minimizar a distância total das rotas. Sendo assim, ainda existe uma lacuna para descoberta de novas soluções considerando como primeiro objetivo a minimização do número de veículos. Outras instâncias que ainda podem ser exploradas são as instâncias de Homberger e Gehring (1999) que são extensões das instâncias de Solomon (1987) com 200, 400, 800 e 1000 clientes. Quanto à versão dinâmica do problema de roteirização, o trabalho precursor é do Psaraftis (1980), com o desenvolvimento de uma abordagem de programação dinâmica para o problema de coletas e entregas com janelas de tempo, mais conhecido como Dial-a-Ride- Problem (DARP) que consiste na procura por uma solução ótima cada vez que um novo cliente dinâmico é conhecido. O autor também apresenta diversas diferenças entre os problemas estático e dinâmico (Psaraftis, 1988 e 1995). Pillac et al. (2013) realizou uma extensa revisão sobre os problemas de roteirização dinâmica. O autor também propôs uma taxonomia baseando-se nos conceitos de evolução e qualidade da informação (Psaraftis, 1995), a qual classifica os problemas de roteirização em: Problemas estáticos e determinísticos: todas as entradas são conhecidas antecipadamente e as rotas dos veículos não mudam uma vez que estão sendo executadas. Problemas estáticos e estocásticos: são caracterizados pela entrada parcialmente conhecida como variáveis aleatórias, as quais seguem, geralmente, uma distribuição de Poisson. Problemas dinâmicos e determinísticos: também é chamada por outros autores como roteirização online ou real time (Ichoua et al., 2000). O suporte de tecnologias de comunicação em tempo real é essencial para comunicação entre os veículos e o tomador de decisões. Parte ou o total das entradas é desconhecida e é revelada dinamicamente ao longo do tempo, durante a execução das rotas (Psaraftis, 1995). Problemas dinâmicos e estocásticos: todas ou parte das entradas são desconhecidas e reveladas dinamicamente durante a execução das rotas, mas neste caso, a informação estocástica é disponibilizada dinamicamente.

4 3.1. Classificação do DVRPTW abordado O DVRPTW abordado neste trabalho é classificado como um problema dinâmico e determinístico. Uma abordagem bastante utilizada para resolver este problema é a divisão em em duas fases: a-priori e a-posteriori. Na fase a-priori, são obtidas rotas para as entradas já conhecidas e o problema pode ser resolvido com um método de roteirização estática. Na fase de a-posteriori as rotas são obtidas diversas vezes no decorrer do horizonte de planejamento, através da re-otimização das rotas, a qual pode ser realizada de modo contínuo ou periódico Re-otimização contínua A re-otimização contínua consiste na otimização ao longo do dia de forma contínua, ou seja, sempre que forem realizadas alterações nos dados disponíveis, o método de roteirização obtém imediatamente uma nova solução atual. Nesta abordagem podem ser utilizados os métodos de re-roteirização ou métodos de operações locais rápidas. Yang et al. (2004) abordaram o problema de roteirização com coleta e entrega, onde os pedidos de serviço ponto-a-ponto de transporte chegam de forma dinâmica. Os autores propõem um algoritmo denominado MYOPT, que é uma abordagem de horizonte rolante com base em programação linear, que é resolvido sempre que um novo cliente dinâmico é conhecido. Lackner (2004) desenvolveu quatro métodos meta-heurísticos. O primeiro e o segundo, denominados ES1-DVRPTW e ES2-DVRPTW, baseiam-se em Algoritmos Genéticos. O terceiro, denominado MACS-DVRPTW, baseia-se em Otimização por Colônia de Formigas, no algoritmo MACS-VRPTW (Gambardella et al., 1999). O quarto, denominado AS- DVRPTW, baseia-se em Recozimento Simulado (Simulated Annealing). Para comparação dos resultados, o autor propôs extensões para as 56 instâncias de Solomon (1987) para cinco diferentes graus de dinamismo, totalizando 280 instâncias. O autor conclui que o método que apresentou os melhores resultados foi o ES1-DVRPTW, seguido pelo MACS-DVRPTW, ES2-DVRPTW e AS-DVRPTW. Hong (2012) desenvolveu um método baseado na Busca em Vizinhança Larga (Large Neighborhood Search - LNS) proposto por Shaw (1998) e aplicou ao DVRPTW. Este método trabalha através da destruição (removendo nós) e reparação (inserindo nós) da solução atual, utilizando operadores de destruir e reparar. A vizinhança é chamada de larga, pois um nó que é removido pode ser reinserido na mesma rota de origem ou em qualquer outra rota da solução atual. Além deste processo, são aplicadas buscas locais com diversas vizinhanças. O autor comparou os resultados com os trabalhos de Lackner (2004) e Yang et al. (2004) e concluiu que o método proposto apresenta melhores resultados e com menor esforço computacional. Pillac et al. (2012) desenvolveu uma versão paralela do ALNS (Adaptive Large Neighborhood Search), denominada palns, que é uma versão adaptativa do LNS proposta por Pisinger e Ropke (2007). O ALNS adiciona uma camada adaptativa, que seleciona aleatoriamente os operadores de destruição e remoção dependendo de seu desempenho passado, ajustando o algoritmo automaticamente para a instância. Os autores compararam os resultados com os trabalhos de Lackner (2004) e Hong (2012) e concluíram que o palns é capaz de alcançar o estado da arte e traz melhorias de até 12%.

5 Re-otimização periódica A re-otimização periódica consiste na otimização ao longo do dia de forma periódica. Este tempo entre aplicações do método de roteirização pode ser representado por um intervalo de tempo fixo, também conhecido como épocas de decisão (Chen e Xu, 2006) ou fatias de tempo (Kilby et al., 1998 e Montemanni et al., 2002). A vantagem da re-otimização periódica é que ela não requer a execução do método de roteirização toda vez que algum dado do problema for atualizado. A principal desvantagem é que o atraso na tomada de uma decisão pode acarretar no aumento da distância total das rotas, no número de veículos ou na inviabilidade ou atraso de atendimento de um ou mais clientes, em particular, quando na presença de janelas de tempo. Seguindo a mesma linha de programação linear, Chen e Xu (2006) desenvolveram um algoritmo de geração dinâmica de colunas (DYCOL) para o DVRPTW. Os autores propõem o conceito de épocas de decisão ao longo do horizonte de planejamento, que são as datas em que o processo de otimização é executado. A novidade de sua abordagem se baseia em na geração de colunas dinamicamente para um modelo de particionamento de conjuntos, usando colunas da época de decisão anterior, o que reduziu muito o tempo computacional. Montemanni et al. (2002) desenvolveram um Sistema de Colônia de Formigas (ACS) para resolver o DVRP. Semelhante a Kilby et al. (1998), sua abordagem utiliza fatias de tempo, ou seja, o dia é dividido em períodos de igual duração. Com o decorrer do tempo, novos pedidos são acumulados. No fim da fatia de tempo é realizada a otimização das rotas utilizando o método de roteirização estática. Uma característica interessante da sua abordagem é o uso de uma estratégia que realiza a transmissão dos feromônios da otimização de uma fatia de tempo para a fatia de tempo seguinte. Uma abordagem semelhante foi também utilizada por Rizzoli et al. (2007), Gambardella et al. (2003) e Silva Júnior e Leal (2009) Classificação dos métodos para problemas dinâmicos e determinísticos Além dos modos contínuo e periódico de re-otimização, uma escolha importante é o tipo de método a ser utilizado para resolver a fase a-posteriori dos problemas dinâmicos e determinísticos de roteirização, que podem ser classificados em métodos de re-roteirização e métodos inserção, também conhecidos como métodos de operações locais rápidas Métodos de Re-roteirização Nos métodos de re-roteirização as soluções são construídas, destruídas e reconstruídas várias vezes. Na fase a-priori, uma solução é construída com objetivo de atender todos os clientes. Com o avanço do tempo, os clientes são atendidos ou comprometidos (possui um veículo viajando em sua direção) e surgem novos clientes dinâmicos. Na fase a-posteriori, todos os clientes que não foram atendidos ou comprometidos são removidos da solução (destruição) e a solução é reconstruída. Na reconstrução, cada rota deve iniciar a partir do depósito ou a partir do último cliente atendido ou comprometido. Se o método de roteirização utilizado possuir uma memória das soluções já criadas, esta informação pode ser utilizada de forma a reduzir o tempo computacional. Um exemplo desta aplicação é proposto por Taillard et al. (2001), o qual se utiliza de uma memória adaptativa sobre as boas soluções. Esta memória auxilia na redução do tempo computacional necessário para obter uma nova solução. No entanto, a implementação deste

6 método se torna mais complexa. Esta abordagem foi utilizada por Gendreau et al. (1999) para adaptação da versão paralela do método Busca Tabu (Taillard et al., 1997) para resolver o DVRPTW aplicado a serviços de expressos de correios. Sua abordagem mantém um conjunto de boas rotas numa memória adaptativa que é utilizada para gerar soluções iniciais para a Busca Tabu. Sempre que um novo cliente é conhecido, verifica-se uma possível inserção em todas as soluções da memória adaptativa para decidir se deve ser aceito ou rejeitado Métodos de Inserção Estes métodos se utilizam dos métodos de inserção adaptados para resolverem a fase a- posteriori do problema. A solução é construída a partir de inserções consecutivas de clientes dinâmicos na solução atual (encontrada na fase a-priori) à medida que são solicitadas. São realizadas tentativas de inserção entre todos os possíveis pares de nós e a solução escolhida será aquela que não viola as restrições do problema e que possui o menor custo. Uma restrição adicional do problema no caso dinâmico é a proibição de inserções entre clientes já comprometidos ou atendidos. 4. ALGORITMOS PROPOSTOS As estratégias e algoritmos utilizados como base para desenvolvimento dos algoritmos propostos para o VRPTW e DVRPTW são descritos a seguir: Vizinho Mais Próximo (NN) foi abordado no trabalho de Solomon (1987). Push Forward Insertion Heuristic (PFIH) foi detalhada por Thangiah et al. (1994) e proposta por Solomon (1987). MACS-VRPTW foi proposto por Gambardella et al., (1999) e utiliza-se de duas colônias de formigas, uma denominada ACS-VEI que busca minimizar o número de veículos e outra denominada ACS-TIME que busca minimizar o tempo total (ou distância) das rotas. Descida em Vizinhança Variável Aleatória (Random Variable Neighborhood Descent - RVND) proposto por Subramanian (2012), utilizando-se de sete estruturas de vizinhança inter-rota, Swap(1,1), Swap(2,1), Swap(2,2), Shift(1,0) e Shift(2,0), e cinco estruturas intrarota, Or-Opt1, Or-Opt2, Or-Opt3, 2-opt, Exchange e K-Opt. Descida em Vizinhança Variável (Variable Neighborhood Descent - VND) proposto por Mladenović e Hansen (1997), com as mesmas estruturas de vizinhança do RVND. ECF - Estratégia de Conservação dos Feromônios entre as fases da roteirização dinâmica, proposta por Guntsch e Middendorf (2001). RP - Roteirização Periódica proposta por Kilby et al. (1998) e Montemanni et al. (2002) O algoritmo proposto para o VRPTW O primeiro algoritmo proposto para o VRPTW, denominado MACS-RVND é um algoritmo híbrido que consiste numa extensão melhorada do MACS-VRPTW. As modificações propostas são descritas em Silva Júnior e Leal (2012) Os algoritmos propostos para o DVRPTW A metodologia aplicada consiste na solução de uma sequência de n problemas estáticos e determinísticos PE n com várias soluções s n durante a jornada de trabalho tempo_total = b n+1.o tamanho de n depende da abordagem utilizada na fase a-posteriori. Na re-otimização contínua, n será igual ao número de novos clientes. Já na re-otimização periódica, n será igual ao número de faixas de tempo nts de tamanhos iguais f. Este é um processo iterativo, que evolui em função do tempo e novas entradas devem ser inseridas no procedimento durante sua execução. Para flexibilizar o uso destas abordagens, propôs-se o Algoritmo 1 (DVRPTW).

7 Algoritmo 1: DVRPTW 1: Procedimento DVRPTW(estratégia, tipo_método) 2: tempo 0 n 0 3: PE n {depósito e clientes conhecidos, com tai <=tempo} 4: // Obter uma solução inicial utilizando um método de roteirização estática para o VRPTW 5: s n obter_solução_inicial(n) 6: Para tempo = 1... tempo_total faça 7: D D {novos clientes com tai =tempo} 8: Se D {} então 9: Se estratégia = contínua OU (estratégia = periódica E tempo MOD f = 0) 10: n n : PE n PE n-1 D 12: D {} 13: Se tipo_método = inserção então 14: s s n-1 15: Senão Se tipo_método = re-roteirização então 16: // Remover de s os clientes com e i {em_trânsito, entregue, atribuído} 17: s extrair_solução_parcial(s n-1 ) 18: Fim se 19: // Obter uma solução utilizando um método de roteirização estática adaptado 20: s n obter_solução_intermediaria(s, PE n ) 21: Fim se 22: Fim se 23: // Atualizar os estados dos clientes 24: Para r1 = 1...V faça 25: // Para todos os clientes i da rota r1 26: Para i=1 até o tamanho de r1 faça 27: inicio_viagem i T i t i-1,i 28: Se tempo inicio_viagem i E tempo < T i então 29: e i em_trânsito 30: Senão Se tempo T i E tempo < T i + s i então 31: e i entregue 32: Senão Se estratégia = periódica E inicio_viagem i n.f então 33: e i atribuído 34: Senão 35: e i planejado 36: Fim se 37: Fim para 38: Fim para 39: Retorne s O Algoritmo 1 é iniciado com uma estratégia de re-otimização contínua ou periódica e com um tipo_método que pode ser de inserção ou re-roteirização. No problema PE 0 são inseridos o depósito e os clientes já conhecidos e uma solução inicial s 0 é obtida utilizando um método desejado para resolver o VRPTW. Um procedimento iterativo em função do tempo é iniciado com tempo=1 até o fim da jornada de trabalho (tempo_total). Novos clientes dinâmicos são conhecidos e inseridos no conjunto D. Se o conjunto D possuir algum cliente, então é verificada a abordagem da re-otimização, caso contrário são atualizados os estados dos clientes. Se a abordagem for contínua ou periódica com tempo igual ao início de uma faixa de tempo, então é incrementado o contador n. Em seguida é criado um novo problema estático PE n com a união dos nós de PE n-1 e dos nós do conjunto D. Uma solução parcial s é criada. Se o tipo_método for inserção, então é utilizada s n-1 como solução parcial. Caso contrário é extraída uma solução parcial de s n-1 com apenas os clientes comprometidos, ou seja, aqueles que possuem o estado em_trânsito, entregue ou atribuído. Uma nova solução intermediária s n

8 é obtida para o problema estático PE n, utilizando a solução parcial s para iniciar as novas rotas. Se necessário, novos veículos v podem ser alocados para atender o maior número de clientes possível. A atualização dos estados dos clientes é realizada em todas as rotas da solução s n. Se o tempo for maior ou igual ao início da viagem do veículo v na rota r1 para o cliente i e menor que o tempo de chegada T i, então o estado e i é atualizado para em_trânsito. Caso contrário, se o tempo for maior ou igual o tempo de chegada T i e menor que o tempo de processamento tp i (T i + s i ), então o estado e i é atualizado para entregue. Caso contrário, se a estratégia for de re-otimização periódica e início da viagem em direção ao cliente i for menor do que o tamanho da faixa de tempo f multiplicado pelo número da faixa n, então o estado e i é atualizado para atribuído. Caso contrário, o estado e i é atualizado para planejado. Ao fim da jornada de trabalho, a solução s n será a solução final para o DVRPTW. Todos os algoritmos propostos se baseiam no Algoritmo 1. A Tabela 1 mostra os nomes e as respectivas abordagens de re-otimização, classificação dos algoritmos, métodos para obter a solução inicial e as soluções intermediárias. Tabela 1 Algoritmos propostos para o DVRPTW Nome do Algoritmo Abordagem de re-otimização Classificação Solução inicial Solução intermediária PFIH_PFIH Contínua Inserção PFIH PFIH PFIH_PFIH-VND Contínua Inserção PFIH PFIH + VND PFIH-VND_PFIH-VND Contínua Inserção PFIH + VND PFIH + VND MACS-RVND_PFIH-VND Contínua Inserção MACS-RVND PFIH + VND MACS-RVND_Re-roteiriza Contínua Re-roteirização MACS-RVND MACS-RVND + ECF MACS-RVND-Periódico Periódica Re-roteirização MACS-RVND MACS-RVND+ECF+RP 5. RESULTADOS COMPUTACIONAIS O objetivo desta seção é mostrar o desempenho dos algoritmos propostos para o VRPTW e DVRPTW. Para execução dos algoritmos utilizou-se de um servidor PowerEdge T110 II com processador Intel Xeon Quad-Core de 3,4 GHz e 8GB de memória RAM, sob plataforma Linux, com a distribuição do CentOS bits. Para aplicação do algoritmo MACS-RVND aos problemas do VRPTW, foram definidos os parâmetros ρ=0,1, beta=1, q0=0,9 propostos Gambardella et al. (1999). Cada simulação das funções ACS-TIME e ACS-VEI foi feita com 20 iterações com k=10 formigas cada uma. O critério de parada foi definido como sendo o tempo máximo de execução de 5 minutos. Os problemas adotados para a validação dos algoritmos são as 56 instâncias criadas por Solomon (1987) e os valores das melhores soluções foram obtidos em Sintef (2013). Tabela 2 Comparação com resultados do MACS-RVND com o MACS-VRPTW e com o melhor conhecido SNV Autores R1 R2 C1 C2 RC1 RC2 SDT Melhor conhecido 11,92 2,73 10,00 3,00 11,50 3, (diversos autores) 1.209,89 951,02 828,38 589, , , MACS-RVND 12,08 2,82 10,00 3,00 11,63 3, ,38 945,06 828,38 589, , , Gambardella et al., ,38 3,00 10,00 3,00 11,92 3, ,83 960,31 828,38 591, , , Na Tabela 2, são apresentados os valores médios por classe de instância e a soma total de veículos e tempo total das rotas de todas as instâncias, que foram reportados por diversos

9 autores. O objetivo primário é minimizar o número total de veículos e objetivo secundário é minimizar a o tempo total de viagem. A primeira coluna mostra as referências dos trabalhos que reportaram estes resultados. As colunas R1, R2, C1, C2, RC1 e RC2 mostram o número médio de veículos e o tempo total médio de viagem para os seus respectivos grupos de instâncias. A coluna SNV/SDT indica o somatório de número de veículos (SNV) e o somatório do tempo de viagem (SDT) de todas as 56 instâncias. Observa-se que o método proposto é competitivo com os métodos propostos por diversos autores, incluindo vários autores que encontraram algumas das melhores soluções conhecidas para o VRPTW. Observa-se também que o uso do método RVND combinado com o MACS-VRPTW pode melhorar consideravelmente o método original proposto por Gambardella et al. (1999). Os algoritmos propostos para resolver o DVRPTW foram testados com as instâncias propostas por Lackner (2004), que são extensões das instâncias de Solomon (1987) para o DVRPTW. Estas extensões utilizaram os graus de dinamismo iguais a 10, 30, 50, 70 e 90. Para cada instância e para cada grau de dinamismo, o autor criou um novo parâmetro que indica o momento em que o cliente é conhecido (ta i ), totalizando 280 instâncias. Nas versões adaptadas dos algoritmos PFIH, VND e MACS-RVND para resolver os problemas da fase a- posteriori foram utilizados os mesmo valores para os parâmetros dos algoritmos originais. O parâmetro de conservação de feromônios foi definido como γ r =0,3 para os algoritmos MACS- RVND_Reroteiriza e MACS-RVND_Periódico, conforme Guntsch e Middendorf (2001). Nos algoritmos PFIH_PFIH, PFIH_PFIH-VND e PFIH-VND_PFIH-VND o tempo de execução na fase a-priori não ultrapassa de 10 segundos. Na fase a-posteriori, o tempo de execução não ultrapassa dos 2 segundos. Por serem algoritmos determinísticos, que retornam sempre a mesma solução, cada um deles foi executado apenas uma vez para cada instância. Já para os algoritmos MACS-RVND_PFIH-VND, MACS-RVND_Re-roteiriza e MACS- RVND-Periódico, o critério de parada para a solução da fase a-priori foi definido como o tempo máximo de execução de 5 minutos. Na fase a-posteriori, cada subproblema é resolvido com o tempo máximo de execução de 10 segundos. Por serem algoritmos probabilísticos, que podem retornar diferentes soluções, foram realizadas cinco execuções para cada instância e foi obtida a melhor solução. A Tabela 3 apresenta a soma dos totais médios obtidos em cada um dos algoritmos e considerando os cinco graus de dinamismo. Avaliando os seis algoritmos propostos e considerando a hierarquia dos objetivos de minimizar o NA, NV e DT, conclui-se que o algoritmo que apresentou os melhores resultados é o MACS-RVND_Re-roteiriza. Realizou-se uma comparação deste algoritmo com outras abordagens propostas na literatura. Tabela 3 Comparação dos resultados dos algoritmos propostos para o DVRPTW Nome do Algoritmo NA NV DT PFIH_PFIH 5, PFIH_PFIH-VND 8, PFIH-VND_PFIH-VND 6, MACS-RVND_PFIH-VND 8, MACS-RVND_Re-roteiriza 5, MACS-RVND-Periódico 6, A Tabela 4 apresenta os melhores resultados obtidos pelo algoritmo MACS-RVND_Reroteiriza e pelo estado da arte da literatura para o DVRPTW, que até o presente momento é

10 composto pelos trabalhos de Lackner (2004), Hong (2012), Pillac et al. (2012). Estes autores não publicaram a solução obtida para cada uma das 280 instâncias. Foram publicados apenas os valores médios por classe de instância e grau de dinamismo. Com base nestes valores, foram comparados os resultados com o algoritmo MACS-RVND_Re-roteiriza. Observa-se o algoritmo proposto obteve melhores soluções em termos de distância total média do que as abordagens propostas Lackner (2004) e Hong (2012). Quanto ao percentual total médio de clientes não atendidos, o algoritmo proposto apresentou melhores resultados do que Pillac et al., (2012), Hong, (2012) e Lackner, (2004). Tabela 4 Comparação dos resultados do MACS-RVND_Re-roteiriza com o estado da arte para o DVRPTW MACS-RVND_Re-roteiriza Pillac et al., 2012 Hong, 2012 Lackner, 2004 Grupo δ DT NA DT NA DT NA DT NA C ,17 0,00 850,60 0,11 895,80 0,22 996,40 0, ,83 0,00 874,90 0,11 962,10 0, ,90 0, ,85 0,00 903,40 0, ,20 0, ,10 0, ,75 0,00 919,10 0, ,70 0, ,30 0, ,84 0,00 929,90 0, ,80 0, ,60 0,00 C ,85 0,00 597,20 0,00 594,70 0,00 629,10 0, ,39 0,00 597,60 0,00 651,40 0,00 632,30 0, ,88 0,00 604,00 0,00 605,00 0,00 689,30 0, ,16 0,00 619,20 0,00 636,50 0,00 743,80 0, ,45 0,00 625,70 0,00 636,80 0,00 792,50 0,29 R ,10 0, ,40 0, ,10 0, ,10 0, ,95 0, ,90 0, ,60 0, ,90 0, ,77 0, ,00 1, ,80 0, ,00 0, ,73 1, ,30 1, ,30 1, ,10 0, ,23 1, ,10 2, ,90 2, ,30 0,75 R ,98 0,00 893,00 0,00 950,00 0, ,90 0, ,30 0,00 915,60 0,00 985,50 0, ,40 0, ,71 0,00 948,60 0, ,50 0, ,80 0, ,12 0,00 967,70 0, ,00 0, ,90 0, ,69 0,00 981,70 0, ,80 0, ,30 0,52 RC ,97 0, ,40 0, ,20 1, ,90 0, ,79 0, ,50 0, ,20 1, ,70 0, ,98 0, ,40 0, ,70 1, ,10 0, ,05 0, ,10 0, ,30 1, ,40 0, ,77 1, ,50 0, ,90 2, ,20 0,42 RC ,49 0, ,40 0, ,30 0, ,90 0, ,20 0, ,10 0, ,00 0, ,90 0, ,26 0, ,50 0, ,50 0, ,90 0, ,84 0, ,40 0, ,50 0, ,30 0, ,11 0, ,30 0, ,20 0, ,80 0,13 TM ,21 5, ,50 8, ,30 15, ,10 8,05 GAP (%) 5,92-32,21-0,78-60,48-7,14-26,31 6. CONCLUSÕES O problema de roteirização de veículos possui um papel muito importante no gerenciamento da frota das empresas e durante décadas, as aplicações práticas estiveram voltadas apenas ao problema estático. Com os recentes avanços em tecnologias de informação foram disponibilizadas as ferramentas necessárias para que as empresas gerenciem suas frotas em tempo real. No entanto, estas novas tecnologias também introduziram mais complexidade na gestão da frota, revelando a necessidade do desenvolvimento de sistemas de apoio à decisão para roteirização dinâmica de veículos.

11 Para resolver o problema de roteirização de veículos com janelas de tempo foi proposto um algoritmo híbrido do Sistema de Múltiplas Colônias de Formigas (MACS) com o método de Descida em Vizinhança Variável Aleatória (RVND). O algoritmo foi apresentado em detalhes e foram mostradas as modificações propostas nos métodos originalmente propostos. Através da aplicação do algoritmo a 56 instâncias de benchmark de Solomon (1987) demonstrou-se a eficiência do algoritmo, pois para 29 delas foram encontradas as melhores soluções conhecidas, para 23 foram encontradas soluções com o menor número de veículos conhecido e com GAP de distância total de no máximo 0,62% e apenas para 4 instâncias foram encontradas soluções com 1 veículo a mais, porém com distância total menor que nas melhores soluções conhecidas, com uma diferença média de -5,21%. Para resolver o problema de roteirização dinâmica de veículos com janelas de tempo foi proposto um algoritmo genérico o qual foi utilizado como modelo para proposta de seis novos algoritmos. Estes algoritmos foram baseados no algoritmo de Inserção (PFIH), no método de Descida em Vizinhança Variável (VND) e no Sistema de Múltiplas Colônias de Formigas com Descida em Vizinhança Variável Aleatória (MACS-RVND). Estes algoritmos foram aplicados a 280 instâncias de benchmark propostas por Lackner (2004) e foi selecionado o melhor algoritmo, que por sua vez, foi comparado com os melhores resultados apresentados na literatura. Por se tratar de um problema relativamente novo, a literatura do problema dinâmico abordado ainda é escassa e os autores não disponibilizam todos os dados necessários para realizar uma comparação efetiva e não foi possível comparar o número de veículos utilizados pelos autores. No entanto, a comparação da distância média total e o percentual médio total de clientes não atendidos demonstrou que o algoritmo proposto fornece soluções de ótima qualidade, superando os resultados de todas as abordagens propostas na literatura. Agradecimento O presente trabalho foi realizado com apoio do CNPq, Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico - Brasil. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Ballou, R. H. (2006) Gerenciamento da Cadeia de Suprimentos / Logística Empresarial. São Paulo: Bookman. Chen, Z.; Xu, H. (2006) Dynamic column generation for dynamic vehicle routing with time windows. Transportation Science, 40(1): Gambardella, L. M.; Taillard, É.; Agazzi, G. (1999) MACS-VRPTW: A Multiple Ant Colony System for vehicle routing problems with time windows. New Ideas in Optimization. Londres: McGraw-Hill. p Gambardella, L.; Rizzoli, A.; Oliverio, F.; Casagrande, N.; Donati, A.; Montemanni, R.; Lucibello, E. (2003) Ant colony optimization for vehicle routing in advanced logistics systems. International Workshop on Modelling and Applied Simulation (MAS 2003). [S.l.]: [s.n.]. p Gendreau, M.; Guertin, F.; Potvin, J. Y.; Taillard, E. (1999) Parallel tabu search for real-time vehicle routing and dispatching. Transportation Science, Vol. 33 No 4: Guntsch, M.; Middendorf, M. (2001) Pheromone modification strategies for ant algorithms applied to dynamic TSP. In: al., B. E. Application of evolutionary computing: Proceedings of EcoWorkshops. [S.l.]: [s.n.], v. Lecture Notes in Computer Science p Homberger, J.; Gehring, H. (1999) Two evolutionary metaheuristics for the vehicle routing problem with time windows. Inform. Systems Oper. Res, 37: Hong, L. (2012) An improved LNS algorithm for real-time vehicle routing problem with time windows. Computers & Operations Research, 39(2): Ichoua, S.; Gendreau, M.; Potvin, J. Y. (2000) Diversion issues in real-time vehicle dispatching. Transportation Science, 34(4): Kilby, P.; Prosser, P.; Shaw, P. (1998) Dynamic VRPs: a study of scenarios. Strathclyde, U.K.. Lackner, A. (2004). Dynamische Tourenplanung mit ausgewählten Metaheuristiken, volume 47 of Göttinger Wirtschaftsinformatik. Cuvillier.

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