MODELO SEMI-EMPÍRICO PARA A MODELAGEM DA TRANSFERÊNCIA SIMULTÂNEA DE CALOR E ÁGUA NO SOLO

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1 UNIJUÍ UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESE DO ESADO DO RIO GRANDE DO SUL DeFEM DEPARAMENO DE FÍSICA, ESAÍSICA E MAEMÁICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MODELAGEM MAEMÁICA MESRADO EM MODELAGEM MAEMÁICA MODELO SEMI-EMPÍRICO PARA A MODELAGEM DA RANSFERÊNCIA SIMULÂNEA DE CALOR E ÁGUA NO SOLO PEERSON CLEYON AVI Ijuí, 28 de fevereiro de 2011

2 PEERSON CLEYON AVI MODELO SEMI-EMPÍRICO PARA A MODELAGEM DA RANSFERÊNCIA SIMULÂNEA DE CALOR E ÁGUA NO SOLO Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado em Modelagem Matemática da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul UNIJUI, como parte integrante dos pré-requisitos para a obtenção do título de Mestre em Modelagem Matemática Orientador: Prof. Dr. Pedro Augusto Pereira Borges Ijuí, 28 de fevereiro de 2011

3 UNIJUÍ UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESE DO ESADO DO RIO GRANDE DO SUL DeFEM DEPARAMENO DE FÍSICA, ESAÍSICA E MAEMÁICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MODELAGEM MAEMÁICA MESRADO EM MODELAGEM MAEMÁICA MODELO SEMI-EMPÍRICO PARA A MODELAGEM DA RANSFERÊNCIA SIMULÂNEA DE CALOR E ÁGUA NO SOLO Elaborada por: PEERSON CLEYON AVI Como requisito para a obtenção do grau de Mestre em Modelagem Matemática COMISSÃO EXAMINADORA.. Prof. Dr. Pedro Augusto Pereira Borges UFFS (Orientador).. Profª. Drª. Sandra Mara Cardoso Malta - LNCC.. Prof. Dr. Paulo Sergio Sausen - UNIJUI.. Profª. Drª. Leonir erezinha Uhde UNIJUI Ijuí, 28 de fevereiro de 2011

4 AGRADECIMENOS À minha mãe Rosa Possamai, pelo exemplo de vida e de luta que sempre foi, você é a principal responsável por essa conquista. À minha namorada, Emanueli Bandeira, pela paciência e compreensão, seu apoio e a nossa convivência foram fundamentais nessa conquista, te amo. Ao Professor Orientador Dr. Pedro Augusto Pereira Borges, pela orientação, ensinamento, paciência e compreensão ao longo dessa caminhada. À UNIJUI e ao DeFEM, pela oportunidade e infra-estrutura para realização dessa pesquisa. ensinamentos. Aos Professores do Mestrado em Modelagem Matemática pelo incentivo e Aos Professores do DeFEM, pelo incentivo, ensinamentos e amizade durante minha formação acadêmica. Aos colegas do Mestrado, pela amizade e momentos de construção, em especial a Cássio, Jotair, Anderson, Leandro B. e Keila pelo convívio e incentivo. À CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior) pela bolsa de estudos concedida para realização dessa pesquisa. Aos meus irmãos, Juciléia e Renato, pelo apoio e estímulo, vocês também fazem parte dessa conquista. Aos meus sogros, Dari e erezinha, vocês foram como pais, com seus incentivos e apoio durante esse período. A todas as pessoas que de alguma forma fizeram parte dessa conquista.

5 RESUMO A agricultura é uma atividade geradora de alimentos e riqueza. O estudo do solo e suas propriedades além de ser indispensável para o desenvolvimento da agricultura, também abrange as obras de engenharia civil e o entendimento do ecossistema. No solo, os gradientes de temperatura e teor de água são importantes para a germinação de sementes, desenvolvimento de plantas e transporte de nutrientes e solutos. Neste trabalho foi proposto um modelo semi-empírico com acoplamento dos problemas hidráulico e térmico através de dados sintéticos. O modelo é composto por um sistema de duas Equações Diferenciais Parciais: a Equação de Richards, na qual é assumido que a condutividade hidráulica é dependente do teor de água e da temperatura, e a Equação da Energia, na qual é assumido que a difusividade térmica é dependente do teor de água. A determinação dos parâmetros das funções que representam as condições iniciais e de contorno e das dependências assumidas no modelo foi realizada por ajuste não linear de curvas, através do Método de Procura em Rede Modificado. Devido a não linearidade das equações diferenciais do modelo, essas foram resolvidas numericamente pelo Método de Diferenças Finitas usando o esquema temporal explícito (Problema Direto). O Problema Inverso através do Método de Levenberg-Marquardt foi utilizado para determinar sete parâmetros do Problema Direto. Os resultados do modelo semi-empírico foram comparados com modelos sem acoplamento e com o modelo de LU-HUANG- HAN. Os resultados mostram que a influência do gradiente de temperatura é significativa para o teor de água, enquanto a influência do gradiente do teor de água na temperatura pode ser negligenciada. O modelo semi-empírico representa uma alternativa eficiente para a simulação das transferências de calor e principalmente de água no solo, desde que sejam obtidas experimentalmente a dependência da condutividade hidráulica saturada em função da temperatura e da difusividade térmica em função do teor de água.

6 ABSRAC Agriculture is an activity that generates wealth and foods. he study of soil and its properties as well as being essential to the development of agriculture, also covers civil engineering works and understanding of the ecosystem. In soil, the hydraulic and thermal properties are important for seed germination, plant growth and nutrient transport and solute. his work proposes a semi-empirical model with coupling of thermal and hydraulic problems using synthetic data. he model consists of a system of two Partial Differential Equations: Equation Richards, in which it is assumed that the hidraulyc conductivity is dependent on water content and temperature, and Equation Energy, in which it is assumed that the thermal diffusivity is dependent on water content. he parameters of functions representing the initial and boundary conditions and dependencies assumed in the model was perfomed by nonlinear fitting of curves, through the Method of Modified Search Network. Due to the nonlinearity of the differential equations of the model, these were numerically solved by Finite Difference Method using explicit temporal scheme (Direct Problem). he Inverse Problem via the Levenberg-Marquadt method was used to determine seven parameters of the Direct Problem. he results of the semi-empirical model were compared with models without coupling and with the model LU-HUANG-HAN. he results show that the influence of the temperature gradient is significant for the water content, while the influence of water content gradient in temperature can be neglected. he semi-empirical model is an efficient alternative for the simulation of heat transfer and soil water, provided they are obtained experimentally the dependence of saturated hydraulic conductivity as a function of temperature and thermal diffusivity as a function of water content.

7 LISA DE SÍMBOLOS a, n e m parâmetros de ajuste da curva característica de água no solo b c parâmetro empírico capacidade calorífica volumétrica (J/( C.m³)) c1, c2, c3, c4, parâmetros determinados por ajuste não linear de curvas c5, c6, c7, c8, c9, c10, c11, c12, c13, c14, c15, c16 c a c p calor especifico da água (J/( C.m³)) calor específico da fração sólida (J/( C.m³)) c s d d i d s D W calor específico do solo (J/( C.m³)) densidade da água (kg/m³) diferença entre os valores estimados e calculados densidade global do solo (kg/m³) difusividade da água sob gradiente de temperatura (m²/s) D w, vap difusividade de água e vapor sob gradiente de temperatura (m²/s) &, & g h H i I p j k K K 0 l L m a m s critério de parada, respectivamente, hidráulico e térmico força da gravidade (m/s²) profundidade do solo (m) altura máxima da coluna de solo (m) indica a posição na malha espacial intervalo dos parâmetros do MPRM indica a posição na malha temporal condutividade térmica (W/ C.m) condutividade hidráulica do solo não saturado (m/s) condutividade hidráulica do solo saturado (m/s) parâmetro empírico igual a 0,5 encontrado por Mualem calor latente de vaporização da água massa de água no solo (kg) massa de solo seco (kg)

8 R SQE SQ t tf t m U V a V s X X raio do cilindro de solo soma dos quadrados dos erros soma dos quadrados das diferenças em relação a média tempo (s) tempo final (s) instante de tempo que a temperatura é máxima ( C) temperatura ( C) condição de contorno ( C) condição de contorno ( C) condição inicial ( C) teor de água à base de massa (kg/kg) volume de água no solo (m³) volume de solo seco (m³) vetor dos parâmetros hidraúlicos vetor dos parâmetros térmicos x, y, z coordenadas espaciais (m)

9 LISA DE LERAS GREGAS p difusividade térmica (m²/s) porosidade p min, p max intervalo entre valor mínimo e máximo dos parâmetros ot valor do parâmetro ótimo parâmetro de regularização do Método de Levenberg-Marquardt k r s 1 0 g m os p e matriz diagonal teor de água (dimensional) teor de água residual (dimensional) teor de água saturado (dimensional) teor de água (adimensional) condição de contorno (adimensional) condição inicial (adimensional) potencial total (Pa) potencial gravitacional (Pa) potencial matricial (Pa) potencial osmótico (Pa) potencial de pressão (Pa) parâmetro empírico F delta fourier z t intervalo espacial (m) intervalo temporal (s)

10 LISA DE ABELAS abela 5.1: Parâmetros determinados por MPRM com base em dados experimentais e utilizados na simulação do modelo semi-empírico abela 5.2: Componentes da malha na análise de convergência abela 5.3: Resultados dos testes numéricos do Método de Levenberg-Marquadt com a 1ª estimativa inicial abela 5.4: Resultados dos testes numéricos do Método de Levenberg-Marquadt com a 2ª estimativa inicial abela 5.5: Coeficiente de correlação da comparação do modelo semi-empírico com soluções isotérmicas para o teor de água abela 5.6: Coeficiente de correlação da comparação do modelo semi-empírico em relação às soluções com teor de água constante para a temperatura... 77

11 LISA DE FIGURAS Figura 2.1. Perfil completo do solo Figura 2.2. Curvas de retenção de água para diferentes solos e condições Figura 4.1: Representação da malha em Diferenças Finitas Centrais Figura 4.2: Fluxograma do programa utilizado na resolução do modelo semiempírico Figura 5.1: Distribuição da temperatura com diferentes malhas para determinados instantes de tempo Figura 5.2: Distribuição do teor de água com diferentes malhas para determinados instantes de tempo Figura 5.3: Distribuição do teor de água para t = s Figura 5.4: Distribuição da temperatura para t = s Figura 5.5: Influência da variação da temperatura na distribuição do teor de água: preto é 0,04 m e azul é 0,2 m Figura 5.6: Influência da variação do teor de água na distribuição da temperatura: preto é 0,04 m e azul é 0,2 m... 75

12 Figura 5.7: eor de água em função da profundidade: modelo LU-HUANG-HAN (MLU) e modelo semi-empírico (MSE) Figura 5.8: emperatura em função da profundidade: modelo LU-HUANG-HAN (MLU) e modelo semi-empírico (MSE) Figura 5.9: eor de água em função da profundidade: modelo LU-HUANG-HAN (MLU) e modelo semi-empírico (MSE) Figura 5.10: eor de água em função da profundidade: modelo LU-HUANG-HAN (MLU) e modelo semi-empírico (MSE)... 81

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14 14 1. INRODUÇÃO A agricultura é uma atividade geradora de alimentos e riqueza. Com o aumento populacional dos últimos anos, crescem também os desafios da tecnologia agrícola com relação à otimização da produção. Conforme Hillel (1998), o estudo do solo e suas propriedades, conhecido como física dos solos, teve início com interesse nos aspectos agrícolas, como um meio para a produção de culturas. Esses estudos se intensificaram no início do século XX, principalmente nos Estados Unidos. Atualmente o estudo do solo e suas propriedades são relevantes para fins agrícolas (melhoria da estrutura do solo, gestão ótima de irrigação e drenagem), o ecossistema natural (clima, biodiversidade) e engenharia civil (fundações, estradas e barragens). A transferência de água no solo ocorre através de diferentes processos: percolação, gravidade, capilaridade e infiltração (LIBARDI, 1999). Esses processos podem acontecer simultaneamente em um mesmo volume de solo, com interações complexas dependentes da composição, canais, pedras, matéria orgânica e ação de pequenos animais. A variação da temperatura no solo ocorre devido às condições climáticas na superfície (radiação solar), ação de plantas e coberturas vegetais. As variações da temperatura influenciam no crescimento vegetal, contribuindo para a germinação de sementes, desenvolvimento de raízes e plantas, difusão da água e dos gases, absorção de nutrientes e nas reações químicas. As propriedades hidráulicas e térmicas do solo estão relacionadas entre si, sendo o acoplamento dos problemas térmico e hidráulico consensual na literatura (HILLEL, 1998). Gradientes de temperatura induzem a transferência de água e vapor, reciprocamente gradientes de teor de água induzem a transferência de calor. Portanto, a ocorrência de gradientes de temperatura e gradientes de teor de água no solo resulta na transferência simultânea de calor e água. Lu et.al. (2005a), com base em experimentos, destacam que a transferência de calor deve ser incluída no estudo sobre a transferência de água como um fator indispensável, assumindo assim que a influência dos gradientes de temperatura na dinâmica da água do solo é mais relevante do que a influência dos gradientes de teor de água na distribuição da temperatura no solo. Modelos de transferência simultânea de calor e água em solos e em meios porosos foram desenvolvidos com base na teoria mecanicista de Philip e de Vries (1957), tais

15 15 como Ahmed (1980), Walker (1981), Hillel (1998) e Lu et.al. (2005b) ou na teoria termodinâmica de aylor e Cary (1964), tais como Gee (1966) e Hauk (1971). As principais diferenças entre esses modelos é a forma de acoplar a temperatura com o teor de água e a obtenção dos parâmetros. Neste trabalho é proposto um modelo semi-empírico, que consiste no acoplamento dos problemas hidráulico e térmico através de dados experimentais. Devido à indisponibilidade de dados experimentais de laboratório ou de campo foram utilizados dados sintéticos (artificiais) supondo o comportamento das variáveis. O modelo semi-empírico consiste na resolução simultânea do sistema de Equações Diferenciais Parciais formado pela Equação de Richards, que descreve a dinâmica da água no solo, e pela Equação do Calor, que descreve o comportamento da temperatura no solo. O acoplamento ocorre pela consideração da variação da difusividade térmica, utilizada na Equação do Calor, em função do teor de água e, simultaneamente, a variação da condutividade hidráulica, utilizada na Equação de Richards, em função do teor de água e da temperatura. Essas dependências se obtidas de forma empírica, são o que caracterizam o modelo semi-empírico, porém nas simulações realizadas foram utilizados dados sintéticos. O sistema de equações do modelo foi resolvido numericamente pelo Método de Diferenças Finitas, utilizando o esquema temporal Explícito Simples. Um modelo computacional próprio foi desenvolvido em linguagem MALAB para a realização das simulações considerando o caso unidimensional. Para verificar a coerência do comportamento dos resultados do modelo proposto foram realizadas comparações com o modelo de Lu et.al. (2005b) e com modelos isotérmicos. O ajuste não linear de curvas através do Método de Procura em Rede Modificado (MPRM) foi utilizado para determinar os parâmetros das funções das condições iniciais e de contorno do modelo semi-empírico e os parâmetros das funções de dependência assumidas no modelo. O Problema Inverso (PI) através do Método de Levenberg- Marquardt (MLM) foi utilizado para determinação de parâmetros com base em dados experimentais, sendo determinados sete parâmetros: quatro hidráulicos e três térmicos. Outro motivo da utilização do Problema Inverso foi verificar se o modelo semiempírico é viável do ponto de vista de tempo computacional para ser utilizado como Problema Direto em um Problema Inverso. A escolha pelo Método de Levenberg- Marquardt se deve ao parâmetro de regularização que funciona como um acelerador da convergência, possibilitando economia de tempo computacional.

16 16 A dissertação é comporta por seis capítulos, onde: No capítulo 1 é apresentada a introdução, enfatizando de forma breve o objeto de estudo do trabalho. No capítulo 2 é feita uma revisão bibliográfica, onde são apresentadas a origem e definição do solo, seus atributos físicos, suas propriedades térmicas e hidráulicas e os modelos de transferência simultânea de calor e água no solo. No capítulo 3 é apresentado as suposições iniciais e o modelo semi-empírico para a modelagem da transferência simultânea de calor e água no solo. No capítulo 4 é apresentada a discretização do modelo semi-empírico através do método numérico de Diferenças Finitas com esquema temporal explícito simples, e o fluxograma utilizado na implementação computacional. Além, dos algoritmos do Método de Procura em Rede Modificado e do Problema Inverso: Método de Levenberg- Maquardt. No capítulo 5 são apresentados os resultados através de gráficos e tabelas com suas respectivas análises. No capítulo 6 as conclusões e sugestões de trabalhos futuros.

17 17 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA O estudo do solo e suas propriedades, conhecido como física dos solos, iniciou com interesse nos aspectos agrícolas como um meio para a produção de culturas. Esses estudos se intensificaram no início do século XX, principalmente nos Estados Unidos. Atualmente o estudo do solo e suas propriedades além da agricultura (melhoria da estrutura do solo, gestão ótima de irrigação e drenagem), também interessa para o ecossistema natural (clima, biodiversidade) e a engenharia civil (fundações, estradas e barragens) (HILLEL, 1998). Na agricultura o estudo do solo situa-se na composição (elementos químicos e microorganismos, entre outros), nos atributos físicos (densidade, textura, estrutura e porosidade), na temperatura do solo (transferência de calor no interior do solo), no teor de água (quantidade de água armazenada) e nas transformações do solo devido à ação do manejo e água, responsável pelo transporte de nutrientes para as plantas. A origem e definição do solo, seus atributos físicos como textura, densidade, estrutura e porosidade, as propriedades térmicas, as propriedades e potenciais responsáveis pela dinâmica da água do solo e, principalmente, os modelos de transferência simultânea de calor e água no solo, serão apresentados neste capítulo O solo e seus atributos físicos Segundo Reichardt e imm (2004) e Hillel (1998) a origem do solo é a rocha que por ação de processos físicos e químicos de desintegração e decomposição se transformou, no decorrer do tempo, em material poroso de características peculiares, juntamente com os resíduos acumulados de plantas macroscópicas e microscópicas e animais. Reconhecem-se cinco fatores principais na formação do solo: material original, tempo, clima, topografia e organismos vivos. O solo é a camada externa e agriculturável da superfície terrestre, ele é heterogêneo, particulado, disperso e trata-se de um sistema poroso. O solo é uma mistura complexa de materiais inorgânicos e orgânicos, contendo uma rica variedade de organismos, ele fornece apoio e suporte para as plantas que dele extraem água e nutrientes (WINER, 1984).

18 18 Ao fazer um corte vertical no perfil do solo obtém-se uma seção constituída de uma série de camadas superpostas, denominadas horizontes do solo. Um solo completo é formado por quatro horizontes, que ainda podem ser subdivididos. O horizonte A é a camada superficial do solo, exposta diretamente a atmosfera, o horizonte B ganha elementos químicos provenientes do horizonte A. O horizonte C é formado pelo material que deu origem ao solo, em estado de decomposição, e o horizonte D, pela rocha matriz (REICHARD e IMM, 2004). Figura 2.1 Perfil completo do solo (REICHARD e IMM, 2004). As três fases da matéria são representadas no solo porque o mesmo é formado por partes sólida, líquida e gasosa. A parte sólida do solo constitui-se de matéria orgânica e matéria mineral providos da rocha na qual o solo se formou, são denominadas partículas e variam quanto a composição, tamanho, forma e orientação. A parte líquida constituise de uma solução de sais minerais e componentes orgânicos, cuja concentração varia de solo para solo e, certamente, com seu teor de água. A parte gasosa é constituída de ar com composição um pouco alterada em relação ao ar que circula sobre o solo, variando

19 19 ainda segundo um grande número de fatores. As proporções relativas das três fases do solo não são fixas, pelo contrário, mudam continuamente, dependendo de variáveis como o clima extura do solo Conforme Reichardt e imm (2004) a textura do solo refere-se á distribuição das partículas do solo quanto ao seu tamanho. radicionalmente, as partículas do solo são divididas em três frações de tamanho, chamadas frações texturais: areia, silte e argila. Não existe nenhum esquema universal aceito para a classificação do tamanho de partículas, sendo várias classificações texturais do solo encontradas. As partículas sólidas do solo variam de qualidade e de tamanho. Quanto ao tamanho, algumas são grandes o suficiente para serem vistas a olho nu, ao passo que outras são tão minúsculas que apresentam propriedades coloidais. A determinação da distribuição dos tamanhos das partículas do solo é conhecida como análise mecânica do solo. Feita a análise mecânica ou textural de um solo, ou seja, determinadas as quantidades relativas das três frações (areia, silte e argila), o solo recebe uma designação, agrupados em três classes de textura: Solos de extura Arenosa (Solos leves): Possuem teores de areia superiores a 70% e de argila inferior a 15%, são permeáveis, leves de baixa capacidade de retenção de água e de baixo teor de matéria orgânica. Solos de extura Média (Solos Médios): São solos que apresentam certo equilíbrio entre os teores de areia, silte e argila. Normalmente, apresenta boa drenagem, boa capacidade de retenção de água e índice médio de erodibilidade (propriedade que retrata a facilidade com que partículas são destacadas e transportadas). Solos de extura Argilosa (Solos pesados): São solos com teores de argila superiores a 35%. Possuem baixa permeabilidade e alta capacidade de retenção de água. Esses solos apresentam maior força de coesão entre as partículas, além de dificultar a penetração de água. Embora sejam mais resistentes à erosão são susceptíveis à compactação. Segundo Reichardt (1990) a textura é um fator que afeta a retenção de água no solo, pois ela determina a área de contato entre as partículas sólidas e a água, e também

20 20 às proporções de poros de diferentes tamanhos. Rawls et.al. (1998) confirmam essa suposição através de experimentos, onde observam que a condutividade hidráulica saturada, que expressa a facilidade com que a água é transportada através do solo, é muito menor para solos argilosos (Pesados) do que para solos arenosos (Leves). Essa diferença enorme prova que a condutividade hidráulica saturada é dependente da textura do solo. Abu-Hamdeh (2003) realizou um estudo do efeito do teor de água e dos atributos físicos do solo nas propriedades térmicas do mesmo e constatou que a difusividade térmica varia de acordo com a textura do solo Densidade do solo A densidade do solo também chamada de densidade aparente ou densidade global ( d s ), é definida como a massa do solo seco por unidade de volume (REICHARD e IMM, 2004) m s d s, (2.1) Vs onde d s é a densidade do solo (kg/m³) m s é a massa de solo seco (kg) V s é o volume de solo seco (m³). A determinação da densidade é feita em laboratório permitindo verificar o grau de compactação do solo. A densidade do solo é, portanto, um índice do grau de compactação de um solo. Para solos de textura grossa, mais arenosos, as possibilidades de arranjo das partículas não são grandes e, por isso, os níveis de compactação também não são grandes. odas as ações que influenciarem a disposição das partículas do solo terão como conseqüência direta a alteração dos valores da densidade. Os valores mais baixos de densidade estão associados a solos ou camadas de solos com estrutura granular, ao passo que valores mais elevados estão associados a estrutura do tipo em blocos ou

21 21 similar, esses valores dependem também do teor de argila, solos arenosos são mais densos e solos argilosos são menos densos. A densidade interfere nas propriedades hidráulicas e térmicas do solo. Segundo Rawls et.al. (1998) a densidade influencia a condutividade hidráulica saturada do solo e, conforme Abu-Hamdeh (2003), o calor especifico também é afetado diretamente pela densidade Estrutura do solo A estrutura do solo é usada para descrever o que se refere a arranjo, orientação e organização das partículas sólidas do solo. A estrutura também define a geometria dos espaços porosos. Não há meio prático de medir a estrutura do solo, por isso, o conceito de estrutura do solo é qualitativo. Segundo Reichardt (1990) um solo pode ser bem estruturado ou mal estruturado. O solo bem estruturado ou agregado apresenta boa quantidade de poros de tamanho relativamente grande. Esta alta macroporosidade facilita a penetração de raízes, circulação de ar (aeração), manejo do ponto de vista agrícola (operações de cultivo) e a infiltração de água. Enquanto um solo mal estruturado ou agregado apresenta baixa porosidade e, consequentemente, menor retenção de água, estando mais sujeito à erosão por apresentar baixa capacidade de infiltração. A compactação do solo está diretamente ligada à estrutura. Como o solo é um material poroso, por compressão, a mesma massa de material sólido pode ocupar um valor menor. Isso afeta sua estrutura, o arranjo de poros, o volume de poros e as características de retenção de água (REICHARD, 1990). A compactação afeta diretamente a porosidade, quanto mais elevada for a massa especifica aparente (densidade) do solo, mais compactado ele estará e menor será sua porosidade total (OLIVEIRA et al. 2005). A compactação do solo se dá pela influencia de máquinas agrícolas e pisoteio de animais, é danosa para a produção agrícola, sendo que possui características como baixa infiltração de água, raízes deformadas e estruturas degradadas.

22 Porosidade do solo Conforme Reichardt e imm (2004) a porosidade é a medida do espaço poroso do solo. A porosidade está diretamente ligada a densidade do solo, sendo que quanto maior for a densidade do solo menor a sua porosidade. A porosidade total também é denominada Volume otal de Poros, pois trata-se de uma relação entre volumes. A porosidade do solo interfere diretamente na infiltração de água, quanto maior a porosidade, maior a capacidade do solo em armazenar água. Portanto, os solos de textura fina têm maior capacidade de retenção de água do que os de textura grossa. Os poros do solo são classificados com as seguintes classes: Macroporos: Poros com diâmetro maior que 0,1 mm. Sua principal função é a aeração da matriz do solo e a condução de água durante o processo de infiltração. Mesoporos: Poros com diâmetro entre 0,1 mm e 0,05 mm. Sua principal função é a condução de água durante o processo de redistribuição, isto é, após a infiltração, quando se esvaziam os macroporos. Microporos: Poros com diâmetro menor que 0,05 mm. São também chamados poros capilares e atuam na armazenagem de água. Nestes poros, a água se move, mas vagarosamente emperatura do solo A temperatura do solo é importante fator no crescimento e desenvolvimento vegetal. A temperatura do solo afeta a germinação das sementes, o desenvolvimento das raízes e das plantas, a atividade dos microorganismos, a difusão dos solutos e gases, as reações químicas e uma série de processos importantes para o pesquisador da área de ciência do solo. Uma temperatura do solo desfavorável durante a estação de crescimento pode retardar ou mesmo arruinar as colheitas. Em muitas circunstâncias a temperatura do solo é mais importante do que a temperatura do ar para as diversas fases fenológicas das plantas e, consequentemente, para o crescimento, rendimento, qualidade e quantidade na produção agrícola (OLIVEIRA et al., 2007). A temperatura do solo também é essencial para a caracterização do microclima junto a superfície do solo, tornando-se, portanto, relevante conhecer a sua variação para

23 23 melhor entendimento dos fenômenos relacionados aos balanços energéticos e da decomposição da matéria orgânica. Além disso, a temperatura exerce papel fundamental no processo de evaporação do solo. O solo, além de armazenar e permitir os processos de transferência de água, solutos e gases, também armazena e transfere calor. A temperatura do solo varia em resposta a mudanças na radiação térmica, que ocorrem principalmente na superfície do solo. Conforme Reichardt e imm (2004) e Hillel (1998), o processo de transferência de calor no solo pode acontecer de três maneiras: Condução: é a propagação do calor dentro de um corpo pelo movimento molecular interno. Convecção: é o processo de transferência de calor por fluxo de massa, no caso do solo: água e ar. Radiação: é o processo de transferência de calor por radiações eletromagnéticas. No interior do solo, o processo de transferência por condução é, sem dúvida, o principal processo que ocorre. Na superfície do solo e na atmosfera podem ocorrer todos os 3 modos de transferência de calor. A variação da temperatura do solo depende das propriedades térmicas do mesmo: calor específico, capacidade calorífica volumétrica, condutividade térmica e difusividade térmica. As propriedades térmicas do solo são importantes para muitas áreas como engenharia, agronomia e ciência do solo, sendo que elas são necessárias para a modelagem do transporte de calor no solo (ABU-HAMDEH, 2003). Inúmeros fatores interferem no comportamento da temperatura do solo como a composição mineralógica, cor da superfície, estrutura e matéria orgânica. As propriedades do solo além de serem afetadas por todos os fatores citados são influenciadas pelo teor de água e densidade do solo, sendo então a temperatura caracterizada como uma função do tempo e espaço (HILLEL, 1998; ABU-HAMDEH, 2003). Conforme Gasparim et al. (2005), as coberturas são capazes de modificar o regime térmico dos solos, tanto para aumentarem quanto para diminuírem a temperatura, e essas coberturas podem ser constituídas de materiais de diferentes espessuras e propriedades térmicas. Portanto, a temperatura no interior do solo pode ser modificada pelos tratamentos de superfície (preparo e cobertura). A superfície do solo, com ou sem cobertura vegetal, é a principal trocadora e armazenadora de calor no ecossistema

24 24 terrestre. Gasparim et al. (2005), através de experimentos, verificou que quanto maior a densidade de cobertura morta sobre o solo, menor é a variação de temperatura no seu perfil. Pelo fato da absorção e da perda de energia ocorrer na superfície, aliado a baixa velocidade de propagação do calor no interior do solo, as variações térmicas se limitam aos horizontes mais superficiais. A temperatura na superfície do solo geralmente se mantém entre 20 C e 40 C, mas pode chegar a alcançar temperaturas extremas próximo a superfície. Para profundidades a partir de 0,5 m as variações de temperatura são tão pequenas que pode se afirmar que a temperatura praticamente se mantém constante. No perfil de solo são caracterizadas duas zonas geotérmicas: uma superior, caracterizada pelas oscilações térmicas e outra inferior, em que as temperaturas oscilam entre valores muito próximos e por isso são praticamente constantes (GASPARIM et al. 2005) Calor específico e capacidade calorífica volumétrica do solo Conforme Reichardt e imm (2004) de suma importância no estudo termodinâmico e agronômico do solo é o calor específico do mesmo, sendo que essa propriedade se refere ao solo como reservatório de calor. Calor específico é, por definição, a quantidade de calor sensível cedida ou recebida pela unidade de massa ou de volume do solo, quando sua temperatura varia de 1 C. Como o teor de água do solo é variável, o calor específico do solo, em seu estado natural, não é uma característica só do solo, mas sim do conjunto solo-água. Para solos secos a mesma pode ser considerada constante, sendo que varia de solo para solo, dependendo das proporções de matéria mineral e orgânica. O calor específico ou a capacidade térmica por unidade de volume de solo pode ser determinado pela adição das capacidades térmicas dos diferentes constituintes em 1 cm³. Em geral a capacidade calorífica da fração gasosa pode ser desprezada. Sendo então descrito pela seguinte equação: c s ( 1 p ) c p ca (2.2) onde

25 25 c s é o calor específico do solo (J/ Cm³) p é a porosidade c p é o calor especifico da fração sólida (J/ Cm³) é o teor de água (dimensional) c a é o calor especifico da água (J/ Cm³). As propriedades térmicas podem ser divididas em propriedades de transporte e propriedades termodinâmicas. O calor específico e a massa específica são duas dessas propriedades utilizadas em análises termodinâmicas. O produto do calor específico com a massa especifica é conhecido como capacidade calorífica volumétrica, que representa a capacidade de um material de armazenar energia térmica (INCROPERA, 2002). A capacidade calorífica volumétrica do solo é definida como a mudança no conteúdo de calor de uma unidade de volume maior de solo por unidade de variação de temperatura. Ela depende da composição da fase sólida (composição mineral e orgânica), da densidade e do teor de água do solo. O valor da capacidade calorífica volumétrica do solo pode ser estimado somando as capacidades de calor dos diversos constituintes, ponderada de acordo com suas frações de volume. Abu-Hamdeh (2003) afirma que o calor específico e a capacidade calorífica volumétrica do solo dependem de muitos fatores, alguns inerentes do próprio solo (composição mineral e orgânica) e outros que podem ser administrados ou controlados até certo ponto (densidade e teor de água). Essas propriedades térmicas do solo vão aumentando conforme aumenta o teor de água do solo. Segundo Hillel (1998), além dos métodos citados para calcular o calor especifico e a capacidade calorífica volumétrica do solo, também é possível medir essas propriedades, utilizando técnicas de calorimetria (AYLOR e JACKSON, 1986), o método de pulso de calor (CAMPBELL et al., 1991), e a sonda DR (NOBORIO et al., 1996) Condutividade térmica do solo Segundo Hillel (1998) a condutividade térmica é a quantidade de calor transmitido através de uma unidade de área de um material por uma determinada unidade de tempo sob gradiente de temperatura.

26 26 A condutividade térmica é uma propriedade de transporte característica de cada material, na verdade, a condutividade térmica expressa a capacidade de um determinando material de transmitir calor. A condutividade térmica do solo depende de sua composição mineral, conteúdo de matéria orgânica, e da fração sólida do solo, sendo que ela é sensível aos tamanhos, formas e o arranjo espacial das partículas do solo. A condutividade térmica também depende do teor de água e da densidade do solo. O teor de água do solo depende de fenômenos como chuva, irrigação entre outros, enquanto a densidade oscila conforme o manejo do solo, por exemplo, na agricultura, pisoteio de animais e ação das máquinas agrícolas sobre o solo. Como os dois principais fatores que influenciam a condutividade térmica podem variar consideravelmente com o tempo e o espaço, a mesma varia em um mesmo solo, e de solo para solo. Conforme diminui o teor de água do solo, o transporte de calor nos poros diminui, devido a dois fatores. O primeiro é o teor de água nos poros que diminui o contato entre moléculas no solo e o segundo fator é como o líquido se movimenta no solo, pois o transporte de calor é também dependente da circulação de água nos poros (HILLEL, 1998). Quanto a densidade, a condutividade térmica aumenta conforme aumenta a densidade do solo, e consequentemente conforme diminui a porosidade. A condutividade térmica pode ser determinada de forma direta que é a forma experimental. Métodos experimentais como de Vries (1963) e Ochsner et al. (2001) determinam a condutividade térmica pela medição da distribuição de temperatura em resposta ao calor de entrada gerado por uma fonte ou medida através da sonda (thermo- DR). A condutividade térmica também pode ser calculada de forma indireta a partir de modelos encontrados na literatura que tem como base a utilização de dados empíricos. Modelos analíticos como o de de Vries (1963) que depende das frações de volume, das condutividades térmicas dos componentes que formam o solo e das relações do gradiente de temperatura com os minerais, matéria orgânica, ar e água. Na literatura também se encontram modelos numéricos para determinar a condutividade térmica, a partir da sua relação com a difusividade térmica e a capacidade calorífica volumétrica. A capacidade calorífica volumétrica é facilmente determinada de forma experimental, e a difusividade térmica determinada pela resolução da Equação do Calor por métodos numéricos (SIKORA e KOSSOWSKI, 1993).

27 Difusividade térmica do solo Incropera (2002) define a difusividade térmica como sendo a capacidade do material de conduzir energia térmica em relação a sua capacidade de armazená-la. Especificamente a difusividade térmica do solo, representa a habilidade do solo em difundir calor, ou seja, sua capacidade de transportar o calor para dentro (interior do solo). A difusividade térmica expressa a agilidade da mudança de temperatura no solo, quando submetido a variações de temperaturas externas. Sendo, que pode ser melhor compreendido como uma medida que representa o tempo necessário para as variações de temperatura se propagarem (ALVALÁ et al., 2002). Está propriedade fornece uma idéia da velocidade de avanço da frente de aquecimento do solo. A difusividade térmica é definida pela razão entre (k) que é a condutividade térmica (W/ Cm) e (c) que é a capacidade calorífica volumétrica do solo (J/ Cm³) (INCROPERA, 2002): k c (2.3) onde é a difusividade térmica (m²/s). A difusividade térmica é de grande utilidade em estudos de fluxo de calor, sendo importante na caracterização térmica do solo. Esta propriedade do solo faz parte da Equação de Energia, que é utilizada para determinar o comportamento da temperatura no solo. Quanto mais alta a difusividade térmica, mais rápido o solo responde as condições térmicas impostas a ele, ou seja, mais rapidamente o calor irá se difundir através do solo. Solos com baixa difusividade térmica são capazes de reter o calor por mais tempo. A difusividade térmica do solo depende da constituição do solo e de atributos físicos como densidade, estrutura e textura que variam com a profundidade (espaço). Porém, a difusividade térmica também é uma função do tempo, pois depende do teor de água do solo que pode variar rapidamente com o tempo (PASSERA de SILANS et.al., 2006).

28 28 Assim como as demais propriedades térmicas do solo a difusividade térmica do solo pode ser medida de forma direta ou indireta. Entre outros métodos experimentais, pode se destacar o de Campbell et.al. (1991) que utiliza pequenos sensores de sonda dual desenvolvidos a partir da teoria do pulso de calor. Conforme Alvalá et.al. (2002) para determinar a difusividade térmica de forma indireta diversos métodos analíticos têm sido apresentados. Alguns envolvem modelos teóricos (de VRIES, 1963) ou modelos semi-empíricos como o Método da ransformada de Laplace Corrigido (PASSERA de SILANS, 1988) e o Método de Nassar e Horton (NASSAR e HORON, 1989). Existem também os modelos numéricos, onde a difusividade térmica é encontrada a partir da resolução numérica da Equação de Energia (SIKORA e KOSSOWSKI, 1993) eor de água do solo O teor de água do solo é de grande importância no estudo das suas características físico-hídricas, no estudo de processos no sistema solo-planta-atmosfera e no manejo da água objetivando a produção vegetal. A transferência de água no interior do solo também é de suma importância para o transporte de nutrientes (RININALHA et.al. 2004). Como já visto o solo pode ser formado pelas três fases da matéria: sólido, gasoso e líquido; a parte líquida do solo constitui-se essencialmente de água, contendo minerais dissolvidos e materiais orgânicos solúveis. A quantidade de água armazenada no solo é denominada teor de água do solo ou umidade do solo. Muitos fatores afetam o teor de água do solo. O principal deles é a textura, pois ela, diretamente, determina a área de contato entre as partículas sólidas e a água e determina as proporções de poros de diferentes tamanhos. A estrutura também afeta o teor de água, pois ela determina o arranjo das partículas, que por sua vez vai determinar a distribuição dos poros. Conforme Reichardt (1990) a água que se infiltra no solo e por ele é armazenada em seus poros, fica parte dela disponível para o uso das plantas. Se a capacidade de armazenamento é ultrapassada, o excesso de água infiltrada percola para horizontes mais profundos, por isso, a quantidade de água precisa ser periodicamente reposta pela chuva ou pela irrigação, para garantir uma produção vegetal adequada. A água dentro

29 29 do solo não permanece estática, seu movimento principal é o descendente, mas ela pode se mover em todas as direções, geralmente das regiões mais úmidas para as regiões mais secas. Os poros do solo podem estar parcialmente ou totalmente ocupados por água. De modo geral, os solos não se encontram com todos os poros totalmente ocupados por água, mesmo assim armazena considerável quantidade, parte da qual é utilizada por plantas. O teor de água do solo pode assumir valores extremos, o teor de água saturado ( s ) é quando os poros do solo estão completamente cheios de água, e o teor de água residual ( r ) é quando a presença de água nos poros do solo é praticamente nula (LIBARDI, 1999). Conforme rintinalha et.al. (2004) o teor de água do solo, embora seja um conceito físico simples, apresenta dificuldades na sua determinação, devido a inerente variabilidade espacial e temporal das características físicas do solo. Existem inúmeras maneiras de medir o teor de água do solo, através de métodos diretos ou indiretos, cada qual apresentando determinada precisão, tempo de resposta e custo do equipamento envolvido. Como método direto, tem-se o gravimétrico, que pode ser realizado com a utilização de uma estufa ou de um forno microondas. Os métodos diretos são destrutivos, o que impede a repetição da medida do teor de água no mesmo local. 1 Neste método o teor de água pode ser expresso em base de massa ( U, kg kg ) : m a U (2.4) m s onde m a é a massa de água no solo (kg) ms é a massa de solo seco (kg). usual: 3 E também pode ser expresso em base de volume (, m³ m ), que é a forma mais V a (2.5) V s

30 30 onde V a é o volume de água no solo (m ³) V s é o volume do solo seco (m ³). Como em laboratório é mais fácil de quantificar U, e é mais usado, as duas formas de quantificar o teor de água foram relacionadas pela seguinte equação: U d s. (2.6) Dentre os métodos indiretos, pode se destacar os seguintes: sonda de nêutrons, resistência elétrica, tomografia computadorizada com raio X e raios gama, ressonância magnética, a Reflectometria no Domínio do empo (DR) e o ECHO (equipamento utilizado para medir a constante dielétrica ou o potencial elétrico) (RININALHA et al., 2004) Energia Potencial da água no solo Depois do teor de água, o estado de energia da água é, provavelmente, a característica mais importante do solo. Onde energia, em termos bem simples, é a capacidade de produzir trabalho. A energia pode ser cinética, que é aquela que os corpos possuem em virtude de seu movimento, porém no caso do solo, como a velocidade da água é pequena, a energia cinética pode ser desprezada com segurança (REICHARD, 1990). A energia pode também ser potencial, que é aquela que um corpo possui em virtude de sua posição em campos de força. Sendo um exemplo de campo de força, o campo gravitacional. Para o caso da água no solo, o campo gravitacional de forças pode ainda afetar o estado de energia da água através de uma pressão. Conforme REICHARD (1990) para definir o estado de energia da água no solo é necessário considerar outros campos de força além do gravitacional (capilaridade, adsorção). Esses fenômenos são o resultado da interação entre as partículas sólidas do solo e a água. São considerados em conjunto e da sua atuação resulta a energia potencial matricial. Além das energias citadas, a presença de solutos na água do solo também

31 31 afeta seu estado de energia, como os solutos se movem junto com a água, esta energia potencial conhecida como osmótica, geralmente é negligenciada. A energia potencial total da água é a soma de todas as energias citadas: gravitacional, pressão, matricial e osmótica. Podem existir outras formas de energia da água no solo, mas em geral elas são desprezíveis. odos esses potenciais são quantificados em Pascal (Pa) ou ( mh o 2 ) Potencial gravitacional Segundo Reichardt (1990), considerando apenas o campo gravitacional, a água tem uma energia potencial gravitacional, que depende da posição na qual ela se encontra, em relação a um dado plano referencial, comumente a superfície do solo. Essa é a componente gravitacional, que tem valor zero no plano de referência, é positiva acima dele e negativa abaixo dele. Assim, ao nos aprofundarmos no perfil de solo, a componente gravitacional torna-se cada vez mais negativa. O potencial gravitacional ( g ) é dado por: g d g z (2.7) onde d é a densidade da água (kg/m³) g é a força da gravidade (m/s²) z é a altura (m). O potencial gravitacional é de grande importância para solos saturados, mas quando o solo vai perdendo água os outros potencias vão ganhando mais importância Potencial de pressão É a pressão à qual a água pode estar submetida e representa energia por volume. Então, quanto maior a pressão, maior o estado de energia da água, e está energia

32 32 referente a pressão é denominada potencial de pressão. Partindo da hidrostática, o potencial de pressão ( p ) é dado por: p d g h (2.8) onde h é a profundidade do solo (m) Potencial Matricial O potencial matricial ( m ) se refere aos estados de energia da água conforme sua interação com as partículas sólidas do solo, também chamadas de matrizes do solo. Essa interação se refere aos fenômenos de capilaridade e adsorção e eles conferem à água estados de energia menores do que o estado de água livre, e como para este estado livre o valor é zero, o potencial matricial sempre é negativo (REICHARD, 1990). Para solos saturados a componente matricial é considerada nula, por não haver no solo os fenômenos de adsorção e capilaridade. Com a saída de água do solo e a entrada de ar nos poros, o potencial matricial começa a ser considerado. Sendo que para solos com teor de água alto a capilaridade é o principal fenômeno que determina o potencial matricial, e com teor de água mais baixo a adsorção se torna mais relevante. O potencial matricial é, portanto, uma função do teor de água, sendo que quanto menor o teor de água mais negativo é o potencial matricial. O potencial matricial geralmente é medido por equipamentos como tensiômetros, funis de placa porosa, câmara de pressão de Richards, entre outros (LIBARDI, 1999) Potencial osmótico O potencial osmótico ( os ) se refere aos íons e outros solutos encontrados na água. Sendo que quanto mais concentrada a solução, menor o estado de energia da água e, portanto, mais negativo o valor do potencial osmótico. Porém, o potencial osmótico depende de membranas semipermeáveis, como no solo de maneira geral não existe esse

33 33 tipo de membranas, o potencial osmótico geralmente é desprezado no movimento da água no solo (REICHARD, 1990) Potencial total O potencial total () da água é a soma de todas as componentes citadas: potencial gravitacional, potencial de pressão, potencial matricial e potencial osmótico, ou seja: g p m os. (2.9) Porém, dependendo da situação em que o solo se encontra quanto ao teor de água, alguns desses componentes do potencial total podem ser negligenciados. Para solos saturados o potencial matricial pode ser desprezado: g p os, (2.10) e para solos não saturados, o potencial de pressão pode passar a ser desprezado: g m os. (2.11) Movimento da água no solo No solo, quando houver diferenças de potencial total, pode haver movimento da água. A diferença de potencial cria um gradiente de potencial e como esse é considerado uma força, a água pode se mover. Quando acontecer o contrário, não havendo diferenças de potencial a água encontra-se então em equilíbrio (REICHARD, 1990). A água pode-se mover em qualquer sentido e direção, de cima para baixo, de baixo para cima, lateralmente, etc., mas sempre de acordo com a distribuição do potencial total. Além do potencial total da água, outra propriedade hidráulica relevante para representar o movimento da água no solo é a condutividade hidráulica. Ela é um

34 34 parâmetro que mede a facilidade com o qual o solo transmite água. Portanto, quanto maior a condutividade hidráulica maior a facilidade com que a água se move no solo. A condutividade hidráulica está em função do teor de água, sendo que quanto maior o teor de água do solo maior a condutividade hidráulica. Quando o solo está saturado o valor máximo da condutividade hidráulica é determinado, conhecido como condutividade hidráulica saturada, e quando o solo estiver praticamente seco a condutividade hidráulica é praticamente zero. Para descrever o movimento da água no solo é utilizado equações para quantificar o processo. Duas equações são relevantes para quantificar o movimento da água no solo sob condições isotérmicas: a Equação de Darcy para solos saturados e a Equação de Darcy-Buckingham para solos não saturados. No ano de 1856, o engenheiro Henry Darcy realizou uma experiência sobre infiltração vertical de água em colunas de areia sob condições de saturação. A partir dessa experiência ele propôs uma equação, atualmente conhecida como Lei de Darcy, sendo essa a primeira equação que possibilitou a quantificação do movimento da água em solos saturados. Porém, como geralmente o solo encontra-se não saturado, um dos primeiros trabalhos que se tem registro que apresenta uma equação para solos não saturados é o de Buckingham em Ele generalizou a equação de Darcy e verificou que ela também pode ser aplicada para o fluxo de água em solo não saturado, essa equação ficou conhecida como Equação de Darcy-Buckingham. Ambas as equações são para condições de regime estacionário, ou seja, as características do fluxo de água não variam com o tempo (LIBARDI, 1999). No entanto, como a maioria das situações reais são transientes, então é necessário usar a Equação da Continuidade ou a Equação de Conservação de Massa. Em 1931 Richards utilizando a Equação de Darcy-Buckingham e o principio de conservação de massa apresentou a equação diferencial que rege o movimento da água nos solos relacionando a variação do teor de água com o potencial matricial, gravitacional, osmótico e de pressão para solos saturados e não saturados, conhecida como Equação de Richards.

35 Curva característica da água no solo A curva característica da água no solo também é conhecida como curva de retenção de água e curva de sucção matricial, ela representa a dependência do potencial matricial em relação ao teor de água do solo. Portanto o potencial matricial do solo é função do teor de água do mesmo. A determinação da curva característica da água no solo é de suma importância na área de irrigação e nos estudos de movimento da água no solo. Ela é governada por duas forças principais, as forças capilares e as forças de adsorção, as quais são denominadas de forças mátricas. A capilaridade ocorre nos microporos, sendo mais importante quando o solo está mais úmido e é influenciada principalmente pela estrutura do solo. A adsorção ocorre nas superfícies dos sólidos como filmes presos a elas, sendo mais importante quando o sólido está mais seco e é influenciada também pela textura do solo. Conforme Reichardt (1990), quando um solo está saturado não existe capilaridade e a adsorção também é nula. Nessas condições, o potencial matricial é nulo. Conforme o solo vai secando aparecem meniscos e a capilaridade começa a atuar, como conseqüência, o potencial matricial vai se tornando cada vez mais negativo. Para teores de água relativamente próximos de seco a capilaridade deixa de atuar e adsorção é importantíssima, fazendo com que o potencial matricial assuma valores negativos relativamente altos. Portanto, o potencial matricial é sempre negativo e no máximo igual a zero para o caso do solo saturado. A curva característica da água possui limitações devido sua alta variabilidade em função da textura, estrutura, compactação, entre outras atributos físicos do solo. O potencial matricial tem variação grande na relação do solo saturado com o solo seco, por isso é comum a curva característica da água no solo ser representada em gráfico semi-log, ou seja, o logaritmo do potencial matricial é representado em função do teor de água.

36 36 Figura Curvas de Retenção de água para diferentes solo e condições (adaptado, Reichardt e imm, 2004). A curva característica da água no solo pode ser medida (forma direta) tanto em campo quanto em laboratório dependendo do equipamento utilizado. Sendo que a mesma pode ser obtida de duas formas. A primeira é por secagem, quando a amostra previamente saturada é exposta a potenciais matriciais crescentes, o que implica ir diminuindo o teor de água. A segunda é por umedecimento, quando a amostra seca vai recebendo quantidades de água e consequentemente diminuindo seu potencial matricial. Para determiná-la de forma direta existem vários equipamentos sendo o principal e mais encontrado na literatura a câmara de pressão de Richards. Além disso, os equipamentos como tensiômetros, funis de placa porosa, WP4 (Dewpoint Potentia Meter), DR, centrifuga, entre outros, são utilizados para determinar a curva característica da água no solo (LIBARDI, 1999). De forma indireta (calculada) existem alguns modelos na literatura para determinar a curva característica da água no solo. Entre eles se destaca o modelo proposto por Van Genuchten (1980) esse modelo é bastante utilizado pois apresenta desempenho satisfatório e relaciona o teor de água com o potencial matricial a partir da seguinte equação, [1 1 m n a ] m (2.12)

37 37 onde é o teor de água (adimensional) a, n e m são parâmetros reais determinados empiricamente. rabalhando matematicamente a Eq. (2.12) para isolar o potencial matricial temse a seguinte equação: m a 1 n 1 m 1. (2.13) Condutividade hidráulica A condutividade hidráulica é uma propriedade do solo que representa a facilidade com que o solo transmite água no seu interior. Sendo assim, a condutividade hidráulica interfere significativamente no fluxo da água no solo, ou seja, no movimento da água no solo. Quanto maior for a condutividade hidráulica maior será a facilidade com que a água se movimentará no solo. O conhecimento da condutividade hidráulica do solo é essencial para qualquer estudo que envolva o movimento da água no solo, seja para estudar o próprio movimento da água do solo, seja para estudar o transporte de elementos químicos, nutrientes e defensivos agrícolas, bem como seus impactos potenciais ao ambiente. A condutividade hidráulica é dependente do teor de água do solo, tem seu valor máximo quando o solo está saturado, sendo esse valor conhecido como condutividade hidráulica saturada. O valor da condutividade hidráulica decresce com a diminuição do teor de água e é praticamente zero para o solo seco. Sendo assim, o solo tem capacidade de conduzir mais água quanto maior for seu nível de umidade. Por esse motivo, em geral, a condutividade hidráulica é expressa em função do teor de água ( K ( )). Outra alternativa, bem menos utilizada, é escrever a condutividade hidráulica em função do potencial matricial ( K( m )). Além da dependência do teor de água do solo, a condutividade hidráulica, principalmente a saturada, é fortemente dependente dos atributos físicos do solo como densidade, porosidade, textura e estrutura. Essa dependência de tantos fatores faz com que a condutividade hidráulica do solo apresente grande variabilidade (RAWLS et.al.,

38 ; MESQUIA et.al., 2004). Libardi (1999) complementa argumentando que como a condutividade hidráulica representa a facilidade com que a água é transportada no meio poroso (no caso o solo), tanto as propriedades da água como as do solo terão influência sobre a condutividade hidráulica. Os métodos para determinação direta da condutividade hidráulica podem ser de laboratório ou de campo. Alguns dos métodos encontrados são: o permeâmetro de carga constante e o de carga decrescente, os métodos de colunas grandes ou pequenas que são utilizados em laboratório e o método do furo do trado utilizado em campo. Por vezes os métodos diretos podem apresentar algumas dificuldades como serem caros e trabalhosos, por isso, pesquisadores se dedicam a métodos indiretos que facilitem a determinação da condutividade hidráulica principalmente a partir de modelos matemáticos. Dentre as equações encontradas na literatura para a condutividade hidráulica em função do teor de água, a proposta por Mualém (1976) e ajustada por Van Genuchten (1980) é muito utilizada, conforme a equação abaixo: 1 l m m K( ) K [1 (1 ) ]², (2.14) 0 onde K 0 é a condutividade hidráulica saturada (m/s) l é um parâmetro empírico igual a 0,5 que foi encontrado por Mualém (1976) utilizando 45 tipos de solos diferentes Modelos de transferência simultânea de calor e água no solo As propriedades hidráulicas e térmicas do solo estão relacionadas entre si. A infiltração de água altera a temperatura, assim como, variações de temperatura alteram a dinâmica da água no solo. Hillel (1998) destaca que gradientes de temperatura induzem a transferência de água e vapor, e gradientes de teor de água, transferem calor. Portanto, a ocorrência de gradientes de temperatura e de teor de água no solo resulta na transferência simultânea de calor e água, sendo que o acoplamento dos problemas térmico e hidráulico é consensual na literatura.

39 39 Existem modelos de transferência simultânea de calor e água em solos e modelos para meios porosos que também se ajustam aos solos. A grande maioria dos modelos encontrados na literatura foram desenvolvidos a partir da década de 1950 com base em duas teorias principais: a teoria mecanicista de Philip e de Vries (1957) e a teoria termodinâmica de aylor e Cary (1964). A principal diferença entre esses modelos é a forma de acoplar a temperatura com o teor de água, além da obtenção dos parâmetros Modelos baseados na teoria de Philip e de Vries Philip e de Vries (1957) desenvolveram um modelo com uma abordagem mecanicista baseado no conceito de fluxo viscoso de água líquida sob a influência da gravidade e o conceito de movimento por difusão do vapor, assumiram que existe equilíbrio termodinâmico entre líquido e vapor em cada momento e em todo interior do solo. Os modelos de transferência simultânea de calor e água baseados na teoria de Philip e de Vries (1957) incluem a temperatura como uma variável na equação da transferência de água e o teor de água como uma variável na equação que descreve a transferência de calor. Alguns modelos são encontrados na literatura com base nessa teoria e serão apresentados e comentados a seguir, serão abordados, detalhadamente, apenas os modelos que apresentam parâmetros mais acessíveis. Jury (1973) desenvolveu um modelo unidimensional (profundidade) para o estado transiente. As equações são simplificadas por transformação de variáveis, sendo que as derivadas espaciais foram reformuladas para um conjunto de Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª ordem no tempo, resolvidas pelo método de Runge-Kutta. Em relação aos parâmetros utilizados no modelo, a difusividade da água e a condutividade hidráulica são dadas em função do teor de água, enquanto a condutividade e a difusividade térmica são consideradas constantes. Schroeder (1974), considerando o estado transiente, desenvolveu um modelo bidimensional (profundidade e horizontal). Resolvido pelo método numérico de Diferenças Finitas. O modelo contempla fontes ou sumidouros de calor e água, condições climáticas e fenômenos como infiltração e evaporação também podem ser inseridos no modelo. Em relação aos parâmetros utilizados no modelo, a condutividade térmica é determinada como função do teor de água, densidade, porosidade e

40 40 temperatura. Enquanto o potencial total, o gradiente de teor de água e a condutividade hidráulica são considerados como função do teor de água. Shapiro (1975) desenvolveu um modelo para o estado estacionário, considerando o caso bidimensional (profundidade e horizontal), resolvido pelo Método de Diferenças Finitas. Ele apresenta uma excelente discussão de um método semi-empírico para fixação dos coeficientes de difusividade responsáveis pelo transporte em meios porosos. Sophocleous (1979) apresenta um modelo para o estado transiente unidimensional (profundidade). A resolução é realizada pelo Método de Diferenças Finitas com esquema temporal de Crank-Nicholson, o modelo utiliza duas camadas: uma para meios não saturados e outra para meios saturados. O parâmetro potencial total é utilizado como variável independente e não como função do teor de água, preservando a continuidade na passagem de condições não saturadas para saturadas. Ahmed (1980) apresenta um modelo para o estado transiente em duas dimensões (profundidade e horizontal). Sendo resolvido pelo método numérico de Diferenças Finitas e não apresenta uma discussão considerável sobre os parâmetros utilizados no modelo. Walker (1981) desenvolveu um modelo considerando o estado transiente em duas dimensões (profundidade e horizontal). O modelo é resolvido em coordenadas cilíndricas pelo método numérico de Elementos Finitos, contemplando fontes ou sumidouros de calor e água. Apresenta uma excelente discussão sobre os parâmetros utilizados: difusividades da água e vapor. O potencial total e a condutividade hidráulica são determinados como funções do teor de água, enquanto o calor específico e a condutividade térmica são considerados como funções do teor de água, temperatura, composição mineralógica e densidade. Mendes et al. (2002) desenvolveram um novo algoritmo genérico para a transferência simultânea de calor e massa. Sendo que o modelo tradicional discretizado pelo método de Diferenças Finitas pode ser instável, e necessita de pequenos passos de tempo para manter a estabilidade, eles desenvolveram um novo algoritmo que usa tensores em vez de número escalar para garantir a convergência. Esse novo algoritmo não tem problemas quanto à estabilidade numérica. A concentração de vapor é assumida de forma linear em função da temperatura e do teor de água, outra característica desse novo algoritmo é da dependência ser muito menor da temperatura e do teor de água anterior para calcular o posterior, porém as iterações são necessárias para calcular os coeficientes de transporte e resíduos.

41 41 Santos e Mendes (2006) desenvolveram um modelo por volume de controle considerando o estado transiente para o caso tridimensional. O modelo foi discretizado pelo método de Volumes Finitos, com passos muito pequenos, devido à instabilidade. O modelo envolve um grande número de parâmetros, principalmente calor específico médio e condutividade térmica em função da temperatura e teor de água, e o calor latente de vaporização em função da temperatura. Hillel (1998) apresenta um modelo para o caso unidimensional (profundidade) onde a equação para o teor de água sob gradientes combinados de temperatura e água é a seguinte: K.( ).( DW ), (2.15) t z onde é o teor de água (dimensional) é a temperatura é a difusividade térmica sob gradiente de teor de água D W é a difusividade da água sob gradiente de temperatura K é a condutividade hidráulica z é a coordenada espacial vertical. Enquanto a equação para a transferência de calor é a seguinte: c..( k ) L.( D w, vap ), (2.16) t onde c é a capacidade calorífica volumétrica k é a condutividade térmica L é o calor latente de vaporização da água D w, vap é a difusividade da água e vapor sob gradiente de temperatura (principalmente vapor). As unidades de medida dos parâmetros utilizado no modelo não constam na bibliografia.

42 42 Lu et.al. (2005b) desenvolveram um modelo para simular a transferência simultânea de calor e água em um solo vermelho montanhoso do sul da China, esse modelo vai ser identificado como LU-HUANG-HAN, considerando um caso de transferência unidimensional (profundidade) em estado transiente. Eles assumiram que as transferências de calor e água acontecem simultaneamente e são interdependentes, a equação para determinação do teor de água é: ( Dw ) ( ) z z K t z z z, (2.17) onde é o teor de água (dimensional) D w é a difusividade de água sob gradiente de temperatura (m²/s) é a difusividade térmica (m²/s) K é a condutividade hidráulica não saturada (m/s) t é o tempo (s) z é a profundidade em relação a superfície do solo (m) é a temperatura ( C). Sob temperatura normal (não extremas), eles assumiram que a transferência de vapor pode ser negligenciada, e a equação do calor passa a ser: c t ( k ) z, (2.18) z onde c é a capacidade calorífica volumétrico do solo (J/( C.m³)) k é a condutividade térmica (W/(m. C)). As duas equações parabólicas foram resolvidas simultaneamente pelo método numérico de Diferenças Finitas com esquema temporal implícito. A programação foi feita em linguagem Visual Basic 6.0. Os parâmetros utilizados no modelo de transferência de água foram obtidos a partir de equações empíricas com base em dados experimentais, o potencial matricial

43 43 em função do teor de água, a condutividade hidráulica não saturada em função do teor de água e da condutividade hidráulica saturada. Os parâmetros utilizados no modelo térmico também foram obtidos a partir de equações empíricas baseadas em dados experimentais, a capacidade calorífica volumétrica obtida em função do teor de água, e a condutividade térmica em função dos minerais, matéria orgânica, ar e teor de água que constituem o solo Modelos baseados na teoria de aylor e Cary aylor e Cary (1964) desenvolveram um modelo com uma abordagem termodinâmica baseado em processos irreversíveis em termos de forças e fluxos acoplados. Eles apresentam uma atenção especial ao fluxo não isotérmico de calor e água através do solo. Alguns dos modelos encontrados na literatura com base nesta teoria serão apresentados e comentados a seguir. Gee (1966), considerando o estado transiente para o caso unidimensional (profundidade) desenvolveu um modelo resolvido por Método Numérico, discutindo as difusividades de água e vapor para casos isotérmicos e não isotérmicos. Hauk (1971) desenvolveu um modelo para o estado transiente considerando o caso unidimensional (profundidade). A resolução é realizada por Diferenças Finitas com esquema temporal de Crank-Nicholson, sendo que o modelo é destinado para fins agrícolas. Em relação aos parâmetros utilizados no modelo, a condutividade hidráulica é assumida como uma função do potencial total e a condutividade térmica como função do teor de água Proposição do problema O problema proposto na presente dissertação consiste na elaboração de um modelo matemático semi-empírico de transferência simultânea de calor e água no solo, em que os parâmetros dos problemas hidráulico e térmico são determinados através de dados experimentais, porém neste trabalho serão utilizados dados sintéticos nas simulações devido a indisponibilidade desses dados experimentais. Para tanto, será assumido que a

44 44 condutividade hidráulica está em função da temperatura e do teor de água, enquanto que a difusividade térmica está em função do teor de água.

45 45 3. MODELAGEM MAEMÁICA O modelo matemático que descreve o movimento da água no solo, em condições isotrópicas, foi obtido a partir da equação de conservação de massa e da equação de Darcy-Buckingham, sendo conhecido como equação de Richards. Esta equação relaciona as variações do teor de água com as variações do potencial total, sua dedução pode ser encontrada em Libardi (1995) e Fagundes (2006). Em coordenadas cartesianas ortogonais tem a forma da Eq. (3.1), K t x m m m ( ) K y ( ) K z ( (3.1) x y y z z x ) onde é o teor de água (adimensional) K() é a condutividade hidráulica (m/s) m é o potencial matricial (Pa) t é o tempo (s) x, y, z são as coordenadas espaciais (m). A Equação (3.1) é conhecida e usada amplamente para descrever a dinâmica da água em solo. Para problemas em que as derivadas do potencial matricial não variam significativamente nas direções x e y, como é o caso dos dados sintéticos considerados neste trabalho, pode-se escrever a equação de Richards na forma unidimensional, dada pela Eq. (3.2): m K ( ) K t z ( ) z. (3.2) z A Equação de Richards apresentada na Eq. (3.2) com a hipótese da condutividade hidráulica em função do teor de água e da temperatura foi utilizada no modelo semiempírico para quantificar o teor de água no solo em diferentes posições e tempos. O modelo matemático que descreve a transferência de calor no solo, considerando apenas a transferência por condução, é uma Equação Diferencial Parcial conhecida como Equação do Calor ou Equação de Energia. Esta equação, escrita em coordenadas

46 46 ortogonais, desprezando a fonte de calor e assumindo a relação descrita na Eq. (2.3), que define a difusividade térmica como a razão entre a condutividade térmica e a capacidade calorífica do solo, tem a seguinte forma: 1 t ² x² ² y² ² z² (3.3) onde é a temperatura ( C) t é o tempo (s) é a difusividade térmica (m²/s) x, y, z são coordenadas espaciais (m). Sendo que os dados sintéticos utilizados no trabalho consideram as variações térmicas apenas na direção vertical, a Equação do Calor pode ser escrita para o caso unidimensional considerando apenas a profundidade conforme a Eq. (3.4), ou seja, 1 t ² z². (3.4) A Equação do Calor, apresentada na Eq. (3.4), com a difusividade térmica em função do teor de água, foi utilizada no modelo semi-empírico para determinar a temperatura no solo em diferentes posições e tempos Suposições iniciais do modelo Devido a indisponibilidade de dados experimentais para as simulações do modelo foram criados dados sintéticos para um solo virtual com as suposições descritas neste subcapítulo. O problema a ser modelado considera de forma virtual a transferência de água e calor em uma coluna de solo homogêneo com altura H, submetida à variação de temperatura característica de um dia ensolarado e com irrigação lenta na superfície, foi considerado o período das 6 h às 20 h, portanto 14 h de variação.

47 47 As trocas de calor e massa são distribuídas igualmente em todos os pontos da superfície, ocorrendo o mesmo no fundo da coluna de solo, porém com intensidade diferente. Com essas condições, as transferências de calor e massa no interior da coluna foram consideradas apenas na direção vertical, pois o solo foi considerado homogêneo (sem canais, raízes ou pedras), a água somente no estado líquido (vapor desprezado) e condições de solo não saturado Dependências assumidas no modelo semi-empírico No modelo semi-empírico para o acoplamento dos problemas hidráulicos e térmicos é assumido que a condutividade hidráulica, utilizada na resolução da Equação de Richards, é uma função da temperatura e do teor de água (Eq. 3.5), e que a difusividade térmica, utilizada na resolução da Equação do calor, é uma função do teor de água (Eq. 3.6), ou seja, K(, ) (3.5) () (3.6) A condutividade hidráulica se considerada na unidade de metros por segundo para um tipo de solo característico da região Noroeste do Rio Grande do Sul está na ordem de 6 10, conforme dados experimentais de Cervi (2009). Para determinar a condutividade hidráulica em função da temperatura foi assumida a hipótese que a condutividade hidráulica saturada apresenta uma dependência linear em função da temperatura ajustada através de dados sintéticos considerando essa ordem de como mostra a eq. (3.7).: 6 10, K o ( c 6 1 * c2 ) (3.7) onde c,c 1 2 são parâmetros determinados por ajuste não linear de curvas.

48 48 A difusividade térmica quando considerada na unidade metro ao quadrado por segundo conforme Borges et al. (2011) com base em dados experimentais para alguns tipos de solo da região noroeste do Rio Grande do Sul está na ordem de Para determinar a difusividade térmica em função do teor de água foi assumida a hipótese de uma dependência exponencial da difusividade térmica em função da temperatura ajustada através de dados sintéticos considerando essa ordem de apresenta a Eq. (3.8), ou seja: 7 10, conforme (3.8) ( c4) 7 ( ) ( c3 e c5 ) 10 onde c, c são parâmetros determinados por ajuste não linear de curvas. 3 c4, Condições iniciais e de contorno As condições iniciais e de contorno utilizadas nas simulações para as equações de Richards e de Energia que formam o modelo semi-empírico são com base em dados sintéticos considerando as condições do solo virtual criado. A condição inicial para a equação de Richards é linear, expressa pela Eq. (3.9) ( c z c, (3.9) 0 z) 6 7 na profundidade máxima da coluna do solo virtual (0.5 m) foi considerado que o fluxo de água é nulo, ( H, t) 0 z (3.10) na superfície foi considerado a ação de uma irrigação lenta porém contínua, conforme Eq. (3.11), isto é:

49 49 ( c9t) 1( t) c8 e c10. (3.11) (3.12): A condição inicial para a Equação de Energia é exponencial, e expressa pela Eq. c12 z 0 ( z) c11 e c13, (3.12) na profundidade máxima da coluna de solo virtual foi considerado que a temperatura é constante, conforme Gasparim (2005) a partir da profundidade de 0.4 m as variações térmicas são mínimas sendo consideradas constantes, conforme Eq. (3.13) foi considerada a temperatura de 25 C: ( t) 25, (3.13) 1 enquanto para z = 0, foi considerado que a temperatura varia conforme a ação de um dia ensolarado com poucas nuvens na superfície do solo, conforme Eq. (3.14): 15 ( )² 2 ( t) c14 e c t t m c16 (3.14) onde t m é o instante de tempo em que a temperatura é máxima ( C), c, c são parâmetros determinados por ajuste não 6 c7, c8, c9, c10, c11, c12, c13, c14, c15, linear de curvas Cálculo do potencial matricial e condutividade hidráulica O potencial total utilizado na Equação de Richards, no caso considerado, é descrito apenas pelo potencial matricial. O potencial matricial foi obtido pela equação de Van Genuchten (1980) que relaciona o potencial matricial com o teor de água,

50 50 ( ) s r r n m (3.15) [1 a m ] O teor de água adimensional é definido em função do teor de água residual e de saturação, como mostra a Eq. (3.16) abaixo: r, (3.16) s r onde é o teor de água adimensional. Substituindo a Eq. (3.16) em (3.15) e isolando o potencial matricial tem-se a Eq. (2.13), já demonstrada, que foi utilizada para calcular o potencial matricial, isto é: m a 1 n 1 m 1. (2.13) Em relação a condutividade hidráulica, que também precisa ser determinada para a resolução da Equação de Richards, foi utilizada a equação proposta por Mualém (1976) e Van Genuchten (1980), que relaciona a condutividade hidráulica saturada com o teor de água e também com um parâmetro da curva de retenção de água do solo. Essa relação é apresentada na Eq. (2.14), isto é, 1 l m m K( ) K [1 (1 ) ]². (2.14) 0 Com a dependência assumida no modelo semi-empírico da condutividade hidráulica em função da temperatura, a equação da condutividade hidráulica passa a ser expressa em função do teor de água e da temperatura: 1 l m m K(, ) K ( ) [1 (1 ) ]². (3.17) 0

51 51 Os parâmetros a, n e m utilizados na determinação da condutividade hidráulica e potencial matricial, foram determinados com base nos dados experimentais de Cervi (2009), sendo esses os únicos parâmetros utilizados na simulação com base em dados experimentais Modelo semi-empírico O modelo semi-empírico consiste no acoplamento dos problemas hidráulico e térmico através de dados experimentais. Devido à indisponibilidade de dados experimentais de laboratório ou de campo foram utilizados dados sintéticos (artificiais) para um solo virtual nas simulações com as suposições já citadas. O modelo semi-empírico consiste na resolução simultânea do sistema de Equações Diferenciais Parciais formado pela Equação de Richards, que descreve a dinâmica da água no solo, e pela Equação do Calor, que descreve o comportamento da temperatura no solo. O acoplamento ocorre pela consideração da variação da difusividade térmica, utilizada na Equação do Calor, em função do teor de água (Eq. (3.8)) e, simultaneamente, a variação da condutividade hidráulica, utilizada na Equação de Richards, em função do teor de água e da temperatura (Eq. (3.17)). Essas dependências se obtidas de forma empírica, são o que caracterizam o modelo semi-empírico, porém nas simulações realizadas foram utilizados dados sintéticos. O acoplamento é justificado por Hillel (1998), que afirma, que gradientes de temperatura induzem a transferência de água e, reciprocamente, gradientes de teor de água induzem a transferência de calor, o que leva a verificar que as propriedades hidráulicas sofrem influência da temperatura e as propriedades térmicas sofrem influência da dinâmica da água no solo. O modelo semi-empírico proposto com as dependências assumidas (Eqs. (3.17) e (3.8)) é composto pelo sistema de Equações (3.18) e (3.22), com suas respectivas condições de contorno e inicial, conforme apresentado a seguir: m K (, ) K t z (, ) z para 0 < z < H e 0 < t < tf (3.18) z

52 52 ( 0, t ) 1( t ) para 0 < t < tf (3.19) ( H, t) 0 z para 0 < t < tf (3.20) ( z, o) 0 ( z) para 0 < z < H (3.21) t ( ) para 0 < z < H e 0 < t < tf (3.22) z z ( 0, t ) 2 ( t ) para 0 < t < tf (3.23) ( H, t ) 1( t ) para 0 < t < tf (3.24) ( z,0) 0 ( z) para 0 < z < H (3.25) onde é o teor de água (adimensional) K é a condutividade hidráulica (m/s) m é o potencial matricial (Pa) z é a profundidade (m) H é a altura da coluna de solo (m) t é o tempo (s) tf é o tempo final (s) é a temperatura ( C) 1( t ) é a condição de contorno para a superfície (adimensional) 0 ( t ) é a condição inicial (adimensional) é a difusividade térmica (m²/s) 2 e 1 são, respectivamente, as condições de contorno para a superfície e fundo ( C) 0 é a condição inicial ( C).

53 Modelo de LU-HUANG-HAN Para verificar o comportamento do modelo proposto foi implementado um modelo da literatura. Foi escolhido o modelo de Lu et.al. (2005b) já descrito e apresentado como Modelo de LU-HUANG-HAN no capítulo 2 pelas Eqs. (2.17) e (2.18). A escolha desse modelo, foi devido à semelhança das equações que determinam a temperatura. As principais diferenças entre o modelo semi-empírico proposto e o modelo de LU-HUANG-HAN estão na forma de acoplar a temperatura e o teor de água e na formulação do problema hidráulico. O modelo de LU-HUANG-HAN inclui uma derivada da temperatura na equação do problema hidráulico e desconsidera a dependência da condutividade hidráulica em função da temperatura. O sistema que forma o modelo é descrito pelas Eqs. (2.17) e (2.18). anto para a Eq. (2.17) quanto para a Eq. (2.18) foram consideradas nas simulações as mesmas condições de contorno e inicial utilizadas no modelo semi-empírico, ( Dw ) ( ) z z K t z z z (2.17) c t ( k ) z. (2.18) z Os coeficientes de transferência de água foram ajustados exatamente como no modelo de Lu et al. (2005b), com base na curva característica do solo de Yao (1986), onde a equação para o potencial matricial é expressa por: m e s b (3.26) onde s é o teor de água do solo saturado (dimensional) b e curvas. e são parâmetros empíricos determinados por método de ajuste não linear de A equação da condutividade hidráulica é dada pela Eq. (3.27):

54 54 2b3 K K 0 ( ), (3.27) a difusividade isotérmica da água foi obtida com base na Eq.(3.28): b3 b2 DW bk 0e s. (3.28)

55 55 4. MÉODOS NUMÉRICOS Neste capítulo são apresentados a discretização do Problema Direto, o algoritmo utilizado na solução deste modelo, o Método de Procura em Rede Modificado (MPRM) e o Método de Levenberg-Marquardt (MLM). Foram desenvolvidos programas computacionais próprios em linguagem Matlab, sendo assim, tanto os programas do Problema Direto quanto do Problema Inverso foram simulados no software MALAB Problema Direto (PD) O Problema Direto consiste no modelo semi-empírico, composto por duas equações diferenciais (Eqs. (3.18) e (3.22)) e suas respectivas condições de contorno e inicial, resolvidas para cada iteração temporal, de forma acoplada. Devido a não linearidade das Equações que formam o sistema foi utilizado o Método Numérico das Diferenças Finitas Centrais (CDS Central Difference Scheme) na resolução das Eqs. (3.18) e (3.22), com esquema temporal Explícito Simples. A escolha desse método foi devido a sua potencialidade de acoplamento Discretização do Modelo Semi-Empírico O Método de Diferenças Finitas tem como idéia básica a discretização dos operadores, que se baseia na aproximação de derivadas por diferenças finitas conforme Smith (1978). A malha utilizada na discretização do problema hidráulico e térmico é apresentada na Figura 4.1.

56 56 Figura 4.1 Representação da malha em Diferenças Finitas Centrais. Considerando a malha apresentada, para a Equação de Richards que descreve a dinâmica da água no solo, Eq. (3.18), tem-se as seguintes derivadas: t j1 i t j i (4.1) K z K j i1 K 2z j i1 (4.2) i z² 2 j j j ² 1 i i1 ( z)² (4.3) onde z é o intervalo espacial (m) t é o intervalo temporal (s) i indica a posição na malha espacial j indica a posição na malha temporal.

57 57 Substituindo as Eqs. (4.1), (4.2), (4.3) na Eq. (3.18), tem-se o problema hidráulico discretizado: z K K z K t j i i j i i j mi j mi j mi i i j i j i 2 ), ( ), ( )² ( 2 ), ( (4.4) Resolvendo a Eq. (4.4) para o teor de água na posição espacial (i) e iteração temporal (j+1), tem-se a Eq. (4.5): j i j i i j i i j m i j m i j mi i i j i K K z t z K t ), ( ), ( 2 2 )² ( ), ( (4.5) A cada iteração temporal os valores da condutividade hidráulica foram calculados em cada posição z correspondente, usando a Eq. (3.17). Da mesma forma, os valores do potencial matricial foram calculados usando a Eq. (2.13). As derivadas da Equação de Energia, Eq. (3.22), também foram discretizadas através do Método de Diferenças Finitas com esquema temporal explícito Simples, com base na malha apresentada na Figura 4.1: t t j i j i 1 (4.6) )² ( 2 ² ² 1 1 z z j i j i j i. (4.7) Substituindo as Eqs. (4.6) e (4.7) em (3.22), tem-se o problema térmico na forma discretizada, ou seja: )² ( 2 ) ( z t j i j i j i j i j i i. (4.8) Resolvendo a Eq. (4.8) para a temperatura na posição espacial (i) e iteração temporal (j+1), tem-se a Eq. (4.9):

58 58 j j 2 ( i ) t j 1 j1 ( i ) t i i1 i1 ( z)² ( z)² i. (4.9) A cada iteração temporal, os valores da difusividade térmica foram calculados em cada posição z correspondente, usando a Eq. (3.8) Algoritmo de solução O seguinte algoritmo é utilizado para o cálculo da distribuição de temperatura e teor de água em cada posição na coluna de solo e tempo. 1. Entrada de dados geométricos e temporais do problema: z, t,malha. 2. Entrada da condição inicial para a temperatura: j (z,0), e para o teor de água: j (z,0), onde j é a iteração temporal. 3. Cálculo da condutividade hidráulica saturada em função da temperatura j ( K 0 ( ) ), com base em dados sintéticos. Utilizando a Eq. (3.7), para a iteração temporal j. 4. Cálculo da condutividade hidráulica em função do teor de água e da temperatura j j j ( K(, ) ), utilizando a Eq. (3.17) com K 0 ( ). 5. Cálculo do teor de água da iteração temporal posterior (j+1), ( j+1 (z,t)), j j utilizando a Equação de Richards e K(, ) para toda a malha. 6. Cálculo da difusividade térmica em função do teor de água da iteração temporal (j+1), (( j+1 )), com base em dados sintéticos. Utilizando a Eq. (3.8). 7. Cálculo da temperatura da iteração temporal posterior (j+1), ( j+1 (z,t)), utilizando a Equação do Calor e ( j+1 ) para toda a malha. 8. Executar os passos 3 a 7 até o final do período de tempo considerado. O fluxograma do programa desenvolvido para o cálculo da distribuição do teor de água e da temperatura para toda a malha é mostrado na Figura 4.2.

59 59 Início Entrada das condições iniciais: j (z,0) e j (z,0), onde j é a iteração temporal. j Cálculo da K 0 ( ), utilizando a Eq. (3.7). j j Cálculo do K(, ), utilizando a Eq. (3.17). Cálculo de j+1 (z,t) para toda a malha, pela Equação de Richards. Cálculo da ( j+1 ), utilizando a Eq. (3.8). Cálculo de j+1 (z,t) para toda a malha, pela Equação do Calor. Gráficos Fim Figura 4.2 Fluxograma do programa utilizado na resolução do modelo semi-empírico.

60 Ajuste não linear de curvas No Método de Procura em Rede Modificado são definidos intervalos para cada parâmetro a ser estimado (intervalos válidos) e feitas partições destes intervalos, cujos valores são propostos como solução. Por esta definição inicial, é considerado um método de soluções subótimas (SILVA NEO e MOURA NEO, 2005; BORGES, 2008), já que não há garantia de que a solução ótima pertença aos intervalos prédefinidos e não há um critério de convergência (como gradiente, por exemplo). O método encontra o melhor conjunto de parâmetros por exaustão, resolvendo o Problema Direto com todas as possibilidades de combinações dos coeficientes ou parâmetros. O Método de Procura em Rede Modificado foi utilizado para determinar os parâmetros de cada uma das funções que representam as condições iniciais e de contorno e também das dependências assumidas no modelo semi-empírico, além dos parâmetros da curva característica do solo de YAO. ratam-se de funções afins e exponenciais que tem no máximo 3 parâmetros a serem determinados. O seguinte algoritmo é generalizado para uma função qualquer e foi utilizado na determinação dos parâmetros citados: 1 Passo - Estima-se intervalos I [ p p min, p ] max de valores de cada parâmetro p, onde p = 1, 2, 3, que contém o valor ótimo de p ( ot ). 2 Passo Constrói-se uma partição de q pontos pu p ( u 1) p u = 1, 2, 3,..., s e ( p p max p ) /( q 1) min. min com 3 Passo Para cada conjunto de valores ( 1u, 2u, 3u ), com u = 1, 2, 3,..., s; resolve-se a função f est que representa o Problema Direto. 4 Passo Calcular as diferenças d i entre as soluções estimadas e os dados sintéticos usando a Eq. (4.10) d i ( f est f cal )' ( f est f cal ) (4.10) onde

61 61 f cal são os dados sintéticos. 5 Passo Identifica-se o menor valor de d i. Esta diferença corresponde ao conjunto de parâmetros ot para o intervalo I p. I p 6 Passo Refinamento da solução. Definem-se novos intervalos [ p min, p max ], tal que p pot p min e p max pot p. 7 Passo - Repete-se os passos 2 a 6, estimando novos intervalos I p até satisfazer o critério de parada. O MPRM é um método eficiente e prático para casos de poucos parâmetros a serem determinados, porque não apresenta problemas de singularidade e derivadas nulas como apresentam diversos métodos de PI (CERVI, 2009) Problema Inverso (PI) Quando se deseja encontrar os efeitos resultantes a partir do conhecimento das causas, trata-se de um Problema Direto. Por outro lado, quando se deseja encontrar as causas desconhecidas, através de observações dos efeitos desse fenômeno, trata-se de um Problema Inverso. Causas, num modelo matemático, são as condições iniciais e de contorno, termos de fonte e propriedades do sistema e/ou material (VELHO, 2008). Desta forma, neste trabalho, as causas são os conhecidos: potencial matricial, teor de água e a temperatura, já os efeitos são o que se pretende encontrar, como os coeficientes: a, n e m da equação característica, os parâmetros c, ) da Eq. (3.7) e os parâmetros c, c, ) da Eq. (3.8). ( 3 4 c5 ( c 1 2 Na maioria dos casos, um problema inverso é considerado mal-posto. No início do século, Jacques Hadamard, introduziu o conceito de um problema bem-posto baseado em três requisitos essenciais: Existência: o problema deverá apresentar solução; Unicidade: a solução deverá ser única;

62 62 Estabilidade: a solução deverá exibir dependência contínua em relação aos dados que a originou. Portanto, se alguma das condições acima não é satisfeita o problema é dito malposto. Neste trabalho, o Problema Inverso foi utilizado para verificar se o modelo semiempírico proposto é viável do ponto de vista de tempo computacional para ser utilizado como Problema Direto de um Problema Inverso e para determinação de parâmetros com base em dados sintéticos. Foram determinados os coeficientes a, m, n da equação característica do solo e os parâmetros das funções de dependências assumidas no modelo semi-empírico pelo Método de Levenberg-Marquardt (MLM) (OZISIK e ORLANDE, 2000), a opção por este método se deve ao grande número de parâmetros a serem determinados. O Método de Levenberg-Marquardt é um método determinístico, assim como o Método de Newton e o Método Quase-Newton. ratam-se de métodos baseados em informações de gradiente, para minimizar a função objetivo. Esses métodos geralmente convergem a mínimos locais em vez de mínimos globais. O MLM apresenta ótimas taxas de convergência devido ao parâmetro de regularização (), que é determinado através de testes numéricos, sendo o que diferencia este método dos outros dois citados. O MLM foi utilizado para determinar os coeficientes a, m, n da equação característica do solo e os parâmetros das funções de dependências assumidas a partir do modelo semi-empírico (PD). Para tanto, foi necessário determinar os parâmetros de cada problema de forma separada, sendo criados dois vetores de parâmetros. No vetor do problema hidráulico (X), tem-se os parâmetros c 1 e c 2 da Eq. (3.7) e os coeficientes a e n da curva característica do solo, assumindo que m 1 1 n de acordo com Van Genuchten (1980), portanto, X c ; c ; a; ]. No vetor do problema térmico [ 1 2 n (X), tem-se os parâmetros c 3, c 4, c5 da Eq. (3.8), portanto, X [ c3; c4; c5 ]. Uma explicação detalhada com todos os passos do princípio e de como funciona o MLM é encontrada em CERVI (2009) e ÖZISIK e ORLANDE (2000). Neste trabalho será apresentado apenas o algoritmo utilizado para este caso especifico, ou seja:

63 63 1 Passo: Resolver o Problema Direto: problema hidráulico PD e problema térmico PD com as estimativas iniciais X k [ X1, X2, X3, X4] e X k [ X1, X 2, X3]. 2 Passo: Calcular a soma dos erros quadrados ou função objetivo pela Eq. (4.11). S( X S ( X k k ) [ Y PD ) [ Y PD ( X ( X k k )] )] [ Y PD [ Y PD ( X ( X k )] k )] (4.11) onde Y e Y são os dados sintéticos. 3 Passo: Cálculo da matriz Jacobiana para ambos os casos. PD1 X1 PD2 X1 J PD n X1 PD 1 X PD 2 2 X PD n X PD 1 X PD 4 2 X PD n X 4 4 J PD X1 PD X1 PD X1 1 2 n PD X PD X PD X 2 n 2 PD X PD X PD X 3 n 3 4 Passo: Cálculo da nova estimativa para X k 1 e X k 1, através da Eq. (4.12) X X k 1 k 1 X X k k [( J) [( J ) J k k J ] ] 1 k 1 k [ Y PD [ Y PD ( X ( X k )] k )] (4.12) onde: k é um parâmetro de regularização e denominada termo de regularização. k é a matriz diagonal

64 64 5 Passo: Resolver o Problema Direto PD e X k 1 e k 1 X. PD com a nova estimativa 6 Passo: Calcular S ( Xk 1) e S ( X k 1) com a Eq. (4.11). 7 Passo: Se S( X k 1) S( X k ) e/ou S ( Xk 1) S ( Xk ) substituir k por X k, onde X é um numero real maior que 1. Retornar para o passo 4. 8 Passo: Se S( X k 1) S( X k ) e S( Xk 1) S( Xk ) utilizar a nova estimativa e substituir maior que 0. k por D k, onde D é um numero real menor que 1 e 9 Passo: Verificar o critério de parada S & e S &, se os dois critérios de parada forem satisfeitos interromper o processo e gerar a solução; caso contrário, substituir k por k+1 e voltar ao passo 3.

65 65 5. ANÁLISE DOS RESULADOS Neste capítulo são apresentados os parâmetros determinados para as funções de dependência assumidas no modelo semi-empírico e para as funções que representam as condições iniciais e de contorno, por ajuste não linear de curvas através do Método de Procura em Rede Modificado (MPRM). Além da definição da malha, são apresentados os resultados das simulações computacionais para o Problema Direto, da verificação dos resultados do modelo semi-empírico com modelos sem acoplamento e com o modelo LU-HUANG-HAN e os resultados da utilização do Problema Inverso para calcular sete parâmetros, utilizando como Problema Direto o modelo semi-empírico Determinação dos parâmetros: Método de Procura em Rede Modificado (MPRM) Para determinar os parâmetros das funções de dependência assumidas no modelo proposto e das funções que representam as condições inicial e de contorno utilizadas na simulação foi utilizado o ajuste não linear de curvas. Optou-se pelo Método de Procura em Rede Modificado, por se tratar de um método eficiente e com um tempo computacional relativamente pequeno quando se trata de funções com no máximo 3 parâmetros a serem determinados, a partir desse número o método exige um tempo computacional considerável. Os parâmetros foram determinados com o Método de Procura em Rede Modificado a partir da aplicação do algoritmo já demonstrado, os valores são apresentados na abela 5.1. abela 5.1 Parâmetros determinados por MPRM com base em dados sintéticos e utilizados na simulação do modelo semi-empírico. Parâmetros c1 c2 c3 c4 c5 C6 Valor 0, ,6911-2, ,185 0,3 Parâmetros c7 c8 c9 c10 c11 c12 Valor 0,18-0,3874-0,3207 0, ,0566-7,1536 Parâmetros c13 c14 c15 c16 Valor 25, ,556-0,0306-0,4406

66 Análise da malha e resultados do Problema Direto O modelo proposto foi resolvido pelo Método de Diferenças Finitas com esquema temporal explícito simples que possui limitações quanto a convergência, estabilidade e precisão (SMIH, 1978). Além de encontrar uma malha com resultados precisos para ambos os problemas térmico e hidráulico, também é importante que o tempo de execução seja mínimo. Isso é importante principalmente para o Problema Inverso, pois na sua execução o Problema Direto é resolvido várias vezes. Nos problemas de transferência de calor resolvidos com o esquema explícito, a análise da malha geralmente é feita com base em um parâmetro conhecido como Delta Fourier (F), o qual relaciona a difusividade térmica com as variações espaciais e temporais (SMIH, 1978). No presente trabalho, vamos considerar os dois problemas de difusão (massa e energia) em que os coeficientes físicos são dependentes das variáveis principais dos problemas, como mostra a Eq. (5.1), para o problema hidráulico, e a Eq. (5.2), para o problema térmico: t F( ) K(, ) (5.1) z² t F( ) ( ). (5.2) z² Segundo Smith (1978), para a estabilidade durante o processo de resolução pelo esquema temporal explícito o F precisa ser: 0 F 0, 5. Devido a variabilidade da condutividade hidráulica (K) em função da temperatura e do teor de água e da variabilidade da difusividade térmica ( ) em função do teor de água é inviável a utilização do F na determinação da malha, pois o F é variável em toda malha. Ou seja, por esse critério, para cada coeficiente de difusão corresponde um tamanho de malha. Sendo assim, foram realizados testes numéricos para determinar passos temporais e espaciais que produzissem resultados precisos (invariabilidade da (z,t) e do Θ(z,t) com a malha), convergência do problema e tempo computacional de execução mínimo. Para tanto, foi variada a malha satisfazendo a convergência, e assim analisada a distribuição da temperatura e do teor de água a partir de gráficos para tempos específicos.

67 67 Na Figura 5.1 é apresentada a distribuição de temperatura para determinados tempos com as diferentes malhas simuladas. Percebe-se que, para as malhas testadas, na solução do problema térmico, a variação da malha, além de apresentar convergência, não provocou diferenças significativas na distribuição da temperatura. Na Figura 5.2 é apresentada a distribuição do teor de água com as mesmas malhas e para os mesmos tempos, e nesse caso o tamanho da malha influência nos resultados, gerando uma distribuição diferente do teor de água para cada malha. Figura 5.1 Distribuição da temperatura com diferentes malhas para determinados instantes de tempo.

68 68 Figura 5.2 Distribuição do teor de água com diferentes malhas para determinados instantes de tempo. Na abela 5.2 é identificado os componentes e o símbolo de cada malha, além do tempo computacional de cada simulação. abela 5.2 Componentes da malha na análise de convergência. N MALHA z(m) t(s) EMPO (s) SÍMBOLO 1 0, , , * 4 0, Conforme mostra a abela 5.2 foi escolhida a malha número 4 para a resolução do Problema Direto, por ser próxima a malha número 1 (malha com menor refinamento) e possuir um tempo computacional relativamente pequeno, aspecto importante para a resolução do Problema Inverso. Com os parâmetros encontrados para as dependências assumidas no modelo semiempírico e para as condições iniciais e de contorno, e utilizando a malha ótima (malha

69 69 4) obtida pelos testes numéricos foi realizada a simulação do modelo semi-empírico (Problema Direto). Nas Figuras 5.3 e 5.4 é apresentada a distribuição do teor de água e temperatura para todo o domínio espacial e t = s. Figura 5.3 Distribuição do teor de água para t = s.

70 70 Figura 5.4 Distribuição da temperatura para t = s. A distribuição da água no solo determinada pelo modelo semi-empírico é apresentada na Figura 5.3. Na superfície percebe-se um processo lento de irrigação, enquanto que na profundidade de 0,5 m o fluxo de água é considerado nulo. Os gradientes mais significativos de teor de água acontecem próximos a superfície, enquanto que para profundidades maiores os gradientes são mínimos. Na Figura 5.4 é apresentada a distribuição da temperatura no solo calculada com o modelo semi-empírico. Percebe-se que na superfície o comportamento é de um dia de sol com poucas nuvens, onde a temperatura do solo aumenta até um ponto máximo e após passa a diminuir. Na profundidade de 0,5 m a temperatura é constante, sendo assim, os principais gradientes de temperatura acontecem próximos a superfície, enquanto em profundidades maiores a temperatura sofre mínima variação durante o dia.