DISSERTAÇÃO DE MESTRADO. Comparação do Modelamento da Recristalização 3D pelo Método do Autômato Celular com Resultados Experimentais

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1 DISSERTAÇÃO DE MESTRADO Comparação do Modelamento da Recristalização 3D pelo Método do Autômato Celular com Resultados Experimentais ALUNA: Tatiana Caneda Salazar Ribeiro ORIENTADOR: Prof. Ph.D. Paulo Rangel Rios 2007

2 1 UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE CENTRO TECNOLÓGICO ESCOLA DE ENGENHARIA METALÚRGICA DE VOLTA REDONDA PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA METALÚRGICA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO TATIANA CANEDA SALAZAR RIBEIRO COMPARAÇÃO DO MODELAMENTO DA RECRISTALIZAÇÃO 3D PELO MÉTODO DO AUTÔMATO CELULAR COM RESULTADOS EXPERIMENTAIS Volta Redonda 2007

3 2 TATIANA CANEDA SALAZAR RIBEIRO COMPARAÇÃO DO MODELAMENTO DA RECRISTALIZAÇÃO 3D PELO MÉTODO DO AUTÔMATO CELULAR COM RESULTADOS EXPERIMENTAIS Dissertação apresentada ao curso de Mestrado em Engenharia Metalúrgica do programa de Pós-Graduação da Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Engenharia Metalúrgica Área de Concentração: Materiais Avançados Orientador: Prof. Ph.D. PAULO RANGEL RIOS Volta Redonda 2007

4 3 TATIANA CANEDA SALAZAR RIBEIRO COMPARAÇÃO DO MODELAMENTO DA RECRISTALIZAÇÃO 3D PELO MÉTODO DO AUTÔMATO CELULAR COM RESULTADOS EXPERIMENTAIS Aprovada em / /2007 BANCA EXAMINADORA Prof. Paulo Rangel Rios, Ph.D. Orientador Universidade Federal Fluminense Prof. Flávio Ferreira, D.Sc. Universidade Federal Fluminense Profª. Ivani de Souza Bott, Ph.D. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro UFF- Universidade Federal Fluminense Volta Redonda 2007

5 4 Dedicatória Este trabalho é dedicado a toda a minha família e amigos, em especial à minha mãe Jane Salazar, ao meu pai Francisco Salazar, ao meu irmão Renato Salazar e ao meu marido João Vitor Ribeiro

6 5 AGRADECIMENTOS Primeiramente a Deus por ter me proporcionado capacidade para concluir este trabalho; Ao meu orientador Paulo Rangel Rios por ter contribuído no meu aprendizado; Aos membros e amigos do NMM que estão sempre prontos a ajudar nos momentos de dificuldade; Aos meus pais e ao meu marido pelo apoio incondicional.

7 6 SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS LISTA DE TABELAS SIMBOLOGIA RESUMO ABSTRACT INTRODUÇÃO REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Processo de recozimento de metais deformados a frio Recuperação Recristalização Evolução microestrutural durante a recristalização O estado microestrutural A evolução microestrutural Comparação de expressões analíticas com as simulações pelo AC Teoria clássica de Johnson-Mehl, Avrami e Kolmogorov (JMAK) Kolmogorov Johnson e Mehl O modelo de Melvin Avrami O autômato Celular Introdução Fundamentos e estrutura do modelo A geometria da célula Tamanho da vizinhança Regras de transição O número e tipos de estados... 39

8 Condições de contorno Descrição formal do Autômato Celular Autômato Celular Probabilístico METODOLOGIA Obtenção dos dados experimentais da literatura Taxa de migração da interface Número de grãos recristalizados Metodologia computacional Descrição da simulação Dimensionalização do Autômato Celular Dimensionalização do espaço Dimensionalização do tempo RESULTADOS E DISCUSSÕES Validação do programa computacional Dimensionalização do Autômato Celular Dimensionalização do espaço Dimensionalização do tempo p 4.3 Determinação do valor de p ( v = 1 t ) Outros resultados a partir de p=0, Simulação variando o tamanho da matriz e mantendo A = 1,5µm CONCLUSÕES RECOMENDAÇÕES PARA TRABALHOS FUTUROS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 74

9 8 LISTA DE FIGURAS Figura 2.1: Gráfico típico da cinética de recristalização durante recozimento isotérmico Figura 2.2: Ocorrência do impingement durante uma evolução microestrutural simulado pelo autômato celular em três dimensões Figura 2.3: Ocorrência do impingement durante uma evolução microestrutural simulado pelo autômato celular em duas dimensões Figura 2.4: Resultados analíticos x resultados simulados fração de volume em função do tempo. (a)saturação de sítios e (b) taxa de nucleação constante Figura 2.5: Resultados analíticos x resultados simulados área interfacial em função do tempo.(a)saturação de sítios e (b) taxa de nucleação constante Figura 2.6: Resultados analíticos x resultados simulados caminho microestrutural.(a) saturação de sítios e (b) taxa de nucleação constante Figura 2.7: Desenho esquemático da ocorrência de interferência entre os grãos: a área listrada corresponde à área de interferência entre dois grãos e a área quadriculada corresponde à área de interferência entre três grãos Figura 2.8: Representação gráfica de um sítio (célula) inserido em uma matriz tridimensional Figura 2.9: Dimensões que são possíveis a um autômato celular Figura 2.10: Exemplos de formatos das células possíveis de serem utilizadas no método dos Autômatos Celulares Figura 2.11: Tipos de vizinhança que podem ser impostas aos autômatos celulares Figura 2.12: (a) Exemplo da configuração da vizinhança de Von Neumann em duas dimensões. (b) Exemplo da configuração de Moore em duas dimensões Figura 3.1: Dados experimentais obtidos da recristalização de cristal de ferro puro em 43

10 9 cinco temperaturas (d l x tempo normalizado)... Figura 3.2: Dados experimentais obtidos da recristalização de cristal de ferro puro em cinco temperaturas (X vex x tempo normalizado) Figura 3.3: Dados experimentais obtidos da recristalização de cristal de ferro puro em cinco temperaturas (S vex x tempo normalizado) Figura 3.4: Dados experimentais obtidos da recristalização de cristal de ferro puro em cinco temperaturas (S vex x X vex ) Figura 3.5: Representação gráfica de uma matriz e sua dimensionalização Figura 4.1: Caminho microestrutural para simulações com variação apenas da velocidade de evolução Figura 4.2: Ajuste dos parâmetros da curva do caminho microestrutural obtida através de simulação computacional Figura 4.3: Curvas cinéticas para vários valores de p ( v = 1 t ) Figura 4.4: Micrografia dos planos bidimensionais, antes da ocorrência do impingement, de uma simulação com regra probabilística de transição Figura 4.5: Micrografia dos planos bidimensionais, antes da ocorrência do impingement, de uma simulação sem regra probabilística de transição Figura 4.6: Micrografia dos grãos em 3D, antes da ocorrência do impingement, de uma simulação com regra probabilística de transição Figura 4.7: Micrografia dos grãos em 3D, antes da ocorrência do impingement, de uma simulação sem regra probabilística de transição Figura 4.8: Comparação da cinética (X vex x tempo) para uma mesma matriz, mas com variação dos valores de A Figura 4.9: Gráfico da velocidade versus tempo para simulação com p = 0, Figura 4.10: Comparação da cinética de reação dos dados experimentais com a simulação para p=0, Figura 4.11: Gráfico da velocidade versus tempo para simulação com p = 0, Figura 4.12: Comparação da cinética de reação dos dados experimentais com a simulação para p=0, Figura 4.13: Gráfico da velocidade versus tempo para simulação com p = 0, Figura 4.14: Representação gráfica do formato de um grão, em duas dimensões, gerado pelo Autômato Celular Figura 4.15: Representação gráfica de um grão esférico, em duas dimensões p

11 10 Figura 4.16: Comparação dos resultados experimentais da área interfacial em função do tempo com a simulação antes da normalização Figura 4.17: Comparação dos resultados experimentais da área interfacial em função do tempo com a simulação depois da normalização Figura 4.18: Comparação dos resultados experimentais do caminho microestrutural com a simulação Figura 4.19: Micrografias da evolução da simulação de uma matriz 300 3, 220 núcleos, p=0, Figura 4.20: Comparação da cinética de duas matrizes com tamanhos diferentes... 70

12 11 LISTA DE TABELA Tabela 2.1: Estado microestrutural para estruturas recristalizadas (α = matriz deformada a frio e β = grãos recristalizados) Tabela 2.2: Estado microestrutural quantitativo para microestruturas recristalizadas (α= matriz deformada a frio e β = grãos recristalizados). Todas as propriedades são por unidade de volume Tabela 3.1: Valores experimentais obtidos por Vandermeer e Rath para a cinética de recristalização do monocristal de ferro puro Tabela 3.2: Configuração das principais simulações Tabela 4.1: Parâmetros ajustáveis da curva do caminho microestrutural Tabela 4.2: Parâmetros da equação 3.2 para matriz de 300x300x300 células, p=0,5 e variação dos valores da aresta Tabela 4.3: Resultados da dimensionalização do tempo para cada simulação Tabela 4.4: Parâmetros ajustáveis do gráfico da velocidade versus tempo para simulação com p = 0, Tabela 4.5: Ajuste da simulação com a equação Tabela 4.6: Parâmetros ajustáveis do gráfico da velocidade versus tempo para simulação com p = 0, Tabela 4.7: Ajuste da simulação com a equação Tabela 4.8: Parâmetros ajustáveis do gráfico da velocidade versus tempo para simulação com p = 0, Tabela 4.9: Ajuste da simulação com a equação Tabela 4.10: Parâmetros ajustáveis da cinética de duas matrizes com tamanhos diferentes... 70

13 12 SIMBOLOGIA N V Número de núcleos por unidade de volume I 0 G Taxa de nucleação Velocidade de avanço das interfaces X v Fração de volume transformada S r Área interfacial entre regiões transformadas e não transformadas por unidade volume X vex Fração de volume estendido S vex p A.C JMAK t Área interfacial estendida entre regiões transformadas e não transformadas por unidade de volume Parâmetro que indica a probabilidade de transformação Autômato Celular Johnson- Mehl- Avrami- Kolmogorov Tempo t n c q K v e K s A Tempo normalizado Constante da equação do caminho microestrutural Constante da equação do caminho microestrutural Constantes de forma Tamanho da aresta de cada célula da matriz computacional

14 13 RESUMO A cinética de recristalização tem sido analisada pelo método computacional do Autômato Celular. Os resultados obtidos por esse método têm sido comparados a modelos analíticos como, por exemplo, a teoria JMAK. Ao contrário do que se tem feito, este trabalho mostra a comparação dos resultados da simulação com resultados experimentais da cinética de recristalização do ferro puro obtidos da literatura. No entanto todos os resultados obtidos por esse método computacional são adimensionais e por isso foi realizada também uma tentativa de dimensionalização do tempo e do espaço do Autômato Celular. O Autômato Celular foi utilizado com uma regra de transição probabilística com o propósito de promover uma queda na velocidade de avanço das interfaces.

15 14 ABSTRACT The kinetic of recrystallization has been analyzed for the computational method of the Cellular Automaton. The results gotten for this method have been compared the analytical models as, for example, JMAK theory. In contrast of this fact, this work will show the comparison of the results of the simulation with experimental results of the kinetic of recrystallization of the pure iron gotten of literature. However all the results gotten for this computational method doesn t have dimension and therefore it will also have an attempt of dimensionalization of the time and the space of the Cellular Automaton. The Cellular Automaton will be used with a rule of probabilistic transition with the intention to promote a fall in the speed of advance of the interfaces.

16 Introdução Durante o processamento, grande parte dos aços produzidos sofre tanto recristalização a quente quanto a frio. Por esse motivo é de grande importância o conhecimento de fenômenos como encruamento, recuperação, recristalização, crescimento de grão, não só para se processar corretamente esses materiais, mas também para controlar suas microestruturas e conseqüentemente suas propriedades. O estudo da evolução microestrutural durante a recristalização utilizando a técnica do Autômato Celular iniciou-se, no NMM, com o desenvolvimento do código em duas dimensões [1,2,3,4,5] e prosseguindo com o desenvolvimento do código em três dimensões [6]. Esse método possuiu grande versatilidade, podendo ser usado em diversas áreas. Foi caracterizado detalhadamente por Wolfram [7,8]. É uma tendência irreversível a utilização, cada vez maior por parte das indústrias, de simulação computacional para otimização de processos. Simulações que visam a obtenção de da microestrutura, como o método do Autômato Celular [9,10,11], estão crescendo em relação às simulações baseadas em métodos numéricos. Tradicionalmente, a cinética de recristalização é analisada através da clássica teoria de Johnson-Mehl, Avrami e Kolmogorov (JMAK) [12,13,14,15,16]. Essa teoria tem em seu desenvolvimento suposições como: nucleação aleatória, crescimento com velocidade constante, forma dos grãos esférica e homogeneidade energética na matriz deformada. Existem teorias para o caso de nucleação periódica [17] e para alguns casos quando ocorrem clustering (agrupada) [18]. A comparação quantitativa dos resultados simulados com a teoria JMAK apresenta bons resultados, quando impomos a ela as mesmas suposições definidas pela teoria. No entanto, algumas das suposições consideradas para o desenvolvimento da teoria analítica de JMAK fogem da realidade dos fenômenos. Um exemplo é considerar a energia armazenada,

17 16 após o processo de deformação, como sendo uniforme. Quando o material é deformado, a distribuição de energia armazenada não é uniforme devido a alguns fatores como: diferença de taxa de deformação de uma região para outra, átomos de impureza e/ou precipitados que restringem o movimento das discordâncias. Consequentemente, como a energia armazenada é a força motriz para o processo de recristalização, a nucleação não é aleatória pois ela ocorre em locais de maior energia armazenada e o crescimento não ocorre com velocidade constante. Por outro lado, efeitos importantes, frequentemente observados na prática, tais como, anisotropia do crescimento, não possuem teoria analítica disponível. Essa é uma grande vantagem da simulação: investigar casos mais próximos da realidade que muitas vezes são demais complexos para permitir solução analítica. Outra vantagem da simulação é poder compará-la a resultados experimentais reais tanto obtidos pelo NMM ou publicados na literatura. Nesse trabalho, o foco será exatamente esse ponto, comparar os resultados da simulação pelo método do Autômato Celular com os resultados, obtidos da literatura, para a recristalização do ferro puro.

18 Revisão bibliográfica 2.1 Processo de recozimento de metais deformados a frio Metais trabalhados a frio possuem uma quantidade de discordâncias entre 10 9 e / cm 2, defeitos pontuais e consequentemente as propriedades físicas e mecânicas diferentes do material antes do processo de deformação. Para reversão desse quadro, o material é submetido a um processo conhecido como recozimento que é dividido em duas etapas: recuperação e recristalização. O termo recuperação é usado para designar o processo que não resulta da transformação de grãos deformados por novos grãos, mas propicia mudanças estruturais. A recristalização é o resultado da absorção dos grãos deformados por novos grãos equiaxiais livres de deformação. Em cada um desses processos ocorrem fenômenos diferentes. A força motriz, para os dois processos, é a redução da energia armazenada pela remoção do excesso de defeitos de pontos e de discordâncias. O estudo desses fenômenos pode ser feito pelas análises das mudanças das propriedades físicas e mecânicas do metal deformado quando este é aquecido. Essas mudanças nas propriedades são reflexos das mudanças do movimento, rearranjo e aniquilação dos defeitos de pontos e das discordâncias. O uso de técnicas experimentais, como difração de raios-x, microscopia óptica e eletrônica, podem também ser usadas para esse tipo de estudo Recuperação O termo recuperação é devido às mudanças que ocorrem nas propriedades dos materiais deformados. Essas mudanças restauram parcialmente as propriedades os seus valores antes da deformação. A recuperação ocorre primeiramente devido às mudanças na estrutura das discordâncias do material, por isso em se tratando de recuperação, o aspecto microestrutural é mais relevante.

19 18 O início da recuperação caracteriza-se pela ocorrência de mudanças microestruturais que não podem ser observadas em microscópio ótico. Entretanto, técnicas como difração de raios X e microscopia eletrônica de transmissão permitem evidenciar a grande redução da densidade de discordâncias e a sua reordenação em uma estrutura celular de subgrãos. Esse processo de recuperação é conhecido como poligonização, o qual se torna mais completo e leva ao aumento do tamanho de subgrão à medida que a temperatura torna-se mais elevada. Com pouca energia térmica, a alta densidade de discordâncias pode mover-se para acomodar a tensão residual armazenada, formando uma estrutura de subgrãos poligonizados, que concentram os defeitos da rede cristalina em uma pequena parte do volume do grão. Isto aumenta a ductilidade sem diminuir muito a resistência. A velocidade desse processo depende da composição química da liga, sendo tanto maior, quanto maior for o grau de pureza da liga. A recuperação leva ao aumento da condutividade elétrica e à redução das tensões internas e da energia armazenada., sendo que a mudança de algumas propriedades pode ser observada em temperaturas baixas, sendo porém mais intensas e rápidas em temperaturas mais elevadas. Entretanto, o retorno às propriedades que o material possuía antes do encruamento somente é possível através da recristalização Recristalização A recristalização proporciona um retorno das propriedades físicas e mecânicas de um metal deformado a frio após o processo de recozimento. Propriedades mecânicas dos metais como dureza, limite de escoamento, limite de ruptura e alongamento variam de maneira lenta durante o período de recuperação. Entretanto, durante o período de recristalização, elas mudam de maneira drástica para uma variação de temperatura muito pequena. As propriedades físicas como resistividade elétrica e densidade são submetidas a grande variação tanto no processo de recuperação quanto no processo de recristalização. A microestrutura ao longo do tempo é dividida em regiões recristalizadas e não recristalizadas e a fração recristalizada varia de 0 a 1 durante a transformação. Recristalização de uma microestrutura deformada é também chamada de recristalização primária para distinguir o processo de crescimento anormal de grão que pode ocorrer no material totalmente recristalizado e que também é chamada de recristalização secundária.

20 19 O processo de recristalização primária é dividido em duas partes, nucleação que corresponde ao aparecimento de novos grãos na microestrutura e crescimento durante o qual os novos grãos substituem o material deformado. O progresso da recristalização com o tempo durante recozimento isotérmico é representado pelo gráfico da fração de volume do material recristalizado (X V ) como uma função do log (tempo). O gráfico usualmente tem característica sigmoidal como mostrado na figura 2.1. Figura 2.1: Gráfico típico da cinética de recristalização durante recozimento isotérmico. 2.2 Evolução microestrutural durante a recristalização O estado microestrutural Segundo DeHoff [19,20], o estado geométrico da microestrutura pode ser caracterizado por três diferentes estágios de complexidade: a) o estado microestrutural qualitativo: pode ser demonstrado por classes de características dimensionais que existem na estrutura. A tabela 2.1 mostra uma lista com as características microestruturais que podem ser esperadas, por exemplo, em um material que passou pelos processos de deformação e recristalização.

21 20 dimensão característica designação 1 2 grãos deformados a frio grãos recristalizados limite do grão na fase deformada a frio limite do grão na fase recristalizada interface entre os dois estados anteriores α β αα ββ αβ Tabela 2.1: Estado microestrutural para estruturas recristalizadas (α = matriz deformada a frio e β = grãos recristalizados). b) os estado microestrutural quantitativo: é obtida pela evolução geométrica das propriedades de algumas das características indicadas na tabela 2.1. A tabela 2.2 mostra uma lista de propriedades que são geralmente usadas para descrever o estado microestrutural, particularmente da recristalização. Mesmo em materiais que apresentam estruturas com maior grau de complexidade, essas propriedades são utilizadas. Símbolo α V V β V V SV SV αα ββ αβ SV αβ M V β N V Propriedade Fração de volume de uma matriz deformada a frio α Fração de volume dos grãos recristalizados β Área da superfície do limite αα Área da superfície do limite ββ Área da interface αβ Integral da curvatura da interface αβ Número de grãos recristalizados Tabela 2.2: Estado microestrutural quantitativo para microestruturas recristalizadas (α= matriz deformada a frio e β = grãos recristalizados). Todas as propriedades são por unidade de volume. c) o estado microestrutural topográfico: mostra características não uniformes da microestrutura, incluindo anisotropia e gradientes.

22 A evolução microestrutural A evolução da microestrutura durante o processo de recristalização pode ser formulada de três maneiras: a) A mudança do caminho microestrutural é a seqüência de estados microestruturais pelo qual o sistema passa durante o processo. O estado microestrutural de um sistema pode ser visto como o de um ponto no espaço cujo número de dimensões igual ao número de variáveis quantificadas referentes ao estado identificado. O caminho é então uma curva obtida da conexão da seqüência de estados que caracterizam o processo. Na prática, o caminho microestrutural é representado pela coleção de valores da variável utilizada versus uma propriedade geométrica escolhida para mostrar a extensão total do processo. A determinação do caminho geralmente é feita a partir da natureza do processo que não são necessariamente obtidas de observações cinéticas, uma vez que seu foco é obter uma relação geométrica do processo [21,22]. b) A cinemática da evolução microestrutural está contida nas equações de deslocamento da interface, que relatam as taxas de mudanças das propriedades geométricas. c) A cinética da evolução microestrutural conecta o caminho e a cinemática com a física do processo. As equações da cinemática são convertidas em equações cinéticas pela avaliação da velocidade de interface local, v, em termos do fluxo de material através dessa interface. Um exemplo seria o controle do movimento das interfaces que é dado por: v ( H ) = k H 0 (2.1) onde k é a combinação da taxa de reação da interface com fatores termodinâmicos. H é a curvatura local e H 0 é valor efetivo da curvatura que corresponde à concentração na fase matriz. Para modelar a evolução microestrutural, é preciso conhecer quatro elementos básicos e essenciais. 1. Comportamento da nucleação: descreve a taxa de formação dos novos núcleos e pode ser descrita pelo modelo de saturação de sítios, onde todos os grãos se formam no início do

23 22 processo, pelo modelo de nucleação constante ou pelo modelo em que a taxa de nucleação depende do tempo. 2. A dimensão de crescimento: descreve em que dimensão ocorre o crescimento (uma, duas ou três dimensões). 3. A taxa de crescimento: é expressa como a taxa de mudança de uma mesma característica em função do tempo. A taxa de crescimento pode ser constante, ou ter uma dependência do tempo e/ou dependência do tamanho. A relação entre a média da velocidade da interface e a taxa de mudança da dimensão não é necessariamente constante se o crescimento não é isotrópico. 4. O impingement: o impingement ocorre quando os novos grãos crescem e um começa a interferir no crescimento do outro. Assis [23] mostrou a evolução microestrutural durante uma simulação com autômato celular de um processo de recristalização (figuras 2.1 e 2.2). Em um dado tempo desta evolução, é possível observar a interferência que ocorre entre os grãos. As figuras 2.2 e 2.3 mostram o estado microestrutural em um determinado tempo da evolução e nelas pode-se observar com clareza o que é o impingement. Figura 2.2: Ocorrência do impingement durante uma evolução microestrutural simulado pelo autômato celular em três dimensões. [23]

24 23 Figura 2.3: Ocorrência do impingement durante uma evolução microestrutural simulado pelo autômato celular em duas dimensões. [23] 2.3 Comparação de expressões analíticas com as simulações pelo A.C. Rios e colaboradores [24], promoveram uma comparação de expressões analíticas da fração de volume em função do tempo, área da interface entre regiões transformadas e não transformadas e do caminho microestrutural com resultados obtidos da simulação pelo método do autômato celular em três dimensões. As comparações foram feitas para dois tipos distintos de comportamento da nucleação: nucleação com saturação de sítios e para nucleação com taxa constante. Para núcleos aleatórios, a fração de volume estendido, V VE, e a fração de volume real, V v, são relatadas pela equação de Avrami: X V = 1 exp ( X ) VEX (2.2) A fração de volume estendida, V VE, é a soma do volume de todos os grãos individuais sem considerar a ocorrência do impingement. As equações a seguir descrevem essa fração de volume estendido:

25 X VEX = N vt nucleação com saturação de sítios 3 (2.3) 1 It 3 X 4 vex = taxa de nucleação constante (2.4) onde N v é o número de núcleos por unidade de volume e I é a taxa de nucleação por unidade de volume. Então: 4 = 3 X V 1 exp NV t nucleação com saturação de sítios 3 (2.5) 1 = 34 X V 1 exp It taxa de nucleação constante 3 (2.6) (a) Figura 2.4 : Resultados analíticos x resultados simulados fração de volume em função do tempo. (a)saturação de sítios e (b) taxa de nucleação constante. [24] As figuras 2.4(a) e 2.4(b) mostram a comparação entre V v calculado pela solução analítica e o V v obtido pela simulação pelo método do autômato celular. A área interfacial estendida por unidade de volume entre regiões transformadas e não transformadas, S VE, é a soma das áreas de todos os grãos individuais supondo crescimento (b)

26 25 sem impingement. A expressão de DeHoff [19] estendida e área interfacial real: mostra a relação entre a área interfacial e S V ( X V ) S VE = 1 2 Sve = 12NV t nucleação com saturação de sítios (2.7) (2.8) então: S ve = 3 4It taxa de nucleação constante = Sv 12N vt exp NV t nucleação com saturação de sítio 3 (2.9) (2.10) = S v 4It exp It taxa de nucleação constante 3 (2.11) As figuras 2.5(a) e 2.5(b) mostram a comparação das expressões analíticas com a simulação com autômato celular para área interfacial entre regiões transformadas e não transformadas em função do tempo. (a) Figura 2.5: Resultados analíticos x resultados simulados área interfacial em função do tempo.(a)saturação de sítios e (b) taxa de nucleação constante. [24] (b) A curva no plano (V V, S V ) descreve o caminho microestrutural em três dimensões. As expressões analíticas para essas duas grandezas são conhecidas. Substituindo uma na outra teremos a equação para o caminho microestrutural.

27 S = ( ) 3 ( ) V 3 36NV 1 X V ln nucleação com saturação de sítios 1 X V 1 1 S = ( ) 4 ( ) V 4 27I 1 X V ln taxa de nucleação constante 1 X V 3 4 (2.12) (2.13) As figuras 2.6(a) e 2.6(b) mostram a comparação da expressão analítica do caminho microestrutural com resultados obtidos pela simulação com autômato celular. (a) Figura 2.6: Resultados analíticos x resultados simulados caminho microestrutural. (a)saturação de sítios e (b) taxa de nucleação constante. [24] (b) Além das grandezas de fração volumétrica, área interfacial e caminho microestrutural mostradas acima, Canh e Hagel [25] desenvolveram um método para estimar a velocidade média de movimento das interfaces utilizando grandezas já conhecidas como V V e S V. Então a taxa de crescimento de Canh-Hagel é dada por: _ G _ = V = Vds / ds = S V S V 1 S V dx dt V (2.14)

28 Teoria clássica de Johnson-Mehl, Avrami e Kolmogorov (JMAK) A equação clássica, desenvolvida entre os anos de 1937 e 1941, para a fração transformada para uma fração infinita que sofre uma transformação de fase isotérmica sólidosólido ou líquido-sólido, é a de Kolmogorov-Johnson-Mehl-Avrami (JMAK). Esta equação descreve corretamente o processo cinético ao assumir uma distribuição aleatória dos sítios de nucleação e a razão de crescimento linear do grão como constante até a ocorrência do impingiment. Apesar do tempo, esse modelo foi e ainda é muito usado devido sua extrema simplicidade. De fato, a essência do modelo pode ser resumida com uma relação muito simples: X V = 1 exp n ( ( ) Kt (2.15) onde, t é o tempo efetivo, n é o expoente de Avrami e K é uma dependência da constante cinética. Essa constante cinética é uma dependência da constante de velocidade de Arrhenius com a temperatura: K = K 0 E exp RT c (2.16) onde, K 0 é o fator de freqüência, E c é a energia de ativação e T é a temperatura. Antes de demonstrar a equação 2.15, vamos saber um pouco sobre a contribuição de cada um dos quatro cientistas que deram nome ao modelo. Kolmogorov foi um dos maiores matemáticos do século passado, mas podemos afirmar que a equação 2.15 é resultado de um grande esforço dos metalurgistas para descrever e compreender reações isotérmicas tais como o processo de cristalização, de recristalização de metais e ligas entre outras. Kolmogorov iniciou sua pesquisa para resolver um problema metalúrgico proposto por um amigo. Usando a teoria da probabilidade, Kolmogorov resolve o problema de uma maneira completamente geral e aplica o modelo ao exemplo da nucleação constante e simultânea. Este trabalho, escrito no Rússia e publicado na União Soviética em 1937, permanece desconhecido nos Estados Unidos e na Europa ocidental até, dois anos mais tarde, Johnson e Mehl conseguirem os mesmos resultados por um caminho matemático mais desenvolvido. Entre1939 e 1940 Avrami publica dois, agora famosos, trabalhos no assunto.

29 Kolmogorov O trabalho de Kolmogorov [13] é no sentido de obter uma solução rigorosa para o problema da taxa de cristalização, mas com a utilização de suposições gerais. Estudar o processo de crescimento de cristais após formação aleatória de centros de cristalização era de grande importância para a metalurgia. Alguns pesquisadores tinham desenvolvido fórmulas aproximadas para o crescimento de cristais. A partir de mais suposições, kolmogorov desenvolve uma fórmula exata da probabilidade p(t) que um ponto aleatório do volume. Considera-se que p(t) é a quantidade de substância cristalizada após um tempo t. Primeiramente foi preciso ajustar matematicamente o problema. Considerando V um volume. Inicialmente (t = 0) esse volume é ocupado pelo que ele chama de fase mãe. Após um tempo t, uma parte V 1 (t) do volume V é ocupada por substâncias cristalizadas. O volume V 1 (t) cresce com o tempo da seguinte maneira: a) no intervalo V-V 1, novos centros de cristalização aparecem. Para um volume V<V- V 1, a probabilidade de formar um centro de cristalização durante o tempo entre t e t+ t é α ( t) V t + o( t) ' (2.17) onde o( t) é um infinitesimal relacionado com t. Essas probabilidades não dependem da distribuição dos centros cristalizados formados antes do tempo t e que não há nenhum volume de cristal em ' V. b) O volume de cristal cresce em torno dos novos centros de cristalização formados em uma taxa linear c ( t, n) = k( t) c( n) (2.18) dependente do tempo t e da direção n. Foi assumido que o tamanho final do vetor comprimento c ( n) é medido na direção n a partir da origem até uma superfície convexa. Apesar dessas condições, uma importante restrição é que embora ( t n) c, dependa de n, essa dependência será a mesma em todos os pontos. Isso significa que, as formulas serão deduzidas a partir de uma hipótese simplificada de crescimento uniforme em todas as direções.

30 29 Para determinar a probabilidade, iniciou-se pela determinação da variável c. Esta é definida pela equação: c 3 = 1 c 3 s 4π ( n) dσ, (2.19) onde a integração é feita sobre a superfície de uma esfera unitária S. Concluindo, para t > t 0 o volume do cristal cresce livremente ao redor do centro de cristalização formada no tempo t 0 e é dada por: 4 t π 3 c 3 k t0 ( τ ) dτ 3 (2.20) Agora se considera um ponto arbitrário P em V, a uma distancia maior do que a partir do limite de V. max c t ( n) k( τ) τ d 0 (2.21) Para que um ponto P comece no volume cristalizado no tempo t, é necessário e suficiente que um centro de cristalização seja formado em certo tempo t < t no ponto P cuja distância de P seja menor que: onde n é a direção satisfazendo as condições, é: t c (n ) k ( τ ) d τ t ' P' P. Para um tempo fixo ' t, o volume ocupado pelos pontos (2.22) ' P, V ' 4π = 3 t t 3 ( t' ) c k( τ ) ' dτ 3 (2.23)

31 30 A probabilidade de formar um centro cristalizado durante o tempo ' t em ' ( t ' ) V é: α ( t' ) V '( t' ) t' + o( t' ) (2.24) e a probabilidade que isto não aconteça é: q s ( t) { 1 α ( t' ) V '( t' ) t' } + o(1) = i= 1 (2.25) Conseqüentemente a probabilidade que o ponto P não pertence ao volume cristalizado no momento t é: q s ( t) { 1 α ( t ) V '( t ) t' } o(1) = i= 1 i i + (2.26) onde, t = s t ', t i t ' i =, e o(1) é infinitesimal se ' t é infinitesimal. Calculando o logaritmo da equação 2.26, temos: log q 4π c 3 ( t) = α( t' ) V '( t' ) t' + o(1) = α( t' ) V '( t' ) t 3 0 s i= 1 α t ( t' ) k( τ ) dτ dt' t' t 0 dt' = (2.27) Para a probabilidade desejada: p( t) = 1 q( t) (2.28) Para P pertencer ao volume cristalizado, obtemos finalmente: 4π p ( t) = 1 exp c 3 3 Ω (2.29)

32 31 onde: Ω = t 0 α t ( t' ) k( τ ) dτ dt' t' (2.30) Concluindo, quando V é grande o suficiente quando comparado com os tamanhos de grãos individuais, pode-se dizer que V ( t) = Vp( t) 1, então: 4π V 1( t) = V 1 exp c 3 3 Ω (2.31) O valor de Ω é definido pela equação A equação 2.31 para o volume V 1 ( t) de uma substância cristalizada após um tempo t tem uma solução mostrada a seguir. Se α(t) e c(t,n) não dependem do tempo, então: α( t) = α k( t) = 1 (2.32) Neste caso: 4 αt Ω = 4 (2.33) E a equação 2.31 se apresenta da seguinte maneira: π 3 V1 ( t) V 1 exp c αt 3 = 4 (2.34) Johnson e Mehl [12] Muitos pesquisadores que estudavam diversos tipos de processos isotérmicos, que ocorriam por nucleação e crescimento, obtiam curvas semelhantes. Esses processos referidos acima são: processo de congelamento, decomposição eutetóide, formação da perlita a partir da ferrita, formação da perlita a partir da austenita, decomposição da fase β (eutetóide) em liga de alumínio entre outros.

33 32 Uma característica importante observada era que para todos os processos não ocorria mudança de concentração na matriz onde a reação ainda não havia ocorrido. Para Johnson e Mehl, uma análise da curva de reação isotérmica era de grande importância, pois conhecendo a forma exata da curva seria uma maneira de obter valores importantes como a taxa de nucleação e a taxa de crescimento. Por isso eles se empenharam em desenvolver uma expressão em termos dessas grandezas. Eles dividiram os estudos em três partes. Primeiro eles estudaram a hipótese de uma nucleação com a taxa de nucleação N v e a taxa de crescimento G eram constantes. Depois eles estudaram o efeito da variação de N v e G durante a reação. Também estudaram o efeito da nucleação quando ocorrem nos contornos de grão. Estudaram também o efeito do tamanho de grão e o efeito da taxa de nucleação. A primeira análise é a uma das mais importantes para o caso da recristalização, e segue as seguintes hipóteses: A reação ocorre por nucleação e crescimento; A taxa de nucleação N v, expressada pelo número de núcleos por unidade de volume e a taxa de crescimento G, em termos da unidade de comprimento em função do tempo são constantes; A nucleação ocorre em locais aleatórios ao longo da matriz e não possuem a mesma estrutura dos grãos da matriz; A reação produz formas esféricas exceto durante o impingiment. Eles obtiveram uma expressão para a fração transformada em função do tempo. f ( t) = 1 e 3 4 π/3nvg t (2.35) Quando ocorre a variação de N v e G durante a reação, consideraram que essas grandezas variam linearmente com o tempo de modo que: N V = N (1 + α ) V 0 t (2.36) G = G 0 (1 + αt) (2.37)

34 O modelo de Melvin Avrami [14,15,16] (figura 2.7): Muitas regiões do espaço estendido podem ser identificadas da seguinte maneira Figura 2.7: Desenho esquemático da ocorrência de interferência entre os grãos: a área listrada corresponde à área de interferência entre dois grãos e a área quadriculada corresponde à área de interferência entre três grãos. Regiões de núcleo único correspondem à porção que não se sobrepõe e possui a denotação de V 1 ; Regiões de núcleos duplos correspondem a região de sobreposição de dois núcleos e possuí a denotação de V 2 ; Regiões de núcleos triplos correspondem a região de sobreposição de três núcleos e possuí a denotação de V 3 ; Da mesma maneira, em outras ordens V m é identificada. A representação do volume que a região de ordem k teria se as regiões de uma ordem mais elevada não o sobrepusessem. Baseado em considerações geométricas, a seguinte relação entre o volume estendido V kex e o volume sobreposto V m pode ser proposta:

35 34 m ( ) V ' Vkex( t) = k m m= k (2.38) Considerando o volume transformado e através de considerações geométricas, Avrami encontrou a seguinte relação: V ( t) = m= 1 ( ) m+ 1 V mex ( t) (2.39) Duas considerações são importantes: a primeira é que a teoria de avrami é independente da dimensão do espaço e da forma do núcleo e a segunda e que a solução 2.39, devido a sua complexidade, não tem utilidade para se obter uma informação significativa da cinética real. Então Avrami demonstrou que a equação 2.39 pode ser simplificada para a hipótese de nucleação aleatória. Uma expressão para taxa de nucleação é dada por: dn dn a = [ 1 V ( t)] dt dt p (2.40) onde V(t) é a fração de volume transformada no tempo t e dn p / dt é a taxa de nucleação. Os subscritos a e p representam os núcleos atuais e os incluídos respectivamente. A razão entre regiões não sobrepostas e a porção estendida é dada por: V V ( t) = 1 V ( ) ( t) ' 1 t ' 1ex (2.41) e t dn ' p V1 ex ( t) = v1 ex( t, z) dz dz 0 (2.42)

36 35 onde v 1ex (t,z) é o volume estendido, no tempo t, de um único núcleo que começa a crescer no tempo z < t. V 1ex (t,z) é volume incluindo todas as sobreposições. Então Avrami assume a equação 2.41 no caso incrementos infinitesimal: ' dv1 ( t) = 1 V ( t) ' dv ( t) 1ex (2.43) O incremento do volume não sobreposto é igual ao incremento do volume transformado e então: dv1 ( t) = dv1 ex( t) 1 V ( t) (2.44) Combinando a equação 2.43 e 2.44 temos: V ( t) = 1 e V1 ex ( t) (2.45) 2.5 O autômato Celular Introdução O autômato celular foi originalmente introduzido por Von Neumann [26,27] (sob o nome de espaços celulares ) como uma possível idealização de sistemas biológicos com o propósito particular de auto-reprodução de um modelamento biológico. Ele tem sido aplicado e reintroduzido para uma ampla variedade de propósitos [28], e chamado por uma variedade de nomes, incluindo autômato enxadrezado, estruturas homogêneas, estruturas celulares, estruturas enxadrezadas e matrizes interativas. Autômato Celular são algoritmos que descrevem o espaço discreto e a evolução temporal de sistemas dinâmicos complexos. O autômato é representado por uma malha (ou matriz), usualmente infinita em extensão, dividida em sítios e com uma variável distinta de cada sítio (célula), como pode ser visto na figura 2.8. Esse conjunto de células é contínuo e podem ser arranjadas em uma, duas ou três dimensões. Certas qualificações são atribuídas às células para determinar o estado da célula. Essas qualificações são variáveis associadas ao que

37 36 está sendo modelado. No caso do modelamento de um processo de recristalização, o estado de uma célula pode ser recristalizado ou não recristalizado. Existem vários trabalhos que abordam a aplicação do Autômato Celular na recristalização [29,30,31]. A evolução dinâmica do autômato é conduzida através da aplicação de regras determinísticas ou probabilísticas que atuam em cada célula. Essas regras determinam o estado de uma célula, no tempo seguinte, em função do seu estado e de seus vizinhos, no tempo presente. O autômato celular trabalha com intervalos de tempos discretos. Após cada intervalo de tempo, as variáveis de estado, em cada célula, são atualizadas simultaneamente. Todos os resultados adquiridos pelo autômato são adimensionais. Portanto, os autômatos celulares apresentam três características fundamentais [32] : Paralelismo os estados dos elementos são atualizados simultaneamente; Localidade o novo estado de uma célula é determinado pelo seu estado anterior e pelo estado de seus vizinhos; Homogeneidade todas as células aplicam as mesmas regras de evolução em relação aos vizinhos. Figura 2.8: Representação gráfica do espaço discreto (célula) inserido em uma matriz tridimensional. Num nível microscópico, os sítios podem representar pontos numa rede cristalina, com valores dados por algum quantizado observável (tal como o componente spin) ou correspondente aos tipos de átomos ou unidades. Num nível mais macroscópico, cada sítio em um autômato celular pode representar uma região contendo muitas moléculas (com um

38 37 tamanho de escala talvez dado por uma correlação de comprimento apropriado), e seu valor pode rotular uma das várias fases distintas possíveis ou composições Fundamentos e estrutura do modelo O autômato celular consiste de uma rede, isto é, um campo de células (figura 2.7), e é caracterizado pela geometria das células A geometria da célula O sistema do autômato celular necessita de uma geometria regular. Para especificá-la é necessário escolher a dimensão e o formato da célula. O autômato celular pode apresentar uma, duas ou três dimensões conforme figura 2.9. Figura 2.9: Dimensões que são possíveis a um autômato celular. Quanto ao formato, as células têm que apresentar formas regulares, por exemplo, triangulares, quadradas, hexagonais. Veja figura Figura 2.10: Exemplos de formatos das células possíveis de serem utilizadas no método dos Autômatos Celulares em duas dimensões.

39 Tamanho da vizinhança É necessário também especificar quais serão os vizinhos de uma célula, pois as regras de transição serão aplicadas baseadas nos estados desses vizinhos e da própria célula. Há algumas formas de vizinhança que seguem uma lógica ou regra (Von Neumann e Moore) e há formas que são arbitrárias. Na figura 2.11, as células pintadas de cinza escuro estão representando as vizinhas da célula preta. (e r é o raio da vizinhança). Figura 2.11: Tipos de vizinhança que podem ser impostas aos autômatos celulares Regras de transição As regras de transição para uma célula são o que determinam o estado de cada célula no próximo instante, o estado atual da célula é dependente do seu estado e do estado das células vizinhas, conforme vizinhança escolhida, no passo anterior. Por exemplo, o estado de uma célula i no tempo t depende apenas do seu estado e dos estados das células vizinha no tempo t-1. Em cada instante, todas as células do autômato celular, compreendem a malha total, e é atualizada simultaneamente de acordo com as regras de transição. A definição da vizinhança e a regra de transição são consideradas como variáveis. Elas são usadas para a adaptação do modelo a diferentes tipos de comportamentos. Além das regras de transição, é preciso determinar a velocidade em que elas ocorrerão. Podemos simular fenômenos onde seja necessário impor uma variação na velocidade e há fenômenos em que a velocidade é mantida constante durante a simulação. A velocidade ser mantida constante significa que as regras de transição serão impostas a todas as células em casa passo do tempo. Essa característica é conhecida como autômato determinístico. Para variar a velocidade, é preciso impor outra regra de transição: a probabilidade. Para uma dada configuração dos vizinhos, uma célula pode partir para outro

40 39 estado com uma probabilidade definida.. Autômatos celulares probabilísticos possuem um fator probabilidade de transição para atingir o novo estado da célula no tempo seguinte O número e tipos de estados que uma célula pode possuir No modelo de recristalização, cada célula tem dois estados possíveis: ela está recristalizada ou não. A proporção do recristalizado, e o número total de células definem a fração recristalizada, conforme a equação Área Recristalizada A A = Área Total (2.40) Condições de contorno As limitações computacionais fazem com que a malha seja limitada. No entanto, há uma necessidade que ele seja infinito, uma vez que estamos reproduzindo um fenômeno real. Por isso, é preciso estabelecer condições de limite para simular um autômato infinito. Estas condições são também necessárias para completar o conjunto de vizinhos das células que se encontram nos limites da malha do autômato. É fácil entender o que isso significa. Imagine as células que estão em uma das extremidades não terão vizinhos em um de seus lados. A condição limite irá justamente simular o comportamento daquelas células que não existem Descrição formal do Autômato Celular A interação local entre uma célula e seus vizinhos em uma matriz é especificada através das regras de transformação. Os autômatos introduzidos inicialmente por Von Neumann usam regras determinísticas de transformação, entretanto podemos utilizar regras probabilísticas. O valor que uma variável arbitrária (φ) atribui a cada célula em um momento (t + t ) é determinado pelo seu estado e o estado de seus vizinhos no tempo t. Exemplificando melhor a descrição acima, consideraremos os dois últimos passos de uma evolução em uma dimensão utilizando o método do autômato. Uma função formal pode ser escrita da seguinte maneira:

41 40 φ t + t j = f φ t t j 1, φ t t j, φ t t j + 1 t φ, j 1 t φ, j t φ, j + 1 (2.41) onde φ t j indica o valor da variável no tempo t e na célula j. As posições (j+1) e (j-1) indica os vizinhos imediatos da célula j, para uma dimensão. A função f especifica as regras de transformação. Se o estado de uma célula depende de seus vizinhos mais próximos, é preciso especificar uma maneira de identificá-los. As especificações mais usadas são as vizinhanças de Von Neumann e de Moore. A figura 2.12(a) mostra de Von Neumann e a figura 2.12(b) a de Moore. x(2,2) = f{ x(1,2), x(2,1), x(2,3), x(3,2)} (a) x(2,2) = f{ x(1,1), x(1,2), x(1,3), x(2,1), x(2,3), x(3,1), x(3,2), x(3,3)} Figura 2.12: (a) Exemplo da configuração da vizinhança de Von Neumann em duas dimensões. (b) Exemplo da configuração de Moore em duas dimensões. [33] (b) Mesmo para autômatos muito simples existe uma variedade enorme de regras possíveis da transformação. Em um autômato unidimensional com vizinhança de Von Neumann, cada célula pode assumir uma das duas possibilidades: φ = 1 ou = 0 j φ j e as regras de transformação seguem a forma 0 φ t + t j = f to to to φ, φ, φ j 1 j j+ 1.

42 Autômato Celular Probabilístico Raabe [34] desenvolveu um modelo para simular com autômato celular probabilístico. O modelo é designado como autômato celular em três dimensões com regra de transformação probabilística. Isso significa que a transição de uma célula da matriz não é feita de forma determinística, mas com certa probabilidade. A regra básica de transição do autômato consiste de uma analogia probabilística da equação para o movimento termicamente ativado dos contornos de grão sob a influência de gradientes de energia livre como introduzido por Turnbull [35]. De acordo com essa equação a regra de transição é calculada para cada ponto do matriz usando a força motriz máxima local, a textura máxima e a máxima mobilidade local. O algoritmo é dividido em uma parte puramente determinística e outra probabilística. Esta ultima é a integração da função probabilidade que é parte da equação de Turnbull.

43 Metodologia 3.1 Obtenção dos dados experimentais da literatura Os dados experimentais e as conclusões e modelos desenvolvidos a partir deles foram obtidos por Vandermeer e Rath [36] Esses dados serão a base experimental deste trabalho. Por isso é importante conhecer os principais resultados e as principais conclusões obtidas a partir deles. O material utilizado [36] foi um monocristal de ferro puro (111) [ 1 12] deformado via laminação. A cinética de recristalização foi caracterizada experimentalmente para temperaturas entre 450º e 550ºC, usando metalografia quantitativa. Eles utilizaram o método da transformada de Laplace para separar o comportamento de nucleação do comportamento cinético da migração da interface e desenvolveram um modelo detalhado da nucleação e do crescimento para explicar quantitativamente todas as observações. O modelo possui importantes características, como: Os sítios nucleiam de forma aleatória; A nucleação ocorre por saturação de sítios para todas as temperaturas estudadas; Os grãos crescem em três dimensões e possuíam formas esféricas; Todos os grãos recristalizados crescem aproximadamente com a mesma taxa dentro do erro experimental; A taxa de migração da interface não é constante, mas decresce com o tempo. Para todas as temperaturas a taxa de decréscimo é de t -0,38. Uma vez que o crescimento dos grãos durante o processo de recristalização é um processo termicamente ativado, os dados das cinco temperaturas estudadas foram normalizados. Alguns parâmetros experimentais foram extraídos. As figuras 3.1 a 3.4 mostram os ajustes feitos por Vandermeer e Rath a partir dos resultados experimentais obtidos por eles.