por Carbono 14 Prof. Alexandre Alves Universidade São Judas Tadeu Cálculo Diferencial e Integral 1 - EEN 17 de março de 2009

Transcrição

1 Aplicação de Função Exponencial: A Datação por Carbono 14 Prof. Alexandre Alves Universidade São Judas Tadeu Cálculo Diferencial e Integral 1 - EEN 17 de março de Introdução Uma importante técnica de datação de fósseis de até aproximadamente anos atrás é através da determinação da concentração em material orgânico de um elemento radioativo natural: o Carbono 14. O Carbono 14 é um isótopo do elemento carbono C 12, cujo núcleo possui prótons e nêutrons, logo tem número de massa A = + = 12. O Carbono 14 tem número de massa A = 14 pois tem prótons (por isso ainda é Carbono), porém 8 nêutrons. Esses dois nêutrons extras em seu núcleo torna o Carbono 14 instável, o que significa dizer que o Carbono 14 irá, em algum momento de sua vida, transmutarse em outro elemento, no caso em um átomo de Nitrogênio, eis porque é um elemento radioativo, porque se transforma em outro elemento, e nessa transformação emite partículas que, em última análise é o que percebemos como radioatividade. Todo elemento Carbono, incluindo o 14, tem elétrons em sua camada eletrônica e, por isso, pode ligar-se a dois elementos Oxigênio dando origem a uma molécula de dióxido de Carbono CO 2. O famigerado dióxido de carbono é responsável pelo efeito estufa que tem aumentado a temperatura média de nosso planeta, tendo sua concentração na atmosfera sido drasticamente aumentada nos últimos 150 anos pelo desenvolvimento industrial mundial, pela crescente demanda de energia e pelo crescimento exponencial da frota de veículos automotores. Esse dióxido de carbono é absorvido por todo ser vivo que precisa de ar para sobreviver, animais e vegetais, incluindo aquele tipo de dióxido de carbono cujo carbono é do tipo 14. A maior parte do CO 2 que absorvemos é do tipo que tem número de massa A = 12. Logo, ao absorver CO 2 um organismo absorve uma 1

2 pequena quantidade desse elemento radioativo C 14 mantém-se constante ao longo de sua vida. C 12, cuja proporção em relação ao Ao morrer, o organismo evidentemente pára de absorver dióxido de carbono, porém o C 14 vai desaparecendo ao longo do tempo em virtude de sua natureza radioativa, ao passo que o C 12, sendo estável, continua no organismo na mesma quantidade que havia no momento da morte do organismo. Veremos que conhecendo a proporção entre C 14 e C 12 durante a vida de um determinado organismo (e, portanto, no momento da morte) podemos determinar, medindo a proporção atual entre esses elementos, a quanto tempo aquele material orgânico está morto, obtendo assim uma estimativa da idade do fóssil. 2 A Síntese do Carbono 14 Como o Carbono 14 é produzido afinal? A Terra é literalmente bombardeada por milhões de partículas por metro quadrado provenientes de diversas fontes do espaço, mas principalmente do Sol são os chamados raios cósmicos. Entre eles temos os raios ultravioleta, que podem causar câncer de pele, raios gama, elétrons e pósitrons, prótons e nêutrons. Os elétrons, pósitrons e prótons são partículas que têm carga elétrica e são responsáveis pelas auroras austral e boreal. Além dessas ainda existem os fantasmagóricos neutrinos que simplesmente atravessam o nossos corpos aos milhões a todo o momento sem que nós percebamos! Como sabemos, o Nitrogênio é o segundo elemento mais abundante da atmosfera terrestre. O núcleo do Nitrogênio é formado por 7 prótons e 7 nêutrons, tendo, portanto, um próton e um nêutron a mais do que o Carbono 12. Prótons e nêutrons provenientes do espaço eventualmente colidem com o núcleo dos átomos de Nitrogênio transformando um de seus prótons em um nêutron. A reação resultante é seguinte raio cósmico + N 14 7 C 14 + outras partículas Veja, havia 7 prótons e 7 nêutrons, número de massa = 14. Depois da colisão, o núcleo passa a ter um nêutron a mais e um próton a menos, ou seja, prótons e 8 nêutrons: o Carbono O Decaimento do C 14 Como dissemos, o Carbono 14 é instável, ele decai, se transmuta em outro elemento químico. Como isso ocorre? Os prótons e nêutrons são partículas que possuem uma estrutura interna, eles são feitos de outras partículas: essa partículas são chamadas de quarks e glúons. 2

3 Existem tipos de quarks na natureza, mas só os dois mais leves, o quark up(u) e o quark down(d) formam prótons e nêutrons. A massa do quark d é maior do que a do quark u. O próton é constituído de dois quarks u e um quark d: p(uud), além de glúons (que têm massa nula). O nêutron é feito de dois quarks d e um quark u: n(udd), além de glúons. Por isso o nêutron é um pouco mais pesado que o próton e as tabelas periódicas apresentam números quebrados para o número de massa dos elementos químicos, ainda que muito próximos dos números inteiros esperados da soma dos prótons e nêutrons de seus núcleos. 3

4 Os quarks são partículas que estão sujeitas às 4 forças fundamentais da Natureza: gravitacional, eletromagnética, forte e fraca. As forças forte e fraca manifestamse apenas em escalas subatômicas. A força forte é responsável pela força nuclear, enquanto a força fraca é responsável pelos fenômenos de radioatividade. Logo, sendo prótons e nêutrons feitos de quarks, estes quarks estão sujeitos a decair, transmutarem-se através da força fraca. Na prática, essa transmutação ocorre através da emissão de partículas carregadas, e mais, só pode ocorrer se a partícula que decai for mais pesada que a soma das partículas finais. Dessa forma, um quark u não pode decair em um quark d, por ser mais leve do que este, mas o contrário é possível, e de fato ocorre através da reação d u + e + ν e Dessa forma, um nêutron pode decair em próton se um de seus quarks d decair através da reação acima, veja n((ud) + d) (ud) + u + e + ν e = p(uud) + e + ν e mas um próton não pode ir em um nêutron por ser mais leve do que este.(na verdade, isso pode ocorrer em certas circunstâncias, mas não vamos complicar!) Note que nessa transmutação houve a produção de mais duas partículas, um elétron(e ) e um anti-neutrino do elétron( ν e ). O neutrino é inofensivo, mas o elétron pode causar danos microscópicos pois interage de forma muito mais forte com a matéria. Isso é o que ocorre no interior do núcleo do Carbono 14. Um de seus 8 nêutrons decai como n p + e + ν e, e esse próton é aprisionado dentro do próprio núcleo elevando o número atômico de para 7, ou seja, o Carbono 14 se transforma em Nitrogênio! Veja que interessante, a cadeia da síntese do C 14 começa e termina em Nitrogênio! Esse é o fenômeno físico em que se baseia a datação do Carbono 14, mas com que frequência ocorre uma transmutação desse tipo? Essa informação está contida na chamada meia-vida do C 14. Se conseguirmos juntar 1 quilo de C 14 nesse exato momento, teremos 1/2 quilo da substância daqui aproximadamente 5700 anos! Parece muito tempo, mas comparado à meia-vida de outros elementos radioativos bem mais nocivos, como o Urânio, parece um susto. Esse tempo é a chamada meia-vida do elemento, e é denotata por τ. Na realidade, a massa de C 14 de um material cai pela metade a cada 5700 anos, ou seja, daqui anos teríamos 1/2 1/2 = 1/4 do C 14 inicial. Baseado nessa lei de decaimento e tendo o valor de sua meia-vida, mostramos agora como determinar a idade de um fóssil. 4

5 4 Determinando a Idade de Um Fóssil Um determinado elemento radioativo tem meia-vida de τ anos, isso significa que passado esse tempo após a síntese de m 0 quilos da substância, devemos ter m 1 = m 0 2 da substância. A outra metade terá se transmutado em outro elemento químico. A cada intervalo de τ anos a quantidade da substância que resta da quantidade original é a metade do que havia antes, assim temos m(τ) = m 0 2 m(2τ) = m 0 4 m(3τ) = m 0 8 m(4τ) = m 0 1. =. m(t) = m 0 2 t/τ = m 0 2 t/τ ou seja, a massa da substância decresce exponencialmente com o tempo. Em relação ao C 14 é possível medir sua concentração em relação à quantidade de C 12 em um determinado organismo vivo = Massa de Carbono 14 enquanto vivo Massa de Carbono 12 enquanto vivo Essa concentração é a que encontramos no organismo no momento de sua morte, momento esse em que cessa a absorção de Carbono 14. A partir desse momento, a concentração de C 14 em relação ao C 12 vai diminuindo com o tempo, uma vez que o dióxido de carbono não é mais absorvido pelo organismo. A concentração relativa é dada em função do tempo por N(t) = Massa de C14 em um instante t Massa de C12 enquanto vivo N(t) = Massa de C14 enquanto vivo 2 t/τ Massa de C12 enquanto vivo N(t) = 2 t/τ onde τ 5700 anos para o Carbono 14. 5

6 Encontrado um fóssil, os cientistas, através de análises laboratoriais, determinam a concentração relativa de Carbono 14 no material orgânico fossilizado: N(t). Eles, então, estimam a concentração inicial estudando organismos semelhantes que existem hoje em dia. Na verdade, essa já é uma fonte de incerteza, pois, se o fóssil estiver extinto, não existem mais organismos idênticos a ele para determinar. O que queremos determinar, agora, é o tempo t dadas essas duas concentrações N(t) = 2 t/τ N(t) = 2 t/τ ln ( N(t) ) = t τ ln 2 t = τ ln( ) N(t) Sabendo que a massa de C 14 decresce exponencialmente com o tempo, basta resolver a equação exponencial e obter t, a quantidade de anos que o fóssil está morto, obtendo, assim, uma estimativa de quanto tempo atrás ele viveu. Por exemplo, imagine que um novo ancestral do homem tenha sido encontrado e a concentração de Carbono 14 determinada como então, usando a fórmula para t N(t) = t = 5700 ln( ) ln 2 ln anos Essa técnica de datação não é, na verdade, muito precisa, sendo usada mais para obter estimativas da idade do fóssil, pois existem muitas fontes de incerteza além daquele que citamos a pouco. Talvez a maior fonte de incerteza seja a concentração de C 14 na atmosfera ao longo das eras. Ainda que seja plausível supor que essa concentração tenha se mantido constante durante as últimas centenas de milhares de anos, não é possível dizer com certeza se a concentração de C 14 durante o tempo de vida daquele organismo era exatamente igual ao que temos hoje. Aliás, a concentração de C 14 na atmosfera se alterou sensivelmente depois da década de 50 devido aos testes com bombas atômicas. Esses artefatos emitem tanta radiação que isso alterou a concentração do Carbono 14 em relação ao que poderíamos esperar apenas com as fontes cósmicas.

7 O teste só é confiável para datação de fósseis da ordem de anos, pois além disso, a concentração de C 14 é muito baixa e a determinação de sua concentração é mais difícil. 7