Massas dos neutrinos, mecanismos de Seesaw e efeitos a baixas energias

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1 Massas dos neutrinos mecanismos de Seesaw e efeitos a baixas energias André Morgado Patrício n o Departamento de Física Instituto Superior Técnico Av. Rovisco Pais Lisboa Portugal Dated: 5 de Janeiro de 04 Efetua-se uma revisão sobre os termos de massa possíveis na descrição de neutrinos massivos mostrando-se que uma descrição natural das pequenas massas dos neutrinos é possível se os neutrinos forem partículas de Majorana. este contexto analisa-se a parametrização da matriz de mistura leptónica U PMS e revê-se o conhecimento experimental atual dos observáveis da física de neutrinos. Obtêm-se ainda os operadores efetivos a baixas energias de dimensão nos campos d 6 característicos dos mecanismos de Seesaw com singletos fermiónicos tripletos fermiónicos ou com um tripleto escalar e calculam-se as correções aos parâmetros do Modelo Padrão a nível árvore. I. ITRODUÇÃO A observação de neutrinos massivos e mistura no sector leptónico em experiências de oscilações de neutrinos constitui evidência clara de física para além do Modelo Padrão MP e aponta para a existência de uma nova escala física de energias. Pouco se conhece sobre esta nova física uma vez que os neutrinos interagem muito fracamente e as suas massas são várias ordens de grandeza inferiores às dos restantes fermiões conduzindo a efeitos muito suprimidos. A ausência de sinais adicionais desta nova física aponta para um valor da nova escala de energias M muito superior à escala eletrofraca. Para verificar qual a natureza e magnitude dos efeitos a baixas energias associados às massas dos neutrinos é então conveniente encarar o MP como uma teoria efetiva a baixas energias de uma teoria mais completa a altas energias. Teorias efetivas permitem uma análise baseada nas simetrias fundamentais em que somente os coeficientes dos operadores efetivos dependem do modelo para a teoria a altas energias. A identificação destes operadores efetivos é então muito importante para discriminar qual a origem das massas dos neutrinos. o presente trabalho revê-se de que formas podemos descrever teoricamente neutrinos massivos e mistura no setor leptónico e analisam-se até ordem O/M as teorias efetivas característicos dos três tipos básicos de mecanismos de Seesaw para a geração de massa dos neutrinos: singletos fermiónicos tipo I tripletos escalares tipo II e tripletos fermiónicos tipo III. II. EUTRIOS O MODELO PADRÃO O Modelo Padrão MP é uma teoria de gauge invariante sob o grupo de simetria SU3 c SU L U Y onde os índices c L e Y denotam cor quiralidade esquerda e hipercarga fraca. A análise que se segue irá limitar-se ao subgrupo H =SU L U Y das interações eletrofracas. este modelo existem n = 3 sabores α de leptões cada um com um leptão carregado l 0 α e um neutrino να 0 cujas componentes com quiralidade esquerda se transformam como um dobleto L 0 α sob SU L. As componentes de direita l 0 α R para os leptões carregados são invariantes sob SU L e os neutrinos não possuem componentes de direita de acordo com a experiência []. Ou seja temos o conteúdo leptónico: ν L 0 0 αl = αl l 0 αr ; α = e µ τ. l 0 αl com ψ = ψ R + ψ L para um campo fermiónico genérico. este trabalho usa-se a notação habitual em que campos sem indices gregos estados de sabor ou romanos estados de massa correspondem a vetores no espaço dos sabores/estados de massa. Assim L 0 L indice 0 indica uma base de sabor deve-se interpretar como um vetor coluna no espaço dos sabores com componentes L αl. Em geral matrizes escrevem-se a negrito e usa-se a notação de Einstein para a soma de indices. A dinâmica dos campos é descrita pelo lagrangeano da teoria que se pode escrever como: L MP = L gauge + L Higgs + L fermiões + L Yuk.. A invariância de gauge sob SU L U Y geradores I i e Y impõe que nos termos cinéticos para os fermiões e escalares da teoria a derivada parcial usual seja substituída por uma derivada covariante µ D µ µ iga k µi k ig B µ Y 3 em que por cada gerador de SU L e U Y se introduz um campo bosónico na teoria A k para SU L e B para U Y e onde g e g são constantes de acoplamento entre estes campos e os geradores de SU L e U Y. O termo L Higgs contém o termo cinético do dobleto de Higgs φ assim como o seu potencial V φ = µ φ φ + λφ φ. 4 Já os termos cinéticos dos fermiões e bosões de gauge estão incluídos em L fermiões e L gauge. Por fim o termo de Yukawa L Yuk. contém as interações entre os fermiões e o dobleto de Higgs que para os leptões se escreve L l Yuk. = YL 0 l 0 α L φl 0 β R + h.c. 5 e que após quebra espontânea de simetria QES gera um termo de massa de Dirac para os leptões carregados L l Dirac = M 0 l l 0 α L l 0 β R + h.c. M 0 l vy 0 l 6 com M 0 l a matriz de massa de Dirac na base de sabor e v µ /λ o valor de espetação no vácuo vev da componente neutra do dobleto de Higgs. Semelhante termo se pode escrever para os quarks com matrizes de massa M 0 u = vy 0 u e M 0 d = vy 0 d para os quarks de cima e de baixo. Como no MP os neutrinos não possuem componente de direita vemos que para eles não é possível formar um termo de massa de Dirac não tendo os neutrinos massa no MP. Esta propriedade

2 permite rodar os campos dos neutrinos νl 0 com a mesma matriz unitária V l L usada para diagonalizar a matriz de massa M 0l dos leptões carregados l L = V l L l0 L ν L = V l L ν0 L 7 cancelando o efeito de V l L nas correntes carregadas: L L CC = g J µ W W µ + h.c. J µ W = l Lγ µ ν L. 8 Por outro lado sendo as correntes neutras diagonais na base de sabor original elas permanecem diagonais nesta base de estados de massa isto é não há correntes leptónicas neutras com mistura de sabor a nível árvore L C = gzµ [ νl γ µ ν L l L γ µ l L sθ W J em ] µ cθ W L em = e J em µ A µ = e lγ µ la µ 9 onde cθ W cos θ W sθ W sin θ W e θ W é o ângulo de Weinberg cθ W g/ g + g. Como consequência nesta base o lagrangeano exibe a simetria U l αlr e iϕα l αlr ν αl e iϕα ν αl 0 e o teorema de öether implica que existe uma carga conservada o número leptónico de família L α e por extensão o número leptónico total L = L α = d 3 x [ ν ν + l l ]. α A ausência de massas dos neutrinos no Modelo Padrão é um dos defeitos da teoria dada a evidência experimental de oscilações de neutrinos []. Torna-se então importante perceber teoricamente como podemos descrever neutrinos massivos. III. DESCRIÇÃO DE EUTRIOS MASSIVOS Comece-se por recordar que um termo de massa é um termo bilinear nos campos e invariante de Lorentz. É possível definir um termo de massa de Dirac para os neutrinos se considerarmos uma extensão mínima do MP com três neutrinos de direita estéreis να 0 R singletos sob SU L U Y. Ao lagrangeano de Yukawa 5 é então possível adicionar o termo L ν Yuk. = YL 0 ν 0 0 α L φν βr + h.c. φ iτ φ onde τ é uma matriz de Pauli. Após QES este termo origina um termo de massa de Dirac para os neutrinos: L ν Dirac = M 0 ν ν α 0 L νβ 0 R + h.c. M 0 ν = vy 0 ν. 3 Obtém-se assim uma matriz de massa para os neutrinos proporcional ao vev v do Higgs tal como para os quarks e leptões carregados eq. 6. Mas sendo as massas dos neutrinos muito inferiores às dos fermiões carregados as entradas de Y 0ν devem ser muito inferiores às de Y 0 lud o que não é natural dado que todas as massas são geradas pelo mesmo mecanismo. Por outro lado numa base de sabor o termo de Yukawa exibe a simetria U ν 0 α e iφ ν 0 α l 0 α e iφ l 0 α 4 que corresponde à conservação do número leptónico total L. Assim se anularmos os acoplamentos de Yukawa Y 0 ν o sistema não exibe qualquer nova simetria pelo que um termo de massa de Dirac não é natural à luz do critério de naturalidade de t Hooft [3]: para qualquer escala de energia Λ um conjunto de parâmetros m i Λ que descreve o sistema pode assumir pequenos valores se e só se no limite m i Λ 0 o sistema exibir uma nova simetria. Portanto deve existir um tipo de massa para os neutrinos mais natural que um termo de massa de Dirac. A. Termo de massa de Majorana De facto é possível construir também um termo de massa de Majorana [4] para os neutrinos. Tal construção para um fermião ψ está relacionada com a possibilidade de o descrevermos por um spinor com duas componentes o que é conseguido assumindo que as componentes quirais ψ L e ψ R não são independentes [5] ψ R = Cψ L T ψ C L 5 com C a matriz de conjugação de carga. Tal identificação está bem definida uma vez que νl C tem quiralidade de direita e transforma-se como ν L numa transformação de Lorentz. A descrição de um fermião ψ por um spinor com duas componentes é então possível se for satisfeita a condição de Majorana: ψ = ψ L + ψ R = ψ L + Cψ L T = ψ C. 6 A condição de Majorana implica a igualdade de partícula e antipartícula pelo que somente fermiões neutros podem ser partículas de Majorana. Assim no MP só os neutrinos podem ser campos de Majorana e para eles podemos construir um lagrangeano de Majorana L M = ν L i /ν L M ν ν CL ν + h.c. 7 L onde M ν é uma matriz de massa simétrica / / / / e o fator / é necessário para não contar duplamente os campos dependentes ν L e νl C [5]. O lagrangeano de Majorana 7 gera transições com variação de número leptónico total L= ± já que sob a transformação U global ν αl e iϕ ν αl : L M ν L i /ν L e iϕ M ν ν CL ν + h.c.. 8 L Assim se fizermos M ν 0 o lagrangeano 7 com um termo de massa de Majorana exibe como nova simetria a conservação do número leptónico total L sendo portanto natural de acordo com o critério de t Hooft. B. Termo de massa de Dirac-Majorana Analise-se agora o caso mais geral com n = 3 neutrinos de esquerda να 0 L ativos e n neutrinos de direita ν sr estéreis com s =... n. Defina-se o vetor coluna L 0 de = n + n = 3 + n campos de esquerda: ν L 0 0 ν 0 ν el R C L νl 0 = νµl 0 νr C =.. 9 ν C R ν 0 τl ν C n R

3 O termo de massa mais geral é então L D+M massa = L 0T C M D+M L 0 + h.c. M D+M M L M DT M D M R 0 onde M L é uma matriz de massa de Majorana 3 3 M R é uma matriz de massa de Majorana n n e M D é uma matriz de massa de Dirac n 3. A diagonalização do termo de massa 0 conseguese escrevendo os campos de sabor L 0 como rotação unitária dos estados de massa ν kl indices romanos: 0 L = V ν Ln L n L = ν L. ν L M V ν L T M D+M V ν L = diagm... m com m k massas reais e positivas. Definindo os campos de Majorana ν k = ν kl + νk C L podemos escrever o lagrangeano livre para os neutrinos L D+M = ν k i / M ν k e verifica-se que no caso mais geral de Dirac-Majorana os neutrinos são partículas de Majorana. a base de estados próprios de massa definida por obtemos então as correntes leptónicas J µ W = L Lγ µ Un L 3 J µ Zν = n Lγ µ U Un L 4 onde U é uma matriz de mistura 3 não unitária: U αk = V l L V ν L βk UU = 3 U U. 5 β=eµτ Assim no caso geral existe mistura no setor leptónico tanto nas correntes carregadas como nas neutras. C. Matriz de mistura leptónica U PMS Analisem-se agora as propriedades da matriz de mistura leptónica U no caso = n = 3 em que a matriz de mistura 3 3 se designa por matriz de Pontecorvo- Maki-akagawa-Sakata U PMS = V l L V ν L [6 7]. Uma matriz unitária 3 3 geral U pode ser parametrizada em termos de nn / = 3 ângulos de Euler θ θ 3 θ 3 e de nn + / = 6 fases U = D L R 3 W 3 R D R 6 onde D L e D R são matrizes 3 3 diagonais com um total de 5 fases R 3 e R são matrizes de rotação reais com ângulos θ 3 e θ e W 3 é uma matriz de rotação com ângulo θ 3 e uma fase complexa δ. Os ângulos de mistura tomam valores em [0 π/] e as fases em [0 π[. Porém podemos eliminar as n = 3 fases de D L por rephasing dos campos dos leptões carregados. O mesmo não se aplica aos campos dos neutrinos de Majorana já que o termo de massa de Majorana não é invariante sob a transformação global 8. Assim U PMS possui nn / = 3 fases físicas e pode-se parametrizar como o produto entre uma matriz de mistura U D com uma fase de Dirac δ e três ângulos de mistura e uma matriz diagonal D M com duas fases de Majorana λ e λ [8] c c 3 s c 3 s 3 e iδ U PMS = U D D M = s c 3 c s 3 s 3 e iδ c c 3 s s 3 s 3 e iδ s 3 c 3 s s 3 c c 3 s 3 e iδ s 3 c s c 3 s 3 e iδ c 3 c e iλ e iλ onde c ij cos θ ij e s ij sin θ ij. o caso geral com 3 neutrinos de Majorana de esquerda ativos e n neutrinos de direita a matriz de mistura parametriza-se por { 3+3n + n fases de Majorana ângulos + n. 8 fases de Dirac IV. OBSERVÁVEIS DA FÍSICA DE EUTRIOS Como consequência da mistura no setor leptónico um feixe de neutrinos com um dado sabor pode mudar ao longo da sua trajetória para outro sabor. Definese um estado de sabor ν α de um neutrino como sendo aquele criado numa corrente fraca carregada em conjunto com um leptão carregado e massivo l α eq. 3: ν α = U αj ν j α = e µ τ. 9 Como os campos quânticos contêm operadores de aniquilação b os estados massivos ν j j = 3 e estados de sabor ν α α = e µ τ estão relacionados por: ν j = j b j 0 ν α = j U αj ν j. 30 As probabilidades de oscilação podem-se obter numa aproximação baseada nas seguintes hipóteses: os neutrinos são produzidos como estados de sabor ν α mas propagam-se como uma sobreposição coerente de estados de massa ν j ; os estados massivos ν j são partículas ultrarelatívisticas e propagam-se como ondas planas com a mesma energia E mas diferentes momentos p j ν α x t = Uαje iet pjx ν j j p j = E m j E m j E. 3 Como os neutrinos são partículas ultrarelativisticas t L pelo que a probabilidade de transição de um estado de sabor ν α produzido na fonte 0 0 para um estado de sabor ν β no detetor t L é dada por P να ν β L E = ν β ν α t L = kj U αk U βku αju βj exp i m kj L E 3 3

4 com m kj m k m j. Esta expressão mostra que as experiências de oscilações de neutrinos são somente sensíveis às diferenças de massas quadradas m kj não fornecendo informação sobre as massas absolutas dos neutrinos. A probabilidade de transição também não depende das fases de Majorana λ k de U PMS mostrando que as experiências de oscilação de neutrinos não são sensíveis à natureza de Dirac ou Majorana dos neutrinos. Assim em experiências de oscilações de neutrinos há seis parâmetros potencialmente observáveis: m m 3 θ θ 3 θ 3 δ. 33 Por outro lado a ordem das massas é desconhecida já que as experiências de oscilação de neutrinos só são sensíveis às diferenças m jk. Como assumimos que ν e ν são os neutrinos envolvidos nas oscilações solares com m > 0 e como se sabe da experiência que m 3 m há dois ordenamentos possíveis: Espetro normal: m < m m 3 ; Espetro inverso: m 3 m < m. Os resultados do mais recente ajuste global aos dados experimentais apresentam-se na tabela I e ilustramse graficamente na fig. onde se comparam com um cenário de mistura tribimaximal [9] já excluído pelo ângulo de reator θ 3 não nulo θ 3 9 o. Parâmetro Resultados de fit global a σ {3σ Espetro normal m /0 5 ev Espetro inverso { sin θ / ± 0.7 { m 3/0 3 ev {±0..40 ± 0.07 { sin θ 3/ sin θ 3/ { ± 0. {±0.6 { { δ/π { / { / Tabela I. Resultados retirados de [0] de um ajuste global da probabilidade de oscilação de 3 neutrinos de Majorana aos dados experimentais. A. Massas absolutas dos neutrinos Como atrás indicado as experiências de oscilação de neutrinos não são sensíveis às massas absolutas dos neutrinos. o entanto existem alguns limites teóricos e experimentais às massas absolutas dos neutrinos. Uma possibilidade é a investigação do endpoint do espetro de energia no decaimento β do trítio [5]: 3 H 3 He + e + ν e. 34 Os limites obtidos são limites a uma massa efetiva m β = k U ek m k que no regime m β m 3 é equivalente à massa do neutrino do eletrão. O limite superior atual é m νe < ev [ ]. Um segundo limite indireto às massas dos neutrinos provém de argumentos cosmológicos. O limite mais recente obtido pela colaboração Planck [3] limita a 95% de nível de confiança a soma das massas como ν m ν < 0.66 ev 95% CL. Por outro lado ainda não se referiu nenhum processo que permita distinguir a natureza de Dirac dos neutrinos da de Majorana. Como discutido eq. 8 se os neutrinos forem partículas de Majorana o número leptónico total não é conservado o que conduz à possibilidade de observar processos violadores do número leptónico. O candidato mais promissor é o duplo decaimento beta sem emissão de neutrinos 0νβ em que os neutrinos são as suas próprias antipartículas fig. : A Z A Z ± + e. 35 De facto a amplitude de decaimento para o diagrama na fig. é proporcional a uma massa efetiva m ββ do neutrino dependente das fases de Majorana λ e λ 3 : 3 A0νβ m ββ U ekm k i=k 36 = m c + m s e iλ c 3 + m 3 s 3e iλ3 δ. A ligação entre o 0νβ e a massa dos neutrinos assenta na hipótese de que o diagrama na fig. é o dominante. Uma observação do duplo decaimento beta sem emissão de neutrinos forneceria então um limite superior para m ββ sendo o limite experimental atual mais restritivo m ββ ev obtido pela colaboração GERDA [4]. Figura. Ilustração da mistura leptónica para os dados da tabela I e comparação com mistura tribimaximal. A probabilidade de que o neutrino massivo ν j seja encontrado num estado de sabor ν α é U PMS αj. Figura. Diagrama do duplo decaimento beta sem emissão de neutrinos a nível árvore. 4

5 V. MECAISMOS DE GERAÇÃO DE MASSA a secção III A vimos ser possível construir um termo de massa de Majorana 7 para os neutrinos. Porém tal termo de massa é proibido no MP já que tem isospin fraco I 3 = e hipercarga Y =. Assim para construir um termo de massa de Majorana para os neutrinos renormalizável e invariante de gauge seria necessário um tripleto escalar de isospin fraco com hipercarga Y = que o MP não contém. Combinada com a evidência de neutrinos massivos tal indica que o MP deve ser encarado como uma teoria efetiva a baixas energias resultado de quebra espontânea de simetria de uma teoria a uma escala de energias elevada Λ. Uma das classes de modelos a altas energias mais populares corresponde aos mecanismos de Seesaw em que as pequenas massas dos neutrinos resultam naturalmente da troca a nível árvore de partículas pesadas com massas M Λ bosões ou fermiões. o seguimento iremos analisar a nível árvore o lagrangeano efetivo e algumas das suas consequências fenomenológicas a baixas energias para as três realizações usuais do mecanismo de Seesaw: troca de singletos feermiónicos tipo I troca de tripletos escalares tipo II e troca de tripletos fermiónicos tipo III ilustradas na fig. 3. φ l L Y Σ φ R Σ R Y Σ Y µ l L Figura 3. Três realizações do mecanismo de Seesaw para vários tipos de campos pesados trocados: singletos fermiónicos Seesaw tipo I ou tripletos fermiónicos Seesaw tipo III à esquerda; tripletos escalares Seesaw tipo II à direita. l L l L A. Teorias Efetivas Teorias efetivas permitem uma análise independente da teoria a altas energias. A baixas energias as partículas pesadas não podem ser observadas mas em processos de difusão aparecem off-shell como estados virtuais. Em termos técnicos como a massa dos campos pesados é muito superior à sua energia cinética pode-se efetuar uma expansão do seu propagador. Por exemplo para fermiões temos: / M = M / M Considerando diagramas de Feynman com vários propagadores das partículas pesadas o impacto a baixas energias da teoria completa parametriza-se por um lagrangeano efetivo que ao lagrangeano do MP adiciona um conjunto de operadores construídos com os campos do MP não renormalizáveis com dimensão de massa nos campos d > 4 e invariantes sob SU L U Y L eff. = L MP + M Ld=5 + M Ld= em que por cada propagador envolvido se obtém um fator de supressão /M /Λ. φ φ O lagrangeano da teoria efetiva pode ser calculado no formalismo de integral de caminho por integração sobre os campos pesados [5]. O lagrangeano efetivo é então definido através de uma ação efetiva S eff. obtida da ação completa S por separação entre os termos que envolvem os campos pesados S e aqueles que envolvem somente as interações do MP S MP. Por exemplo no mecanismo de Seesaw de tipo I temos e is eff. DDe is = e ismp DDe is [] 39 em que é o campo pesado e D é a medida de integração. A ação S [] pode expandir-se em torno da configuração estacionária 0 obtendo-se e iseff. = DDe is [ 0]+δS [ 0]+δ S [ 0] e is [ 0] onde a variação em primeira ordem é nula por definição de estacionaridade e as ordens superiores podem ser desprezadas a nível árvore. A ação efetiva é então: S eff. = S MP + S [ 0 ] = d 4 xl MP + L 0 4 com os campos estacionários definidos por δs δs δ i = 0 0i δ = 0. 4 i 0i Introduzindo estes campos em S [ 0 ] obtém-se então o lagrangeano efetivo comparar com a eq. 38: L eff. = L MP +L 0 = L MP +δl d=5 +δl d= Para dimensão de massa nos campos d = 5 só existe um operador possível o operador de Weinberg [6]: δl d=5 = cd=5 L C αl φ φ L βl + h.c. 44 em que c d=5 O/M são coeficientes complexos. É interessante notar que logo este primeiro operador induz massas de Majorana para os neutrinos após QES Md=5 ν C α L ν βl + h.c. M d=5 = v c d=5 45 naturalmente pequenas se a escala Λ for suficientemente elevada [7]. Já para dimensão d = 6 existe mais do que um operador possível e diferentes modelos para a teoria completa resultam em diferentes operadores [8]. A sua identificação é portanto importante para discriminar qual a origem da massa dos neutrinos. B. Mecanismo de Seesaw de tipo I o mecanismo de Seesaw de tipo I considera-se uma extensão mínima do Modelo Padrão com n = 3 neutrinos de esquerda leves e n neutrinos de Majorana de direita ir. Para além de um termo cinético para os neutrinos ir podemos também escrever um termo de Yukawa semelhante ao da eq. 5 e um termo de massa 5

6 de Majorana para ir já que são estéreis. Assim o lagrangeano do mecanismo de Seesaw de tipo I é L tipo I = L MP + i R / R L φ L Y R + R C M 46 R + h.c.. onde M é uma matriz de massa de Majorana n n e Y é uma matriz n n de acoplamentos de Yukawa. A matriz M tem em geral n valores próprios complexos M i = e iλi M i η i M i OM que dependem das fases de Majorana λ i dos neutrinos de direita. Trabalhando numa base em que M é diagonal temos os estados próprios de massa de Majorana i η i Ri + η i C R i 47 e o lagrangeano na eq. 46 pode-se reescrever como L = i i / M i i [ L L φ Y η + L C φ L Y T ] η i i [ η i Y φ T L C L + ] η Y φ L L i 48 em que η é uma matriz diagonal com n fases η i. As equações de movimento clássicas 4 para os campos com solução 0 são então i / M i 0i = ηy φ L L + η Y φ T L C L e o lagrangeano efetivo para o Seesaw de tipo I é com L [ 0 ] i 49 L tipo I eff. = L MP + L [ 0 ] 50 [ L φy L η + L C φ L Y T ] η 0i. 5 i Como o lagrangeano da teoria completa L não contém correções quânticas com neutrinos pesados em loops todas as contribuições do lagrangeano efetivo podem ser obtidas expandindo o propagador dos neutrinos pesados na eq. 49 como se faz na eq. 37. A substituição da expansão no lagrangeano 5 permite então obter os operadores efetivos de dimensão d 6. O primeiro termo da expansão na eq. 5 origina um operador efetivo de dimensão d = 5: δl d=5 = cd=5 L CαL φ φ L βl + h.c. 5 que corresponde ao operador de Weinberg 44 com c d=5 = Y T η Y. 53 M Após QES este operador origina uma matriz de massa de Majorana para os neutrinos de esquerda leves: M ν v c d=5 = v Y T η Y 54 M Já o segundo termo na expansão da eq. 5 dá origem a um operador efetivo de dimensão d = 6 δl d=6 = c d=6 L Lα φ i φ / L Lβ 55 em que os coeficientes complexos são dados em termos dos parâmetros da teoria de Seesaw completa por c d=6 = Y M M Y 56 tendo a mesma ordem nos acoplamentos de Yukawa que c d=5 mas são suprimidos quadraticamente em O/M. Portanto o lagrangeano efetivo para o mecanismo de Seesaw de tipo I incluindo operadores com dimensão nos campos d 6 escreve-se após QES e desprezando acoplamentos com o bosão de Higgs: L d 6 ν = iν L / + ɛ ν L ν C L M νν L + h.c. 57 onde ɛ v c d=6. Assim o efeito imediato do operador d = 6 é renormalizar a energia cinética dos neutrinos leves. Passando para uma base com os termos cinéticos canonicamente normalizados em ordem O/M ν L ν L + ɛ ν L 58 e rodando os campos de modo a obter uma base em que as matrizes de massa são diagonais obtemos um lagrangeano efetivo para os leptões nesta base de estados de massa que até ordem O/M se escreve: L d 6 leptões = ν j i / M diag νj + L CC + L C + L em. ν j +l α i / M diag. lα l α 59 a eq. 59 ν i = ν Li + νli C são os estados próprios de massa de Majorana M diag. l é a matriz de massa diagonal dos leptões carregados e nesta base: L CC = g l L W/ ν L + h.c. 60 L C = gzµ cθ W { νl γ µ ν L l L γ µ l L 6 gzµ { sθw Jµ em cθ W L em = e Jµ em A µ = e l L γ µ l L A µ. 6 Assim a matriz de mistura U PMS nas correntes carregadas é substituída por uma matriz não unitária ɛ U PMS 63 e agora existe mistura nas correntes neutras para os neutrinos com uma matriz de mistura = ɛ até à ordem O/M considerada. Isto tem como consequência que a constante de Fermi medida experimentalmente G F não se pode identificar mais com o seu valor a nível árvore no MP G MP F = g /8MW = / v devido à não unitaridade. Por exemplo a constante de Fermi G F extraída do decaimento do muão µ ν µ eν e fig. 4 é agora G F = G MP F ee µµ 64 6

7 µ µµ W ee Figura 4. Decaimento do muão na teoria efetiva para o mecanismo de Seesaw de tipo I até ordem O/M. uma vez que = ɛ até ordem O/M pelo que os novos campos de sabor dos neutrinos ν e definição 9 estão relacionados com os anteriores ν e por ν α ɛ αα ν α = αα ν α α = e µ τ. Os restantes parâmetros do lagrangeano coincidem com os obtidos no tratamento padrão. Interessante também é que desvios à unitaridade da matriz de mistura se podem relacionar diretamente com c d=6 : = v c d=6 = v Y M M Y. 65 Estes desvios à unitaridade têm também efeito nas experiências de oscilações de neutrinos [9]. Especialmente importante é a possibilidade de existir um efeito de contacto i.e. uma transição de sabor na fonte antes de ocorrerem oscilações. De facto para L = 0 a probabilidade de transição é agora dada por P να ν β E L = 0 = ν µ e ν e βα ββ αα Finalmente analise-se o número de parâmetros no setor leptónico da teoria completa e da teoria efetiva. Para o fazer utiliza-se o método desenvolvido em [0]. Sejam Y l os acoplamentos de Yukawa para os leptões carregados eq. 5. Se Y l = Y = M = 0 o lagrangeano 46 é invariante sob as simetrias quirais L L V l LL L l R V l Rl R R V R 67 onde V é uma matriz unitária n n no espaço dos sabores e V l L e V l R são matrizes unitárias n n com n = 3. Esta parte do lagrangeano é então invariante sob um grupo de simetria G = Un ll Un lr Un com G = n + n geradores e os acoplamentos de Yukawa e matriz de massa de Majorana quebram explicitamente esta simetria para um subgrupo G G com G geradores. Os geradores quebrados de G G G podem ser usados para absorver parâmetros de Y l Y e M pelo que o número de parâmetros físicos é físicos = YM G G 68 onde YM é o número de parâmetros das matrizes Y l Y e M. Tendo em conta que Y l e Y são matrizes complexas arbitrárias que M é uma matriz de massa n n simétrica e que neste caso não há subgrupo G não quebrado obtém-se a contagem de parâmetros físicos na tabela II para a teoria completa. Matriz Módulos Fases Y l n n Y nn nn M n n + / n n + / V l L nn / nn + / V l R nn / nn + / V n n / n n + / físicos n + n + nn nn Tabela II. Contagem de parâmetros físicos para a teoria de Seesaw de tipo I completa. Já na teoria efetiva com operadores de dimensão d 6 o grupo de simetria quiral é somente G = Un ll Un lr e o operador d = 5 quebra esta simetria completamente. Como c d=5 é uma matriz n n simétrica e c d=6 é uma matriz n n hermítica obtémse a contagem de parâmetros na tabela III Matriz Módulos Fases Y l n n c d=5 nn + / nn + / c d=6 nn + / nn / V l L nn / nn + / V l R nn / nn + / físicos nn + nn Tabela III. Contagem de parâmetros físicos da teoria efetiva para o mecanismo de Seesaw de tipo I. Estes resultados mostram que para n = n o número de parâmetros físicos da teoria efetiva a baixas energias d 6 é igual ao número de parâmetros físicos da teoria de Seesaw de tipo I completa demonstrando que todos os parâmetros da teoria a altas energias aparecem na teoria efetiva a baixas energias com os operadores efetivos d = 5 e d = 6. Se n < n a contagem de parâmetros indica que a teoria efetiva contém um maior número de parâmetros físicos que a teoria completa paradoxo que se resolve com a existência de correlações entre os parâmetros da teoria efetiva. Por fim para n > n o número de parâmetros físicos da teoria a altas energias é superior ao da teoria efetiva e para poder contabilizar os parâmetros em falta precisaríamos de considerar operadores efetivos com dimensão d > 6. C. Mecanismo de Seesaw de tipo II o mecanismo de Seesaw de tipo II minímo adicionase ao MP um tripleto escalar = 3 de SU L com hipercarga Y = precisamente o campo necessário para construir um termo de massa de Majorana para os neutrinos renormalizável e invariante de gauge. Trabalha-se na representação adjunta de SU L com geradores T i jk = iε ijk e estados próprios de carga elétrica 0 + i i. 69 este modelo a invariância de gauge sob SU L U Y permite acoplamentos de Yukawa entre o tripleto escalar e dois dobletos leptónicos L ν Y = L L Y τ L L + h.c. 70 7

8 assim como um acoplamento entre o tripleto escalar e dois dobletos de Higgs fig. 3 µ φ τ φ + h.c.. 7 estas equações τ i são matrizes de Pauli Y é uma matriz simétrica no espaço das famílias e L L = iτ L C L. Assim o lagrangeano para o mecanismo de Seesaw de tipo II é L tipo II = L MP + D µ D µ V φ + L L Y τ L L +µ φ τ 7 φ + h.c. onde V φ é o potencial contendo o tripleto escalar V φ = M + λ + λ 4 +λ 3 φ φ T i +λ5 T i φ τ i φ 73 com M a massa do tripleto λ i coeficientes reais e D µ a derivada covariante 3 com I k = T k. o seguimento considera-se o limite em que O/M v. As equações de movimento para o tripleto são [ α = i F µ φ ] τ β φ + L L Y τ β LL 74 onde F é o propagador do tripleto escalar: [ i F D µ + λ 5 T φ τ φ+ M +λ 3 φ φ ]. 75 Introduzindo estas equações no lagrangeano 7 e expandindo o propagador 75 como na eq. 37 em potências inversas de M até ordem O/M i F M D µ + λ 5 T φ τ φ++λ3 φ φ M obtém-se o lagrangeano efetivo para o mecanismo de Seesaw de tipo II até ordem O/M. Do lagrangeano efetivo emerge então um novo operador de dimensão de massa nos campos d = 4 δl d=4 = µ M = µ M φ τ φ φ τ φ φ φ 77 cujo efeito é renormalizar o acoplamento quartico λ do Higgs na eq. 4: δλ = µ M 78 Obtém-se também o operador de Weinberg 44 para d = 5 com coeficientes c d=5 µ = 4Y M 79 que a baixas energias origina uma matriz de massa de Majorana para os neutrinos leves M ν = 4Y v µ M. 80 Esta matriz de massa tem a particularidade de depender linearmente nos acoplamentos de Yukawa Y contrariamente ao que acontece nos mecanismos de Seesaw fermiónicos. Isto significa que temos acesso à matriz Y da teoria completa se conseguirmos determinar os coeficientes do operador d = 5. Do lagrangeano efetivo obtemos também um conjunto de três operadores efetivos com dimensão d = 6 δl 4F = Y ijy M ν Lβ γ µ l Li l Lα γ µ ν Lj δl 6φ = λ 3 + λ 5 µ δl φd = 4 µ + 4 µ φ φ 3 φ φ [ D µ φ D µ φ] [ φ D µ φ ] [ φ D µ φ ]. 8 O primeiro operador δl 4F induz uma correção ao valor da constante de Fermi GF MP = / v extraída do decaimento do muão fig. 4: δg F = M Y eµ. 8 Já o último operador δl φd corrige o valor da massa M Z do bosão vetorial Z: δm Z M Z = v µ. 83 Por fim o operador δl 6φ de dimensão d = 6 modifica o potencial de Higgs 4 que agora se escreve: V = µ φ + λ φ 4 + λ 3 + λ 5 µ φ 6 84 onde λ = λ + δλ é o valor renormalizado do acoplamento quartico do Higgs. Assim o efeito dos operadores δl d=4 e δl 6φ é causar um desvio no valor de expectação no vácuo v do dobleto de Higgs: δv v = µ λ 3 + λ 5 3v M 4 λ + δλ. 85 Relativamente ao número de parâmetros da teoria completa e efetiva verifica-se facilmente por comparação das equações 7 77 e 8 que o número de parâmetros da teoria efetiva com operadores de dimensão d 6 não é suficiente para igualar o número de parâmetros da teoria completa. Para que tal acontecesse teriam que se considerar todos os operadores efetivos com dimensão d 8 []. D. Mecanismo de Seesaw de tipo III Considere-se por fim que ao conteúdo fermiónico do MP são adicionados n tripletos fermiónicos de direita Σ kr = Σ kr Σ kr Σ3 kr com hipercarga nula Y = 0. Trabalha-se na representação adjunta de SU L onde os estados próprios de carga elétrica são Σ ± = Σ Σ Σ 0 Σ

9 esta base podemos escrever um termo de massa de Majorana invariante de gauge para os tripletos bem como um termo com acoplamentos de Yukawa pelo que o lagrangeano da teoria é dado por L tipo III = L MP + i Σ R D/ Σ R [ ] Σ R M ΣΣ C R + Σ R Y Σ φ τl L + h.c. 87 onde Y Σ é uma matriz n n de acoplamentos de Yukawa e M Σ é uma matriz de massa n n para os tripletos fermiónicos. Iremos trabalhar numa base de estados de massa em que M Σ é diagonal no espaço das gerações com valores próprios de ordem OM Σ v. Expandindo o propagador do tripleto fermiónico até ordem O/MΣ as equações de movimento são Σ [ R = P R [id/ M Σ ] YΣφ τ L ] L + Y φ Σ τl L Y M Σφ τ L L Σ M id/ Y M φ Σ τl L 88 Σ Σ com L L iτ L C L e P R + γ 5 /. Introduzindo estas equações no lagrangeano 87 o operador efetivo com menor dimensão que daí resulta corresponde ao operador de Weinberg 44 com dimensão de massa nos campos d = 5 e com coeficientes dados neste caso por c d=5 = Y T Σ M Σ Y Σ 89 que a baixas energias origina uma matriz de massa de Majorana para os neutrinos leves M ν = v YΣ T Y Σ 90 M Σ que tem uma estrutura semelhante à matriz de massa de Majorana obtida no mecanismo de Seesaw de tipo I. Do lagrangeano efetivo obtemos também um único operador efetivo de dimensão d = 6 δl d=6 = c d=6 com coeficientes c d=6 L αl τ φ c d=6 = Y Σ id/ dados por M Σ φ τl βl 9 M Σ Y Σ. 9 Também este operador é semelhante ao obtido no mecanismo de Seesaw de tipo I mas agora a derivada usual / é substituída por uma derivada covariante D/ que se traduz num padrão de interações mais rico. Como primeiro efeito aós QES o operador d = 6 corrige os termos cinéticos dos leptões assim como os seus acoplamentos aos bosões de gauge A k µ de SU L. Passando para uma base com os termos cinéticos canonicamente normalizados em ordem O/M e rodando os campos de modo a obter uma base em que as matrizes de massa são diagonais obtemos um lagrangeano efetivo para os leptões nesta base idêntico ao obtido no mecanismo de Seesaw de tipo I que até ordem O/M se escreve: L d 6 leptões = ν j i / M diag νj + L CC + L C + L em. ν j +l α i / M diag. lα l α 93 9 µ µµ W ee ν µ e ν e µ eµ Z 0 eµ Figura 5. Diagramas a nível árvore para o decaimento do muão na teoria efetiva para o Seesaw de tipo III. a eq. 93 ν i = ν Li + νli C são estados próprios de massa de Majorana M diag. l é a matriz de massa dos leptões carregados e temos as correntes leptónicas L CC = g l L W/ ν L + h.c. 94 L C = { gzµ ν L γ µ νl cos θ W { gzµ l L γ µ ll cos θ W gzµ { sin θw Jµ em cos θ W e ν µ ν e 95 L em = e J em µ A µ = e l L γ µ l L A µ 96 onde a matriz de mistura U PMS nas correntes carregadas é substituída por uma matriz não unitária + ɛσ U PMS 97 com ɛ Σ v c d=6. Estes resultados são semelhantes aos obtidos no mecanismo de Seesaw do tipo I. Porém agora há mistura não unitária também nas correntes neutras com os leptões carregados. Uma consequência importante da existência de correntes leptónicas com mistura de sabor é uma correção da constante de Fermi G F extraída do decaimento do muão fig. 5 relativamente à do Modelo Padrão G F = G MP F G MP F ee µµ eµ ee µµ 98 já que = +ɛ até ordem O/M e que agora também contribuem para o processo correntes neutras. Por fim os desvios à unitaridade podem novamente relacionar-se diretamente com os coeficientes c d=6 : = v c d=6 = v Y M M Y. 99 Relativamente à contagem do número de parâmetros da teoria efetiva e completa esta é idêntica à efetuada para o mecanismo de Seesaw de tipo I e apresentada nas tabelas II e III com a substituição Σ e sendo n agora o número de tripletos fermiónicos. ovamente a teoria efetiva até dimensão d = 6 permite determinar todos os parâmetros da teoria completa se o número n de tripletos igualar o número de gerações n do MP. Finalmente compilam-se na tabela IV os operadores efetivos até dimensão d = 6 obtidos para os três tipos de mecanismos de Seesaw.

10 Seesaw Lagrangiano efetivo L eff. = c io i c d=4 O d=4 c d=5 c d=6 i O d=6 i Tipo I - Y T M Y Y M M Y M Y Y γδ l Lα φ φ i / l Lβ llα τ llβ l Lγ τ llδ Tipo II µ M φ φ 4Y µ M µ φ τ φ φ Dµ D µ τ φ λ 3 + λ 5 µ M 4 Tipo III - YΣ T M Σ Y Σ Y Σ M Σ Y Σ M Σ φ φ 3 l Lα τ φ φ id/ τ llβ Tabela IV. Coeficientes c i e operadores efetivos c io i obtidos para os três modelos de Seesaw estudados. VI. COCLUSÕES este trabalho mostrou-se que as massas pequenas dos neutrinos de esquerda do MP podem ser naturalmente geradas no contexto de uma teoria efetiva para cada um dos três tipos de mecanismo de Seesaw analisados em que os neutrinos são partículas de Majorana. a discussão relativa à natureza de Dirac ou Majorana dos neutrinos verificou-se que para explicar naturalmente as suas pequenas massas os neutrinos têm que ser partículas de Majorana com consequente violação da conservação do número leptónico total. Assumindo uma natureza de Majorana dos neutrinos verificou-se que a matriz de mistura leptónica nas correntes carregadas U PMS se pode parametrizar como o produto de uma matriz de mistura de Dirac e uma matriz diagonal com duas fases de Majorana. Apresentouse também o conhecimento experimental atual dos observáveis da física de neutrinos mostrando-se que por exemplo exclui um cenário de mistura tribimaximal e indica massas dos neutrinos menores que ev. Por fim na análise das teorias efetivas para os três tipos de Seesaw considerados verificou-se que existe um único operador efetivo de dimensão de massa d = 5 nos campos comum aos três modelos de Seesaw o operador de Weinberg que dá origem a massas naturalmente pequenas para os neutrinos de Majorana. Por outro lado os operadores de dimensão d = 6 são diferentes permitindo identificar qual o modelo de Seesaw considerado. Para os modelos de Seesaw fermiónicos os operadores efetivos obtidos resultam em matrizes de mistura leptónicas não unitárias que se traduzem por exemplo em modificações à constante de Fermi medida no decaimento do muão µ e + ν e + ν µ. Já no modelo de Seesaw com um tripleto escalar a matriz de mistura permanece unitária e os operadores efetivos corrigem o valor da constante de Fermi da massa do bosão Z 0 e dos parâmetros do potencial de Higgs. Algum trabalho por explorar é a possibilidade de que os operadores de dimensão d = 6 não sejam tão suprimidos como os de dimensão d = 5 resultando em taxas de decaimento para processos como µ eγ τ lγ ou µ eee que excedem os limites experimentais atuais. [] M. Goldhäber L. Grodzins and A. W. Sunyar Phys. Rev [] Y. Fukuda et al. [Super-Kamiokande Collaboration] Phys. Rev. Lett [hep-ex/ ]. [3] G. t Hooft ATO Adv. Study Inst. Ser. B Phys [4] E. Majorana uovo Cimento [5] C. Giunti C. W. Kim Fundamentals of eutrino Physics and Astrophysics Oxford University Press 007. [6] B. Pontecorvo Zh. Eksp. Teor. Fiz [7] Z. Maki M. akagawa and S. Sakata Prog. Theor. Phys [8] J. Beringer et al. Particle Data Group Phys. Rev. D and 03 partial update for the 04 edition URL: [9] P. F. Harrison D. H. Perkins and W. G. Scott Phys. Lett. B [0] F. Capozzi G. L. Fogli E. Lisi A. Marrone D. Montanino and A. Palazzo arxiv: [hep-ph]. [] C. Kraus et al. Eur. Phys. J arxiv:hepex/ [] V. M. Lobashev et al. Phys. Lett. B [3] P. A. R. Ade et al. Planck Collaboration ar- Xiv: [astro-ph.co]. [4] M. Agostini et al. GERDA Collaboration Phys. Rev. Lett [5] M. S. Bilenky and A. Santamaria ucl. Phys. B [6] S. Weinberg Phys. Rev. Lett [7] T. Yanagida Conf. Proc. C [8] W. Buchmüller D. Wyler Effective lagrangian analysis of new interactions ucl. Phys. B [9] S. Antusch C. Biggio E. Fernandez-Martinez M. B. Gavela J. Lopez-Pavon JHEP [arxiv:hep-ph/060700]. [0] A. Santamaria Phys. Lett. B [] A. Abada C. Biggio F. Bonnet M. Gavela T. Hambye JHEP [arxiv: v3 [hep-ph]]. 0