UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO UNIAN-SP MARIA GRACILENE DE CARVALHO PINHEIRO MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

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1 UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO UNIAN-SP MARIA GRACILENE DE CARVALHO PINHEIRO MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA FORMAÇÃO DE PROFESSORES DOS ANOS INICIAIS: CONHECIMENTO PROFISSIONAL DOCENTE AO EXPLORAR A INTRODUÇÃO DO CONCEITO DE FRAÇÃO SÃO PAULO 2014

2 MARIA GRACILENE DE CARVALHO PINHEIRO MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA FORMAÇÃO DE PROFESSORES DOS ANOS INICIAIS: CONHECIMENTO PROFISSIONAL DOCENTE AO EXPLORAR A INTRODUÇÃO DO CONCEITO DE FRAÇÃO Dissertação apresentada ao Curso de Pós- Graduação em Educação Matemática, Linha de Pesquisa Formação de Professores que ensinam Matemática Universidade Anhanguera de São Paulo UNIAN, como requisito parcial à obtenção do título de Mestre em Educação Matemática. SÃO PAULO 2014

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4 Aos que amo e que são minha inspiração em tudo o que realizo.

5 AGRADECIMENTOS Ao cursar o Mestrado, tive mais uma vez, a oportunidade de refletir acerca de coisas que são imprescindíveis à nossa condição de ser humano e à nossa missão de educador. Considero que a principal delas é que, o trabalho de pesquisa realizado no decorrer do curso não pertence apenas a você, uma vez que ele jamais aconteceria sem que tivessem pessoas dispostas a dialogar com você sobre questões inerentes ao teu projeto de investigação. Nesse sentido, um trabalho de pesquisa se constitui, a meu ver, em um projeto que se concretiza por meio da colaboração, da troca de ideias, da reflexão, da relação de convívio entre os envolvidos. Dessa forma sou grata especialmente, A Deus, pelo dom da vida e pelas bênçãos recebidas até hoje e as que ainda irei receber. À minha orientadora, a Professora Doutora Angélica da Fontoura Garcia Silva, pela parceria e dedicação dispensada no decorrer de toda a pesquisa. As tuas orientações foram imprescindíveis à realização deste trabalho. Obrigada também pela amizade. Considero-a um presente de Deus. Ao Professor Doutor Ruy César Pietropaolo, pela confiança depositada em mim. Obrigada por ter acreditado... Aos Professores Doutores Cristiano Alberto Muniz e Maria Elisa Esteves Lopes Galvão, pela gentileza em aceitar participar da Banca Examinadora e pelas contribuições dadas ao nosso trabalho. Às Professoras Doutoras Bette Prado, Nielce Lobo, Aparecida Duarte, pela atenção, amizade e pelos ensinamentos compartilhados. Ao Professor Doutor Ubiratan D Ambrosio, pela oportunidade de participar de suas aulas, de ouvir suas histórias de vida e por ter partilhado conosco muito de suas experiências. Às Professoras Doutoras Vera Giusti, Rosana Lima, Maria Helena Palma e ao Professor Doutor Vicenzzo Bongiovanni pela oportunidade de participar das suas aulas. À Professora Doutora Tânia Campos Mendonça, pela maneira competente e dedicada com que coordena os Programas de Mestrado e Doutorado. Às Professoras Sujeitos da pesquisa e demais professoras participantes do Observatório da Educação. Às crianças que participaram das atividades desenvolvidas nas escolas... Vocês deram um encanto novo à nossa investigação. Foi lindo vê-las pensando. Às meninas da Secretaria, Anália e Débora por serem sempre tão atenciosas. Ao Guilherme, pela humildade e disponibilidade com que sempre atende a todos.

6 À CAPES pela concessão da bolsa de estudo que tornou possível esta realização por meio do projeto no. 99/2010 Educação Continuada e Resultados de Pesquisa em Educação Matemática: uma investigação sobre as transformações das práticas de professores dos anos iniciais do ensino fundamental, desenvolvido dentro do Programa Observatório da Educação. À Prefeitura Municipal de Inhuma Piauí em nome do Senhor Prefeito, Moacir Gonçalves, e da Secretária de Educação, Maria Nilcimar Correia Cavalcante, pela concessão da licença, por meio da qual foi possível cursar o Mestrado. Obrigada também pela confiança, incentivo e amizade dispensados a mim. Às colegas Professoras da Rede Municipal de Ensino de Inhuma- PI, pelos momentos de estudo e aprendizado compartilhados. Às amigas e amigos de curso, em especial, a Lidiane e a Mirtes, pela amizade partilhada. À minha amiga, a Professora Socorro Quaresma, pela gentileza em revisar o texto desta dissertação. A sua contribuição foi muito valiosa. À minha amiga Dona Zefinha, pela ajuda incondicional dispensada durante todo o Mestrado. À minha amiga, Professora Adamir, pelo incentivo à minha formação acadêmica e profissional. À minha família, pai, mãe, irmãos, cunhadas, cunhado e sobrinhos, pelo carinho dedicado a mim. Que Deus sempre os abençoe. A Júnior, meu companheiro..., pela parceria na defesa de uma educação pautada nos princípios de cidadania, respeito e solidariedade humana. Ao meu amigo Osildo, pelo apoio, incentivo e amizade. Ao meu primo Raimundo, pelas vezes que me deixou transformar o seu escritório em local de estudo e concentração. A todos, com carinho e amizade, a minha gratidão!

7 RESUMO O presente trabalho de pesquisa foi desenvolvido com o intuito de analisar as mudanças de concepções relativas aos processos de ensino e aprendizagem de frações, de professores que lecionam Matemática para os anos iniciais do Ensino Fundamental, participantes de um curso de formação continuada. Esse estudo reuniu Pesquisadores em Educação Matemática e Professoras que ensinam Matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental da rede estadual de São Paulo em um curso de formação continuada desenvolvido no contexto do Projeto Observatório da Educação projeto de pesquisa e formação desenvolvido na Universidade Anhanguera de São Paulo e financiado pela Capes. Para esta investigação selecionamos três professoras como sujeitos. Os dados coletados foram obtidos em três fases: a primeira constituiu-se na aplicação de instrumentos diagnósticos, por meio dos quais foi possível planejar e desenvolver a segunda fase que foi destinada à intervenção, definida como processo formativo. Por fim, a terceira foi reservada às entrevistas e observações em sala de aula, com o objetivo de identificar implicações do processo formativo na prática pedagógica das três professoras. Dessa forma, pretendeu-se analisar o processo de (re)construção dos conhecimentos dessas professoras sobre a utilização de situações parte-todo e quociente para introduzir o conceito de fração. No que se refere às teorias adotadas na produção da pesquisa, bem como nas análises das informações produzidas em cada fase da investigação, foram utilizados os estudos de Shulman, Ball et al e Serrazina sobre a discussão de questões relativas à formação de professores e ao processo de reflexão da prática docente. Em relação às questões didáticas relacionadas às frações, buscou-se contribuições da Teoria dos Campos Conceituais de Gerard Vergnaud e adotou-se a classificação proposta por Nunes para os significados da fração bem como a Sequência de tarefas desenvolvida para o ensino a partir da situação quociente (Nunes et al). A análise da fase diagnóstica permitiu perceber a forte crença que as professoras tinham acerca de que o significado parte-todo seria suficiente para resolver qualquer situação com fração. Isso, porém, foi (re)construído durante a formação, quando foi proporcionado a elas a vivência de experiências mais amplas em que tiveram a oportunidade de discutir situações com o significado quociente e outras ideias subjacentes às frações: equivalência, ordem e, sobretudo, a conservação da unidade de referência, que decidiu-se definir como invariante, pois essa revelou-se determinante para a representação gráfica equivocada da fração de quantidades apresentadas pelas professoras às situações propostas. Dessa forma, conclui-se que, de maneira geral, o processo de formação contribuiu para a (re)construção dos conhecimentos das professoras sobre os significados da fração e que, as reflexões suscitadas no decorrer da formação as auxiliaram a (re)pensar suas práticas docentes fatos observados em sala de aula, um ano após a formação. Nesse trabalho, reflete-se a necessidade de as escolas investirem na constituição de grupos de estudos que contribuam para a ampliação do conhecimento profissional dos professores, pois para esses desenvolverem-se é necessário que dialoguem com diferentes experiências e reflitam sobre suas práticas, fortalecendo-as. Palavras-Chave: Educação Matemática, Conhecimento Profissional Docente, Formação de Professores, Conhecimentos necessários para o ensino de Frações, Implicações da Formação na Prática docente, Reflexões sobre a prática.

8 ABSTRACT This research was developed to analyze conceptual changes related to the process of teaching and learning fractions in early Elementary School math teachers who were participants of a continued education course. This study involved Mathematics Education researchers and teachers who teach math in the first grades of Elementary School in the state schools of São Paulo in a continued education course developed within the scope of the Education Observatory Project - a research and development project from the Universidade Anhanguera of São Paulo and funded by Capes, the Brazilian research agency. We selected three teachers to be our subjects in this study. Data was collected in three stages: the first consisted of applying diagnostic tools that made it possible to plan and develop the second stage, which was meant to be the intervention, taken as a development process. Finally, the third stage was used for interviews and classroom observations aiming to identify implications in the development process in the pedagogical practice of these three teachers. Hence, the idea was to analyze the knowledge (re)construction process experienced by these teachers regarding parts-and-whole and quotient situations to introduce the concept of fraction. As far as theories adopted for the development of this research, and for the analysis of the information produced in each stage, the studies developed by Shulman, Ball et al and Serrazina were used on the discussion about questions related to teacher development and the reflection on teachers' practice. Regarding didactic questions related to fractions, the Conceptual Fields Theory, by Gerard Vergnaud, and the classification proposed by Nunes for fraction meanings were used, and also task Sequences developed for teaching based on the quotient situation (Nunes et al.). The analysis of the diagnostics stage shows the strong belief that teachers had about the meaning of parts-and-whole as being enough to solve any situation involving fractions. However, this notion was (re)constructed during the development process, when teachers were able to have a broader experience in which they had the chance to discuss situations with quotient meaning and the underlying ideas to fractions: equivalence, order and, mainly, the preservation of the reference unit, - defined as invariant - as this proved to be determinant for erroneous graphic representations of fractions of quantities presented by the teachers in the suggested situations. Hence, the general conclusion is that the development process contributed towards a (re)construction of knowledge by the teachers about the meanings of fraction and that the reflections brought up during the development process helped them re(think) their teaching practices - facts that were noticed in their classroom a year after the development process. In this study, it becomes apparent the need for schools to invest in forming study groups that contribute for the broadening of teachers' professional knowledge, because for teachers to develop it is necessary that they establish a dialog with different experiences and reflect upon their practices and enhance them. Key words: Mathematical Education, Professional Teaching Knowledge, Teacher Development, Knowledge Required for the Teaching of Fractions, Implications of Teaching Practice Development, Reflections upon Practice.

9 LISTA DE TABELAS Tabela 1 - Nossa interpretação das categorias de Ball et al (2008) referente aos conhecimentos necessários ao ensino das frações Tabela 2 - Situações propostas no 2º instrumento diagnóstico Tabela 3 - Número de professoras que apresentaram uma resposta esperada ou outras respostas às situações propostas no 2º instrumento diagnóstico ou que não responderam Tabela 4 - Síntese das sessões de formação Tabela 5 - Significados da fração explorados nas situações elaboradas pelas professoras Tabela 6 - Número de significados e tipo de situações elaboradas pelas professoras Tabela 7 - Número de respostas consistentes e que fizeram uso da estratégia do cálculo de algoritmos, respostas consistentes que se utilizaram da estratégia de partição e número de respostas inconsistentes. Tabela 8 - Número de professoras que apresentaram uma resposta esperada à situações propostas no 2º instrumento diagnóstico ou que apresentaram outras respostas Tabela 9 - Respostas dos alunos à 2ª situação proposta na Sequência de Tarefas Tabela 10 - Respostas dos alunos à 3ª situação proposta na Sequência de Tarefas

10 LISTA DE FIGURAS Figura 1 - As categorias do conhecimento propostas por Shulman (1985) e as correspondentes de Ball et al (2008) Figura 2 - Primeira situação parte-todo proposta no instrumento diagnóstico Figura 3 - Segunda situação parte-todo proposta no instrumento diagnóstico Figura 4 - Terceira situação parte-todo proposta no instrumento diagnóstico Figura 5 - Quarta situação parte-todo proposta no instrumento diagnóstico Figura 6: Quinta situação parte-todo proposta no instrumento diagnóstico Figura 7 - Sexta situação parte-todo proposta no instrumento diagnóstico Figura 8 - Primeira situação quociente proposta no instrumento diagnóstico Figura 9 - Segunda situação quociente proposta no instrumento diagnóstico Figura 10 - Terceira situação quociente proposta no instrumento diagnóstico Figura 11 - Quarta situação quociente proposta no instrumento diagnóstico Figura 12 - Quinta situação quociente proposta no instrumento diagnóstico Figura 13 - Situações quociente, parte-todo e razão proposta no instrumento diagnóstico Figura 14 - Imagens vídeo 1: atividade desenvolvida com as professoras em sessão de formação Figura 15: Imagens vídeo 2: atividade desenvolvida com as professoras em sessão de formação Figura 16 - Situação elaborada pela Professora Renata 2º instrumento diagnóstico Figura 17 - Situação elaborada pela Professora Ana 2º instrumento diagnóstico Figura 18 - Situação elaborada pela Professora Marcela - 2º instrumento diagnóstico Figura 19 - Situação elaborada pela Professora Renata 2º instrumento diagnóstico Figura 20 - Resposta da Professora Ana à situação por ela elaborada 2º instrumento diagnóstico

11 Figura 21 - Resposta da Professora Marcela à situação por ela elaborada 2º instrumento diagnóstico Figura 22 - Situação elaborada pela Professora Renata e sua resposta à mesma 2º instrumento diagnóstico Figura 23 - Situação elaborada pela Professora Ana e sua resposta à mesma 2º instrumento diagnóstico Figura 24 - Situação elaborada pela Professora Marcela e sua resposta à mesma 2º instrumento diagnóstico Figura 25 - Resposta das Professoras Renata, Ana e Marcela à 1ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico Figura 26 - Resposta das Professoras Marcela e Renata à 4ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico Figura 27 - Resposta da Professora Ana à 4ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico Figura 28: Resposta das Professoras Renata e Ana à 3ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico Figura 29 - Resposta da Professora Marcela à 3ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico Figura 30 - Estratégias de ensino apresentadas pelas Professoras Ana e Renata: 3ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico Figura 31 - Resposta da Professora Ana à 6ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico Figura 32 - Resposta da Professora Marcela à 6ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico Figura 33 - Respostas da Professora Renata à 6ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico Figura 34 - Resposta da Professora Renata à 5ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico Figura 35 - Respostas da Professora Marcela à 5ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico Figura 36 - Respostas da Professora Ana à 5ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico Figura 37 - Justificativas das professoras referentes à resposta apresentada: 5ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico

12 Figura 38 - Respostas da Professora Renata à 8ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico Figura 39 - Respostas da Professora Ana à 8ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico Figura 40 - Respostas da Professora Marcela à 8ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico Figura 41 - Resposta das Professoras Marcela, Renata e Ana à 9ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico Figura 42 - Respostas da Professora Ana à 7ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico Figura 43 - Resposta da Professora Renata à 7ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico Figura 44 - Resposta da Professora Marcela à 7ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico Figura 45 - Resposta das Professoras Ana e Renata à 10ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico Figura 46 - Resposta da Professora Marcela à 10ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico Figura 47 - Sequência de Tarefas: 2ª situação Figura 48 - Imagens vídeo do Aluno Vinícius - 1º Ano Figura 49 - Imagens vídeo de Aluno Fábio - 2º Ano Figura 50 - Protocolos dos Alunos Artur e Mateus - 5º Ano Figura 51 - Protocolo do Aluno João - 5º Ano Figura 52 - Imagem vídeo 1: Aluno Lucas - 2º Ano Figura 53 - Imagem vídeo 2: Aluno Lucas - 2º Ano Figura 54 - Imagem vídeo 3: Aluno Lucas - 2º Ano Figura 55 - Imagem vídeo 4: Aluno Lucas - 2º Ano Figura 56 - Imagem vídeo 5: Aluno Lucas - 2º Ano Figura 57 - Imagem vídeo 6: Aluno Lucas - 2º Ano

13 Figura 58 - Imagens vídeo 7: Aluno Lucas - 2º Ano Figura 59 - Protocolos dos Alunos José e Júnior - 2º e 5º Ano Figura 60 - Protocolos dos Alunos Wesley e Ubiraci - 5º Ano Figura 61 - Protocolo do Aluno Carlos - 2º Ano Figura 62 - Protocolos das Alunas Bruna e Paloma - 1º e 5º Ano Figura 63 - Protocolo do Aluno Ubirajara - 5º Ano Figura 64 - Sequência de Tarefas: 3ª Situação Figura 65 - Protocolos dos Alunos Victor e Fernanda - 5º Ano Figura 66 - Imagem vídeo do Aluno Diogo - 1º Ano Figura 67 - Protocolos das Professoras Ana e Renata Figura 68 - Protocolos das Professoras Ana e Renata Figura 69 - Protocolo da Professora Ana Figura 70 - Protocolo da Professora Renata Figura 71 - Protocolo da Professora Marcela Figura 72 - Imagens vídeo: alunos realizando atividade sugerida pela Professora Ana Figura 73 - Imagem vídeo 1: Ensino desenvolvido pela Professora Ana Figura 74 - Imagem vídeo 2: Ensino desenvolvido pela Professora Ana Figura 75 - Imagem vídeo 3: Ensino desenvolvido pela Professora Ana Figura 76 - Imagens vídeo: Alunos realizando atividade sugerida pela Professora Renata Figura 77 - Imagens vídeo 1: Ensino desenvolvido pela Professora Renata Figura 78 - Imagens vídeo 2: Ensino desenvolvido pela Professora Renata

14 SUMÁRIO APRESENTAÇÃO 16 CAPÍTULO 1 - CONFIGURAÇÃO DA PESQUISA Antecedentes e Motivações Relevância do Tema: o que dizem as pesquisas Questão de Pesquisa e Objetivo O Percurso da Investigação Em busca de Referências Teóricas 27 CAPÍTULO 2 FRAÇÕES: UMA ANÁLISE DAS PESQUISAS 29 EXISTENTES 2.1 Revisão de Literatura Estudos relacionados ao Conhecimento Profissional Docente Estudos relacionados à formação de professores e suas concepções acerca do conceito de fração Fundamentação Teórica Teorias que versam sobre o objeto matemático: números racionais na representação fracionária Vergnaud e a Teoria dos Campos Conceituais Nunes et. al. e os estudos sobre frações 2.3 Teorias que versam sobre a formação de professores: reflexões sobre a prática e conhecimento profissional docente CAPÍTULO 3 A PESQUISA: PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS E O PROCESSO FORMATIVO Pesquisa Qualitativa Contexto da Pesquisa Primeiro Instrumento Diagnóstico: Questionário de Entrada Perfil das Professoras participantes da Formação Segundo Instrumento Diagnóstico: as Situações O Percurso da Formação 68 CAPÍTULO 4 - ANÁLISE DOS INSTRUMENTOS DIAGNÓSTICOS Questionário de Entrada Questões elaboradas pelas professoras Significados de fração explorados nas situações elaboradas e tipos de problemas Respostas dos professores às situações elaborados Respostas das professoras às situações propostos na segunda parte do segundo instrumento diagnóstico: questionário com significado parte-todo e quociente Respostas às atividades com o significado parte-todo Situações de representação Situações que envolvia o invariante ordem Situação que envolvia o invariante da equivalência Respostas às atividades com o significado quociente Situação de Representação

15 Situação que envolvia o invariante equivalência Situação que envolvia o invariante ordem CAPITULO 5 ANÁLISE DO PROCESSO FORMATIVO 5.1 Respostas dos alunos à Sequência de tarefas: análise e discussão dos dados 5.2 Reflexões advindas da avaliação do processo formativo CAPITULO 6 DA PERCEPÇÃO À PRÁTICA DAS PROFESSORAS 6.1 Análise da atividade desenvolvida pelas professoras um ano após a formação CONSIDERAÇÕES FINAIS Breve Relato dos Principais Resultados da Pesquisa Saberes Matemáticos das Professoras anterior ao Processo Formativo Reflexões sobre o objeto matemático: concepções, crenças e saberes reconstruídos no decorrer da formação Reflexões sobre o processo formativo: contribuições de um trabalho colaborativo Reflexões sobre a Prática: implicações da formação Resposta à Questão de Pesquisa e Reflexões que indicam Pesquisas Futuras REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXO 1 Sequência de Tarefas elaborada pela Professora Terezinha Nunes APÊNDICE 1 Primeiro Instrumento Diagnóstico: Questionário de Entrada APÊNDICE 2 Segundo Instrumento Diagnóstico: as situações APÊNDICE 3 Tabela para registro das respostas dos alunos à Sequência de Tarefas APÊNDICE 4 Questionário de Avaliação APÊNDICE 5 Termo de Consentimento Livre e Esclarecido

16 16 APRESENTAÇÃO O presente trabalho de pesquisa intitulado Formação de Professores dos Anos Iniciais: conhecimento profissional docente ao explorar a introdução do conceito de fração procurou investigar, discutir e analisar questões relacionadas ao conhecimento profissional docente de professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental sobre a introdução do conceito de números racionais na representação fracionária. A pesquisa realizada, no âmbito do Projeto Observatório da Educação 1 um programa de formação e pesquisa, constituído por Professores e Pesquisadores na área da Educação Matemática, desenvolvido pela Universidade Anhanguera de São Paulo - UNIAN - SP e financiado pela Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior- CAPES, integra os trabalhos pertencentes à Linha de Pesquisa Formação de Professores que Ensinam Matemática. A investigação desenvolveu-se, ao mesmo tempo, com a realização da revisão de literatura, estudo do referencial teórico e o planejamento e execução de um processo formativo realizado com a participação de professoras dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, pertencentes à rede estadual de São Paulo-SP, por meio dos quais foi possível analisar e refletir sobre a utilização de situações parte-todo e quociente para a introdução do conceito de fração 2. Com a revisão de literatura, alguns resultados de pesquisas serviram de inspiração para o desenvolvimento desta investigação. Três desses investigaram sobre os processos de ensino e aprendizagem de frações: Cardoso (2009), Campos (2011) e Canova (2013); dois pesquisaram, especialmente, sobre a formação de professores: Garcia Silva (2007), Monteiro Cervantes (2010) e dois, sobre as concepções de professores acerca do objeto matemático: Teixeira (2008) e Costa (2011). 1 Projeto Observatório da Educação Auxílio número 99/2010 : Educação Continuada e Resultados de Pesquisa em Educação Matemática: uma investigação sobre as transformações das práticas de professores dos anos iniciais do Ensino Fundamental é coordenado pela professora Dra. Tânia Maria Mendonça Campos. 2 Optamos por utilizar, neste trabalho, o termo fração para designar os números racionais na representação fracionária.

17 17 No que se refere à fundamentação teórica todos os passos desta pesquisa, desde a organização, desenvolvimento, reflexões e análise das informações produzidas antes, durante e após a formação, tomou como base as teorias desenvolvidas por: - Shulman (1986, 1987): discute ideias relativas à formação de professores. Por meio delas, buscou-se refletir sobre os conhecimentos, apontados pelo autor, como necessários ao professor: Conhecimento do Conteúdo, Conhecimento Pedagógico do Conteúdo e Conhecimento Curricular do Conteúdo. - Ball, Thames e Phelps. (2008): trazem aspectos relacionadas aos conhecimentos específicos da área, constituindo-se um aprimoramento das categorias de Shulman: Conhecimento do Conteúdo da Disciplina e Conhecimento Pedagógico do Conteúdo Matemático. - Serrazina (1999): apresenta reflexões sobre a prática e discute as implicações de um trabalho colaborativo. - Vergnaud (1990,1993): discute aspectos que ajudam a compreender como um conceito é construído: conjunto de situações, conjunto de invariantes e conjunto das representações. - Nunes, Bryant, Pretzlik, Hurry (2003, 2005, 2009): apoiados em Vergnaud, propõem o ensino das frações a partir de diferentes situações: parte-todo, quociente, operador e quantidades intensivas. Sugerem ainda que algumas situações podem favorecer a compreensão de ideias importantes à formação do conceito, como a de equivalência e ordem. Quanto à investigação, esta se desenvolveu em dez sessões: duas delas dedicadas à aplicação e análise de instrumentos diagnósticos, por meio dos quais foi possível perceber e discutir com o grupo de professoras os conhecimentos que elas possuíam acerca do tema em estudo, frações. Além disso, serviu de norte para o planejamento do processo interventivo, desenvolvido em seis sessões de formação. Passado um ano da formação, duas outras sessões foram realizadas: entrevista e observação em sala de aula. Passado a fase diagnóstica iniciou-se a intervenção. No decorrer desta, diferentes e variadas atividades foram desenvolvidas com o propósito de discutir a introdução do ensino de fração por meio dos significados parte-todo e quociente. Dessa forma, o foco da intervenção foi refletir limites e possibilidades de se promover o ensino e a aprendizagem do conceito de fração utilizando-se desses dois significados. O significado parte-todo, aquele em que as professoras demonstraram, na fase diagnóstica, ter conhecimento, foi discutido, durante o processo formativo, com o propósito de ampliar ideias ainda não dominadas por elas como, por exemplo, as relativas aos

18 18 invariantes da fração, mais especificamente sobre a ordenação e também em relação à conservação da unidade de referência. Para discutir tais ideias, consideradas fundamentais à construção e compreensão do conceito de frações, foi proposta a vivência de uma atividade com a literatura infantil O pirulito do pato do escritor Nilson José Machado. Já para trabalhar fração por meio do significado quociente foi proposta a vivência de uma Sequência de tarefas desenvolvida pela Professora Terezinha Nunes e seus colabores de pesquisa. Esses pesquisadores inspirados nas investigações de Streefland (1991), sugerem introduzir o conceito de fração a partir de atividades em que sejam exploradas situações em que o aluno possa fazer uso do conhecimento contido em seu repertório, como por exemplo, a ideia de divisão já conhecida por ele. Além disso, eles sugerem que o uso de tal Sequência favorece a compreensão e construção da ideia de equivalência. A Sequência foi desenvolvida com as professoras participantes da formação e também em sala de aula, com os alunos de quatro delas, nas turmas de 1º, 2º, 4º, 5º, 7º e 8º ano 3. Com isso, ampliou-se a discussão, no sentido de que as docentes puderam, a partir da análise dos protocolos dos alunos, refletir sobre os equívocos cometidos por eles, bem como suas possíveis causas e modos de intervenção. Na sessão dedicada à entrevista, as professoras, sujeitos deste estudo, puderam expressar-se mais uma vez sobre assuntos discutidos durante a intervenção. Depois, o retorno à escola, possibilitou a observação, em sala, da aula desenvolvida pelos sujeitos para introduzir o ensino das frações com seus alunos. Essas atividades foram desenvolvidas com o intuito de perceber implicações da formação na prática pedagógica, bem como possíveis saberes (re)construídos a partir do processo interventivo. Dessa forma, foi possível discutir na análise das informações produzidas nessas duas sessões, as impressões das professoras acerca das diferentes propostas de introduzir o conceito de frações discutidas durante a formação. Com o propósito de descrever cada uma dessas fases que moldam este estudo realizado ao longo de dois anos, o processo investigativo será descrito em seis capítulos, organizados da seguinte maneira: - No primeiro capítulo, serão apresentadas as motivações em pesquisar sobre o tema frações; uma síntese da análise dos estudos já realizados e que serviram para justificar a relevância do estudo; as questões e o objetivo de pesquisa. Serão descritas também, de maneira breve, a trajetória e a fundamentação teórica adotada na realização da mesma. 3 A formação foi dedicada aos professores dos anos iniciais do Ensino Fundamental, porém uma professora dos anos finais participou e aplicou a Sequência de Tarefas.

19 19 - No segundo capítulo, serão apresentadas as análises relativas à fundamentação teórica adotada para subsidiar a pesquisa. Será descrita, ainda, nesse capítulo, a revisão de literatura, na qual foram discutidos resultados de algumas pesquisas relacionadas ao tema. - No terceiro capítulo, serão descritos os procedimentos metodológicos e o processo formativo, nos quais serão apresentados o contexto da pesquisa, o percurso da formação e os instrumentos utilizados na coleta dos dados, bem como, de maneira sucinta, considerações sobre a aplicação dos instrumentos diagnósticos. - No quarto capítulo, serão apresentadas a análise e discussão das respostas, dos sujeitos de pesquisas, a cada instrumento diagnóstico que serviram de base para o planejamento e desenvolvimento da formação. - No quinto capítulo, serão discutidas as reflexões sobre o objeto matemático, explicitadas, pelas professoras, durante o processo formativo. Será apresentada também a análise das produções de alunos dos sujeitos da pesquisa. - No sexto capítulo, será apresentada a análise de dois momentos que ocorreram com as professoras, sujeitos da pesquisa, um ano após a realização do processo formativo: entrevista e observação da aula que elas planejaram para introduzir o ensino de frações com seus alunos. Por fim, serão apresentadas as considerações finais, na qual será retomada a questão de pesquisa, o objetivo da investigação, bem como um breve relato da trajetória da pesquisa. Serão apresentadas também as reflexões dos autores sobre o presente trabalho de investigação, a resposta à questão de pesquisa e proposição de novas investigações acerca do tema em estudo.

20 20 CAPÍTULO 1 CONFIGURAÇÃO DA PESQUISA Este capítulo será dedicado à descrição de como esta pesquisa está configurada: as motivações que inspiraram a investigação acerca das frações, a importância do tema, trazendo brevemente resultados de alguns estudos já realizados e que justificam sua relevância, bem como, o objetivo e as questões de pesquisa. Serão descritas também, de maneira sucinta, a trajetória do estudo e a fundamentação teórica na qual nos apoiamos na realização do mesmo Antecedentes e motivações 4 Sou licenciada em Matemática pela Universidade Estadual do Piauí UESPI. Cursei especialização em Psicopedagogia Institucional pela Faculdade das Atividades Empresariais de Teresina-PI e, também, especialização em Mídias na Educação, pela Universidade Federal do Piauí. Por alguns anos, realizei trabalhos de coordenação junto ao Departamento de Ensino da Secretaria Municipal de Educação, Cultura e Desportos do município de Inhuma-Piauí e participei de muitos estudos com professores. Momentos que me deram a oportunidade de discutir e refletir sobre questões ligadas ao plano de ação educativa, projeto pedagógico, plano de aula, planejamento, proposta curricular para o ensino de Matemática, dentre outros. Fui, também, formadora do Programa Gestão da Aprendizagem Escolar GESTAR II de Matemática. Nesses momentos de estudos, escutava várias queixas dos professores quanto ao ensino e à aprendizagem dos conteúdos de Matemática e percebia que isso, muitas vezes, lhes causava desencanto frente a situações do dia a dia na sala de aula. Eram muitos os conteúdos em que os professores manifestavam ter dificuldade, todavia um, em especial, me chamava atenção: os números racionais na representação fracionária, pois essa temática também me afligia. Lembro-me de que, quando aluna do 4 Excepcionalmente, optamos por escrever esta subseção na primeira pessoa do singular por tratar-se de experiências próprias do investigador. O restante do trabalho será escrito na primeira pessoa do plural, por considerarmos que este estudo contou com contribuições da orientadora, banca além de colegas e outras investigações.

21 21 Ensino Fundamental, tinha grande dificuldade com esses números. Eu compreendia, por 3 exemplo, o que significava de alguma coisa. Isso porque, para escrever esse número, as 4 professoras sempre desenhavam um retângulo, dividia em partes iguais e pintavam algumas 4 partes dele, mas quando eu tinha que representar, por exemplo, o número não sabia como 3 fazer. A minha dificuldade naquela época era estabelecer uma relação entre o que a professora definia e a representação de uma fração imprópria. Assim eu questionava, se o denominador representava a quantidade de partes em que o retângulo deveria ser dividido e o numerador a quantidade de partes que eram pintadas, como é que eu ia pintar quatro partes, se eu tinha dividido o retângulo em apenas três partes? No trabalho de coordenação o que eu percebia quando discutíamos esse assunto, e os professores diziam que os alunos não aprendiam, é que muitos ensinavam exatamente como os meus professores haviam ensinado. Então pensava: talvez os alunos ainda não tivessem maturidade para compreender esses números. Por outro lado, me questionava: será que é isso mesmo? O que mais me incomodava era eu não ter respostas aos questionamentos dos professores, porque, mesmo tendo formação na área da Matemática, não havia discutido isso durante minha formação inicial. Nesse sentido, acredito que se eu fosse ensinar esse conteúdo também utilizaria as mesmas estratégias de ensino que foram utilizadas pelos meus professores. Ingressando no curso de mestrado, integrando o grupo de pesquisa Formação de Professores que Ensinam Matemática e depois de realizar algumas leituras, descobri que a relação entre a formação e a trajetória escolar é marcante para o profissional da Educação. Minhas leituras de Tardif (2000) e Serrazina (1999) me permitiram refletir sobre o ocorrido. Os estudos de Tardif (2000), por exemplo, sobre a origem dos saberes docentes que servem de base para o ensino revelam que uma boa parte do que os professores sabem sobre o ensino, sobre os papéis do professor e sobre como ensinar provém de sua própria história de vida, principalmente de sua socialização enquanto alunos (TARDIF, 2000, p. 216). O autor discute que os professores são inseridos em seu campo profissional ainda no seu período de escolarização. Dessa forma, eles adquirem conhecimentos, concepções e crenças 5 sobre a atividade docente que influenciam a sua atuação profissional. 5 Ressaltamos que a expressão, crenças, empregada no nosso estudo tem o mesmo sentido do empregado por Ponte (1992). Para o autor, elas podem ser vistas como... uma parte do conhecimento relativamente "pouco elaborada" (...) Nas crenças predominaria a elaboração mais ou menos fantasista e a falta de confrontação com a realidade empírica. (PONTE, 1992, p. 192).

22 22 A compreensão desse fato evidencia a necessidade de que o professor experiencie, durante toda a sua formação, em particular, no âmbito da formação inicial, como aluno, situações semelhantes às que serão encontradas na sala de aula, fato que não ocorreu durante minha formação e nem com os professores com os quais tive contato no Piauí. Em relação ao ensino e à aprendizagem das frações, entendi, embasada na Teoria dos Campos Conceituais de Gerard Vergnaud (1990, 1993, 2009), que a compreensão de um conceito ou conteúdo não ocorre a partir de uma única experiência, nem em um único momento, mas em um longo período de tempo e a partir da experiência, maturidade e aprendizagem. Dessa forma, ao ingressar no curso de Mestrado da Universidade Anhanguera, decidi estudar e investigar outras formas de aprender e ensinar as frações, assim como investigar, ainda, as contribuições que podem advir de uma formação continuada sobre esses números Relevância do Tema: o que dizem as pesquisas O estudo e compreensão das frações são considerados fundamentais, principalmente pelo seu uso na própria disciplina (...) esses números têm grande importância na matemática, relacionando-se a razões, raciocínio proporcional, ao cálculo algébrico, a probabilidades, etc (BERTONI, 2009, p. 28). Já em 1983 pesquisadores como Behr, M. J., Lesh, R., Post, T. R., & Silver, E. A. (1983) consideravam que o conceito de fração é uma das ideias matemáticas mais complexas e importantes na formação do aluno. Eles justificam tal importância indicando que a compreensão do conceito de fração envolve três perspectivas: prática, psicológica e matemática. (BEHR et al., 1983). Segundo esse estudo, na perspectiva prática, com a compreensão deste conceito é possível aperfeiçoar as habilidades de dividir e de entender e manipular situações e problemas no mundo real. Na perspectiva psicológica, o estudo das frações proporciona o desenvolvimento e a expansão de estruturas mentais necessárias ao desenvolvimento intelectual das crianças. Na perspectiva matemática, essa compreensão proporcionará a base necessária para a compreensão de alguns conceitos matemáticos mais complexos que são estudados posteriormente, como as operações algébricas elementares. (BEHR et. al., 1983). Apesar da sua importância, esse é um tema que professores e alunos encontram grandes dificuldades tanto no que se refere ao ensino quanto à aprendizagem. Algumas

23 23 pesquisas realizadas em outros países e também no Brasil apontam essas dificuldades encontradas por professores e alunos. Por exemplo, pesquisas que foram realizadas no Brasil: Campos et. al (1995), Rodrigues (2005), Canova (2006), Damico (2007), Garcia Silva (2007), Monteiro Cervantes (2010), Campos (2011) dentre outras. Algumas pesquisas como as de Campos, Jahn, Silva e Silva (1995); Nunes e Bryant (1997) evidenciaram dificuldades encontradas por alunos quanto ao domínio do conceito de fração. O mesmo foi constatado com alunos que estudavam no final da Escola Básica (17, 18 anos) por Rodrigues (2005). O autor observou que tais estudantes ainda apresentavam dificuldades significativas tanto sobre a compreensão do papel da unidade de referência, nos problemas envolvendo frações, como sobre as peculiaridades das situações envolvendo grandezas discretas. Quanto aos alunos dos anos iniciais, Garcia Silva (2007), por exemplo, ao realizar uma investigação com os alunos do 5º ano do Ensino Fundamental (crianças com 9 e 10 anos) observou também que esses estudantes apresentavam pouco domínio do conceito de fração. Na literatura, observamos que pesquisas atuais ainda apontam que o problema continua. Campos (2011), por exemplo, afirma que O ensino e aprendizagem de frações constituem um obstáculo considerável para professores e alunos, desde o 4 ano do ensino fundamental no Brasil, quando esse tema é abordado (CAMPOS, 2011, p.1). Na década de 90, Nunes e Bryant ao discutirem tal problemática chamam a atenção sobre a forte tendência dos professores em trabalhar o conceito de fração utilizando principalmente o significado parte-todo. Seus estudos consideram a possibilidade de: [...] que esta lacuna seja uma consequência da aprendizagem do aluno de linguagem fracional na escola simplesmente através do procedimento de dupla contagem (NUNES E BRYANT, 1997, p ). Todavia estudos recentes como os de Campos (2011) apontam que outros autores como Strefland (1987; 1993; 1997) sugerem que a introdução do ensino de frações pelo quociente permite que ocorram situações nas quais o aluno apresenta maior compreensão do uso das frações. Além desse estudo, outras investigações como as de Canova (2013), Mamede (2007), Nunes e Bryant (2008), Nunes et. al. (2007) indicam que as crianças compreendem melhor o uso das frações pelo quociente do que por parte-todo. Quanto à formação de professores, estudos como os de Damico (2007), por exemplo, ao analisar o conhecimento de futuros professores, em um curso de formação inicial, apontam dificuldades no conhecimento didático relacionado ao ensino de frações. Da mesma forma,

24 24 Garcia Silva (2007) identificou o conhecimento profissional docente como um dos fatores que pode exercer influência sobre o processo de desenvolvimento profissional dos docentes. A autora, ao analisar depoimentos de professores participantes de um processo de formação continuada, observou a relação entre o domínio do conteúdo e a prática pedagógica dos sujeitos envolvidos e que: [...] as limitações nos procedimentos de ensino foram acarretadas pelo fato de as docentes terem um domínio não suficiente do conteúdo a ser ensinado. Este fato pode ter impedido que os professores percebessem a possibilidade de variações da metodologia utilizada (GARCIA SILVA, 2007, p.272). A autora, apoiada em estudos de Shulman (1986), observou que a ausência de domínio desse conteúdo específico implicou em lacunas na prática pedagógica dos envolvidos. Dessa forma, a partir dos resultados das pesquisas citadas, consideramos relevante investigar o conhecimento de professores acerca de diferentes situações que dão sentido ao conceito de frações. Acreditamos que com esta investigação iremos oferecer contribuições ao conhecimento já produzido na área, o que dará margem para novas discussões acerca dos processos de ensino e aprendizagem das frações Questão de Pesquisa e Objetivo Vergnaud (1990) defende que, o que dá significado a um conceito são as diferentes situações por meio das quais ele é construído, considerando ainda como necessários ao seu estudo e à sua compreensão o conjunto de invariantes e das representações simbólicas. Algumas pesquisas, apoiadas nos estudos desse teórico, chamam a atenção para a necessidade de se oferecer aos professores oportunidade de vivenciar, em cursos de formação continuada, experiências que lhes permitam utilizar outros significados quando ensinam fração (Canova, 2006; Damico, 2007; Garcia Silva 2007; Monteiro Cervantes, 2010 e Canova, 2013). Da mesma forma, documentos oficiais como os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN apontam para a necessidade de que o ensino do conceito de fração utilize-se dos significados parte-todo, quociente e razão. Porém pesquisas (Nunes et al, 1997; Rodrigues, 2005) indicam a tendência dos professores brasileiros em iniciar o ensino dessa temática utilizando-se apenas do significado parte-todo. Respaldados nos argumentos descritos anteriormente e nas ideias apresentadas nas pesquisas desenvolvidas por Streefland (1991, 1997) que apoiaram as investigações de Nunes & Bryant (2003) e Campos (2011) em relação

25 25 à introdução do conceito de fração por meio de situação quociente, propomos a seguinte questão de pesquisa: - Quais são as mudanças de concepções dos professores participantes de um processo de formação continuada que buscou ampliar os conhecimentos necessários ao ensino de fração? Essa questão será respondida com o auxílio de outras perguntas: - Quais são os conhecimentos dos professores sobre a introdução do conceito de fração desenvolvido por meio de situações parte-todo e quociente? - Quais são as concepções 6 que os professores têm em relação aos processos de ensino e de aprendizagem do conceito de fração? - Quais são as reflexões explicitadas pelos professores, durante e depois de um processo de formação continuada, quando discutem o conceito de fração? - Quais são os possíveis saberes (re)construídos pelos professores, a partir da participação em um curso de formação continuada, quanto aos processos de ensino e de aprendizagem do conceito de fração? No intuito de encontrar respostas para tais questões, estabelecemos o objetivo a ser alcançado com este estudo: Analisar as mudanças de concepções relativas aos processos de ensino e aprendizagem de frações, de professores que lecionam Matemática para os anos iniciais do Ensino Fundamental, participantes de um curso de formação continuada. 6 Ressaltamos que a expressão, concepções, empregada no nosso estudo tem o mesmo sentido do empregado por Ponte (1992). Para o autor, as concepções formam-se num processo simultaneamente individual (como resultado da elaboração sobre a nossa experiência) e social (como resultado do confronto das nossas elaborações com as dos outros). Assim, as nossas concepções sobre a Matemática são influenciadas pelas experiências que nos habituámos a reconhecer como tal e também pelas representações sociais dominantes (PONTE, 1992, P. 185).

26 O Percurso da Investigação O nosso estudo de natureza qualitativa ocorreu no âmbito do Projeto Observatório da Educação da Universidade Anhanguera de São Paulo - SP, em um Curso de Formação Continuada para Professoras dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental do Estado de São Paulo, em que foram discutidos os processos de ensino e aprendizagem das frações. No início da formação, aplicamos questionários de caráter diagnóstico, objetivando identificar as concepções das docentes sobre situações parte-todo e quociente. De posse dos resultados encontrados nesses diagnósticos, desenvolvemos o processo formativo com o propósito de apresentar possibilidades de trabalho com os diferentes significados da fração, propostos em pesquisas e em documentos oficiais (PCN). Para tanto, apresentamos alguns recursos metodológicos (materiais manipuláveis, literatura infantil, dentre outros) para ensinar frações e, por fim, refletimos sobre resultados de pesquisas realizadas sobre o tema. Sobre esse ponto utilizamos um protocolo de pesquisa elaborado pela Professora Terezinha Nunes e sua equipe na Universidade de Oxford e que foi desenvolvida tanto no Brasil, como na Inglaterra e em Portugal. Dessa forma, no decorrer da formação discutimos e refletimos com as professoras sobre os diferentes significados da fração, sobre recursos metodológicos e ainda sobre os processos de ensino e aprendizagem desse conceito, sobretudo, acerca das origens dos erros cometidos pelos estudantes, o que possibilitou também análise das suas práticas pedagógicas desenvolvidas antes e durante a formação. Para registrar as discussões e reflexões ocorridas pelas Professoras Ana, Renata e Marcela 7, sujeitos desta pesquisa, nas sessões da formação, fizemos filmagem, anotações num diário de campo e recolhemos atividades desenvolvidas tanto durante todo o processo formativo como durante a aplicação do instrumento proposto por Nunes em sala de aula. Passado um ano do processo de formação, realizamos entrevistas e observação em sala. A entrevista com o propósito de identificar indícios de (re)construção de saberes das professoras, bem como as suas impressões sobre as diferentes propostas de introduzir o conceito de fração discutidas no decorrer da formação. O retorno às escolas objetivou observar a aula desenvolvida pelos sujeitos deste estudo para introduzir o ensino do tema em discussão. 7 Em relação aos sujeitos da pesquisa, descreveremos, no capítulo 4, os critérios que utilizamos na escolha dos mesmos.

27 Em busca de Referências Teóricas Teoricamente o nosso estudo está fundamentado tanto em pesquisas que discutem o conhecimento profissional docente como nas questões didáticas sobre o objeto matemático: fração. Quanto ao primeiro enfoque, nos apoiamos em estudos de Shulman (1986, 1987), Tardif (2000), Serrazina (1999, 2010), Ball et al. (2008). Em relação às questões didáticas, associadas ao objeto matemático, utilizamos a Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (1990, 1993, 2009, 2010) e a Sequência proposta por Nunes et al (2003, 2007, 2009) para a introdução do conceito de fração a partir da ideia de quociente. Estes autores discutem a importância em se trabalhar com diferentes significados dos números racionais na representação fracionária. Em relação ao Conhecimento Profissional Docente, os estudos de Shulman (1986, 1987) sugerem que a formação do professor deve atentar para a relevância de se levar em consideração características próprias da disciplina a ser ensinada. Segundo esse teórico, faz-se imprescindível pesquisar o conhecimento do professor sobre a área que irá ensinar, uma vez que ele defende a necessidade de o professor dominar os conteúdos da disciplina que ele irá lecionar. Para tanto, ele institui as Categorias de Conhecimento para o Ensino: Conhecimento da Matéria Ensinada, Conhecimento Pedagógico de Conteúdo e Conhecimento Curricular. Da mesma forma, Ball et al (2008), apoiados em tais Categorias, desenvolvem a Teoria do Conhecimento para o Ensino da Matemática (MTK), segundo a qual alguns domínios são necessários para o ensino de Matemática: Conhecimento do Conteúdo da Disciplina e Conhecimento Pedagógico do Conteúdo Matemático. Estes se apresentam em três vertentes: Conhecimento da matéria ensinada, Conhecimento Pedagógico de Conteúdo e Conhecimento Curricular. Serrazina, apoiada nestes e em outros teóricos, aponta ser o Conhecimento Profissional indispensável para desempenhar com sucesso uma atividade profissional (SERRAZINA, 1999, p. 140). Sobre a reflexão, seus estudos apontam que existe uma relação entre a autoconfiança do professor e os saberes docentes. O professor torna-se mais confiante à medida que detém conhecimento sobre o que vai ensinar. Quanto às questões didáticas relacionadas ao conteúdo, Vergnaud (1993, p. 8) considera que um conceito é formado a partir de um conjunto de Situações (S) que torna o conceito significativo; um conjunto de Invariantes (I) que se apresentam nos esquemas desenvolvidos pelos alunos para resolverem uma situação e um conjunto de Representações

28 28 Simbólicas (R) as quais podem ser utilizadas para representar os invariantes, os procedimentos e situações. Nunes et al (2003), apoiados em Vergnaud (1990), propõem que a construção do significado de fração se dê por meio das situações parte-todo, quociente, quantidades intensivas e operador multiplicativo. Nunes et al (2009) propõem, ainda, uma Sequência de Tarefas em que sugerem introduzir o ensino das frações pelo significado quociente. A proposta dos autores é possibilitar que os alunos se apropriem desse conceito a partir da resolução de situações do seu dia a dia em que envolvam a ideia de divisão, estimulando-os a utilizar as estruturas intuitivas já conhecidas por eles. Dessa forma, foi a partir desses pressupostos que o nosso trabalho de pesquisa foi organizado. Passaremos assim, à descrição dos capítulos que apresentará todos os passos da investigação.

29 29 CAPÍTULO 2 FRAÇÕES: UMA ANÁLISE DAS PESQUISAS EXISTENTES Neste capítulo, faremos uma breve apresentação dos estudos que se dedicaram a pesquisar sobre o ensino e a aprendizagem de frações bem como aqueles que investigaram acerca da formação de professores relativos a esse tema e que se utilizaram do mesmo referencial teórico que adotamos para a nossa pesquisa. Na revisão bibliográfica, voltamos o nosso olhar para três pesquisas que investigaram sobre o ensino e a aprendizagem de frações Cardoso (2009), Campos (2011) e Canova (2013) e em quatro que investigaram o conhecimento profissional docente, as crenças e as concepções dos professores acerca do conceito de fração: Garcia Silva (2007), Monteiro Cervantes (2010), Teixeira (2008) e Costa (2011). Garcia Silva (2007) e Monteiro Cervantes (2010) realizaram suas investigações dentro de um processo formativo. Teixeira (2008) e Costa (2011) procuraram perceber as crenças e concepções de professores do 2º, 3º e 4º Ciclos do Ensino Fundamental, a partir da análise de instrumentos diagnósticos que esses pesquisadores elaboraram apoiados em teorias que versam sobre o tema e seus diferentes significados. A descrição desses estudos está relacionada ao fato de que os seus resultados trouxeram contribuições para o desenvolvimento e análise das informações produzidas pela nossa pesquisa Revisão de Literatura Estudos relacionados ao Conhecimento Profissional Docente Embora tenhamos lido diversos estudos que se dedicaram a pesquisar sobre questões relacionadas aos processos de ensino e aprendizagem das frações, nesta revisão descreveremos apenas sobre os resultados encontrados nos estudos de Cardoso (2009), Campos (2011) e Canova (2013). Cardoso (2009) realizou uma investigação, em Portugal, contendo dois estudos sobre a compreensão do conceito de fração observados em alunos do 6º ano de escolaridade, visto

30 30 que, naquele país, espera-se que os estudantes ao final do 6º ano tenham conhecimento da representação e dos invariantes 8 das frações nas diferentes situações. O primeiro estudo realizado pela autora procurou perceber o desempenho dos alunos na resolução de problemas que envolviam os aspectos lógicos e de representação de frações apresentados em situações parte-todo, operador e quociente. Este revelou que a compreensão desse conceito, por parte dos alunos, está diretamente relacionada ao tipo de situação trabalhada. Para a autora, [...] Na situação parte-todo, os alunos parecem saber representar fracções, mas não dominam com igual competência e desempenho os aspectos de ordenação e equivalência de frações. [...] na situação operador, os alunos manifestaram dificuldades quer nos aspectos de representação quer nos aspectos de ordenação e equivalência. Os resultados obtidos foram surpreendentes no que concerne aos níveis de desempenho dos alunos na resolução de tarefas envolvendo aspectos sobre a lógica de fracções (equivalência e ordenação) na situação quociente, uma vez que esta constitui uma nova interpretação de fracção para estes alunos (CARDOSO, 2009, p. 108). A partir destes resultados, o segundo estudo realizado pela autora buscou refletir sobre a importância da situação quociente para a compreensão do conceito de fração pelos alunos. Após análise de um pré-teste, intervenção e pós-teste percebeu-se que os alunos revelaram melhor desempenho na resolução de tarefas de ordenação e equivalência de frações em situação quociente. Com isso, uma das conclusões a que a autora chegou é que: A situação quociente parece [...] facilitar a compreensão dos aspectos sobre a lógica das fracções (ordenação e equivalência.) (CARDOSO, 2009, p. 112). Da mesma forma, no Brasil, Campos (2011), ao realizar uma investigação semelhante com alunos de 4º e 5º ano do Ensino Fundamental, a partir de uma intervenção, conclui que o trabalho de frações, por meio da situação quociente, pode promover novas reflexões e avanços na aprendizagem desse conceito, bem como favorecer a compreensão dos invariantes lógicos da fração. A diferença contida nestes estudos é que Campos somente investigou se os alunos, geralmente, apresentavam maior facilidade de lidar com equivalência e ordenação de frações em situação quociente. 8 A autora apoiada em Nunes et al. (2004) considera invariantes a ordenação e a equivalência de quantidades representadas por frações.

31 31 Pelos resultados apresentados nesses estudos, Cardoso (2009) e Campos (2011) acreditam que a situação quociente parece promover a compreensão dos alunos acerca do conceito de fração, podendo ser utilizada para introduzi-lo e explorá-lo na sala de aula. Canova (2013), no entanto, em pesquisa realizada com 378 alunos do 4º, 5º e 6º ano do Ensino Fundamental de duas escolas da rede estadual de São Paulo, concluiu que as situações parte-todo e quociente favoreceram distintamente a aprendizagem dos alunos, assumindo papel importante na melhoria do desempenho dos alunos na construção do conhecimento de fração. Inicialmente, o estudo realizado por Canova (2013) foi constituído por um pré-teste, composto por quatro problemas em que as frações eram exploradas por meio de situações parte-todo e quatro por meio de situações quociente e aplicado a todos os alunos participantes da pesquisa. Eram problemas de nomear fração e problemas de raciocínio 9, sendo nesses últimos, explorados os invariantes ordem e equivalência. Com o pré-teste, a pesquisadora procurou analisar o desempenho dos alunos por ano de escolaridade, quanto ao tipo de situação (parte-todo e quociente) e tipo de questão (nomear e raciocínio) (CANOVA, 2013, p. 154). Nessa primeira fase da pesquisa, a autora observou que, de modo geral, as questões de nomear pareciam ser mais compreensíveis para os alunos do que as de raciocínio. Aplicado e analisado o pré-teste, Canova (2013) distribuiu, de maneira aleatória, os alunos em dois grupos: grupos experimentais e grupos controle. Embora ambos os grupos tenham passado por intervenções, apenas os grupos experimentais vivenciaram situações com frações, sendo que dos 264 alunos que compunham tais grupos, 129 experienciaram situações parte-todo e 135, situações quociente. Passada as intervenções, todos os alunos foram submetidos a um pós-teste, idêntico ao pré-teste. A análise quantitativa e qualitativa do pós-teste mostrou que tanto os alunos dos grupos quociente quanto os alunos dos grupos parte-todo tiveram melhor desempenho quanto às questões de raciocínio nas situações quociente, conforme relata a pesquisadora: nas questões de raciocínio, o desempenho dos alunos foi melhor na situação quociente [...], assim como foi para o grupo parte-todo (CANOVA, 2013, p. 154). 9 Fundamentada em Vergnaud (1990) e Nunes et al. (2004) a autora considera questões de nomear frações como as que solicitam a representação fracionária (a/b) da quantidade que foi indicada na língua natural e questões de raciocínio são as que exploram os invariantes ordem e equivalência (uma quantidade é maior, menor ou igual a outra quantidade). Para tanto ele não precisa, necessariamente, saber a representação fracionária.

32 32 Esse é um dado que consideramos importante, visto que, assim como os demais estudos mostrados até então, este também revelou melhor desempenho dos alunos, quanto aos invariantes ordem e equivalência, em situações quociente. Reiteramos que esse estudo revelou também que os alunos nomeiam mais facilmente frações nas situações parte-todo, ao passo que, nas situações quociente, eles demonstram responder com mais facilidade as questões de raciocínio. Esse fato nos permite inferir mais uma vez que, possivelmente, a situação parte-todo seja a mais explorada, pelos professores, em sala de aula, conforme apontam também estudos como os de Canova (2006); Garcia Silva (2007); Campos (2006, 2011); Cardoso e Mamede (2009); Monteiro Cervantes (2010). Outro aspecto observado por Canova é que os alunos conseguiram fazer a transferência do conhecimento adquirido, em uma situação, para a outra: [...] o grupo quociente não vivenciou problemas que envolviam situação parte-todo durante a intervenção, mas se beneficiou do aprendizado e conseguiu aplicá-lo em outro tipo de situação (CANOVA, 2013, p. 163). Esse dado nos permite inferir que o desempenho dos alunos em relação às situações parte-todo traduz o tipo de ensino que os professores realizam e reforçam a hipótese de essa ser a situação que os professores detêm o conhecimento Estudos relacionados à formação dos professores e suas concepções acerca do conceito de fração. Muitos estudiosos comungam da ideia de que é fundamental, no desenvolvimento do trabalho do professor, que ele assuma o papel também de pesquisador, no sentido de tornar-se um investigador da sua própria prática. Dessa forma, o professor torna-se capaz de refletir criticamente sobre as dificuldades enfrentadas tanto em relação ao ensino quanto à aprendizagem de conteúdos, e no nosso caso específico, do conteúdo frações. O ato de investigar, por exemplo, o porquê do erro do aluno ou a maneira como ele pensou na resolução de situações propostas, permite ao professor repensar o seu ensino e ainda, favorece mudanças nas suas concepções tanto em relação ao conteúdo, como em relação ao seu ensino e a maneira como o aluno desenvolve o conhecimento ou como o aluno aprende. Nesse sentido, de acordo com Muniz (2008) A pesquisa enquanto uma postura crítica e investigativa do professor diante do currículo e da sua prática pedagógica é, a nosso

33 33 ver, o espaço mais legítimo de aprendizagem e de formação continuada do professor (MUNIZ, 2008, p. 210). Partindo também desse princípio, buscamos analisar alguns estudos realizados com professores e trouxemos, para este trabalho, algumas considerações que julgamos importantes para a compreensão de fatos observados no decorrer da nossa pesquisa. Um deles foi realizado por Costa (2011). Esse pesquisador investigou sobre as concepções e competências de professores especialistas em Matemática que atuavam no Ensino Fundamental sobre o conceito de fração em seus diferentes significados. A pesquisa de natureza qualitativa e quantitativa ocorreu em dois momentos: primeiro o autor buscou o apoio teórico que subsidiaria o desenvolvimento do estudo que iria realizar. Posteriormente elaborou, para a coleta de dados, um instrumento diagnóstico, composto de quatro partes: perfil, elaboração de situações-problema, respostas às situações-problema e análise de uma situação. O instrumento foi aplicado a 21 professores que lecionavam para o Ensino Fundamental. Da análise do instrumento, o autor chegou às seguintes conclusões: em relação às concepções, este estudo identificou que os professores possuem restrições quanto aos significados de fração, voltados para os significados parte-todo e operador multiplicativo. Outro ponto observado foi a ênfase em tratá-la apenas do ponto de vista do algoritmo, o que fez com que esse pesquisador concluísse que a fração é vista, pelos professores participantes do seu estudo, [...] apenas como um procedimento matemático (COSTA, 2011, p. 157). Para o autor, uma explicação para esse fato pode estar relacionada à formação inicial desses professores. Quanto às competências didáticas, os professores demonstraram competência em resolver a situação proposta, havendo um índice de acerto acima de 93%. Na análise, um dos aspectos que chamou a atenção do pesquisador foi o alto índice de resoluções das situações-problemas e das estratégias de ensino das frações, propostas pelos professores, baseadas na percepção, distanciando-se dos invariantes lógicos. (Costa, 2011, p. 156). Esse fato foi observado, principalmente, entre os professores do 6º e 7º ano. Os resultados desse estudo apontam para a necessidade de um trabalho de formação continuada que promova o desenvolvimento do conhecimento dos professores acerca desse conceito, com abordagem em seus diferentes significados. Da mesma forma Teixeira (2008), ao realizar a análise das informações produzidas em um instrumento no qual se buscou traçar um diagnóstico das competências e concepções de professores do 2º Ciclo do Ensino Fundamental sobre o conceito de fração, chegou à

34 34 conclusão de que há a necessidade de realizar trabalhos que ampliem as concepções dos professores sobre o conceito de fração e seu ensino. (TEIXEIRA, 2008). Tais conclusões também são observadas em pesquisas que foram realizadas em um contexto de formação como as de Garcia Silva (2007) e Monteiro Cervantes (2010), por exemplo. Garcia Silva (2007), em sua pesquisa, procurou analisar fatores que poderiam interferir no desenvolvimento profissional de professores dos anos iniciais do Ensino Fundamental sobre questões relacionadas às frações e seus diferentes significados. Para tanto, a autora, organizou, a partir da análise de um instrumento diagnóstico apresentado a alunos e professores dos anos iniciais, um processo formativo composto de 16 sessões em que foram priorizadas a discussão e reflexão sobre a prática docente. As sessões de formação foram dedicadas à aplicação de um diagnóstico para avaliar os saberes de professores e alunos quanto aos significados de fração, ao estudo dos significados das frações e à vivência de metodologias, à elaboração, pelos professores, de uma sequência de trabalho que foi desenvolvida com seus alunos em sala de aula e à realização de entrevistas, objetivando verificar as reflexões feitas pelos professores, ao final e depois de decorridos um ano do processo formativo. (GARCIA SILVA, 2007). Os fatores identificados, por essa pesquisadora, que interferem no desenvolvimento profissional de professores quando estes participam de um processo formativo estão relacionados às dificuldades deles relativas ao conhecimento matemático, às crenças e concepções quanto ao ensino e à aprendizagem, em especifico, o das frações e à reflexão aliada a um trabalho colaborativo. (GARCIA SILVA, 2007). Com isso, esse estudo chegou à conclusão de que há a necessidade de um amplo enfoque dos números racionais na representação fracionária, com análise em seus diferentes significados nos cursos de formação inicial e continuada e de que... [...] para romper crenças e concepções dos professores sobre ensino e aprendizagem da Matemática e em específico do objeto matemático frações, é necessária uma constante reflexão sobre a prática, sobretudo em ambientes que propiciem um trabalho colaborativo (GARCIA SILVA, 2007, p. 9). Também nesse mesmo contexto, Monteiro Cervantes (2010), ao investigar sobre o conhecimento profissional de professores que lecionam matemática para os anos iniciais do Ensino Fundamental relacionado ao ensino e aprendizagem das frações por meio do

35 35 significado quociente, quando estes participam de um curso de formação continuada, conclui que o trabalho colaborativo e reflexivo dos professores se torna fundamental para o desenvolvimento profissional docente (MONTEIRO CERVANTES, 2010, p. 64). O estudo realizado pela autora partiu da análise de um protocolo apresentado por Nunes et al. (2005) com a finalidade de verificar se resultados de pesquisas realizadas em outros países e que mostram que os alunos têm mais facilidade em lidar com os invariantes equivalência e ordem em situação quociente do que em situação parte-todo se repete no Brasil. Esse mesmo protocolo foi aplicado aos 20 professores participantes da intervenção que foi organizada em um curso de formação, durante o qual elas puderam refletir sobre como se sentiam ao ensinar fração e sobre a proposta de iniciar o ensino deste conceito pelo quociente. Durante a formação, algumas das professoras aplicaram o protocolo em sala de aula com seus alunos, mas não houve tempo, durante o processo formativo, para a discussão sobre o ocorrido em sala de aula. Monteiro Cervantes (2010) coletou os dados para seu estudo por meio de registros do que foi observado nas sessões de formação, questionários, dos problemas propostos aos professores, bem como a seus alunos e por meio de uma entrevista semiestruturada com uma das professoras que aplicou o instrumento em sua sala. A análise dos dados permitiu a pesquisadora perceber que [...] as professores (re) significaram o conceito de fração (MONTEIRO CERVANTES, 2010, p. 64), o que fez com que ocorressem mudanças nas concepções acerca do tema. Fato confirmado durante entrevista com uma das professoras. [...] Seu depoimento e análise dos protocolos dos alunos nos leva a inferir que realmente ocorreu mudança nas concepções em relação à introdução da temática (MONTEIRO CERVANTES, 2011, p. 64, 65). A partir dos resultados destas pesquisas, acreditamos que refletir sobre questões relacionadas aos processos de ensino e de aprendizagem do conceito de fração a partir da participação em um curso de formação é de fundamental importância para a reconstrução dos saberes dos professores acerca desse tema. Todos esses estudos apontam para a importância de um processo formativo constante que possibilite o desenvolvimento profissional dos professores para o ensino da Matemática, sobretudo quando se trata do objeto matemático frações. Em nosso estudo, utilizamos e ampliamos procedimentos adotados por Garcia Silva (2007) e Monteiro Cervantes (2010). O design inicial da formação foi inspirado em Garcia Silva (2007). Além disso, apresentamos, aplicamos e analisamos com as professoras

36 36 investigadas o protocolo de Nunes et al. adotado por Monteiro Cervantes (2010) e, procuramos, durante a formação, garantir espaço para sua discussão e análise das informações produzidas nas salas das professoras participantes. Em nossa revisão de literatura, notamos ainda que, nas pesquisas que analisamos, não ocorreu nenhuma investigação in loco, ou seja, não foram realizadas observações em sala de aula. Dessa forma, neste estudo, um ano após a ocorrência do processo formativo, fomos ao local de trabalho das professoras e observamos uma aula de cada uma das três professoras, sujeitos deste estudo, nas quais elas introduziam o tema fração Fundamentação Teórica Nesta seção, apresentaremos as teorias que fundamentaram a nossa pesquisa, primeiramente no que se refere a questões didáticas sobre o objeto matemático, frações, e posteriormente as teorias relacionadas à formação dos professores: reflexões sobre a prática e conhecimento profissional docente. Quanto ao primeiro enfoque, buscamos apoio nas ideias defendidas por Gerard Vergnaud (1990, 1993, 2009, 2010) a respeito da Teoria dos Campos Conceituais e nos estudos de Nunes et al (2003, 2005, 2009) que ampliam as investigações realizadas por Streefland (1991). Em relação à formação de professores, nossa investigação está fundamentada nas teorias que tratam da reflexão sobre a prática e sobre o conhecimento profissional docente. Descreveremos, portanto, neste capítulo, um breve relato sobre os trabalhos de Shulman (1986, 1987), Serrazina (1999) e Ball et al. (2008) Teorias que versam sobre o objeto matemático: números racionais na representação fracionária Para fundamentar nosso estudo apresentaremos a seguir as pesquisas de Vergnaud (1993, 2010) e os estudos de Nunes et al. (2003, 2005, 2009) desenvolvidos com apoio em pesquisas realizadas por Streefland (1991).

37 Vergnaud e a Teoria dos Campos Conceituais Vergnaud (1993) define a Teoria dos Campos Conceituais como sendo uma teoria psicológica preocupada com o estudo do desenvolvimento cognitivo do aluno e que procura compreender as ligações e quebras entre conhecimentos, que ocorrem durante a construção e compreensão de um conceito. Dessa forma, Vergnaud preocupa-se também com a análise desse mesmo desenvolvimento, sobretudo ao relacioná-lo ao conteúdo conceitual. Talvez, por isso considera-a também como uma teoria da intervenção didática. (VERGNAUD, 2010). De acordo com essa teoria, se nos interessamos pela aprendizagem e ensino de um conceito não podemos reduzi-lo à sua definição. Nesse sentido, Vergnaud (1993) considera que um conceito é formado a partir de três conjuntos: S: conjunto das situações que dão sentido ao conceito (referência). I: conjunto dos invariantes em que se baseia a operacionalidade dos esquemas (significado). R: conjunto das formas de linguagem (ou não) que permitem representar simbolicamente o conceito, suas propriedades, as situações e os procedimentos de tratamento (significante) (VERGNAUD, 1993, p. 8). Para esse autor, são as situações e problemas a resolver que dão sentido a um conceito e é por meio de esquemas que os alunos expõem os seus conhecimentos. Vergnaud define os esquemas como sendo o comportamento invariante, frente a uma classe de situações. É por meio deles (os esquemas) que o aluno demonstra a sua compreensão de um conceito. O que Vergnaud chama de conceito-em-ação ou teorema-em-ação. (VERGNAUD, 1993). Segundo o autor Existem vários exemplos de esquemas na aprendizagem matemática (VERGNAUD, 1993, p. 5). Alguns, segundo esse teórico, são quase que automatizados. Isso ocorre quando os alunos, com base nos seus conhecimentos implícitos, os explicitam ao resolver um problema, ou seja, demonstram habilidade na organização invariante do seu comportamento ao realizarem alguma tarefa. Tais esquemas aparecem nas: classes de situações em que o sujeito dispõe, no seu repertório, em dado momento de seu desenvolvimento e sob certas circunstâncias, das competências necessárias ao tratamento relativamente imediato da situação (VERGNAUD, 1993, p. 2).

38 38 Outros esquemas, porém, pertencem à classe de situações que requer competências ainda não adquiridas pelo aluno. Com isso, para desenvolvê-los é necessário tempo para reflexão, exploração, tentativas e erros, ocasionando sucesso ou insucesso na realização de uma tarefa. O esquema é, portanto, a organização da ação do sujeito para uma dada classe de situações. Por isso considerado por Vergnaud (2010) como um conceito fundamental da psicologia cognitiva e da didática. Os invariantes operatórios (conceitos em ação e teoremas em ação) que compõem os esquemas de ação definidos por Vergnaud dividem-se em três tipos: - Invariantes do tipo proposição : teoremas-em-ação - Invariantes do tipo função proposicional : conceitos-em-ação ou categorias-emação - Invariante do tipo argumento : objetos materiais, personagens, números, relações ou mesmo proposições. Os teoremas-em-ação (proposições verdadeiras ou falsas) e os conceitos-em-ação (conceitos indispensáveis à construção das proposições) são construídos numa relação dialética em que não há proposições sem funções proposicionais, nem função proposicional sem proposições (VERGNAUD, 1993, p. 7). Já as funções proposicionais podem tornar-se argumentos (VERGNAUD, 1993, p. 8). Dessa forma, para compreender, do ponto de vista cognitivo, em que consiste determinado conceito, deve-se analisar a gama de comportamentos e esquemas desenvolvidos pelo sujeito em diferentes situações, o que Vergnaud (1993) define como Campo Conceitual. Por exemplo, de acordo com a sua teoria, o campo conceitual das estruturas aditivas é composto por um conjunto de situações que requer a operacionalização de uma adição, uma subtração ou a combinação destas e o conjunto dos conceitos e teoremas que torna possível a análise das situações em que estão envolvidos. Da mesma forma, o campo conceitual das estruturas multiplicativas é formado por um conjunto de situações que requer uma multiplicação, uma divisão ou a combinação destas operações e um conjunto dos conceitos e teoremas que torna possível a análise destas situações. (VERGNAUD, 1993, p. 10). Por se tratar de uma teoria que explica, dentre outras, a construção das estruturas multiplicativas e como a nossa pesquisa é sobre a introdução do conceito de frações, apresentaremos algumas das contribuições da sua teoria em relação ao Campo Conceitual dessas estruturas.

39 39 De acordo com a Teoria dos Campos Conceituais, um dos conceitos envolvidos no campo conceitual das estruturas multiplicativas é o de proporcionalidade, pois segundo o autor a multiplicação e a divisão estão necessariamente associadas, desde a sua introdução, às situações de proporcionalidade (VERGNAUD, 2010, p. 3). Dessa forma, para Vergnaud, [...] os mais simples problemas de multiplicação e divisão implicam a proporção simples de duas variáveis, uma em relação à outra (VERGNAUD, 1993, p. 14). A partir dessas ideias iniciais, Vergnaud considera que as estruturas multiplicativas são relações quaternárias. Para ele, tal relação dá origem a quatro classes de problemas elementares: multiplicação, partição, quotição e quarta proporcional. Exemplificaremos utilizando a análise de um problema apresentado pelo próprio autor: Susana pagou 48 reais por 8 bolos de creme. Qual é o preço de um bolo? (VERGNAUD, 2010, p. 6). Segundo Vergnaud, esse é um tipo de problema que pode ser proposto aos alunos ao introduzir a divisão. Nele, percebe-se a presença de duas grandezas distintas que estão interrelacionadas: a quantidade de bolos - um e oito - e os preços correspondentes quarenta e oito reais e um preço desconhecido. Na análise feita pelo autor, ele sugere que esse é um problema de fácil compreensão, pois a relação proporcional instituída a partir do problema, [...] pede que se estabeleça a inversão do coeficiente de proporcionalidade: (Vergnaud, 2010, p. 6), ou seja: [...] 8 bolos são 8 vezes mais do que um bolo, por isso o preço de um bolo é de 8 vezes menos (VERGNAUD, 2010, p. 6). No que se referem às frações, as relações que estão envolvidas nesse significado, segundo Vergnaud (1993), são as de parte-parte, parte-todo e de proporção. Porém estas se encontram, na sua maioria, apenas no âmbito das ideias implícitas dos alunos. Partindo das ideias construídas pela Teoria dos Campos Conceituais, consideramos que o conceito de fração só terá significado para o aluno, se lhe for permitido explorá-lo em diferentes situações, a partir das quais ele poderá desenvolver a compreensão do conceito e dos invariantes que lhes atribui sentido, bem como expressar o conjunto de símbolos de que ele se utilizou, em uma determinada situação, para representar o conceito, os invariantes e os procedimentos operatórios. Partindo dessas ideias, passaremos à descrição de alguns estudos realizados por Nunes et al (1997, 2003, 2005, 2009) em que eles tomam como base a Teoria dos Campos Conceituais.

40 Nunes et al. e os estudos sobre frações Outros estudos que contribuíram com a nossa pesquisa foram os desenvolvidos por Nunes et al (1997, 2003, 2005, 2009). Esses pesquisadores partem da ideia de que como ocorre com os números inteiros, com as frações, as crianças necessitam fazer conexões entre quantidades e suas representações fracionárias. Porém, de acordo com seus estudos, este se constitui um desafio para os alunos, uma vez que, na representação dos números fracionários, são usados os mesmos algarismos utilizados na representação dos inteiros. Ainda assim, eles não possuem a mesma interpretação. Entre o numerador e denominador é estabelecida uma relação que dá significado à quantidade representada pela fração. Nesse sentido, o numerador e o denominador não representam quantidades isoladas. Ao aplicar a Teoria dos Campos Conceituais, na análise do conceito de fração, esses pesquisadores sugerem começar a sua construção a partir da concepção mais simples de fração e enriquecer essa definição de fração perguntando qual é o invariante central desse conceito, quais são as situações nas quais ele é usado e quais são os diferentes tipos de representação relacionados a ele (NUNES et al., 2003, p. 1). Ao considerarem que diferentes situações podem facilitar a compreensão da construção do conceito de fração, por parte dos alunos, Nunes et al. (2005) sugerem uma classificação para a construção desse conceito formada por quatro situações: parte-todo, quociente, operador e quantidades intensivas. Apoiados em Behr et al. (1983, 1984), Nunes et al. (2005, 2009) definem situações parte-todo como aquelas em que um todo é dividido em n partes iguais, tomam-se uma ou mais partes e a fração correspondente estabelece uma relação entre as partes em que o todo foi dividido e as partes consideradas na situação. Dessa forma, o denominador indica em quantas partes iguais o todo foi dividido, ao passo que o numerador indica o número de partes referentes à situação. Um exemplo dessa situação pode ser um bolo dividido igualmente em 5 2 partes, das quais tomam-se 2 dessas partes; a fração correspondente a essa situação é, 5 sendo que 2 e 5 são partes do bolo. Situações quociente são situações em que está presente a ideia de partilha na divisão. Nelas aparecem duas quantidades: o dividendo e o divisor. Estes representam tanto a divisão como o resultado dessa divisão. Por exemplo: 3 chocolates divididos para 5 crianças, a

41 41 representação 5 3 indica tanto a divisão, 3 divido por 5, como a quantidade que cada criança 3 irá receber. 5 Situações operador são aquelas que estão relacionadas à ideia de transformação. 1 Podemos exemplificá-la se considerarmos que de 24 representa dividir 24 em quatro 4 grupos, tomar 1 grupo (NUNES, 2005). Situações de quantidades intensivas envolvem duas unidades diferentes que podem ser reunidas em um todo. Por exemplo: dois terços de suco concentrado e um terço de água (NUNES et al., 2005, p. 152). Assim, ao tomarem como base as ideias de Vergnaud (1990), Nunes et al (2005) propõem que sejam consideradas as quatro situações (S) aqui descritas, situações essas que darão significado às frações, determinarão a compreensão dos invariantes (I) ordem e equivalência e possibilitarão a construção do conjunto das representações (R) possíveis da quantidade fracionária: decimal, razão, percentual e fracionária. Dessa forma, partindo da definição de que frações são números, Nunes et al (2003) analisam os invariantes e apontam para a necessidade de sabermos como a criança entende a lógica de classes ( = = etc.) e a lógica das relações assimétricas ( > > etc.) da fração, ou seja, perceber como as crianças compreendem o que são classes de equivalência de frações e como ordená-las. Nesse sentido, seus estudos mostram que quando as crianças usam o esquema de particionamento em situações de parte-todo, elas podem compreender, quanto mais divide o todo, menor será a fração que representa cada parte. Isso favorecerá a compreensão da ordenação e equivalência de frações em situações parte-todo. Contudo, de acordo com esses estudos, para que a criança desenvolva essa compreensão é preciso partir de experiências concretas, de suas representações e reflexões (NUNES et al., 2009, p. 10). Segundo Nunes et al. (2009), alguns pesquisadores consideram que os números racionais são números do domínio do quociente. Dessa forma, eles defendem que as crianças compreenderão, com maior facilidade, as frações se introduzidas por meio do significado quociente. Outra ideia defendida por esses pesquisadores é que as situações em que estão presentes a ideia de divisão favorecem a compreensão da equivalência e ordenação de frações. No entanto, com isso eles não desconsideram a importância em o aluno vivenciar

42 42 todas as situações em que as frações estão presentes: Nosso pressuposto é que os alunos precisam pensar sobre os racionais em todas as situações, mas algumas podem facilitar a aprendizagem inicial melhor do que outras (NUNES 2005). Ainda em sintonia com a Teoria dos Campos Conceituais, esses pesquisadores consideram que um conceito não é definido por uma única representação, pois isso não favoreceria a sua total compreensão. Porém essa não é uma ideia fácil. Eles esclarecem que os símbolos usados para representar frações equivalentes, por exemplo, parece complicado, se considerarmos que frações equivalentes são designadas por palavra e símbolos numéricos diferentes. Seguindo esse pensamento, os seus estudos apontam que as dificuldades dos alunos na compreensão da equivalência estão relacionadas: - à percepção e lógica: mesma fração, mesmo todo, diferenças perceptuais e - ao papel que a linguagem assume na representação: números diferentes representando a mesma quantidade ( 2 1 quantidades diferentes ( 2 1 de 8 e 2 1 de 10). (NUNES et al., 2005). = 2 ) e o mesmo número pode representar 4 Já em relação às dificuldades que os alunos apresentam na compreensão da lógica da ordenação entre frações, Nunes et al. (2005) afirmam que elas são observadas tanto quando as frações possuem o mesmo denominador como quando elas têm o mesmo numerador. Apontadas essas dificuldades, a autora apoiada na Teoria de Vergnaud, realiza uma investigação que lhe permitiu analisar as situações que podem auxiliar na compreensão das relações assimétricas das frações e em quais situações os alunos entendem melhor os aspectos lógicos das classes de equivalência. No primeiro caso, o estudante precisa perceber que em frações com mesmo denominador, quanto maior o numerador maior será a fração. Já nas frações com mesmo numerador quanto maior o denominador, menor é a fração. (NUNES, 2005). A sua investigação partiu do pressuposto de que algumas situações podem facilitar a compreensão de fração por parte dos alunos, embora eles necessitem, como já foi mencionado anteriormente, pensar sobre elas em todas as situações. Participaram desse estudo 130 alunos do 3º, 4º e 5º ano com idades compreendidas entre 7 a 9 anos. O ensino de frações para os alunos investigados havia sido desenvolvido por meio do significado parte-todo e operador. Após concluir que os alunos compreendem a lógica da equivalência de frações melhor em situações de quociente do que em situações parte-todo (Nunes et al, 2005), com

43 43 base em um programa criado por Streefland, elaboram uma Sequência de tarefas em que eles sugerem que a introdução do conceito de fração seja realizado por meio de situações quociente. A Sequência de tarefas é formada por quatro situações quociente, envolvendo as ideias de partilha e equivalência. Após responderem as duas primeiras situações, é iniciado o ensino da escrita das quantidades na representação fracionária. A tarefa de equivalência tem o objetivo de explorar algumas compreensões, segundo a autora, indispensáveis na aprendizagem da matemática: 1. é possível dividir um número menor por um número maior 2. frações diferentes podem representar a mesma quantidade 3. dobro de coisas a ser divididas e duas vezes mais receptores resultaria em quantidades equivalentes 4. o maior divisor, quanto menor for o quociente (NUNES et al., 2009, p. 16). Sobre o programa desenvolvido por Streefland (1990) para o ensino de frações, Nunes et al (2005) relatam que este foi [...] planejado com a finalidade de coordenar o conceito de fração com o raciocínio multiplicativo, criando explicitamente relações entre as ideias de fração como medida de quantidades (por exemplo, dois terços) e a ideia de fração como uma indicação de uma divisão ( 3 2 é o mesmo que 2 dividido por 3) (NUNES et al., 2005, p. 159). Ainda, segundo esses pesquisadores, Streefland sugere que situações em que são feitas distribuições equitativas favorecem a compreensão, por parte dos alunos, da ideia de representação fracionária e, particularmente, da ideia da equivalência de frações. Essas foram, portanto, algumas das ideias que serviram de base para as reflexões que realizamos com as professoras, durante o processo formativo, sobre o ensino e a aprendizagem das frações. Além disso, consideramos a importância em estudar o campo conceitual em que as frações são construídas, ou seja, dada a importância em analisar a relação entre os conceitos e os invariantes, conhecimentos contidos nos esquemas adotados pelos alunos na resolução de situações, bem como a análise das situações que torna o conceito significativo. A próxima seção deste capítulo será dedicada às considerações que fizemos sobre as teorias relacionadas à formação de professores.

44 Teorias que versam sobre a Formação de Professores: reflexões sobre a prática e conhecimento profissional docente. Reiteramos que nossa pesquisa buscou, também, fundamentar-se em teorias que tratam da reflexão sobre a prática e sobre o conhecimento profissional docente. Desta forma, descreveremos algumas das contribuições contidas nos estudos de Shulman (1986, 1987), Serrazina (1999) e Ball et al. (2008). Para analisar o conhecimento profissional docente, tomamos como base os estudos de Lee Shulman. Neles, buscamos compreender as Categorias de Conhecimento para o Ensino: Conhecimento do conteúdo; Conhecimento pedagógico de conteúdo e Conhecimento curricular. A sua teoria mostra que a organização dos conhecimentos necessários aos professores, para fundamentar a compreensão do conteúdo, deveria incluir: Conhecimento do conteúdo; Conhecimento pedagógico geral, com referência especial para aqueles princípios amplos e estratégias de gestão e organização de sala de aula, que parecem transcender o conteúdo; Conhecimento curricular, com particular domínio dos materiais e programas que servem como ferramentas do ofício para professores; Conhecimento pedagógico do conteúdo, amálgama especial de conteúdo e pedagogia que é ramo do saber unicamente de professores, sua forma própria especial de entendimento profissional; Conhecimento de estudantes e suas características; Conhecimento de contextos educacionais, que vão desde o funcionamento do grupo ou da sala de aula, a governança e o financiamento dos distritos escolares, para o caráter das comunidades e culturas; e Conhecimento dos fins educacionais, propósitos e valores, e seus fundamentos filosóficos e históricos (SHULMAN, 1987, p. 11). Observa-se que seus estudos apontam categorias fundamentais relativas ao conhecimento dos professores para o desenvolvimento do ensino, uma vez que chama a atenção para a importância tanto do conhecimento do conteúdo e das propostas curriculares como das habilidades pedagógicas necessárias para desenvolvê-lo. Aspectos esses considerados, por esse teórico, como a base do conhecimento para o ensino. O conhecimento pedagógico do conteúdo é considerado, por Shulman, como a mais importante das três categorias (Shulman, 1987), em razão de o conhecimento pedagógico do conteúdo apresentar estreita relação do conhecimento do conteúdo com a prática do professor

45 45 em sala de aula. Portanto é conhecimento que pertence excepcionalmente aos professores. Ele o define como sendo: De especial interesse porque este identifica os distintos corpos de conhecimento de ensino. Ele representa a mistura de conteúdo e pedagogia dentro de um entendimento de como tópicos particulares, problemas ou questões são organizados, representados e adaptados para os diferentes interesses e habilidades dos alunos e apresentados para instrução (SHULMAN, 1986, p. 6). Observa-se que uma das ideias apontadas por Shulman, ao definir tal categoria, está relacionada às concepções, preconceitos e interesses que os alunos apresentam durante o processo de ensino e aprendizagem e que são essenciais para tornar a aprendizagem de conteúdos específicos, fácil ou difícil (SHULMAN, 1987, p. 16). Para o autor, a primeira categoria de conhecimento está relacionada ao conteúdo específico da matéria a ser ensinada bem como as formas como ele está organizado. De acordo com Shulman para pensar apropriadamente sobre o conhecimento do objeto de estudo, é preciso ir além do conhecimento de fatos e conceitos de um domínio, é necessário o entendimento de estrutura da disciplina (SHULMAN, 1987, p. 15). O conhecimento curricular refere-se aos programas, à variedade de materiais instrucionais e ao conjunto de características que são ou não indicadas para o uso de um currículo particular ou materiais de programas em circunstâncias particulares (SHULMAN, 1987, p. 17). Dessa forma, as contribuições desse teórico para a nossa investigação vieram, primeiramente, em razão de acreditarmos, assim como ele, ser de fundamental importância o domínio do conteúdo específico, por parte dos professores, da área a ser ensinada. Sendo assim, consideramos importante analisar os conhecimentos de conteúdo, curriculares e pedagógicos dos professores sobre o objeto matemático dessa pesquisa, frações, sobretudo acerca da utilização de situações parte-todo e quociente para introduzir o conceito de fração. Da mesma forma, buscamos contribuições também nos estudos de Ball et al (2008), pois estes ampliam as Categorias de Conhecimento para o Ensino instituídas por Shulman (1986). Estes pesquisadores estudaram a prática docente e, com base em Shulman, criaram a Teoria do Conhecimento para o Ensino da Matemática (MTK). De acordo com essa Teoria, alguns domínios são necessários para o ensino de Matemática: o Conhecimento do Conteúdo da Disciplina e o Conhecimento Pedagógico do Conteúdo Matemático, os quais eles os

46 46 subdividem em três vertentes, pois a partir da análise feita sobre a Matemática e o seu ensino, considera a hipótese de que: [...] as categorias de Shulman de conhecimento do conteúdo e do conhecimento pedagógico do conteúdo podem ser subdivididas em conhecimento do conhecimento comum e conhecimento do conteúdo especializado, por um lado, e conhecimento do conteúdo e dos estudantes e conhecimento do conteúdo e do ensino, por outro lado (BALL et al., 2008, p. 5). O Conhecimento do Conteúdo Especializado (SCK) é, para os autores, o de maior interesse, pois como conhecimento pedagógico do conteúdo, ele é estreitamente relacionado com a prática [...] ele é conhecimento distintamente matemático, mas ele não é necessariamente conhecimento matemático familiar aos matemáticos (BALL et al., 2008, p. 5). Ao passo que o Conhecimento Comum do Conteúdo (CCK) refere-se ao conhecimento que possui estreita relação com o conteúdo do currículo, porém não a um currículo específico. É o conhecimento necessário ao professor para reconhecer algoritmos, desenvolver procedimentos matemáticos e identificar quando os alunos não o fazem de maneira correta. Portanto insuficiente ao ato de ensinar. Os autores o definem como sendo o conhecimento que os professores precisam para serem capazes de fazer o trabalho que eles atribuem aos seus alunos (BALL et al., 2008, p. 6). O Conhecimento do Conteúdo e de Estudantes (KCS) se apresenta quando o professor é capaz de interpretar o erro do aluno e propor-lhe encaminhamento. É um Conhecimento Pedagógico do Conteúdo (BALL et al., 2008) que demanda que o professor conheça sobre matemática e sobre os alunos, que seja capaz de fazer antecipações sobre o pensamento matemático do aluno. Quanto ao Conhecimento do Conteúdo e do Ensino (KCT), este demanda do professor conhecer sobre o ensino (a sequência adequada dos conteúdos, escolha de exemplos para iniciar, bem como para aprofundar o conteúdo, quando e como propor atividades complementares à aprendizagem) e dominar conteúdos específicos da Matemática. As categorias definidas por Ball et al (2008) para o conhecimento do conteúdo necessário ao ensino são representadas pelo esquema a seguir:

47 47 Figura 1 - As categorias do conhecimento propostas por Shulman (1985) e as correspondentes de Ball et. al. (2008) Fonte: Ball et al (2008, p.5) Considerando nossa temática de investigação: frações e as categorias de Ball, nos inspiramos em Pereira (2013) 10 conhecimentos propostos por Ball et al (2008) para as frações: para apresentar uma interpretação nossa dos tipos de Tabela 1 - Nossa interpretação das categorias de Ball et al (2008) referente aos conhecimentos necessários ao ensino das frações Tipos de conhecimento para o ensino de Matemática Conhecimento para o ensino de Fração Conhecimento comum do conteúdo Como exemplo de um caso que demonstra o conhecimento básico a todos os profissionais que estudaram Matemática na escola, sejam professores ou não consideramos a compreensão da representação de fração de grandezas contínuas e discretas; operações com fração. Exemplo: entender o significado 1 1 matemático da expressão: receber de férias, ou dehora. 3 4 Conhecimento especializado do conteúdo Como exemplo de um caso que demonstra o conhecimento que permite ao professor prever erros dos estudantes e identificar suas causas e justificar do ponto de vista da Matemática é possível pensar em propor e saber justificar uma situação na qual o estudante precise manter o referencial. Numa situação na qual solicitamos aos estudantes que escrevam qual a fração que exprime a quantidade de bolo da figura como fração de bolo para a ilustração a seguir, certamente, encontraremos alunos que indicarão em vez de, 12 6 provavelmente, porque consideraram os pedaços de bolo como grandezas discretas e não contínuas. 10 Pereira (2013), em sua tese, apresentou uma tabela que contém a interpretação dos tipos de conhecimentos propostos por Ball et al (2008), além de exemplos dessas categorias relativos à equação.

48 48 Conhecimento de conteúdo e de alunos Conhecimento de conteúdo e de ensino Como exemplo ao conhecimento necessário para entender quais são os erros comuns aos alunos e propor novas estratégias de ensino, podemos citar o seguinte caso: Um procedimento equivocado dos alunos para efetuar a adição de frações é adicionar numeradores e denominadores. Sabendo que os estudantes trazem do seu conhecimento intuitivo a ideia de metade, depois de identificar tal 1 1 equívoco, o professor pode propor que eles efetuem a operação e 2 2 que comparem o resultado. Possivelmente os estudantes utilizarão o mesmo raciocínio e encontrarão 2. O que, possivelmente, os desestabilizará, pois 4 sabem, mesmo que informalmente, que duas metades formam um inteiro ou 1 1 = Como exemplo ao conhecimento de conteúdo e de ensino que relaciona a compreensão de conteúdos específicos da Matemática com questões pedagógicos que podem interferir no processo de ensino e aprendizagem, podemos citar a compreensão da necessidade de trabalhar com os diferentes tipos de situações a fim de construir o conceito de fração. Conhecimento de conteúdo e de currículo Como exemplo do conhecimento que o professor deve ter do conteúdo e do currículo podemos citar o conhecimento que ele tem de quais seriam as situações propostas para cada segmento de ensino que o professor leciona. Por fim, buscamos bases teóricas em estudos realizados por Serrazina (1999) em que ela, apoiada por Shulman, Ball et al e outros teóricos, investiga sobre aspectos relacionados ao conhecimento profissional, apontado como indispensável para desempenhar com sucesso uma actividade profissional (SERRAZINA, 1999, p. 140). Em seu estudo, ela destaca, também, o papel da reflexão para a mudança de concepções e na aquisição de conhecimentos. Partindo de uma pesquisa de caráter qualitativo e investigativo, desenvolvida com três professoras da cidade de Lisboa em Portugal, no período de três anos, Serrazina, assumiu uma postura de investigadora e formadora e realizou um estudo reflexivo e colaborativo em que as professoras envolvidas reflectiam sobre as suas práticas, discutiam e partilhavam significados, aprofundando os conhecimentos de matemática e sobre o seu ensino e aprendizagem (SERRAZINA, 1999, p. 147). A proposta era que, refletindo sobre o que ensinavam e como ensinavam e sendo capazes de avaliar as suas práticas, as professoras mudariam a maneira como ensinavam. O que ficou confirmado nos resultados da pesquisa: [...] mudanças nas práticas parecem ocorrer quando os professores ganham autoconfiança e são capazes de refletir nas suas práticas (SERRAZINA, 1999, p. 163). Nesse sentido, consideramos assim como Serrazina (1999) que desenvolver um processo formativo no qual é dada às professoras a oportunidade de refletir sobre o seu trabalho em sala de aula, permitirá que elas desenvolvam confiança nas suas capacidades e

49 49 sintam vontade de aumentar o seu conhecimento de Matemática e sobre a Matemática (SERRAZINA, 1999, p. 163). Defendemos, assim como a autora, que isso influencia o desenvolvimento da atuação do professor em sala de aula e, consequentemente, a aprendizagem dos alunos. Ainda segundo essa pesquisadora, na literatura há uma vasta perspectiva teórica relacionada a esse tema e a maioria dos autores comunga do pensamento de que o conhecimento profissional docente é composto por várias vertentes, sendo uma delas o conhecimento do conteúdo a ensinar (SERRAZINA, 1999, p. 140). Foi com base nas teorias descritas que realizamos nossa pesquisa. Elas fundamentaram a análise das informações produzidas no decorrer da investigação.

50 50 CAPÍTULO 3 A PESQUISA: PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS E O PROCESSO FORMATIVO Neste capítulo, nos dedicaremos a apresentar os procedimentos metodológicos da nossa pesquisa e o percurso da formação. Sendo assim, ele está organizado em quatro partes: na primeira, serão descritas as características de uma pesquisa qualitativa; a segunda será dedicada a apresentar o contexto da pesquisa e os procedimentos para a coleta e análise das informações produzidas; na terceira, serão apresentados os instrumentos diagnósticos. Por fim, a quarta parte será destinada à descrição do processo formativo. Vale relembrar que o objetivo deste estudo consiste em analisar as mudanças de concepções relativas aos processos de ensino e aprendizagem de frações, de professores que lecionam Matemática para os anos iniciais do Ensino Fundamental, participantes de um curso de formação continuada. Para atender tal proposta, desenvolvemos, a partir da análise de um questionário diagnóstico, um processo formativo que nos permitiu proceder à coleta de informações. Foram também fontes de coleta de dados, a entrevista e a observação em sala de aula de uma atividade realizada pelos nossos sujeitos de pesquisa para introduzir o ensino de frações com seus alunos; ambas desenvolvidas um ano após a realização da formação Pesquisa Qualitativa Consideramos que a nossa pesquisa é de natureza qualitativa, uma vez que apresenta as características deste tipo de investigação apontada por Bogdan e Biklen (1999, p ), quais sejam: 1. Na investigação qualitativa a fonte direta de dados é o ambiente natural, constituindo o investigador o instrumento principal; 2. A investigação qualitativa é descritiva. [...] Tentam analisar os dados em toda a sua riqueza, respeitando, tanto quanto o possível, a forma em que estes foram registrados ou transcritos; 3. Os investigadores qualitativos interessam-se mais pelo processo do que simplesmente pelos resultados ou produtos. [...] Este tipo de estudo foca-se no modo como as definições (as definições que os professores têm dos alunos, as definições que os alunos têm de si próprios e dos outros) se formam;

51 51 4. Os investigadores qualitativos tendem a analisar os seus dados de forma indutiva; 5. O significado é de importância vital na abordagem qualitativa. [...] Os investigadores qualitativos estabelecem estratégias e procedimentos que lhes permitam tomar em consideração as experiências do ponto de vista do informador (BOGDAN et al., 1999, p ). No intuito de atender a essas características, parte do nosso estudo foi desenvolvido em sala de aula. Durante a formação, foi proposta a realização de uma atividade sobre frações, desenvolvida com os alunos dos nossos sujeitos, que nos permitiu observar a atuação das professoras; na transcrição dos dados fizemos o registro fiel dos depoimentos e das reflexões das professoras. Outra característica que buscamos atender e que caracteriza o nosso estudo como qualitativo diz respeito ao fato de termos voltado o nosso olhar para todo o percurso da formação. Todos os acontecimentos foram analisados e só posteriormente fizemos inferências sobre os fatos observados. Por fim, em todas as análises, levamos em consideração experiências vivenciadas por nossos sujeitos ao longo e depois de sua formação e atuação profissional. Na próxima seção, será descrito o contexto em que a pesquisa foi realizada Contexto da Pesquisa Inspirados no desejo de buscar respostas à nossa questão de pesquisa, Quais são as mudanças de concepções dos professores participantes de um processo de formação continuada que buscou ampliar os conhecimentos necessários ao ensino de fração? iniciamos o nosso estudo, no primeiro semestre de 2012, com a revisão de literatura na qual buscamos dissertações e teses relacionadas aos números racionais, especialmente, aquelas dedicadas à compreensão dos processos de ensino e de aprendizagem e as que investigaram a formação de professores nos últimos anos. Para essa revisão também analisamos alguns artigos que discutiram tal temática. Ao tempo em que fazíamos a revisão de literatura, planejávamos a nossa investigação. Esta foi desenvolvida no contexto de um processo formativo, do qual participou um grupo de 18 professoras da rede estadual de ensino do Estado de São Paulo. O grupo foi constituído de acordo com as normas do Projeto Observatório da Educação da Universidade Anhanguera que reúnem pesquisadores em Educação Matemática e professores que ensinam Matemática para os anos iniciais do Ensino Fundamental. A proposta desta pesquisa foi a constituição de um

52 52 grupo colaborativo de formação e pesquisa, cuja finalidade era promover e analisar o conhecimento profissional docente das professoras em formação sobre a introdução do conceito de fração, quando estão imbuídas de promover inovações pedagógicas em suas aulas, decorrentes da discussão de resultados de pesquisas em Educação Matemática (Projeto Observatório, 2010, p. 2). O nosso estudo foi desenvolvido em três fases: na primeira fase elaboramos, aplicamos e analisamos dois instrumentos diagnósticos, o que nos permitiu planejar a próxima fase da investigação. Na segunda fase realizamos uma formação e na terceira, ocorrida um ano após o processo formativo, entrevistamos nossos sujeitos de pesquisa e retornamos à escola para observar a aula que eles planejaram para introduzir o ensino de frações aos seus alunos. Dessa forma, a coleta de dados foi realizada em 10 sessões: 2 dedicadas à aplicação e análise dos instrumentos diagnósticos, a partir da qual organizamos a intervenção que foi desenvolvida em 6 sessões de formação e a entrevista e observação da aula das professoras, em 2 sessões. Durante a formação procuramos dar a oportunidade, às professoras participantes, de refletirem sobre a introdução do conceito de fração, especialmente, por meio dos significados parte-todo e quociente utilizando-se de diferentes metodologias. Para introduzir o conceito, por meio da situação quociente, propomos a vivência de uma Sequência de tarefas elaborada pela Professora Terezinha Nunes e sua equipe e que foi desenvolvida pelos pesquisadores na Universidade Oxford e aplicadas em escolas inglesas, portuguesas e brasileiras. Para discutir a situação parte-todo, fizemos uso da literatura infantil com o livro O pirulito do pato do Nilson José Machado. Antes de descrever o processo formativo, vamos apresentar os instrumentos diagnósticos: um questionário de entrada que nos permitiu conhecer o perfil dos sujeitos de pesquisa e um segundo questionário composto de duas partes: na primeira, foi solicitada às professoras a elaboração e resolução de situações sobre fração e, na segunda parte, a resolução de doze situações sobre frações com os significados parte-todo e quociente. Faremos também a apresentação de uma breve análise das respostas das professoras a esses instrumentos, uma vez que utilizamos esses dados no planejamento do processo formativo.

53 Primeiro Instrumento Diagnóstico: Questionário de Entrada O primeiro instrumento diagnóstico (APÊNDICE 1), composto de onze questões com a finalidade de traçar o perfil acadêmico e profissional das professoras envolvidas na pesquisa, procurou analisar a formação e atuação em relação à aprendizagem e ao ensino de Matemática, em especial, sobre frações. O questionário, além de nos fornecer informações importantes para o planejamento do processo formativo, possibilitou também, durante a formação, que as professoras refletissem e avaliassem o seu desempenho sobre o tema investigado Perfil das professoras participantes da formação A formação foi desenvolvida com um grupo constituído por 18 professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental, todas pertencentes a escolas ligadas à Diretoria de Ensino Norte 2. Dessas, apenas 15 responderam ao questionário, o que nos permitiu perceber que: - Quanto à formação: das 15 professoras que responderam ao questionário, 11 possuíam formação inicial em Magistério, o que corresponde a 73% delas. Dessas, 93% fizeram curso superior, a maioria em Pedagogia e aproximadamente, 27% cursaram Pósgraduação Latu Sensu. - Com relação à atuação profissional: aproximadamente 47% estavam no Magistério há mais de 20 anos, o que caracteriza que, no geral, as professoras participantes do processo formativo possuíam uma larga experiência profissional. No que se refere ao aprendizado da Matemática, especialmente em relação aos processos de ensino e aprendizagem das frações, durante a formação inicial, mesmo aquelas que tiveram em seus cursos de graduação a disciplina Metodologia da Matemática, afirmaram não terem sido suficientemente formadas para o ensino da Matemática, tão pouco para o ensino das frações.

54 Segundo Instrumento Diagnóstico: as Situações Reiteramos que o segundo instrumento diagnóstico aplicado às professoras constituiuse de duas partes (APÊNDICE 2). Na primeira parte, foi solicitado às docentes a elaboração e resolução de 05 situações que elas utilizam para introduzir as frações para alunos de 9 ou 10 anos. A segunda parte, composta por 12 itens, na qual procuramos analisar a resolução de problemas envolvendo diferentes situações com frações (parte-todo e quociente) pelas professoras. Tal questionário nos permitiu analisar o Conhecimento Profissional Docente. Acreditávamos que a aplicação desse questionário, de caráter diagnóstico, nos permitiria identificar as diferentes concepções sobre a fração e seu ensino. Coletamos estes dados em duas sessões que antecederam a formação. Ressalte-se que a aplicação dos instrumentos diagnósticos foi realizada de maneira individual. Ressalte-se também, que cada professora, individualmente, resolveu às situações por ela elaborada. Na análise da primeira parte do questionário, percebemos que as professoras elaboraram 68 situações, das quais a maioria, 57,35%, era relacionada ao significado partetodo e 23,5% ao significado operador. Tal fato parece confirmar pesquisas recentes (Garcia Silva (2007); Cardoso e Mamede (2010); Garcia Silva e Canova (2011)) que indicaram haver uma forte tendência por parte das professoras em trabalhar o conceito de fração utilizando o significado parte-todo seguida do significado operador. Ao solicitar a elaboração de situação procuramos investigar os conhecimentos do conteúdo e do ensino, Ball et al (2008), das professoras sobre os significados de fração. De modo geral, a análise dessa primeira parte do segundo instrumento diagnóstico, revelou que pode haver restrição na seleção, organização e proposição de atividades, por parte das professoras, sobretudo porque não utilizam das situações quociente. Nesse sentido, tais indícios nos permitiram verificar haver necessidade de aprofundar as discussões sobre este tipo de situação com o grupo, durante o processo formativo. Na segunda parte do questionário objetivávamos analisar a compreensão que as professoras tinham dos significados parte-todo e quociente por meio da resolução de situações que nos permitiram avaliar tanto o conhecimento das professoras sobre o conteúdo como também o conhecimento sobre os processos de ensino e aprendizagem das frações. Para tanto, apresentamos doze situações envolvendo os dois significados, nos quais exploramos a representação e os invariantes da fração (ordem, equivalência) fundamentados na Teoria dos Campos Conceituais e nos estudos de Nunes (2003). A tabela 2 identifica os tipos de situação apresentados no instrumento:

55 55 Situação Tabela 2 - Situações propostas no 2º instrumento diagnóstico. Invariantes da fração Representação de fração Ordem Equivalência Parte-todo 1, 2, 4, 5, 6, e 6 Quociente 7, 8, 9, 10, 11, Com esse instrumento pretendíamos avaliar tanto o conhecimento das professoras sobre o conteúdo como o conhecimento sobre os processos de ensino e aprendizagem de frações, sendo 9 situações relacionadas ao primeiro aspecto e 3 ao segundo. No primeiro item, procuramos avaliar o conhecimento das docentes sobre uma situação de nível fácil. Para tanto, apresentamos uma questão retirada do Saresp , cuja porcentagem de acerto foi cerca de 72% entre os estudantes do 5º ano do Ensino Fundamental. A habilidade descrita para esse item na avaliação é a de analisar se os alunos identificavam diferentes representações de um mesmo número racional. Nesta questão o aluno teria que 7 identificar a representação figural (parte-todo) para a fração (SARESP, 2010) As duas figuras cuja parte pintada corresponde à fração 12 7 são: Figura 2 - Primeira situação parte-todo proposta no instrumento diagnóstico 11 SARESP - Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo é uma avaliação externa da Educação Básica, realizada desde 1996 pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo SEE/SP.

56 56 Pretendíamos com a segunda situação propor uma questão mais usual, que normalmente é encontrada em livros didáticos. Objetivávamos ainda, assim como Garcia Silva (2007) verificar se as professoras compreendiam que: [...] a solução requer a comparação entre partes e o todo e que para haver fração, o todo deve ser dividido em partes iguais (GARCIA SILVA, 2007, p. 144). Para o segundo item, procuramos uma situação que constasse no currículo oficial. Nesse sentido, propomos a seguinte situação presente no Programa de Orientações Curriculares - Caderno de Apoio e Aprendizagem Ler e Escrever, do 4º ano, 2010 da Prefeitura da cidade de São Paulo. 2. (Prefeitura de São Paulo, 2010) Rafael dividiu uma torta em oito pedaços iguais e comeu dois. Qual a fração que representa o pedaço que Rafael comeu? a) 8 2 b) 8 6 c) 6 8 d) 2 8 Figura 3 - Segunda situação parte-todo proposta no instrumento diagnóstico Trata-se de um problema de representação de frações e que aborda o significado partetodo. Diferentemente da primeira situação proposta, esta não apresenta ícone, mas também pode ser resolvida por meio da dupla contagem, indicando no denominador a quantidade de pedaços em que Rafael dividiu a torta e no numerador a quantidade de pedaços que ele comeu. A terceira situação foi utilizada no instrumento aplicado por Costa (2011) com o objetivo de avaliar as competências e estratégias de ensino dos professores especialistas em Matemática em relação ao significado parte-todo de fração.

57 57 3. Bruna e Victor receberam uma barra de chocolate de mesmo tamanho cada uma. Bruna comeu 5 3 do chocolate dela e Victor comeu 4 3 do chocolate dele. Quem comeu mais chocolate, Bruna ou Victor? Um aluno deu a seguinte resposta: Bruna e Victor comeram o mesmo tanto, porque os dois comeram três pedaços dos seus chocolates. - Na sua concepção a resposta do aluno está: ( ) Certa ( ) Errada - Por que está certo? ou Por que está errado? - Como você resolveria o problema? Você pode resolver por escrito, por meio de operações ou qualquer tipo de representação. - Que estratégia de ensino você usaria para explicar para a classe a melhor forma de resolver o problema? Figura 4 - Terceira situação parte-todo proposta no instrumento diagnóstico Nossa opção em escolher esta situação se deve ao fato de ela possibilitar a análise do que Ball et al (2008) identificam como conhecimento do conteúdo e dos estudantes. Nela está presente a ideia do invariante ordem. Nunes et al (2003) consideram as relações assimétricas apresentadas por frações com um mesmo numerador como uma das dificuldades relacionadas ao ensino da ordenação de fração. Segundo seus estudos, as crianças precisam aprender a pensar nas relações direta e inversa da fração: para denominadores iguais, quanto maior o numerador, maior é a fração, enquanto que, para numeradores iguais, quanto maior o denominador, menor é a fração. A situação a seguir é semelhante a uma utilizada por Rodrigues (2005). Com ela pretendíamos observar se as professoras manteriam o referencial ao representar as respectivas frações de pizzas que sobraram nas mesas 1 e 2.

58 58 4. Na padaria do Senhor Joaquim são oferecidas pizzas como a representada a seguir: O garçom foi retirar duas mesas - mesa 1 e mesa 2- e observou que os fregueses não comeram todos os pedaços de pizza. Analisando a situação podemos afirmar que: a) A fração de pizza que representa a quantidade da sobra observada na Mesa 1 é. b) A fração de pizza que representa a quantidade da sobra observada na Mesa 2 é. Figura 5 - Quarta situação parte-todo proposta no instrumento diagnóstico Os itens 5 e 6 foram retirados do instrumento da pesquisa realizada por Canova (2013). Ambas são situações de representar frações a partir do significado parte-todo. 5. O índio corta a sua pizza em 4 partes iguais e come uma parte. A índia corta a sua pizza em 8 partes iguais e come duas partes. As pizzas são idênticas. Represente a fração que cada um comeu. O índio irá comer mais do que a índia A índia irá comer mais do que o índio O índio irá comer tanto quanto a índia Porque Figura 6 - Quinta situação parte-todo proposta no instrumento diagnóstico

59 59 Na situação 5 é explorado o invariante lógico da equivalência de frações, ideia importante para a construção do conceito de fração, mas de difícil compreensão por muitos alunos, uma vez que, segundo Nunes et al. (2003), [...] a equivalência de frações é 1 2 designada por palavras diferentes uma metade, dois quartos e diferentes signos,. 2 4 (NUNES, et al, 2003, p. 3). Com a situação 6 pretendíamos verificar se as professoras reconheciam o invariante lógico da ordenação da fração em situações parte-todo e como elas lidavam com essa ideia, considerada também fundamental no estudo das frações. 6. Ana divide seu chocolate em 7 partes iguais e come 4 partes. Marta divide seu chocolate em 10 partes iguais e come 5. Os chocolates são idênticos. Represente a fração que cada uma comeu. Ana comeu mais do que Marta Marta comeu mais do que Ana Ana comeu tanto quanto a Marta Porque Figura 7 - Sexta situação parte-todo proposta no instrumento diagnóstico Em sintonia com a Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud e com outros estudos relacionados às frações, como os de Kieren (1988) e Nunes et al. (2003), procuramos perceber se as professoras demonstravam compreender os invariantes equivalência e ordem de frações em situações parte-todo.

60 60 Em seguida, apresentamos às professoras seis situações que envolviam o significado quociente. A primeira situação proposta sobre esse significado é semelhante a uma utilizada por Rodrigues (2005), Garcia Silva (2007) e adotada por Canova (2013), inspirados em uma situação proposta por Nunes et al (2003), quando estes pesquisadores analisavam a compreensão dos sujeitos envolvidos, sobre equivalência entre frações. 7. Nove meninos irão dividir igualmente 6 pizzas e não deve sobrar nada.três meninas irão dividir igualmente 2 pizzas e também não deve sobrar nada. As pizzas são idênticas. Represente a fração que cada criança irá receber de pizza. Cada menino come mais do que cada menina Cada menino come menos do que cada menina Cada menino come tanto quanto cada menina Porque Figura 8 - Primeira situação quociente proposta no instrumento diagnóstico Trata-se, primeiramente, de uma situação de representar frações, mas também traz o invariante equivalência, em que é solicitada uma justificativa que nos permitiu avaliar se as professoras demonstravam compreender esse invariante da fração em situação quociente, uma vez que os estudos de Nunes et al (2003) apontam que os alunos compreendem mais facilmente a equivalência de frações em situações quociente. As situações 8 e 9 exploram a representação de frações relacionada ao significado quociente.

61 61 8. Foram divididos, igualmente, 4 chocolates para 5 crianças. Que fração representa o que cada criança recebeu? Figura 9 - Segunda situação quociente proposta no instrumento diagnóstico A situação 8 foi utilizada por Garcia Silva (2007) inspirada em estudos de Nunes et al. (2003) e Streefland (1984). Segundo essa pesquisadora, esses estudos sugerem que o ensino dos números racionais na representação fracionária deve ser iniciado a partir de situações da vida real, utilizando-se de problemas em que estão presentes a ideia de divisão. 9. Dois bolos idênticos foram divididos igualmente para 5 pessoas. Quanto recebeu cada uma? Figura 10 - Terceira situação quociente proposta no instrumento diagnóstico A situação 9 foi utilizada nos estudos de Costa (2011), também apoiado em Nunes et al (2003). Com ela, pretendíamos verificar se as professoras observavam a fração como a representação de uma divisão. A questão, a seguir, é uma situação de representação, mas tem, ainda, o objetivo de explorar a ordenação de fração por meio da situação quociente. Nela, é possível também, por meio da justificativa à resposta apresentada pela professora, avaliar a sua compreensão desse invariante.

62 Numa pizzaria havia duas mesas ocupadas: uma com 4 meninas e outra com 5 meninos. Para a mesa das meninas foram pedidas 2 pizzas e para a mesa dos meninos foram pedidas 4 pizzas. - Escreva o número que representa a parte de pizza que cada um comeu. As meninas: Os meninos: - Quem comeu mais, cada menina ou cada menino? Por quê? Figura 11 - Quarta situação quociente proposta no instrumento diagnóstico Essa questão foi utilizada na pesquisa realizada por Cardoso (2009), com alunos do 6º Ano, na qual a pesquisadora procurou perceber o conhecimento desses alunos sobre o conceito de fração nas situações quociente, parte-todo e operador. Em seu estudo, ela verificou que: Apesar das situações Parte-todo e Operador serem as mais trabalhadas em contexto de sala de aula, os alunos revelaram melhor desempenho em tarefas sobre a equivalência e ordenação de fracções em situação Quociente (CARDOSO, 2009, p. V). Os itens 11 e 12 foram inspirados na Prova de Mérito 12 realizada com os professores da Educação Básica I e II da rede estadual de São Paulo, no dia 26 de julho de 2012, pela Fundação VUNESP 13, com o objetivo de avaliar competências e habilidades que são exigidas para os servidores da rede estadual e consequente promoção. Dessa forma, pretendíamos analisar o desempenho das professoras nesse tipo de situação em que mais uma vez procurávamos avaliar os domínios necessários para o ensino da 12 Trata-se de uma prova realizada em um processo de promoção. A prova versou sobre os perfis de competências e habilidades requeridos para integrantes do Quadro do Magistério da rede estadual de São Paulo, de acordo com a bibliografia estabelecida na Resolução SE 70, de e na Resolução SE 13, de Fundação para o Vestibular da Universidade Estadual Paulista.

63 63 Matemática apontados por Ball et al (2008), referentes a duas das três vertentes do Conhecimento Pedagógico do Conteúdo: conhecimento do conteúdo e dos estudantes (KCS) e conhecimento do conteúdo e do ensino (KCT). 11. A professora propôs o problema: dividir três chocolates igualmente entre quatro amigos. Quanto receberá cada um? Nívea apresentou a seguinte resposta: - O que você pode afirmar a respeito da resolução apresentada pela aluna? - Quais propostas você indicaria a professora para intervir diante da resposta da aluna? Figura 12 - Quinta situação quociente proposta no instrumento diagnóstico Com isso, nossa intenção, ao propor a questão 11, era perceber a análise que as professoras fariam do erro da aluna e quais as intervenções e estratégias de ensino elas proporiam a partir de tal análise. Nesse sentido, esperávamos que as professoras percebessem 1 1 que a aluna sabia representar as frações e, todavia ela havia cometido um equívoco ao 2 4 adicionar numeradores e denominadores como se fossem dois números naturais. Assim, as professoras poderiam indicar como proposta de intervenção que a aluna efetuasse a operação

64 e que comparasse o resultado encontrado (provavelmente ) com cada uma das parcelas ( ), uma vez que analisando o protocolo observamos que o aluno compreende o 2 significado de 2 1 e, portanto, deve saber também que duas metades formam um inteiro ou 1 1 = 1. Nesse sentido, a professora desequilibraria a ideia do esquema utilizado pela 2 2 estudante favorecendo a busca de novas estratégias utilizando, por exemplo, a equivalência de frações. Além do que foi exposto, as professoras poderiam também sugerir, por exemplo, que a aluna olhasse para as divisões que ela fez dos chocolates e as analisassem na tentativa de perceber, por exemplo, que metade do chocolate é o mesmo que duas quantidades de quartos, ou seja, Dessa forma, a fração poderia ser substituida na adição por. Assim a aluna poderia juntar os 2 pedaços de quartos com 1 pedaço de quarto e obter os 3 pedaços de quartos, ou seja, Na questão, a seguir, pretendíamos analisar outra vertente do Conhecimento Pedagógico do Conteúdo Matemático: o conhecimento do currículo (KCC) (Ball et al., 2008). 12. No concurso de mérito foi apresentada aos professores a seguinte questão: No guia de Planejamento e Orientações Didáticas 4ª série é discutida a necessidade de apresentar aos alunos diferentes significados das frações. A seguir são apresentadas quatro questões cujas respostas podem ser indicadas pela fração 5 2. I. Dividir dois chocolates igualmente entre cinco amigos. II. Dividir um bolo em cinco partes e comer duas dessas partes. III. Adicionar 5 ovos para cada 2 copos de farinha. IV. Dividir um retângulo em 5 partes iguais e pintar 2. Os significados apresentados nessas situações são respectivamente: (A) Parte-todo, parte-todo, quociente e razão. (B) Quociente, parte-todo, parte-todo e razão. (C) Quociente, parte-todo, razão e parte-todo. (D) Razão, parte-todo, quociente e quociente. (E) Parte-todo, quociente, parte-todo e razão. - Se você participasse do concurso, como você responderia a questão? Você considera que essa foi uma questão fácil? Justifique. Figura 13 - Situações quociente, parte-todo e razão proposta no instrumento diagnóstico

65 65 Por fim, com a situação 12 objetivávamos perceber a capacidade das professoras em reconhecer diferentes significados de fração. A tabela a seguir representa o número de professoras que apresentaram uma resposta esperada e as que apresentaram outras respostas para cada situação e, ainda, a quantidade de professoras que não responderam: Tabela 3 - Número de professoras que apresentaram uma resposta esperada ou outras respostas às situações propostas no 2º instrumento diagnóstico ou que não responderam Situação / Significado Respostas Outras respostas Não respondeu esperada 1 / Parte-todo / Parte-todo 18-3 / Parte-todo / Parte-todo Item a Item b / Parte-todo Item a Item b / Parte-todo Item a Item b / Quociente Item a Item b / Quociente / Quociente / Quociente Item a / Quociente Item b / Quociente Analisando os dados descritos na tabela acima, percebemos que o número de respostas esperadas, apresentadas nas situações em que foi explorado o significado parte-todo foi

66 66 bastante significativo, pois verificamos que todas as professoras responderam de maneira assertiva três das seis situações propostas, o que representa uma média de 50%. No entanto, numa análise mais refinada, pudemos observar que apenas dez professoras reconheceram o invariante ordem (situação 3), apontado por Nunes et al (2003) como uma ideia fundamental para a compreensão do conceito de fração, mas também como uma das dificuldades relacionadas ao ensino das frações. Outro aspecto observado foi quanto à conservação da unidade de referência (situação 4; item b): somente doze das dezoito professoras mantiveram o referencial. Na construção do conceito de fração, a compreensão do papel da unidade de referência é um elemento de fundamental importância da mesma forma como apontou o estudo de Campos et al, Em relação às situações em que era explorado o significado quociente, observamos que a média de respostas esperadas foi inferior à média observada nas situações parte-todo. Da análise que fizemos dos protocolos, alguns aspectos nos chamaram a atenção: primeiramente o fato de que mesmo em relação à situação 9, em que o número de acertos foi maior que nas demais, percebemos que da mesma forma que Nunes e colegas (2003) observaram, as professoras não chegaram a uma solução imediata, ou seja, elas não reconheceram a fração como a representação de uma divisão. Para representar a fração correspondente à situação, elas recorreram à ideia de partição. Isso talvez tenha sido o motivo pelo qual muitas delas não tenham conseguido resolver corretamente as situações com significado quociente. O que nos faz inferir que a transferência do conhecimento adquirido em situações parte-todo para situações quociente nem sempre ocorre, havendo assim a necessidade do ensino desse significado. Nesse sentindo, de maneira geral, ao analisar a resolução das professoras às situações propostas que envolviam diferentes significados verificamos que as docentes demonstraram dificuldades ao resolver aquelas que apresentavam significado quociente, sobretudo, a que tratava do invariante equivalência. Analisando as estratégias utilizadas observamos que todas as professoras utilizaram-se de estratégias ligadas a partição, o que é mais um indício de que, possivelmente, promoviam, antes do processo formativo, o ensino utilizando, sobretudo, do significado parte-todo. Com base nestes dados, planejamos o processo formativo com a proposta inicial de discutir estes dois significados da fração (parte-todo e quociente) nas seis sessões de formação. A escolha em trabalhar com os significados parte-todo e quociente se justifica primeiramente por considerarmos, assim como já foi apontado em outros estudos, que o

67 67 ensino do conceito de frações, por meio da abordagem de um único significado não é suficiente para a compreensão de todas as ideias presentes nesse conceito. Além disso, documentos oficiais como os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) apontam para a necessidade de o professor desenvolver, ainda nos primeiros anos do Ensino Fundamental, o ensino dos números racionais por meio desses dois significados (BRASIL, 1997, p. 54). No que se refere ao significado parte-todo, mais especificamente, a nossa escolha se justifica em razão de termos percebido, por meio da análise dos instrumentos diagnósticos, que as professoras participantes da formação utilizavam-se, exclusivamente, desse significado, uma vez que apresentaram maior número de acertos às situações parte-todo. Porém, as soluções apresentadas às situações revelaram fortes indícios de que elas realizavam o ensino de maneira procedimental, sem a percepção da relação existente entre numerador e denominador. Em relação a esse fato, alguns estudos afirmam que muitas vezes os professores utilizam-se sempre de inteiros divididos em áreas iguais, favorecendo a percepção de que a dupla contagem garantirá a representação correta da fração. Campos et al (1995), por exemplo, já observava esse fato: O modelo parte-todo (...) é tal que o professor apresenta sempre situações típicas, por exemplo, o inteiro sempre dividido em partes iguais em que o método de dupla contagem leva sempre a interpretações corretas. Dessa forma, a simples contagem de partes leva à linguagem correta para indicar a fração, sem que o aluno interprete, necessariamente, a fração como uma relação entre a parte e o inteiro enquanto unidade (CAMPOS et al, 1995, p.4). Percebemos ainda, que algumas ideias contidas também nesse significado precisavam ser melhor compreendidas por elas, como por exemplo a ideia de equivalência. A partir dessa percepção, concordamos com as pesquisas que indicam que o ensino das frações apenas por meio do significado parte-todo não é suficiente para a compreensão desse conteúdo e que haveria a necessidade de aprofundar a discussão de questões relativas aos processos de ensino e de aprendizagem envolvendo a relação parte-todo. Em relação ao significado quociente, a nossa escolha está apoiada nos estudos que apontam que esse significado pode favorecer a introdução do conceito de fração, se considerarmos, por exemplo, que ele pode ser indicado como uma divisão e que tal ideia já está presente em experiências vivenciadas pelos alunos em contextos da vida diária Nunes et al (2005) inspirados em pesquisas realizadas por Streefland (1984).

68 68 Sendo assim, a nossa intervenção foi pautada em discussões e análises sobre as possibilidades de introdução do conceito de fração por meio desses dois significados, de modo que as professoras tivessem a oportunidade de refletir sobre suas práticas e sobre resultados de pesquisa na área, de forma a ampliar os conhecimentos já construídos por elas O Percurso da Formação O grupo investigado foi constituído por professoras que lecionavam para os anos iniciais da rede estadual de São Paulo que participaram de um curso de formação continuada desenvolvido por pesquisadores em Educação Matemática, no âmbito do Projeto Observatório da Educação. O módulo de formação em que foi abordado o tema Representação fracionária do número racional, ocorreu no período de 04/09/2012 a 27/11/2012, com uma carga horária de 24 horas presenciais e 6 horas à distância. As atividades à distância foram realizadas em sala de aula, com alunos de professoras participantes da formação. A respeito de tais atividades, teremos uma seção deste trabalho dedicada à apresentação das informações coletadas durante a sua realização, bem como a análise acerca das mesmas. Toda a formação foi realizada por uma professora do Programa de Mestrado em Educação Matemática da Universidade Anhanguera de São Paulo, acompanhado por outra professora do Programa e uma doutoranda e observado pela mestranda que realiza esta investigação. Duas das oito sessões realizadas foram dedicadas à aplicação e análise dos instrumentos diagnósticos já descritos anteriormente. Durante a análise das questões, feita com os grupos, foi possível observarmos as primeiras reflexões das professoras sobre os processos de ensino e aprendizagem de frações. A análise fez com que nossos sujeitos tomassem consciência das suas dificuldades mesmo em situações parte-todo, a que elas afirmavam conhecer e trabalhar em atividades de ensino. Elas reconheceram, também, suas dificuldades para resolver situações com os invariantes e, sobretudo, a necessidade de maior atenção para a conservação da unidade de referência. Além disso, ficou claro entre as participantes as dificuldades encontradas nas situações quociente, pois também nessas, de maneira geral, elas fizeram uso de estratégias partitivas, dificultando a sua resolução e, às vezes, levando-as à representação equivocada da quantidade fracionária.

69 69 Considerando a análise das informações produzidas por meio dos instrumentos diagnósticos, os estudos realizados, ao longo deste módulo de formação, tiveram a finalidade de oferecer ao grupo das professoras participantes, a oportunidade de refletir sobre a introdução do conceito de fração por meio dos significados parte-todo e quociente. Para tanto, as professoras vivenciaram uma Sequência de tarefas, proposta pela Professora Terezinha Nunes, em que o conceito de fração é iniciado por meio do significado quociente. Com essa atividade objetivávamos refletir sobre os limites e possibilidades da utilização da Sequência, no ensino e na aprendizagem das frações, a partir da análise das respostas dos alunos das professoras que se dispuseram a aplicar a Sequência em sala de aula. No intuito de aprofundar os conhecimentos manifestados pelas professoras acerca do significado parte-todo, possibilitamos, ainda, que elas vivenciassem, durante a formação, uma atividade com a literatura infantil O pirulito do pato e com o Tangram. Realizamos, também, a leitura e discussão de estudos que abordam questões relacionadas ao conceito de fração. Nesse sentido, passaremos à descrição das sessões dedicadas à formação. 3ª sessão A terceira sessão foi dedicada ao estudo e à análise das professoras de diferentes situações com o significado parte-todo e quociente, apresentadas no questionário diagnóstico. Apresentamos os dois significados para, em seguida, solicitar que as professoras, em grupo, analisassem as questões por elas elaboradas nas primeiras sessões. Esse foi um rico momento de discussão. Na análise, elas refletiram sobre quais foram os significados explorados nas questões, as semelhanças e diferenças entre as questões, quais os critérios utilizados e sobre o tipo de situações elaboradas. Durante tal proposta, foi possível perceber que houve predominância de questões que envolviam o significado parte-todo. Em síntese, os pontos mais fortes, observados pelo grupo, foram: a preocupação com o contexto e clareza da comanda e a percepção de que a fração é parte de um todo. Quanto à classe de equivalência, observamos que não houve preocupação do grupo com essa ideia. Nesse sentido, inferimos que isso se deve ao fato de que, provavelmente, as professoras não conheciam e/ou não trabalhavam com esse invariante lógico em sala de aula com seus alunos.

70 70 Em seguida, analisamos as respostas das situações apresentadas no segundo questionário, procurando indicar o objetivo de cada um dos itens propostos. Com a exploração desse instrumento, foi possível perceber quais os significados de fração eram conhecidos e/ou trabalhados pelas professoras em suas atividades de sala de aula. Durante a análise, realizada de maneira coletiva, a formadora foi pontuando alguns estudos e pesquisas que apontavam os erros cometidos por professores e seus alunos ao estudarem o conceito de fração. A partir da análise de quais eram os significados que estavam presentes, em cada atividade, e das respostas apresentadas, foi possível, ao grupo, traçar um diagnóstico do conhecimento das professoras acerca das frações confirmando nossa análise inicial. 4ª e 5ª sessão Apresentados e discutidos os diferentes significados que envolvem o conceito de fração, o quarto encontro foi dedicado à vivência de uma Sequência de tarefas elaborada pela Professora Terezinha Nunes em que ela sugere que o ensino do conceito de fração se inicie pelo significado quociente. Duas sessões foram dedicadas à apresentação, vivência e discussão dessa Sequência (ANEXO 1). Dessa forma, a quarta sessão de formação foi iniciada, com a apresentação da Sequência, momento em que a formadora chama a atenção para alguns aspectos relacionados à mesma: qual a intenção, o que ela propõe, a partir de qual estudo foi elaborada, o que é discutido e quais as possíveis implicações desta para o ensino e a aprendizagem do conceito de fração. Durante o estudo da Sequência foi possível retomar as dificuldades que as professoras apresentaram ao responder uma situação quociente utilizando-se da estratégia do parte-todo, comparando-a com a utilização da ideia de divisão. Nesse momento da formação, foi possível observar como as professoras ficaram surpresas ao perceber as ideias presentes em situações quociente: [...] então dois é o dividendo, o cinco é o divisor, o que vai dar nas repartições, nas divisões é quociente. Gente, que legal! Isso dá mais propriedade naquilo que eu quero ensinar. Sabe? (PROFESSORA ANA). Ao final da sessão, foi proposto pela formadora a aplicação da Sequência de tarefas na sala de aula. Quatro professoras dos anos iniciais e uma dos anos finais ficaram motivadas e se

71 71 prontificaram a levar as atividades da sequência para a sala de aula e trazer os resultados para a próxima sessão. 6ª e 7ª sessão As sessões seis e sete da formação foram dedicadas à análise das respostas dos alunos à Sequência de tarefas, o que permitiu a discussão dos limites e das possibilidades para o ensino e a aprendizagem das frações e propondo possíveis encaminhamentos para a sala de aula. No primeiro momento da sexta sessão, as professoras foram convidadas a relatarem sobre a experiência vivenciada em sala de aula quando da aplicação da Sequência de tarefas. Muitas delas revelaram ter sido uma experiência bastante positiva: [...] nós, professores, quando vamos ensinar fração, a gente vai aonde? No livro. A gente vai no livro. E o livro não tem nada a ver com aquilo. [referindo-se à Sequência]. Eu cheguei e falei [...] aqui mesmo eu olhei [referindo-se à Sequência] e pensei: não vão conseguir. Eu não precisei falar duas vezes: professora é assim, divide aqui. E ainda vinha na lousa e dividia pra mim. Entendeu? Então nós ficamos atrás de ensinar a criança a escrever por extenso, a fazer aquelas atividades que tem em vários livros, porque todos os livros são iguais, e essa atividade aí veio de uma forma diferente. Então é isso que nós estamos precisando, é de coisa diferente [...] Então quer dizer, a gente pensa que a criança não sabe, porque da forma como nós estamos ensinando lá, acompanhando com os livros, ele vai demorar mais para aprender a dividir. Entendeu? Então foi o que eu percebi nessa atividade (PROFESSORA IVONE). Outro aspecto observado, nessa sessão é que essa atividade desenvolvida em sala de aula com os alunos levou as professoras a refletirem sobre os processos de ensino e de aprendizagem da fração. Vejamos o relato da Professora Eunice: [...] o que eu observei foi o seguinte: como os meus alunos aprenderam como nós, parte-todo, já estava enraizado na aprendizagem [...] eles ficaram surpresos iguais nós ficamos aqui quando a gente descobriu essa divisão, que era bem mais fácil do que dividir a barra em mil pedaços. [referindo-se à Sequência]. Para eles também foi uma surpresa. [...] então isso foi o que eu percebi de mais forte: a surpresa na hora que descobriram que a fração é divisão (PROFESSORA EUNICE).

72 72 Nesse sentido, percebemos que a formação permitiu que as professoras aprofundassem os conhecimentos a respeito dos significados da fração, uma vez que espontaneamente a professora fez referência ao significado quociente que não era utilizado por ela. O segundo momento da sessão foi dedicado à análise e reflexão das respostas dos alunos à Sequência de tarefas vivenciada em sala de aula. Lembrando que a Sequência foi aplicada a alunos do 1º, 2º, 4º, 5º, 7º e 8º anos. As imagens a seguir são registros da atividade de análise feita pelas professoras: Figura 14 - Imagens vídeo 1: Atividade desenvolvida com as professoras em sessão de formação 14 Para auxiliá-las na análise, as professoras 15 receberam uma tabela na qual era registrado as respostas dos alunos (APÊNDICE 3). A utilização dessa tabela ajudou ao grupo fazer uma análise mais detalhada sobre os erros mais frequentes, levantando hipóteses acerca 14 As imagens apresentadas foram autorizadas pela professora conforme TCLE. 15 As professoras fizeram a análise em grupo. O grupo era composto por uma professora que aplicou a Sequência e duas ou três professoras que não haviam aplicado.

73 73 do pensamento do aluno. Em seguida, foi possível computar a quantidade de erros e acertos a cada situação da Sequência de tarefas. Somente na sétima sessão foi possível socializar e analisar em plenária as observações feitas pelos grupos. Para tanto, apresentamos em Power point uma síntese do registro das professoras. Durante a exposição, procuramos levantar hipóteses sobre a forma de pensar das crianças, observamos ainda os resultados encontrados com alunos de diferentes faixas etárias. Ao final, o grupo discutiu alguns encaminhamentos para o ensino. Em seguida, num segundo momento da sétima sessão, foi proposta a vivência de outra atividade com a Literatura Infantil O Pirulito do Pato de Nilson José Machado (2003). Procuramos, assim, apresentar possibilidades de tratamento metodológico interdisciplinar para o desenvolvimento dos significados selecionados. Observamos a necessidade de encontrar estratégias que favorecessem aos alunos a utilização da partição, uma vez que o significado quociente já havia sido introduzido anteriormente. A proposta era discutir as possibilidades de trabalhar frações com esse livro, por se tratar de uma história em que dois patinhos ganham de sua mãe um pirulito que eles terão que dividir com seus amiguinhos. Outra intenção ao propor essa atividade que envolvia situação parte-todo foi iniciar uma discussão sobre a língua materna e a Matemática. O estudo das frações utilizando-se desse livro permite a contextualização do tema, considerado, pelas professoras, como fundamental no processo de ensino e aprendizagem de qualquer conteúdo. Escolhemos essa atividade, pois ela também foi desenvolvida por Garcia Silva (2007) e, segundo essa pesquisadora, essa foi uma atividade que favoreceu a reflexão, do grupo investigado, sobre os processos de ensino e aprendizagem da fração. O livro permitiria a contextualização de uma situação, por meio da história de dois patinhos que ganham um pirulito da mãe e têm que dividi-lo de forma diferente na medida em que chegam seus amiguinhos. Possibilitaria ao aluno pensar sobre a relação entre o número de pedaços do pirulito e o denominador da fração, e a compreender a relação de ordem de frações unitárias. Poderia ampliar a compreensão do significado quociente na medida em que ele problematizasse a situação por meio da alteração da quantidade de pirulitos e/ou de patinhos. Aproveitamos para discutir algumas dificuldades dos alunos na aprendizagem da fração relacionadas às rupturas com ideias construídas acerca dos números naturais no trabalho inicial com as frações. Algumas das professoras sugeriram a reescrita da história pelos alunos, para estimular a criatividade, avaliar a escrita e a compreensão da ideia de fração.

74 74 A seguir, apresentamos imagens que ilustram esse momento da formação: Figura 15 - Imagens vídeo 2: Atividade desenvolvida com as professoras em sessão de formação Ao recontar a história, quando as professoras foram levadas a explicarem o que acontecia quando o denominador aumentava, foi possível discutir sobre uma das dificuldades que geralmente são demonstradas pelos alunos e que é apontada, desde 1997, em documentos oficiais do governo federal, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN): no domínio dos números naturais, as crianças constroem a relação 3 > 2, porém pode parecer-lhes 1 1 contraditório ao serem levadas a construir a relação < ª sessão A oitava sessão objetivou refletir sobre a introdução do conceito de fração por meio do significado quociente, a partir da qual as professoras puderam expressar-se sobre a Sequência de tarefas propostas pela Professora Terezinha Nunes. Em seguida, retomamos alguns dos itens apresentados no instrumento diagnóstico para que as professoras pudessem analisar suas respostas, identificando quais haviam sido suas dificuldades. Durante a análise, tanto das respostas dos alunos à Sequência de tarefas, quanto da resposta das professoras às atividades do diagnóstico, a formadora propôs alguns encaminhamentos, à luz de outras pesquisas que foram realizadas e que apontam que o ensino e a aprendizagem das frações apresentam resultados mais satisfatórios, se iniciado pela situação quociente, a partir da qual deve ser apresentada outras situações. Ao final do processo formativo, a formadora propôs a reflexão sobre um artigo, intitulado Sobre o ensino e a aprendizagem de frações (CAMPOS, 2011). Esse artigo trata

75 75 de um estudo em que foi analisado, a partir de uma intervenção realizada em sala de aula de uma escola de São Paulo, o nível de compreensão de alunos de 4º e 5º ano do Ensino Fundamental sobre frações. Tal estudo investigou se os alunos lidavam mais facilmente com a equivalência e ordenação de fração em situações quociente do que em parte-todo. O grupo concluiu que muito do que a autora observou em seu estudo também foi observado nos alunos investigados pelas professoras participantes da formação. Nesse sentido, a formadora procurou refletir com o grupo sobre resultados de pesquisas publicadas e sugeriu aos participantes que aprofundassem o estudo desses trabalhos. Na tabela a seguir, apresentaremos a síntese da formação: Tabela 4 Síntese das sessões de formação Título da Formação: Representação Fracionária do Número Racional Objetivos da formação: - Oferecer ao grupo de professores participantes da formação a oportunidade de refletir sobre a introdução do conceito de fração, por meio dos significados quociente e parte-todo. - Refletir sobre os limites e possibilidades de uma Sequência de Tarefas, proposta pela Professora Teresinha Nunes em que o conceito de fração é iniciado por meio do significado quociente, para o ensino e aprendizagem dos números racionais na representação fracionária. - Refletir sobre limites e possibilidades do trabalho com situação parte-todo por meio da Literatura Infantil Sessão Data Objetivo Pauta 1ª 04/09/2012 Apresentar a proposta do curso Traçar o perfil das professoras participantes da formação; aplicação do 1º instrumento diagnóstico Aplicar a primeira parte do 2º instrumento diagnóstico 1º Momento: - Apresentação da Proposta do Curso: contextualização do tema 2º Momento: - Aplicação do Questionário Perfil dos Professores: primeiro instrumento diagnóstico 3º Momento: - Elaboração de situações envolvendo frações: as consideradas imprescindíveis pelos professores ao ensinar esse tema. -Socialização das questões elaboradas

76 76 2ª 11/09/2012 Refletir sobre o processo de ensino e aprendizagem dos números racionais. Analisar diferentes situações com os significados parte-todo 1º Momento: - Resolução de situações-problema com os significados parte-todo e quociente. e quociente: segunda parte do 2º instrumento diagnóstico. 3ª 18/09/2012 Estudar e analisar as diferentes situações-problema com os significados parte-todo e quociente apresentadas no questionário diagnóstico. 1º Momento: - Estudo, análise e discussão coletiva das situações-problema do instrumento diagnóstico, bem como das respostas apresentadas pelas professoras a cada uma delas. 4ª 02/10/2012 Estudar uma proposta de Sequência de Tarefas a fim de introduzir o conceito de fração por meio do significado quociente. 5ª 23/10/2012 Discutir o significado quociente a partir da vivência de uma Sequência de Tarefas. 1º Momento: - Vivência da Sequência de Ensino elaborada pela Professora Teresinha Nunes. 1º Momento: - Discussão sobre o significado quociente a partir da análise da vivência da Sequência proposta por Nunes (2003). 6ª 06/11/2012 Analisar as respostas dos alunos do 1º, 2º, 4º e 5º ano do Ensino Fundamental sobre a Sequência proposta por Nunes vivenciada em sala de aula. 1º Momento: - Apresentação das respostas dos alunos à Sequência de Tarefas proposta pela Professora Terezinha Nunes para a introdução do conceito de fração por meio da situação quociente.

77 77 2º Momento: - Análise das respostas dos alunos a Sequência de tarefas proposta pela Professora Terezinha Nunes para a introdução do conceito de fração por meio da situação quociente, feita coletivamente pelas professoras. 7ª 13/11/2012 Vivenciar uma proposta de atividade com a Literatura Infantil O Pirulito do Pato 1º Momento: - Apresentação das análises feitas pelas professoras. sobre as respostas dos alunos do 1º, 2º, 4º e 5º ano do Ensino Fundamental sobre a Sequência proposta por Nunes vivenciada em sala de aula. 2º Momento: - Estudo de uma proposta de atividade com a Literatura Infantil O Pirulito do Pato 8ª 27/11/2012 Sistematizar as discussões das respostas dos alunos à Sequência de Ensino vivenciada em sala de aula. Discutir limites e possibilidades da Sequência para o ensino e a aprendizagem das frações. Propor encaminhamentos. 1º Momento: - Sistematização das discussões a respeito das respostas dos alunos sobre a Sequência de ensino vivenciada em sala de aula e levantar os limites e possibilidades. 2º Momento: - Elaboração de propostas de encaminhamentos sugeridas pelas professoras. Com a tabela, apresentamos o design do processo formativo que foi realizado com o objetivo de proporcionar às professoras participantes reflexões sobre os processos de ensino e aprendizagem acerca da introdução do conceito de fração. Reiteramos que, durante a

78 78 formação, foi dada, às professoras, a oportunidade de discutirem resultados de pesquisas já realizadas sobre o tema, fato que provocou uma reação positiva, uma vez que elas reconheceram a importância da formação e das investigações que são realizadas com o objetivo de contribuir com as práticas pedagógicas. O relato da Professora Lorena, por exemplo, nos faz acreditar que a formação contribuiu para que elas refletissem a própria prática e, nesse processo de reflexão, elas adquiriram autoconfiança (Serrazina, 1999) para assumir suas limitações em relação ao objeto matemático: [...] O professor não ensina, o aluno não aprende. O que aconteceu: você percebe que são falhas que ocorreram no processo todo [referindo-se ao processo de formação anteriormente vivenciado pelas docentes] [...] Então não é porque o professor não ensina porque não quer. Ele não ensina porque ele não quer ensinar errado, não é? E quem estava lá em cima [referindo-se aos coordenadores da Secretaria Estadual da Educação] [...] eles deixavam a gente assim num momento muito distante, até para se comunicar a gente tinha aquele receio; não tinha aquela aproximação. [referindo-se aos coordenadores da Secretaria Estadual da Educação] [...] (PROFESSORA LORENA). O sentimento da professora em relação aos elaboradores e implementadores do currículo se aproxima com as descrições de Zeichner em suas discussões sobre o papel do professor na reforma educacional. De acordo com esse pesquisador, raramente os professores são vistos, pelos elaboradores das políticas educacionais, bem como pelos órgãos governamentais, como agentes importantes no processo de reforma educacional (Zeichner, 2003). Sendo assim, Em muitos projetos de reforma educacional de todo o mundo, a meta é ter professores-funcionários irreflexivos e obedientes, que implementem fielmente o currículo prescrito pelo Estado, empregando os métodos de ensino prescritos (ZEICHNER, 2003, p. 37). Dessa forma, os professores, no exercício da docência, passam a reproduzir um modelo de currículo e de métodos de ensino que muitas vezes não condizem com as expectativas que eles têm em relação aos processos de ensino e aprendizagem e em relação ao seu papel como educador. Porém, Zeichner (1993) defende que a partir do momento em que os professores compreenderem e aceitarem as reformas educacionais como suas, mudanças qualitativas na prática de sala de aula acontecerão. O depoimento da professora nos permitiu concluir que a formação favoreceu a reflexão sobre a prática docente e proporcionou a ela esse sentimento de pertencimento. Acreditamos, portanto que esse fato certamente contribuirá com mudanças significativas na sua atuação profissional.

79 79 CAPITULO 4 - ANÁLISES DOS INSTRUMENTOS DIAGNÓSTICOS Objetivamos com este capítulo apresentar a análise dos protocolos que utilizamos para o diagnóstico relativo ao conhecimento das professoras, sujeitos da pesquisa, sobre frações, que serviu para nortear as discussões durante a formação. É conveniente observar que no capítulo anterior fizemos a apresentação dos instrumentos diagnósticos e do processo formativo, trazendo reflexões no âmbito geral. Neste capítulo, porém, traremos as análises detalhada das informações produzidas relativas às três professoras sujeitos da pesquisa Questionário de Entrada Para esta investigação selecionamos como sujeitos um grupo de três professoras: `Professora Ana, Professora Renata e Professora Marcela. Essa escolha se deu em razão dessas terem participado de todas as atividades propostas durante o processo formativo e de terem aplicado com seus alunos, em sala de aula, a Sequência de tarefas que foi proposta durante a formação. A título de informação: estamos usando nomes fictícios para as professoras. Dessa forma, garantimos o anonimato. Utilizamos um Questionário de Entrada que nos permitiu conhecer o perfil das professoras, sujeitos do nosso estudo. Por meio dele colhemos informações relacionadas à formação acadêmica; experiência e atuação profissional; trajetória estudantil e formação inicial e continuada, especialmente, a respeito das aulas sobre frações. Com a aplicação do questionário obtivemos, ainda, informações sobre quais as metodologias desenvolvidas durante o ensino de frações e a relação dessas com as que seus professores utilizavam. Esse instrumento serviu também para que nossos sujeitos avaliassem seu aprendizado de Matemática na Educação Básica, na sua formação inicial e continuada, especialmente, os

80 80 relacionados aos processos de ensino e aprendizagem de fração e quais influências observadas na sua atuação. As informações coletadas foram de fundamental importância para as discussões que se seguiram durante toda a formação e nos ajudaram a coordenar as reflexões acerca do tema. No que se refere à formação acadêmica, todas elas possuem formação em pedagogia, duas fizeram pós-graduação, uma em Psicopedagogia, a Professora Ana, e uma em Psicomotricidade, a Professora Marcela. Em relação à experiência e atuação profissional, constatamos que as Professoras Renata e Marcela possuem uma larga experiência, considerando o tempo em que lecionam para os anos iniciais do Ensino Fundamental: 15 e 25 anos respectivamente. A Professora Ana, no entanto, está no Magistério só há 6 anos. No momento em que participaram do processo formativo a Professora Renata lecionava para o 1 º ano, a Professora Ana para o 2º ano e a Professora Marcela para o 5º ano. Questionadas sobre o ano de preferência para lecionar, duas delas afirmaram ter preferência pelo 1º ano, expressando-se da seguinte maneira: Hoje a primeira, porque eu me apaixonei vendo as crianças ficarem alfabéticas, lendo e escrevendo e o olho brilhando de alegria (PROFESSORA RENATA). [...] 1º ano. Adoro alfabetizar. Acho gratificante (PROFESSORA ANA). Apesar de apresentarem argumentos diferentes, percebemos que o gosto pelo 1º ano está relacionado ao prazer de ver as crianças evoluindo na aprendizagem da leitura e da escrita. Provavelmente essas duas professoras não estão familiarizadas com o ensino da Matemática, tão pouco de frações. Já a Professora Marcela demonstra preferência pelo 5º ano, afirmando que a sua preferência está ligada a complexidade dos conteúdos e a motivação para desenvolver junto com os alunos propostas que permitem ensinar e aprender (PROFESSORA MARCELA). Ao serem solicitadas a tecerem comentários sobre as aulas de Matemática, especialmente, aquelas que tratavam de frações, durante sua trajetória estudantil, uma delas (Professora Ana) disse gostar das aulas de Matemática. Porém, as outras duas disseram que suas aulas eram baseadas apenas no livro, na lousa e no caderno, com foco no conteúdo, sem nenhum contexto, sem a preocupação com o aprendizado e sem significado. Das três professoras apenas uma referenciou as aulas sobre frações:

81 81 Eu me lembro que a professora passava na lousa sempre acompanhando uma pizza ou um chocolate e depois passava muitos exercícios e o livro, mas aí eu me perdia, porque só sabia fazer mediante as figuras (PROFESSORA RENATA). Com relação às metodologias utilizadas pelos seus professores de Matemática, quando ensinavam frações, questionamos se estas seriam adequadas para os alunos de hoje, todas elas responderam não, justificando a necessidade de se trabalhar com situações práticas, com a utilização de mais recursos, com maior exploração dos conceitos ensinados como ilustra a resposta da Professora a seguir: [...] Para os alunos que temos hoje não basta ensinar conceitos; devemos desenvolver situações didáticas onde os alunos apreendem os conceitos, mas desenvolvam procedimentos necessários para resolver situações problemas (PROFESSORA MARCELA). Assim como a Professora Marcela, a Professora Ana também argumentou fazendo referência à importância de trabalhar com situações-problema. No que se refere a como elas avaliam o seu aprendizado de Matemática na Educação Básica, uma delas, a Professora Ana, afirmou não ter apresentado dificuldades; as outras duas, porém, não demonstraram satisfação, pois, segundo elas, eram baseados na decoreba, e em exercícios repetidos que não estimulavam o raciocínio. Uma das professoras ainda o avaliou como desnecessário para a vida, mas que contemplava as necessidades da escola daquela época (PROFESSORA MARCELA). Sobre o aprendizado da Matemática, especialmente, em relação aos processos de ensino e aprendizagem das frações, durante a formação inicial, a Professora Renata disse ter tido aulas de Metodologia da Matemática, ainda assim afirmou não tive aprendizado. A Professora Ana o avaliou como regular. Afirmou que não estudou fração em seu tempo de faculdade. Por fim, a Professora Marcela assegurou que sua graduação não teve nenhum ensino relacionado com a área de Matemática afirmando que: Todos os cursos que fiz são voltados para a área de humanas, mesmo a pedagogia o foco foi o processo de desenvolvimento do sujeito considerando suas habilidades e competências. Não houve nenhuma relação com a área de matemática (PROFESSORA MARCELA). Quanto à formação continuada sobre frações, elas foram unânimes em responderem não. Uma das professoras, no entanto, expressou expectativas quanto à formação:

82 82 [...] esta é a primeira vez que tenho a oportunidade de participar de um curso de ensino e aprendizagem de fração. Espero sinceramente poder construir conhecimentos necessários para a prática pedagógica e melhor construir estratégias didáticas que contemplem a necessidade de aprendizagem dos alunos (PROFESSORA MARCELA). Por fim, ao perguntar sobre fatos relacionados aos seus professores de Matemática durante a trajetória estudantil que marcaram, positiva ou negativamente, e que hoje influenciam na atuação profissional junto aos seus alunos, duas professoras (Professoras Renata e Professora Ana) disseram ter experiências positivas com seus professores: [...] muitas vezes eu ia pelo lado de raciocínio e meus amigos pela fórmula. Meus professores explicavam as duas maneiras para atingir a todos (PROFESSORA ANA). Sim, a professora de matemática Dona Eliana, eu sempre ficava quieta no fundo da sala e ela sempre adorava me chamar para ir à lousa, eu era tímida e com isso foi muito bom, perdi a timidez e procurava estudar mais para não errar na lousa (PROFESSORA RENATA). A Professora Marcela, porém, afirma não ter tido nenhuma experiência boa. Nenhuma lembrança é boa. Todas são impossíveis, inconcebíveis como educadora (PROFESSORA MARCELA). De maneira geral observamos, a partir das informações colhidas no presente questionário, que as professoras tiveram pouca ou nenhuma experiência com as frações, tanto em relação à formação inicial e continuada, quanto em relação aos processos de ensino e aprendizagem. Pelo exposto, percebemos que mesmo aquela que se referiu às aulas sobre frações relacionou-as apenas ao significado parte-todo. Pesquisas como as de Garcia Silva (2007), Campos (2011) e Canova (2013) apontam que essa é a situação que está mais presente na escola quando do ensino das frações. Outro aspecto que observamos é que aquela seria a primeira oportunidade que elas estavam tendo em participar de um curso de formação em educação matemática. Portanto, é válido ressaltar a importância da participação das professoras em processos formativos, uma vez que estes podem contribuir para que o professor adquira [...] uma atitude profissional de maior empenhamento e investimento no ensino de Matemática, com maior consciência dos desafios que se colocam [...] maior sensibilidade para os problemas da aprendizagem da Matemática, maior conhecimento da Matemática a ensinar e de como o

83 83 fazer, maior predisposição para planificar de forma cuidadosa e aprofundada a aula de Matemática, maior conhecimento dos recursos a mobilizar (SERRAZINA, 2010, p. 21). Apresentada uma breve análise dos resultados do Questionário de Entrada, passaremos, na próxima seção, à descrição da análise do segundo instrumento diagnóstico referente às questões elaboradas pelas professoras (APÊNDICE 2) Questões elaboradas pelas professoras Na primeira parte do segundo instrumento diagnóstico solicitamos, às professoras, a elaboração e resolução de cinco situações envolvendo fração. Pedimos que escolhessem situações consideradas por elas como importantes para favorecer a introdução desse tema. Ao propor essa atividade, pretendíamos olhar para o tipo de situação elaborada, os significados explorados, bem como as estratégias utilizadas na resolução. Partindo desse princípio, a nossa análise constará de dois momentos: primeiramente, iremos analisar os significados de fração presentes em cada situação e se eram questões consistentes (C) ou inconsistentes (I) e os tipos de situações (de representação ou invariante). Em seguida, analisaremos as estratégias de resolução adotadas pelas professoras, verificando a consistência ou não das respostas Significados de fração explorados e tipos de situações elaboradas: 2º instrumento diagnóstico Na análise consideramos a classificação proposta por Nunes et al (2003): parte-todo, quociente, operador multiplicativo e quantidades intensivas. Os dados desta primeira análise revelaram que houve predominância em explorar o significado parte-todo, das 15 situações elaboradas, em 8 estavam presentes esse significado; seguido do significado operador multiplicativo, 05 delas. Percebe-se com isso que, 53,3% eram situações de parte-todo. O que nos faz inferir que, talvez, estes sejam os únicos significados conhecidos e/ou trabalhados pelas professoras em sala de aula. A tabela 5, a seguir, mostra essa primeira parte da nossa análise:

84 84 Professoras Tabela 5 - Significados de fração explorados nas situações elaboradas pelas professoras Significados Parte-todo Quociente Quantidades Intensivas Operador Multiplicativo C I C I C I C I TOTAL RENATA ANA MARCELA TOTAL Pelos dados da tabela, outro ponto que observamos é que nenhuma das professoras, assim como as demais professoras participantes do processo formativo, elaborou situação com o significado quociente. Esse é um dado que consideramos importante pelo fato de os documentos oficiais brasileiros proporem que o significado quociente seja também trabalhado com alunos dos anos iniciais do Ensino Fundamental. Também em razão de pesquisas como as realizadas por Nunes et al (2007); Mamede (2007); Campos (2011) e Canova (2013) revelarem que introduzir o ensino de frações utilizando-se de situações quociente pode favorecer a aprendizagem desse conceito. Outro aspecto que justifica a importância desse dado é que autores como Nunes têm chamado a atenção para o fato de que não existe transferência clara do conhecimento de notação aprendido em situações parte-todo para situações quociente em séries próximas ao ensino desta notação o que nos leva a inferir sobre a necessidade de que o professor dos anos iniciais favoreça ao aluno vivências utilizando também do quociente. Todavia cabe salientar que nesse grupo de professoras, todas elaboraram a quantidade de situações solicitada, fato que não ocorreu com todos os participantes da formação. As figuras 16, 17, e 18 a seguir ilustram essa primeira parte da nossa análise. Nelas estão alguns protocolos de situações, que consideramos consistentes, as quais foram elaboradas pelas professoras:

85 85 Protocolo Professora Renata Figura 16 - Situação elaborada pela Professora Renata 2º instrumento diagnóstico Protocolo Professora Ana Figura 17 - Situação elaborada pela Professora Ana 2º instrumento diagnóstico Protocolo Professora Marcela Figura 18 - Situação elaborada pela Professora Marcela - 2º instrumento diagnóstico sujeitos: A figura 19 mostra uma situação inconsistente que foi elaborada por um dos nossos

86 86 Protocolo Professora Renata Figura 19 - Situação elaborada pela Professora Renata 2º instrumento diagnóstico Essa é uma situação que consideramos inconsistente, uma vez que, embora nela esteja presente a ideia do significado parte-todo, em nenhum momento, no enunciado, a professora fez referência à quantidade de partes iguais que foi dividida cada uma das barras de chocolate. Do ponto de vista do que aponta o currículo do estado de São Paulo, os dados apresentados são significativos, uma vez que dos três significados apresentados para introduzir frações para alunos do quinto ano, as professoras elaboraram somente um tipo. O significado operador não é indicado por esse documento. A Teoria do Conhecimento para o Ensino de Matemática (MTK) instituída por Ball et al (2008), com base nos estudos de Shulman (1986) sobre as categorias de conhecimento para o ensino prevê os domínios necessários para o ensino de Matemática: o Conhecimento do Conteúdo da Disciplina (conhecimento matemático) e o Conhecimento Pedagógico do Conteúdo Matemático. Ao considerarmos tal teoria, analisando uma das vertentes do Conhecimento Pedagógico do Conteúdo Matemático: conhecimento do currículo, podemos inferir, a partir das situações elaboradas pelas professoras, haver lacunas nos processos de ensino e aprendizagem quando se trata de promover a introdução do conceito de fração. Essa inferência se deve ao fato de termos observado quanto ao tipo de situação elaborada que: A Professora Renata elaborou 04 situações em que explorava apenas a ideia de representação de frações e 01 em que explorava os invariantes ordem e equivalência. A Professora Ana elaborou 04 situações de representação e em 01 delas estava presente a ideia do invariante ordem. A Professora Marcela elaborou apenas situações de representação.

87 87 Em síntese, apresentamos, por meio da tabela 6, o resultado da nossa análise quanto aos significados e tipos de situações elaboradas. Tabela 6 - Número de significados e tipo de situações elaboradas pelas professoras Tipos de situações Significado Representar Invariantes Ordem Equivalência TOTAL Parte-todo Operador multiplicativo TOTAL Analisando a tabela 6, evidenciamos que os invariantes ordem e equivalência foram explorados em apenas uma das situações. Isso evidencia a maior preocupação dos nossos sujeitos com a elaboração de situações que envolvem a representação em detrimento de situações utilizando as ideias de ordem e equivalência. À luz da Teoria dos Campos Conceituais, que defende que na construção de um conceito matemático é necessário considerar um conjunto de situações que dará significado a esse conceito, um conjunto de invariantes operatórios em que objetos, propriedades estão inter-relacionados e um conjunto de representações que podem ser utilizadas para representar as situações, podemos inferir, mais uma vez, que a aprendizagem do conceito de fração parece dar-se de forma comprometida, dado não termos percebido tais características nas situações elaboradas nesse instrumento diagnóstico. Essa é uma dificuldade apontada por pesquisadores já na década de 90 quando Nunes e Bryant (1997) em seus estudos chamam a atenção para a forte tendência dos professores em trabalhar o conceito de fração utilizando principalmente o significado parte-todo. Seus estudos consideram a possibilidade de: [...] que esta lacuna seja uma consequência da aprendizagem do aluno de linguagem fracional na escola simplesmente através do procedimento de dupla contagem (NUNES E BRYANT 1997, p ).

88 88 Dessa forma, essas informações nos levam a inferir sobre a relevância da proposição da formação que buscou ampliar os conhecimentos dos nossos sujeitos tanto sobre situações parte-todo como quociente e também sobre seus invariantes. Passaremos à análise das respostas às situações elaboradas nesta primeira parte do segundo instrumento diagnóstico Respostas das professoras às situações elaboradas Dedicaremos esta seção à análise das respostas das professoras às situações, por elas elaboradas. Iremos caracterizá-las, segundo a resolução apresentada em respostas consistentes ou inconsistentes. Com isso acreditamos ser possível observar se as estratégias por elas utilizadas revelam o seu domínio ou não do conteúdo. Um primeiro aspecto que observamos é que as respostas nos revelam que, independente do tipo de situação elaborada (parte-todo ou operador multiplicativo), na resolução, as professoras utilizaram-se principalmente da ideia de partição, o que é mais um indício de que, possivelmente, elas promovem o ensino utilizando, sobretudo, do significado parte-todo. Protocolo Professora Ana Figura 20 - Resposta da Professora Ana à situação por ela elaborada 2º instrumento diagnóstico

89 89 Dentre as estratégias utilizadas na resolução das situações, houve predominância do procedimento de desenhos e/ou operações. Protocolo Professora Marcela Figura 21 - Resposta da Professora Marcela à situação por ela elaborada 2º instrumento diagnóstico Outra característica interessante observada nas situações elaboradas pelas professoras é a preocupação em apresentar um contexto próximo ao das crianças. As figuras 22, 23 e 24 ilustram uma situação elaborada por cada um dos nossos sujeitos de pesquisa, bem como a resposta dada a essas situações. Protocolo Professora Renata Figura 22 - Situação elaborada pela Professora Renata e sua resposta à mesma 2º instrumento diagnóstico

90 90 Na elaboração dessa situação, a Professora Renata partiu de uma situação do cotidiano. Quanto à resposta consideramos que a professora apresentou uma solução válida: ela se utilizou da ideia de operador para descobrir 3 1 das páginas do livro; fez uso também da ideia de proporcionalidade para calcular 3 2 do mesmo livro e ao final achou a diferença entre o total de página e 3 2 delas. Entretanto, vale ressaltar que a Professora Renata demonstrou 1 uma preocupação em apresentar seus dados de forma rigorosa, uma vez que indicou para A situação a seguir, foi apresentada pela Professora Ana. Protocolo Professora Ana Figura 23 - Situação elaborada pela Professora Ana e sua resposta à mesma 2º instrumento diagnóstico Mais uma vez percebemos a preocupação em elaborar uma situação do cotidiano da criança. A professora respondeu a questão e demonstrou sua preocupação em apresentar uma partilha equitativa. Analisando a resposta, consideramos que, possivelmente, ao elaborar o problema a Professora Ana pensou em uma caixa com 12 bombons, todavia não indicou esse dado na situação. Observa-se ainda que a situação envolve o significado parte-todo e a ideia dos invariantes, ordem e equivalência.

91 91 A seguir expomos a situação apresentada pela Professora Marcela. Protocolo Professora Marcela Figura 24 - Situação elaborada pela Professora Marcela e sua resposta à mesma 2º instrumento diagnóstico Nesta situação a professora também partiu de uma situação comum do dia a dia. Ela respondeu corretamente. Quanto à estratégia de resolução, nosso sujeito fez uso da partição e utilizou também a subtração. A partir dos exemplos de resposta apresentados, na tabela 7, registramos a síntese da nossa análise acerca das respostas que consideramos consistentes e que fizeram uso da estratégia do cálculo de algoritmos e respostas consistente que utilizaram como estratégia de resolução, a ideia de partição e, finalmente, das respostas que julgamos inconsistentes. Tabela 7 - Número de respostas consistentes e que fizeram uso da estratégia do cálculo de algoritmos, respostas consistentes que se utilizaram da estratégia de partição e número de respostas inconsistentes. Respostas Consistentes e que fizeram uso da estratégia do cálculo de algoritmos Respostas Consistentes e que se utilizaram da estratégia de Partição Respostas Inconsistentes Pelos dados da tabela 7, observamos que as professoras demonstraram resolver corretamente 93,3% das situações por elas elaboradas. As situações exploraram apenas dois

92 92 dos significados da fração e apresentaram um grau de dificuldade baixo, no sentido de que, as professoras utilizaram-se predominantemente da ideia da fração própria. Ressaltamos que ao solicitar a elaboração das situações procuramos investigar os conhecimentos do conteúdo e do ensino das professoras sobre os significados de fração, que, na perspectiva de Ball et al (2008), pressupõe a criação e escolha de exemplos e ilustrações que poderiam propiciar a compreensão do conceito de fração, por alunos dos anos iniciais do Ensino Fundamental. Assim, as análises que fizemos dessa primeira parte do segundo instrumento diagnóstico indicaram lacunas nos conhecimentos das professoras, sobretudo em relação ao conhecimento do significado quociente e ao seu ensino Respostas das professoras às situações propostas na segunda parte do segundo instrumento diagnóstico: significados parte-todo e quociente Esta seção será dedicada à análise do conhecimento profissional docente das professoras acerca do tema. Para tanto, iremos observar as respostas apresentadas, pelos sujeitos, às diferentes situações com fração propostas, no questionário diagnóstico, em que eram explorados os significados parte-todo e quociente. Um primeiro aspecto que observamos nas resoluções apresentadas pelos sujeitos à maioria das situações é que, de maneira geral, elas utilizaram-se como estratégia de procedimentos resolutivos, os desenhos. Estudos como os de Nunes et al (2005) apontam que os desenhos servem como apoio para a lógica (NUNES, 2005). Nesse sentido consideramos ser fundamental analisar a resolução de cada uma das situações Respostas às atividades com o significado parte-todo Objetivando facilitar o nosso olhar e a análise dos dados, decidimos categorizar os tipos de situação: de representação, de ordem e de equivalência.

93 93 Situações de representação No protocolo foram propostas três situações do tipo representação: a primeira delas, com ícone, em que era solicitado que fossem identificadas as duas figuras cuja parte pintada 7 corresponderia à fração ; a segunda não apresentava ícone e pedia que fosse identificada a 12 fração do todo que representaria a quantidade de torta que Rafael comeu, sabendo que ela foi dividida em oito pedaços e ele comeu dois. Observamos que todas as professoras responderam corretamente à primeira situação, conforme ilustra a figura 25: Professora Renata Professora Ana Professora Marcela Protocolos Professora Renata, Professora Ana e Professora Marcela Figura 25 - Resposta das Professoras Renata, Ana e Marcela à 1ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico Como podemos observar, as respostas não apresentaram nenhum indício do esquema de resolução que as professoras adotaram para essa situação. O mesmo ocorreu com a segunda situação. A terceira situação era a seguinte: Na padaria do Senhor Joaquim são oferecidas pizzas como a representada a seguir O garçom foi retirar duas mesas - mesa 1 e mesa 2- e observou que os fregueses não comeram todos os pedaços de pizza. Em seguida foi solicitado às professoras que, ao analisar a situação, elas representassem a fração de pizza que havia sobrado em cada mesa. Verificamos que as Professoras Marcela e Renata representaram corretamente as respectivas frações. A resposta

94 94 ao item a foi indicada nos estudos de Rodrigues (2005). Dessa forma, é possível perceber que as professoras identificaram o todo e as partes. O mesmo ocorreu com a Professora Ana. Verificamos, ainda, em relação à mesa 2, que as professoras representaram a fração na forma mista. Esse é um tipo de representação que não foi apontado por Rodrigues como possibilidade de resposta. Professora Marcela Professora Renata Protocolos Professoras Marcela e Renata Figura 26 - Resposta das Professoras Marcela e Renata à 4ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico A Professora Ana, no entanto, no segundo item, registrou uma representação que não condiz com a fração de pizza correspondente ao que havia sobrado na segunda mesa, como podemos observar na figura a seguir: Professora Ana Protocolo Professora Ana Figura 27- Resposta da Professora Ana à 4ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico Percebemos, na resposta apresentada pela professora, que ela modificou a unidade de referência ao considerar as duas pizzas da mesa 2 e não a fração de pizza que correspondia à quantidade restante na mesa. Essa é uma dificuldade apontada nos estudos de Rodrigues (2005). Apoiado nas ideias sobre o papel da unidade, desenvolvidas por Kieren (1981, 1993) e

95 95 Mack (1990), Rodrigues (2005) chama a atenção para a importância da compreensão do papel da unidade de referência como ideia fundamental na construção do conceito de fração. Situações que envolviam o invariante ordem Para verificarmos a compreensão das professoras em relação à ordenação de frações em situações com o significado parte-todo foram propostas duas situações. Dessa forma analisaremos as respostas dos sujeitos a cada uma delas, em particular. A primeira envolvia duas crianças, Bruna e Victor, que receberam uma barra de 3 chocolate de mesmo tamanho cada uma. Bruna comeu do chocolate dela e Victor comeu 5 3 do chocolate dele. Perguntado sobre quem comeu mais chocolate, foi apresentada a 4 resposta de um aluno fictício em que ele afirmou que Bruna e Victor comeram o mesmo tanto, porque os dois comeram três pedaços dos seus chocolates. Foi solicitado que as professoras avaliassem se a resposta apresentada pelo estudante estava certa ou errada e justificassem sua resposta. Ao final, pedimos ainda que as professoras apresentassem uma solução e estratégias de ensino que explicassem a melhor forma de resolver tal situação. As soluções apresentadas nos permitiram observar que as Professoras Ana e Renata responderam corretamente ao primeiro item, ao considerar que a resposta do aluno estava errada. Professora Renata Professora Ana Protocolos Professora Renata e Professora Ana Figura 28 - Resposta das Professoras Renata e Ana à 3ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico

96 96 Verificamos que para justificar suas respostas, as professoras apresentaram raciocínio semelhante: ambas referiram-se à quantidade de partes em que cada chocolate havia sido dividido. A Professora Ana fez referência à resposta do aluno, considerando que ele observou apenas o numerador e não o número de partes divididas. Nesse sentido, ela parece ter percebido a relação entre o numerador e o denominador. A Professora Renata, no entanto, referiu-se apenas à quantidade de pedaços, não os relacionando à fração correspondente. A Professora Marcela, no entanto, pois julgou, de maneira equivocada, que a resposta do aluno estava correta. Professora Marcela Protocolo Professora Marcela Figura 29 - Resposta da Professora Marcela à 3ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico A análise dos registros da professora indicam que ela considerou, assim como o aluno, apenas a quantidade de pedaços que Bruna e Victor comeram da pizza, 3 pedaços, sem considerar a diversidade de unidade de medida, ou seja, quartos e quintos. Vale ressaltar que nesse tipo de situação esperávamos que as professoras observassem as relações assimétricas da fração: a ideia de relação inversa entre denominador e a quantidade correspondente à fração [...] para o mesmo numerador, quanto maior o denominador, menor a fração (NUNES, et al, 2003, p. 3). Em relação às estratégias de ensino para essa situação, a Professora Marcela não apresentou resposta. A Professora Ana apenas referiu-se aos conhecimentos prévios, utilização de desenhos e materiais concretos sem, contudo, explicitar mais claramente como seria tais estratégias. Já a Professora Renata, apesar de ter apresentado uma estratégia válida,

97 97 não fez nenhuma referência à importância em considerar a equivalência de área (este é um aspecto fundamental no ensino de frações). Professora Renata Professora Ana Protocolos Professoras Ana e Renata Figura 30 - Estratégias de ensino apresentadas pelas Professoras Ana e Renata: 3ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico Em sintonia com Ball et al. (2008), na nossa análise sobre os Conhecimentos de Conteúdo e de Ensino e os Conhecimentos de Conteúdo e de Estudantes foi possível perceber que as professoras apresentam, ainda, dificuldades em interpretar o pensamento do aluno e em propor estratégia de ensino que favoreçam a compreensão do conceito de fração e o desenvolvimento de esquemas necessários à representação correta da fração correspondente à situação proposta. A outra situação que propomos acerca da ideia de ordenação de frações apresentava duas crianças: Ana e Marta. Cada uma possuía um chocolate: ambos idênticos. Foi solicitado que as professoras representassem a quantidade de chocolate que cada criança comeu, considerando que Ana dividiu o seu chocolate em 7 partes iguais das quais comeu 4 e Marta dividiu o seu chocolate em 10 partes iguais e comeu 5. O problema solicitava ainda, que as professoras analisassem quem comeu mais (Ana ou Marta) e que justificassem suas respostas. A análise dos protocolos nos mostra que todas as professoras representaram as frações correspondentes às quantidades de chocolate apresentadas na situação. As Professoras Marcela e Renata fizeram uso da mesma estratégia de resolução (por meio de desenhos). Porém, somente a Professora Renata identificou tal invariante.

98 98 Protocolo Professora Ana Figura 31 - Resposta da Professora Ana à 6ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico Protocolo Professora Marcela Figura 32 - Resposta da Professora Marcela à 6ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico

99 99 Protocolo Professora Renata Figura 33 - Respostas da Professora Renata à 6ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico Analisando as justificativas, percebemos que todas as professoras usaram a mesma lógica de raciocínio em seus argumentos. Porém tais argumentos não foram suficientes para a Professora Marcela perceber a ordenação entre as frações, pois considerou que metade do chocolate de Marta correspondia a uma quantidade maior do que a quantidade que Ana 1 comeu. Por outro lado, o registro da fração, contido no protocolo da Professora Ana, 2 parece ter favorecido a compreensão de que essa quantidade seria menor do que 7 4. A nossa hipótese é que a professora tomou como referência a metade que é representada por 2 1 e para descobrir que 7 4 era maior que a metade observou que o algarismo presente no numerador (4) representava mais do que a metade do representado no denominador (7).

100 100 Situação que envolvia o invariante da equivalência Para analisar a compreensão das professoras sobre a equivalência de frações com o significado parte-todo, propusemos uma situação em que um índio e uma índia possuem uma pizza idêntica, cada um. A situação sugere que o índio corta a sua pizza em 4 partes iguais e come uma e, a índia corta a sua pizza em 8 partes iguais e come duas. Com isso, é solicitada a representação fracionária que corresponde à quantidade que cada um come da pizza e que seja identificado quem come mais ou menos pizza ou se ambos comem a mesma quantidade. Em seguida, é solicitada, ainda, uma justificativa para a resposta dada à situação. A análise das resoluções revelou que as três professoras investigadas identificaram a equivalência das frações nessa situação, conforme podemos observar nos protocolos a seguir: Protocolo Professora Renata Figura 34 - Resposta da Professora Renata à 5ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico Protocolo Professora Marcela Figura 35 - Respostas da Professora Marcela à 5ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico

101 101 Protocolo Professora Ana Figura 36 - Respostas da Professora Ana à 5ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico Um ponto que consideramos importante nas respostas, das professoras, é que elas apresentaram argumentos diferentes para justificarem a equivalência entre as quantidades fracionárias. Professora Renta Professora Marcela Professora Ana Protocolos Professora Renata, Professora Marcela e Professora Ana Figura 37 - Justificativas das professoras referentes à resposta apresentada: 5ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico A Professora Renata utilizou-se da ideia de correspondência para justificar a equivalência entre as frações. A Professora Marcela, também, fez uso da ideia da proporcionalidade ao indicar que as quantidades eram percentualmente equivalentes. Por fim,

102 102 a Professora Ana referiu-se à quantidade de pedaços resultados da divisão, concluindo que as frações correspondentes são equivalentes Respostas às atividades com o significado quociente Ao analisar as respostas das professoras às situações com o significado quociente, observamos que todas elas também se utilizaram do esquema da partição para resolvê-las. Isso nos remete, mais uma vez, ao fato de que, possivelmente, promovem o ensino utilizandose, sobretudo, do significado parte-todo. No entanto, observamos que embora tenham representado corretamente a maioria das frações correspondentes a cada situação, ocorreram alguns equívocos no raciocínio das professoras, os quais iremos discutir mais adiante. Na análise iremos categorizar também por tipo de problemas: representação, ordem e equivalência: Situação de representação Foram propostas duas situações em que era solicitada apenas a representação fracionária das quantidades. Na primeira, foi solicitada a representação da fração referente a 4 chocolates que foram divididos igualmente com 5 crianças. Observamos que as Professoras Renata e Ana representaram a fração que indicava a quantidade de chocolate distribuída para cada criança. A Professora Marcela, no entanto, não representou a fração que resultaria na quantidade de chocolate que cada criança recebeu, conforme verificamos nas figuras:

103 103 Protocolo Professora Renata Figura 38 - Respostas da Professora Renata à 8ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico Protocolo Professora Ana Figura 39 - Respostas da Professora Ana à 8ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico

104 104 Protocolo Professora Marcela Figura 40 - Respostas da Professora Marcela à 8ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico Ao observar os protocolos, percebemos que as professoras tiveram raciocínio e apresentaram estratégias semelhantes. Os registros da Professora Ana sugerem que ela dividiu 1 cada chocolate em cinco partes, das quais considerou de cada chocolate para cada criança; 5 utilizando-se do algoritmo da adição, chegou à conclusão de que a fração que representa a 4 quantidade que cada criança recebeu do chocolate é. O mesmo raciocínio parece ter sido 5 utilizado pela Professora Renata ao desenhar as barra de chocolate, dividi-las em cinco partes 4 e tomar uma de cada, resultando na fração. A Professora Marcela, no entanto, embora 5 1 tenha utilizado um raciocínio correto, ao registrar a fração, talvez se referindo ao que cada 5 criança recebeu de cada chocolate, não apresentou uma resposta que confirmasse a nossa 4 hipótese de que ela adicionaria as frações de modo a obter, pois ao final indicou apenas o 5 total de pedaços em que os chocolates foram divididos sem, contudo, fazer a representação fracionária dessa quantidade. Percebemos na estratégia de resolução que as professoras aqui investigadas mobilizaram o mesmo teorema em ação, que deu origem a um esquema já apontado por outros pesquisadores (Carperter et al, 1994, apud Garcia Silva, 2007) e observado em outros estudos (Garcia Silva, 2007): que é dividir cada barra de chocolate em partes iguais e distribuir uma parte para cada uma das crianças.

105 105 Como as professoras utilizaram-se da partição para resolver a situação, julgamos que, de modo geral, mesmo as que responderam corretamente parecem não ter percebido uma ideia fundamental que só aparece em situações quociente: a presença de duas variáveis que podem ser interpretadas a partir de dois significados. Este problema, por exemplo, pode ser interpretado como a representação de 4 chocolates divididos por 5 crianças, como também a parte que cada criança recebeu do chocolate. Na segunda situação proposta, havia 2 bolos que foram divididos igualmente entre 5 pessoas. Passemos a observar o raciocínio das professoras ao representar a quantidade de bolo que cada pessoa recebeu. Professora Marcela Professora Renata Professora Ana Protocolos Professora Marcela, Professora Renata e Professora Ana Figura 41 - Resposta das Professoras Marcela, Renata e Ana à 9ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico Os registros no protocolo da Professora Ana sugerem que inicialmente ela dividiu cada bolo em 10 partes. Porém parece ter feito a simplificação dos termos, uma vez que registrou a fração 5 1 ; efetuando a adição das duas frações, concluiu que cada pessoa recebeu 2 de bolo. 5 Verificamos que a Professora Marcela também efetuou uma operação para chegar ao resultado. Já a Professora Renata utilizou-se da ideia de correspondência para apresentar uma solução à situação. Situação que envolvia o invariante equivalência A situação em que pretendíamos verificar a compreensão dos sujeitos da pesquisa em relação ao invariante equivalência em situações quociente consistia em afirmar que 6 pizzas idênticas seriam divididas igualmente entre 9 meninos. Da mesma forma, 3 meninas iriam dividir igualmente 2 pizzas idênticas. O problema solicitava a representação da quantidade de

106 106 pizza que cada menino e cada menina receberia. Além disso, solicitou ainda que fosse identificado quem comeu mais, menos ou se eles comeram a mesma quantidade. Por fim solicitamos que as professoras justificassem a resposta apresentada. Analisando as justificativas, percebemos que há indícios de que as Professoras Ana e Renata demonstraram compreender a lógica da equivalência entre as quantidades de pedaços. Protocolo Professora Ana Figura 42 - Respostas da Professora Ana à 7ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico Protocolo Professora Renata Figura 43 - Resposta da Professora Renata à 7ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico

107 107 Consideramos importante comentar os itens que mostram o raciocínio utilizado pelas professoras na identificação de tal invariante. Em relação à representação, observamos que a Professora Ana indicou, no espaço destinado a apresentar a resposta, a fração 4 6 para ambos (meninos e meninas). Possivelmente, ela considerou que cada menino recebeu 4 pedaços de 6 1 (ela dividiu cada 1 pizza em 6 pedaços) e as meninas também receberam 4 pedaços de. Dessa forma, há 6 indícios de que a professora considerou de forma correta como o todo referência, cada pizza. Todavia, os registros contidos ao lado da situação, nos fazem acreditar que, embora tenha respondido corretamente que ambos comeram a mesma quantidade, o processo de resolução não ocorreu de maneira imediata. A Professora Ana, a princípio, considerou como o todo referência, o número total de partes em que todas as pizzas foram divididas: 36 partes a dos meninos e 12 partes a das meninas. Em seguida, distribuiu as partes e descobriu que tanto os meninos como as meninas comeram 4 partes, o que, possivelmente, gerou as frações 4 4 e, respectivamente. Ao final, a Professora Ana simplificou as duas frações gerando e. Porém ela abandonou essa ideia inicial, passando a tomar como unidade de 9 3 referência a fração de pizza. A Professora Renata parece ter seguido a mesma linha de raciocínio. A sua justificativa, assim como a da Professora Ana, indica que os argumentos por elas apresentados estavam fundamentados na ideia de partição. Um aspecto importante, identificado, é que para essa situação a Professora Renata, assim como a Professora Ana, manteve a unidade de referência, tomando como base cada pizza. A Professora Marcela, no entanto, parece ter identificado apenas a equivalência entre as quantidades de pedaços de pizzas que cada menino e cada menina receberiam, ao perceber a proporcionalidade entre as partes sem, contudo, identificar a equivalência entre as quantidades fracionárias. 16 Durante a entrevista realizada um ano depois da formação a Professora Ana nos informou que onde se lê 4 1 : leia-se

108 108 Protocolo Professora Marcela Figura 44 - Resposta da Professora Marcela à 7ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico Observando o protocolo, percebemos que a professora dividiu os 9 pedaços de cada pizza entre três meninos, resultando em 3 pedaços. Como disse que cada menino receberia 2 pizzas, concluiu que cada um receberia 6 pedaços. O que a levou a representar incorretamente a fração, pois considerou como unidade de referência o número total de partes em que todas as pizzas foram divididas: 54 fatias a dos meninos e 18 fatias a das meninas e não as partes em que uma pizza foi dividida. Com isso ela mudou o referencial. Dessa forma, podemos inferir que se utilizar do esquema de partição, em situações quociente, pode induzir ao erro de mudar a unidade de referência. Esses registros nos sugerem que com as professoras ocorreu o que Nunes et al. (2005) observou quando investigou alunos, ou seja, que não houve, para esta situação, a transferência imediata do conhecimento de parte-todo para quociente. Situação que envolvia o invariante ordem A situação que proporcionou verificar a compreensão das professoras em relação à ordenação de frações foi a seguinte: Numa pizzaria haviam duas mesas ocupadas: uma com 4 meninas e outra com 5 meninos. Para a mesa das meninas foram pedidas 2 pizzas e para a mesa dos meninos foram pedidas 4 pizzas. A partir dessa situação, foi solicitado a representação da fração que indicava a quantidade de pizza que cada menina e cada menino comeu e que as professoras identificassem quem comeu mais e o porquê.

109 109 As Professoras Ana e Renata identificaram a ordenação entre as frações apresentadas e suas justificativas foram bem semelhantes, como podemos perceber nas figuras a seguir: Professora Ana Professora Renata Protocolos Professora Ana e Professora Renata Figura 45 - Resposta das Professoras Ana e Renata à 10ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico Observamos que mesmo tendo identificado a ordenação, a Professora Ana demonstrou dificuldade na representação da fração de pizza que cada menino comeu. Ela não apresentou 13 uma reposta válida, pois considerou que cada menino comeu de pizza. Para chegar a essa conclusão adicionou as frações Numa análise mais detalhada, percebemos que a professora, possivelmente pensou em dividir cada uma das pizzas dos meninos em quatro partes, ou seja, em quartos. Como eram quatro pizzas, considerou corretamente que no total teriam dezesseis pedaços de quartos. Ao dividir os dezesseis pedaços entre os cinco meninos, chegou à conclusão de que cada um 3 receberia três pedaços de quartos. Por isso o registro da fração. Esse raciocínio inicial 4 1 estava correto. Porém quando a professora foi realizar a divisão do de pizza restante entre 4 os cinco meninos ela equivocou-se duplamente: primeiro, ao mudar o referencial que 1 inicialmente era de pizza e passou a ser 4 pizzas ( de quatro pizzas) ; segundo, ao não 16 considerar que essa parte seria dividida entre os cinco meninos. Acreditamos que, possivelmente, os dois enganos sejam de natureza diferente, ou seja, enquanto o primeiro refere-se a um erro conceitual, o segundo pode ter ocorrido por desatenção. Isso nos faz

110 110 refletir sobre as implicações dessas dificuldades na prática pedagógica, especialmente, da relativa à conservação da unidade, uma vez que tal ideia é fundamental, sobretudo quando o professor utiliza-se do significado parte-todo. Já a Professora Renata parece não ter apresentado grandes dificuldades: utilizando-se do esquema de partição, fez a correspondência entre a quantidade de pizzas e a quantidade de meninas e meninos, identificando assim a relação de ordem entre as quantidades. Um ponto interessante é que as professoras partiram da ideia de metade para fazer a comparação entre as quantidades e chegarem à conclusão de que cada menino comeu uma quantidade maior de pizza do que cada menina. Nesse sentido, para essa situação, acreditamos que as professoras conseguiram estabelecer a relação existente entre o numerador e o denominador, o que não ocorreu na situação anterior. Todavia, vale ressaltar que nenhuma delas utilizou como estratégia a procura de frações equivalentes que representassem as duas situações ( 2 1 de pizza e 5 4 de pizza) a fim de comparar as duas situações, possivelmente porque a simples comparação com a ideia de metade permitiu resolver o problema. Salientamos ainda que para confirmar se esta estratégia seria utilizada ou não pelas professoras poderíamos ter apresentado também uma situação em que as frações a serem comparadas não possibilitassem a comparação com a metade, 7 9 poderíamos, por exemplo, pedir a comparação entre as frações e A Professora Marcela parece não ter reconhecido tal invariante, uma vez que não respondeu quem comeu mais. Protocolo Professora Marcela Figura 46 - Resposta da Professora Marcela à 10ª situação proposta 2º instrumento diagnóstico

111 111 Analisando os registros do protocolo, estes sugerem que o raciocínio inicial da Professora Marcela em relação à quantidade de pizza que cada menina comeu está correto: ao dividir cada pizza em 4 pedaços, considerou que cada menina comeu 4 1 de cada pizza. Porém ao juntar as duas partes de pizza que cada menina comeu considerou o total de pedaços das duas pizzas, adicionando numerador e denominador. O mesmo raciocínio foi utilizado para os meninos. O que diferencia é que ela considerou que cada menino comeu 4 pedaços do total de 4 pedaços em que ela dividiu as pizzas: 20, resultando em. Dessa forma, ela mudou o 20 referencial e fez a representação errada da fração. As análises que fizemos até o momento, nos permitiram perceber que o Conhecimento Especializado do Conteúdo (Ball et al, 2008) - introdução do conceito de frações- encontra-se fragilizado, uma vez que as professoras demonstraram dificuldades na resolução de situações com significado quociente. Isso nos remete à hipótese de que a falta de domínio do significado quociente compromete o conhecimento necessário para o ensino da introdução de frações. Quanto ao que Ball et al. (2008) definem como Conhecimento de Conteúdo e dos Estudantes, procuramos verificar, por meio de uma situação em que indicava um erro de uma aluna, como as professoras avaliariam esse erro e quais eram as propostas de intervenção que elas indicariam para o ensino. A Professora Marcela não respondeu essa situação. As Professoras Ana e Renata avaliaram corretamente, ao considerar que a aluna errou. Ela dividiu muito bem, mas não soube fazer a adição de fração. O mmc deveria ser 4, não 6. Não podemos somar os denominadores (PROFESSORA ANA). Ela acertou na representação, mas errou na operação; na adição não se pode somar os denominadores, e sim tirar o mmc [referindo-se ao mínimo múltiplo comum] (PROFESSORA RENATA). As afirmações das professoras acerca do erro da aluna estão baseadas no desenvolvimento da técnica do algoritmo, uma vez que ambas fazem referência apenas ao erro no cálculo da adição ou na ausência do cálculo do mínimo múltiplo comum. Em relação às propostas de encaminhamento, as duas sugeriram estratégias ligadas ao procedimento: Trabalhar operações com frações (PROFESSORA ANA).

112 112 Com isso, percebemos que nenhuma das professoras apontou o significado quociente como possibilidade para introduzir frações. Da mesma forma, não fizeram nenhuma referência acerca da importância em aprofundar sobre a equivalência de frações com os alunos. Dessa forma, consideramos que as resposta das professoras indicaram falhas também em relação ao que Ball et al. (2008) definem Conhecimento de Conteúdo e dos Estudantes. Nesse sentido, analisando os resultados aqui apresentados à luz das Teorias de Shulman (1986) e de Ball et al. (2008), acreditamos que a falta de domínio desse conteúdo específico, ou seja, a dificuldade de reconhecimento e compreensão do significado quociente da fração implicaria igual ausência de conhecimentos para o ensino da introdução das frações por meio do significado quociente. Por fim, o questionário apresentou quatro situações em que estavam presentes os significados quociente, parte-todo, razão e parte-todo, respectivamente e cuja resposta poderia 2 ser indicada pela fração. E foi solicitada às professoras que identificassem em quais delas 5 estavam presentes esses significados. Verificamos que todas as professoras responderam corretamente. Porém duas delas, as Professoras Ana e Renata afirmaram não terem segurança quanto à resposta apresentada. Seus argumentos revelam que elas não identificaram os significados da fração. A Professora Ana, por exemplo, afirma: Fui por eliminatória, comecei olhando pelo parte-todo. (PROFESSORA ANA). Da mesma forma, a Professora Renata assume: [...] eu iria na média de quantos na (A) (B) (C) e (D) como na minha mãe mandou (PROFESSORA RENATA). A Professora Marcela não apresentou resposta ao item. Em entrevista, ela afirma não ter respondido por não saber justificar. Na tabela 8 será descrito quantos dos nossos sujeitos acertaram ou erraram cada situação:

113 113 Tabela 8 Número de professoras que apresentaram uma resposta esperada às situações propostas no 2º instrumento diagnóstico ou que apresentaram outras respostas Situação / Significado Respostas esperadas Outras Respostas 1 / Parte-todo 3-2 / Parte-todo 3-3 / Parte-todo 2 1 Item a 3-4 / Parte-todo Item b 2 1 Item a 3-5 / Parte-todo Item b 3 - Item a 3-6 / Parte-todo Item b 3-7 / Quociente Item a 2 1 Item a / Quociente / Quociente 3 - Item a / Quociente Item b / Quociente 12 / Quociente, parte-todo, razão e parte-todo 3 - Diante das análises, dois aspectos que consideramos importantes merecem ser pensados: um primeiro aspecto está relacionado à compreensão dos invariantes operatórios da fração e o segundo sobre o papel da unidade de referência. Quanto ao primeiro aspecto, a compreensão dos invariantes lógicos, observamos que embora o significado parte-todo seja provavelmente o mais trabalhado pelas professoras, elas parecem não ter claramente o domínio do conceito de ordenação e de equivalência nem mesmo em situações com esse significado, uma vez que, em geral, as professoras se referiram

114 114 apenas a quantidade de pedaços sem estabelecer a relação existente entre o numerador e o denominador da fração correspondente à quantidade de partes a qual elas se referiram. O segundo aspecto está relacionado à importância em conservar a unidade de referência. Concordamos com Campos e Rodrigues (2007) quanto à importância desse conceito para a construção da ideia de fração: No caso específico do conceito de fração, a idéia de que as frações só têm sentido enquanto objetos matemáticos capazes de representar quantidades, de comparar quantidades ou de operar com essas quantidades, passa necessariamente pela idéia fundamental de que essas quantidades devem ser expressas segundo um mesmo referencial (CAMPOS E RODRIGUES, 2007, p.88) Consideramos, assim como esses pesquisadores, tal conhecimento como de fundamental importância. Nesse sentido, analisando tais resultados sob o ponto de vista de Ball et all (2008) e Shulman (1986), julgamos que a falta de compreensão dos invariantes ampliaria as dificuldades das professoras para ensinar o tema. A análise do ocorrido, durante a aplicação desse questionário preliminar, nos permitiu planejar as ações do processo formativo. Para ampliar a base de conhecimentos das professoras envolvidas para ensinar frações, precisaríamos além de trabalhar com outros significados que não o parte-todo, discutir questões ligadas à necessidade de fixação da unidade de referência e aos invariantes operatórios (equivalência e ordem). Além disso, procuramos também ampliar, durante o processo formativo, a ideia de reflexão, considerando que procuramos ir além da reflexão da própria prática na medida em que buscamos promover a reflexão coletiva a respeito das dificuldades enfrentadas nos processos de ensino e de aprendizagem das frações, relacionando-os com a ampliação do conhecimento de ideias fundamentais como a equivalência, ordem e unidade de referência.

115 115 CAPITULO 5 ANÁLISE DO PROCESSO FORMATIVO Neste capítulo descreveremos brevemente as reflexões das professoras, sujeitos da pesquisa, explicitadas durante o processo formativo. Como já foi descrito anteriormente, o módulo de formação cujo tema foi Representação fracionária do número racional desenvolveu-se com a participação de um grupo de professoras da rede estadual de São Paulo e pesquisadores em Educação Matemática no âmbito do Projeto Observatório da Educação. Reiteramos que duas das sessões do processo formativo foram destinadas à aplicação dos instrumentos diagnósticos, cuja finalidade foi subsidiar a análise da formação e atuação das professoras em relação à aprendizagem e ao ensino de Matemática, em especial, sobre as frações. Objetivávamos ainda analisar o Conhecimento Profissional Docente (Shulman,1986; Ball, 2008) e as reflexões (Serrazina, 1999) dos sujeitos acerca do tema. De maneira geral, a análise desses instrumentos nos permitiu observar que os sujeitos da nossa pesquisa apresentavam muito fortemente indícios de que realizavam o ensino desse tema utilizando-se apenas do significado parte-todo. Tal resultado foi identificado logo na primeira sessão, quando solicitamos às professoras a elaboração de situações envolvendo frações, uma vez que na maioria das situações elaboradas estavam presentes esse significado. Vejamos, por exemplo, uma das situações apresentadas pela Professora Ana: Camila estava ajudando sua mãe a fazer um bolo. Camila lia a receita enquanto a 1 mãe preparava a massa. Na receita Camila viu um número diferente:. Você sabe o que 2 significa? Por que ele é escrito dessa maneira? (PROFESSORA ANA). A discussão, que ocorreu no grupo em que as Professoras Ana e Renata participavam, sobre a resposta que a elaboradora apresentou ao problema, nos possibilitou perceber que elas pareciam demonstrar segurança ao discutirem a ideia de partição. Alguns trechos da discussão nos ajudam a observar esse fato: Na resposta, a Professora Ana fez o desenho de uma xícara e pintou até a metade e deu a seguinte explicação: dividimos a xícara em duas partes, mas usamos apenas uma parte (PROFESSORA ANA).

116 116 Questionada sobre o fato de ter dividido a xícara somente em duas partes e da possibilidade em dividi-la em quatro, a Professora Ana responde: [...] sim, daria, só que 1 aqui ela encontrou isso [referindo-se a fração ] (PROFESSORA ANA). 2 Uma professora do grupo continuava a questionar: Então! Mas aqui dividimos a xícara em duas partes. Se eu pegasse a xícara e dividisse em quatro partes e só pegássemos duas delas, não era metade? Então a divisão não é só em duas. Você pode dividir em quatro, pode dividir em dez, pega apenas cinco... (PROFESSORA SANDRA). Nesse diálogo, percebemos também uma discussão sobre o invariante da equivalência entre as frações, todavia não percebemos no diálogo referências a equivalência de área, mas nos pareceu que tal ideia estava implícita. Dessa forma, percebe-se que nesse encontro elas já identificam tal invariante em situações parte-todo. Passada a fase diagnóstica, e, após analisarmos os instrumentos, iniciou-se o processo formativo. Ainda nas primeiras sessões a Professora Formadora optou por comentar as respostas apresentadas nos instrumentos diagnósticos. Os depoimentos das professoras, nesse momento da formação, reforçaram o que já havíamos observado na análise dos instrumentos. Ao discutirmos uma das situações em que foi apresentada a resposta de um aluno fictício a uma situação que envolvia o invariante ordem, em situação parte-todo, verificamos que as professoras tinham clareza desse significado da fração. A situação envolvia duas crianças, Bruna e Victor. Ambos receberam uma barra de 3 chocolate de mesmo tamanho cada uma. Considerando que Bruna comeu do chocolate dela 5 3 e Victor comeu do chocolate dele, um aluno fictício afirmou que Bruna e Victor comeram 4 o mesmo tanto, pois os dois comeram três pedaços dos seus chocolates. Ao serem questionadas sobre a resposta do aluno, a Professora Renata afirmou que estava errada e argumentou: Porque ela [referindo-se à Bruna] dividiu em 5 [partes] e comeu 3 [delas]. Ele [referindo-se ao Victor] dividiu em 4. Ele comeu quase toda (PROFESSORA RENATA). A Professora Ana complementa argumentando que: eu acho que ele [referindo-se ao aluno fictício] só olhou o número de cima, ele não olhou em quantas partes foram divididas (PROFESSORA ANA). Por fim, a Professora Renata reafirma a sua resposta: Eu escrevi também errado. [referindo-se à resposta do aluno fictício]. Porque a Bruna dividiu [o chocolate] em 5 partes e

117 117 comeu 3. Já o Victor dividiu em partes maiores, por isso ele comeu mais. Mas comeu a mesma quantidade (PROFESSORA RENATA). Durante as discussões que ocorriam entre os professores, a formadora intervinha e, ao referir-se aos significados de fração que são orientados, nos documentos oficiais brasileiros (PCN), para serem trabalhados com os alunos nos anos iniciais da Educação Básica, percebemos que as professoras desconheciam esses significados. A Professora Renata assume isso ao afirmar: É! Eu não sabia esse negócio de razão, parte-todo [...] Eu não sabia. Estou aprendendo agora (PROFESSORA RENATA). Durante as discussões das situações com o significado quociente, contidas no instrumento diagnóstico, as professoras apresentaram bastantes dificuldades. Isso, provavelmente, ocorra em razão de elas utilizarem também, nessas situações, do esquema de partição para resolver as situações. Uma das situações apresentada era a seguinte: Nove meninos irão dividir igualmente 6 pizzas e não deve sobrar nada. Três meninas irão dividir igualmente 2 pizzas e também não deve sobrar nada. As pizzas são idênticas. Represente a fração que cada criança irá receber de pizza. Ao resolver, as professoras teriam que identificar a equivalência entre essas quantidades. Observemos os depoimentos de nossos sujeitos coletados durante a sessão de formação quando se apresentou a situação acima descrita: A Professora Marcela inicia a discussão ao afirmar: nove, cada pizza foi dividida em nove (PROFESSORA MARCELA). A Professora Renata apresenta como ela e o seu grupo pensaram em relação às pizzas dos meninos: Nós dividimos cada pizza em seis [pedaços]. Aí nós contamos: são seis pizzas. Cada uma com seis pedaços dá trinta e seis pedaços, dividimos por nove crianças, deu quatro pedaços para cada uma. Mas aí ficou quatro sextos... (PROFESSORA RENATA). Ao se referir às pizzas das meninas, ela afirma: Olha, assim: o outro você dividiu em nove [pedaços], cada uma comeu um pedaço de uma pizza. Esse nós dividimos em seis. Assim dois comeram de uma pizza... (PROFESSORA RENATA).

118 118 Nesse momento é possível perceber que a Professora Renata não conseguiu argumentar e concluir seu raciocínio. Porém a Professora Ana tenta apresentar outra forma de pensar: [...] é assim: uma pizza tem seis pedaços. Uma criança só pegou quatro; só que só sobraram dois, para a próxima [criança] pegar. Mas eu acho que tudo bem. De qualquer jeito eles são do mesmo tamanho, os pedaços (PROFESSORA ANA). Percebemos que mesmo respondendo de forma acertada, as professoras demonstraram encontrar mais dificuldades com situações quociente por utilizar a partição como esquema de ação. Depois dessa discussão, durante a intervenção, a Professora Formadora introduziu uma discussão sobre o significado quociente. Nesse momento já foi possível perceber que as professoras pareciam surpresas com as ideias contidas nesse significado. Esse foi um momento em que observamos uma desequilibração, conforme Piaget. Diante do exposto a Professora Renata fez o seguinte questionamento: Então quociente é divisão mesmo? (PROFESSORA RENATA). Passado esse primeiro momento de discussão sobre o significado quociente, a resposta à segunda situação proposta com esse significado foi imediata. A Professora Ana afirma, com convicção: É fácil: dois bolos divididos por cinco crianças... dois quintos (PROFESSORA ANA). E ainda exclamou, expressando surpresa: Nossa! É fácil (PROFESSORA ANA). Considerando todas as dificuldades evidenciadas durante as discussões das situações contidas nos instrumentos diagnósticos em relação aos significados da fração, optamos por aprofundar, durante o processo formativo, sobretudo as situações que envolviam a ideia de quociente. Nesse sentido, a formação foi conduzida de forma a oportunizar, às professoras participantes, reflexões sobre a introdução do conceito de fração por meio desse significado. Dessa forma, foi proposta, no encontro seguinte, a vivência de uma Sequência de tarefas, elaborada pela Professora Terezinha Nunes, apoiada na Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (1990) e nos estudos de Streefland (1991). A Sequência propõe introduzir o ensino das frações por meio do significado quociente. Após a vivência da Sequência no encontro de formação, as professoras a levaram para ser aplicada com seus alunos em sala de aula. Ao fazer tal atividade, foi possível discutir, com elas, durante as sessões da formação, os limites e as possibilidades dessa Sequência no ensino e na aprendizagem das frações.

119 119 Apresentaremos, a seguir, algumas das reflexões advindas desse momento da formação sobre a aplicação da Sequência de tarefas em sala de aula com os alunos. Para subsidiar nossa análise das reflexões, das professoras, acreditamos ser imprescindível descrever os depoimentos delas quanto à realização dessa atividade: [...] na minha quarta série onde a gente aplicou, [...] acho que teve bastante influência do parte-todo. Então em alguns momentos eles tinham dificuldade de pensar na fração como divisão por conta de ter já esse conhecimento do parte-todo. Eles ficavam o tempo todo retomando essa ideia e procurando justificar com parte-todo (PROFESSORA MARCELA). O meu é o primeiro ano [...] achei muito extenso [referindo-se à Sequência]. [...] eles não conheciam nada. Eu achei que eles não iam conseguir nada e, pelo contrário. Sabe aquela parte de divisão? Eles conseguiram, uma beleza... Foram que foram ótimos, maravilhosos (PROFESSORA RENATA). O meu é segundo ano [...] eles também não têm influência nenhuma de nada. Então para eles foi muito tranquilo. Assim essa parte de parte-todo, eles não têm essa noção. Então foi tranquilo: ah! Então tá! Essa pizza e põe aqui as crianças [referindo-se à fala do aluno sobre a forma como escreve a fração]. Também achei muito extenso para eles, a gente até acabou dividindo em dois dias porque não deu para fazer tudo em um e assim, se tivesse lido tudo de uma vez não daria. [...] porque para eles uma atividade tem que durar menos, muito tempo assim não dá (PROFESSORA ANA). Na análise dos depoimentos das professoras, descritos acima, verificamos dois aspectos que consideramos importantes: primeiro o fato de os alunos não terem experiência escolar anterior com o significado parte-todo e, ao realizarem as atividades da Sequência, demonstrarem melhor desempenho. O outro aspecto observado é que as professoras consideraram a Sequência extensa. Os depoimentos das professoras apresentam ainda os esquemas de ação de seus alunos ao resolverem as atividades da Sequência. A Professora Ana, por exemplo, relata que mesmo considerando que seus alunos não tiveram experiências escolares anteriores com situações parte-todo, eles apresentaram algumas estratégias partitivas: [...] teve um menininho, ele foi me explicar: dividiu esse, metade para esse, metade para esse; ele dividiu, fez o desenho dividiu e ele ia fazendo com o dedinho: esses para esses; esses para esses, para os bonequinhos (PROFESSORA ANA).

120 120 Observamos na descrição apresentada pela professora, evidências de sua constatação que também foi apontada pela Professora Renata. Quando foi naquela parte que eram nove crianças e seis chocolates. Uma dividiu bonitinho, ela falou: olha! Eu parto em três, em três, em três e dá nove; depois eu pego mais três divido em nove. Olha o que eu achei foi assim: com o chocolate foi fácil, agora quando chegou a da pizza, eles até pensaram; eles pensam, mas não sabiam como colocar no papel; porque, até então, eles ainda não sabem escrever direito, eles não sabem como colocar, mas eles tinham um raciocínio. Eles falavam assim: ah! dá para repartir em três. Só que na hora de repartir, eles repartiam em quatro. Porque eles não tinham a noção de como repartir a pizza em três. Mas eles pensam (PROFESSORA RENATA). Analisando o relato da professora sobre a dificuldade apresentada por seu aluno, constatamos, assim como afirma alguns teóricos que a divisão de uma grandeza contínua parece trivial, mas não é. A discussão de tal constatação será apresentada na próxima seção deste capítulo. Durante a aplicação do instrumento fizemos a videogravação da resolução de alguns alunos, o que nos permitiu observar algumas intervenções feitas pelas professoras. No depoimento da Professora Ana, percebemos sua ação ao questionar a resposta do aluno: [...] o que sobrou... mas aqui, olha sobrou três pedacinhos, e agora? Não pode sobrar nada. [referindo-se a própria fala]. Não esse aqui dá para os meninos que eles são mais legais. [referindo-se a resposta apresentada pelo aluno] Então os meninos vão ganhar um pouquinho a mais [...] [referindo-se ao novo questionamento feito por ela] ah! Guarda, come amanhã [referindose a resposta do aluno] (PROFESSORA ANA). Em relação à resposta do aluno, à intervenção feita pela professora, percebemos que ele apoiou-se, na resolução da situação, do seu conhecimento informal. Quanto à intervenção da professora, é possível verificar que ela apenas quis perceber como o aluno pensou sem, contudo, aprofundar na discussão, visto que essa não era a intenção da atividade proposta. A análise dos depoimentos das professoras, colhidos durante o processo formativo, nos permitiu também observar outro aspecto importante: elas consideraram que expressões contidas no enunciado como, por exemplo, a mesma quantidade, podem induzir à resposta assertiva do aluno. Sobre esse aspecto, vejamos o que diz a Professora Ana:

121 121 É! Até a gente comentou: por conta do enunciado, talvez tenha interferido um pouquinho. Porque ele fala: aí vão receber a mesma quantidade [...] Então, alguns falam: ué! a mesma quantidade. Porque estava no enunciado (PROFESSORA ANA). A situação a que a professora se refere propõe que 4 pessoas dividam igualmente 3 chocolates. A tarefa solicita, dentre outras atividades, que as crianças demonstrem como elas dividiriam as barras de chocolate e em seguida comparem a divisão que fizeram e, por fim, que respondam a seguinte pergunta: As duas formas de dividir podem dar a mesma quantidade para cada um? Ao propor a reflexão sobre os limites e possibilidades da Sequência para o ensino e a aprendizagem da introdução do conceito da fração, as professoras reconheceram aspectos positivos. A Professora Marcela, por exemplo, relata: [...] depois da aplicação dessa atividade, o retorno nas falas deles foram muito significativas [...] eles gostaram muito e teve uma aluna que me chamou atenção especial porque ela falou assim: professora eu não sabia dividir, eu não gostava de dividir [...] porque eu sempre ficava com o pedaço menor. Então ela viu a possibilidade de ser igual. [...] Então isso ficou muito forte nela, essa questão da divisão (PROFESSORA MARCELA). O depoimento da Professora Marcela nos permite afirmar que os objetivos da Sequência, com esse grupo de alunos, foram alcançados. De acordo com Nunes et al. (2003), a finalidade da Sequência é introduzir o conceito de fração por meio do processo de divisão indicada, favorecendo o aluno a apoiar-se no seu conhecimento informal, pois considera que situações quociente partem da ideia intuitiva do aluno. A Professora Ana também considera a influência positiva da Sequência nas suas atividades de sala de aula. Hoje eu li também, na minha sala, a história do Ali Babá, Ali Babá e os quarenta ladrões e aí no final lá fala que pegaram lá a fortuna [...] o rei dividiu, e dividiu para as pessoas pobres, só que ele achou justo que o Ali Babá ficasse com um terço. [...] eu acho que antes dessa vivência teria passado desapercebido. Aí hoje uma menina falou: esse negócio do terço foi daquela folhinha que a gente fez quando a moça veio aqui? [relatando o questionamento da aluna] É. [referindo-se a resposta dela] Daí deu para a gente voltar nisso. Ah! Então o que vocês acham que é um terço que a gente aprendeu? [...] quanto que era o tesouro? [...] então deu para retomar; isso às vezes é uma coisa que vai ficar, assim pelo menos alguns já interiorizaram alguma coisa (PROFESSORA ANA).

122 122 A experiência relatada pela Professora Ana evidencia o que Garcia Silva (2007) também aponta como resultado das reflexões realizadas com seus sujeitos de pesquisa. Consideramos que a reflexão durante nossa intervenção favoreceu algumas mudanças importantes: Quanto à prática pedagógica, com a discussão das possibilidades de trabalhar o tema, utilizando literatura infantil e materiais manipuláveis, como meios possíveis de contextualizar uma situação (GARCIA SILVA, 2007, p. 277). Dessa forma, observamos assim como Garcia Silva (2007) que a formação favoreceu a reflexão da prática pedagógica, sobretudo, da Professora Ana, uma vez que ela percebeu a possibilidade de explorar ideias do conteúdo matemático em um contexto literário. Para ilustrar as reflexões dos nossos sujeitos acerca da atividade desenvolvida em sala de aula, acreditamos ser importante apresentarmos também as análises que fizemos dos protocolos dos alunos. Dessa forma, a seção a seguir será dedicada a tal apresentação Respostas dos Alunos à Sequência de Tarefas: análise e discussão dos dados A Sequência era composta por quatro situações, das quais apresentaremos a análise de duas delas, uma vez que elas são suficientes e constituíram base fundamental para as reflexões sobre frações dentro do processo formativo. Na aplicação da Sequência, os alunos foram dispostos em carteiras individuais; cada criança recebeu um caderninho contendo as ilustrações das questões propostas; nele cada aluno, individualmente, registrava sua resposta às questões que foram apresentadas em Power point e lidas pela professora. Em um momento da atividade, as crianças eram estimuladas a refletir sobre suas respostas e a comparar com a do seu colega ao lado. Durante a realização das atividades também fizemos registros com a utilização de recursos audiovisuais. Apresentaremos a análise relativa à produção dos alunos da Professora Renata, da Professora Ana e da Professora Marcela. Tratam-se de alunos do 1º, 2º e 5º anos, respectivamente, do Ensino Fundamental. Participaram dessa atividade dezoito alunos do 1º ano, vinte do 2º e vinte do 5º ano. Antes, porém, acreditamos ser necessário apresentar cada situação para que o leitor possa melhor compreender.

123 123 A primeira situação da Sequência que iremos analisar é a que segue: 2ª situação Quatro pessoas vão dividir 3 chocolates igualmente. 1- Vai ser possível dar uma barra para cada um? 2- Vai ser possível dar pelo menos metade para cada um? 3- Como você dividiria as barras de chocolate? Figura 47 - Sequência de Tarefas: 2ª situação De acordo com Nunes et al., a finalidade dessa atividade é introduzir o conceito de fração por meio do processo de divisão indicada, favorecendo o aluno a apoiar-se no seu conhecimento informal. Com relação a essa situação, observamos que onze crianças do 1º ano, dezessete do 2º ano e as vinte crianças do 5º ano, afirmaram, de maneira assertiva, ao responderem no primeiro item, não ser possível dar uma barra de chocolate para cada pessoa. O fato de a maioria dos alunos responderem corretamente ao item já era esperado, uma vez que acreditávamos, assim como Nunes et al (2005), apoiadas em Strefland (1990) que eles iriam fazer uso do pensamento intuitivo. No que se refere à pergunta constante no segundo item, quinze crianças do 1º ano, treze do 2º ano e dezenove crianças do 5º ano, disseram ser possível dar a cada pessoa pelo menos metade do chocolate. Essas informações nos permitem inferir que os alunos compreenderam a situação proposta. No entanto, a análise das gravações feitas durante a realização da atividade nos

124 124 permite observar que, alguns alunos do 1º ano, não levaram em consideração o tamanho do pedaço que seria dado a cada pessoa. O Vinícius, por exemplo, ao ser questionado sobre a possibilidade de que cada pessoa receba pelo menos metade do chocolate, responde sim, porém justifica da seguinte maneira: [...] porque tem três barrinhas; quatro crianças [...] dividir dá uma para ele [indicando uma barra inteira dividida ao meio para o menino de boné], uma para ele [indicando uma outra barra inteira dividida ao meio para o outro menino]e uma para elas duas [indicando uma metade de barra para cada uma das meninas] (VINÍCIUS). Vejamos imagens do vídeo em que o aluno faz as afirmativas descritas acima: Estratégia de resolução apresentada pelo Vinícius Aluno do 1º Ano Figura 48 - Imagens vídeo do Aluno Vinícius - 1º Ano Observamos que o Vinícius, assim como outros sete estudantes do 1º ano, já possuem a ideia de metade do inteiro e que sua maior preocupação foi em verificar se cada pessoa receberia, pelo menos, a metade do chocolate, mas não atentou para o fato de que os chocolates deveriam ser divididos igualmente entre as quatro pessoas. Isso nos faz inferir sobre a possível dificuldade que os alunos menores apresentam quando se trata de situações em que diversos itens se interrelacionam. Na análise das respostas apresentadas pelos alunos em relação ao terceiro item, em que era solicitada a demonstração da maneira como dividiria as três barras de chocolates com as quatro pessoas, verificamos, dentre as crianças que apresentaram uma resposta válida, que elas utilizaram-se de duas estratégias: dividiram duas barras de chocolate ao meio e uma em quartos, e fizeram a distribuição entre as quatro pessoas;

125 125 dividiram cada uma das três barras de chocolate em quatro partes iguais e distribuíram uma parte de cada uma das barras para cada pessoa. A primeira estratégia de resolução foi utilizada por um aluno do 1º ano e dois alunos do 2º ano, conforme ilustra imagens a seguir: Estratégia de resolução apresentada pelo Fábio Aluno do 2º Ano Figura 49 - Imagens vídeo de Aluno Fábio - 2º Ano Essa mesma estratégia foi utilizada pelos alunos Artur e Mateus do 5ª ano, conforme ilustram figuras a seguir: Estratégia de resolução adotada pelo Artur Aluno Estratégia de resolução adotada pelo Mateus Aluno do 5º Ano do 5º Ano Figura 50 - Protocolos dos Alunos Artur e Mateus - 5º Ano

126 126 Essa representação foi a apresentada pela maioria dos alunos do 5º ano (treze). Durante a aplicação da Sequência, tal fato nos chamou a atenção e resolvemos questionar o Artur sobre sua forma de pensar, ele justificou: esse daqui divide; tora no meio aí divide para essas duas pessoas; esse daqui divide com esses dois e esse daqui tora em quatro pedaços para dividir com eles (ARTUR). Dentre esses alunos do 5º ano, que se valeram de tal estratégia, observamos que a divisão do último chocolate não foi imediata para todos os estudantes. Observamos que o João, por exemplo, dividiu os três chocolates ao meio e, ao distribuí-los, possivelmente percebeu que teria que dividir novamente as duas últimas metades ao meio, mais uma vez. Estratégia de resolução apresentada pelo João - Aluno do 5º Ano Figura 51 - Protocolo do Aluno João - 5º Ano Assim como o João, outro estudante dividiu as três barras ao meio e repartiu a ultima em oito pedaços, justificando eu divido no meio, mas vai sobrar mais um inteiro e dá para cortar em 4 pedaços para cada um (CAIO). Quanto aos alunos do 2º ano que se utilizaram dessa estratégia, alguns não fizeram relação com a área. Analisando a fala do Pedro, percebemos que, ao distribuir os chocolates com as pessoas, ele considerou apenas a quantidade de pedaços, sem se preocupar com o tamanho da fatia que cada uma iria receber. Ao ser solicitado para demonstrar a maneira como fez a divisão, Pedro confirmou o que já havíamos percebido anteriormente: A gente dá duas metades para ela e duas metades para ela [...] [referindo-se à primeira barra de chocolate que ele havia dividido em quatro partes] (...) duas para ele e duas para ele [referindo-se à segunda e terceira barras de chocolate que ele havia dividido ao meio] [...] um chocolate é para as duas; aí tem que ficar duas, aí tem que ficar dois pedacinhos para eles (PEDRO).

127 127 Ainda analisando as gravações feitas durante a realização da atividade com os alunos do 2º ano, percebemos que para o Lucas, foi ainda mais difícil chegar a essa forma de dividir. Vejamos como se deu o raciocínio do referido aluno: De princípio, ele quis dividir cada chocolate em quatro partes: Eu coloquei assim, olha: eu já coloquei de uma em uma [...] três barras. Já dividi de uma em uma. Quanto ficou? Ficou um, dois, três, quatro, cinco. Ficou cinco (LUCAS). E continua a pensar em voz alta: Mas são quatro pessoas. Aí vai sobrar um pedacinho... (LUCAS), conforme mostra imagem: Protocolo Lucas Aluno do 2º Ano Figura 52 - Imagem vídeo 1: Aluno Lucas - 2º Ano Dessa forma, o aluno continua a buscar uma resposta que satisfaça o que lhe é proposto na situação: Será que dá pra dividir de dois em dois? (LUCAS). Outra criança sugere: dá para dividir em três para cada (PATRÍCIA). O Lucas responde: Não vai dá pra dividir em três. Fica nove; não vai dá pra todo mundo (LUCAS). Percebemos na imagem, a seguir, que o Lucas continua a pensar, e chega a uma nova conclusão:

128 128 Protocolo Lucas Aluno do 2º Ano Figura 53 - Imagem vídeo 2: Aluno Lucas - 2º Ano Dá para dividir em dez. Eu vou dá duas barras, dois pedacinhos para cada um; fica dez... dá para dividir? (LUCAS). A imagem a seguir revela que ele apaga e começa a fazer nova divisão: Protocolo Lucas Aluno do 2º ano Figura 54 - Imagem vídeo 3: Aluno Lucas - 2º Ano Nesse momento, questionamos como ele fará para dividir com as quatro pessoas e ele nos responde, conforme ilustrações a seguir: Dois pedaços para ela. Fica dois para ela; aí sobra mais dois, eu dou para ele; sobra mais dois eu dou para ele (LUCAS).

129 129 Protocolo Lucas Aluno do 2º Ano Figura 55 - Imagem vídeo 4: Aluno Lucas - 2º Ano Ao contar novamente, o estudante percebe que não será possível fazer a divisão de forma equitativa: [...] um, dois, três, quatro; não vai dá (LUCAS). Contudo, continua a pensar, a contar e a buscar uma nova forma de dividir: Dá para dividir em oito [...] aí dá dois para cada um; dois pedaços para cada uma pessoa [...] A primeira barra eu dividi em dois; aí eu divido a outra em dois; aí eu divido a outra em dois. Fica oito pedaços; aí eu dou dois pedaços pra ela, dois pedaços pra ela, dois pedaços pra ele e dois pedaços pra ele (LUCAS). Protocolo Lucas Aluno do 2º Ano Figura 56 - Imagem vídeo 5: Aluno Lucas - 2º Ano Após fazer nova divisão, afirma: Eu divido assim, essa aqui em dois, essa aqui em dois e essa aqui em dois. [referindo-se a cada barra de chocolate] Fica quanto? Um, dois, três, quatro, cinco, seis. Fica seis (LUCAS).

130 130 Nesse momento a criança pensa em voz alta: Esse daqui eu dou para esse; esse daqui eu dou para esse. [correlacionando as duas primeiras barras de chocolate com as quatro pessoas] (LUCAS), conforme imagem a seguir: Protocolo Lucas Aluno do 2º Ano Figura 57 - Imagem vídeo 6: Aluno Lucas - 2º Ano Percebemos que nesse momento houve uma pausa. Então perguntamos o que ele iria fazer com os outros dois pedaços que sobraram, nos referindo à terceira barra de chocolate e o Júnior inicia nova divisão e chega à seguinte conclusão: Dividir eles em... Ah! Já entendi. Eu divido eles em mais [...]: um pedaço para ela, um pedaço para ela, um pedaço para ele. Um pedaço para ele [...] aí sobrou uma barra inteira. [...] aí eu divido em quatro pedaços, aí eu dou para cada um, um pedaço. Aí fica com duas barras eles; fica com dois pedacinhos de barra (LUCAS). A seguir, imagens da construção do pensamento conclusivo do aluno sobre a divisão dos três chocolates para as quatro pessoas:

131 131 Protocolos Lucas Aluno do 2º ano Figura 58 - Imagens vídeo 7: Aluno Lucas - 2º Ano Nesse sentido, de acordo com nossa análise, é possível perceber que na construção e compreensão da ideia de partição, o aluno estabeleceu ligações e rupturas entre conhecimentos (Vergnaud, 1993). A análise que fizemos da situação, nos permite, ainda, afirmar que o estudante fez uso de esquemas que lhe possibilitou adquirir novas competências a partir da reflexão, da exploração e de tentativas e erros. Dessa forma, na busca da resolução, ele estabeleceu relações entre conhecimentos advindos de seu repertório, mas também desenvolveu competências ainda não adquiridas por ele, por meio das quais compreendeu novas ideias. A outra estratégia identificada e utilizada por seis alunos do 2º ano e quatro alunos do 5º ano foi dividir cada uma das três barras de chocolate em quatro partes iguais e distribuir 1 uma parte de cada uma das barras para cada pessoa, ou seja, de barra para cada pessoa. Já 4 os alunos do 1º ano não fizeram uso de tal estratégia de resolução. Estratégia de resolução apresentada pelo José Estratégia de resolução apresentada pelo Júnior Aluno do 2º Ano Aluno do 5º Ano Figura 59 - Protocolos dos Alunos José e Júnior - 2º e 5º Ano

132 132 Observando as estratégias utilizadas pelas crianças, pudemos perceber que elas são as mesmas indicadas por Garcia Silva (2007). A autora apoiada nos estudos de Carperter (1994) observou também as duas estratégias aqui identificadas. É importante notar que, mesmo não sendo perguntado sobre que fração representava a parte que cada pessoa iria ganhar, dois alunos do 5º ano representaram também por meio de fração. O aluno Wesley representou e Ubiraci respondeu. Como não entrevistamos os dois alunos, pudemos inferir que Wesley indicou as duas frações de chocolate distribuídas, mas não a fração total que representava os dois pedaços; já Ubiraci ao dividir o chocolate em quartos verificou o que cabia a cada pessoa. Estratégia de resolução apresentada pelo Wesley Estratégia de resolução apresentada pelo Ubiraci Aluno do 5ºAno Aluno do 5ºAno Figura 60 - Protocolos dos Alunos Wesley e Ubiraci - 5º Ano Ainda em relação ao item 3, um aluno do 2º ano parece ter se aproximado do caminho descrito por Behr et al. (1992), ou seja, as três barras são unidas, formando uma unidade que é dividida em quatro.

133 133 Estratégia: Carlos Aluno do 2º Ano Figura 61 - Protocolo do Aluno Carlos - 2º Ano Três alunos do 5º ano e oito alunos do 1º ano não apresentaram uma resposta válida para o item: dez deles dividiram os chocolates em meios, possivelmente por acreditar que deveriam encontrar uma forma de dividir todos os chocolates em partes iguais (mesma área). Já o terceiro aluno dividiu cada chocolate em cinco pedaços. Apresentamos a seguir os protocolos dos alunos do 1º e 5º ano: Estratégia: Bruna Aluna do 1º Ano Estratégia: Paloma Aluna do 5º Ano Figura 62 - Protocolos das Alunas Bruna e Paloma - 1º e 5º Ano

134 134 Estratégia: Ubirajara 5º ano Figura 63: Protocolo do Aluno Ubirajara - 5º Ano Analisando a estratégia utilizada pelo Ubirajara, aluno do 5º ano, observamos que ele possivelmente utilizou-se da ideia de que deveria fazer quatro cortes no chocolate para que pudesse dividi-lo em quatro partes. Reiteramos que a divisão de uma grandeza contínua parece trivial, mas não é. Já em 1960 Piaget, Inhelder e Szeminska afirmavam que a compreensão de frações implicava a construção de invariantes que serviriam como base para a organização das ações da criança. Dos invariantes citados pelos autores, um deles diz respeito à necessidade de saber sobre a relação existente entre o número de partes e o número de cortes necessários para obter as partes, ou seja, que para dividir um todo contínuo em quatro partes iguais serão necessários apenas três cortes. Nesse sentido, como apontado por Piaget et al (1960), o estudante precisa antecipar o número de cortes que irá produzir e também prever onde esses cortes devem ser feitos de forma a garantir que todas as partes tenham a mesma área (conservação de área). Ressalte-se que um aspecto que consideramos importante, nessa análise, é que a partir dessa situação, os estudantes foram levados a levantar hipóteses e a fazer uso dos conceitos matemáticos já conhecidos por eles, como por exemplo, o conceito de divisão, assim como apontado por Nunes et al. Um resultado que consideramos relevante também diz respeito à importância da mediação do professor. Sob o nosso ponto de vista esse papel é fundamental uma vez que sua intervenção poderá potencializar as reflexões dos estudantes. Assim acreditamos que se o professor estimular a discussão, solicitando que os alunos comparem as diferentes representações, isso possibilitará a busca de diferentes estratégias de resolução. Pois, por meio

135 135 dos questionamentos realizados pelo investigador, observados durante as gravações, pudemos perceber o movimento de (re)elaboração das estratégias dos alunos. Apresentaremos, a seguir, uma síntese das respostas dos alunos a essa situação: Tabela 9: Respostas dos alunos à 2ª situação proposta na Sequência de Tarefas Desenvolvida essa atividade, a Sequência propõe que seja feito o ensino da representação fracionária por meio das ideais contidas no significado quociente. Posterior ao ensino é proposta uma nova situação a qual passaremos à descrição da análise. A terceira situação da Sequência propõe trabalhar com o invariante equivalência.

136 136 3ª situação Seis crianças foram a uma pizzaria e pediram duas pizzas para repartir igualmente. O garçom era muito simpático e trouxe uma pizza de cada vez para eles não deixarem a pizza esfriar. 1. Como eles podem dividir a pizza? Que fração da primeira pizza cada um vai ganhar? 2. Quando o garçom trouxer a segunda pizza, quanto cada um vai ganhar? 3. Que fração cada um vai ganhar ao todo? 4. Se o garçom trouxer as duas pizzas de uma vez, eles podem dividir de outra maneira? Como? Que fração da pizza cada um vai ganhar? 5. Veja essa duas frações. Você acha que elas mostram a mesma quantidade de pizza? Como você chegou a essa conclusão? Figura 64 - Sequência de Tarefas: 3ª Situação Esta situação foi desenvolvida com o objetivo de investigar os argumentos utilizados por estudantes durante a resolução de tarefas sobre equivalência de frações apresentadas na situação Quociente. Antes de trazermos a análise sobre a percepção das crianças acerca dessa ideia, apresentaremos as respostas dadas aos outros itens propostos na situação. Em relação ao primeiro item observamos que, embora os alunos tenham expressado de modos diferentes, a maioria do1º ano (treze) e do 2º ano (quatorze) chegaram a uma resposta 1 válida referindo-se a fração de para a porção da pizza que cada criança iria comer. O 6 mesmo ocorreu com todos os alunos do 5º ano. Dentre os alunos do 1º ano que não apresentaram uma resposta válida, dois

137 137 1 responderam ; dois fizeram apenas rabiscos e um respondeu 6, talvez se referindo à 2 quantidade de crianças apresentadas na situação. Quanto aos alunos do 2º ano, um respondeu cortando 1 ; os demais (cinco) não responderam ao item. No que se refere ao segundo item, seis alunos do 1º ano, doze do 2º ano e quatorze alunos do 5º ano responderam de maneira assertiva que a fração da outra pizza também seria 1. 6 As demais respostas apresentadas foram: 2 1 (três alunos do 1º ano e um do 2º ano), 2 (quatro alunos do 1º ano), 6 (um aluno do 1º ano), 2 (um aluno do 1º ano) e 1 6 para 6 crianças (um aluno do 2º ano). Três alunos do 1º ano e seis do 2º ano não apresentaram resposta. Ainda em relação a esse item, três estudantes do 5º ano referiram-se apenas à quantidade de pedaços indicando que seriam 2 (pedaços); um aluno respondeu: eles repartem a outra e comem 12 referindo-se ao total de pedaços das duas pizzas; e uma criança respondeu 1. 2 Nesse sentido, inferimos que os alunos que responderam não levaram em 6 consideração o todo referência; os alunos que responderam 6 estavam se referindo à quantidade de crianças apresentadas na situação. Por fim, os alunos que responderam 2 estavam se referindo à quantidade de pedaços de pizza que cada criança ganharia. Em relação ao terceiro item, em que era perguntado a fração de pizza que cada criança ganharia ao todo, oito alunos do 1º ano, quatorze do 2º ano e treze do 5º ano responderam 2 assertivamente, dizendo que cada criança ganharia ao todo de pizza. 6 As respostas não consideradas válidas foram: 2 1 (um aluno do 1º ano), 6 1 (três 1 alunos do 1º ano), 6 (três alunos do 1º ano); (um aluno do 2º ano) e 2 (dois alunos 4 do 5º ano). Dois alunos do 1º ano e cinco do 2º ano não responderam. Ainda em relação ao terceiro item uma criança do 5º ano respondeu: com duas pizzas dá para cada um comer duas fatias ; outra respondeu: vai ganhar 2 pedaços para cada criança e duas crianças responderam: 2, talvez fazendo também referência a dois pedaços

138 138 de pizza. Analisando os itens 4 e 5, temos uma ideia de como os alunos lidam com o invariante equivalência. Com relação ao quarto item, percebemos com os alunos do 1º ano, que duas respostas consideradas válidas foram apresentadas: dividiu cada pizza em 3 partes: dois alunos dividiu cada pizza em 6 partes: dois alunos. Os demais alunos ou dividiram a pizza de diferentes maneiras ou não responderam o item: dividiu uma pizza ao meio e a outra em quartos: três alunos. dividiu uma pizza em 5 partes e a outra em meios: um aluno. dividiu uma pizza em 4 partes e a outra em oito: um aluno. dividiu cada pizza em quartos: dois alunos. dividiu cada pizza em 8 pedaços: um aluno. dividiu uma pizza em 8 pedaços retangulares e outra em 5 pedaços: um aluno. dividiu cada pizza em 7 partes: um aluno. Já os alunos 2º ano, um fez a divisão da pizza em 6 partes e um aluno dividiu também em 6 partes, porém na forma retangular; os demais alunos não deram resposta ao item. Vale ressaltar que nenhum aluno do 1º ou 2º ano fizeram o registro da fração correspondente. Ao analisarmos as respostas dos alunos do 5º ano quanto a outras formas de dividir a pizza que cada criança ganharia, se o garçom trouxesse as duas de uma só vez, percebemos que dez alunos responderam corretamente. Porém somente cinco deles fizeram a representação fracionária da quantidade, como podemos observar nas figuras a seguir: Estratégia: Victor - Aluno do 5º ano Estratégia: Fernanda Aluna do 5º ano Figura 65 - Protocolos dos Alunos Victor e Fernanda - 5º Ano

139 139 Já em relação ao item cinco, em que os alunos deveriam comparar as frações que encontraram, verificando se estas representavam a mesma quantidade, eles não expressaram compreender plenamente a ideia de equivalência, uma vez que mesmo aqueles que fizeram a representação fracionária, responderam não a este item. Porém, os alunos que se referiram apenas à quantidade de pedaços, disseram que os pedaços representavam a mesma quantidade (alunos do 5º ano). Os alunos do 1º e 2º ano não apresentaram resposta a este item. A seguir uma síntese das respostas dos alunos a essa situação: Tabela 10 - Respostas dos alunos à 3ª situação proposta na Sequência de Tarefas

140 140

141 141 Acreditamos ser fundamental, a partir da descrição da análise, destacar dois aspectos que consideramos importante, observados com os alunos do 1º e 2º ano em relação à situação proposta: Primeiro em relação à divisão da pizza em três partes, observado pela pesquisadora durante a aplicação da Sequência: alguns alunos que disseram ser possível dividir cada pizza em três pedaços não conseguiram fazer tal divisão no desenho. O segundo aspecto é em relação à representação. Percebemos que mesmo os alunos que não fizeram uso do desenho representaram corretamente a fração de pizza. Esse fato nos permite acreditar que o ensino de fração por meio da ideia de quociente favoreceu a compreensão da representação fracionária da situação. O aluno Diogo, por exemplo, ao ser questionado sobre a representação que havia feito em reposta à fração de pizza que cada criança iria ganhar ao todo, ele nos responde, apontando para o registro: dois [apontando para o algarismo 2] dividido [apontando para o traço] por seis [apontando para o algarismo 6]. (Diogo), conforme imagem ilustrativa a seguir: Estratégia: Diogo - aluno do 1º ano Figura 66 - Imagem vídeo do Aluno Diogo - 1º Ano Vale ressaltar, que o papel do professor nesse experimento foi bastante reduzido, uma vez que objetivávamos analisar, durante o processo formativo, os registros espontâneos dos alunos. Nesse sentido, solicitamos que o docente realizasse somente a leitura das situações, sem nenhuma outra intervenção. Dessa forma, reiteramos que em situação real de ensino, a mediação do professor seria de fundamental importância uma vez que ao analisar os vídeos observamos que os alunos ao compararem as frações equivalentes utilizaram-se dos conhecimentos intuitivos. O extrato, a

142 142 seguir, mostra a discussão sobre o ocorrido: [...] a gente pegou a metade dos dois números, do numerador e do denominador [...] O número assim da fração vai diminuir, só que eles vão manter o mesmo que eles vão comer (CÁSSIO). Nesse sentido, de modo geral, a análise desses dados nos permitiu identificar que a introdução do conceito de fração por meio do significado quociente pode favorecer a compreensão do invariante equivalência, mas isso não ocorre de maneira espontânea; faz-se necessária, portanto, a mediação do professor Reflexões advindas da avaliação do processo formativo Ao final da formação, foi proposto um questionário avaliativo (APÊNDICE 4), por meio do qual as professoras puderam expressar, mais uma vez, suas reflexões acerca do tema, bem como sobre o processo formativo. De maneira geral, a análise dessa avaliação, nos leva a acreditar que a formação favoreceu a reflexão da prática pedagógica, por parte das professoras e que esse ato de refletir possibilitou autoconfiança. Essa é uma constatação que consideramos importante, uma vez que na medida em que os professores ganham confiança na sua capacidade para ensinar Matemática têm maiores expectativas em relação às capacidades dos seus alunos e propõe-lhes tarefas mais ricas (SERRAZINA, 2010, p. 21). Nesse sentido, consideramos fundamental, apresentar algumas observações que expressam o sentimento das professoras. Em relação ao trabalho desenvolvido em sala de aula, em anos anteriores, sobre o tema, fração, as Professoras Ana e Renata afirmaram que se utilizavam apenas do significado parte-todo, conforme podemos verificar nas figuras a seguir: Professora Ana Protocolos Professoras Ana e Renata Figura 67 - Protocolos das Professoras Ana e Renata Professora Renata Observando a resposta da Professora Ana, percebemos que ela assume suas limitações, afirmando que sentia uma segurança equivocada ao ensinar frações utilizandose do significado parte-todo.

143 143 A mesma dificuldade com o ensino das frações também é expressada pela Professora Marcela, principalmente por considerar o seu conhecimento insuficiente, o que faz com que ela reconheça também que o trabalho apenas com o significado parte-todo fragilizava a sua abordagem durante o ensino: As práticas pedagógicas que envolvia fração sempre foi um desafio, pois sentia muita fragilidade em meus conhecimentos sobre esse conteúdo. A ideia era sempre abordar o conteúdo por parte-todo (Professora Marcela). No que se refere ao aprimoramento da prática docente, as Professoras Ana e Renata concluíram que introduzir o ensino das frações por meio do significado quociente facilita a aprendizagem desse tema. Professora Ana Professora Renata Protocolos Professoras Ana e Renata Figura 68 - Protocolos das Professoras Ana e Renata Ainda em relação ao aprimoramento da prática pedagógica, a Professora Marcela reconhece a importância das discussões sobre os significados da fração na escolha de estratégias que sejam apropriadas ao ensino: Foi a oportunidade de apreender sobre os significados da fração, aplicar as atividades e novamente discutir sobre os avanços e dificuldades apresentadas tanto em relação às estratégias didáticas para o ensino deste conteúdo, bem como é apropriado pelo aluno os conceitos de fração (PROFESSORA MARCELA). Quanto ás dificuldades enfrentadas durante a formação, as Professoras Renata e Ana relacionaram tal dificuldade ao uso da estratégia de partição na resolução das situações, bem como ao desconhecimento dos diferentes significados da fração: [...] compreender o que significava parte-todo, quociente e razão, pois eu nunca havia aprendido e agora eu percebo claramente o que significa cada um deles (PROFESSORA RENATA). Como eu aprendi frações como parte-todo e isto está enraizado, durante as atividades ficava tentando dividir os chocolates e pizzas em diversas partes. Também contava todas as partes divididas e esquecia que deveria contar de uma pizza ou um chocolate só (PROFESSORA ANA).

144 144 Percebemos que a Professora Ana admite apresentar outra dificuldade: o reconhecimento do referencial a ser considerado. Reiteramos que essa dificuldade também foi observada por Rodrigues (2005) em pesquisa realizada com alunos do 9º ano do Ensino Fundamental, 3º ano do Ensino médio e alunos do Ensino Superior da área de exatas. Em relação a essas dificuldades a Professora Marcela, afirma que tal dificuldade está relacionada à formação inicial: [...] isso se dá, a meu ver, pela fragilidade da formação em relação ao conteúdo (PROFESSORA MARCELA). Porém o processo formativo parece ter favorecido mudanças na prática, considerando que ao serem questionadas sobre a possibilidade de utilizar atividades realizadas durante a formação em sala de aula, as professoras expressaram maior interesse por aquelas em que foram explorados o significado quociente da fração. Reiteramos que o significado quociente não era trabalhado pelas professoras em aulas ministradas por elas, antes da formação. [...] as atividades da sequência da Professora Terezinha Nunes [...] mas hoje eu falo que eu aplicaria por etapas e com isso podendo intervir (PROFESSORA RENATA). [...] a primeira parte da sequência da Terezinha Nunes (se eu pegar 1º ou 2º ano). Se pegar o 3º em diante, realizarei a sequência inteira. O final da sequência considerei muito complexa para o 1º e 2º ano (PROFESSORA RENATA). A sequência de tarefas que foi apresentada é bastante significativa para o ensino de fração pelo significado quociente [...] principalmente compreender que está relacionado ao processo de divisão e que considera as vivências dos alunos [...] ao fazer a representação fracionária [referindose às respostas dos alunos a uma das atividades da Sequência] se apoiaram no ensino onde foi trabalhado a ideia de quociente. Isso favoreceu a compreensão e resolução das questões [referindo-se as atividades da Sequência] (PROFESSORA MARCELA). A constatação de que o processo formativo favoreceu a reflexão da prática é reafirmado nos depoimentos das professoras, citados acima, considerando que todas elas fizeram observações quanto à maneira de aplicar a Sequência. Percebemos que elas sugerem, a partir do que vivenciaram com seus alunos, mudanças pertinentes quanto ao desenvolvimento dessa atividade.

145 145 CAPITULO 6 DA PERCEPÇÃO À PRÁTICA DAS PROFESSORAS Neste capítulo, apresentaremos algumas considerações referentes às entrevistas e ao trabalho realizado em sala de aula pelos nossos sujeitos de pesquisa, um ano após o processo formativo. Pretendíamos, por meio das informações coletadas nesses dois momentos, analisar se houve e quais foram as implicações da formação na prática pedagógica dos sujeitos deste estudo após a intervenção. Pretendíamos ainda, buscar resposta para uma de nossas questões de pesquisa, qual seja: Quais são os possíveis saberes (re)construídos pelas professoras, a partir da participação em um curso de formação continuada, quanto aos processos de ensino e de aprendizagem do conceito de fração? No primeiro momento da entrevista, as professoras foram motivadas a relatarem pontos considerados por elas importantes que ocorreram nas sessões de formação. Nesse sentido, a Professora Ana, afirma: Pra mim uma das coisas que marcou bastante foi que eu sempre gostei de matemática; tinha facilidade na escola, só que nunca entendi o porquê das coisas. Então eu sempre soube fazer um monte de coisas [referindo-se ao que respondeu no questionário diagnóstico inicial] só que eu não sabia o porquê, porque que eu cheguei naquilo ali. Então, para uma professora passar [referindo-se ao conteúdo] ela precisa saber o porquê e eu não sabia [...] então o curso me ajudou muito, muito mesmo. É! Acho que o que mais marcou foi isso mesmo (PROFESSORA ANA). No que se refere ao objeto matemático, frações, a fala da professora é bastante significativa, partindo do pressuposto de que, ao nosso entender, o que ela coloca é que a formação levou-a a repensar a sua forma de ensinar esse conteúdo, pois antes ela trabalhava apenas com o significado parte-todo, como podemos perceber em seu relato, a seguir: (...) das frações, até a gente falou: nossa! Que simples. [referindo-se a possibilidade de resolver situações quociente sem utilizar a partição como estratégia] Então! A gente está acostumada a fazer de um jeito, somente de um jeito e não vê outras possibilidades e aqui mostrou várias possibilidades de fração [referindo-se aos diferentes significados]. Não é só pintar e contar quantos; colocar o que está pintado em cima e o total embaixo [referindo-se a utilização da ideia parte-todo somente como dupla contagem]. Isso ajudou bastante (PROFESSORA ANA).

146 146 O depoimento da professora confirma estudos já citados anteriormente neste trabalho e que chegaram à conclusão de que o ensino das frações é fortemente desenvolvido com a utilização do significado parte-todo. Nesse sentido, observamos que a Professora Ana demonstrou reconhecer a importância dos diferentes significados para a construção do conceito da fração. Da mesma forma, também a Professora Renata, relata o uso exclusivo do significado parte-todo ao realizar o ensino desse tema: Eu também senti a mesma coisa [referindo-se à formação]. O que me pegou mais nas frações é porque eu pensava só de um jeito, aí depois no decorrer do curso eu percebi que não [...] como foi no parte-todo, o que me pegou muito foi na parte do parte-todo, porque eu chegava para eles [referindo-se aos alunos] e só falava: olha você vai pintar, então você vai chegar e pintar [...] então porque eu só pensava assim, no pintar, eu nunca pensei em falar o porque. O que me marcou muito nessa parte foi isso: dá um significado para aquilo que eu estava fazendo (PROFESSORA RENATA). Um aspecto que consideramos interessante de ser pensado sobre o depoimento da Professora Renata é que, embora o significado parte-todo seja o que era trabalhado por ela em situação de sala de aula, antes da formação, percebemos que ela não tinha clareza das ideias contidas nesse significado, uma vez que reconhece a necessidade de dar significado (PROFESSORA RENATA) para o ensino que desenvolvia com seus alunos. Essa é uma evidência que não foi verificada nos estudos que compõem a nossa revisão. O relato da Professora Marcela reforça o que já foi dito pelas Professoras Ana e Renata: [...] o das frações que para mim também foi bastante novidade porque a gente estava acostumada a usar fração somente como parte-todo e a gente chegou lá [referindo-se ao curso de formação] e para resolver a gente utilizou aqueles recursos mínimos que tínhamos [referindo-se ao processo de dupla contagem] [...] eu achei gratificante demais essa formação (PROFESSORA MARCELA). Em um momento da entrevista, questionamos sobre algumas experiências vivenciadas pelas professoras nas sessões da formação em que elas resolveram situações que exploravam o significado quociente. A situação a que fizemos referência é a seguinte: Nove meninos irão dividir igualmente 6 pizzas e não deve sobrar nada.três meninas irão dividir igualmente 2 pizzas e também não deve sobrar nada. As pizzas são idênticas. Represente a fração que cada criança irá receber de pizza.

147 147 Com isso, pretendíamos explorar qual teria sido o pensamento da professora naquele momento e como elas reagiriam diante dessa situação, passado um ano da ocorrência do processo formativo. Antes de descrever o que elas nos responderam, acreditamos ser necessário apresentar, mais uma vez, os protolocos das professoras para que o leitor possa recordar qual teria sido a resolução apresentada por cada uma delas naquele momento da formação: Estratégia de Resolução Professora Ana Figura 69 - Protocolo da Professora Ana Estratégia de Resolução Professora Renata Figura 70 - Protocolo da Professora Renata

148 148 Estratégia de Resolução Professora Marcela Figura 71 - Protocolo da Professora Marcela Em relação a essa questão, as Professoras Ana e Renata assim se expressaram: Então! Eu comecei dividindo as pizzas. Então vi pizzas, contei quantas crianças tinham: quatro. Deixa eu dividir, então eu estava pensando em tabuada: tenho que dividir um tanto que dê para todas essas crianças aqui. Então eu coloquei assim: ah! dividir a pizza em seis pedaços. Então eu fiz assim como se fosse uma tabuadinha simples, contando quantos pedaços... se eu colocar em quatro não dá para dividir porque... ah por seis deu certo. Então acabei indo por esse caminho... Eu percebi; eu não sei de onde que eu tirei direito, eu fiquei fazendo um monte de conta e depois você vê que era só colocar o número de pizza dividido pelo número de crianças. Não precisava ficar dividindo, contando pedacinhos, vendo quanto era que dava pra dividir, não tinha necessidade (PROFESSORA ANA). Eu pensei assim: um número que eu pudesse dividir igualmente entre as nove crianças, então só deu pra dividir cada pizza em seis pedaços. Então eu dividiria essa daqui em seis, seis vezes seis deu trinta e seis, aí trinta e seis eu ia dividir por nove, dá quatro. Aí dessa forma cada um ganharia quatro pedaços (PROFESSORA RENATA). Como a Professora Renata referiu-se apenas à quantidade de pedaços, fizemos o seguinte questionamento: Aqui você não disse quatro pedaços de que tamanho. Quatro pedaços de quanto? Ela nos respondeu: De um sexto. Seriam quatro pedaços de um sexto (...) foi isso que eu pensei: numa divisão. Agora pensando faz sentido, quatro pedaços de um sexto (PROFESSORA RENATA). Acreditamos que seja importante deixar claro para o leitor que na análise que fizemos do protocolo da professora, em capítulo anterior, tinhamos levantado a hipótese de que ela,

149 149 possivelmente, estivesse referindo-se a pedaços de sextos. Porém, a sua fala revela que naquele momento da formação, ela ainda não tinha essa consciência e que só a partir da intervenção é que essa ideia foi construída. Já a Professora Marcela nos afirmou: Eu não conseguia fazer... eu tentei fazer... eu pensei numericamente- eu dividi a pizza por 9 que totalizou 54 pedaços, depois fui distribuindo em agrupamentos de três. Dividi em 54 partes, não considerei que o todo era a pizza [...]Tudo o que eu vi sobre fração eu vi de parte-todo, nunca tinha visto nada ligado ao quociente, ideia de divisão; eu tive muita dificuldade para resolver (PROFESSORA MARCELA). A partir dos depoimentos, questionamos as professoras sobre como elas responderiam essa situação nesse momento. A Professora Ana afirma: Hoje eu faria diferente: pensaria na divisão; colocava seis pizzas divididas para nove crianças [referindo-se à maneira como é ensinada a representação da fração em situações quociente] (PROFESSORA ANA). Da mesma forma, a Professora Marcela confirma: Eu achei interessante utilizar a ideia de quociente, bem simples indicar a quantidade de tortas que eu tenho ou os objetos que eu tenho e dividir pelas pessoas e fica um pouco mais simples trabalhar assim [...] hoje eu sei. É bacana você admitir que agora eu sei (PROFESSORA MARCELA). A análise destes depoimentos nos dá a sensação de que discutir possibilidades de trabalho das frações por meio de outro significado que não o parte-todo possibilitou às professoras envolvidas demonstrar o que Serrazina (1999) chama de um elevado grau de consciencialização que as ajudou a reconhecer as suas falhas e fraquezas e a assumir um forte desejo de ultrapassá-las (SERRAZINA, 1999, p. 163). A autora, quando discute a relação entre o processo de reflexão dos professores portugueses e a autoconfiança, obteve resultados semelhantes aos aqui encontrados. Em relação à Sequência de tarefas, proposta pela Professora Terezinha Nunes, para introduzir o conceito de fração a partir da ideia de quociente, que foi vivenciada durante a formação, questionamos sobre os limites e possibilidades do ensino a partir da mesma. Nesse sentido, as professoras foram unânimes em reconhecer que esta pode favorecer o ensino, porém os seus depoimentos apresentam algumas críticas que nos parecem pertinentes e que merecem ser discutidas em estudos futuros:

150 150 Eu particularmente fiquei surpresa por eles não terem apresentado tanta dificuldade porque como eles eram segundo ano, pequenos eu falei: nossa! Eles não vão conseguir... divisão, fração. Não dá para fazer e na verdade dá para fazer; eles nem apresentaram tanta dificuldade quanto eu achei que eles apresentariam [...] Eu acredito que com a sequência dá para introduzir legal com as crianças. As atividades finais, como é com o segundo ano acho que teria que parar pela metade com eles [referindo-se às situações 3 e 4 da Sequência de tarefas] (PROFESSORA ANA). Sobre os saberes que possivelmente tenham sido (re)construídos durante o processo formativo, a Professora Marcela assim se expressou: Eu nunca havia participado de nenhum curso que discutiu fração dessa forma; [referindo-se aos diferentes significados da fração] quando pedia um pensamento mais elaborado eu tinha mais dificuldade. Eu não sabia fazer; hoje ficou claro, o legal é isso, você passa a trabalhar determinado conteúdo de forma consciente. Quando você não sabe você acaba passando por cima; o professor tem um pouco disso; acaba meio que maquiando o ensino. Assim acho que tenho hoje uma nova ação (PROFESSORA MARCELA). Resultados semelhantes aos nossos foram observados por Garcia Silva (2007). A autora apoiada nos estudos de Blanco e Contreras (2002), conclui que quando professores têm pouco conhecimento dos conteúdos evitam ensinar temas que não dominam, mostram insegurança perante circunstâncias não previstas e se apoiam na memorização, tanto quando ensinam como quando avaliam ( GARCIA SILVA, 2007, p. 239). Ao final da entrevista, perguntamos às professoras quais atividades elas pretendiam desenvolver com os alunos com os quais estavam trabalhando naquele momento para introduzir frações. Elas nos responderam que haviam planejado trabalhar com o livro O pirulito do pato para introduzir o ensino de frações, pois consideravam o livro como a proposta mais adequada ao ano em que estavam lecionando naquele momento, uma vez que lecionavam para crianças bem pequenas e dispersas. Argumentaram que naquela fase em que seus alunos se encontravam, o uso da literatura infantil favoreceria tanto a atenção dos alunos quanto a sua compreensão do conteúdo. O que a gente [referindo-se a ela e a Professora Renata] achou que tinha mais coerência com o primeiro ano que a gente adorou do curso foi o Pirulito do pato (...) dá para ir mostrando essa coisa da divisão do pirulito. Seria menos conteúdo por eles serem menorzinhos. Eu acho que essa aqui fica mais fixa para o primeiro ano porque para nós ajudou muito o concreto. Então colocar, tirar as palavras, número e colocar no concreto. Isso ajuda para transferir para o número depois (PROFESSORA ANA).

151 151 Assim como a Professora Ana, também a Professora Renata argumentou por considerar que o trabalho com crianças necessita estar pautado em algo que lhes possibilite a manipulação de objetos concretos. [...] com o pirulito já tem uma boa compreensão, porque eles mesmos de acordo com o que eles estão vendo, estão vendo sendo repartido e depois o que nós pensamos? Pra eles repartirem, para eles terem noção o porquê que isso aqui é um terço (PROFESSORA RENATA). Esse pensamento foi reafirmado também pela Professora Marcela, ao justificar: [...] já apliquei na sala de aula do 5º ano com excelente resultado [referindo-se ao ano anterior, quando participava da formação]. As crianças adoraram ler a história e acompanhar as imagens em Power point, o que favoreceu a compreensão do conceito e posterior construção da representação de frações e seus significados (PROFESSORA MARCELA). Dessa forma, a proposta das professoras seria, após apresentar a história do Pirulito do Pato, que as crianças pudessem reproduzir a história com o apoio de material que elas manipulariam e a partir dos quais pudessem transferir a linguagem verbal para a linguagem dos números. Essa foi uma das atividades que realizamos com as professoras, durante o processo formativo. Nesse sentido, perguntamos sobre a possibilidade delas nos autorizarem a observar a aula que elas haviam planejado e na qual elas iriam desenvolver tal atividade. Vale ressaltar que a história trabalha com o significado parte-todo. Pensando nesse fato, perguntamos às professoras sobre a possibilidade de ampliar as ideias contidas nesse significado para outros significados da fração. Vejamos o que a Professora Ana nos respondeu: Eu acho que você tem que fazer porque se não vai ficar naquela coisa que a gente viveu. Só vê o parte-todo então se a gente sabe hoje que não é só parte-todo, que dá pra ter outros caminhos, você tem que começar a passar para os mais novinhos [referindo-se aos alunos] para que eles possam interiorizarem que não tem só o parte-todo, que foi isso que aconteceu com a gente (PROFESSORA ANA). Percebemos no depoimento da professora que mais uma vez ela reforça o fato de que, anterior à formação, ela conhecia apenas um significado de fração e esse era o que ela utilizava no ensino desse tema. Da mesma forma, a Professora Renata também reafirma tal fato: [...] é porque nós aprendemos com o parte-todo (PROFESSORA RENATA).

152 152 Nesse sentido, retornamos à escola para verificar como as professoras iriam realizar o ensino. A próxima seção deste capítulo será dedicada à descrição do que observamos nas aulas ministradas pelas professoras e à análise que fizemos do processo de ensino realizado Análise da atividade desenvolvida pelas professoras um ano após a formação Reiteramos que a entrevista com nossos sujeitos foi realizada passado um ano do processo formativo, o que nos possibilitou retornar à escola, no intuito de verificarmos como as professoras desenvolveram a aula sobre o ensino de frações, pois acreditamos que a formação como desenvolvimento profissional tem que estar baseada nas práticas de sala de aula (SERRAZINA, 2013, p. 78). Passaremos, portanto, à descrição e análise do que observamos. De princípio, um fator que consideramos importante de ser evidenciado é que as três professoras investigadas optaram por introduzir fração por meio da exploração do livro infantil O pirulito do pato, de autoria de Machado (2003) e que, de maneira geral, elas deram início à aula utilizando-se das mesmas estratégias: apresentação da história em Power point, seguida da leitura interpretativa. Passado esse primeiro momento, as Professoras Ana e Renata convidaram os alunos a interpretarem a história da divisão do pirulito. Para tanto, ofereceram papel com desenhos representando as partes em que o pirulito havia sido dividido e tesoura para que eles fizessem o recorte das partes, de acordo com o contado na história, conforme retratam imagens a seguir: Alunos Professora Ana 1 Ano Figura 72 - Imagens vídeo: alunos realizando atividade sugerida pela Professora Ana Na Sequência, as professoras propuseram o ensino do tema em questão, fração. Um aspecto nos chamou a atenção. Pois percebemos que as três professoras, conseguiram reunir

153 153 as ideias contidas nos significados parte-todo (esse era o significado trabalhado na história) e quociente. Observemos como isso ocorreu a partir do ensino na descrição a seguir: Existe uma coisa que se chama fração. Dá para a gente mostrar essa divisão do pirulito com números agora. A gente fez com papel e agora a gente vai fazer com números. Então olha só: quantos pirulitos tinham? (PROFESSORA ANA). Nesse momento as crianças respondem que havia um pirulito. Nesse sentido, a professora segue o ensino, fazendo o registro na lousa: Um pirulito. Então olha: o número 1 [apontando para o registro que ela fez na lousa] [...] esse tracinho que a prô vai colocar aqui olha, ele significa dividido [apontando mais uma vez para o registro feito na lousa] (PROFESSORA ANA). Dessa forma inicia a leitura, apontando para os registros contidos na lousa Então olha: um pirulito dividido... (PROFESSORA ANA), conforme imagens a seguir: Aula ministrada pela Professora Ana Figura 73 - Imagem vídeo 1: Ensino desenvolvido pela Professora Ana 17 A professora dá continuidade reforçando a pergunta: um pirulito dividido para quantos patinhos? (PROFESSORA ANA). Quando as crianças respondem, a professora registra o algarismo dois, concluindo a 1 representação da fração. Em seguida, faz a leitura da representação fracionária, como 2 mostra a imagem a seguir: 17 As imagens apresentadas neste artigo foram autorizadas pela professora conforme TCLE.

154 154 Aula ministrada pela Professora Ana Figura 74 - Imagem vídeo 2: Ensino desenvolvido pela Professora Ana Feito o registro da primeira quantidade fracionária, a professora segue problematizando, fazendo o registro de novas frações. Vejamos alguns trechos de como ela prosseguiu no ensino: [...] se eu fosse dividir um pirulito para quatro crianças, como que eu iria colocar aqui? [referindo-se à forma de como fazer o registro da fração] Eu tenho um pirulito, como que eu mostro aqui em números?[...] Olha um pirulito [referindo-se ao registro que fez na lousa] [...] como que é o dividido? [referindo-se ao registro do traço que indica divisão] (PROFESSORA ANA). [...] em cima eu coloco o número de quê? De patinhos ou de pirulito? [e faz o registro na lousa] [...] E isso aqui? O quê que é esse traço? O que significa ele? [...] Então é o número de pirulito dividido por... [referindo-se ao registro da fração 4 1 ] (PROFESSORA ANA). Vale ressaltar, que a todo instante ela reforça a divisão do pirulito em partes iguais (ideia do parte-todo). Após registrar a representação de diferentes frações, a professora faz a ilustração com desenhos (ideia do parte-todo), como podemos observar na imagem a seguir: Aula ministrada pela Professora Ana Figura 75 - Imagem vídeo 3: Ensino desenvolvido pela Professora Ana

155 155 Estratégia de ensino semelhante foi observada nas aulas das professoras Renata e Marcela. A professora Marcela, por exemplo, durante o ensino, faz alguns questionamentos às crianças: [...] como é que eu escrevo um inteiro dividido em dois? [...] se for dividido em três? [...] dividido em quatro? [...] divido em cinco? Em seis? Se dividido em sete? E em dez? (PROFESSORA MARCELA). A Professora Renata, antes de iniciar o registro das quantidades fracionárias que apareciam na história, fez junto com as crianças o recorte do que representava cada parte (ideia de parte-todo). Alunos Professora Renata 2 Ano Figura 76 - Imagens vídeo: Alunos realizando atividade sugerida pela Professora Renata Em seguida, iniciou o registro. Vejamos trechos do ensino: [...] e como que eu represento aqui? Um pirulito dividido por três? Como é que eu faço? Como é que eu ponho? [referindo-se à forma de como escrever a representação da fração] (PROFESSORA RENATA). As crianças responderam que ela deveria escrever o algarismo um (1), e indicar a divisão com um traço abaixo do algarismo. A professora então questiona: Ah! Se eu colocar esse risco assim, significa que é dividir? (PROFESSORA RENATA). As crianças confirmam. Dessa forma, ela inicia o registro na lousa, sempre dialogando com os alunos: Este um aqui em cima significa que eu tenho um pirulito. Aqui significa o quê? Esse risco. Esse risco significa o quê? [...] Um pirulito dividido por... dois (PROFESSORA RENATA), conforme ilustram imagens a seguir:

156 156 Aula ministrada pela Professora Renata Figura 77 - Imagens vídeo 1: Ensino desenvolvido pela Professora Renata A professora dá continuidade ao ensino, exemplificando a divisão do pirulito entre as crianças, de modo a fazer a representação de várias frações. Um ponto interessante, observado na aula da Professora Renata e que não foi explorado nas aulas das demais professoras é que ela iniciou o ensino sobre a equivalência entre as quantidades fracionárias, uma vez que durante a construção das representações fracionárias, chamou a atenção dos alunos para a correspondência existente entre as partes que representavam terços e sextos do pirulito de maneira que eles puderam perceber que um terço representa o mesmo que as duas partes de um sexto: [...] então foi um sexto. Significa que tanto o Mateus como a Sabrina [referindo-se aos alunos] receberam um sexto do pirulito [...] essas duas partes juntas é uma parte dessa? [referindo aos pedaços de sextos e terços] (PROFESSORA RENATA). As imagens a seguir ilustram esse momento do ensino: Aula ministrada pela Professora Renata Figura 78 - Imagens vídeo 2: Ensino desenvolvido pela Professora Renata Ao analisar o que observamos durante as aulas, o que mais nos impressionou, é que, de maneira geral, embora as professoras tenham ministrado o ensino a partir de uma situação

157 157 parte-todo, elas utilizaram-se da linguagem do significado quociente para mostrar às crianças a representação das quantidades fracionárias. Nesse sentindo, podemos afirmar que houve, para esse grupo de professoras, a preocupação em relacionar os conhecimentos das ideias contidas em um significado e no outro. Nesse sentido, acreditamos que o ensino do conceito de frações a partir da abordagem dos diferentes significados favorece a compreensão desse conteúdo, pois de acordo com a base teórica adotada na análise do nosso trabalho de pesquisa, os conhecimentos cuja combinação do domínio do conteúdo matemático com a compreensão de todas as questões relacionadas ao ensino de tal conteúdo, nesse caso, sobre os diferentes significados da fração e seus invariantes, é fundamental para a eficácia no ensino da Matemática (Ball et al., 2008; Shulman, 1986).

158 158 CONSIDERAÇÕES FINAIS Chegado o momento de apresentar nossas últimas considerações sobre o processo de investigação que ocorreu ao longo de dois anos, iremos retomar pontos que consideramos fundamentais durante a realização da pesquisa. Para tanto, apresentaremos de maneira sucinta o desenvolvimento deste estudo, bem como nossas análises e reflexões sobre esse trabalho de investigação que respondeu as nossas questões de pesquisa. Apresentaremos também proposições de novas investigações acerca do tema em estudo. Acreditamos ser conveniente retomar o objetivo da pesquisa, que foi pensado a partir do desejo de buscar respostas para as nossas questões (Capítulo 1): analisar as mudanças de concepções relativas aos processos de ensino e aprendizagem de frações, de professores que lecionam Matemática para os anos iniciais do Ensino Fundamental, participantes de um curso de formação continuada. Como aporte teórico, adotamos a Teoria dos Campos Conceituais de Gerard Vergnaud (1990, 1993) e as pesquisas realizadas por Nunes et al. (2003, 2005, 2009) que nos ajudaram a compreender questões relacionadas ao objeto matemático, frações. Adotamos também como pressuposto teórico, Shulman (1986), Ball et al (2008) e Serrazina (1999, 2010), cujas teorias nos permitiram realizar a análise das questões relativas à formação de professores, reflexões sobre a prática pedagógica e conhecimento profissional docente. (Capítulo 2). Com base nessas teorias e em resultados de pesquisas relacionadas ao tema, definimos e organizamos a investigação. Tais pesquisas apontam fragilidades quanto à formação dos professores (Garcia Silva, 2007; Teixeira, 2008; Cervantes, 2010 e Costa, 2011) e quanto ao ensino e à aprendizagem do conceito de fração (Cardoso, 2009; Campos, 2011 e Canova, 2013). Em relação à formação os estudos de Garcia Silva, por exemplo, indicam que alguns fatores interferem no desenvolvimento profissional de docentes, como as dificuldades que estes apresentam relacionadas ao conhecimento matemático, às crenças e concepções quanto ao ensino das frações, propondo, portanto, que seja dado em cursos de formação inicial e continuada, amplo enfoque para as frações, com análise em seus diferentes significados. Nesse sentido, essa pesquisadora propõe também que os processos formativos sejam uma oportunidade para que professores possam romper crenças e concepções sobre o ensino e

159 159 aprendizagem da Matemática, chamando a atenção para a necessidade de reflexões sobre a prática pedagógica em ambientes colaborativos. (Garcia Silva, 2007). Em relação à introdução do conceito de fração, como já foi mencionado anteriormente, documentos oficiais como os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN orientam que desde os primeiros anos do Ensino Fundamental, os alunos sejam levados a resolver situações em que se faz necessário ampliar os conhecimentos sobre os números naturais, propondo, portanto, a partir desse universo, que se explore o conceito de frações em diferentes significados: quociente, parte-todo e razão. (BRASIL, 1997, p.54). Porém muitos estudos que antecederam o nosso apontam que, em geral, o significado parte-todo é o único explorado pelos professores em situação de ensino (Campos et al., 1995; Garcia Silva, 2007; Nunes e Bryant, 1997 dentre outros). Essas investigações indicam que o ensino utilizando-se apenas desse significado não é suficiente para a compreensão do conceito de fração, pois este normalmente apóia-se apenas no procedimento de dupla contagem (NUNES e BRYANT, 1997, p ). Dessa forma, sugerem sejam também explorados, desde os anos iniciais, outros significados. No intuído de ampliar essas discussões optamos por buscar apoio nos estudos de Nunes et al (2009) que com base na Teoria dos Campos Conceituais e inspirados por Streefland (1984) indicam o significado quociente como facilitador na introdução do conceito de fração, bem como na compreensão de seus invariantes, ordem e equivalência. Seus estudos apontam que introduzir o conceito de fração por meio do significado quociente torna-se natural para a criança, uma vez que ela pode apoiar-se na ideia de divisão já anteriormente experienciada em situações cotidianas. Para tanto, vale ressaltar a importância de o professor apropriar-se de todas as ideias subjacentes a esses dois significados. Sendo assim, motivadas por tais discussões, o nosso trabalho de investigação ocorreu a partir de uma formação continuada. Essa foi organizada em oito sessões, realizadas no contexto do Projeto Observatório da Educação com a participação de pesquisadores em Educação Matemática e professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental do estado de São Paulo e mais duas atividades que foram desenvolvidas, decorridos um ano da formação: entrevista e observação de aula. Nesse sentido, pretendíamos também com a nossa investigação constituir um grupo colaborativo de formação e pesquisa com a finalidade de promover e analisar o conhecimento profissional docente das professoras sobre a introdução do conceito de fração, quando estas se dispõem a pensar a prática pedagógica e a promover inovações em suas aulas.

160 160 Dessa forma, o foco da nossa intervenção foi discutir e analisar com as professoras as possibilidades de introduzir o conceito de fração por meio do significado quociente e partetodo, de modo a ampliar os conhecimentos que elas já possuíam acerca do significado partetodo. Reiteramos, quanto à organização do nosso estudo, que este foi desenvolvido em três fases: primeiramente inspirados na revisão literatura e no referencial teórico, elaboramos, aplicamos e analisamos dois instrumentos diagnósticos que serviram de base para planejar as sessões da formação dedicadas à intervenção, segunda fase da pesquisa. Por fim, passado um ano do processo formativo, realizamos entrevistas com nossos sujeitos e retornamos à escola, no intuito de observar a aula que elas haviam planejado para introduzir o ensino do conceito de fração com seus alunos. Na fase inicial propusemos que o grupo respondesse a um questionário com situações parte-todo e quociente que vieram de fontes diversas: do Saresp, do Caderno de Apoio e Aprendizagem Ler e Escrever da Prefeitura de São Paulo, da Prova de Mérito para professores do Estado de São Paulo e dos estudos de Rodrigues (2005), Garcia Silva (2007), Cardoso (2009), Costa (2011) e Canova (2013). Estes e outros estudos também nortearam muitas das discussões que propusemos no curso da pesquisa, relacionadas ao tema. Iniciamos a intervenção, esta desenvolvida em seis sessões de formação, apresentando às professoras as análises que havíamos feito das resoluções indicadas por elas, a cada instrumento diagnóstico. Tal atividade abriu espaço para discussões que, à luz do nosso referencial teórico, levou as professoras às primeiras reflexões sobre equívocos cometidos por elas, relacionando-os a resultados de pesquisas realizadas sobre o ensino e a aprendizagem das frações e estabelecendo também relações com sua prática pedagógica. No desejo de aprofundar tais discussões propusemos, a partir da apresentação da Sequência de tarefas elaborada por Nunes et al. (2009), novas reflexões. Dessa forma, pretendíamos discutir com as professoras outra possibilidade de se introduzir o ensino das frações e, assim, tentar romper algumas das dificuldades apresentadas por elas na resolução das situações quociente contidas no instrumento diagnóstico, bem como a crença de que o ensino desse tema está relacionado apenas à ideia de partição. A Sequência, composta de quatro situações, partindo de uma situação de divisão para depois registrar numericamente 1 várias frações, iniciando pela fração de metade ( ), supostamente já conhecida pelos alunos, 2 foi inspirada em problemas desenvolvidos por Streefland (1990). As outras duas situações buscavam favorecer a compreensão da ideia de equivalência, no intuito de levar o aluno a

161 161 perceber que diferentes frações podem representar a mesma quantidade desde que a unidade de referência se mantenha. Antes, porém, a intenção seria ajudar a criança a compreender que a representação fracionária da quantidade indicada na situação poderia ser obtida a partir da ideia de divisão, ou seja, que o numerador seria a quantidade de coisas a ser dividida; o denominador representaria o número de pessoas pelas quais seriam divididas e por fim, que a relação entre as duas quantidades seria a representação da fração correspondente à quantidade que cada pessoa receberia da coisa a ser dividida. A Sequência foi vivenciada pelas professoras nas sessões de formação e também por seus alunos em sala de aula. Assim, foi possível analisar os esquemas dos alunos e discutir com elas, os limites e possibilidades do seu uso para introduzir o ensino do conceito de fração. No que se refere ao significado parte-todo, para que as professoras tivessem a oportunidade de ampliar os conhecimentos que elas já possuíam, propusemos a vivência de uma atividade desenvolvida a partir do livro de literatura infantil O pirulito do pato. Essa escolha se deve ao fato de acreditarmos que compreensões, como por exemplo, a de que existe uma relação entre numerador e denominador de modo que essa relação entre os dois símbolos numéricos representa uma única quantidade fracionária ainda não se apresentava de maneira clara para as professoras. Outra ideia que julgamos importante e que também parecia pouco compreensível para as professoras é a de equivalência e ordem entre frações, pois embora elas tenham demonstrado uso exclusivo do significado parte-todo quando ensinam frações, de maneira geral, faziam referências apenas à quantidade de partes sem, contudo, estabelecer relações entre as quantidades fracionárias. Nosso estudo foi marcado por diferentes momentos de investigação, cujas análises constituíram partes fundamentais à formatação desse trabalho. Primeiramente analisamos as informações produzidas a partir dos instrumentos diagnósticos (Capítulo 4). Reiteramos que esta nos ofereceu informações imprescindíveis ao planejamento e realização do processo de intervenção. Depois fizemos a análise do processo formativo (Capítulo 5), a partir da qual trouxemos as reflexões das professoras advindas da formação. Por fim, analisamos as entrevistas concedidas pelas docentes e as observações oriundas da aula desenvolvida por elas para introduzir o ensino de frações (Capítulo 6), ambas realizadas um ano após a formação. Sendo assim, apresentaremos nos próximos itens um breve relato das análises dos resultados. Em seguida, iremos retomar nossa questão de pesquisa no desejo de respondê-la e, finalmente, pretendemos apresentar indicações de novos estudos.

162 162 Breve Relato dos Principais Resultados da Pesquisa Neste item temos a pretensão de apresentar brevemente as nossas conclusões acerca da análise referente ao instrumento diagnóstico que antecedeu o processo de intervenção. Relataremos também conclusões sobre a análise da formação, bem como as reflexões provenientes do processo formativo. Saberes Matemáticos das Professoras no Início do Processo Formativo Tomando como base o referencial teórico adotado neste estudo (Shulman, 1987; Ball et al, 2008 e Serrazina, 1999), alguns saberes são necessários ao professor para o ensino de Matemática: Conhecimento do Conteúdo da Disciplina e Conhecimento Pedagógico do Conteúdo Matemático (Ball et al, 2008). A análise das informações colhidas na primeira fase deste estudo, nos fez concluir que as professoras não vivenciaram, na sua formação inicial e/ou em cursos de formação continuada, situações que lhes permitissem refletir sobre os processos de ensino e aprendizagem das frações. Portanto, aquela seria a primeira oportunidade das professoras de participar de um curso de formação em Educação Matemática e de discutir essa temática. Nessa fase, propusemos também outro instrumento, de caráter diagnóstico, composto de duas partes: na primeira solicitamos a elaboração e resolução de situações que consideravam imprescindíveis ao ensinar frações. Dessa forma, pretendíamos observar os significados que provavelmente eram explorados em sala de aula e as estratégias de resolução que utilizariam (Conhecimento do Conteúdo Especializado Ball et al, 2008). Na segunda parte propusemos que as professoras respondessem a doze situações em que as frações eram apresentadas por meio dos significados parte-todo e quociente. Dessa forma, poderíamos analisar além de questões relacionadas ao conteúdo específico, frações, o Conhecimento de Conteúdo e de Estudantes e o Conhecimento do Conteúdo e do Ensino (BALL et al, 2008). A análise desses instrumentos nos trouxe algumas evidências sobre o conhecimento profissional docente dos sujeitos investigados. Em relação à representação da fração, observamos que as professoras utilizavam-se da ideia de dupla contagem para situações partetodo. Dessa forma, de maneira geral, elas conseguiam representar corretamente as frações correspondentes às quantidades propostas em cada situação. Todavia, não ficou evidente se elas reconheciam a relação existente entre essas duas quantidades como um quociente.

163 163 Esta constatação se deve ainda ao fato de que as justificativas e estratégias de ensino por elas indicadas, não revelavam domínio suficiente acerca de como orientar o aluno desenvolver esquemas de resolução que os levassem a enxergar a fração como o quociente de uma divisão. Sendo assim, pudemos concluir, quanto aos domínios necessários ao ensino de Matemática, em relação à introdução do conceito de frações, que esses se encontravam ainda fragilizados. Esta conclusão pode ser justificada se levarmos em consideração uma das vertentes do Conhecimento Pedagógico do Conteúdo Matemático: conhecimento do currículo (Ball et al, 2008). Nas situações elaboradas pelas professoras, na fase diagnóstica, ficou evidente que elas não tinham conhecimento dos significados da fração que eram propostos nas orientações curriculares, pois apenas um dos significados sugeridos nesse documento foi evidenciado nas situações elaboradas. Dessa forma, pudemos concluir ainda haver, naquele momento, lacunas quanto aos Conhecimentos de Conteúdo e do Ensino (Ball et al, 2008). Fato evidenciado também nas estratégias de resolução, uma vez que estas eram baseadas em técnicas de partição, o que nos fez acreditar que o ensino que elas realizavam era apenas procedimental. Tal fato confirma o que já havia sido constatado por outras pesquisas, como por exemplo, a desenvolvida por Costa (2011) em que ele concluiu que as frações eram tratadas pelos seus sujeitos de pesquisa apenas do ponto de vista do algoritmo. Quanto a compreensões sobre a equivalência e a ordenação de frações, percebemos que as professoras investigadas, de maneira geral, não reconheciam a relação existente entre as quantidades fracionárias, o que dificultou a identificação de tais invariantes, pois elas referiam-se sempre à quantidade de partes, mesmo quando se tratava de situações parte-todo, que era a mais conhecida antes do processo formativo. Outro aspecto que pretendíamos observar e que decidimos denominar também de invariante, uma vez que se constitui também ideia fundamental à compreensão do conceito de fração, foi quanto à percepção da necessidade de conservação da unidade de referência. Em relação a essa compreensão percebemos em diversas situações dificuldade em conservar a unidade de referência, o que em alguns casos levou-as à representação equivocada da quantidade fracionária. Dessa forma, de maneira geral, concluímos em relação aos saberes das professoras (Shulman, 1987; Ball et al, 2008): - Quanto ao Conhecimento do Conteúdo: as professoras apresentavam melhor desempenho nas situações parte-todo, confirmando o que elas haviam relatado no Questionário de Entrada quando afirmaram não ter tido experiência com frações em sua

164 164 vida acadêmica e que o contato com esse tema se deu até aquele momento com o significado parte-todo, que era o adotado por elas no ensino das frações. Aliado a isso, percebemos nas situações em que elas teriam que analisar a resposta de um aluno fictício pouco domínio sobre as ideias subjacentes ao conceito de fração, uma vez que não demonstravam perceber o que levou o estudante a apresentar aquela resposta. Assim concluímos ainda haver a necessidade de aprofundamento sobre os conceitos inerentes às frações, de modo que em situação de ensino, as professoras tivessem a compreensão além de perceber os equívocos cometidos pelos alunos, também analisá-los e sugerir encaminhamentos que os ajudem a superar possíveis dificuldades. - Quanto ao Conhecimento Curricular: constatamos que as professoras desconheciam os significados da fração orientados nos documentos oficiais. Dessa forma, concluímos que a ausência desse conhecimento poderia comprometer o seu ensino. Esse fato pode ser constatado no depoimento da Professora Renata: Eu não sabia esse negócio de razão, partetodo [...] eu não sabia. Estou aprendendo agora [referindo-se à formação] (PROFESSORA RENATA). - Quanto ao Conhecimento Pedagógico do Conteúdo: percebemos que as professoras enfrentavam muitas dificuldades ao propor questões para o ensino das frações, sobretudo, no que se refere à busca de estratégias que atendessem às dificuldades dos alunos. Acreditamos que essas dificuldades são decorrentes das formações, inicial e continuada. Isso nos leva a concluir que esse fato parece refletir na maneira como elas ensinam, sendo o conhecimento acerca das frações, adquiridos nessa fase, insuficientes ao desenvolvimento da prática pedagógica. Diante do exposto e à luz de Shulman (1986), Ball et al (2008) e Nunes et al (2003) concluímos que a ausência de tais compreensões possivelmente ampliaram igualmente as dificuldades das professoras para ensinar frações. Em razão desses resultados, como já foi mencionado anteriormente, fez-se necessário, além do aprofundamento dos conceitos contidos em situações parte-todo, a exploração do significado quociente, dos invariantes: ordem, equivalência e unidade de referência por meio da reflexão de situações de aula fictícias, elaboradas especialmente para alimentar a discussão do grupo.

165 165 Reflexões sobre o Objeto Matemático: concepções, crenças e saberes (re)construídos no decorrer da formação Motivadas por pesquisas anteriores à nossa sobre questões relacionadas tanto à formação de professores quanto aos processos de ensino e aprendizagem das frações, mais especificamente, sobre os significados que favorecem a sua introdução, nos propusemos a realizar uma investigação, no intuito de verificar quais eram os conhecimentos (re)construídos pelas professoras, sujeitos da pesquisa, sobre a introdução do conceito de fração desenvolvido por meio de situações parte-todo e quociente. Considerando como conhecimento profissional aqueles apontados por Shulman 1986, 1987 e Ball et al, 2008, que se desenvolvem continuadamente ao longo do tempo, em diálogo com as experiências (SERRAZINA, 2013). Ao final deste estudo, chegamos à conclusão de que os sujeitos investigados demonstraram não ter, tanto na formação inicial quanto continuada, a oportunidade de vivenciar o aprendizado não só no que se refere às frações, mas também de outros conteúdos matemáticos que lhes favorecessem desenvolver tais conhecimentos. Dessa forma, chegamos também à conclusão de que isso poderia repercutir na sua atuação em sala de aula. Evidências desses fatos se revelaram em vários momentos da formação. Quando discutimos, por exemplo, a gama de possibilidades para introduzir o conceito de fração, partindo do que é orientado nos PCN, apresentando as professoras, as diferentes situações, os vários esquemas que poderiam ser mobilizados pelos estudantes e as diversas representações a fim de auxiliar na construção do conceito (Vergnaud, 1993). Percebemos que, inicialmente, elas desconheciam os diferentes significados e ainda acreditavam, que todas as situações com frações eram resolvidas somente por meio do significado parte-todo. As professoras só conseguiram perceber que ideias partitivas nem sempre eram as mais adequadas para o ensino do conceito de fração quando se depararam com situações mais complexas em que elas teriam que discutir os invariantes operatórios, sobretudo, ordem, equivalência e conservação da unidade de referência. As fragilidades dos conhecimentos das professoras quanto às frações ficaram evidenciadas também nos momentos da formação em que buscamos discutir com elas a análise de esquemas utilizados por alunos na resolução de algumas situações e nas estratégias de intervenção que elas utilizariam para ajudá-los a superar suas dificuldades. Sendo assim, nossa pesquisa concluiu no que se refere às crenças e concepções evidenciadas pelas professoras quanto ao ensino e aprendizagem do objeto matemático,

166 166 frações, que elas têm influenciado sua prática, comprometendo possivelmente, o aprendizado de seus alunos. Entretanto, há evidências de que o processo formativo ofereceu aos nossos sujeitos a oportunidade de ampliar os seus conhecimentos, uma vez que com base na experiência que lhes foi proporcionada, ao vivenciar a Sequência de Tarefas criada por Nunes et al, 2009 como possibilidade para introduzir o ensino das frações a partir do significado quociente, dentre outras atividades, elas puderam contemplar discussões sobre ideias importantes já descritas nesse trabalho. As reflexões, nesse sentido foram voltadas para o levantamento de hipóteses relativas ao pensamento do aluno e seus esquemas de resolução e à proposição de encaminhamentos de estratégias didáticas que viessem contribuir para que o aluno compreendesse ideias importantes na formação do conceito de fração. O reconhecimento da importância do objeto matemático que nos propomos a investigar foi expresso pela Professora Marcela ao afirmar: Durante o curso foi possível perceber o quanto é fundamental, nas séries iniciais, construir junto com o aluno o conhecimento de que a fração é a representação da divisão de números inteiros. Assim, o aluno terá condições de perceber que os números racionais não obedecem à mesma ordem de grandeza que os números naturais (PROFESSORA MARCELA). Nesse sentido, concluímos, a partir dos resultados descritos até aqui e com base nos depoimentos das professoras que a formação contribuiu para que as docentes repensassem sua prática pedagógica e (re)construíssem seus conhecimentos no que se refere aos significados da fração, superando algumas crenças equivocadas que elas possuíam acerca desse conteúdo matemático. Os resultados que apresentamos até o momento, nos levam a concluir, ainda, que o estudo das frações merece atenção especial nos cursos de formação de professores, sejam nos cursos de Licenciatura em Matemática como também nos cursos de Pedagogia, dada a importância desse conteúdo para a compreensão de outras ideias matemáticas e considerando que os professores oriundos desses cursos serão responsáveis pela condução deste e de outros temas.

167 167 Reflexões sobre o Processo Formativo: contribuições de um trabalho colaborativo Reforçamos mais uma vez que a nossa proposta de pesquisa trouxe também como objetivo a constituição de um grupo colaborativo de formação e pesquisa em que pesquisadores em Educação Matemática e professoras da rede estadual, pudessem refletir sobre o objeto matemático investigado, no intuito de ampliar os conhecimentos necessários à prática pedagógica das professoras ao explorar o conteúdo frações com seus alunos. Embora o tempo dedicado à formação tenha sido, a nosso ver, bastante curto, se levarmos em consideração a grande quantidade de questões que surgiram, necessitando, portanto, de maior tempo de reflexão, chegamos à conclusão de que essa despertou nas professoras o desejo de continuarem discutindo sobre as frações e também sobre outros conteúdos matemáticos: [...] quero me aperfeiçoar cada vez mais, fazendo outros cursos na área da Matemática (PROFESSORA RENATA). O depoimento da Professora Marcela também revelou satisfação em participar do grupo, ao falar do envolvimento com as outras professoras: [...] outro ponto bastante relevante durante a formação é a possibilidade de discutir com os colegas sobre o tema estudado [referindo-se aos significados da fração]. Acredito que esses momentos são fundamentais, pois todos têm a oportunidade de expor o que pensam e o que sabem sobre o conteúdo sem ter a preocupação de estar certo ou errado (PROFESSORA MARCELA). As reflexões explicitadas pelas professoras, durante e depois do processo formativo, parecem revelar um sentimento de pertença, de compreensão, de ajuda mútua, de confiança na capacidade de poder aprender e ensinar. Nesse sentido, chegamos à conclusão de que a formação contribuiu para despertar nas professoras a necessidade de saberem mais matemática (SERRAZINA, 2013, p. 78) da mesma forma que a reflexão sobre sua atuação (métodos, dificuldades, conhecimento do currículo, compreensão dos diferentes significados da fração, etc.) feita conjuntamente contribuiu para que elas identificassem as suas fragilidades, mas também as suas potencialidades (SERRAZINA, 2013, p. 78) acerca do tema em estudo. Nesse sentido, podemos afirmar que o processo de reflexão proporcionou melhorias tanto no que se refere à compreensão do tema estudado quanto à possibilidade de aprimoramento da prática docente, no sentido de que elas puderam experienciar, no decorrer da formação, diferentes situações que lhes possibilitaram refletir sobre suas práticas em sala de aula.

168 168 Por fim, as informações produzidas durante a formação nos levam a reiterar sobre a necessidade de um enfoque mais amplo ao conceito de frações durante os processos formativos. Concluímos, também, que para ampliar o conhecimento das professoras sobre o ensino e a aprendizagem das frações, é necessário que tais processos formativos favoreçam um trabalho colaborativo entre os envolvidos e que promovam uma constante reflexão sobre a própria prática. Reflexões sobre a Prática: implicações da formação De acordo com o descrito anteriormente (capítulo 6), decorridos um ano do processo formativo, realizamos entrevistas com os sujeitos deste estudo e assistimos a aula que elas haviam preparado para introdução do tema frações. Dessa forma, foi possível perceber implicações da formação na prática pedagógica. Sendo assim, a partir da análise da observação dessa atividade, pudemos concluir que, de maneira geral, houve modificações no modo de abordar o conteúdo, pois as professoras partiram de uma atividade com o significado parte-todo e durante as discussões com os alunos percebemos que todas elas se referiam as frações como um quociente. Observamos que efetivaram o ensino da representação utilizando-se das ideias envolvidas no quociente e, dessa forma, notamos que estabeleceram relações importantes contidas nos dois significados discutidos durante a formação. Resposta à Questão de Pesquisa e Reflexões que indicam Pesquisas Futuras À luz das teorias que discutem os conhecimentos necessários ao professor (Shulman, 1986, 1987 e Ball et. al., 2008) e à importância do ato de refletir a prática pedagógica (Serrazina, 1999, 2010) que serviram de norte para organizarmos essa investigação, bem como para fazermos a análise dos resultados das reflexões suscitadas no decorrer da formação, pretendemos dar resposta a nossa questão de pesquisa, qual seja: Quais são as mudanças de concepções dos professores participantes de um processo de formação continuada que buscou ampliar os conhecimentos necessários ao ensino de fração?

169 169 Frente às informações produzidas ao longo de toda investigação, podemos afirmar três aspectos que consideramos importantes e que respondem a nossa questão de pesquisa, confirmando o que já descrevemos anteriormente. O primeiro aspecto é que, anterior à formação, as professoras apresentavam conhecimento limitado sobre os significados das frações, pois trabalhavam apenas com o significado parte-todo, desconheciam os demais significados (quociente e razão) orientados nos documentos oficiais da educação e também se utilizavam apenas das ideias de partição na resolução de qualquer situação, seja ela parte-todo, quociente ou razão. Foi possível evidenciar que ao participar da formação, elas superaram, pelo menos em parte, tais dificuldades e ampliaram seus conhecimentos [...] compreender o que significava partetodo, quociente e razão, pois eu nunca havia aprendido e agora eu percebo claramente o que significa cada um deles. (PROFESSORA RENATA). O segundo aspecto se refere ao fato de termos notado que as professoras não dominavam os invariantes operatórios e ao final da formação apresentaram maior clareza quanto à compreensão da ordem, equivalência e conservação da unidade de referência. O terceiro aspecto esta relacionado à metodologia. Observamos que as limitações do conhecimento do conteúdo também reduziam as possibilidades metodológicas uma vez que as professoras abordavam o tema quase que exclusivamente por meio de situações parte-todo e focavam no procedimento de dupla contagem. Após a formação obsevamos a utilização de diferentes recursos como a literatura infantil, por exemplo, com suporte de materiais manipuláveis. Finalmente, podemos concluir que a mudança de concepção quanto a esses três aspectos refletiu diretamente na mudança da prática pedagógica das docentes investigadas. Ainda em resposta à questão de pesquisa, podemos afirmar que alguns conhecimentos como Conhecimento de Currículo (os diferentes significados da fração sugeridos nos documentos oficiais), Conhecimento de Conteúdo e de Estudantes (capacidade de refletir sobre a resposta do aluno) e Conhecimento de Conteúdo e de Ensino (capacidade de relacionar diferentes significados e elaborar estratégias de intervenção) foram adquiridos pelas professoras no decorrer da formação. Porém, acreditamos que o conhecimento profissional das professoras será ampliado ao longo do tempo à medida que elas, no contexto de outras formações, dialoguem com diferentes experiências vivenciadas no contexto das escolas em que leciona e com as turmas que vai encontrando. (SERRAZINA, 2013, p. 79). Sendo assim, não podemos desconsiderar a necessidade de que as escolas invistam em um trabalho de formação mais efetivo, em caráter de continuidade possibilitando ampliar as

170 170 reflexões iniciadas, de modo que seja possível discutir constantemente a formação e a prática pedagógica das professoras, pois [...] sendo o conhecimento do professor um aspecto fundamental da sua formação, este está interrelacionado com o nível de confiança do professor quer relativamente à Matemática e ao seu ensino, quer aquilo que considera que os seus alunos são capazes de aprender em Matemática (SERRAZINA, 2013, p. 77). Entretanto, nossas reflexões ao final dessa pesquisa nos levam a algumas preocupações e indagações: as dificuldades apresentadas por nossos sujeitos seriam as mesmas dificuldades enfrentadas por outros professores? Até que ponto os cursos de formação inicial e/ou continuada estão voltando seus olhares para as questões didáticas do conteúdo específico de cada área? Será que o mundo das pesquisas está conseguindo adentrar as escolas? De que maneira? De que maneira o diálogo iniciado no decorrer dessa pesquisa pode ser fortalecido no âmbito escolar? Por fim, vale ressaltar que a pesquisa realizada nasceu do desejo da pesquisadora em encontrar respostas para questionamentos relacionados aos processos de ensino e aprendizagem das frações, percebidos em sua atuação profissional. Sendo assim, ao final deste estudo, os conhecimentos da investigadora também foram ampliados. Nesse sentido, nasceu o desejo de que este estudo não se configure somente em um trabalho acadêmico, mas que sirva de base para que as questões aqui levantadas cheguem às escolas e que colaborem, em cursos de formação continuada, com reflexões, bem como com a prática de outros professores. Dessa forma, no nosso papel de educadora e investigadora, essa será a contribuição social que desejamos oferecer com o nosso estudo investigativo aqui descrito em forma de dissertação.

171 171 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BALL, D. L.; THAMES, M. H.; PHELPS, G. Content Knowledge for Teaching: what makes it special? In: Journal of Teacher Education. V. 59, n. 5, p , novembro, BEHR, M. J., LESH, R., POST, T. R., & SILVER, E. A. Rational number concepts. In: Lesh, R.; Landau, M. (Ed.). Acquisition of mathematics concepts and processes. New York: Academic Press. p BEHR, M., HAREL, G., POST, T., & LESH, R. Rational number, ratio, proportion. In: D. A. Grouws (Ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. New York: Macmillan, p BERTONI, N. E. Pedagogia. Educação e Linguagem matemática IV. Frações e números fracionários. PEDEaD BOGDAN, R.; BIKLEN, S. Investigação qualitativa em educação. Uma introdução à teoria e aos métodos. Porto: Porto Ed BRASIL, Ministério da Educação e do Desporto, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática (1ª a 4ª série). Brasília-DF, CAMPOS, T. M. M.; et al. Lógica das equivalências. Relatório de pesquisa não publicado. São Paulo: PUC ; NUNES, T.; LOBO COSTA, N. M.; CERAGIOLI, L. A Representação de Quantidades Menores do que uma Unidade. Representing Quantities Smaller than the Unit. Acta Scientiae, v. 14, n. 3, p , ; RODRIGUES, W. R. A ideia de unidade na construção do conceito do número racional. REVEMAT Revista Eletrônica de Educação Matemática, V2.4, p , UFSC, Sobre o ensino e aprendizagem de frações. In: XIII Conferencia Interamericana de Educación Matemática, 2011, Recife. Anais XIII Conferencia Interamericana de Educación Matemática, Disponível em: < Acesso em: 25 março. 2013, às 20:02h. CARDOSO, P. O Conceito de Fracção: um estudo com alunos do 6º ano de escolaridade. Tese (Mestrado em Estudos da Criança) Universidade do Minho, ; MAMEDE, E. Considerações sobre o Ensino-aprendizagem do Conceito de Fracção à Luz de um Estudo com Alunos do 6º ano do Ensino Básico. In: Actas do X Congresso Internacional Galego-Português de Psicopedagogia. Braga: Universidade do Minho, ISBN

172 172 CANOVA, R. F. Um estudo das situações parte-todo e quociente no ensino e aprendizagem do conceito de fração. Tese (Doutorado em Educação Matemática) UNIBAN/SP, São Paulo, Crença, concepção e competência dos professores do 1º e 2º ciclos do ensino fundamental com relação à fração. Dissertação (Mestrado) PUC/SP, São Paulo, COSTA, F. M. Concepções e Competências de Professores Especialistas em Matemática em relação ao conceito de Fração em seus diferentes significados. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática) PUC/SP, São Paulo, DAMICO, A. Uma investigação sobre a formação inicial de professores de Matemática para o ensino de números racionais no Ensino Fundamental. Tese (Doutorado em Educação Matemática) PUC/SP, São Paulo, GARCIA SILVA, A. F. O desafio do desenvolvimento profissional docente: Análise da formação continuada de um grupo de professores das séries iniciais do Ensino Fundamental, tendo como objeto de discussão o processo do ensino e aprendizagem de frações. Tese (Doutorado em Educação Matemática) PUC/SP, São Paulo, CERVANTES, P. B. M.; CAMPOS, T. M. M. Sobre o conhecimento profissional para o Ensino em um Processo Formativo. Revista Perspectivas de Educação Matemática do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade Federal de Mato Grosso do Sul. v. 5, Número Temático, p ; CANOVA, R. F. O conceito de fração em livros didáticos brasileiros nos anos iniciais. Relatório de pesquisa não publicado. Pós graduação em Educação Matemática. UNIBAN/SP, São Paulo KIEREN, T. Personal knowledge of rational numbers: Its intuitive and formal development. In: J. Hiebert & M. Behr (Eds.), Number concepts and operations in the middle-grades. Reston (VA): National Council of Teachers of Mathematics, p MACHADO, N. J. O Pirulito do Pato. São Paulo: Scipione MAMEDE, E. The Effects of situations on Children s Understanding of Fractions Tese de PhD (não publicada), Oxford Brookes University. Oxford: OBU MONTEIRO CERVANTES, P. B. Uma formação continuada sobre as frações. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) UNIBAN/SP, São Paulo MUNIZ, C. A. O professor de matemática pesquisador. Programa Gestão da Aprendizagem Escolar - Gestar II. Matemática: Caderno de Teoria e Prática 3. TP3:matemáticanasformasgeométricasenaecologia.Brasília:Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, NUNES, T.; BRYANT, P. Crianças fazendo matemática. Porto Alegre: Artes Médicas

173 173 ; CAMPOS, T. M. M.; MAGINA, S.; BRYANT, P. Introdução à Educação Matemática: os números e as operações numéricas. 2ª ed. São Paulo: PROEM ; BRYANT, P., PRETZLIK, U. & HURRY, J. The effect of situations on children s understanding of fractions. Trabalho apresentado no encontro da British Society for Research on the Learning of Mathematics, Oxford, Reino Unido Usando na escola o conhecimento da vida diária: o caso das frações. Palestra proferida no Sindicato dos Estabelecimentos de Ensino no Estado de São Paulo. Congresso e Feira Saber ; CAMPOS, T. M. M.; MAGINA, S.; BRYANT, P. Educação matemática: números e operações numéricas. São Paulo: Cortez ; Bryant, P., Pretzlik, U., Bell, D., Evans, D., & Wade, J. La compréhension des fractions chez les enfants. In M. Merri (Ed.), Activité humaine et conceptualisation (pp ). Toulouse: Presses Universitaires du Mirail ; BRYANT, P. Key understandings in Mathematics learning, Paper 3: Understanding rational numbers and intensive quantities. Nuffield Foundation Disponível em: <nuffield foundation.org/reports >. Acesso em 15 junho PEREIRA, M. D. Um estudo sobre interpretações das diretrizes curriculares para o curso de licenciatura em matemática por uma instituição federal de São Paulo. Tese (Doutorado em Educação Matemática) UNIBAN/SP, São Paulo PIAGET, J.; INHELDER, B.; SZEMINSKA, A. The child s conception of geometry. London: Routledge, Kegen Paul. p PONTE, J. P. Concepções dos professores de matemática e processos de formação. In Educação Matemática: Temas de Investigação (pp ). Lisboa: IIE RODRIGUES, W. R. Números Racionais: um estudo das concepções dos alunos após o estudo formal. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) PUC/SP. São Paulo SÃO PAULO (Estado). Relatório Pedagógico SARESP 2010: Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar. São Paulo: FDE SERRAZINA, M. L. Reflexão, conhecimento e práticas lectivas em Matemática num contexto de reforma curricular no 1º ciclo. Quadrante. Revista Teórica e de Investigação A Formação Contínua de Professores em Matemática: o conhecimento e a supervisão em sala de aula e a sua influência na alteração das práticas. International Journal for Studies in Mathematics Education 2(1) Disponível em: < Acesso em 19 Outubro. 2013

174 174. (2013). O Programa de Formação Continuada em Matemática para Professores do 1º ciclo e a melhoria do ensino da Matemática. Da Investigação às práticas. 3(2), Disponível em: < Acesso em 22 abril SHULMAN, L. Those Who Understand: Knowledge Growth in Teaching. In: Educational Researcher. American Educational Research Association, p. 1-24, SHULMAN, L. Knowledge and teaching: Foundations of the new reform. Havard Educacional Review, v. 57, n. 1, p. 1-21, Feb STREEFLAND, L. Fractions in Realistic Mathematics Education: A Paradigm of Developmental Research. Norwell, MA: Kluwer Academic Publishers Charming fractions or fractions being charmed? In: T. Nunes & P. Bryant (Eds.), Learning and Teaching Mathematics. An International Perspective. Hove, Reino Unido: Psychology Press, p TARDIF, M.; RAYMOND. D. Saberes, tempo e aprendizagem do trabalho no magistério. Educação & Sociedade, ano XXI, no 73, Dezembro/2000. Disponível em: < Acesso em 10 maio TEIXEIRA, A. M. O Professor, o Ensino de fração e o Livro Didático: um estudo investigativo. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática) PUC/SP, São Paulo VERGNAUD, G. La théorie des champs conceptuels. Recherches en Didactique des Mathématiques, 10 (23), p Epistemologia e psicologia da educação matemática. Mathematicsand Cognition, p Teoria dos campos conceituais. In: Nasser, L. (Ed.) Anais do 1º Seminário Internacional de Educação Matemática do Rio de Janeiro. p A contribuição da psicologia nas pesquisas sobre a educação científica, tecnológica e profissional do cidadão. In: Fávero, M. H.; Cunha, C. da (Orgs.). Psicologia do conhecimento: o diálogo entre as ciências e a cidadania Teoria dos campos conceituais. In: CAMPOS, T.M.M. (Coord.). Curso monográfico altos estudos. São Paulo: Uniban, ZEICHNER, K. Formação reflexiva de professores: idéias e práticas. Lisboa: Educa

175 175 ANEXO 1 OBSERVATÓRIO DA EDUCAÇÃO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA Curso de Atualização em Matemática para Professores dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental Diretoria de Ensino Norte 2 Representação Fracionária do Número Racional 1ª SITUAÇÃO: SEQUÊNCIA DE TAREFAS ELABORADA PELA PROFESSORA TEREZINHA NUNES - Seis meninas vão repartir igualmente um pacote de biscoito. O pacote está fechado. Não sabemos quantos biscoitos há dentro. 1. Se cada menina receber um biscoito e não sobrar nenhum, quantos biscoitos tinham no pacote? 2. Se cada menina receber meio biscoito e não sobrar nenhum, quantos biscoitos tinham no pacote? 3. Se chegassem mais umas meninas e todas fossem receber a mesma quantidade, o que vai acontecer quando elas distribuírem os biscoitos? Cada uma vai ganhar mais, menos, ou a mesma quantidade que antes? 4. Um amigo seu disse que não sabe como resolver se elas ganham mais, menos, ou a mesma quantidade. Explique para ele como ele pode saber.

176 176 2ª SITUAÇÃO: - Quatro pessoas vão dividir 3 chocolates igualmente. 1. Vai ser possível dar uma barra para cada um? 2. Vai ser possível dar pelo menos metade para cada um? 3. Como você dividiria as barras de chocolate?

177 177

178 178 - Vamos escrever com números a quantidade que cada um recebeu. Um chocolate dividido igualmente para duas crianças. Escrevemos 1 porque é um chocolate, depois fazemos um traço para indicar a divisão, e em baixo escrevemos 2, porque é o número de pessoas recebendo chocolates. Esse número é lido como um meio.

179 Se fosse um chocolate dividido igualmente para 3 crianças, como vamos escrever com números a quantidade que cada um recebeu? Como vamos dizer esse número? 5. Se fosse um chocolate dividido igualmente para 4 crianças, como vamos escrever com números a quantidade que cada um recebeu? Como vamos dizer esse número? 6. Se fosse um chocolate dividido igualmente para 5 crianças, como vamos escrever com números a quantidade que cada um recebeu? Como vamos dizer esse número? 7. Se fosse um chocolate dividido igualmente para 8 crianças, como vamos escrever com números a quantidade que cada um recebeu? Como vamos dizer esse número? 8. Se fossem 2 chocolates divididos igualmente para 3 crianças, como vamos escrever com números a quantidade que cada um recebeu? Como vamos dizer esse número? 9. Se fossem 2 chocolates divididos igualmente para 5 crianças, como vamos escrever com números a quantidade que cada um recebeu? Como vamos dizer esse número? 10. Se fossem 4 chocolates divididos igualmente para 3 crianças, como vamos escrever com números a quantidade que cada um recebeu? Como vamos dizer esse número? - Esses números são chamados frações. Eles indicam que fizemos uma divisão e quanto cada um vai ganhar nessa divisão.

180 180 3ª SITUAÇÃO: - Seis crianças foram a uma pizzaria e pediram duas pizzas para repartir igualmente. O garçom era muito simpático e trouxe uma pizza de cada vez para eles não deixarem a pizza esfriar. 1. Como eles podem dividir a pizza? Que fração da primeira pizza cada um vai ganhar? 2. Quando o garçom trouxer a segunda pizza, quanto cada um vai ganhar? 3. Que fração cada um vai ganhar ao todo? 4. Se o garçom trouxer as duas pizzas de uma vez, eles podem dividir de outra maneira? Como? Que fração da pizza cada um vai ganhar? 5. Veja essas duas frações. Você acha que elas mostram a mesma quantidade de pizza? Como você chegou a essa conclusão?

181 181 4ª SITUAÇÃO: 1. 9 crianças vão repartir igualmente 6 barras de chocolate. Mostre duas maneiras diferentes para elas fazerem essa repartição de modo que todos ganhem a mesma coisa. 2. Escreva as frações que você encontrou. 3. Essas frações indicam a mesma quantidade de chocolate? Por quê?

182 182 APÊNDICE 1 OBSERVATÓRIO DA EDUCAÇÃO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA Curso de Atualização em Matemática para Professores dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental Diretoria de Ensino Norte 2 Representação Fracionária do Número Racional Questionário de Entrada Instrumento I 1. Dados pessoais: Nome: Idade: Telefone: 2. Situação funcional: Colégio onde leciona: Cargo: 3. Formação Acadêmica: Ensino Médio: Sim ( ) Não ( ) Outro: Ano de Conclusão: Instituição Magistério/Cefam- nível médio: Sim ( ) Não ( ) Cefam ( ) Magistério ( ) Outro: Ano de Conclusão: Instituição Graduação: Sim ( ) Não ( ) Curso: Ano de Conclusão: Instituição Pós-Graduação: Sim ( ) Não ( ) Curso: Ano de Conclusão: Instituição 4. Há quanto tempo você atua nos anos iniciais do Ensino Fundamental? 5. Qual sua série preferida para lecionar? Por quê?

183 Comente sobre as aulas de Matemática que você teve quando era estudante, especialmente, as que tratavam das frações - nos anos iniciais, nos anos finais do Ensino Fundamental (antigo ginásio) e Ensino Médio (antigo colegial). 7. Você acha que as metodologias utilizadas por seus professores de Matemática quando ensinavam frações seriam adequadas para os alunos de hoje? Por quê? 8. Como você avalia seu aprendizado de matemática na Educação Básica? 9. Como você avalia seu aprendizado de Matemática quando estudava para ser professora (formação inicial), especialmente, o relacionado aos processos de ensino e aprendizagem da fração? 10. Você participou de algum curso de formação continuada em que se discutiu questões relacionadas aos processos de ensino e aprendizagem da fração?

184 Na época em que você era aluno(a), algum de seus professores marcou, positiva ou negativamente, sua vida estudantil a ponto de, hoje, você, como profissional, espelhar-se nele para ensinar seus alunos? Comente. 12. Você gostaria de acrescentar alguma informação sobre sua prática docente? Obrigada!!!!

185 185 APÊNDICE 2 OBSERVATÓRIO DA EDUCAÇÃO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA Curso de Atualização em Matemática para Professores dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental Diretoria de Ensino Norte 2 Representação Fracionária do Número Racional Nome: Escola: Instrumento II Proposta 1: Elabore cinco situações envolvendo fração que você considera ser imprescindível ao introduzir o ensino desse tema para alunos de 9 ou 10 anos. Situação 1 Resolução Situação 2 Resolução

186 186 Situação 3 Resolução Situação 4 Resolução Situação 5 Resolução

187 187 Instrumento II ATIVIDADES FRAÇÕES ENVOLVENDO OS SIGNIFICADOS PARTE-TODO E QUOCIENTE 1- (SARESP, 2010) As duas figuras cuja parte pintada corresponde à fração 12 7 são: 2- (Prefeitura de São Paulo, 2010) Rafael dividiu uma torta em oito pedaços iguais e comeu dois. Qual a fração que representa o pedaço que Rafael comeu? 3- Bruna e Victor receberam uma barra de chocolate de mesmo tamanho cada uma. Bruna comeu 5 3 do chocolate dela e Victor comeu 4 3 do chocolate dele. Quem comeu mais chocolate, Bruna ou Victor? Um aluno deu a seguinte resposta: Bruna e Victor comeram o mesmo tanto, porque os dois comeram três pedaços dos seus chocolates. - Na sua concepção a resposta do aluno está: ( ) Certa ( ) Errada - Por que está certo? ou Por que está errado?

188 188 - Como você resolveria o problema? Você pode resolver por escrito, por meio de operações ou qualquer tipo de representação - Que estratégia de ensino você usaria para explicar para a classe a melhor forma de resolver o problema? 4- Na padaria do Senhor Joaquim são oferecidas pizzas como a representada a seguir O garçom foi retirar duas mesas - mesa 1 e mesa 2- e observou que os fregueses não comeram todos os pedaços de pizza. Mesa 1 Mesa 2 Analisando a situação podemos afirmar que: a) A fração de pizza que representa a quantidade da sobra observada na Mesa 1 é.

189 189 b) A fração de pizza que representa a quantidade da sobra observada na Mesa 2 é. 5- O índio corta a sua pizza em 4 partes iguais e come uma parte. A índia corta a sua pizza em 8 partes iguais e come duas partes. As pizzas são idênticas. Represente a fração que cada um comeu. Porque

190 Ana divide seu chocolate em 7 partes iguais e come 4 parte. Marta divide seu chocolate em 10 partes iguais e come 5. Os chocolates são idênticos. Represente a fração que cada uma comeu. Porque

191 Nove meninos irão dividir igualmente 6 pizzas e não deve sobrar nada.três meninas irão dividir igualmente 2 pizzas e também não deve sobrar nada. As pizzas são idênticas. Represente a fração que cada criança irá receber de pizza. Porque 8- Foram divididos, igualmente, 4 chocolates para 5 crianças. Que fração representa o que cada criança recebeu?

192 Dois bolos idênticos foram divididos igualmente para 5 pessoas. Quanto recebeu cada uma? 10- Numa pizzaria haviam duas mesas ocupadas: uma com 4 meninas e outra com 5 meninos. Para a mesa das meninas foram pedidas 2 pizzas e para a mesa dos meninos foram pedidas 4 pizzas. - Escreva o número que representa a parte de pizza que cada um comeu. As meninas: Os meninos: - Quem comeu mais, cada menina ou cada menino? Por quê?