Belo Horizonte, MG, a de Setembro de 1 IMPLEMENTAÇÃO DE CONTROLADOR ROBUSTO PARA O SISTEMA BALL BALANCER SUJEITO A FALHAS ESTRUTURAIS Rafael de Paula Camata, Edvaldo Assunção, Emerson R. P. da Silva, Marcelo C. Minhoto Teixeira, Luiz Francisco S. Buzarecho, Uiliam Nelson L. T. Alves, Diogo R. de Oliveira Laboratório de Pesquisa e Controle (LPC), Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Estadual Paulista - UNESP Avenida Carlos Rossi, n o 137, 15.385-, Ilha Solteira - SP, Brasil Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR Campus Cornélio Procópio, Avenida Alberto Carazzai, n o 1, 83-, Cornélio Procópio - PR, Brasil Universidade Tecnologica Federal do Paraná - UTFPR Campus Apucarana, Rua Marcílio Dias, n o 35, 881-, Apucarana - PR, Brasil camata@ieee.org, edvaldo@dee.feis.unesp.br, e.ravazzi@bol.com.br, marcelo@dee.feis.unesp.br, luiz.buzachero@yahoo.com.br, uiliamlendzionalves@gmail.com, diogo_oliveira@hotmail.com Abstract It is presented in this paper, the practical implementation of a robust controller for a dynamic system subject to failures using optimization techniques based on Linear Matrix Inequalities (LMIs) formulated based on the theory of stability second Lyapunov. The addition of restriction of the decay rate was also carried out in order to reduce the duration of the transient. Several techniques were used to compare the stability of a polytopic uncertain system, which is a structural failure of equipment, such techniques is optimizing the K norm, in order controllers with lower cost and better performance. Another method was applied Finsler s lemma, which considerably reduces the gains. This paper proposed implementing this type using the system Ball Balancer of Quanser R in which one can compare the theoretical and experimental results illustrating the efficiency of the design and its different methods. Keywords Robust Control, Structural Failures, Linear Matrix Inequalities (LMIs), Optimization of Standard Controllers, Finsler s Lemma, Decay Rate, Ball Balancer. Resumo Neste trabalho é apresentado a implementação prática de controladores robustos em um sistema dinâmico sujeito a falhas no modelo. Utiliza-se técnicas de otimização baseadas em Desigualdades Matriciais Lineares (LMIs - do Inglês Linear Matrix Inequalities) formuladas com base na teoria de estabilidade segundo Lyapunov. Ainda, para o projeto, foi considerado o acréscimo da restrição da taxa de decaimento, de modo a diminuir o tempo de duração do transitório. Várias técnicas foram utilizadas para comparar a estabilidade de um sistema politópico incerto, na qual representa uma falha estrutural do equipamento. Uma dessas técnicas é a otimização da norma de K visando controladores com menores ganhos e melhor desempenho. Outro método aplicado foi o Lema de Finsler, na qual reduz os ganhos consideravelmente. Este trabalho propôs realizar a implementação utilizando o sistema Ball Balancer da Quanser R no qual pode-se comparar resultados teóricos e experimentais ilustrando a eficiência do projeto levando em conta os diferentes métodos. Palavras-chave Controle Robusto, Falhas Estruturais, Desigualdades Matriciais Lineares (LMIs), Otimização da Norma de Controladores, Lema de Finsler, Taxa de Decaimento, Ball Balancer. 1 Introdução O projeto de controladores via Desigualdades Matriciais Lineares, ou LMIs (do inglês Linear Matrix Inequalities), é uma ferramenta de projeto importante na área de controle e possui muitas aplicações em várias outras áreas da engenharia. Existem também outras técnicas de projeto de controladores na literatura, como os encontrados em Chen (1995). O projeto de controlador robusto usando LMIs é muito interessante devido a sua característica de resolver problemas que até então não possuíam soluções conhecidas, utilizando para isso técnicas computacionais avançadas (Gahinet et al., 199; Sturm, 1999). Neste trabalho, foi realizado projetos de controladores robustos de sistemas sujeitos a incertezas no modelo (um caso particular pode ser visto como falha estrutural) com realimentação dos estados (da Silva et al., 9; Buzachero et al., 1; Buzachero et al., 1; Neves, 1). Nos últimos anos o uso de LMIs tem crescido muito, e com isso criou-se uma diversidade muito grande para análise de estabilidade robusta de sistemas lineares (Leite et al., ) e também diversas técnicas de controle robusto (Assunção et al., 7; Pipeleers et al., 9). O Lema de Finsler (Skelton et al., 1997) tem sido muito usado na teoria de controle para a análise de estabilidade por LMIs (Leite et al., ), o mesmo apresenta resultados semelhantes aos das LMIs de estabilidade quadrática, contudo ele utiliza novas matrizes, levando a relaxação na análise de estabilidade, através da obtenção de uma maior região de facti- 99
Belo Horizonte, MG, a de Setembro de 1 bilidade. Sua maior vantagem está na aplicação de síntese de controladores de sistemas a partir da realimentação dos estados, realimentação de saída, como também na realimentação derivativa, entre outras. Este trabalho tem como objetivo demonstrar de maneira prática a qualidade e utilidade de vários métodos para a obtenção de controladores, analisando a magnitude dos mesmos que muitas vezes é alta e acaba prejudicando sua implementação. Assim, torna-se necessária a minimização dos ganhos do controlador, viabilizando sua implementação (otimização da norma do ganho K). Contudo, somente este método não foi suficiente, pois sabe-se que ao utilizar tal otimização o tempo de estabilização do sistema pode ser maior que o requisitado nas especificações do projeto. Assim, tem-se a necessidade de restringir as LMIs limitando sua taxa de decaimento, formulada com a inserção do parâmetro γ nas LMIs, de forma a visar as vantagens e desvantagens de cada método, analisando seus resultados para cada caso. As comparações serão realizadas a partir da implementação prática de cada um dos sistemas de controle, sendo eles o controlador do fabricante, e aqueles com controle robusto, sendo com taxa de decaimento, minimização da norma e Lema de Finsler. Lei de Controle Para Realimentação de Estados O controle em malha fechada sempre resulta em melhores resultados do que o controle de malha aberta, visto que diminui-se as variações à incertezas, por exemplo. Assim, considerando um sistema linear e invariante no tempo, tem-se a representação no espaço de estados ẋ(t) = Ax(t) +Bu(t), (1) sendo x(t) R n o vetor de estados, A R n n a matriz de estados, B R n m a matriz de entrada do sistema, u(t) R m o vetor de entrada. Considerando que todos os estados estão disponíveis para realimentação, o sistema pode ser tomado pela lei de controle (Chen, 1995) u(t) = Kx(t), () sendo K R m n uma matriz de ganhos constantes. A partir das equações anteriores, pode-se considerar o seguinte sistema realimentado ẋ(t) = (A BK)x(t). (3).1 Projeto para estabilidade segundo Lyapunov usando LMIs A função de Lyapunov mais comum é a de forma quadrática, e é dada por V (x) = x T Px = n p ij x i x j, () i, P = P T >. (5) A forma quadrática é positiva definida para todo R n se P é positivo definido da matriz simétrica, assim, sendo V (x) negativa definida e o sistema assintoticamente estável obtém-se A T P +PA <, () se a equação algébrica de Lyapunov (Chen, 1995) for satisfeita A T P +PA = Q, Q = Q T >, (7) sendo Q uma matriz positiva definida. Para que exista a estabilidade assintótica usando o teorema de estabilidade segundo Lyapunov as LMIs encontradas nas equações (5) e () devem ser satisfeitas. Desta maneira, em malha fechada, a equação () pode ser dada por (A BK) T P +P (A BK) <, (8) A T P K T B T P +PA PBK <, (9) a equação (9) é uma Matriz de Desigualdade Bilinear (BMI - do inglês Bilinear Matrix Inequality), com algumas manipulações matemáticas é possível convertê-la em uma LMI multiplicando P 1 em ambos os lados P 1 A T P K T B T P+PA PBKP 1 <, P 1 A T PP 1 P 1 K T B T PP 1 +P 1 PAP 1 P 1 PBKP 1 <, P 1 A T P 1 K T B T +AP 1 BKP 1 <. (1) Definindo por fim que X = X T = P 1 e M = KX = KP 1, substituindo então na equação (1) AX +XA T BM M T B T <, (11) X >, (1) considerando que as LMIs encontradas em (11) e (1) sejam factíveis uma possível matriz de realimentação de estados pode ser encontrada em (13)(Boyd et al., 199) K = MX 1. (13) 3 Controle Robusto para Sistemas com Realimentação de Estados Tomando um sistema incerto dado por ẋ(t) = A(α)x(t) + B(α)u(t), (1) 1
Belo Horizonte, MG, a de Setembro de 1 que pode ser descrito como uma combinação convexa dos vértices dos politopos. x(t) = r α j A j x(t) + s α j B j u(t), (15) α j >, j = 1,...,r e r α j = 1, sendo r o número de vértices dos politopos A e B. Tomando assim o sistema incerto dado em (15) juntamente com a teoria de Lyapunov citada anteriormente (), tem-se o seguinte lema (Boyd et al., 199): Lema 3.1. Uma condição suficiente para garantir a estabilidade do sistema incerto sujeito a uma taxa de decaimento maior do que γ é a existência de matrizes X = X T R n n e M R m n, de modo que A jx +XA j T B jm M T B j T +γx < (1) X > (17) com j = 1,...,r. Desta forma, quando as LMIs (1) e (17) forem factíveis, uma matriz de realimentação de estados que estabiliza o sistema pode ser tomada por Prova: Vide (Boyd et al., 199). K = MX 1. (18) Com esta análise feita pode-se realimentar o sistema incerto apresentado em(1), visto que(1) e(17) são condições suficientes para a estabilidade assintótica do politopo. Nota-se que a falha pode acontecer tanto no politopo A como em B com qualquer intensidade, desde que não haja perda da controlabilidade do sistema. Se para este tipo de falha a solução das LMIs for factível garante-se a estabilidade do sistema. 3.1 Otimização da norma da matriz K A norma de uma matriz é uma quantidade escalar que indica a magnitude dos elementos da matriz. Em alguns casos a magnitude da matriz de realimentação K deve ser limitada em valores realistas para que o controlador possa ser implementado eficientemente. Observa-se que grandes sinais de controle são normalmente indesejáveis e podem aumentar a complexidade e custo do controlador, desta maneira a otimização da norma de K de realimentação de estados se faz necessária e a mesma pode ser especificada utilizando LMIs como demonstrado em Assunção et al. (7). Lema 3.. Tomando uma constante µ >, um limitante para a norma da matriz K R m n de realimentação dos estados pode ser obtido encontrando o valor mínimo de β, β >, tal que KK T < β µ Im. Um valor ótimo de β pode ser definido através da solução do seguinte problema de otimização: minβ βim M s.a M T I n > (19) X > µ I n () (LMIs (1) e (17)) (1) sendo que I m e I n são identidades de ordem m e n. Prova: Vide (Assunção et al., 7) Com aminimizaçãodeβ amagnitudedoselementos de K são decrescidos, com as outras LMIs pode-se garantir a estabilidade e uma taxa de decaimento específicas. Lema de Finsler Usado para expressar condições de estabilidade em termos de desigualdades matriciais o Lema de Finsler tem certas vantagens, quando trata-se de sistemas incertos, sobre a teoria já existente de Lyapunov (Boyd et al., 199), visto que há a introdução de novas variáveis (µ,x) em condições que envolvem apenas L, B e B (Oliveira, ). Lema.1 (Finsler). Tomando w R nx, L R nx nx e B R mx nx com rank(b) < n x e B uma base para o espaço nulo de B (isto é, BB = ), as seguintes condições são equivalentes 1. w T Lw <, w : Bw =. B T LB < 3. µ R : L µb T B <. X R nx mx : L+XB +B T X T <. Prova: Vide (Skelton et al., 1997; de Oliveira and Skelton, 1)..1 Estabilidade robusta de sistemas utilizando o lema de Finsler Considere o sistema realimentado encontrado na Equação (3). Definindo então (Buzachero et al., 1) w = x ẋ, B = (A BK) I, B = I (A BK) e L = γp P P, nota-se que Bw = equivale a (3) e w T Lw < corresponde a restrição de estabilidade com taxa de decaimento formulada a partir da função quadrática de Lyapunov (Boyd et al., 199). Desta maneira as dimensões das variáveis do Lema.1 são dadas por: n x = n e m x = n. Desta forma, é possível definir a estabilidade por meio da função quadrática de Lyapunov (), criando assim novos graus de liberdade para a síntese de controladores. Pode-se concluir, a partir da prova existente do Lema de Finsler, que, se as propriedades 1 e são verdadeiras, então as propriedades 3 e também serão. Desta maneira, pode-se reescrever a propriedade da seguinte maneira, como visto em Buzachero et al. (1). X R n n, P = P T > tais que +X (A BK) I+ A BK T γp P P I X T <. tomando convenientemente a matriz de variáveis X = az Z, com Z Rn n não simétrica e a uma constante de relaxação com função de flexibilizar a matriz X na LMI, (Pipeleers et al., 9). Tal constante pode ser definida através de uma busca unidimensional. Utilizando a propriedade e aplicando a transformação T Z de congruência 1 Z à esquerda e 1 Z 1 Z 1 à direita, tem-se (Buzachero et al., 1) z 1 ZA+A T Z T ZBK K T B T Z T +γp z 1 P+aZA azbk Z T P+aA T Z T ak T B T Z T T Z z 1 az az T z < 1 11
Belo Horizonte, MG, a de Setembro de 1 AZ T +Z 1 A T BKZ T Z 1 K T B T +γz 1 PZ T Z 1 PZ T +aaz T abkz T Z 1 Z 1 PZ T +az 1 A T az 1 K T B T Z T < () az T az 1 fazendo então Y = Z T ; M = KY e Q = Y T PY em (), são encontradas as seguintes LMIs AY +Y T A T BM M T B T +γq Q+aY T A T am T B T Y <, Q+aAY abm Y T ay ay T (3) Q > () sendo Y R n n, Y Y T, M R m n e Q R n n, como citado em Buzachero et al. (1). Ao utilizar o Lema de Finsler para análise de estabilidade robusta, tem-se como vantagem uma maior flexibilidade na escolha da função de Lyapunov, definida agora como Q(α) = α jq j, α j = 1, α j r r e j = 1...r, já que, agora, consegue-se definir uma função de Lyapunov Q j para cada vértice j do politopo, ainda, estas LMIs atendem às restrições para a estabilidade assintótica do sistema descrito em (1) com a realimentação de estados dada por (). Com isto apresenta-se o seguinte lema Lema.. (Buzachero et al., 1) Para se garantir a estabilidade do sistema incerto definido por (15) sujeito a taxa de decaimento maior ou igual a γ é condição suficiente a existência de matrizes Y R n n, Q j = Q j T R n n e G R m n, tais que Figura 1: Sistema Ball Balancer da Quanser R pertencente ao LPC-FEIS-UNESP. Para a modelagem matemática deste sistema é tomado que cada eixo é independente do outro e visto que ambos têm o mesmo funcionamento, pode-se então representar apenas um mesmo modelo matemático como definido em Quanser Innovate Educate (8) para ambos. Uma planta esquemática do eixo x é apresentado na Figura. h Conjunto de Engrenagens do Motor r arm α θ l x Esfera L Plataforma Móvel Eixo para Suporte Suporte Aj Y +Y T A j T Bj M M T B j T +γqj Q j +aa j Y ab j M Y T Q j +ay T T A j am T T Bj Y < (5) ay ay T Q j > () Figura : Planta esquemática do movimento no eixo x do Ball Balancer (adaptado de (Alves, 1)). com j = 1,...,r. Quando as LMIs (5) e () forem factíveis, existirá uma matriz de realimentação de estados que estabiliza o sistema K = MY 1. (7) Prova: Ver em Buzachero et al. (1). 5 Sistema Ball Balancer Quanser R Considere o sistema D Ball Balancer Quanser R encontrado na Figura 1 no qual consiste em uma placa quadrada que está acoplada a dois servomotores (um no eixo x e outro no eixo y) onde uma esfera pode ser colocada e movimenta-se com dois graus de liberdade ( DOF). Sua posição é medida por uma câmera colocada numa posição superior à placa, o controle tem como objetivo posicionar a esfera em um ponto de referência ou rastrear uma rota determinada. O modelo matemático do sistema pode ser obtido ao se aplicar o diagrama de corpo livre na esfera e assumir que o ângulo θ l (t) ficará próximo a (sen(θ l (t)) θ l (t)) com isso sabe-se que, com a obtenção da posição da esfera, encontra-se sua relação com o ângulo θ l (t) pela Equação (8) visto em (Quanser, 8). ẍ(t) = k bb θ l (t), k bb = m br armr b g L(m b r b +J b). (8) As variáveis de estado do sistema são dadas por x(t), ẋ(t), θ l (t) e θ l (t) e em cada eixo do sistema Ball Balancer é dado em espaço de estados pela Equação (9): 1 ẋ 1 (t) ẋ (t) k bb ẋ 3 (t) = 1 ẋ (t) Beq J eq x 1 (t) x (t) x 3 (t) + x (t) A m J eq u(t). (9) Os valores das constantes podem ser encontrados na Tabela 1. 1
Belo Horizonte, MG, a de Setembro de 1 Tabela 1: Parâmetros do sistema Ball Balancer Quanser R (Quanser Innovate Educate, 8). Descrição Valor B eq Amortecimento referente ao motor,8 Nms/rd J eq Inercia no motor,1 kgm A m Ganho do motor,19 Nm/V L Comprimento da placa móvel,75 m r arm Distância entre eixo da engrenagem de saída do servomotor e o ponto de,5 m fixação da barra r b Raio da bola,19 m m b Massa da bola,3 kg Figura : Movimentação da esfera nos eixos xy em implementação com o controlador do fabricante. Referência em implementações, definidas nas Figuras 5 e. Comparação Entre as Diversas Técnicas Utilizadas Neste trabalho o principal foco foi implementar alguns métodos de controle estudados de maneira a encontrar o melhor controlador para cada situação. Visto que o sistema pode seguir uma rota pré-determinada foi utilizado então um quadrado de 1 cm de lado como referência para todas as implementações práticas. Também, em todas as implementações a falha foi inserida no sistema aos 3 segundos, e inserida no eixo x, ou seja, este eixo caracteriza a falha, no qual consta de umaperdadepotêncianomotor (ganhoamdomotor, como definido em (9)). Esta falha foi implementada artificialmente no software por um ganho no sinal de controle com valor menor que um. Nos primeiros testes realizados foi utilizado o controlador do fabricante (Quanser Innovate Educate, 8), que consiste de um controle em cascata utilizando um controlador proporcional e um PID para o controle da posição da esfera. Verifica-se que o sistema ainda operou mesmo após a ocorrencia de uma falha de 5%, isso pode ser verificado nas implementações práticas vistas nas Figuras 3 e. 5 1 15 5 3 35 5 5 55 Figura 5: Movimentação daesfera noeixo xpara5% de falha e taxa de decaimento γ =,5. Referência em 5 1 15 5 3 35 5 5 55 Figura 3: Movimentação da esfera no eixo x com o controlador do fabricante. Referência em Observa-se que houve um desequilíbrio no instante de 3 segundos, entretanto o sistema ainda conseguiu seguir o referencial. Foi realizada a implementação das LMIs com uma taxa de decaimento fixa (1) com valor γ =,5 e foram obtidos, para uma falha de 5%, as seguintes Figura : Movimentação da esfera nos eixos xy com taxa de decaimento γ =,5. Referência em Com esta configuração foi determinado, K = 5,3175 15,83 39,73 1,9, (3) K = 9,17. Foi então testado a robustez do sistema, alcançando uma situação crítica de 9% de falha no motor, ou seja, mesmo com um ganho total de apenas 1% o sistema manteve a estabilidade mesmo com a falha crítica, tal conclusão foi alcançada devido a várias simulações computacionais e implementações no Ball Balancer, como pode-se verificar nas Figuras 7 e 8. Detecta-se que após a falha o sistema continua equilibrado, tendo um γ de 1,7, demostrando a diminuição do tempo de resposta do sistema, alcançando os ganhos K = 31,11 78,73 1,71,5, (31) 13
5 1 15 5 3 35 5 5 55 Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, a de Setembro de 1 Figura 7: Movimentação da esfera no eixo x para 9% de falha com taxa de decaimento. Referência em Figura 1: Movimentação da esfera nos eixos xy para 5% de falha e otimização danorma K. Referência em γ =,5, obteve-se K = 17,37 19,5 18,113 5,3, (3) K = 37,73 uma norma consideravelmente pequena. Seguiu-se então para a implementação do controlador com uma falha de 9% e γ = 1,7, encontrando Figura 8: Movimentação da esfera nos eixos xy em simulação com taxa de decaimento e 9% de falha. Referência em K = 39,98 que são considerados muito altos para o sistema Ball Balancer, podendo até mesmo, em um grande tempo de uso, danificá-lo. Com estas implicações faz-se necessária a otimização de K de maneira que estes ganhos sejam diminuídos, otimizando a norma e a taxa de decaimento, então, de acordo com (19), foram obtidos os seguintes resultados, definidos nas Figuras 9 e 1, para uma falha de 5%. K =,5 158,17 79,9,99, (33) K = 9,891 mesmo com uma norma superior a taxa de decaimento foi diminuída, isto acontece pois trabalha-se com uma falha maior que a anterior, levando à diminuição da velocidade de reação do sistema, como pode ser visto nas Figuras 11 e 1. 5 1 15 5 3 35 5 5 55 Figura 11: Movimentação da esfera no eixo x para controlador com otimização da norma K e 9% de falha. Referência em 5 1 15 5 3 35 5 5 55 Figura 9: Movimentação da esfera no eixo x para controlador com otimização da norma K e 5% de falha no eixo x. Referência em Por fim, foram realizadas as implementações de acordo com o Lema de Finsler, com resultados ainda melhores que os obtidos até o momento, para 5% de falha na potência enviada ao motor do eixo x, temse, como encontrado nas Figuras 13 e 1, a seguinte implementação. Tal sistema foi implementado com γ = 3,9 e Observa-se que após a falha, o tempo de duração do transitório agora é maior que anteriormente, isto já era algo esperado (Assunção et al., 7), e com K = 37,351 15,1 1,91,59, (3) K =,77. 1
Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, a de Setembro de 1 K = 91,81. Nas Figuras 15 e 1 encontra-se os resultados para as implementações práticas do controle em questão. Figura 1: Movimentação da esfera nos eixos xy para 9% de falha com otimização da norma. Referência em 5 1 15 5 3 35 5 5 55 Figura 15: Movimentação da esfera no eixo x com 9% de falha e γ =,1. Referência em 5 1 15 5 3 35 5 5 55 Figura 13: Movimentação da esfera no eixo x. Referência em Figura 1: Movimentação da esfera nos eixos xy no caso Finsler e 9% de falha e γ =,1. Referência em Tabela : Comparações para as Normas e Taxas de Decaimento para cada um dos controladores implementados no Ball Balancer Quanser R com 9% de falha no ganho do motor do eixo x. Figura 1: Movimentação da esfera nos eixos xy no caso Finsler. Referência em Taxa de Decaimento Otimização da Norma Norma K 39,98 137,73 γ 1,7 1,7 Sendo assim pode-se obter um controlador com uma taxa de decaimento elevada e uma norma satisfatória para o sistema Ball Balancer, ou seja, caso essa taxa se mantivesse a mesma a norma seria muito menor alcançando valores onde o sistema Ball Balancer não funcionaria corretamente, com isso pode-se averiguar que a otimização é muito grande utilizando o Lema de Finsler, pois os ganhos são alcançados com um γ maior, diminuindo a duração do transitório do sistema. São esperados resultados ainda melhores que os obtidos até agora para todos os testes realizados com 9% de falha na potência do motor no eixo x. Foram obtidos assim, para uma falha de 9%, um γ de,1, superior aos obtidos anteriormente e ainda K = 3,99 15, 5,19 1,197, (35) Lema de Finsler 91,81,1 Analisando a Tabela pode-se concluir que ocorre uma eficiente otimização da norma com o mesmo valor de γ e por fim o Lema de Finsler acarreta num maior valor para a taxa de decaimento sem danificar o sistema. Cabe observar que se o valor da taxa de decaimento continuasse em 1,7 quando utilizado o Lema de Finsler o valor de sua norma seria dado por 18,58. 7 Conclusões Os métodos de projeto analisados mostraram-se satisfatórios, contudo o método utilizando o Lema de 15
Belo Horizonte, MG, a de Setembro de 1 Finsler mostrou melhores resultados quando comparado com os demais. Implementaram-se os controladores projetados tanto com 5% de falha como 9%, o primeiro caso para comparar com o projeto do fabricante, os resultados mostraram que houve maior robustez para o projeto estudado, onde foi alcançado até 9% de perda no ganho do motor, e também melhores resultados quando comparados com a mesma falha determinada no projeto do fabricante (5%). Tomouse um γ constante de forma a comparar a norma K entre os métodos utilizados, com isso pode-se verificar que, com o Lema de Finsler foi possível aumentar essa taxa de decaimento levando então a uma diminuição no tempo de duração do transitório otimizando ainda mais o controle do sistema Ball Balancer. Na análise de todas as técnicas pode se verificar que há um aumento significativo na robustez do sistema assim como uma melhor resposta do controlador, deve se considerar também que as LMIs utilizadas foram menos conservadoras do que as clássicas, e cada uma das implementações provaram a eficiência do uso dessas LMIs. Agradecimentos Todos autores são gratos à Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), pelo apoio financeiro, à Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP), processo número 11/171-, pela aquisição do sistema Ball Balancer Quanser R, etambémaocnpqpelabolsadeiniciação científica. Referências Assunção, E., Teixeira, M., Faria, F., Silva, N. D. and Cardim, R. (7). Robust state-derivative feedback lmi-based designs for multivariable linear systems, International Journal of Control 8(8): 1 17. Boyd, S. P., El Ghaoui, L., Feron, E. and Balakrishnan, V. (199). Linear matrix inequalities in system and control theory, Vol. 15, SIAM. Buzachero, L. F. S., Assunção, E., Teixeira, M. C. M. and da Silva, E. R. P. (1). New techniques for optimizing the norm of robust controllers of polytopic uncertain linear systems, Frontiers in Advanced Control Systems, InTech, pp. 75 1. Buzachero, L. F. S., Assunção, E., Teixeira, M., Faria, F. and da Silva, E. (1). Otimização de controladores robustos de sistemas dinâmicos sujeitos a falhas estruturais, Anais, CBA (XVIII Congresso Brasileiro de Automática) pp. 8 75. Chen, C.-T. (1995). Linear system theory and design, Oxford University Press, Inc. da Silva, E. R. P., Teixeira, M., Assunçao, E. and Faria, F. (9). Controle robusto de sistemas não-lineares sujeitos a falhas estruturais, Proceedings of the 8th Brazilian Conference on Dynamics, Control and Applications. de Oliveira, M. C. and Skelton, R. E. (1). Stability tests for constrained linear systems, in l. n., Control and I. Sciences (eds), Perspectives in robust control pp. 1 57. Gahinet, P., Nemirovskii, A., Laub, A. J. and Chilali, M. (199). The lmi control toolbox, IEEE Conference on Decision and Control, Vol., INS- TITUTE OF ELECTRICAL ENGINEERS INC (IEE), pp. 38 38. Leite, V. J., Montagner, V. F., Oliveira, P. J. d., Oliveira, R. C., Ramos, D. C. and Peres, P. L. (). Estabilidade robusta de sistemas lineares através de desigualdades matriciais lineares, Sba: Controle & Automação Sociedade Brasileira de Automatica 15(1):. Neves, G. C. (1). Controle automático de um sistema bola e viga, Graduação, Unesp - Universidade Estadual Paulista. Oliveira, M. C. d. (). Novos testes de estabilidade para sistemas lineares, Sba: Controle & Automação Sociedade Brasileira de Automatica 15(1): 17 3. Pipeleers, G., Demeulenaere, B., Swevers, J. and Vandenberghe, L. (9). Extended lmi characterizations for stability and performance of linear systems, Systems & Control Letters 58(7): 51 518. Quanser (8). D Ball Balancer Control using QUARC: Instructor Manual. Quanser Innovate Educate (8). Rotary control challenge: Product Information Sheet. URL: http://www.quanser.com/products/ Docs/183/Quanser\_Rotary\_Control\_Lab\ _Brochure.pdf Skelton, R. E., Iwasaki, T. and Grigoriadis, D. E. (1997). A unified algebraic approach to control design, CRC Press. Sturm, J. F. (1999). Using sedumi 1., a matlab toolbox for optimization over symmetric cones, Optimization methods and software 11(1-): 5 53. 1