CONTROLE ROBUSTO CHAVEADO DE SISTEMAS LINEARES VARIANTES NO TEMPO COM APLICAÇÃO EM FALHAS ESTRUTURAIS

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1 Ilha Solteira UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA JÚLIO DE MESQUITA FILHO Campus de Ilha Solteira - SP LUIZ FRANCISCO SANCHES BUZACHERO CONTROLE ROBUSTO CHAVEADO DE SISTEMAS LINEARES VARIANTES NO TEMPO COM APLICAÇÃO EM FALHAS ESTRUTURAIS Ilha Solteira - SP 2014

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3 LUIZ FRANCISCO SANCHES BUZACHERO CONTROLE ROBUSTO CHAVEADO DE SISTEMAS LINEARES VARIANTES NO TEMPO COM APLICAÇÃO EM FALHAS ESTRUTURAIS Tese apresentada à Faculdade de Engenharia do Campus de Ilha Solteira - UNESP como parte dos requisitos para obtenção do título de Doutor em Engenharia Elétrica. Especialidade: Automação. Prof. Dr. Edvaldo Assunção Orientador Ilha Solteira - SP 2014

4 FICHA CATALOGRÁFICA Desenvolvido pelo Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação. B991c Buzachero, Luiz Francisco Sanches. Controle robusto chaveado de sistemas lineares variantes no tempo com aplicação em falhas estruturais / Luiz Francisco Sanches Buzachero. - Ilha Solteira : [s.n.], f.:il. Tese (doutorado) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira. Área de conhecimento: Automação, 2014 Orientador: Edvaldo Assunção Inclui bibliografia 1. Controle robusto. 2. Desigualdades matriciais lineares e bilineares. 3. Incertezas variantes no tempo.

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7 À minha esposa Elisabete À minha mãe Rosa Maria À minha avó Remedios

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9 AGRADECIMENTOS Dedico meus sinceros agradecimentos: A Deus, pela misericórdia e amor incondicional; Ao meu orientador, professor Dr. Edvaldo Assunção, pelos ensinamentos, pelo incentivo, pela confiança, paciência e amizade, pelos agradáveis momentos de convivência, exemplo de homem de bem, em cuja atuação pretendo me espelhar na vida pessoal e profissional; Aos professores Doutores Marcelo C. M. Teixeira e Rodrigo Cardim, pelos diálogos construtivos e descontraídos durante estes anos, pelo acompanhamento e pelas sugestões, extremamente valiosas para este trabalho; À minha esposa Elisabete, à minha mãe Rosa Maria e à minha avó Remedios, por terem me ensinado o verdadeiro significado da palavra "amor" e pelo apoio moral, imprescindível para o desenvolvimento deste trabalho; Aos meus amigos e companheiros dos laboratórios LPC e LCPC: Emerson, Wallysonn, Manoel, Victor, Herbert, Luiz Antônio, Edson, Gisele, Fernando, André e Jefferson pelos momentos felizes de convivência que lembrarei para sempre e aos demais amigos e colegas que de forma direta ou indireta me ajudaram; À UNESP, que me possibilitou realizar o sonho de cursar a graduação, o mestrado e o doutorado em engenharia elétrica; Ao IFSP, Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo, Campus de Birigui, por ter-me concedido o afastamento integral para finalizar este doutorado; À FAPESP (Processo n o. 2011/ ), CAPES e CNPq por darem suporte financeiro para o desenvolvimento deste trabalho; Aos desenvolvedores do ABNTEX, um pacote de classes LATEX para a criação e formatação de documentos conforme as normas da ABNT.

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11 Bem-aventurados os humildes de espírito, porque deles é o Reino dos Céus! Bem-aventurados os que choram, porque serão consolados! Bem-aventurados os mansos, porque possuirão a terra! Bem-aventurados os que têm fome e sede de justiça, porque serão saciados! Bem-aventurados os misericordiosos, porque alcançarão misericórdia! Bem-aventurados os puros de coração, porque verão Deus! Bem-aventurados os Defensores da Paz, porque serão chamados filhos de Deus! (Mateus, 5:3-9) Se toda a literatura espiritual da Humanidade perecesse, e só se salvasse o Sermão da Montanha, nada estaria perdido. Mahatma Gandhi ( )

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13 RESUMO Nesta tese apresentam-se resultados para a estabilidade robusta de sistemas lineares sujeitos a incertezas paramétricas do tipo politópicas, variantes no tempo (do inglês Linear Parameter Varying - LPV). De início, expõe-se um método aprimorado para o projeto com otimização da norma de controladores robustos via desigualdades matriciais lineares (do inglês Linear Matrix Inequalitites - LMIs), com base na teoria de estabilidade segundo Lyapunov. Esta nova formulação foi manipulada utilizando o lema de Finsler, e permitiu encontrar melhores resultados de factibilidade com o acréscimo de matrizes extras e redução do número de LMIs. Neste novo equacionamento houve a inclusão do índice de desempenho da taxa de decaimento, responsável por diminuir o tempo de duração do período transitório, e também da otimização da norma dos controladores, responsável por menores ganhos mantendo a mesma eficiência dos requisitos de projeto. Devido a importantes resultados da literatura para o projeto de controladores robustos com incertezas variantes no tempo, optou-se por explorar o projeto de controladores dinâmicos chaveados, inovando-se no tocante ao acréscimo da taxa de decaimento e à otimização da norma dos controladores chaveados, o que possibilitou encontrar melhores resultados de implementação. Por fim, foram propostos critérios menos conservadores para a análise de estabilidade e projeto de controladores chaveados, utilizando funções de Lyapunov quadráticas por partes do tipo mínimo. A vantagem desse procedimento está no aumento dos parâmetros de relaxação porém, concebido através de formulações baseadas em desigualdades matriciais bilineares (do inglês Bilinear Matrix Inequalitites - BMIs), nos quais os termos e se encontram no produto entre variáveis escalares de otimização e matrizes, que também são variáveis do procedimento de otimização. Apresentam-se, no corpo do texto, exemplos numéricos e simulados a fim de ilustrar a eficiência das metodologias propostas em relação às demais existentes. Ainda, implementaram-se os controladores projetados usando-se essas novas propostas em um helicóptero de bancada Three Degrees Of Freedom (3-DOF) ou no sistema Shake Table II (STII) + Active Mass Dumper - One Floor (AMD-1), com o objetivo de validar na prática as teorias propostas. Palavras-chave: Desigualdades matriciais lineares (LMIs). Desigualdades matriciais bilineares (BMIs). Controle robusto. Incertezas politópicas. Controle chaveado. Falhas estruturais. Incertezas variantes no tempo (LPV).

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15 ABSTRACT This thesis presents results for robust stability of linear systems subject to polytopic timevarying parametric uncertainties (LPV). To start with, an improved method for the optimal gain design of robust controllers via Linear Matrix Inequalities (LMI), based on Lyapunov stability theory is presented. This new formulation was manipulated using the Finsler lemma, which enabled finding better feasibility results with the addition of extra matrices and reducing the number of LMIs. In this new equation it was included the decay rate performance index, responsible for reducing the transitional period time, as well as the controllers norm optimization, responsible for lower gains while maintaining the same project requirements efficiency. Then, due to important results in literature regarding the design of robust controllers with time-varying uncertainties, the design of switched dynamic controllers was explored by including the decay rate index and the optimization of the switched controllers norm in the equation, which allowed finding better implementation results. Finally, less conservative criteria were proposed for stability analysis and design of switched controllers using minimum-type piecewise quadratic Lyapunov functions. The advantage of this procedure lies in the increase of relaxation parameters, however, designed through formulations based on Bilinear Matrix Inequalities (BMIs), where the bilinear terms are in the product between optimization scalar variables and matrices, which are also variables on the optimization procedure. Numerical examples are presented and simulated to illustrate the efficiency of the proposed methodologies in relation to other existing throughout the text. The designed controllers were implemented using these new proposals in a Three Degrees Of Freedom (3-DOF) helicopter or in the Shake Table II (STII) + Active Mass Dumper - One Floor (AMD-1) system, in order to validate in practice the proposed theories. Keywords: Linear matrix inequalities (LMI). Bilinear matrix inequalities (BMIs). Robust control. Polytopic uncertanties. Switched control. Structural failures. Linear parameter varying (LPV).

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17 LISTA DE FIGURAS Figura 1 Esquemático do controle chaveado para uma planta incerta Figura 2 Helicóptero 3-DOF da Quanser pertencente ao LPC da FEIS - UNESP. 47 Figura 3 Modelo esquemático do Helicóptero 3-DOF Figura 4 Figura 5 Figura 6 Figura 7 Figura 8 Implementação prática do controlador projetado por estabilidade projetiva com o método de otimização apresentado em (BUZACHERO et al., 2012) Implementação prática do controlador projetado por estabilidade estendida com o método de otimização apresentado em (BUZACHERO et al., 2012) Implementação prática do controlador projetado pela nova formulação de estabilidade estendida com o método de otimização Quantidade de controladores com menor norma para 1000 politopos gerados aleatoriamente considerando o incremento de α - Comparação entre as técnicas Quadrática e Proposta Quantidade de controladores com menor norma para 1000 politopos gerados aleatoriamente considerando o incremento de α - Comparação entre as técnicas Estendida, Projetiva e Proposta Figura 9 Sistema massa-mola-massa Figura 10 Nuvem de autovalores para α = 0, 4 do sistema massa-mola-massa varrendo λ(t) para 63 partições de t entre (0, 10 2π ) realimentado tanto com K 1 como com K Figura 11 Simulação do sistema realimentado projetado com α = 0, Figura 12 Sinal de controle e controlador ativo para α = 0, Figura 13 Nuvem de autovalores para α = 1 do sistema massa-mola-massa varrendo λ(t) para 63 partições de t entre (0, 10 2π ) realimentado tanto com K 1 como com K Figura 14 Simulação do sistema realimentado projetado com α = Figura 15 Sinal de controle e controlador ativo para α = Figura 16 Esquemático do controle chaveado para a planta do helicóptero 3-DOF. 69 Figura 17 Implementação prática dos controladores projetados para falha de 30% e α = 0,

18 Figura 18 Sinais de controle e controlador ativo para falha de 30% e α = 0, Figura 19 Zoom no chattering para o controlador ativo (0 < t < 9s) - falha de 30% e α = 0, Figura 20 Implementação prática dos controladores projetados para falha de 90% e α = 0, Figura 21 Sinais de controle e controlador ativo projetado para falha de 90% e α = 0, Figura 22 Implementação prática dos controladores ótimos para falha de 30% e α = 0, Figura 23 Sinais de controle e controlador ótimo ativo para falha de 30% e α = 0, Figura 24 Implementação prática dos controladores ótimos para falha de 90% e α = Figura 25 Sinais de controle e controlador ótimo ativo para falha de 90% e α = Figura 26 Busca pelos melhores valores de γ do Exemplo 1 para LMIs do Teorema Figura 27 Figura 28 Figura 29 Figura 30 Figura 31 Figura 32 Resultados de factibilidade do Exemplo 1 para: Estabilidade Quadrática ( ) e critério de estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o) Resultados de Factibilidade do Exemplo 1 para: Estabilidade Quadrática ( ), critério de Estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o) e critério de estabilidade menos conservador utilizando função de Lyapunov quadrática por partes - Teorema 13 (x) Resultados de Factibilidade para Exemplo 1: Estabilidade Quadrática ( ), critério de Estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o) e critério de estabilidade generalizado com M = 4 conforme Teorema 14 (x) Resultados de Factibilidade do Exemplo 1 para: Estabilidade Quadrática ( ), critério de Estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o) e formulação utilizando o Lema de Finsler - Teorema 15 (x) Busca pelos melhores valores de γ do Exemplo 2 para LMIs do Teorema Análise de factibilidade para o Exemplo 2 utilizando Estabilidade Quadrática ( ) e Estabilidade Metzler adequada a sistemas lineares - Teorema 12 (o)

19 Figura 33 Figura 34 Figura 35 Resultados de Factibilidade do Exemplo 2 para: Estabilidade Quadrática ( ), critério de Estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o) e critério de estabilidade menos conservador utilizando função de Lyapunov quadrática por partes - Teorema 13 (x) Resultados de Factibilidade para o Exemplo 2: Estabilidade Quadrática ( ), critério de Estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o) critério menos conservador generalizado com M = 4 conforme Teorema 14 (x). 90 Resultados de Factibilidade do Exemplo 2 para: Estabilidade Quadrática ( ), critério de Estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o) formulação utilizando o Lema de Finsler - Teorema 15 (x) Figura 36 Protótipo AMD-1 da Quanser pertencente ao LPC da FEIS - UNESP.. 99 Figura 37 Modelo esquemático do AMD Figura 38 Figura 39 Figura 40 Figura 41 Figura 42 Figura 43 Figura 44 Dados obtidos durante o terremoto de Northridge em 1994 e reproduzidos com o STII Oscilações no piso superior do AMD-1 para os controladores chaveados com formulação via BMIs Diferença entre as oscilações no piso superior (x f (t) [m]) e o deslocamento do piso inferior (x s (t) [m]) do AMD-1 para os controladores chaveados - formulação via BMIs Sinal de controle e controlador ativo para uma falha de 40% - formulação via BMIs Oscilações no piso superior do AMD-1 para os controladores chaveados com formulação via BMIs com generalização das funções Diferença entre as oscilações no piso superior (x f (t) [m]) e o deslocamento do piso inferior (x s (t) [m]) do AMD-1 para os controladores chaveados - formulação via BMIs com generalização das funções Sinal de controle e controlador ativo para uma falha de 40% - formulação via BMIs com generalização das funções

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21 LISTA DE TABELAS Tabela 1 Parâmetros do helicóptero 3-DOF Tabela 2 Parâmetros do sistema AMD

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23 ABREVIATURAS E ACRÔNIMOS LMI Linear Matrix Inequalities BMI Bilinear Matrix Inequalities LPV Linear Parameter Varying MatLab R MATrix LABoratory T-S Takagi-Sugeno gevp generalized eigenvalue minimization 3-DOF Three Degrees Of Freedom AMD-1 Active Mass Dumper - One Floor STII Shake Table II CQLF Common Quadratic Lyapunov Function PDLF Parameter-Dependent Lyapunov Functions FLF Funções de Lyapunov Fuzzy FLFM Funções de Lyapunov Fuzzy-Metzler

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25 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 27 2 PROPRIEDADES E CONCEITOS INICIAIS Estabilidade quadrática Estabilidade robusta utilizando taxa de decaimento Otimização da norma de K para o projeto utilizando uma CQLF Lema de Finsler Estabilidade robusta utilizando o Lema de Finsler e taxa de decaimento Otimização da norma de K para o projeto utilizando o Lema de Finsler Lema da projeção Estabilidade robusta utilizando o Lema da projeção e taxa de decaimento Otimização da norma de K para o projeto utilizando o Lema da projeção 42 3 PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS UTILIZANDO O LEMA DE FINSLER Nova formulação utilizando o Lema de Finsler e taxa de decaimento Helicóptero 3-DOF Implementação das diferentes técnicas de projeto ótimo no Helicóptero 3-DOF Comparação geral dos três métodos de projeto com otimização Conclusões parciais 54 4 PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS CHAVEADOS Chaveamento entre subsistemas 55

26 4.1.1 Matrizes Metzler Condições para estabilidade robusta Projeto robusto de controladores chaveados Projeto robusto chaveado e restrição de taxa de decaimento Otimização da norma de controladores chaveados Exemplo de Aplicação: Sistema massa-mola-massa Implementação de controladores chaveados no helicóptero 3-DOF Implementação com restrição de taxa de decaimento Implementação com restrição de taxa de decaimento e otimização da norma de K Conclusões parciais 76 5 NOVOS RESULTADOS PARA ESTABILIDADE DE SISTEMAS CHAVEA- DOS Sistemas chaveados utilizando desigualdades de Lyapunov-Metzler Novos resultados utilizando uma função de Lyapunov mínima e quadrática por partes Generalização da função de Lyapunov candidata e quadrática por partes Formulação utilizando o Lema de Finsler Factibilidade de sistemas politópicos Exemplo numérico Exemplo numérico Conclusões parciais 91 6 NOVOS RESULTADOS PARA O PROJETO DE CONTROLADORES CHAVEA- DOS Projeto robusto chaveado com flexibilização via BMIs 93

27 6.2 Projeto robusto chaveado com flexibilização extra via BMIs Exemplo Numérico Implementação prática no sistema AMD Implementação das técnicas de controle flexibilizadas Conclusões parciais CONCLUSÕES Perspectivas Futuras 112 REFERÊNCIAS 113 APÊNDICE A - Método path-following para solução de BMIs 119

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29 27 1 INTRODUÇÃO Entre as diversas técnicas de projeto de controladores desenvolvidas durante a história da engenharia de controle, o projeto de controladores robustos (ou projeto de controladores por estabilidade quadrática) usando LMIs destacou-se por resolver problemas envolvendo incertezas paramétricas, sem solução conhecida até então, utilizando pacotes computacionais especializados (GAHINET et al., 1995). Em consequência do potencial da técnica, as pesquisas e publicações envolvendo a teoria de controle com soluções via LMIs cresceram muito nas últimas décadas. A teoria retratada em (BOYD et al., 1994) se tornou um marco na história das LMIs, abrindo um leque muito grande para diversas abordagens, como análise de estabilidade robusta de sistemas lineares (LEITE et al., 2004), abordagens de otimização por meio de LMIs (WANG et al., 2008), controle robusto H 2 ou H (CHILALI; GAHINET, 1996; APKARIAN; TUAN; BERNUSSOU, 2001; GEROMEL; OLIVEIRA, 2001; MA; CHEN, 2006; ASSUNÇÃO et al., 2007a; GEROMEL; KOROGUI, 2008) e outros, projeto de controladores robustos de sistemas sujeitos a incertezas com realimentação das derivadas dos estados (ASSUNÇÃO et al., 2007b; CARDIM et al., Saint Petersburg; SILVA et al., 2011, 2012) e projeto ótimo de controladores robustos de sistemas sujeitos a incertezas com realimentação dos estados, em que um caso particular pode ser visto como falha estrutural (BUZACHERO et al., 2010, 2012). Publicações recentes constataram um certo conservadorismo inserido na análise de estabilidade quadrática, o que levou a uma busca por soluções mais relaxadas. O Lema de Finsler (SKELTON; IWASAKI; GRIGORIADIS, 1997) vem sendo muito utilizado na teoria de controle para a análise de estabilidade por LMIs (LEITE et al., 2004), com resultados equivalentes aos das LMIs de estabilidade quadrática. Esta técnica possibilita o uso de matrizes variáveis extras e a função de Lyapunov dependente do parâmetro incerto (do inglês Parameter-Dependent Lyapunov Function PDLF). Isso proporciona uma certa relaxação na análise de estabilidade (denominada de estabilidade estendida segundo (LEITE et al., 2004)), obtendo-se uma região de factibilidade maior em relação à análise de estabilidade quadrática. Como esta técnica utiliza funções do tipo PDLF, as incertezas da planta devem ser tratadas como invariantes no tempo, devido ao fato de se desprezar a derivada temporal da matriz de Lyapunov, o que limita

30 28 1 INTRODUÇÃO a sua aplicação prática. Além disso, quando associada à otimização da norma dos controladores (BUZACHERO et al., 2010), as funções do tipo PDLF acabam por inserir LMIs extras, podendo tornar mais difícil a busca de soluções. Outras publicações sobre o assunto encontraram resultados interessantes em se tratando de factibilidade (SKELTON; IWASAKI; GRIGORIADIS, 1997; LEITE et al., 2004; BUZACHERO et al., 2012), porém nessas metodologias garantem apenas a estabilidade para incertezas invariantes no tempo, ou com taxa de variação muito pequena (DAHLEH; DAHLEH, 1991; SOLO, 1994). Pelo motivo exposto, buscaram-se formulações aprimoradas utilizando-se uma função de Lyapunov quadrática (Common Quadratic Lyapunov Function (CQLF)) com uma técnica de adição de matrizes extras na formulação das LMIs, reduzindo assim o número de LMIs para garantir a estabilidade do sistema. Com o objetivo de se obterem ganhos menores de controladores robustos, conservando o mesmo desempenho dinâmico optou-se por otimizar a norma dos controladores, impondo também ao sistema realimentado um período transitório mais curto através da inserção da taxa de decaimento (BOYD et al., 1994) na formulação das LMIs, agora com a possibilidade de tratar incertezas do tipo LPV. Em razão do conservadorismo existente nas condições de estabilidade quadrática, uma vez que uma única matriz de Lyapunov é imposta a todos os subsistemas quando se utiliza uma CQLF, optou-se, neste trabalho, pela abordagem da teoria de sistemas chaveados (também conhecidos como sistemas híbridos), em função dos importantes resultados, na literatura, que viabilizam o projeto de controladores robustos, considerando incertezas do tipo LPV (DE- CARLO et al., ; LIN; ANTSAKLIS, 2005; LIBERZON, 2003; SHORTEN et al., 2007), quando os sistemas em questão são lineares (DEAECTO; GEROMEL, 2008), levando-se em conta a possibilidade de chaveamento entre subsistemas (BRANICKY, 1998; HESPANHA, 2004). Um método eficaz para o projeto de controladores robustos foi proposto por (SKAFIDAS et al., 1999), com base na determinação de uma regra de chaveamento estabilizante a qual promove o chaveamento entre um certo número de controladores com realimentação estática da saída, porém, também utilizando CQLF, tendo, como consequência, resultados conservadores. Outros pesquisadores abordaram o mesmo problema (JI; WANG; XIE, 2005), entretanto, os controladores de realimentação dos estados e a regra de chameamento foram projetados simultaneamente. O traço comum entre esses artigos é o fato de trabalharem com um sistema incerto cuja realização depende linearmente da incerteza, impondo a todos os subsistemas realimentados uma função de Lyapunov única, como uma consequência natural das condições de estabilidade propostas por (WICKS; PELETIES; DECARLO, 1994). Em (GEROMEL; COLANERI, 2006; GEROMEL; KOROGUI, 2006) foram propostas téc-

31 1 INTRODUÇÃO 29 nicas eficazes para a estabilidade de sistemas lineares chaveados, entre as quais se apresentou uma função Lyapunov-Metzler quadrática por partes, com uma regra de chaveamento σ baseada na escolha do mínimo da função energia, viabilizando o projeto de controladores robustos para sistemas incertos e limitados por norma (GEROMEL; DEAECTO, 2009). Estas pesquisas culminaram em condições de estabilidade de sistemas sujeitos a incertezas politópicas do tipo LPV, garantindo que o sistema fosse globalmente assintoticamente estável (DEAECTO; GEROMEL; DAAFOUZ, 2011). Esta técnica inovadora possibilitou encontrar resultados menos conservadores e com um melhor desempenho global quando comparada com as técnicas tradicionais. Em contrapartida, uma busca unidimensional deve ser realizada para que o problema possa ser trabalhado com condições LMIs, o que acaba por restringir a quantidade de variáveis de folga do problema. Com base nessa teoria, abordam-se nesta tese dois pontos críticos no projeto de controladores chaveados para sistemas robustos. O primeiro ponto trabalhado é a problemática dos altos ganhos dos controladores projetados que influenciam na aplicação prática da técnica e, portanto, tornam interessante uma otimização para viabilizar a implementação (otimização da norma dos controladores chaveados). O outro ponto é o fato de que o tempo de duração do transitório pode ser maior do que as especificações de projeto. Para resolver este problema, propõem-se LMIs para limitar a taxa de decaimento. Ilustra-se essa estratégia de chaveamento na Figura 1. Figura 1 - Esquemático do controle chaveado para uma planta incerta. u(t) Sistema Linear Incerto x(t) K 1 K 2 K N σ(t) Fonte: Adaptado de (GEROMEL; DEAECTO, 2009) Outra abordagem muito difundida e consolidada na literatura é a de sistemas não lineares, ou sistemas Fuzzy Takagi-Sugeno (T-S) (TAKAGI; SUGENO, 1985), técnica muito eficiente quando há um aumento da complexidade dos sistemas. Os sistemas T-S possibilitam representar sistemas dinâmicos não lineares, de forma aproximada ou exata em alguns casos, através

32 30 1 INTRODUÇÃO de modelos lineares locais descrevendo o comportamento do sistema em diferentes pontos de operação no seu espaço de estados (TANAKA; IKEDA; WANG, 1998), fazendo assim a escolha da melhor estratégia de controle por meio de funções de pertinência. Como consequência do sucesso desta técnica surgiram publicações sobre controle sistemas Fuzzy chaveados (TANAKA; IWASAKI; WANG, 2000a, 2000b; YANG; DONG, 2010; SOUZA et al., 2013) ditando a regra de chaveamento conforme as variáveis premissas. Assim como para o caso linear, a busca por condições menos conservadoras de estabilidade também foi largamente explorada nos sistemas Fuzzy T-S. Em trabalhos muito conceituados da literatura foram propostas condições mais relaxadas de estabilidade utilizando Funções de Lyapunov Fuzzy (FLF) (TANAKA; HORI; WANG, 2003; TEIXEIRA; ASSUNÇÃO; AVELLAR, 2003; MOZELLI et al., 2009), garantido a estabilidade assintótica através da interpolação de funções quadráticas segundo as mesmas funções de pertinência dos modelos Fuzzy T-S. Porém foi em (ESTEVES, 2011), satisfazendo condições de estabilidade global e utilizando Funções de Lyapunov Fuzzy-Metzler (FLFM) resolvidas através de LMIs que se obteve a flexibilização das mesmas, ficando apenas por solucionar a problemática de uma busca unidimensional que deveria ser realizada, mantendo uma dificuldade na solução do problema. Recentemente, propuseram-se condições baseadas em uma classe particular de BMIs, utilizando funções de Lyapunov quadrática por partes (CHEN et al., 2012), resolvidas pelo método path-following (HASSIBI; HOW; BOYD, 1999). Essa solução contornou a problemática da busca unidimensional citada anteriormente e alcançou melhores resultados de factibilidade, possibilitando uma flexibilização ainda maior, porquanto os escalares de relaxação que aparecem na multiplicação de matrizes variáveis podem se adaptar convenientemente durante o método, na busca por factibilidade. De posse destes resultados, propuseram-se métodos mais gerais para sistemas Fuzzy chaveados (SOUZA, 2013; SOUZA et al., 2014), em que os ganhos de otimização são escolhidos em dois estágios. O primeiro estágio segue a mesma regra de (CHEN et al., 2012), selecionando a função de Lyapunov mínima e quadrática por partes. O segundo estágio ocorre através da escolha de uma função auxiliar que minimiza a derivada temporal da função de Lyapunov, escolhendo, assim, o ganho adequado a cada instante de tempo. Devido aos ótimos resultados obtidos com a teoria de controladores Fuzzy chaveados, propõe-se, também, neste estudo, uma nova técnica para a estabilidade de sistemas lineares incertos, com a incerteza podendo ser do tipo LPV, baseada no método path-following para solução de BMIs, apresentado por (CHEN et al., 2012). Nesta nova formulação, houve uma redução no conservadorismo encontrado nas formulações existentes, através do aumento na quantidade de funções de Lyapunov candidatas e quadráticas por partes. Assim, as desigualdades de

33 1 INTRODUÇÃO 31 Lyapunov-Metzler, apresentadas neste trabalho, se basearam nas existentes em (GEROMEL; COLANERI, 2006; DEAECTO, 2010; CHEN et al., 2012), porém, agora, com uma generalização das funções, com a vantagem da facilidade de tratamento de sistemas linearizados, tornando esta técnica mais viável para implementação. Utilizam-se os seguintes símbolos e notações no texto: Notações: M > 0 (< 0, 0, 0) indica que M é simétrica positiva (negativa, positivasemi, negativa-semi) definida; ( ) indica transposição de um vetor ou matriz; ( 1 ) indica a inversa de uma matriz transposta; Sym{M} indica M+ M ; ( ) indica termos transpostos em uma matriz simétrica; diag(,,..., ) indica uma matriz diagonal de dimensões adequadas e indica o final de demonstração. A estrutura do texto é organizada da seguinte forma: Capítulo 2: Apresentam-se conceitos básicos, propriedades e resultados já conhecidos da literatura, necessários para o desenvolvimento teórico do trabalho e para a comparação com as técnicas propostas. Capítulo 3: Propõe-se uma técnica para o projeto e a otimização da norma de controladores robustos de sistemas dinâmicos lineares incertos, utilizando realimentação dos estados. As técnicas de projeto utilizadas se baseiam em LMIs formuladas com base na teoria de estabilidade segundo Lyapunov, utilizando o Lema de Finsler. As LMIs utilizadas tiveram o acréscimo da restrição da taxa de decaimento, responsável por diminuir o tempo de duração do transitório dos sistemas realimentados. Realizaram-se comparações qualitativas e quantitativas entre os métodos de projeto com otimização da norma dos controladores, visando alternativas de controladores com menor custo e melhor desempenho que atendam às restrições do projeto. Uma implementação laboratorial ilustra a eficiência da proposta. Capítulo 4: Em razão da busca por alternativas para o projeto de controle de sistemas com incertezas do tipo LPV via LMIs, propõe-se, neste capítulo, uma técnica de projeto para garantir a estabilidade de sistemas lineares chaveados contínuos no tempo. Trata-se de uma extensão da teoria de sistemas chaveados existente na literatura. Esta técnica é de natureza realimentada (dependente da trajetória) e o projeto se baseia na solução das chamadas desigualdades de Lyapunov-Metzler, a partir da qual expressa-se a condição de estabilidade (incluindo chattering). O índice de desempenho utilizado é a taxa de decaimento (um índice que faz parte da D-estabilidade), que objetiva reduzir o tempo de duração do transitório, estipulando que os autovalores do sistema realimentado fiquem à

34 32 1 INTRODUÇÃO esquerda da reta Re{s} < α, no plano complexo. A outra ferramenta importante utilizada é a otimização da norma dos controladores que visa reduzir os ganhos e facilitar sua implementação prática. Para verificar a eficiência da técnica proposta, realizou-se uma implementação prática no Helicóptero 3-DOF da Quanser, sujeito a uma falha estrutural no motor traseiro, caracterizada como uma incerteza politópica. Capítulo 5: Apresenta-se, neste capítulo, uma nova estratégia que proporciona uma flexibilização na análise de factibilidade para a estabilidade de sistemas lineares com incertezas do tipo LPV, utilizando funções de Lyapunov quadráticas por partes. A estratégia foi inspirada em uma formulação para projeto de controladores Fuzzy chaveados com base em uma classe particular de BMIs, que podem ser resolvidas pelo método pathfollowing, tendo o termo bilinear o produto de escalares de relaxação e matrizes variáveis. Na formulação proposta houve um acréscimo de matrizes e escalares consequentemente diminuindo o conservadorismo na formulação. Foi também proposta uma formulação utilizando-se o lema de Finsler com o mesmo intuito. Comparações envolvendo factibilidade de sistemas foram feitas utilizando exemplos conhecidos na literatura. Capítulo 6: Neste capítulo são apresentadas as técnicas de projeto de controladores chaveados baseadas nas formulações do Capítulo 5. Os controladores projetados foram implementados no sistema STII + AMD-1 validando na prática a técnica proposta. Em seguida, apresentam-se as conclusões e estabelecem-se as perspectivas futuras para a continuidade deste trabalho. Encerra-se a tese com o Apêndice A, onde se detalha o algoritmo do método pathfollowing para a solução das BMIs, utilizado nas condições de estabilidade de sistemas chaveados apresentadas.

35 33 2 PROPRIEDADES E CONCEITOS INICIAIS Para a obtenção dos resultados propostos, utilizam-se, ao longo do texto, as Propriedades 1 e 2, sendo a primeira utilizada para verificação da possibilidade de inversão de matrizes não simétricas e a segunda conhecida na literatura como complemento de Schur (BOYD et al., 1994). Propriedade 1. Para toda matriz M não simétrica (M M ), se M+ M < 0, então M é invertível. Demonstração.Veja (BOYD et al., 1994). [ M1 M 2 Propriedade 2. Uma matriz simétrica M = M 2 M 3 ] é definida positiva se e somente se: 1. M 1 > 0 e M 3 M 2 (M 1) 1 M 2 > 0, ou 2. M 3 > 0 e M 1 M 2 (M 3 ) 1 M 2 > 0. Demonstração.Veja (BOYD et al., 1994). Parte deste estudo visa obter melhores resultados para o projeto de controladores robustos com otimização da norma, por meio de LMIs de sistemas com incertezas do tipo LPV e taxa de decaimento. Para tanto, a formulação proposta será comparada à teoria de projeto ótimo com estabilidade quadrática e taxa de decaimento (Teorema 1). Adicionalmente, com a intenção de alcançar melhores resultados para a norma dos controladores ótimos, comparar-se-á a formulação proposta com as formulações apresentadas na literatura (BUZACHERO et al., 2012) para sistemas com incertezas invariantes no tempo ou com taxa de variação suficientemente pequenas que são: o projeto com estabilidade estendida (Teorema 3) e o projeto com estabilidade projetiva (Teorema 5), ambos com otimização da norma e taxa de decaimento. Discriminam-se os resultados aqui apenas para orientação. Indicam-se todas as demostrações na respectiva literatura.

36 34 2 PROPRIEDADES E CONCEITOS INICIAIS 2.1 Estabilidade quadrática Considere o sistema linear incerto abaixo: ẋ(t)=a λ x(t), x(0)=x 0, (1) definido para todo t 0, sendo x 0 a condição inicial, λ Λ, x(t) R n o vetor de estado e A λ, matriz que representa a dinâmica do sistema incerto, definida como A λ = N λ j A j, (2) sendo que o índice j se refere ao vértice do politopo e N o número de vértices. Ainda, Λ é definido pelo seguinte simplex unitário: Λ={λ R N : λ j 0, N λ j = 1}. (3) Assim tem-se ẋ(t)= N λ j A j x(t). (4) Uma condição suficiente para que se garanta a estabilidade do sistema incerto (1) é dada pela existência de uma matriz de Lyapunov P=P R n n tal que as LMIs A λ P+PA λ < 0, (5) P>0, (6) sejam verificadas (BOYD et al., 1994). Esta condição de estabilidade é conhecida como estabilidade quadrática e pode ser facilmente verificada na prática devido à convexidade da desigualdade de Lyapunov que faz com que as condições (5) e (6) tenham como condição suficiente a verificação da existência de P=P R n n tal que A jp+pa j < 0, (7) P>0, (8) para todo j K, sendo o conjunto K={1,2,...,N}. Pode-se observar que (5) pode ser obtida de (7) multiplicando a última por λ j 0 e somando os termos de j= 1 até j=n. Por ser apenas uma condição suficiente e exigir a existência de uma única matriz definida

37 2.2 Estabilidade robusta utilizando taxa de decaimento 35 positiva P, satisfazendo as N desigualdades simultaneamente, geram-se resultados conservadores para a garantia de estabilidade do sistema incerto. Sendo assim, com o objetivo de se obterem condições mais gerais do que a estabilidade quadrática, desenvolveu-se o conceito de controle chaveado, conforme se verá nos Capítulos 4 e Estabilidade robusta utilizando taxa de decaimento Considere o sistema incerto linear controlável e invariante no tempo descrito na forma de espaço de estados: ẋ(t)=a λ x(t)+b λ u(t). (9) Esse sistema pode ser descrito como combinação convexa dos vértices do politopo: ẋ(t)= N N λ j A j x(t)+ λ j B j u(t), (10) sendo N o número de vértices do politopo, λ j Λ conforme (3) (BOYD et al., 1994), A j R n n e B j R n m os vértices do politopo que representa a dinâmica do sistema incerto, x(t) R n o vetor de estado e u(t) R m o vetor de entrada de controle. O projeto do controlador com realimentação dos estados consiste em encontrar uma matriz K R m n, tal que o sistema (9) realimentado com a entrada de controle (11), u(t)= Kx(t), (11) seja assintoticamente estável, sendo o sistema realimentado representado por (12): ẋ(t)=(a λ B λ K)x(t). (12) Levando-se em conta o sistema controlado (9), a taxa de decaimento (ou maior expoente de Lyapunov) é definida como a maior constante positiva α, tal que e se mantenha para todas as trajetórias x(t), t > 0. Utiliza-se a função quadrática de Lyapunov lim t eαt x(t) =0, (13) V(x(t))=x (t)px(t), (14)

38 36 2 PROPRIEDADES E CONCEITOS INICIAIS para estabelecer um limite inferior sobre a taxa de decaimento de (9), com para todas as trajetórias (BOYD et al., 1994). De (14) e (12), tem-se que. V(x(t)) 2αV(x(t)), (15). V (x(t))=ẋ (t)px(t)+x (t)pẋ(t) = x(t) (A λ B λ K) Px(t)+x(t) P(A λ B λ K)x(t). (16) Incorporando-se a restrição da taxa de decaimento (15) na equação (16) e realizando as simplificações apropriadas, tem-se: (A λ B λ K) P+P(A λ B λ K)< 2αP, (17) P>0. (18) Considerando o sistema incerto (10) e a teoria de Lyapunov existente para projeto de controladores, tem-se o seguinte teorema (BOYD et al., 1994): Teorema 1. Uma condição suficiente para que se garanta a estabilidade do sistema incerto (10) sujeito a taxa de decaimento maior ou igual a α é a existência de matrizes X = X R n n e G R m n, tais que A j X B j G+XA j G B j+ 2αX < 0, (19) X > 0, (20) com,...,r. Sendo as LMIs (19) e (20) factíveis, uma matriz de realimentação de estados que estabiliza o sistema pode ser dada por K = GX 1. (21) Demonstração.Vide (BOYD et al., 1994). Assim, pode-se realimentar o sistema incerto apresentado em (9), sendo (19) e (20) condições suficientes para a estabilidade assintótica do politopo, para um sistema com realimentação dos estados com restrição de taxa de decaimento. Se, para o sistema incerto, a solução das LMIs for factível, a estabilidade do sistema estará garantida. As LMIs (19) e (20) garantem não somente a estabilidade, como também a taxa de decai-

39 2.3 Lema de Finsler 37 mento. Se o objetivo for somente a estabilidade, atribui-se, em (19), α = Otimização da norma de K para o projeto utilizando uma CQLF Teorema 2. Dada uma constante µ 0 > 0, obtém-se um limitante para a norma da matriz K R m n de realimentação dos estados, com K = GX 1, X = X > 0, X R n n e G R m n encontrando o valor mínimo de β, β > 0, tal que K K < β µ 0 I n. Pode-se obter o valor mínimo de β através da solução do seguinte problema de otimização: minβ [ X G s.a G βi m ] > 0, (22) X > µ 0 I n, (23) (LMI (19)) (24) sendo que I m e I n denotam as matrizes identidades de ordem m e n respectivamente. Demonstração.Vide (BUZACHERO et al., 2012). Note que a LMI (20) não é necessária, pois com as restrições (22) e (23), a LMI (20) será redundante. 2.3 Lema de Finsler Utiliza-se o Lema de Finsler para expressar condições de estabilidade em termos de desigualdades matriciais, com vantagens sobre a teoria já existente de Lyapunov (BOYD et al., 1994), uma vez que introduz novas variáveis µ e X em condições que envolvem matrizes com estruturas particulares e com dimensões adequadas L, B e B (OLIVEIRA, 2004) conforme é visto no Lema 1. Lema 1 (Finsler). Considere w R n x, L R n x n x e B R m x n x com rank(b) < n x e B uma base para o espaço nulo de B (isto é, BB = 0). Então as seguintes condições são equivalentes: 1. w L w<0, w 0:Bw=0; 2. B L B < 0; 3. µ R:L µb B < 0;

40 38 2 PROPRIEDADES E CONCEITOS INICIAIS 4. X R n x m x : L +X B+B X < 0. Demonstração.Vide (SKELTON; IWASAKI; GRIGORIADIS, 1997) ou (OLIVEIRA; SKEL- TON, 2001) Estabilidade robusta utilizando o Lema de Finsler e taxa de decaimento [ ] [ ] Definindo w = [ ẋ x], B = [(A λ B λ K) I], B I 2αPλ P = (A λ B λ K) e L = λ P λ 0, note que Bw = 0 corresponde ao sistema realimentado com K e w L w < 0 corresponde à restrição de estabilidade com taxa de decaimento formulada a partir da função quadrática de Lyapunov dada em (19) (BOYD et al., 1994). Neste caso, as dimensões das variáveis do Lema 1 são: n x = 2n e m x = n. Conclui-se, pela prova existente do Lema de Finsler, que as Propriedades de 1 a 4 são equivalentes. Assim, podemos reescrever a Propriedade 4 da seguinte forma: 4. X R [ 2n n, P=P ] > 0 tais que 2αPλ P λ +X P λ 0 [ (A λ B λ K) I ] + [ ] (Aλ B λ K) X < 0, (25) I escolhendo convenientemente a matriz de variáveis X = [ Z az ], com Z R n n não simétrica e a uma constante de relaxação que tem a função de flexibilizar a matriz X na LMI (PIPELEERS et al., 2009). Pode-se obter esta constante adequadamente através de uma busca unidimensional. [ ] [ ] Aplicando a transformação de congruência Z 1 0 à esquerda e Z Z 1 0 Z à direita, na quarta 1 propriedade e fazendo Y = Z 1 ; G=KY e Q λ = Y P λ Y, encontraram-se as seguintes LMIs: [ Aλ Y +Y A λ B λ G G B λ + 2αQ λ Q λ + ay A λ ag B λ Y ] < 0, (26) Q λ + aa λ Y ab λ G Y ay ay sendo Y R n n, Y Y, G R m n e Q λ R n n. Q λ > 0. (27) Essas LMIs, quando factíveis, atendem às restrições para a estabilidade assintótica do sistema com a realimentação de estado (11) e (21). A garantia de estabilidade resultante das LMIs deduzidas a partir do Lema de Finsler é comumente denominada estabilidade estendida (LEITE et al., 2004). A vantagem do uso desta formulação, mediante a utilização do Lema de Finsler para análise de estabilidade robusta é a liberdade de escolha da estrutura da função de Lyapunov que agora pode ser, por exemplo, uma PDLF, definida como Q λ = N N λ j Q j, λ j = 1, λ j 0

41 2.3 Lema de Finsler 39 e j K. Sabendo que Q λ depende de λ, o uso da matriz de Lyapunov adequa-se apenas a incertezas politópicas invariantes no tempo ou permitindo-se taxa de variação suficientemente pequena, em (BUZACHERO et al., 2010), apresenta-se o seguinte teorema: Teorema 3. Uma condição suficiente que garante a estabilidade do sistema incerto (10) sujeito a taxa de decaimento maior ou igual a α é a existência de matrizes Y R n n, Q j = Q j R n n, G R m n e um escalar a>0, tais que [ ] A j Y +Y A j B j G G B j + 2αQ j Q j + ay A j ag B j Y Q j + aa j Y ab j G Y ay ay < 0, (28) Q j > 0, (29) com j K Sendo as LMIs (28) e (29) factíveis, uma matriz de realimentação de estados que estabiliza o sistema, garantindo a taxa de decaimento maior ou igual a α, pode ser dada por K = GY 1. (30) Demonstração.Vide (BUZACHERO et al., 2010) ou (BUZACHERO et al., 2012). Este resultado foi publicado em (BUZACHERO et al., 2012), tendo como foco a obtenção de menores valores para a norma dos controladores robustos com restrição da taxa de decaimento. Assim, pode-se realimentar o sistema incerto, sendo (28) e (29) condições suficientes para a estabilidade assintótica de todo sistema, com restrição de taxa de decaimento, com parâmetros pertencentes ao politopo. Infelizmente, esta formulação contempla apenas incertezas politópicas invariantes no tempo ou com taxa de variação suficientemente pequena, sendo inadequada para implementações onde a incerteza varia ao longo do tempo, conforme se verificará na Seção Em diversas situações, a norma da matriz de realimentação dos estados é alta, dificultando a sua implementação prática. Em (ASSUNÇÃO et al., 2007b), propôs-se um método de otimização que minimiza os ganhos do controlador projetado com o uso das LMIs (19) e (20), que garantem estabilidade, porém essa formulação apresenta conservadorismo. Em (BUZACHERO et al., 2012), apresentaram-se novas formas de otimizar a norma do controlador K reduzindo o conservadorismo das LMIs por meio do Lema de Finsler e do Lema da Projeção Recíproca, mostrado a seguir.

42 40 2 PROPRIEDADES E CONCEITOS INICIAIS Otimização da norma de K para o projeto utilizando o Lema de Finsler Em (BUZACHERO et al., 2010), houve uma dificuldade para aplicar a teoria já existente de otimização da norma de K (ASSUNÇÃO et al., 2007b) à nova estrutura de LMIs. Isso ocorreu devido a matriz de síntese do controlador Y não ser simétrica, condição necessária para o desenvolvimento das LMIs quando a matriz de síntese do controlador era X = P 1. Para contornar a problemática utilizou-se a ideia do procedimento de otimização para reprojeto apresentado em (CHANG et al., 2002), propondo-se em (BUZACHERO et al., 2010) a adequação do novo método de otimização com a minimização de um escalar β, sendo a relação de minimização K K < βp j com P j a função de Lyapunov referente a cada vértice: Teorema 4. Obtém-se um limitante para a norma da matriz K R m n de realimentação dos estados, com K = GY 1 e Q j = Y P j Y, sendo Y R n n, G R m n e P j = P j > 0 Rn n encontrando o valor mínimo de β, β > 0, tal que K K < βp j com j K. Pode-se obter o valor ótimo de β através da solução do seguinte problema de otimização: minβ [ Q j G s.a G βi m ] > 0 (31) (LMI (28)) (32) Demonstração.Vide (BUZACHERO et al., 2010). Essa forma de otimizar a norma de K revelou melhores resultados que a apresentada em (ASSUNÇÃO et al., 2007b). Entretanto, por estar vinculada às matrizes de Lyapunov P j, a relação de otimização ainda não apresenta os ganhos mínimos que seriam encontrados para atender os requisitos de projeto devido ao aumento do número de LMIs por acrescentar mais uma LMI para cada vértice do politopo. Para melhorar o desempenho do procedimento de otimização, encontra-se uma alternativa para otimizar a norma do controlador K, diminuindo o conservadorismo das LMIs de projeto de K com uma manipulação conveniente mostrada na próxima subseção. 2.4 Lema da projeção Outra ferramenta que se pode utilizar para a análise de estabilidade através de LMIs é o lema da projeção recíproca (APKARIAN; TUAN; BERNUSSOU, 2001) enunciado a seguir:

43 2.4 Lema da projeção 41 Lema 2 (Projeção Recíproca). Considere P=P > 0 uma matriz dada, matrizes simétricas ψ e X, e matrizes não simétricas S, W e V. As seguintes afirmações são equivalentes 1. ψ+ S+S < 0, 2. A LMI abaixo é factível em relação a W [ ] ψ+ P (W +W ) S +W < 0, S+W P 3. Desde que A seja Hurwits, V, X tais que (V +V ) V A + X V AV + X X 0 < 0. V 0 X Demonstração.Vide (APKARIAN; TUAN; BERNUSSOU, 2001) Estabilidade robusta utilizando o Lema da projeção e taxa de decaimento A fim de verificar as vantagens da formulação proposta no Capítulo 3 desta tese, um outro exemplo de projeto ótimo de K apresentado em (BUZACHERO et al., 2012) foi utilizado para fim de comparação. Como no caso da estabilidade estendida, a vantagem de usar o Lema da Projeção Recíproca para análise de estabilidade robusta é o grau de liberdade da PDLF, agora definida como P λ = N N λ j P j, λ j = 1, λ j 0 e j K. Tal como descrito anteriormente, o uso de P λ é adequado a incertezas politópicas invariantes no tempo, permitindo-se taxa de variação suficientemente pequena. Para verificar isso, segue o Teorema 5. Teorema 5. Uma condição suficiente que garante a estabilidade do sistema incerto (10) é a existência de matrizes V R n n, P j = P j R n n e Z R m n, tal que a LMI (33) seja satisfeitas. com j K. (V +V ) V A j Z B j + αv + P j V A j V B j Z+ αv + P j P j 0 < 0 (33) V 0 P j Sendo a LMI (33) factível, uma matriz de realimentação dos estados que estabiliza o sistema pode ser dada por (34). K = ZV 1 (34)

44 42 2 PROPRIEDADES E CONCEITOS INICIAIS Demonstração.Vide (BUZACHERO et al., 2012) Otimização da norma de K para o projeto utilizando o Lema da projeção O Teorema 6 mostra a otimização da norma de K para a LMI (33). Pode-se verificar que apenas uma LMI é utilizada para otimizar a norma do controlador, diferentemente do procedimento apresentado no Teorema 4. Teorema 6. Pode-se obter um limitante para a norma da matriz K R m n de realimentação dos estados, com K = ZV 1, V R n n e Z R m n encontrando o valor mínimo de β, β > 0, tal que K K < βm, sendo M = V 1 V 1 e desta forma M = M > 0. Pode-se obter o valor ótimo de β através da solução do seguinte problema de otimização: minβ s.a I n Z Z βi m >0 (35) (LMI (33)) (36) Demonstração.Vide (BUZACHERO et al., 2012) Neste trabalho, realiza-se a solução numérica das LMIs em microcomputadores, utilizando o software MATrix LABoratory (MatLab R ) com seu solver (resolvedor) padrão LMIlab contido no Robust Control Toolbox (GAHINET et al., 1995).

45 43 3 PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS UTILIZANDO O LEMA DE FINSLER Neste capítulo, apresenta-se uma formulação mais adequada à abordagem de controladores robustos ótimos em sistemas LPV e, consequentemente, à implementação prática desses controladores com restrição da taxa de decaimento baseada no Lema de Finsler, devido à utilização de uma CQLF. 3.1 Nova formulação utilizando o Lema de Finsler e taxa de decaimento Definindo as matrizes B=[ A I], B = [ I A ] e L = [ BG G B +2αX X X 0] como parâmetros do Lema 1 e considerando que X é a matriz utilizada para a definição da função quadrática de Lyapunov, teremos a propriedade 2 do Lema de Finsler escrita como: 2. X = X > 0 tal que [ ] [ I BG G B + 2αX X A X 0 ][ I A ] < 0, o que resulta, desenvolvendo o produto matricial, na condição equivalente para a estabilizabilidade do sistema, incluindo o limitante para a taxa de decaimento: 2. AX BG+XA G B + 2αX < 0. Apesar desta formulação caracterizar estabilidade por meio de uma função de Lyapunov quadrática (V(x(t))=x(t) Px(t)), inserem-se novas variáveis no espaço de busca por meio de uma escolha conveniente de matriz de variáveis X conforme abaixo. Sendo as matrizes do Lema de Finsler definidas anteriormente, pode-se reescrever a propriedade 4 da seguinte forma:

46 44 3 PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS UTILIZANDO O LEMA DE FINSLER 4. [ X R 2n n, X = X > 0 ] tais que BG G B + 2αX X +X X 0 [ A I [ ] ] A + X < 0. I Conclui-se, pela prova existente do Lema de Finsler (Lema (1)), que as propriedades 2 e 4 são equivalentes. Desta forma, escolhendo convenientemente a matriz de variáveis X =[ Y1 Y 2 ], com Y 1 e Y 2 R n n e desenvolvendo a propriedade 4, tem-se: [ ] [ ] [ ] BG G B + 2αX X Y1 A Y 1 AY AY 2 < 0. X 0 Y 2 A Y 2 Y 1 Y 2 Assim, encontraram-se as seguintes LMIs sujeitas a taxa de decaimento α: [ AY 1 BG+Y 1 A G B + 2αX X Y 1 + AY 2 X Y 1 +Y 2A Y 2 Y 2 ] < 0, (37) X > 0. (38) sendo Y 1 e Y 2 R n n, Y 1 Y 1, Y 2 Y 2, G Rm n e X R n n, X = X > 0. Essas LMIs atendem às restrições para a estabilidade assintótica do sistema com a realimentação de estado. Verifica-se que o primeiro menor principal da LMI (37) possui a estrutura do resultado encontrado no teorema de estabilidade com taxa de decaimento. Não obstante, observa-se também relaxação do espaço de busca, conforme enunciado no Lema de Finsler, pois as matrizes variáveis Y 1 e Y 2, que garantem a estabilidade do sistema, não precisam ser simétricas e, para uma abordagem de estabilidade robusta, estas podem ser politópicas: Y 1λ = N λ j Y 1 j e Y 2λ = N λ j Y 2 j, N λ j = 1, λ j 0 e j K. Sendo assim, propõe-se o seguinte teorema: Teorema 7. Para que se garanta a estabilidade do sistema incerto (10) sujeito a taxa de decaimento maior ou igual a α é condição suficiente a existência de matrizes Y 1 j e Y 2 j R n n, X = X R n n e G R m n, tais que [ A j Y 1 j B jg+y 1 j A j G B j + 2αX X Y 1 j+ A j Y 2 j X Y 1 j +Y 2 ja j j K Y 2 j Y 2 j ] < 0, (39) [ A j Y 1k B jg+a k Y 1 j B kg+y 1k A j G B j +Y 1 ja k G B k + 4αX 2X Y 1 j Y 1k +Y 2 ja k +Y... 2kA j... 2X Y 1 j Y 1k + A k Y 2 j + A jy 2k Y 2 j Y 2 j Y 2k Y 2k ] < 0, (40)

47 3.1 Nova formulação utilizando o Lema de Finsler e taxa de decaimento 45,...,r 1;k= j+ 1,...,r X > 0. (41) Quando as LMIs (39), (40) e (41) são factíveis, uma matriz de realimentação de estado que estabiliza o sistema pode ser dada por K = GX 1. (42) Demonstração.Assuma que as LMIs (39), (40) e (41) são factíveis. Considerando λ j > 0 para j K, teremos: N 1 N k= j+1 N λ j 2 [ A j Y 1 j B jg+y 1 j A j G B j + 2αX X Y 1 j+ A j Y 2 j X Y 1 j +Y 2 ja j Y 2 j Y 2 j ] + (43) λ j λ k [ A j Y 1k B jg+a k Y 1 j B kg+y 1k A j G B j +Y 1 ja k G B k + 4αX 2X Y 1 j Y 1k +Y 2 ja k +Y 2kA j... 2X Y 1 j Y 1k + A k Y 2 j + A jy 2k Y 2 j Y 2 j Y 2k Y 2k ] < Sabendo que, genericamente e consequentemente N N i λ j = i=1λ N N i λ j H i R j = i=1λ N λ 2 N 1 j + 2 N λ 2 N 1 j H j R j + tem-se que as seguintes igualdades são verdadeiras: N N i λ j A i Y 1 i=1λ j = N N i λ j B j G= i=1λ N N i λ j Y 1 j = i=1λ N N i λ j Y 2 j = i=1λ N λ j 2 A j Y N 1 1 j+ N λ 2 N 1 j B j G+ N λ 2 N 1 j Y 1 j + N λ 2 N 1 j Y 2 j + N k= j+1 N k= j+1 N k= j+1 N k= j+1 N k= j+1 N k= j+1 λ j λ k, (44) λ j λ k (H j R k + H k R j ), (45) λ j λ k (A j Y 1k + A ky 1 j), λ j λ k (B j G+B k G), λ j λ k (Y 1 j +Y 1k ), λ j λ k (Y 2 j +Y 2k ),

48 46 3 PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS UTILIZANDO O LEMA DE FINSLER e N i=1λ i N λ j X = N λ 2 N 1 j X+ 2 N k= j+1 λ j λ k X. Desta forma, (43) pode ser escrita como [ N N Ai Y 1 j λ i λ B jg+y 1i A j G B j + 2αX j i=1 X Y 1 j +Y 2iA j X Y ] 1 j+ A i Y 2 j < 0, (46) Y 2 j Y 2 j e consequentemente N i=1 N λ i A i λ j Y 1 j N λ j B j G+ N N λ i Y 1i λ j A j N G λ j B j + 2αX i=1 X N λ j Y 1 j + N N λ i Y 2i λ j A j i=1 X N λ j Y 1 j + N N λ i A i λ j Y 2 j i=1... N λ j Y 2 j N λ j Y 2 < 0. j... (47) Então (47) pode ser reescrita como [ Aλ Y 1λ B λ G+Y 1λ A λ G B λ + 2αX X Y ] 1λ + A λ Y 2λ X Y 1λ +Y < 0, (48) 2λ A λ Y 2λ Y 2λ sendo Y 1λ = N λ j Y 1 j e Y 2λ = N λ j Y 2 j, com N λ j = 1, λ j 0 e j K. Verifica-se uma vantagem na utilização da nova formulação (39) e (40) utilizando o Lema de Finsler em relação a (28) para a otimização da norma do controlador, que se deve à inserção de duas matrizes politópicas Y 1 j e Y 2 j, relaxando o sistema quando comparado com a formulação (28) que utiliza apenas a matriz de Lyapunov politópica Q j e desta forma aumenta o número de LMIs de otimização, já que Q j entra na composição destas (vide Teorema 4). Além disso, tal como descrito no Capítulo 2, o uso de Q λ é adequado a incertezas politópicas invariantes no tempo, permitindo-se taxa de variação suficientemente pequena, ao contrário desta nova formulação em que a matriz de Lyapunov X não é politópica, permitindo variações de λ ao longo do tempo, ou seja, sistema LPV. Dada a utilização de uma CQLF, a otimização da norma de K é simplificada utilizando apenas uma LMI para tal, conforme apresentado no Teorema 2. Desta forma teremos as LMI (22) e

49 3.2 Helicóptero 3-DOF 47 (23) em conjunto com as LMIs (39) e (40), apresentando melhores resultados para minimização dos módulos dos ganhos do controlador dada a utilização de um menor número de LMIs para tal, como se verá na Seção Helicóptero 3-DOF Considere o modelo esquemático mostrado na Figura 3 do helicóptero 3-DOF da Quanser mostrado na Figura 2. Este equipamento é um patrimônio do LPC da FEIS - UNESP. Dois motores DC estão montados nas extremidades de uma haste retangular e acionam duas hélices propulsoras. Os eixos dos motores são paralelos e o vetor de impulsão é normal à haste retangular. A estrutura do sistema é suspensa por uma articulação montada próximo à extremidade do braço de sustentação, tornando o mesmo livre para se deslocar em torno do centro. Na extremidade oposta do equipamento, existe um contrapeso utilizado para aliviar o esforço dos motores para elevar todo o sistema. Figura 2 - Helicóptero 3-DOF da Quanser pertencente ao LPC da FEIS - UNESP. Fonte: Elaborado pelo autor Uma diferença de tensão aplicada no motor dianteiro em relação ao motor traseiro causa uma inclinação positiva, enquanto uma diferença de tensão no motor traseiro em relação ao dianteiro causa uma inclinação negativa (ângulo pitch (ρ)). Uma tensão positiva nos dois motores causa uma elevação de todo o corpo (ângulo elevation (ε) do braço). Se o corpo inclina, o

50 48 3 PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS UTILIZANDO O LEMA DE FINSLER vetor impulsão resulta no deslocamento do corpo (ângulo travel (θ) do braço). O objetivo deste experimento é elaborar um sistema de controle que consiga regular os ângulos de elevação e de deslocamento do helicóptero 3-DOF (QUANSER, 2002). Figura 3 - Modelo esquemático do Helicóptero 3-DOF. Motor traseiro F b Eixo pitch ρ 0 F f Motor dianteiro m b xg m h xg m f xg Eixo l h l h travel θ 0 l a ε 0 Eixo elevation Sup. de sustentação Contra-peso l w m w.g Fonte: (QUANSER, 2002) O modelo em espaço de estado que descreve o helicóptero é (QUANSER, 2002): ε ε ρ ρ θ θ [ ] ε = A ε Vf + B. (49) ρ ρ V b θ θ ξ ξ α α As variáveis ξ e α representam as integrais dos ângulos ε de elevação e θ de deslocamento, respectivamente. As matrizes A e B são apresentadas da seguinte forma:

51 3.2 Helicóptero 3-DOF 49 A= m 0 f la mwlwg 2m f la 2 +2m f l 2 h +m f lw e B= lak f 1 lak f 2 mwlw 2+2m f l2 a mwlw 2+2m f l2 a 1 k f 1 2 m f l 1 k f 2 h 2 m f l h (50) Os valores das parâmetros utilizadas no projeto robusto, que aparecem descritos na Tabela 1, foram os mesmos utilizados no projeto do fabricante para a implementação do controlador original, mantendo assim fidelidade ao modelo do fabricante. Tabela 1 - Parâmetros do helicóptero 3-DOF Constante da força de propulsão da hélice dianteira k f 1 0,1188 Constante da força de propulsão da hélice traseira k f 2 0,1188 Massa do corpo do helicóptero (Kg) m h 1,15 Massa do contra-peso (Kg) m w 1,87 Massa do conjunto da hélice dianteira (Kg) m f m h /2 Massa do conjunto da hélice traseira (Kg) m b m h /2 Distância: eixo de pitch - cada motor (m) l h 7x0,0254 Distância: eixo de elev. - helicóptero (m) l a 26x0,0254 Distancia: eixo de elev. - contra-peso (m) l w 18,5x0,0254 Constante gravitacional (m/s 2 ) g 9,81 A fim de verificar a eficiencia das técnicas de controle robusto, implementou-se uma queda de 30% da potência do motor traseiro, simulando uma falha física nos rolamentos dos motores em um helicóptero real, sendo esta formulada como uma incerteza na constante da força de propulsão da hélice traseira (0,08312 k f 2 0,1188). A falha foi implementada fisicamente através da inserção de uma chave temporizada conectada a um amplificador com ganho no sinal controle de 0, 7 diretamente na tensão de atuação sobre o motor. Assim, constitui-se um politopo de dois vértices com uma incerteza na matriz de entrada do sistema do helicóptero, atuando sobre a tensão traseira entre 0,7V b e V b. sequência. Vértice 1 (k f 2 = 0,1188): A 1 = , e B 1 = Os vértices do politopo são descritos na ,0858 0,0858 0,5810 0, (51)

52 50 3 PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS UTILIZANDO O LEMA DE FINSLER Vértice 2 (k f 2 = 0,08312): A 2 = , e B 2 = ,0858 0,0601 0,5810 0, (52) Implementação das diferentes técnicas de projeto ótimo no Helicóptero 3-DOF Para comprovar a eficiência da nova técnica proposta neste capítulo, realizaram-se implementações práticas dos controladores, com o objetivo de visualizar o controlador atuando em sistemas reais sujeitos a falhas. A trajetória do helicóptero foi dividida em três estágios. O primeiro estágio é de decolagem, em que o helicóptero sobe 27,5 o alcançando o ângulo de elevação ε = 0 o. No segundo estágio, o helicóptero viaja 120 o mantendo a mesma elevação, ou seja, o helicóptero alcança θ = 120 o tendo como referência o ponto de decolagem. No terceiro estágio, o helicóptero realiza a aterrissagem retomando o ângulo de elevação inicial ε = 27,5 o. Durante a aterrissagem do helicóptero, mais precisamente no instante 22s, insere-se a perda de 30% da potência do motor traseiro. O controlador robusto deverá manter a estabilidade do helicóptero na ocorrência desta falha. Fixando α = 0, 8, projetaram-se três controladores: com estabilidade estendida (Teorema 3) e otimização (Teorema 4), com estabilidade projetiva (Teorema 5) e otimização (Teorema 6) e com a nova formulação proposta com estabilidade estendida (Teorema 7) também com a respectiva otimização (Teorema 2) para, em seguida, realizar a implementação prática dos mesmos. Neste exemplo, a constante de relaxação a da LMI (28) foi encontrada através de uma varredura periódica, sendo verificado os melhores resultado de norma dos controladores para a=10 6. As hipóteses dos Teoremas 3 e 5 estabelecem uma variação suficientemente pequena de λ. No entanto, para fins de comparação dos Teoremas 3 e 5 com o Teorema 7, o mesmo teste de perda abrupta de potência feito com o controlador (55) foi realizado para os controladores (53) e (54). As normas dos controladores projetados foram, respectivamente, 110, 46 para o controlador projetado com estabilidade projetiva (Teorema 5) e otimização (Teorema 6), 56, 47 para o controlador projetado por estabilidade estendida (Teorema 3) com a otimização (Teorema 4) e 44,84 para o controlador projetado pela nova formulação de estabilidade estendida (Teorema

53 3.3 Comparação geral dos três métodos de projeto com otimização 51 7) e otimização (Teorema 2). Na sequência, apresenta-se o controlador projetado com as LMIs do Teorema 5 e otimização do Teorema 6 para a implementação ilustrada na Figura 4 e sua norma: K = [ 50, , , ,8247 7, , , , , , , ,3173 9, , , ,8207 K =110,46. ], (53) Na sequência, apresenta-se o controlador projetado com as LMIs do Teorema 3 e otimização do Teorema 4 para a implementação ilustrada na Figura 5 e sua norma: K = [ 23, ,9483 9, ,7322 4, , ,7730 2, , , , ,4922 6, , ,8350 3,4475 K =56,47. ], (54) Na sequência, apresenta-se o controlador projetado com as LMIs do Teorema 7 e otimização do Teorema 2 para a implementação ilustrada na Figura 6 e sua norma: K = [ 18, , , ,9628 4, ,1159 9,1565 3, , ,8534 7, ,0978 4, , ,6784 2,3623 K =44,84. ], (55) Nas Figuras 4, 5 e 6, apresenta-se o trajeto das variáveis: elevation (ε), pitch (ρ) e travel (θ) em graus para a trajetória previamente estabelecida com a implementação dos controladores (53), (54) e (55) respectivamente. As três figuras mostram, também respectivamente, o sinal de controle (tensão) nos motores dianteiro (V f ) e traseiro (V b ), para os quais é possível verificar que os sinais de controle da Figura 6 são mais suaves quando comparados com os das Figuras 4 e 5. Esta suavidade se deve ao fato de que a norma do controlador (55) é menor que a dos outros dois. Note que além do método proposto proporcionar menor norma que os apresentados pelos autores em (BUZACHERO et al., 2010) e (BUZACHERO et al., 2012), o transitório antes e após a falha, é praticamente o mesmo com pequena diferença de amplitude. 3.3 Comparação geral dos três métodos de projeto com otimização Com a finalidade de verificar qual técnica apresenta melhores resultados para a norma dos controladores em conjunto com a factibilidade dos sistemas, fez-se uma comparação mais

54 52 3 PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS UTILIZANDO O LEMA DE FINSLER Figura 4 - Implementação prática do controlador projetado por estabilidade projetiva com o método de otimização apresentado em (BUZACHERO et al., 2012) Variáveis de estado [graus] e 10xTensão [V] 160 ε(t) 10xV f (t) 10xV b (t) θ(t) ρ(t) Falha t[s] Fonte: Elaborado pelo autor Figura 5 - Implementação prática do controlador projetado por estabilidade estendida com o método de otimização apresentado em (BUZACHERO et al., 2012) Variáveis de estado [graus] e 10xTensão [V] 160 ε(t) 10xV f (t) 10xV b (t) θ(t) ρ(t) Falha t[s] Fonte: Elaborado pelo autor geral entre as mesmas. A princípio, foram comparadas as técnicas de projeto por estabilidade quadrática com otimização da norma (Teorema 1) e projeto ótimo pela formulação proposta (Teorema 7). Em seguida, comparou-se as três técnicas de projeto ótimo: estabilidade projetiva, estabilidade estendida e formulação proposta. Para a comparação, foram gerados aleatoriamente 1000 politopos de sistemas incertos de

55 3.3 Comparação geral dos três métodos de projeto com otimização 53 Figura 6 - Implementação prática do controlador projetado pela nova formulação de estabilidade estendida com o método de otimização Variáveis de estado [graus] e 10xTensão [V] 160 ε(t) 10xV f (t) 10xV b (t) θ(t) ρ(t) Falha t[s] Fonte: Elaborado pelo autor segunda ordem, com um parâmetro incerto (dois vértices). Os 1000 politopos foram gerados factíveis em pelo menos um dos casos de projeto e otimização para α = 0,5 e, em seguida, analisaram-se as consequências do aumento de α conforme Figuras 7 e 8. Figura 7 - Quantidade de controladores com menor norma para 1000 politopos gerados aleatoriamente considerando o incremento de α - Comparação entre as técnicas Quadrática e Proposta Número de controladores com menor norma900 Projeto por estabilidade quadrática com otimização da norma (Teo. 1) Projeto ótimo pela formulação proposta (Teo. 7) α Fonte: Elaborado pelo autor É possível verificar das Figuras 7 e 8 que o melhor método de projeto ótimo é a formu-

56 54 3 PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS UTILIZANDO O LEMA DE FINSLER lação proposta, além de possibilitar a varição da incerteza no tempo, o que demonstra ser mais interessante, do ponto de vista de aplicações práticas, em sistemas sujeitos a falhas durante o funcionamento. Figura 8 - Quantidade de controladores com menor norma para 1000 politopos gerados aleatoriamente considerando o incremento de α - Comparação entre as técnicas Estendida, Projetiva e Proposta. Número de controladores com menor norma Projeto por estabilidade projetiva com otimização da norma (Teo. 5) Projeto por estabilidade estendida com otimização da norma (Teo. 3) Projeto ótimo pela formulação proposta (Teo. 7) α 3.4 Conclusões parciais Fonte: Elaborado pelo autor A nova formulação proposta para a estabilidade estendida com o método de otimização apresentou melhores resultados em comparação com os métodos expostos em Buzachero et al. (2010) e Buzachero et al. (2012). Implementaram-se os controladores para todos os métodos de projeto no helicóptero 3-DOF. Para a performance dos controladores no sistema, verificou-se que o método proposto apresentou um desempenho melhor, com sinais de controle mais suaves, também devido a uma norma razoavelmente menor do que a das técnicas existentes. Além disso, as técnicas existentes admitem apenas variações suficientemente pequenas das incertezas. Assim sendo, foi possível implementar a falha abrupta apenas devido à avaliação de que o sistema passou para outro ponto de operação, considerando como condições iniciais o ponto de operação antes da falha, enquanto que a nova formulação permite variações de λ (sistema com incerteza LPV), pois a matriz de Lyapunov não é politópica, mostrando a vantagem do método proposto para a implementação em sistemas LPV. Na análise de mil politopos gerados aleatoriamente, a técnica proposta mostrou-se melhor em todos os casos de comparação. Os respectivos projetos de controladores foram realizados usando o pacote Robust Control Toolbox do software MatLab R (GAHINET et al., 1995).

57 55 4 PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS CHAVEADOS Introduzem-se neste capítulo conceitos que serão usados para o projeto de controladores robustos chaveados com restrição de taxa de decaimento e otimização da norma dos controladores. Uma característica marcante da técnica que será abordada é a possibilidade de controle de sistemas LPV, sem a necessidade de medir o parâmetro incerto a cada instante de tempo, além das vantagens de desempenho já conhecidas de sistemas chaveados. 4.1 Chaveamento entre subsistemas Suponha um sistema composto por uma planta com incertezas politópica, cuja a estabilidade deste sistema será verificada através do chaveamento conveniente entre funções de Lyapunov quadráticas por partes. Esse sistema pode então ser denominado como sistema politópico chaveado, tendo como vantagem a possibilidade do sistema ser do tipo LPV (DEAECTO; GEROMEL; DAAFOUZ, 2011). A abordagem apresentada a seguir é apenas introdutória. Concebem-se aqui, condições de estabilidade para o sistema incerto através de funções de Lyapunov quadráticas por partes, para que se formule, nas próximas seções, o chaveamento entre sistemas realimentados com restrição de taxa de decaimento e otimização. Desta forma, considere o sistema politópico chaveado na forma de espaço de estado, tendo a estratégia de chaveamento conforme ilustrado na Figura 1: ẋ(t)=a λσ x(t), x(0)=x 0, (56) sendo definido para todo t 0 para algum σ(x(t)) K, com K = {1,2,...,N}, sendo que N é o número de vértices do politopo de incertezas, λ pertence ao simplex unitário Λ conforme definido em (3), sendo x(t) R n o vetor dos estado e a matriz A λσ dada por A λσ = N λ j A jσ, (57) sendo que o primeiro índice de A jσ refere-se ao vértice do politopo e o segundo à regra de chaveamento, que será responsável pela escolha que verificará a estabilidade do sistema incerto.

58 56 4 PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS CHAVEADOS Definindo a função de Lyapunov quadrática por partes (GEROMEL; COLANERI, 2006): N v(x) := min i K x (t)p i x(t)=min ( λ Λ λ i x (t)p i x(t)), (58) i=1 sendo{p 1,P 2,...,P N } R n n simétricas e definidas positivas. Verifica-se que (58) não é diferenciável para todo x(t) R n dada a existência de descontinuidades no chaveamento das funções. Desta forma, foi econtrada uma g(x(t)) :R n N, e as condições para que a regra de chaveamento dada por σ(t)=ming(x(t)), (59) faça com que a origem do sistema (56) seja globalmente assintoticamente estável. Para este aspecto, definiu-se o conjunto I(x)={i : v(x)=x (t)p i x(t)}, (60) sendo v(x) solução de (58) e desta forma I(x) pode possuir mais de um elemento cuja função (58) não é diferenciável, ou seja, a solução do mínimo não é única Matrizes Metzler Para a compreensão do teorema a seguir, considere a matriz de Metzler denotada por M (LUENBERGER, 1979; GEROMEL; COLANERI, 2006), consistindo de todas as matrizes Π R N N, sendo os termos π ji elementos da j-ésima linha e i-ésima coluna de Π, tais que π ji 0, j i, N π ji = 0, i. (61) O ponto importante para a obtenção das condições de estabilidade é utilizar uma matriz Metzler dependente do parâmetro desconhecido, isto é, Π(λ) : Λ K N N (GEROMEL; DEAECTO, 2009) cujos elementos são definidos por π ji := { γλ j, j i γ(λ i 1), j= i, (62) com γ 0. Pode-se verificar que eles constituem uma matriz de Metzler Π(λ) M para todo λ Λ. De fato, pela definição (62) todos os elementos fora da diagonal principal são não negativos e

59 4.1 Chaveamento entre subsistemas 57 as identidades N π ji (λ) = [ N j i γλ j ]+γ(λ i 1) = γ( N λ j 1) = 0, são verificadas para cada i K e todo λ Λ. Além disso, utilizando Π(λ) M, temos que as igualdades N π ji (λ)p j = N j i γλ j P j + γ(λ i 1)P i = γ N λ j P j γp i = γ N λ j (P j P i ), (63) são verdadeiras para cada i K e todo λ Λ. Este é um resultado fundamental para o projeto de controle robusto em questão e que tornou possível a obtenção das condições de estabilidade robusta que serão vistas na sequência Condições para estabilidade robusta De posse dos conceitos introduzidos, o Teorema 8 a seguir foi adequado a partir do apresentado em (DEAECTO, 2010) e será estendido para inclusão da taxa de decaimento. Teorema 8. (DEAECTO, 2010) Sendo {Q 1,Q 2,...,Q N } um conjunto de matrizes simétricas semidefinidas positivas, se existirem um conjunto de matrizes simétricas definidas positivas {P 1,P 2,...,P N } e γ M satisfazendo as seguintes desigualdades de Lyapunov-Metzler sendo i, j K, então a lei de controle faz com que o sistema (56) seja assintoticamente estável. A jip i + P i A ji + γ(p j P i )+Q i < 0, (64) σ(t)=g(x(t))=argmin i K x (t)p i x(t), (65) Reproduziu-se a prova do Teorema 8 aqui para ser útil nas demostrações dos próximos teoremas.

60 58 4 PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS CHAVEADOS Demonstração. Assuma que as matrizes simétricas P i para todo i K são soluções das desigualdades (64) para algum γ 0. Logo, multiplicando o resultado por λ j 0 e somando para todo j= 1,2,...,N, obtém-se A λip i + P i A λi + γ N λ j (P j P i )+Q i < 0. (66) Uma vez que (66) vale para todo λ Λ, utilizando o resultado apresentado em (63), verifica-se que o mesmo ocorre para com i K, Π(λ) M e λ Λ. A λip i + P i A λi + N π ji (λ)p j + Q i < 0, (67) Como (58) não é diferenciável para todo x(t) R n, utiliza-se a derivada de Dini (GARG, 1998) à direita de (58) que, por definição, é dada por D + v(x(t+ h)) v(x(t)) v(x(t))= lim sup. (68) h 0 + h Sabendo que a regra de chaveamento é dada por σ(t) = g(x(t)) = i, utilizando o Teorema de Danskin (LASDON, 1970) tem-se que D + v(x(t)) = lim sup v(x(t)+ha λix(t)) v(x(t)) h 0 + h = min l I(x(t)) x (t)(a λi P l + P l A λi )x(t) x (t)(a λi P i + P i A λi )x(t), (69) em que a desigualdade assegura o fato de que i I(x(t)). Por ourto lado lembrando que x (t)p j x(t) x (t)p i x(t)=v(x) obtém-se de (67) que D + v(x(t)) < x (t)( N π ji P j Q i )x(t) = x (t)( N j i x (t)( N j i π ji P j π ii P i Q i )x(t) π ji P i π ii P i Q i )x(t) = ( N π ji )x (t)p i x(t) x (t)q i x(t) = x (t)q i x(t) 0. Logo (70) prova que o sistema (56) é assintoticamente estável. (70)

61 4.1 Chaveamento entre subsistemas 59 Na seção a seguir será abordada a técnica de projeto robusto chaveado robustos. Adicionalmente, abordar-se-á a inserção da taxa de decaimento, de acordo com (BOYD et al., 1994) e utilizando-se a derivada de Dini (GARG, 1998): D + v(x(t)) 2αv(x(t)) Projeto robusto de controladores chaveados Considere um sistema politópico descrito pela equação: ẋ(t)=a λ x(t)+b λ u(t), x(0)=x 0, (71) sendo x(t) R n o vetor de estado e u(t) R m a entrada de controle. As matrizes (A λ,b λ ) de dimensões compatíveis são tais que (A λ,b λ )= N λ j (A j,b j ), (72) sendo que os vértices (A j,b j ) do politopo são matrizes conhecidas para todo j K, e λ = [λ 1,λ 2,...,λ N ] R N pertence ao simplex unitário Λ, conforme (3). No contexto de sistemas LPV o parâmetro λ é variante no tempo: λ = λ(t) Λ para todo t 0. Desta forma o objetivo é determinar um ganho de realimentação K λ de forma que utilizando a entrada de controle u(t)=k λ x(t), o sistema em malha fechada ẋ(t)=(a λ(t) + B λ(t) K λ(t) )x(t), (73) seja globalmente assintoticamente estável. De posse dos resultados apresentados em (GEROMEL; COLANERI, 2006) o seguinte lema pode ser provado conforme apresentado em (DEAECTO; GEROMEL; DAAFOUZ, 2011). Lema 3. (DEAECTO; GEROMEL; DAAFOUZ, 2011) Se existir uma matriz simétrica definida positiva S R n n, matrizes simétricas Q i R n n e matrizes Y i R n n para todo i K satisfazendo A j S+B j Y i + SA j +Y i B j + Q j Q i < 0, (74) para todo i, j K K, então o ganho LPV dado por K λ = Y λ S 1 torna o sistema (71) globalmente assintoticamente estável. Demonstração.(DEAECTO; GEROMEL; DAAFOUZ, 2011) Multiplicando (74) sucessivamente por λ i 0 e por λ j 0 e somando para todo i K e j K, obtemos A λ S+B λ Y λ + SA λ +Y λ B λ < 0, (75)

62 60 4 PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS CHAVEADOS válido para todo λ Λ. Logo multiplicando ambos os lados de (75) por S 1 = P e rearranjando os termos obter-se-á (A λ + B λ K λ ) P+P(A λ + B λ K λ )<0. (76) Portanto, a prova segue da função de Lyapunov quadrática v(x)=x Px pois v(x)<0 para todo x 0 R n. Dois pontos devem ser considerados sobre esta abordagem. As matrizes Q 1,Q 2,...,Q N podem reduzir o conservadorismo, e se faz necessário seu uso para encontrar factibilidade em muitas situações. Em segundo lugar, o controle LPV dado por u(t) = K λ x(t) exige que o parâmetro λ(t) seja medido a cada instante de tempo, inviabilizando este tipo de implementação quando a incerteza é tratada como falha, pois se desconhece a forma como irá ocorrer. Além disso, conforme explanado em (DEAECTO; GEROMEL; DAAFOUZ, 2011), nesta formulação a matriz P não pode ser dependente de parâmetro, pois sua derivada em relação ao tempo, Ṗ(λ(t)), teria de ser incluída nas condições de estabilidade. Assim sendo, trocando (74) por A j S i + B j Y i + S i A j +Y i B j + Q j Q i < 0, (77) com S i = S i > 0 para todo i, j R, e obtém-se consequentemente (A λ + B λ K(λ)) P(λ)+P(λ)(A λ + B λ K(λ))<0, (78) sendo que K λ = Y λ S 1 λ e P(λ)=S 1 λ dependem não linearmente do parâmetro incerto λ Λ. Entretanto, a estabilidade assintótica não pode ser assegurada, pois a desigualdade (78) não implica que a derivada no tempo de v(x) = x P(λ)x seja negativa, o que naturalmente impõe alguma limitação sobre λ(t) (DEAECTO; GEROMEL; DAAFOUZ, 2011). Verifica-se desta forma, que as condições (77) com as seguintes restrições adicionais (DEAECTO, 2010): Q j Q i = γ(s i S 1 j S i S i ), (79) para todo i, j R e γ > 0, as quais podem ser escritas em termos de LMIs, asseguram a existência de um conjunto de ganhos de realimentação de estado e uma regra de chaveamento σ(t) com as seguintes propriedades (DEAECTO; GEROMEL; DAAFOUZ, 2011): O sistema em malha fechada variante no tempo é globalmente assintoticamente estável sem que nenhuma exigência seja feita sobre a magnitude da derivada no tempo de λ(t) Λ; A entrada de controle u(t)=k σ(t) x(t) não depende explicitamente do parâmetro λ(t) Λ, o que permite a sua implementação sem a necessidade de medir λ(t).

63 4.2 Projeto robusto chaveado e restrição de taxa de decaimento Projeto robusto chaveado e restrição de taxa de decaimento O objetivo nesta seção é determinar uma regra de chaveamento estabilizante para sistemas politópicos realimentados conforme se apresentou na Figura 1, sujeitos a taxa de decaimento maior ou igual a um escalar α, descritos pela seguinte equação em espaço de estado ẋ(t)=(a λ + B λ K σ )x(t),x(0)=x 0. (80) Para isso, propõe-se o seguinte teorema. Teorema 9. Se existirem matrizes simétricas definidas positivas S i = P 1 i, matrizes Y i para todo i K um escalar γ 0 e um escalar α 0 satisfazendo as desigualdades de Lyapunov-Metzler [ ] Sym{A j S i + B j Y i }+(2α γ)s i γs i < 0, (81) γs i γs j i, j K então a regra de chaveamento σ(x(t))=argmin i K x(t) S 1 i x(t) e os ganhos de realimentação K i = Y i S 1 i para todo i K fazem com que a origem x=0 do sistema em malha fechada seja um ponto de equilíbrio globalmente assintoticamente estável e o sistema estará sujeito a taxa de decaimento maior ou igual a α. Demonstração. Considere que as matrizes simétricas definidas positivas S i = P 1 i e que Y i = K i S i para todo i K são soluções das desigualdades (81) para algum γ 0 e α 0. Multiplicando ambos os lados da desigualdade por diag{s 1 i,i} e, então, aplicando o complemento de Schur em relação à segunda linha e à segunda coluna de (81), obtém-se: Sym{P i (A j + B j K i )}+γ(p j P i )+2αP i < 0. (82) Multiplicando o resultado por λ j 0 e somando para todo,2,...,n obtém-se Sym{P i (A λ + B λ K i )}+γ N λ j (P j P i )+2αP i < 0. (83) Uma vez que (83) vale para todo λ Λ, utilizando o resultado apresentado em (63), verifica-se que o mesmo ocorre para Sym{P i (A λ + B λ K i )}+ N π ji (λ)p j < 2αP i, (84)

64 62 4 PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS CHAVEADOS com i K, Π(λ) M e λ Λ. Assim sendo, a prova decorre do Teorema 8 (DEAECTO, 2010), lembrando que x (t)p j x(t) x (t)p i x(t)=v(x) obtém-se de (64) que D + v(x(t)) < x (t)( N π ji P j 2αP λ )x(t) ( N π ji )x (t)p i x(t) 2αx (t)p i x(t) = 2αx (t)p i x(t) < 0. (85) De (85) está provado que a origem do sistema (80) é globalmente assintoticamente estável e o sistema estará sujeito a taxa de decaimento maior ou igual a α, garantindo que a mínima função energia estará sempre ativa, lembrando que v(t) 2αv(x), sendo v(x)=min i K (x (t)p i x(t)). o será. Note que, se a restrição de taxa de decaimento for satisfeita, a estabilidade robusta também Na Seção 4.4, é verificada a eficiência do método com a inserção da taxa de decaimento. 4.3 Otimização da norma de controladores chaveados Em muitas situações os controladores com chaveamento em sistemas com restrição de taxa de decaimento possuem ganhos elevados, dificultando assim sua implementação prática. A fim de contornar esta dificuldade foi proposto o Teorema 10 adicionalmente ao Teorema 9, para minimizar a norma de K i e garantir a taxa de decaimento maior ou igual a α. Teorema 10. Dada uma constante µ 0 > 0, utilizada apenas para flexibilizar a obtenção de factibilidade, obtém-se um limitante para a norma dos controladores K i R m n, com K i = Y i Si 1, S i = S i > 0, S i R n n e Y i R m n encontrando o valor mínimo de β, β > 0 tal que K i K i < β µ 0 I n. O valor mínimo de β pode ser encontrado resolvendo o seguinte problema de otimização com restrição de taxa de decaimento maior ou igual a α: minβ [ ] Si Y i s.a > 0, Y i βi m (86) S i > µ 0 I n, (87) [ ] Sym{A j S i + B j Y i }+(2α γ)s i γs i < 0, (88) γs i γs j

65 4.4 Exemplo de Aplicação: Sistema massa-mola-massa 63 i, j K sendo I m e I n são matrizes identidade de ordem m e n respectivamente. Demonstração. Aplicando o complemento de Schur para a primeira desigualdade de (86) resulta em (89) Assim, a partir de (89), encontra-se (90) βi m > 0 e S i Y i(βi m ) 1 Y i > 0. (89) S i > 1 β Y i Y i Y i Y i < βs i. (90) Substituindo Y i = K i S i em (90) resulta em (91) S i K ik i S i < βs i K ik i < βs 1 i (91) Assim, a partir de (87) e (91), pode-se deduzir (92). K ik i < β µ 0 I n, (92) na qual K i são controladores ótimos associados a (81). Conclui-se, desta forma, que minimizar a norma de uma matriz é equivalente a minimizar um escalar β > 0 tal que K i K i < β µ 0 I n, com µ 0 > Exemplo de Aplicação: Sistema massa-mola-massa Considere o sistema da Figura 9. Este sistema envolve dois carros, cujas massas nominais são m 1 = m 2 = 1 kg, conectadas por uma mola de constante elástica k = 1,25 N/m (DEAECTO, 2010). O problema consiste em atuar na entrada de controle u de forma a ter o tempo de duração do transitório reduzido convenientemente por meio da realimentação de estado de dois controladores chaveados {K 1,K 2 } projetados com taxa de decaimento, sendo a regra de chaveamento σ(x(t)) conforme definida anteriormente.

66 64 4 PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS CHAVEADOS Figura 9 - Sistema massa-mola-massa. x 2 x 1 u k m 2 m 1 Fonte: (SKAFIDAS et al., 1999) O modelo em espaço de estado que descreve o sistema é:. x x. 1 x x 2.. = x 1 m k k. + 1 m1 0 0 x 1.. x k 2 m 2 m k x u. (93) Considerar-se-á que a constante da mola é modelada como um parâmetro incerto variante no tempo 0,5 k(t) 2,0 para todo t 0. Desta forma, constituir-se-á um politopo definido pelos vértices: A 1 = ,5 0, ,5 0,5 0 0, A 2 = (94) Deseja-se realizar o projeto conjunto de controladores {K 1,K 2 } e a regra de chaveamento σ de modo a assegurar a estabilidade com taxa de decaimento maior ou igual a α. Para propostas de simulação, considera-se λ(t) Λ dada como λ 1 (t)=0,5 0,5sen(10t) e λ 2 (t)=0,5+0,5sen(10t), correspondente a k(t)=1,25+0,75sen(10t) para todo t 0. Note que λ 1 (t)+λ 2 (t)=1, t. Utilizando o Teorema 9 com γ = 0,01 encontrado através de uma busca unidimensional, projetaram-se controladores para diferentes taxas de decaimento e, em seguida, simulou-se o comportamento do sistema conforme resultados apresentados nas Figuras 11 e 14.

67 4.4 Exemplo de Aplicação: Sistema massa-mola-massa 65 Fixando α = 0, 4 para a taxa de decaimento, foram encontrados os seguintes controladores: K 1 = [ ] 16, , , , 8614, (95) K 2 = [ ] 16, , , , (96) A Figura 10 representa a nuvem de autovalores do sistema incerto, varrendo λ(t) para t entre 0 e 2π 10 realimentado tanto com K 1 como com K 2. Figura 10 - Nuvem de autovalores para α = 0,4 do sistema massa-mola-massa varrendo λ(t) para 63 partições de t entre (0, 2π 10 ) realimentado tanto com K 1 como com K 2. Parte imaginária dos autovalores α = 0, Parte real dos autovalores Fonte: Elaborado pelo autor [ Dadas as condições iniciais x 0 = ], o sistema apresentou o comportamento conforme a Figura 11. Apresentaram-se o sinal de controle e o controlador ativo em cada instante de tempo na Figura 12. Com o objetivo de verificar a eficiência para restrições maiores de taxa de decaimento fixou-se α = 1 e foram encontrados os seguintes controladores. K 1 = [ ] 1, , , , (97) K 2 = [ ] 1, , , , (98)

68 66 4 PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS CHAVEADOS Figura 11 - Simulação do sistema realimentado projetado com α = 0,4. x(t) para decaimento α = 0, x 1 (t) x 2 (t) ẋ 1 (t) ẋ 2 (t) t[s] Fonte: Elaborado pelo autor Figura 12 - Sinal de controle e controlador ativo para α = 0, u(t) chaveamento do controlador u(t) para decaimento α = 0, K 1 atuando K 2 atuando t[s] Fonte: Elaborado pelo autor A Figura 13 representa a nuvem de autovalores do sistema incerto, varrendo λ(t) para t entre 0 e 2π 10 realimentado tanto com K 1 como com K 2, consuderando agora α = 1.

69 4.4 Exemplo de Aplicação: Sistema massa-mola-massa 67 Figura 13 - Nuvem de autovalores para α = 1 do sistema massa-mola-massa varrendo λ(t) para 63 partições de t entre (0, 2π 10 ) realimentado tanto com K 1 como com K 2. Parte imaginária dos autovalores α = Parte real dos autovalores Fonte: Elaborado pelo autor [ Dadas as condições iniciais x 0 = ], o sistema apresentou o comportamento conforme Figura 14, sendo o sinal de controle e o controlador ativo em cada instante de tempo apresentado na Figura 15. Figura 14 - Simulação do sistema realimentado projetado com α = 1. x(t) para decaimento α = x 1 (t) x 2 (t) ẋ 1 (t) ẋ 2 (t) t[s] Fonte: Elaborado pelo autor

70 68 4 PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS CHAVEADOS Figura 15 - Sinal de controle e controlador ativo para α = K 1 atuando u(t) chaveamento do controlador u(t) para decaimento α = K 2 atuando t[s] Fonte: Elaborado pelo autor Verifica-se que, com um incremento na taxa de decaimento (α de 0,4 para 1), houve um aumento considerável dos ganhos dos controladores, podendo tornar inviável a aplicação prática desta técnica. Para resolver esse problema, pode-se utilizar as LMIs de otimização apresentadas no Teorema 10, que foram adaptadas à nova situação de controladores comutados. Dada a possibilidade de implementar a técnica com otimização no helicóptero 3-DOF, optou-se por encerrar o exemplo e testar a técnica de otimização da norma do controlador na prática, conforme se vê na seção a seguir. 4.5 Implementação de controladores chaveados no helicóptero 3-DOF Com base na implementação no Helicóptero 3-DOF apresentado na Seção 3.2, cuja planta incerta é dada pela equação (49), sendo as matrizes A e B dadas em (50), realizaram-se modificações no diagrama de blocos do sistema, conforme Figura 16, de modo a viabilizar o chaveamento entre dois controladores, tendo a equação (65) como lei de chaveamento entre os controladores. Sendo assim, optou-se por utilizar, a princípio, o mesmo politopo apresentado na Seção 3.2 onde há uma queda de 30% da potência do motor traseiro, constituindo-se, assim, um politopo de dois vértices, com a incerteza formulada como uma falha na constante da hélice de propulsão traseira do helicóptero, conforme foi mostrado em (51) e (52).

71 4.5 Implementação de controladores chaveados no helicóptero 3-DOF 69 Figura 16 - Esquemático do controle chaveado para a planta do helicóptero 3-DOF. u(t) Planta Incerta : Helicptero 3 DOF x(t) K 1 K 2 σ(t) Fonte: Adaptado de (GEROMEL; DEAECTO, 2009) Implementação com restrição de taxa de decaimento Fixando a taxa de decaimento em α = 0,5, com γ = 0,01 (valor encontrado por meio de uma busca unidimensional), projetaram-se os controladores com as LMIs do Teorema (9): K 1 = sendo K 1 =127,6734 K 2 = sendo K 2 =127,6622. [ ] 44, , , ,1167 8, , , , , ,8806 7, ,5474 5, , ,0442 2,3395, (99) [ 44, , , ,0883 8, , , , , ,8301 7, ,5570 5, , ,0573 2,2985 ], (100) Na Figura 17, apresentaram-se as variáveis: elevation (ε), pitch (ρ) e travel (θ) em graus para a trajetória estabelecida na Seção 3.2 para os controladores (99) e (100). Note a ocorrência da queda de 30% na potência do motor traseiro, no instante 22 s da trajetória. As Figuras 18 e 19 mostram as tensões nos motores dianteiro (V f ) e traseiro (V b ) com o controlador ativo a cada instante de tempo, e um zoom no chattering para visualizar mais claramente qual controlador está ativo a cada instante de tempo. Nas duas Figuras 18 e 19 o nível 0 a 4 constam apenas para distinguir quando o controlador K 1 ou o controlador K 2 estarão ativos. Aumentou-se o parâmetro incerto para verificar as vantagens no projeto de controladores chaveados com restrição de taxa de decaimento. Agora o projeto irá considerar uma falha de 90% no motor traseiro, que é considerada pelo grupo de pesquisa como uma falha extremamente severa. Para este caso de incerteza, o projeto por estabilidade quadrática com a mesma restrição

72 70 4 PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS CHAVEADOS Figura 17 - Implementação prática dos controladores projetados para falha de 30% e α = 0, Variáveis de estado [graus] θ(t) ρ(t) 20 ε(t) Falha t[s] Fonte: Elaborado pelo autor Figura 18 - Sinais de controle e controlador ativo para falha de 30% e α = 0,5. 16 Sinais de controle [V] e controlador ativo V f (t) V b (t) K 2 ativo K 1 ativo t[s] Fonte: Elaborado pelo autor de taxa de decaimento não pode ser implementado devido aos altos ganhos (norma do controlador maior que 500), mesmo utilizando a otimização da norma do controlador (ASSUNÇÃO et al., 2007b). Desta forma, a incerteza na constante da força de propulsão da hélice traseira será formulada entre 0,0119 k f 2 0,1188, e a implementação no sistema permitirá que a tensão no motor traseiro varie entre 0,1V b e V b. O politopo é descrito em (101) e (102).

73 4.5 Implementação de controladores chaveados no helicóptero 3-DOF 71 Figura 19 - Zoom no chattering para o controlador ativo (0< t < 9s) - falha de 30% e α = 0,5. 4 K 1 ativo 3.5 Controlador ativo K 2 ativo t[s] Fonte: Elaborado pelo autor Vértice 1 (k f 2 = 0,1188): A 1 = Vértice 2 (k f 2 = 0,0119): A 2 = , , e B 1 = e B 2 = ,0858 0,0858 0,5810 0, ,0858 0,0086 0,5810 0, (101). (102) Fixando o parâmetro da taxa de decaimento em α = 0,4 (para α 0,5 os motores seriam forçados desnecessariamente devido aos altos ganhos e poderiam ser danificados), com γ = 0, 01 foram projetados os controladores com as LMIs do Teorema 9: K 1 = onde K 1 =414,8748 [ ] 55, , , ,6479 5, , , , , ,0160 0, , , , ,8750 0,2160, (103)

74 72 4 PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS CHAVEADOS K 2 = onde K 2 =414,7950. [ ] 55, , , ,5856 5, , , , , ,0471 0, , , , ,8488 0,1810, (104) Os mesmos ensaios mostrados nas Figuras 17 e 18 são agora apresentados nas Figuras 20 e 21 respectivamente, porém agora para o projeto prevendo uma falha de 90% na potência do motor traseiro. Figura 20 - Implementação prática dos controladores projetados para falha de 90% e α = 0, Variáveis de estado [graus] ε(t) θ(t) ρ(t) Falha t[s] Fonte: Elaborado pelo autor Figura 21 - Sinais de controle e controlador ativo projetado para falha de 90% e α = 0,4. Sinais de controle [V] e controlador ativo V b (t) K 2 ativo K 1 ativo t[s] V f (t) Fonte: Elaborado pelo autor

75 4.5 Implementação de controladores chaveados no helicóptero 3-DOF 73 Pode-se verificar que as duas implementações tanto para o projeto prevendo falha de 30% como para o projeto prevendo falha de 90% foram eficientes, porém, os ganhos no caso de 90% foram altos originando um sinal de controle mais agressivo. Assim sendo, faz-se necessário considerar um limitante para a norma controlador, de modo a facilitar a sua aplicação. Cabe colocar aqui que a tensão enviada aos motores é limitada entre 24V a 24V, sendo saturada fora destes limites. No casos estudados neste trabalho, não houve nenhuma situação onde a tensão ultrapassou os limites de saturação de 24V, sendo o sinal de controle enviados sem saturação para os motores Implementação com restrição de taxa de decaimento e otimização da norma de K Nesta subseção, usou-se o Teorema 10 juntamente com a teoria discutida na seção anterior (Teorema 9) com o objetivo de projetar os controladores ótimos chaveados. Os mesmos vértices com queda de 30% na potência do motor traseiro mostrados em (51) e (52) na subseção anterior foram utilizados. Desta forma, fixando o limite para a taxa de decaimento em α = 0,5, com γ = 0,01 foram projetados os controladores chaveados conforme (105) e (106) para o sistema com otimização da norma dos controladores. K 1 = sendo K 1 =21,0702 [ ] 7,8546 5,2683 1,7896 8,7819 3,1169 3,8647 2,4646 0, ,3572 4,5384 1, ,4826 3,0941 2,9212 3,5958 0,2319, (105) K 2 = sendo K 2 =21,1242. [ ] 7,9085 5,2697 1,7932 8,7866 3,1158 3,8697 2,4925 0, ,4089 4,5449 1, ,4765 3,0945 2,9279 3,6219 0,2325, (106) Note que as respectivas normas são menores do que as encontradas para os controladores (99) and (100), isto é, a norma dos controladores (105) e (106) são apenas 16% da norma dos controladores (99) e (100). Os mesmos resultados mostrados nas Figuras 17 e 18 são agora apresentados nas Figuras 22 e 23 respectivamente, para uma falha de 30% na potência do motor traseiro, porém, agora com otimização da norma dos controladores. Pode-se verificar que os sinais de controle da Figura 23 são mais suaves quando comparados com os da Figura 18 devido à otimização, alcançando a mesma eficiência dos requisitos de projeto (α = 0,5), e evitando desgastes desnecessários.

76 74 4 PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS CHAVEADOS Figura 22 - Implementação prática dos controladores ótimos para falha de 30% e α = 0, Variáveis de estado [graus] ε(t) θ(t) ρ(t) Falha t[s] Fonte: Elaborado pelo autor Figura 23 - Sinais de controle e controlador ótimo ativo para falha de 30% e α = 0,5. 12 Sinais de controle [V] e controlador ativo V f (t) V b (t) K 1 ativo K 2 ativo t[s] Fonte: Elaborado pelo autor Agora, para verificar a eficiência da metodologia proposta, o projeto com otimização foi realizado para uma falha de 90% no motor traseiro. Os mesmos vértices com queda de 90% na potência do motor traseiro mostrado em (101) e (102) na subseção anterior foram utilizados. Devido à otimização da norma dos controladores, a taxa de decaimento pode ser aumentada para esta implementação. Desta forma, fixando o limite para a taxa de decaimento em α = 1, com γ = 0,01 foram projetados controladores chaveados,

77 4.5 Implementação de controladores chaveados no helicóptero 3-DOF 75 com restrição da taxa de decaimento e otimização da norma dos controladores conforme (107) e (108). K 1 = [ ] 19, , , ,9020 6, ,9296 9,8636 4, , ,8628 1, , , , ,7144 0,4486 (107) sendo K 1 =289,0915 K 2 = [ ] 19, , , ,9375 6, ,8910 9,9654 4, , ,8753 1, , , , ,8014 0,4483 (108) sendo K 2 =289,1957. Note que as respectivas normas são menores que as obtidas para os controladores (103) e (104), isto é, a norma dos controladores (107) e (108) equivalem a 70% da norma dos controladores (103) e (104). Além disso, a taxa de decaimento pôde ser aumentada consideravelmente, neste caso de α = 0,5 para α = 1. Os mesmos ensaios mostrados nas Figuras 20 e 21 são agora apresentados nas Figuras 24 e 25, respectivamente, porém agora com otimização da norma dos controladores. Figura 24 - Implementação prática dos controladores ótimos para falha de 90% e α = Variáveis de estado[graus] θ(t) ρ(t) 20 ε(t) Falha t[s] Fonte: Elaborado pelo autor De forma similar ao ocorrido nas Figuras 18 e 23, pode-se verificar claramente que os sinais de controle da Figura 25 são mais suaves comparado com os da Figura 21 devido à otimização, alcançando uma eficiência maior devido a taxa de decaimento poder ter sido aumentada (α = 1), e devido aos ganhos reduzidos que evitaram desgastes desnecessários.

78 76 4 PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS CHAVEADOS Figura 25 - Sinais de controle e controlador ótimo ativo para falha de 90% e α = Sinais de controle [V] e controlador ativo V b (t) K 2 ativo V f (t) K 1 ativo t[s] Fonte: Elaborado pelo autor 4.6 Conclusões parciais Neste capítulo, propôs-se um método aprimorado para o projeto de controladores robustos chaveados, restrição de taxa de decaimento e otimização da norma dos controladores. Associouse a condição de estabilidade robusta garantida com a teoria de chaveamento, com a restrição de taxa de decaimento maior que um escalar α e a otimização da norma do controlador, expressas através de LMIs com um escalar adicional γ fixo. Na fase de implementação no Helicóptero 3-DOF, o chaveamento entre controladores provou ser eficaz, combinado com a taxa de decaimento, proporcionando um voo durante a trajetória com poucas oscilações. À medida que se impôs falhas mais severas, os ganhos dos controladores também aumentaram, exigindo um procedimento de otimização para facilitar a aplicação desta técnica. Os controladores projetados com a técnica de otimização proposta apresentaram valores reduzidos para a norma, quando comparados com os outros controladores. Estes valores reduzidos causam sinais de controle mais suaves, com a vantagem de se obter a mesma eficiência dos requisitos de projeto, mostrando assim o benefício da metodologia proposta em relação ao custo de implementação e esforços requeridos dos motores. Estas características de otimização tornam o projeto interessante sob o ponto de vista de aplicações práticas para sistemas com parâmetros incertos, garantindo estabilidade robusta por meio da teoria de controle chaveado. Ainda possibilitou baixas oscilações na ocorrência de falhas devido à taxa de decaimento e à facilidade de aplicação nos sistemas que exigem menor custo de implementação.

79 77 5 NOVOS RESULTADOS PARA ESTABILIDADE DE SISTEMAS CHAVEADOS Neste capítulo, propõe-se uma técnica menos conservadora para a análise de estabilidade de sistemas lineares incertos, utilizando funções de Lyapunov quadráticas por partes. A vantagem desta técnica está no aumento dos escalares de relaxação γ vistos na seção anterior. Estes escalares são agora variáveis nesta abordagem e desta forma estão livres para se adaptar. Consequentemente se faz necessária a utilização de BMIs, em que os termos bilineares estão no produto dos escalares de relaxação e de matrizes variáveis. A classe de BMIs em questão pode ser resolvida pelo método path-following, como será visto na sequência. 5.1 Sistemas chaveados utilizando desigualdades de Lyapunov- Metzler De forma similar ao abordado no Capítulo 4, considere o sistema linear com comutação abaixo (GEROMEL; COLANERI, 2006): ẋ(t)=a σ(t) x(t), x(0)=x 0, (109) definido para todo t 0, em que x(t) R n, σ(t) é a regra de comutação e x 0 é a condição inicial. A partir de um conjunto conhecido de matrizes constantes A i R n n, i K, é possível, em cada instante de tempo, escolher a regra de comutação σ(t) para todo t 0, e desta forma selecionar uma matriz A σ(t) R n n dentre aquela pertencentes ao conjunto mostrado abaixo: A σ(t) {A 1,A 2,...,A N }. (110) Assim sendo, cada A σ(t) pode comutar instantaneamente de A i para A k para algum i k K quando ocorrer comutação de σ = i para σ = k e A σ(t) é comutado entre os N possíveis subsistemas {A 1,A 2,...,A N }.

80 78 5 NOVOS RESULTADOS PARA ESTABILIDADE DE SISTEMAS CHAVEADOS Define-se a função de Lyapunov mínima e quadrática por partes: v(x) := min i K {v i(x(t))}, v i (x(t))=x (t)p i x(t), (111) com{p 1,P 2,...,P N } R n n e P i > 0 para todo i K. Esta função fornece condições favoráveis para análise de factibilidade e projeto de controle. Como (111) não é diferenciável para todo x(t) R n encontrou-se uma função g(x(t)) = {g V g (x(t))=min i K {v i(x(t)}}, e condições para a regra de comutação dadas por σ(t)=ming(x(t)), (112) que possibilitam a verificação da estabilidade assintótica de (109). Para este caso foi definido um conjunto I(x)={i : v(x)=x (t)p i x(t)} que tem mais de um elemento cuja função (111) não é diferenciável, isto é, a solução mínima não é única. O teorema a seguir foi retirado de (GEROMEL; COLANERI, 2006) e fornece condições de estabilidade considerando a possibilidade de comutação entre os subsistemas, utilizando a função (111). Teorema 11. (GEROMEL; COLANERI, 2006) Seja Q 0, e se existir um conjunto de matrizes simétricas definidas positivas {P 1,P 2,...,P N } e um escalar positivo γ satisfazendo as desigualdades modificadas de Lyapunov-Metzler A ip i + P i A i + γ(p j P i )+Q i < 0, j i K (113) então a lei de controle (112) faz com que o sistema (109) seja assintoticamente estável. Demonstração. Demonstração similar a apresentada no Teorema 8. O impasse existente na aplicação desta teoria é a comutação entre os subsistemas, pois, no foco em questão, o sistema é único com parâmetros incertos necessitando para tanto garantir a convexidade das LMIs. Muitos trabalhos têm encontrado formulações mais relaxadas para a estabilidade de sistemas lineares incertos invariantes no tempo ou com taxa de variação suficientemente pequenas dos parâmetros incertos (SKELTON; IWASAKI; GRIGORIADIS, 1997; OLIVEIRA; GEROMEL; HSU, 1999; OLIVEIRA; BERNUSSOU; GEROMEL, 1999). A seguir, apresentam-se condições de estabilidade convexa para sistemas lineares incertos, baseadas na estabilidade de sistemas com comutação, onde o sistema pode ter incertezas variantes no tempo (LPV). O teorema proposto a seguir foi baseado em resultados apresentados em (DEAECTO, 2010).

81 5.1 Sistemas chaveados utilizando desigualdades de Lyapunov-Metzler 79 Teorema 12. O sistema linear incerto dado em (1) é assintoticamente estável, se existirem matrizes simétricas positivas definidas P i e Q i, escalares γ 0, com i, j K, satisfazendo as seguintes desigualdades matriciais: A jp i + P i A j + γ(p j P i )+Q i < 0, (114) e exista uma escolha conveniente das funções mínimas em cada instante de tempo, conforme a regra (112). Demonstração. Considerando a função de Lyapunov (111), como a função v(x(t)) não é diferenciável para todo x R n, a derivada de Dini (GARG, 1998; GEROMEL; COLANERI, 2006) à direita da função (111) será Substituindo (4) em (115) D + v(x(t))=min i K [ẋ (t)p i x(t)+x (t)p i ẋ(t)]. (115) D + v(x(t)) = min = min i K i K[ N { x (t) λ j (x (t)a jp i x(t)+x (t)p i A j x(t)) [ N λ j (A jp i + P i A j ) ] x(t) } ]. (116) Considerando que x (t)(p λ P i )x(t)=x (t) γ 0, para todo i, j K, então de (116) para x(t) 0, N λ j (P j P i )x(t) 0, D + v(x(t)) x (t) { N [ λ j A j P i + P i A j + γ(p j P i ) ]} x(t) < x (t) < 0. { N [ ] } λ j A j P i + P i A j + γ(p j P i )+Q i x(t) (117) O contraponto na aplicação desta técnica é o uso do escalar γ, que é fixo e predeterminado, por meio de uma busca unidimensional, inserindo um certo conservadorismo na busca por factibilidade.

82 80 5 NOVOS RESULTADOS PARA ESTABILIDADE DE SISTEMAS CHAVEADOS Na seção a seguir, a função candidata foi modificada de forma a obter condições mais relaxadas para a estabilidade de sistemas lineares incertos, utilizando uma técnica eficiente baseada em BMIs que podem reduzir o conservadorismo. 5.2 Novos resultados utilizando uma função de Lyapunov mínima e quadrática por partes Em (CHEN et al., 2012) foram propostas condições menos conservadoras para o projeto de controladores chaveados Fuzzy. Estas condições foram formuladas por meio de BMIs, através do produto de variáveis matriciais e variáveis escalares, responsáveis por reduzir o conservadorismo para a garantia de factibilidade. Conforme (CHEN et al., 2012), estas BMIs podem ser resolvidas pelo método path-following (HASSIBI; HOW; BOYD, 1999), apresentado no Apêndice A. Dada a possibilidade de solução de BMIs com o método path-following, o Teorema 12 pode ser generalizado no Teorema 13, onde os escalares de relaxação aparecerão em maior quantidade possibilitando um maior grau de liberdade, em função destes estarem livres para se adaptarem. Nas Seções e 5.5.2, é possível verificar as vantagens na obtenção de factibilidade desta técnica através de exemplos. Teorema 13. O sistema linear incerto (1) é assintoticamente estável, se existirem matrizes positivas definidas P i, matrizes negativas definidas Y ji, escalares γ i js 0 e α < 0, com i, j,s K, satisfazendo as seguintes desigualdades: A jp i + P i A j + N s=1 γ i js (P s P i ) Y ji < αp i, (118) e exista um escolha conveniente das funções mínimas em cada instante de tempo conforme regra (112). Demonstração. Considere a função de Lyapunov candidata e quadrática por partes (111). Suponha que v(x(t)) = min i K {x (t)p i x(t)}=x (t)p σ x(t), sendo σ escolhido conforme (112). De (CHEN et al., 2012) se v(x(t + )) v i (x(t + )) então v(x(t + )) v i (x(t + )), ou e, por outro lado, v(x(t + )) v(x(t)) v(x(t + )) v σ (x(t)) v(x(t))= lim t + t t + = lim t t + t t + t v σ (x(t))= lim t + t v σ (x(t + )) v σ (x(t)) t +. t

83 5.3 Generalização da função de Lyapunov candidata e quadrática por partes 81 Como v(x(t + )) v σ (x(t + )) tem-se que v(x(t + )) v σ (x(t)) v σ (x(t + )) v σ (x(t)) v(x(t))= lim t + t t + lim t t + t t + = v σ (x(t)). t Sendo assim, com α < 0 a fim de conceber restrições que podem ser resolvidas com o método path-following: v(x(t)) αv(x(t)) v σ (x(t)) αv σ (x(t))=ẋ (t)p σ x(t)+x (t)p σ ẋ(t) αx (t)p σ x(t) N λ j x (t)(a j P σ + P σ A j αp σ )x(t). Baseado na estrutura de (111), fica claro que x (t) N s=1 γ σ js (P s P σ )x(t) 0 (119) procede para cada σ, j,s K e todo λ Λ, onde γ σ js 0 são parâmetros de relaxação, e v(x(t + )) v σ (x(t + )). Considerando os parâmetros de relaxação γ σ js 0, de (119) segue para x(t) 0, [ N v(x(t)) αv(x(t)) λ j x (t) A j P σ + P σ A j αp σ + [ N λ j x (t) A N j P i + P i A j αp i + < 0 s=1 N s=1 γ σ js (P s P σ ) ] x(t) γ i js (P s P i ) Y ji ]x(t) e desta forma, se α < 0 pode-se verificar que v(x(t))<0. Na próxima seção, a função de Lyapunov candidata e quadrática por partes foi manipulada para a obtenção de condições ainda mais relaxadas para a estabilidade de sistemas lineares incertos. 5.3 Generalização da função de Lyapunov candidata e quadrática por partes Pode-se verificar que a função mínima e quadrática por partes (111) não precisa necessariamente estar limitada a quantidade de vértices do polito de incertezas, podendo assumir a quantidade de subfunções que proporcionem uma maior flexibilização na região de factibilidade. Sendo assim a quantidade de subfunções utilizada assume agora um valor M genérico,

84 82 5 NOVOS RESULTADOS PARA ESTABILIDADE DE SISTEMAS CHAVEADOS sendo M > N. Considere desta forma o caso em que a função de Lyapunov candidata e quadrática por partes, seja composta de M subfunções, sendo criada para tanto, um conjuntok M, tal que nesta situação σ K M, com K M ={1,2,...,M}: v(x) := min k K M {v k (x(t))}, v k (x(t))=x (t)p k x(t), (120) com {P 1,P 2,...,P M } R n n e P k > 0 para todo k K M. Desta forma, o Teorema 13 pode ser flexibilizado conforme apresentado no Teorema 14 a seguir: Teorema 14. O sistema linear incerto (1) é assintoticamente estável, se existirem matrizes simétricas positivas definidas P k, matrizes negativas definidas Y jk, escalares γ jks 0 e α 0, com j K e k,s K M, tal que as seguintes desigualdades matriciais sejam satisfeitas: A jp k + P k A j + M s=1 γ jks (P s P k ) Y jk < αp k (121) e exista uma escolha conveniente das funções mínimas em cada instante de tempo conforme regra σ(t)=ming M (x(t)), com g M (x(t))={g V g (x(t))= min k K M {v k (x(t))}}. Demonstração. Demonstração similar a apresentada no Teorema 13. Devido ao aumento na quantidade de funções quadráticas por partes, este método apresenta um grau extra de flexibilidade, uma vez que os escalares de relaxação estão livres para se adaptarem e satisfazerem as desigualdades. Note que as BMIs apresentadas em (121) podem ser resolvidas com o método path-following detalhado no Apêndice A. 5.4 Formulação utilizando o Lema de Finsler Com o objetivo de proporcionar uma relaxação maior nas BMIs utilizando uma função de Lyapunov mínima e quadrática por partes, propõe-se, na sequência, um equacionamento utilizando o Lema de Finsler (Lema 1). Assim sendo, convencionando as matrizes B=[ A j I], [ ] N ] B = I γ A j e L =[ i js (P s P i ) Y ji P i s=1 como parâmetros do Lema 1, teremos a propriedade 2 P i 0 do Lema de Finsler escrita como: 2. P i = P i > 0, P s = P s > 0 e Y ji = Y ji 0 tal que [ ] N [ ] I γ i js (P s P i ) Y ji P i I s=1 < 0, A j P i 0 A j

85 5.4 Formulação utilizando o Lema de Finsler 83 resultando nas condições equivalentes às do Teorema 13: 2. A j P i+ P i A j + N γ i js (P s P i ) Y ji < 0. s=1 Da prova existente do Lema de Finsler, pode-se concluir que as propriedades 2 e 4 são equivalentes. Assim, reescreve-se a propriedade 4 como segue: 4. X R 2n n, P i = P i > 0, P s = P s > 0 e Y ji = Y ji 0 tal que N [ ] γ i js (P s P i ) Y ji P i [ ] A s=1 +X A j I + j X < 0. P i 0 I [ W1 Escolhendo convenientemente a matriz de variáveis X = ji b 2 ji W 2 ji ], com W 1 ji e W 2 ji R n n, e escalares e b 2 ji > 0 para fins de relaxação das desigualdades, pode-se desenvolver a propriedade 4, obtendo: N [ ] [ ] γ i js (P s P i ) Y ji P i W1 ji A j W 1 ji A s=1 + + j W 1 ji b 2 ji A j W 2 ji < 0. P i 0 b 2 ji W 2 ji A j b 2 ji W 2 ji W 1 ji b 2 ji W 2 ji Assim, encontraram-se as seguintes BMIs: A j W 1 ji +W 1 jia j + N γ i js (P s P i ) Y ji s=1 P i W 1 ji + b 2 jiw 2 ji A j P i W 1 ji + A j b 2 jiw 2 ji <0, (122) b 2 ji W 2 ji b 2 ji W 2 ji P i > 0. (123) sendo W 1 ji e W 2 ji R n n, W 1 ji W 1 ji e W 2 ji W 2 ji. Com base nesta formulação, propõe-se o teorema a seguir. Teorema 15. Uma condição suficiente para que se garanta a estabilidade assintótica do sistema incerto (1) é a existência de matrizes W 1 ji,w 2 ji R n n, Y ji,p i R n n e escalares b 2 ji > 0, γ i js > 0 e α < 0, com i, j,s K satisfazendo as desigualdades A j W 1 ji +W 1 jia j + N γ i js (P s P i ) Y ji s=1 P i W 1 ji + b 2 jiw 2 ji A j P i W 1 ji + b 2 ji A j W 2 ji <0, (124) b 2 ji W 2 ji b 2 ji W 2 ji P i > 0, (125) Y ji < αp i. (126)

86 84 5 NOVOS RESULTADOS PARA ESTABILIDADE DE SISTEMAS CHAVEADOS e exista uma escolha conveniente das funções mínimas em cada instante de tempo conforme regra (112). Demonstração. Multiplicando (124) por λ j 0, e somando j, de j= 1 até j= N, tem-se A λ W 1λi +W 1λiA λ + N γ iλs (P s P i ) Y λi s=1 P i W 1λi + b 2λiW 2λi A λ P i W 1λi + b 2λi A λ W 2λi <0, (127) b 2λi W 2λi b 2λi W 2λi P i > 0, (128) Y λi < αp i. (129) com N λ j = 1, e i, j K. Da equivalência existente entre as propriedades 2 e 4 do Lema de Finsler (Lema (1)) tem-se que a desigualdade (127) pode ser escrita como: A λ P i+ P i A λ + Desta forma de (129), tem-se que: A λ P i+ P i A λ + N s=1 N s=1 γ iλs (P s P i ) Y λi < 0. (130) γ iλs (P s P i )<αp i. (131) Assim sendo, (127), (128) e (129) são condições suficientes para que o ponto de equilíbro x = 0 do sistema (1) seja assintoticamente estável. Verifica-se nesta formulação que os termos b 2 ji W 2 ji que aparecem através da escolha conveniente de X são também bilineares, podendo ser resolvidos pelo método path-following, o que resulta em BMIs ainda mais relaxadas para a busca de factibilidade. 5.5 Factibilidade de sistemas politópicos Exemplo numérico 1 Na sequência abordar-se-á um exemplo inspirado em (DEAECTO, 2010), utilizado inicialmente em (SHORTEN et al., 2007) que mostrará as vantagens dos teoremas propostos neste trabalho. Considere o sistema linear incerto (1) podendo ser representado como combinação convexa dos vértices

87 5.5 Factibilidade de sistemas politópicos 85 A 1 = [ ] α [ 0 1 e A 2 = 10 β ]. Os parâmetros α e β foram tomados nos intervalos [ 2,0] e [ 5,0] respectivamente, obtendo, desta forma, para cada ponto da partição um novo sistema para ser testado. Aplicaram-se, para esses valores, os critérios: estabilidade quadrática, estabilidade Lyapunov-Metzer, conforme Teorema 12; critério menos conservador utilizando função de Lyapunov quadrática por partes, conforme Teorema 13; a metodologia generalizada, conforme Teorema 14 com M = 4 e, por fim, a metodologia utilizando o Lema de Finsler, apresentada no Teorema 15. Primeiramente, realizou-se uma comparação de factibilidade utilizando o Teorema 12 e o critério de estabilidade quadrática. Para o Teorema 12, fez-se uma busca, tendo como base a factibilidade para cada γ, para verificar qual valor apresenta melhores resultados. Conforme a Figura 26 varreu-se γ entre 0,1 e 10 e verificou-se que 6 < γ < 8 apresentaram os melhores resultados de testes factíveis. Desta forma optou-se por γ = 7. Figura 26 - Busca pelos melhores valores de γ do Exemplo 1 para LMIs do Teorema Quantidade de politopos factíveis Fonte: Elaborado pelo autor γ A Figura 27 refere-se à factibilidade do método de estabilidade com comutação, similar ao apresentado em (DEAECTO, 2010), ajustado para sistemas politópicos incertos, conforme Teorema 12, utilizando γ = 7. A Figura 28 se refere às vantagens do critério menos conservador, utilizando função de Lyapunov quadrática por partes, conforme Teorema 13. A Figura 29 apresenta as vantagens da

88 86 5 NOVOS RESULTADOS PARA ESTABILIDADE DE SISTEMAS CHAVEADOS Figura 27 - Resultados de factibilidade do Exemplo 1 para: Estabilidade Quadrática ( ) e critério de estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o) α Fonte: Adaptado de (DEAECTO, 2010) β metodologia generalizada, conforme Teorema 14. Os resultados foram encontrados utilizando o método path-following, detalhado no Apêndice A. Figura 28 - Resultados de Factibilidade do Exemplo 1 para: Estabilidade Quadrática ( ), critério de Estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o) e critério de estabilidade menos conservador utilizando função de Lyapunov quadrática por partes - Teorema 13 (x) α β Fonte: Elaborado pelo autor Pode-se verificar que os resultados utilizando o Teorema 14 apresentam uma maior região de factibilidade para sistemas lineares incertos, implicando, desta forma, uma redução no con-

89 5.5 Factibilidade de sistemas politópicos 87 Figura 29 - Resultados de Factibilidade para Exemplo 1: Estabilidade Quadrática ( ), critério de Estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o) e critério de estabilidade generalizado com M = 4 conforme Teorema 14 (x) α β Fonte: Elaborado pelo autor servadorismo, quando comparado com os resultados existentes na literatura. Na sequência, apresenta-se a Figura 30, que expõe as vantagens, agora, da formulação com relaxação utilizando o Lema de Finsler (Lema 1), apresentado no Teorema 15. Figura 30 - Resultados de Factibilidade do Exemplo 1 para: Estabilidade Quadrática ( ), critério de Estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o) e formulação utilizando o Lema de Finsler - Teorema 15 (x) α Fonte: Elaborado pelo autor β

90 88 5 NOVOS RESULTADOS PARA ESTABILIDADE DE SISTEMAS CHAVEADOS Os resultados de factibilidade, utilizando o Teorema 15, também apresentaram vantagens, comparando-se com as técnicas existentes, porém apresentando alguns pontos degenerados, necessitando assim de um aprimoramento da técnica. Provavelmente isso se deve ao aumento das dimensões das LMIs em relação aos demais métodos, dificultando assim a solução numérica do solver generalized eigenvalue minimization (gevp) Exemplo numérico 2 O exemplo numérico a seguir foi retirado de (ESTEVES, 2011), adaptado aqui para sistemas lineares incertos, com o intuito de uma segunda comparação entre as técnicas. Sendo assim, considere o sistema linear incerto (1) podendo ser representado como combinação convexa dos vértices: [ ] [ ] A 1 = e A 2 =. 1 a b 2 Os parâmetros a e b foram tomados nos intervalos [ 300, 0] e [0, 2000], respectivamente, assim obtendo, para cada variação, um novo sistema para ser testado. Da mesma forma como se fez para o exemplo anterior, para cada variação foram aplicados os critérios de estabilidade anteriormente descritos. Para a utilização do Teorema 12, fez-se uma busca tendo como base a factibilidade para cada γ a fim de verificar qual valor apresenta melhores resultados. Conforme Figura 31, varreuse γ entre 0,1 e 1000 e se pôde verificar, aproximadamente, que 300<γ < 330 apresentaram os melhores resultados de testes factíveis. Sendo assim, optou-se por γ = 300 para a utilização no critério do Teorema 12. A Figura 32 se refere aos resultados factibilidade do método para o método do Teorema 12, utilizando γ = 300, em comparação com o critério de estabilidade quadrática. Nota-se que, para este exemplo, houve pouca diferença entre as técnicas. A Figura 33 se refere às vantagens do critério utilizando função de Lyapunov quadrática por partes do Teorema 13 e a Figura 34 se refere às vantagens da metodologia generalizada, conforme Teorema 14 com M = 4. Os resultados deste exemplo também foram encontrados utilizando o método path-following detalhado no Apêndice A. Pode-se constatar, conforme já verificado no exemplo anterior, que os resultados utilizando o Teorema 14 apresentam uma maior região de factibilidade, implicando, assim, numa redução no conservadorismo, quando comparado com os resultados existentes na literatura. Na sequência, apresenta-se a Figura 35 que expõe as vantagens, agora, da formulação com

91 5.5 Factibilidade de sistemas politópicos 89 Figura 31 - Busca pelos melhores valores de γ do Exemplo 2 para LMIs do Teorema Quantidade de politopos factíveis Fonte: Elaborado pelo autor γ Figura 32 - Análise de factibilidade para o Exemplo 2 utilizando Estabilidade Quadrática ( ) e Estabilidade Metzler adequada a sistemas lineares - Teorema 12 (o) b a Fonte: Elaborado pelo autor relaxação utilizando o Lema de Finsler (Lema 1), apresentado no Teorema 15. Para o Exemplo 2, a formulação utilizando o Teorema 15 também apresentou vantagens de factibilidade, em comparação com os outros métodos, apesar dos pontos degenerados, necessitando assim um aprimoramento da técnica.

92 90 5 NOVOS RESULTADOS PARA ESTABILIDADE DE SISTEMAS CHAVEADOS Figura 33 - Resultados de Factibilidade do Exemplo 2 para: Estabilidade Quadrática ( ), critério de Estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o) e critério de estabilidade menos conservador utilizando função de Lyapunov quadrática por partes - Teorema 13 (x) b a Fonte: Elaborado pelo autor Figura 34 - Resultados de Factibilidade para o Exemplo 2: Estabilidade Quadrática ( ), critério de Estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o) critério menos conservador generalizado com M = 4 conforme Teorema 14 (x) b a Fonte: Elaborado pelo autor

93 5.6 Conclusões parciais 91 Figura 35 - Resultados de Factibilidade do Exemplo 2 para: Estabilidade Quadrática ( ), critério de Estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o) formulação utilizando o Lema de Finsler - Teorema 15 (x) b a Fonte: Elaborado pelo autor 5.6 Conclusões parciais Neste capítulo, propuseram-se novas técnicas com o intuito de diminuir o conservadorismo das formulações existentes, para a garantia de estabilidade de sistemas lineares incertos podendo ser variantes ou invariantes no tempo. As técnicas apresentadas tiveram como contribuição a solução de BMIs, por meio de um método de linearização (vide Apêndice A). A técnica se baseia em utilizar funções de Lyapunov quadráticas por partes com matrizes extras na formulação e também escalares de relaxação, aumentando a factibilidade e garantindo a estabilidade através da escolha do valor mínimo de uma função. A teoria desenvolvida foi testada em exemplos numéricos conhecidos na literatura. Verificou-se nas Figuras 29 e 34 um aumento da região de factibilidade para a técnica proposta, quando comparada com as técnicas de estabilidade quadrática e com a técnica de estabilidade baseada nas desigualdades de Lyapunov-Metzler. A formulação utilizando o lema de Finsler apresentou alguns pontos degenerados, conforme visto nas Figuras 30 e 35, indicando que a formulação deve ser aprimorada, porém, promissora, em função dos ganhos que apresentou em comparação com as outras técnicas.

94 92 5 NOVOS RESULTADOS PARA ESTABILIDADE DE SISTEMAS CHAVEADOS

95 93 6 NOVOS RESULTADOS PARA O PROJETO DE CONTROLADORES CHAVEADOS Neste capítulo, propõem-se métodos mais gerais para o projeto de controladores chaveados que os apresentados no Capítulo 4, por não ser mais necessária a realização de uma busca unidimensional, tendo como base as técnicas propostas no Capítulo 5. Para o desenvolvimento dos métodos de projeto, também foram utilizadas condições baseadas em BMIs, técnica inspirada em (CHEN et al., 2012), em que termo bilinear se encontra no produto de variáveis escalares e variáveis matriciais. Estas BMIs são eficientemente resolvidas pelo método path-following (HASSIBI; HOW; BOYD, 1999). A princípio, um dos métodos propostos foi utilizado em um exemplo de comparação, considerado como referência na literatura para resultados de flexibilização na estabilidade de sistemas Fuzzy Takagi-Sugeno (CHEN et al., 2012), com a finalidade de verificar a eficácia de relaxação do método. Na sequência, projetaram-se controladores chaveados com as técnicas apresentadas para a implementação em um protótipo laboratorial chamado AMD-1, que será visto com mais detalhes durante o texto. 6.1 Projeto robusto chaveado com flexibilização via BMIs Nesta seção, propõe-se um método para o projeto de controles robustos chaveados, adaptado a partir da técnica Fuzzy T-S, apresentada em (CHEN et al., 2012), na qual os controladores chaveados são obtidos através da solução de critérios de estabilidade que envolvem BMIs, conforme já abordado no Capítulo 5. Considere, assim, o sistema apresentado em (71), sendo o controlador chaveado e a regra de comutação dados por: u(t)=k σ x(t) e σ(t)=argmin i K {x (t)p i x(t)}. (132)

96 94 6 NOVOS RESULTADOS PARA O PROJETO DE CONTROLADORES CHAVEADOS Tomando como base a função de Lyapunov mínima e quadrática por partes (120), propõe-se o teorema a seguir. Teorema 16. Se existirem matrizes simétricas positivas definidas X i R n n, matrizes Y ji,q ji R n n, matrizes G i R m n e escalares γ i js > 0, α < 0 para todo i, j,s K, satisfazendo as seguintes desigualdades: Y ji < αx i, (133) M ji... γ i j1 X i γ i j1 X γ i j2 X i 0 γ i j2 X γ i jn X i γ i jn X N Q ji < 0, (134) < 0, (135) sendo M ji = X i A j + A j X i + G i B j + B j G i N γ i js X i Y ji Q ji. s=1 Então a lei de controle chaveado σ(t) = argmin i K {x (t)p i x(t)} torna o ponto de equilíbrio x=0 do sistema (71) globalmente assintoticamente estável, sendo P i = Xi 1 e os controladores dados por K i = G i X 1 i, i, j K. Demonstração. Considerando a função de Lyapunov candidata e quadrática por partes (120), suponha que v(x(t)) = min i K {x (t)p i x(t)}=x (t)p σ x(t), sendo σ escolhido conforme (132). Com base na análise apresentada na demostração do Teorema 13, se v(x(t + )) v σ (x(t + )) então v(x(t + )) v σ (x(t + )). Assim, com α < 0 para se obterem restrições que possam ser resolvidas pelo método path-following: v(x(t)) αv(x(t)) v σ (x(t)) αv σ (x(t))=ẋ (t)p σ x(t)+x (t)p σ ẋ(t) αx (t)p σ x(t) = N λ j x (t)(a j P σ + P σ A j + P σ B j K σ + K σb jp σ αp σ )x(t). (136) Tomando como base a estrutura de (120), fica claro que x(t) N s=1γ σ js (P s P σ )x(t) 0. (137) procede para cada σ, j,s K e todo λ Λ, onde γ σ js 0 são parâmetros de relaxação, e v(x(t + )) v σ (x(t + )).

97 6.1 Projeto robusto chaveado com flexibilização via BMIs 95 Desta forma de (136) e de (137) segue que v(x(t)) αv(x(t)) [ ] N λ j x (t) A j P σ + P σ A j + P σ B j K σ + K σb j P σ αp σ + N γ σ js (P s P σ ) x(t) s=1 < 0. (138) assim: Supõe-se agora a existência de matrizes simétricas W ji e Z ji, i, j K, tais que A j P i + P i A j + P i B j K i + K ib jp i + N s=1 γ i js (P s P i ) W ji Z ji 0, i, j K. (139) Supõe-se ainda, para a obtenção de condições favoráveis à utilização do solver gevp que A j P i + P i A j + P i B j K i + K ib jp i + N s=1 Portanto de (138) e (141) conclui-se que v(x(t)) αv(x(t))< Z ji < αp i, (140) γ i js (P s P i ) W ji αp i < 0, i, j K. (141) N λ j x (t)w jσ x(t)<0, (142) e consequentemente W ji < 0. (143) Desta forma, como α < 0 verifica-se que v(x(t))<0. Definindo agora X i = Pi 1, Y ji = X i Z ji X i, Q ji = X i W ji X i, G i = K i X i e multiplicando as equações (140), (143) e (139) a esquerda e a direita por X i, obtém-se respectivamente as equações (133), (134) e X i A j + A j X i + B j G i + G ib j+ N s=1 γ i js (X i P s X i X i ) Q ji Y ji 0. (144) Aplicando o complemento de Schur em (144) obtém-se (135), concluindo assim a demostração.

98 96 6 NOVOS RESULTADOS PARA O PROJETO DE CONTROLADORES CHAVEADOS 6.2 Projeto robusto chaveado com flexibilização extra via BMIs Considere novamente o sistema (71), sendo agora o controlador chaveado e a regra de comutação concebidos através da generalização da função de Lyapunov candidata e quadrática por partes apresentada em (120): u(t)=k σ x(t) e σ(t)=arg min k K M {x (t)p k x(t)}. (145) Considerando, assim, a função de Lyapunov mínima e quadrática por partes (120), abordada no Capítulo 5, propõe-se o teorema a seguir. Teorema 17. Se existirem matrizes simétricas positivas definidas X k R n n, matrizes Y jk,q jk R n n, matrizes G k R m n e escalares γ jks > 0, α < 0 para todo j K e todo k,s K M, satisfazendo as seguintes desigualdades: Y jk < αx k, (146) M jk... γ jk1 X k γ jk1 X γ jk2 X k 0 γ jk2 X γ jkm X k γ jkm X M Q jk < 0, (147) < 0, (148) sendo M jk = X k A j + A j X k + G k B j + B j G k M γ jks X k Y jk Q jk. s=1 Então a lei de controle chaveado σ(t)=arg min{x (t)p k x(t)} torna o ponto de equilíbrio k K M x=0 do sistema (71) globalmente assintoticamente estável, sendo P k = Xk 1 e os controladores dados por K k = G k X 1 k, j K e k,s K M. Demonstração. Demonstração similar a apresentada no Teorema 16. Verifica-se, assim, uma maior flexibilidade nas BMIs do Teorema 17, em comparação com as BMIs do Teorema 16, devido ao aumento na quantidade de subfunções que compõem a função (120). A generalização das funções de Lyapunov quadráticas por partes tem como consequência o aumento da quantidade de controladores chaveados, que nesta generalização assume o valor M com M > N, possibilitando uma maior versatilidade na escolha do controlador em cada instante

99 6.3 Exemplo Numérico 97 de tempo. Note que a quantidade de controladores pode ser ajustada para cada projeto, caso o problema seja mais complexo e exija uma maior flexibilidade. 6.3 Exemplo Numérico O exemplo apresentado a seguir é considerado referência de comparação para critérios de estabilidade Fuzzy T-S flexibilizados (CHEN et al., 2012; SOUZA, 2013), sendo adaptado aqui para ser tratado como sistema linear chaveado, adequando-se, assim, a utilização dos Teoremas propostos neste capítulo. Considere, assim, um sistema linear chaveado representado pelos subsistemas: A 1 = [ 1,59 7,29 ] 0,01 0 e B 1 = [ 1 ] 0, ] ] A 2 = [ 0,02 4,64 0,35 0,21 e B 2 = [ 8 0, ] ] A 3 = [ a 4,33 0 0,05 e B 3 = [ b+6 1. Fixando a = 2, foram realizados testes de factibilidade, utilizando as restrições (146), (147) e (148), propostas no Teorema 17 considerando agora M = 9, com o parâmetro b incrementado no intervalo de 0 à 7 com passo 0,5. Obteve-se neste exemplo, como valor máximo de factibilidade b = 6, 5, através do método path-following (vide Apêndice A) com α = 0,0038 e η = 40. Neste caso, os controladores projetados e as matrizes da função de Lyapunov quadrática por partes foram: K 1 =[ 0,5281 0,0550], K 2 =[ 1,2438 2,9026], K 3 =[ 1,4689 5,3030], K 4 =[ 1,3519 4,1453], K 5 =[ 0,8210 0,6195], K 6 =[ 0,7592 0,3511], (149) K 7 =[ 1,6019 7,1947], K 8 =[ 1,0182 1,5053], K 9 =[ 0,6059 0,0280],

100 98 6 NOVOS RESULTADOS PARA O PROJETO DE CONTROLADORES CHAVEADOS [ ] [ ] [ ] 0,0170 0,0117 0,0168 0,0120 0,0167 0,0121 P 1 =, P 2 =, P 3 =, 0, , , , , , 1703 [ ] [ ] [ ] 0,0168 0,0120 0,0169 0,0118 0,0169 0,0118 P 4 =, P 5 =, P 6 =, 0, , , , , , 1698 (150) [ ] [ ] [ ] 0,0167 0,0122 0,0168 0,0119 0,0169 0,0118 P 7 =, P 8 =, P 9 =. 0, , , , , , 1697 Pode-se observar que o resultado de factibilidade obtido com b=6,5 é superior aos obtidos em (DELMOTTE; GUERRA; KSANTINI, 2007; SOUZA, 2013), para sistemas Fuzzy T-S em que se encontrou factibilidade com valor máximo para b = 6, e igual, em factibilidade, ao encontrado em (MONTAGNER; OLIVEIRA; PERES, 2009) com b = 6, 5, sendo superado apenas por (CHEN et al., 2012), onde obteve-se factibilidade para b=7 com N = 4. Porém, vale ressaltar que, neste trabalho, o foco é propor novas técnicas de projeto de controladores chaveados com flexibilização para sistemas lineares incertos, objetivo distinto daquele alcançado em (MONTAGNER; OLIVEIRA; PERES, 2009; CHEN et al., 2012), onde foram abordadas técnicas flexibilizadas para o projeto dos controladores Fuzzy T-S. 6.4 Implementação prática no sistema AMD-1 O protótipo Active Mass Dumper - One Floor (AMD-1), apresentado na Figura 36, é composto por uma estrutura simulando uma edificação, tendo no piso superior um sistema de amortecimento ativo com uma massa móvel. Este experimento tem como foco o desenvolvimento de estudos para o projeto de sistemas de controle que amorteçam vibrações causadas por terremotos ou por fortes ventos. O equipamento também possibilita investigar ações de controle em estruturas (QUANSER, 2012a). O objetivo do experimento é atuar na massa móvel através de um motor, reduzindo assim oscilações e vibrações indesejadas na estrutura. O sistema utilizado no deslocamento da base é chamado de STII e foi originalmente desenvolvido com o intuito de pesquisa ou ensino, envolvendo sistemas de vibração (QUANSER, 2012b). Neste trabalho, utilizaremos este equipamento apenas para gerar registros de terremotos com os quais serão testadas as estratégias de controle.

101 6.4 Implementação prática no sistema AMD-1 99 Figura 36 - Protótipo AMD-1 da Quanser pertencente ao LPC da FEIS - UNESP. Fonte: Elaborado pelo autor Considere o esquemático apresentado na Figura 37. O deslocamento do carro (x c ) que simboliza a massa móvel (M c ) é considerado positivo para a direita quando vista pelo leitor, assim como o deslocamento do patamar superior (x f, que tem como massa M f ). Para pequenas variações angulares do piso superior, o sistema pode ser tratado como um sistema massa-mola padrão de constante K f a uma altura H f do chão, viabilizando assim uma aproximação coerente na modelagem do sistema.