MECÂNICA DOS FLUIDOS 2 ME262

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS (CTG) DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA (DEMEC) MECÂNICA DOS FLUIDOS 2 ME262 Prof. ALEX MAURÍCIO ARAÚJO (Capítulo 4) Recife - PE

Capítulo 4 Análise integral de volumes de controle 1 Leis básicas para um sistema. Lei da conservação da massa. Segunda lei de Newton. Momento da quantidade de movimento. Primeira Lei da Termodinâmica. Segunda Lei da Termodinâmica. 2 Formulação das leis básicas para VC. Teorema de transporte de Reynolds. Significado físico dos termos. 3 Lei da conservação da massa (LCM) para VC. Casos especiais. Vazão volumétrica. Velocidade média em uma seção. Vazão mássica. Influxos e efluxos de massa. Exemplos. Critérios para seleção de (VC) e (SC) adequados. 4 Quantidade de movimento para VC inercial. Fixo e com velocidade constante. Exemplos práticos. 5 Propulsão a jato. Equação da quantidade de movimento para VC sob aceleração retilínea. Exemplos. 6 Momento da quantidade de movimento. Máquinas de fluxo. Momento de Impulso. Características. Turbinas. Bombas. Ventiladores, sopradores e compressores. Escoamento pelo rotor. Exemplos. Análise das turbomáquinas. Equação de Euler das turbomáquinas. Exemplos. Visualização das velocidades no rotor. Seccionamento de rotor e triângulos de velocidades em máquinas de fluxo axial. Altura de carga (H) adicionada /retirada ao fluxo. Tipos de pás. 7 Primeira Lei da Termodinâmica para VC. Trabalho do fluxo para realizar uma variação de volume no S ou VC. Exemplos. Capacidades de geração elétrica (Potência instalada). Composição da Matriz Energética Global Utilizada. 8 Segunda Lei da Termodinâmica para VC. Exemplo.

Equações básicas, na forma integral, para um S Conservação de Massa A Segunda Lei de Newton 0 (LCM)

O Princípio do Momento da Quantidade de Movimento / Princípio da Quantidade de Movimento Angular 0 A Primeira Lei da Termodinâmica Convenção + : s

A Segunda Lei da Termodinâmica Próximo objetivo: obtenção da formulação das leis básicas para VC, da formulação para S. VC S

N qualquer propriedade extensiva do S (M, P, H, E, S) η propriedade intensiva correspondente

Teorema de transporte de Reynolds (I massa nova que entra no VC) (III massa que sai) (MÓVEL) (FIXO) Configurações do sistema e do volume de controle. Total - Taxa de variação do parâmetro N extensivo do S Temporal - Taxa de variação de N no VC Fluxo Vazão resultante de N através da SC

S N SC1 Teorema de transporte de Reynolds SC2 VC S e VC VC N N S V V V Móvel com V do fluido y y y x x x ( t Δt) ( t ) ( t + Δt) N parâmetro físico ( ; ; M; E; S) Extensiva vetores η N / m (independe da massa) escalares Intensiva Em ( t ) (1,2) Análise dimensional:

OBJETIVO: expressar a taxa de variação da propriedade N para um S em termos das variações dessa propriedade associadas com o VC. t0 fronteiras do S e VC coincidem. z y x S e VC massa que entra no VC durante dt trazida pelo novo S sucessor*. (t0 + dt) o S ocupa as regiões II e III. VC I II III S massa do S que deixou o VC durante dt Da definição de derivada: * Há um fluxo contínuo de fluido S passando pelo VC! Porém: Então: Como o limite da soma é igual à soma dos limites: Associados ao fluxo do S pelo VC Teorema de transporte de Reynolds N Integral do fluxo da N passando pelas SC s do VC com velocidade

Lei da conservação da massa N = M η = 1 * da V da VC V V da > 0 (efluxo) Taxa de variação de M dentro do VC * Fluxo de massa resultante pela SC > 0 efluxo < 0 influxo = 0 tangencia a SC V da = 0 da V V da < 0 (influxo)

Casos especiais 1 Escoamento incompressível ( ρ = ρ (x, y, z, t) = cte) ( ρ) Para um VC não deformável, = cte, = Q R Em escoamento incompressível, a vazão volumétrica resultante Q R (entra e sai) pelas SC do VC é nula. da V VC 1 2 da V Obs: deve-se sempre usar as SC normais ao fluxo. Definição de Vazão Volumétrica: Vazão volumétrica Velocidade média em uma seção

2 Escoamento permanente ( ρ = ρ (x, y, z)) 0 (vazão mássica) Em escoamento permanente, a QM entrando em um VC deve ser igual à QM saindo. Definição de Vazão Mássica: Q M = ρ Q ( ρ = cte em A) Vazão mássica 3 Escoamento uniforme na seção ( velocidade cte. na área da seção ) Se a ρ também é cte., a integral de fluxo fica: + efluxo - influxo Obs: deve-se sempre usar as SC normais ao fluxo.

(Exercícios resolvidos do Fox)

Critérios para seleção de (VC) adequado o VC deve cortar o lugar onde a informação é desejada; o VC deve cortar lugares onde um máximo de informação é conhecida; se usar LCQM, o VC não deve cortar paredes sólidas, pois exporá tensão, forças e momentos desconhecidos, dificultando o cálculo da força desejada; locar o VC em referencial em relação ao qual o escoamento seja permanente.

Critérios para seleção das (SC s) adequada nas SC s devem ser bem determinadas: ( ρ, V e p ) do fluxo em estudo as SC s devem ser: - paralelas às velocidades do fluxo A V SC V da = 0 V A - ortogonais às velocidades do fluxo V da = ± V da A V A V SC as SC s devem se localizar em trechos onde a distribuição das velocidades do fluxo seja uniforme ou a mais simples possível. V da = ± V A A V Perfil uniforme na seção da SC. SC

Quantidade de movimento para VC inercial (2ª LN) onde são atuantes sobre o (S). N = η = A soma de todas as forças atuando sobre um VC não submetido a aceleração, é igual à soma da taxa de variação da quantidade de movimento dentro do VC com a taxa resultante de fluxo da quantidade de movimento pelas superfícies de controle (SC).

Em relação a um sistema de coordenadas (x, y, z) os componentes escalares são: Fluxo da quantidade de movimento na direção x: A) Achar o sinal de : B) Determinar o sinal de cada componente da velocidade. O sinal depende da escolha do sistema de coordenadas:.

Ancoragem

Força de arrasto em placa plana

Volume de controle móvel (inercial VVC = cte) Y X (Referencial fixo, absoluto ou inercial) V fl abs W fl rel y x V VC abs W fl rel = V fl abs - V VC abs A diferença entre as velocidades absolutas é a velocidade do fluido vista do referencial móvel ou W fl rel. V fl abs - Velocidade absoluta do fluido (ref. Fixo) V VC abs - Velocidade absoluta do VC (ref. Fixo) W fl rel - Velocidade relativa do fluido (ref. Móvel) y Y x W fl rel V VC abs Vfl abs V fl abs = W fl rel + V VC abs X

Volume de controle (VC) movendo-se a velocidade constante VC y S Y x X Teorema de transporte de Reynolds A) Todas as velocidades sejam medidas em relação ao VC; B) Todas as derivadas referidas ao tempo sejam medidas em relação ao VC. As seriam vistas por um observador movendo-se a velocidade constante com o VC (W fl rel ).

Supor que a magnitude da velocidade relativa ao longo da aleta é constante. Desprezar atrito de contato. Módulo do vetor velocidade na entrada e saída da pá defletora. Componentes do vetor velocidade na entrada (1) e saída (2) do defletor. V1 = 0 ; U1 = V U V2 = (V U) senθ ; U2 = (V U) cosθ

Turbina Pelton

Propulsão a jato Suprefície de controle adotada para obtenção da força de propulsão de um turbo-jato. Supõe-se distribuição uniforme de velocidades transversais A 1 e A 2. Pela LCM : ρ 1 V 1 A 1 = ρ 2 V 2 A 2 Pelo fluxo de calor recebido na turbina: ρ 2 <<< ρ 1 V 2 >>> V 1 F c = ρq ΔV, onde ρq = ρ 1 Q 1 = ρ 2 Q 2 A 1 VC A 2 0 (RP)

Equação da quantidade de movimento para VC sob aceleração retilínea Y Da equação do movimento relativo, ou vetorialmente: s y vc Sabe-se que: X x - É a aceleração retilínea do sistema em relação ao referencial inercial XYZ; - É a aceleração retilínea do sistema em relação ao referencial não-inercial xyz; - É a aceleração retilínea do referencial não-inercial xyz em relação ao referencial inercial XYZ. Do Teorema de transporte de Reynolds: N =,. termo extra Ex: Em x: Para y: vxyz Para z: wxyz

- É a aceleração do VC vista por um observador no sistema de coord. YX. É a taxa de variação com o tempo da quantidade de movimento do fluido, segundo o eixo y, no VC, e medida em relação a ele. Fsy = 0 - ejeta gás a patm (patm atua em todas SC s do VC!) - despreza resistência do ar ( MVC é função de t!) Para achar MVC (t), usa-se a LCM: - o combustível não queimado e a estrutura do foguete têm quantidade de movimento nula em relação ao foguete; - a velocidade do gás na saída do bocal é constante no tempo.

Momento da quantidade de movimento

Momento da quantidade de movimento Equação Aplicações: Turbomáquinas de fluxo centrífugo / radial

Exemplos: Bomba centrífuga Soprador centrífugo Turbocompressor em motores a explosão aproveita os gases de escape para injetar oxigênio nos cilindros ( camara de combustão). Um turbocompressor inclui um par de rotores axial, ligados num só eixo, que giram de um lado como turbina e do outro como compressor. Turbocompressor centrífugo

Turbomáquinas de fluxo axial e misto Aplicadas quando (Q ; H ) Turbinas hidráulicas

Exemplos de rotores: Turbina Francis Turbina Kaplan Turbina Pelton

Máquinas de fluxo 1 Generalidades: a) 1/3 da energia consumida nos EUA é usada na indústria; b) 40-50% da energia industrial é usada para acionar* bombas e compressores. (*Custo da energia fator de competitividade de setores industriais eletrointensivos (- Al; - Siderúrgicas)) 2 Atividades do Engenheiro Mecânico: Estudos e análises 2 Máquinas de Série (catálogos) desempenho vida útil 2 3 Seleção Projeto Aplicação Construção 3 Máquinas sob encomenda desempenho (?) vida útil (?) Instalação Manutenção

3 Características: são aquelas em que o escoamento é orientado pelas pás do rotor; as trocas de E entre o fluido e o rotor resultam de efeitos dinâmicos no escoamento; ao contrário das Máquinas Alternativas, as de fluxo não confinam o fluido.

4 Turbinas extraem energia do escoamento fluido. 4.1 Tipos: Ação / Impulsão: são acionadas por um ou mais jatos livres acelerados em bocais externos. O rotor gira sem estar cheio do fluido (Pelton); Reação: um conjunto de pás fixas externas ao rotor (distribuidor) e de pás móveis (rotor) aceleram o fluido no 1 estágio. Eles funcionam cheios de fluido, por isto, para um dado tamanho, podem produzir mais potência que as de Ação. (Francis, Kaplan)

5 Bombas entregam energia ao escoamento líquido ou pastoso. 6 Ventiladores, sopradores e compressores entregam energia ao escoamento de gás e vapor. Ventilador: fluxo se dá sem compressão do fluido ( 1 H2O; 1 atm 10 mca 0,25% atm. ) Soprador: dá ligeira elevação de pressão no fluido ( 1 Hg; 1 atm 30 in Hg 3,3% atm) Compressor: causam grandes elevações de pressão no fluido de trabalho ( 10 4 atm 10 5 mca)

VC no rotor da máquina de fluxo Momento de Impulso

Análise das turbomáquinas 0 (1) 0 (2) 0 (3) Simplificações: 1 ignorar torques das. (1ª aproximação) 2 desprezar torques das. (simetria!) 3 regime permanente. Equação de Euler Tei > 0 B, V, S, C. Tei < 0 T. V 2 - velocidade absoluta do fluido na saída do rotor (2) V t2 - componente tangencial da velocidade absoluta em (2) V n2 - componente normal (radial) à área de saída (2) U 2 - velocidade linear do rotor na saída (2) ω - velocidade angular do rotor = ( U 2 V t2 U 1 V t1 ) Q M ( potência)

Visualização das velocidades em um rotor de turbomáquina ( Diagramas ou Polígonos de velocidades) y x Y X β 1,2 - ângulos da veloc. relativa à pá (yx) do fluido ao entrar/sair do rotor (tangente à pá). α 1,2 - ângulos da veloc. absoluta (YX) do fluido ao entrar/sair do rotor. U 2 - velocidade tangencial linear absoluta da ponta do rotor observada do referencial inercial YX. V rb2 - veloc. relativa à pá (yx - ref. não-inercial ) do fluido, na saída (2) do rotor. V 2 = U 2 + V rb2 - velocidade absoluta do fluido observada do referencial inercial YX. V t2,v n2 - componentes tangencial e normal da velocidade absoluta na saída (2).

Seccionamento de rotor e triângulos de velocidades em máquinas de fluxo axial

Altura de carga (H) adicionada /retirada ao fluxo = P = FV = pav = pq = ρghq (altura) Se o fluido entra no rotor com V 1 radial V t1 = 0, como V t2 = U 2 V rb2 cos β 2, então:

1ª Lei da Termodinâmica para VC s N = E η = e Como: I) A direção e sentido da força são as do que coincidem com as do vetor. II) A direção e sentido da força são da. Então: Modos de transferência de trabalho Eixo Móvel (Tei ω) Trabalho de fluxo Taxa de W realizado pelo VC (para fora! + ) VC

Trabalho do fluxo para realizar uma variação de volume no S ou VC p S Exterior τ t = 0 t = 0 + Δt Como a taxa de W realizado pelo VC é positiva e estamos obtendo a realizada sobre o VC: O sinal deve ser negativo porque se está obtendo a taxa de W realizada sobre o VC na SC. Porém, e como v ρ= 1,0, onde, logo: (Taxa de trabalho ou potência do fluxo na SC por ação da tensão σ.) Observe que: ( fluxo de energia pela SC devido à )

2 membro: h - entalpia Finalmente: Obs:. Se toma a SC perpendicular ao fluxo, então: SC Energia elétrica poderia ser acrescentada ao VC. Em geral, estão ausentes, porém se anota em uma formulação geral.

Exemplo: Estudo de caso - uso da LCE na análise global relativa das eficiências das máquinas de fluido de fluxo hidráulicas e térmicas. Tese: a máquina mais eficiente seria a que extrairia maior potência de eixo! Modelo: LCE para VC 0 (1) 0 (1) 0 (3) Hipóteses do Modelo: 1) VC adequado e 2) fluido (ar ou gás) perfeito h = cpt 3) regime permanente. Assim: (h = cpt), ou separando em termos de fluxos de energias de vários modos: Fluxo de entalpia (h). Fluxo de Ec Fluxo de Epposição Fazendo-se uma estimativa da magnitude das ordens de grandeza dos vários fluxos (dos modos) de energia: 1) O fluxo de Epposição fica desprezível em esc. de gases: (gz) 10m/s² 10m 100 (m/s)² 2) O fluxo de Ec é pequeno em esc. à baixas velocidades: (V²/2) 80²/2 3200 (m/s)² 3) O fluxo de h é dominante: (cpt) 1004 m²/s²k (50 C + 273K) 325000 (m/s)² 10² 10³

Conclusões: 1) Quando se desconsidera os efeitos de trocas de calor é que as Ec e Ep tornam-se importantes! Turbinas a vapor e a gás: Turbinas hidráulicas ou eólicas:

Capacidades de geração elétrica (Potência instalada) 1) A maior Usina de Energia Renovável do Mundo Torre ( H = 1000m; D = 130m) Painel solar ( A = 20km²; D 5 km; 2p = 16 km) deserto Austrália 2009 Var 14 m/s 32 TE s Pinst. = 200MW Per capta consumo residencial: 250W/residência 200MW/250W 800.000 consumidores residenciais. 2) Itaipu 20 turbinas cada uma com 700MW Pinst. = 14000MW (2007) (95% da energia consumida no Paraguai e 25% no Brasil) Cada turbina de Itaipu fatura U$15 milhões/mês (R$1milhão/dia) Em 07/2007: custo da energia industrial R$206,00 MWh; operação contínua (24h/dia): 700MW R$3.460.800,00! 3) Complexo Rio Madeira (RO) Sto. Antônio: 3150MW; Jirau: 3300MW 4) PE Usinas termoelétricas - Porto Suape usar coque de petróleo da refinaria Abreu e Lima ou carvão P = 350MW Usina Solar - Austrália (www.enviromission.com.au) Itaipu Termoelétrica - Suape

5) Complexo Chesf Parque gerador: 14 UHE 1 Térmica Pinst. = 10.600 MW Complexo Ano Potência (MW) PA-I 1954 180 PA-IIA 1961 215 PA-IIB 1967 228 PA-III 1971 794 Apolônio Sales 1977 400 Sobradinho 1979 1050 Itaparica 1988 1480 Xingó 1994 3162 O parque eólico de Osório é um parque de produção de energia eólica na cidade de Osório, RS. É composto por 75 torres de aerogeradores de 98 metros de altura e 810 toneladas cada uma. O parque tem uma capacidade instalada estimada em 150 MW (energia capaz de atender uma cidade de 700 mil habitantes), sendo a maior usina eólica da América Latina.

6) Matriz Energética Brasileira Tipo Empreendimentos em Operação Capacidade Instalada Total % N. de Usinas (kw) N. de Usinas (kw) Hidro 786 77.722.019 69,53 786 77.722.019 69,53 Gás Natural 89 10.598.502 9,48 Processo 31 1.244.483 1,11 120 11.842.985 10,59 Petróleo Óleo Diesel 762 3.715.894 3,32 Óleo Residual 20 1.265.194 1,13 782 4.981.088 4,46 Bagaço de Cana 268 3.832.278 3,43 Licor Negro 14 1.023.798 0,92 Biomassa Madeira 32 265.017 0,24 329 5.194.375 4,65 Biogás 8 41.874 0,04 Casca de Arroz 7 31.408 0,03 Nuclear 2 2.007.000 1,80 2 2.007.000 1,80 Carvão Mineral Carvão Mineral 8 1.455.104 1,30 8 1.455.104 1,30 Eólica 33 414.480 0,37 33 414.480 0,37 Paraguai 5.650.000 5,46 Importação Argentina 2.250.000 2,17 Venezuela 200.000 0,19 8.170.000 7,31 Uruguai 70.000 0,07 Total 2.060 111.787.051 100 2.060 111.787.051 100 % Dados da ANEEL de 04-05-2009

Composição da Matriz Energética Global Utilizada 80% combustíveis fósseis 6% energia nuclear 13% energias renováveis Pela Constituição o Estado é obrigado a fornecer energia e proteger o meio ambiente. Hidreletricidade (BR): Combustíveis fósseis - hoje operam 70.000MW ( PCH s 30MW ) - há potencial para mais 200.000MW Bahrain World Trade Center Energia Eólica Energia Nuclear www.e-architect.co.uk/bahrain/bahrain_wtc_wind_turbines.htm

2ª Lei da Termodinâmica para VC N = S η = s T da S VC - Fluxo local de calor; - entropia total do sistema. - T temperatura local em A; extensiva intensiva

RESUMO : Leis básicas para um VC LCM: Quantidade de movimento linear: ( VC fixo) ( VC com = cte. - velocidades observadas do VC. ( VC com ) Quantidade de movimento angular: LCE: ( Equação de Euler) ( h = u + pv) 2ª LTD: y y Y x Y x Ref. não-inercial X Ref. inercial X FIM