UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS Unidade Universitária de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Licenciatura em Matemática

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS Unidade Universitária de Ciências Exatas e Tecnológicas Curso de Licenciatura em Matemática Generalizando o Teorema do Valor Médio e Princípio dos Intervalos Encaixados Mirian Flávia Fernandes Siqueira ANÁPOLIS 2014

Mirian Flávia Fernandes Siqueira Generalizando o Teorema do Valor Médio e Princípio dos Intervalos Encaixados Trabalho de Curso apresentado a Coordenação Adjunta de TC, como parte dos requisitos para obtenção do título de Graduado no Curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Estadual de Goiás sob a orientação do Professor Me Tiago de Lima Bento Pereira. ANÁPOLIS 2014

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AGRADECIMENTOS Agradeço, primeiramente aos Orixás, em quem depositei sempre muita fé, pelo suporte espiritual e emocional quando os momentos difíceis se mostravam como parte do processo, fizeram-me levantar a cabeça e acreditar que sou capaz. Destaco aqui, também algumas pessoas de fundamental importância que o Candomblé me trouxe a oportunidade de conhecer, meu pai de fé Marcos Torres, e aos amados Sandro Oliveira e Shirlei Romano. Aos meus pais, pelo incentivo incansável, bem como as francas conversas de como é honrado as batalhas que travamos diariamente pra consquistar aquilo que queremos. Pelo amor quando me vi desanimada e, pela compreensão quando as coisas não saíam como o esperado. Ao meu orientador, Tiago de Lima, que cumpriu maravilhosamente bem com seu papel apesar de como tal proposta chegou até sua pessoa, sempre de maneira firme a me aconselhar sobre o meu objetivo, dotado de uma compreensão que só um ser humano de sua magnitude poderia ter, esse trabalho só se dá hoje, pelos teus ensinamentos e por estar de modo afetuoso presente durante tal processo angustiante. Ao meu amado, Lucas Rocha Resende, que surgiu de forma inesperada, e fez com que tudo se tornasse suportável, pois ouvia meus lamentos e esteve acordado por noites me oferecendo carinho, compreensão e companhia.

NOTAÇÕES intx: interior do conjunto X. X: fecho do conjunto X. {x n }: sequência x. x n a: sequência x n convergente ao ponto a. X : conjunto dos pontos de acumulação do conjunto X. X c : complementar do conjunto X. infx: ínfimo do conjunto X. supx: supremo do conjunto X.

Lista de Figuras 1.1 a ponto interior do conjunto X R....................... 4 1.2 Conjunto Aberto - exemplo............................ 4 1.3 exemplo 1.1.8................................... 5 1.4 exemplo interseção de conjuntos abertos..................... 6 1.5 exemplo união de conjuntos fechados...................... 9 1.6 Teorema do anulamento.............................. 14 1.7 Teorema do Valor Intermediário......................... 16 2.1 Teorema de Weierstrass.............................. 21 2.2 Teorema de Rolle................................. 22 2.3 Teorema do Valor Médio............................. 24 2.4 Reresentação do exemplo............................. 27 vi

RESUMO Através de uma revisão de literatura, aborda-se a introdução às noções topológicas com exemplos numéricos de modo que os mesmos sirvam para facilitar a compreensão dos conceitos, que constantemente só contam com exemplos teóricos. Destacamos os conceitos de conjuntos abertos, conjuntos fechados e conjuntos, através dos quais é possível realizar a formalização do princípio dos Intervalos Encaixados, ao validá-lo também para conjuntos compactos. O princípio dos Intervalos Encaixados é utilizado como ferramenta em demonstrações de alguns teoremas, por exemplo, o teorema do Anulamento, a partir daí demonstra-se alguns teoremas para que possamos generalizar o Teorema do Valor Médio, os teoremas contam com representação e interpretação geométrica, afinal necessita-se da compreensão desses resultados para que a generalização aconteça. O trabalho conta ainda com aplicações matemáticas e aplicações em fenômenos físicos utilizando o Teorema do Valor Médio Palavras-chave: Teorema do Valor Médio, Cauchy, princípio dos intervalos encaixados.

Sumário Notações v Introdução 1 1 Princípio dos Intervalos Encaixados 3 1.1 Introdução às noções topológicas.............................. 3 1.1.1 Conjunto aberto................................... 4 1.1.2 Conjunto fechado.................................. 6 1.2 Princípio dos Intervalos Encaixados............................ 13 1.3 Uso para demonstração................................... 13 2 Teorema do valor Médio Generalizado 17 2.1 Continuidade........................................ 17 2.2 Teorema do Valor Médio Generalizado (ou de Cauchy).................. 19 2.3 Aplicações.......................................... 25 2.3.1 Regra de L Hospital................................ 25 2.3.2 Aplicações em física................................ 26 Considerações Finais 28 Referências Bibliográficas 29 A Apêndice 30 Índice Remissivo 32 viii

Introdução O Teorema do Valor Médio e o Princípio dos Intervalos Encaixados são de fundamental importância para o Cálculo e Análise Real, pois os mesmos se aplicam como auxiliares nas demonstrações de diversos resultados, alguns destes bem conhecidos, como por exemplo o Teorema do Anulamento; além de aplicações em fenômenos físicos. Devido a tal importância, neste trabalho, através de uma revisão de literatura, faremos uma generalização do Teorema do Valor Médio e uma generalização do Princípio dos Intervalos Encaixados. O Princípio dos Intervalos Encaixados 1 afirma que dada uma sequência decrescente I 1 I 2 I 3... I n... de intervalos limitados e fechados I n = [a n, b n ], existe pelo menos um número real c tal que c I n para todo n N. A generalização do Princípio dos Intervalos Encaixados faz uso das noções topológicas no que se refere aos conceitos de conjuntos fechados, limitados e conjuntos compactos. Tal generalização é enunciada da seguinte forma : Dada uma sequência decrescente X 1 X 2 X 3... X n... de conjuntos compactos não-vazios, existe (pelo menos) um número real que pertence a todos os X n. Daí então podemos deduzir o Princípio dos Intervalos Encaixados, ao considerarmos que os intervalos fechados são conjuntos compactos. Para melhor compreensão das noções topológicas, fizemos uso da ordem estabelecida por Lima,[4], e então foram acrescentados exemplos numéricos dos conceitos apresentados, de modo que tais exemplos elucidassem os conceitos presentes nas referências estudadas, pois estas apresentam normalmente apenas exemplos teóricos. Como generalização do Teorema do Valor Médio utilizaremos o Teorema do Valor Médio Generalizado (de Cauchy), o qual afirma que dadas duas funções f e g contínuas no intervalo [a, b] e deriváveis 1 Segundo definição dada por Lima,[4]. 1

2 em (a, b), então existirá pelo menos um c em (a, b), tal que f(b) f(a) g(b) g(a) = f (c) g (c), se g(b) g(a) e g (c) 0. A partir do Teorema do Valor Médio Generalizado pode-se obter o Teorema do Valor Médio e, além disso, o mesmo é utilizado muitas vezes na demonstração das regras de L Hospital. Dividimos o trabalho em dois capítulos: Iniciamos o primeiro capítulo com a introdução dos conceitos e resultados topológicos necessários para a generalização do Princípio dos Intervalos Encaixados, e o encerramos demonstrando tal generalização e fazendo uma aplicação; No segundo capítulo iniciamos com a seção que se refere à continuidade, tendo como base as definições utilizadas em [3] e [6], a importância de fazê-la se dá pelo fato de que os teoremas que pretendemos demonstrar só se validam à funções contínuas. Ao fim desta seção, já possuímos bagagem suficiente para a seção seguinte, na qual demonstraremos os teoremas que auxiliarão a generalização do Teorema do Valor Médio. Após a demonstração do Teorema do Valor Médio Generalizado finalizamos o capítulo com a seção que se refere às aplicações do Teorema do Valor Médio e Teorema do Valor Médio Generalizado.

Capítulo 1 Princípio dos Intervalos Encaixados Formulamos tal capítulo esperando que o assunto abordado seja facilmente compreendido, sem a necessidade de uma busca por algum outro material de apoio, ou seja, o mesmo tende a ser autoexplicativo. Assim sendo, o iniciamos com a seção nomeada por Introdução às noções topológicas que se trata de definições, e exemplos tanto teóricos, quanto numéricos afim de que se esclarecessem as informações transmitidas, afinal os mesmos são a base e estão diretamente ligados áquilo que o capítulo se propõe, que é generalizar o princípio dos intervalos encaixados. A generalização em questão nos diz que, uma sequência decrescente encaixante de conjuntos compactos possui um ponto comum a todos os conjuntos que formam essa sequência. Uma das definições contidas em topologia de extrema importância para a generalização do princípio é a definição de conjuntos compactos, a qual só se dá após conhecidos e compreendidos os conceitos de conjuntos abertos, fechados e limitados, segundo ordem proposta por Lima, [4]. 1.1 Introdução às noções topológicas Faremos uma breve introdução de definições topológicas e alguns resultados necessários à compreensão da generalização do princípio dos intervalos encaixados, o qual é o objetivo central do primeiro capítulo. Definimos então: conjunto aberto, conjunto fechado, através da definição de conjuntos fechados nos foi possível a definição de conjuntos compactos, os quais são utilizados diretamente na generalização do princípio. Salientamos que na seção que se segue faremos uso das notações adotadas em [4] e [5] 3

1.1. Introdução às noções topológicas 4 1.1.1 Conjunto aberto Definição 1.1.1. Diz -se que o ponto a é interior ao conjunto X R quando existe um número ε > 0 tal que o intervalo aberto (a ε, a + ε) está contido em X. O conjunto dos pontos interiores a X chama-se interior do conjunto X e representa-se pela notação int X. Quando a intx diz-se que o conjunto X é uma vizinhança do ponto a. Figura 1.1: a ponto interior do conjunto X R Observação 1.1.2. Note que quando dizemos que X é uma vizinhança de a estamos automaticamente assumindo que existe um intervalo (a ε, a + ε) contido em X. Exemplo 1.1.3. Considere o intervalo aberto X,de modo que X = (1, 12), o ponto 3 é ponto interior, pois dado ε = 1, obtemos o intervalo (3 ε, 3 + ε) = (2, 4). Figura 1.2: Conjunto Aberto - exemplo Exemplo 1.1.4. O conjunto X = (2, 6) é vizinhança do ponto 4, pois o ponto 4 é interior. Basta tomar (4 ε, 4 + ε), com 0 < ε < 2. Exemplo 1.1.5. Todo ponto c do intervalo aberto (a, b) é um ponto interior a (a, b). De fato, tome ε como sendo o mínimo entre { b c 2, c a } assim o intervalo (c ε, c + ε) está contido em (a, b). 2 Exemplo 1.1.6. Retomando ainda, ao conjunto X do exemplo 1.1.3, temos que o interior do conjunto X é (1, 12). Exemplo 1.1.7. Os pontos a e b, extremos do intervalo fechado [a, b] não são interiores a [a, b], pois os intervalos (a ε, a + ε) e (b ε, b + ε) não estão contidos no intervalo fechado [a, b], para qualquer ε > 0, sendo assim conclui-se :

1.1. Introdução às noções topológicas 5 que o intervalo fechado [a, b] não é uma vizinhança nem de a nem de b; int[a, b] = (a, b). Exemplo 1.1.8. Dado o intervalo fechado [1, 5], os pontos 2 e 4 são pontos interiores ao intervalo. De fato, 2 [1, 5] e tome ε = 1 2, temos que 2 (2 1 2, 2 + 1 2 ) = (3 2, 5 ) [1, 5]. De modo análogo, 4 é 2 um ponto inteior à [1, 5]. Figura 1.3: exemplo 1.1.8 Definição 1.1.9. Um conjunto A R chama-se aberto quando A = inta, isto é, quando todos os pontos de A são interiores a A. Retomando aos exemplos acima, temos que : O conjunto (1, 12) do exemplo 1.1.3 é um conjunto aberto, pois int(1, 12) = (1, 12). Todo intervalo aberto é um conjunto aberto (exemplo 1.1.5): int(a, b) = (a, b) O intervalo fechado [a, b] não é um conjunto aberto (exemplo 1.1.7), pois int[a, b] = (a, b). Teorema 1.1.10. Se A 1 e A 2 são conjuntos abertos, então a interseção A 1 A 2 é um conjunto aberto. Dem. Sendo A 1 e A 2 conjuntos abertos, tomemos x pertencente à A 1 A 2 (o x será comum à ambos os conjuntos, pois estamos tratando de interseção), sendo assim, x A 1 e x A 2. Por definição de conjuntos abertos, existem ε 1 > 0 e ε 2 > 0, tais que (x ε 1, x + ε 1 ) A 1 e (x ε 2, x + ε 2 ) A 2. Se ε for o menor entre ε 1 e ε 2 resultará em (x ε, x + ε) A 1 e (x ε, x + ε) A 2, ou seja, (x ε, x+ε) A 1 A 2. Concluí-se que x é um ponto interior à interseção dos conjuntos abertos, então o conjunto A 1 A 2 é aberto. Exemplo 1.1.11. Tomemos dois conjuntos A 1 = (1, 7) e A 2 = (2, 9), ambos são conjuntos abertos, pois int A 1 = (1, 7) e int A 2 = (2, 9). A interseção A 1 A 2 é dada por (2, 7) e o int A 1 A 2 = (2, 7), logo A 1 A 2 é um conjunto aberto.

1.1. Introdução às noções topológicas 6 Figura 1.4: exemplo interseção de conjuntos abertos Corolário 1.1.12. A interseção A 1... A n de um número finito de conjuntos abertos é um conjunto aberto. Observação 1.1.13. A interseção de um número infinito de conjuntos abertos pode não ser aberta, por exemplo, se A 1 = ( 1, 1), A 2 = ( 1 2, 1 2 ),..., A n = ( 1 n, 1 ),... então n A 1 A 2... A n... = {0}. Teorema 1.1.14. Se (A λ ) λ L é uma família qualquer de conjuntos abertos, a reunião A = λ L A λ é um conjunto aberto. Dem. Se x A, então existe λ L, tal que x A λ. Como A λ é aberto, existe ε > 0 tal que (x ε, x + ε) A λ A, logo todo ponto x A é ponto interior, isto é, A é aberto. 1.1.2 Conjunto fechado Definição 1.1.15. Diz-se que o ponto a é aderente ao conjunto X R quando a é limite de alguma sequência de pontos x n X. Chama-se fecho de um conjunto X ao conjunto formado por todos os pontos aderentes a X e representa-se por X. Exemplo 1.1.16. Consideremos o conjunto X = [2, 5] 6 [7, 8), analisaremos os pontos 3, 5, 6, 8 e 9. o ponto 3 X é um ponto aderente ao conjunto, pois é possível encontramos uma sequência que converge para 3, podendo ser a sequência constante x n = 3, n N. o ponto 5 X é um ponto aderente ao conjunto, pois é possível encontrarmos uma sequência que converge para 5, podendo ser escrita como x n = (5 1 ), lim n (5 1 n n ) = 5 ( a sequência constante x n = 5 também vale para este ponto). o ponto 6 pertence a X, e é um ponto aderente, pois a sequência constante x n = 6 está contida em X.

1.1. Introdução às noções topológicas 7 o ponto 8 não pertence a X, mas 8 é aderente, pois a sequência descrita por x n = (8 1 n ), lim (8 1 ) = 8, está contida no conjunto. n n o ponto 9 não pertence a X e não é um ponto aderente, pois não é possível encontrar uma sequência que convirja para 9 que esteja contida no conjunto. Se tormarmos ɛ = 1, obteremos o intevalo 2 ( 17 2, 19 ), que não têm interseção com o conjunto X. 2 O fecho do conjunto X = [2, 5] 6 [7, 8) é X = [2, 5] 6 [7, 8]. Note que: 1. Todo ponto a X é aderente a X: basta tomar a sequência de termos constantes iguais à a, ou seja, x n = a, para todo n N. Logo X X. 2. Se X Y então X Y. De fato tome, x 1 X, ou seja, existe {x n } X, tal que x n x 1. Queremos encontrar uma sequência {y n } Y, tal que y n x 1. Como {x n } X Y, logo {x n } Y. Sendo assim, é suficiente tomarmos y n = x n n N. Logo, x 1 Y. Exemplo 1.1.17. c [a, b] tome Todo ponto c do intervalo fechado [a, b] é um ponto aderente a [a, b], pois dado x n = c [a, b]. Exemplo 1.1.18. O fecho dos intervalos (a, b), [a, b), (a, b] é o intervalo [a, b]. Exemplo 1.1.19. Seja X R limitado 1, não-vazio. Então a = inf X e b = sup X são aderentes a X. De fato, n N podemos escolher x n X com a x n a + 1 n, logo x n a. De modo semelhante, observa-se que dado n N, existe y n X, tal que b 1 n y n b, e assim y n b. Exemplo 1.1.20. Os extremos a e b, pelas definições de ínfimo 2 e supremo 3 respectivamente, são aderentes ao conjunto aberto (a, b). Definição 1.1.21. Um conjunto diz-se fechado quando X = X, isto é, todo ponto aderente a X pertence a X. Exemplo 1.1.22. Analisemos os seguintes conjuntos A = [2, 10], B = [2, 10) e C = (2, 10), pela definição 1.1.15, temos que: 1 X R é dito limitado, se é limitado superiormente e inferiormente 2 ver definição de ínfimo no apêndice 3 ver definição de supremo no apêndice

1.1. Introdução às noções topológicas 8 A é um conjunto fechado, pois A = [2, 10]; B não é um conjunto fechado, pois B = [2, 10] B; C não é um conjunto fechado, pois C = [2, 10] C. Exemplo 1.1.23. O intervalo fechado [a, b] é um conjunto fechado. Exemplo 1.1.24. Um ponto é um conjunto fechado. Teorema 1.1.25. Um ponto a é aderente ao conjunto X se, e somente se, toda vizinhança de a contém algum ponto de X. Dem. Seja a aderente a X. Então existe uma sequência {x n } X, tal que x n a. Dada uma vizinhança qualquer a V temos x n V para todo n suficientemente grande (sendo V uma vizinhança de a então existe um intervalo aberto (a ε, a + ε) V, e pela definição de limite 4 para todo n suficientemente grande, x n (a ε, a + ε) V ), logo V X (. Reciprocamente, se toda vizinhança de a contém pontos de X podemos escolher, em cada intervalo a 1 n, a + 1 ), n N, um ponto x n X. n Então x n a < 1 n, logo lim x n = a e a é aderente a X. Observação 1.1.26. Pelo teorema 1.1.25, afim de que um ponto a não pertença a X é necessário e suficiente que exista uma vizinhança a V tal que V X =. Exemplo 1.1.27. Seja o conjunto X = [2, 3] 5, o ponto 4 não é aderente ao conjunto, pois tomando ɛ = 1 ( 7 2 teremos o intervalo (4 ε, 4 + ε) = 2, 9 ) que não está contido no conjunto. Sendo assim, a 2 vizinhança de 4 não contém nenhum ponto de X. (Ver também exemplo 1.1.16 para o ponto 9). Teorema 1.1.28. Um conjunto F R é fechado se, e somente se, seu complementar A = R F é aberto. Dem. Sejam F um conjunto fechado e a A, isto é, a / F. Pelo Teorema 1.1.25, existe alguma vizinhança a V que não contém pontos de F, isto é, V A. Assim, todo ponto a A é interior a A, concluímos então que o conjunto A é aberto. De modo recíproco, pelo Teorema 1.1.25, se o ponto a é aderente a F = R A, então toda vizinhança de a contém pontos de F, logo a não é interior a A. Mas, sendo A aberto, obtemos a / A, ou seja, a F. Assim, todo ponto a aderente a F pertence a F. Assim, F é um conjunto fechado. 4 x n a, se e somente se, ε > 0, n 0 N tal que, se n > n 0, então x n a < ε, isto é, a ε < x n < a+ε, para todo n suficientemente grande.

1.1. Introdução às noções topológicas 9 Exemplo 1.1.29. Seja o conjunto A = [2, 3]4, seja A c = R A, o complementar de A. Ora, A c = (, 2) (3, ) é um conjunto aberto (união de abertos, consultar teorema 1.1.14). Logo, pelo teorema 1.1.28 o conjunto A é fechado. Teorema 1.1.30. Se F 1 e F 2 são fechados então F 1 F 2 é fechado. Dem. Os conjuntos A 1 = R F 1 e A 2 = R F 2 são respectivamente, complementar a F 1 e F 2 conjuntos fechados. Pelo Teorema 1.1.28 A 1 e A 2 são abertos. Observer que 5 (F 1 F 2 ) c = F c 1 F c 2 = A 1 A 2. Pelo Teorema 1.1.10, A 1 A 2 = R (F 1 F 2 ) é aberto. Novamente tomando o Teorema 1.1.28, garantimos que F 1 F 2 é fechado. Exemplo 1.1.31. Sejam os conjuntos F 1 = [2, 3] e F 2 = [5, 6] conjuntos fechados, e F c 1 = R F 1 = (, 2) (3, + ), o complementar de F 1 e F2 c = R F 2 = (, 5) (6, + ) o complementar de F 2. (F 1 F 2 ) c = F1 c F 2 c = (, 2) (3, 5) (6, + ), o qual é um conjunto aberto (união de abertos, consultar teorema 1.1.14), conclui-se a partir do teorema 1.1.30 que F 1 F 2 é fechado. Figura 1.5: exemplo união de conjuntos fechados 5 Leis de DE Morgan

1.1. Introdução às noções topológicas 10 Teorema 1.1.32. Se (F λ ) λ L é uma família qualquer de conjuntos fechados então a interseção F = λ L F λ é um conjunto fechado. Dem. Para cada λ L, A λ = R F λ é aberto. Note que F c = ( λ L F λ ) c = λ L F c λ = λ LA λ, como cada A λ é aberto, pelo teorema 1.1.14, segue-se que F c = λ L A λ é aberto. Logo F é fechado. Definição 1.1.33. Diz-se que a R é ponto de acumulação do conjunto X R quando toda vizinhança V de a contém algum ponto de X diferente do próprio a. Denotamos o conjunto de todos os pontos de acumulação de X por X. Definição 1.1.34. Se a X não é ponto de acumulação de X, diz-se que a é um ponto isolado de X. Quando todos os pontos do conjunto X são isolados, X chama-se conjunto discreto. Exemplo 1.1.35. Seja X = [2, 3) {5}. O ponto 5 é ponto isolado, pois tomando-se uma sequência convergente à 5, a única que pertenceria ao conjunto X seria a sequência constante em 5, porém tal sequência é igual ao ponto tomado, o que entra em contradição com a definição 1.1.33 de ponto de acumulação. Teorema 1.1.36. Dados X R e a R, as seguintes afirmações são equivalentes: 1. a é um ponto de acumulação de X; 2. a é limite de uma sequência de pontos x n X {a}; 3. Todo intervalo aberto de centro a contém uma infinidade de pontos de X. Dem. Supondo ( (1) verdadeira, para todo n N podemos achar um ponto x n X, x n a, na vizinhança a 1 n, a + 1 ). Logo, x n a com x n X a, o que prova (2). Por outro lado, tomando n (2) como verdadeira, para qualquer n 0 N, o conjunto {x n ; n > n 0 } é infinito, caso contrário, existiria um termo x n1 que se repetiria infinitas vezes a partir de determinado termo fazendo com que a sequência a patir do n 1 -ésimo termo se comportasse como constante, isso resultaria em um limite x n1 a. Pela definição de limite, vê-se que (2) implica (3). E finalmente, pela definição de ponto de acumulação verifica-se que (3) implica (1). Exemplo 1.1.37. Se X é finito então X = (conjunto finito não tem ponto de acumulação).

1.1. Introdução às noções topológicas 11 Exemplo 1.1.38. Z é infinito, mas todos os pontos de Z são isolados. Dado qualquer z Z, o intervalo (z ε, z + ε), 0 < ε < 1, não contém uma inifinidade de pontos de Z Exemplo 1.1.39. Se X = (a, b) então X = [a, b]. Exemplo 1.1.40. Se X = {1, 12,..., 1n },... então X = {0}. Teorema 1.1.41. Todo conjunto infinito limitado de números reais admite pelo menos um ponto de acumulação. Dem. Seja X R um conjunto infinito limitado. X possui um sub-conjunto enumerável {x 1, x 2,..., x n }. Fixando esta enumeração, temos uma sequência (x n ) de termos dois a dois distintos, pertencentes a X, portanto uma sequência limitada, a qual pelo Teorema de Bolzano Weierstrass, possui uma subsequência convergente. Desprezando os termos que estão fora dessa subsequência e mudando a notação, podemos admitir que (x n ) converge. Seja x n a. Como os termos x n são todos distintos, no máximo um deles pode ser igual a a. Descartando-o, caso exista, teremos a como limite de uma sequência de pontos x n X {a}. Definição 1.1.42. Um conjunto X R chama-se compacto quando é limitado e fechado. Exemplo 1.1.43. O conjunto F = [2, 3] 4, é um conjunto compacto, pois ele é limitado, ou seja, possui ínfimo igual a 2 e supremo igual a 4, e o conjunto também é fechado, pois [2, 3] é um conjunto fechado e 4, segundo 1.1.23, é um conjunto fechado, temos então a união de dois conjuntos fechados, pelo teorema 1.1.30 [2, 3] 4 é fechado. O que implica que o conjunto F seja compacto. Exemplo 1.1.44. O conjunto X = [2, 3] [5, 7] é um conjunto compacto, pois o conjunto é a união dos conjuntos [2, 3] e [5, 7], ambos fechados, logo pelo teorema 1.1.30, o conjunto X é fechado. Por outro lado, X possui supremo igual a 7 e ínfimo igual a 2, o que torna o conjunto X limitado. Logo, X é um conjunto compacto. { } 1 Exemplo 1.1.45. O conjunto Y = n, n N {0}, é limitado com ínfimo igual a 0 e supremo igual a 1. O conjunto é fechado, logo Y é compacto. Exemplo 1.1.46. Todo conjunto finito é compacto. Exemplo 1.1.47. Um intervalo do tipo [a, b] é um conjunto compacto. Exemplo 1.1.48. Um intervalo do tipo (a, b) não é um conjunto compacto, pois o fecho do intervalo é [a, b], logo o conjunto não é fechado.

1.1. Introdução às noções topológicas 12 Exemplo 1.1.49. O conjunto Z não é um conjunto compacto, pois o conjunto dos inteiros Z não é limitado (ou seja, não possui supremo e ínfimo definidos). Proposição 1.1.50. Toda sequência convergente é limitada. Dem. Seja lim n x n = a. Assim, dado ε > 0, existe n 0 N, tal que se n > n 0, então x n a < ε, isto é, ε < x n a < ε a ε < x n < a + ε. Em particular tome ε = 1. Considere o conjunto C = {x 1, x 2,..., x n0, a 1, a + 1}, note que trata-se dos n 0 primeiros termos da sequência {x n } e que todos os outros termos x n, n > n 0 são menores que a + 1 e maiores que a 1. Sendo C finito, podemos escolher o menor elemento, m de C e o maior elemento M de C, assim todos os termos da sequência estão contidos no intervalo [m, M], ou seja, a sequência é limitada. Teorema 1.1.51. Um conjunto X R é compacto se, e somente se, toda sequência de pontos de X possui uma subsequência que converge para um ponto de X. Dem. Se X R é compacto toda sequência de X é limitada, logo,pelo Teorema de Bolzano Weierstrass 6 possui uma subsequência convergente, cujo limite é um ponto de X, pois X é fechado. De modo recíproco, seja X R um conjunto tal que toda sequência de pontos x n X possui uma subsequência que converge para um ponto de X. Então X é limitado porque do contrário, para cada n N poderíamos encontrar x n X com x n > n. A sequência (x n ), assim obtida, não possuíria subsequência convergente toda sequência também seria ilimitada, mas toda sequência convergente é limitada. Além disso, X é fechado, pois do contrário, existiria um ponto a / X e uma sequência X n X com x n a. A sequência (x n ) não possuiria então subsequência alguma convergindo para um ponto de X pois todas suas subsequências teriam limite a. Logo X é compacto. Observação 1.1.52. Se X R é compacto, então pelo exemplo 1.1.20, a = inf X e b = sup X pertencem a X. Assim, todo conjunto compacto contém um elemento mínimo e um elemento máximo. Ou seja, X compacto, implica que existem x 0, x 1 X tais que x 0 x x 1 para todo x X. Podemos agora generalizar o príncipio dos intervalos encaixados. 6 Toda sequência limitada de números reais possui uma subsequência convergente

1.2. Princípio dos Intervalos Encaixados 13 1.2 Princípio dos Intervalos Encaixados O princípio dos intervalos encaixados possui validade para sequências decrescentes encaixantes de conjuntos compactos. Será utilizada a definição segundo Lima, [4], o princípio se faz necessário para que se conclua a generalização do Teorema do Valor Médio, ao qual se objetiva o segundo capítulo. Teorema 1.2.1. Dada uma sequência decrescente X 1 X 2 X 3... X n... de conjuntos compactos não-vazios, existe (pelo menos) um número real que pertence a todo os X n. Dem. Definimos uma sequência (x n ) escolhendo, para cada n N, um ponto x n X. Esta sequência está no compacto X 1, logo possui uma subsequência (x n1, x n2,..., x nk,...) convergindo para um ponto a X 1. Dado qualquer n N temos x nk que a X n. Isto prova o teorema. X n sempre que n k > n. Como X n é compacto, segue-se Corolário 1.2.2 (Princípio dos Intervalos encaixados). Dada uma sequência decrescente I 1 I 2 I 3... I n... de intervalos limitados e fechados I n = [a n, b n ], existe pelo menos um número real c tal que c I n para todo n N. Dem. 7 Trata-se de intervalos limitados e fechados, logo segundo o exemplo 1.1.23, são conjuntos fechados e limitados, e segundo a definição 1.1.42, compactos, sendo assim, vale o teorema 1.2.1. 1.3 Uso para demonstração O princípio dos intervalos encaixados é muito útil dentro da própria matemática. Nessa seção o utilizaremos para demonstrar o Teorema do anulamento, assim como feito por Guidorizzi, [?]. O Teorema do Anulamento serve como ferramenta para a demonstração do Teorema do Valor Intermediário, também conhecido como Teorema de Bolzano, em homenagem ao matemático tcheco Bolzano 8. O Teorema do anulamento afirma que o gráfico de uma função contínua definida num intervalo, ao passar de um lado a outro do eixo dos x, necessariamente tem de cortar esse eixo. 7 Para demonstração alternativa consultar Apêndice 8 Bernhard Bolzano (1781 1848), nasceu e morreu na cidade de Praga, e embora fosse padre tinha ideias contrarias ás da Igreja.

1.3. Uso para demonstração 14 Embora há muito conhecido e utilizado, só no início do século XIX, o Teorema do Valor Intermediário foi demonstrado, antes disso, todas as demonstrações se apoiavam em justificativas geométricas. Foi Bolzano o primeiro matemático a fazer uma tentativa séria de demonstrar esse teorema, de maneira puramente analítica, num trabalho de 1817, trabalho que mais tarde seria visto como um dos marcos principais do início do rigor na Análise das primeiras décadas do século XIX. No próximo capítulo utilizaremos o princípio dos intervalos encaixados na demosntração de outros teoremas. Teorema 1.3.1 (Anulamento). Se f contínua 9 em [a, b] e se f(a) e f(b) tiverem sinais contrários, então existirá pelo menos um c em (a, b) tal que f(c) = 0. Figura 1.6: Teorema do anulamento Dem. Suponhamos f(a) < 0 e f(b) > 0. Façamos a = a 0 e b = b 0 ; seja c 0 o ponto médio do segmento [a 0, b 0 ], ou seja, c 0 = a 0 + b 0. Temos 2 f(c 0 ) < 0 ou f(c 0 ) 0. Suponhamos f(c 0 ) < 0 e façamos c 0 = a 1 e b 0 = b 1. Temos f(a 1 ) < 0 e f(b 1 ) > 0. Seja c 1 o ponto médio do segmento [a 1, b 1 ], ou seja, c 1 = a 1 + b 1. Temos 2 9 Veja definição de continuidade no Capítulo 2 f(c 1 ) < 0 ou f(c 1 ) 0.

1.3. Uso para demonstração 15 Suponhamos f(c 1 ) 0 e façamos a 1 = a 2 e c 1 = b 2. Assim, f(a 2 ) < 0 e f(b 2 ) 0. Prosseguindo com este raciocínio, contruiremos uma sequência de intervalos [a 0, b 0 ] [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ]... [a n, b n ]... que satisfaz as condições da propriedade dos intervalos encaixados e tal que, para todo n, f(a n ) < 0 e f(b n ) 0. (1.1) Utilizando o Príncipio dos Intervalos Encaixados 1.2.1, seja c o único real tal que, para todo n a n c b n. As sequências de termos gerais a n e b n convergem para c. Segue, então, da continuidade de f, que Segue de 2.1, 2.2 e 2.3 que e, portanto, f(c) = 0. lim f(a n) = f(c) (1.2) n + e lim f(b n) = f(c). (1.3) n + f(c) 0 e f(c) 0 Geometricamente, se uma função contínua em um intervalo fechado possui extremos com imagens de sinais contrários, ou seja, um positivo e o outro negativo, a função obrigatoriamente possuirá um ponto com imagem nula, ou seja, a função possuirá um ponto que se encontra sobre o eixo x. Teorema 1.3.2 (Valor Intermediário). Se f for contínua no intervalo fechado [a, b] e se γ for um real compreendido entre f(a) e f(b), então existirá pelo menos um c em [a, b] tal que f(c) = γ. Dem. Suponhamos f(a) < γ < f(b). Consideremos a função g(x) = f(x) γ, x em [a, b]. Como f é contínua em [a, b], e γ pode ser considerada uma função constante (contínua), pelo teorema??, g é contínua. Além disso, vale que g(a) = f(a) γ < 0 e g(b) = f(b) γ > 0. Assim g satisfaz as hipóteses do Teorema 1.3.1 e portanto, existe c em [a, b] tal que g(c) = 0, ou seja, f(c) = γ.

1.3. Uso para demonstração 16 Figura 1.7: Teorema do Valor Intermediário

Capítulo 2 Teorema do valor Médio Generalizado Neste capítulo faremos uma generalização do Teorema do Valor Médio e a partir deste, de modo não convencional, demonstramos o Teorema do Valor Médio que comumente é demonstrado a partir do Teorema de Rolle. Este capítulo conta com as seguintes seções : Continuidade - que trata das noções básicas necessárias para que se compreendesse as hipóteses dos teoremas neste capítulo tratados, a qual se baseia em [3]. Teorema do Valor Médio Generalizado - que demonstra todos os teoremas que precedem a Generalização do Teorema do Valor Médio, são eles: Teorema da Limitação, Teorema de Weierstrass e o Teorema de Rolle; seguido da subseção Teorema do Valor Médio Generalizado, que faz a demonstração da generalização do Teorema do Valor Médio, utilizando [2] e [5]. Aplicação - que apresenta a primeira Regra de L Hospital como consequência direta do Teorema do Valor Médio Generalizado, utilizando conceitos de [2] e [6]. 2.1 Continuidade Um conceito fundamental no Cálculo no que diz respeito ao estudo de funções é o de continuidade de uma função num ponto de seu domínio. Introduzimos alguns conceitos e resultados que se referem á continuidade, pois as funções utilizadas nas demonstrações e as hipótese dos teoremas da seção seguinte se restringem a funções contínuas. Utilizamos como referência Leithold, [3] Definição 2.1.1. Uma função f : X R, definida no conjunto X R, diz-se contínua no ponto a X quando para todo ε > 0 dado arbitrariamente, pode-se obter δ > 0 tal que x X e x a < δ 17

2.1. Continuidade 18 impliquem f(x) f(a) < ε. Em símbolos, f contínua no ponto a significa: ε > 0, δ > 0; x X, x a < δ = f(x) f(a) < ε Em outras palavras: Dizemos que a função f é contínua no ponto a se e somente se as seguintes condições forem satisfeitas: f(a) existe; lim x a f(x) existe; lim x a f(x) = f(a). Definição 2.1.2. Chama-se descontínua no ponto a X uma função f : X R que não é contínua nesse ponto. Isto quer dizer que existe ε > 0 com a seguinte propriedade: para todo δ > 0 pode-se achar x δ X tal que x δ a < δ e f(x δ ) f(a) ε. Teorema 2.1.3. Se f e g forem funções contínuas em um número a, então f + g será contínua em a. Dem. Como f e g são contínuas em a, segue que Utilizando propriedade de limite 1, temos que lim f(x) = f(a) e lim g(x) = g(a) x a x a lim[f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x) = f(a) ± g(a) x a x a x a a qual é a condição para que f ± g seja contínua em a. Teorema 2.1.4. Se f e g forem funções contínuas em um número a, então f.g será contínua em a. Dem. Como f e g são contínuas em a, segue que Utilizando propriedade de limite 2 lim f(x) = f(a) e lim g(x) = g(a) x a x a lim[f(x).g(x)] = f(a).g(a) x a a qual é a condição para que f.g seja contínua em a. 1 Se lim f(x) = L e lim g(x) = M, então lim [f(x) ± g(x)] = L ± M x a x a x a 2 Se lim f(x) = L e lim g(x) = M, então lim [f(x) g(x)] = L.M. x a x a x a

2.2. Teorema do Valor Médio Generalizado (ou de Cauchy) 19 Teorema 2.1.5. Se f e g forem contínuas em um número a, então f g g(a) 0. será contínua em a desde que Dem. Como f e g são contínuas em a, segue que lim f(x) = f(a) e lim g(x) = g(a) x a x a Utilizando a propriedade do limite 3 f(x) lim x a g(x) = f(a) g(a) a qual é a condição para que f g é contínua em a. Teorema 2.1.6. Um função polinomial é contínua em qualquer número Dem. Considerando a função polinomial f definida por f(x) = b 0 x n + b 1 x n 1 + b 2 x n 2 +... + b n 1 x + b n ; b 0 0 onde n é um número inteiro não negativo e b 0, b 1, b 2,..., b n são números reais. Ao aplicarmos o limite obtemos: lim x a f(x) = b 0a n + b 1 a n 1 + b 2 a n 2 +... + b n 1 a + b n lim f(x) = f(a) x a 2.2 Teorema do Valor Médio Generalizado (ou de Cauchy) Nesta seção generalizaremos o Teorema do Valor Médio, mas antes que nosso objetivo seja alcançado precisamos de alguns resultados, logo segundo definições estabelecidas em [2] e [5] abordaremos os teoremas da limitação, de Weierstrass e o Teorema de Rolle. Para demonstrar os próximos resultados, necessitaremos da seguinte definição. Definição 2.2.1. Dizemos que f é limitada em a D f se existir M > 0 tal que, para todo x em D f, f(x) M. Da definição acima, segue que, se f não for limitada em B D f, para todo natural n, existe x n B, com f(x n ) > n. 3 Se lim x a f(x) = L e lim x a g(x) = M, então lim x a f(x) g(x) = L M, com M 0

2.2. Teorema do Valor Médio Generalizado (ou de Cauchy) 20 Teorema 2.2.2 (Limitação). Se f for contínua no intervalo fechado [a, b], então f será limitada em [a, b]. Dem. Suponhamos, por absurdo, que f não seja limitada em [a, b]. Façamos a = a 1 e b = b 1 ; existe, então, x 1 em [a 1, b 1 ] tal que f(x 1 ) > 1. Seja c 1 o ponto médio de [a 1, b 1 ], ou seja, c 1 = a 1 + b 1 ; f não 2 será limitada em um dos intervalos [a 1, c 1 ] ou [c 1, b 1 ]. Suponhamos que não seja limitada em [c 1, b 1 ] e façamos a 2 = c 1 e b 2 = b 1. Não sendo f limitada em [a 2, b 2 ], existirá x 2 [a 2, b 2 ] tal que f(x 2 ) > 2. Prosseguindo com este raciocínio, construíremos uma sequência de intervalos [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ]... [a n, b n ]... satisfazendo as condições da propriedade dos intervalos encaixantes e tal que, para todo natural n > 0, existe x n [a n, b n ] com segue de 2.1 que para todo n > 0, f(x n ) > n. (2.1) lim f(x n) = +. Pelo príncipio dos intervalos encaixado 1.2.1, existe c tal que, n + c [a n, b n ]. Como a sequência x n converge para c e f é contínua em c, resulta que lim f(x n) = f(c) que n + está em contradição com lim f(x n) = +. Fica provado que a suposição de f não ser limitada n + em [a, b] nos leva a uma contradição. Portanto, f é limitada em [a, b]. Teorema 2.2.3 (Weierstrass). Se f for contínua em [a, b], então existirão x 1 e x 2 em [a, b] tais que f(x 1 ) f(x) f(x 2 ) para todo x em [a, b]. Dem. Sendo f contínua em [a, b], f será limitada em [a, b], daí o conjunto A = {f(x) x [a, b]}. admitirá supremo e ínfimo. Sejam M = sup{f(x) x [a, b]}. e m = inf{f(x) x [a, b]}. Assim, para todo x em [a, b], m f(x) M. Provaremos, a seguir, que M = f(x 2 ) para algum x 2 em [a, b]. Se tivéssemos f(x) < M para todo x em [a, b], a função g(x) = 1, x [a, b]. M f(x)

2.2. Teorema do Valor Médio Generalizado (ou de Cauchy) 21 Figura 2.1: Teorema de Weierstrass (segue observação), pelos Teoremas 2.1.3 e 2.1.5 seria contínua em [a, b], mas não limitada em [a, b], que é uma contradição (se g fosse limitada em [a, b], então existiria β > 0 tal que para todo x em [a, b] e, portanto, para todo x em [a, b], 0 < 1 M f(x) < β. f(x) < M 1 β. e assim M não seria supremo de A). Segue que f(x) < M para todo x em [a, b] não pode ocorrer, logo devemos ter M = f(x 2 ) para algum x 2 em [a, b]. De modo análogo, conclui-se que f(x 1 ) = m para algum x 1, em [a, b]. O Teorema acima, afirma que qualquer função contínua de um intervalo [a, b] em R é limitada e que, além disso, tem um máximo e um mínimo nesse intervalo. Observação 2.2.4. O argumento utilizado na construção de g, foi que, sendo M o supremo dos f(x), por menor que seja ε > 0, existirá x tal que M ε < f(x) < M, assim, a diferença M f(x) poderá se tornar tão pequena quanto se queira e, portanto, g(x) poderá ser tornar tão grande quando quanto se queira. Teorema 2.2.5 (Rolle). Se f for contínua em [a, b], derivável em (a, b) e f(a) = f(b), então existe pelo menos um c em (a, b) tal que f (c) = 0. Dem. Analisemos duas alternativas:

2.2. Teorema do Valor Médio Generalizado (ou de Cauchy) 22 Figura 2.2: Teorema de Rolle Se f for constante em [a, b], então f (x) = 0 para todo x (a, b), logo existe c (a, b) tal que f (c) = 0. Se f não for constante em [a, b]. Como f é contínua no intervalo fechado [a, b], pelo teorema anterior 2.2.3, existem x 1 e x 2 em [a, b] tais que f(x 1 ) e f(x 2 ) são, respectivamente os valores máximo e mínimo de f em [a, b]. Como f(x 1 ) f(x 2 ), segue x 1 ou x 2 pertencem a (a, b), daí 4 f (x 1 ) = 0 ou f (x 2 ) = 0. Portanto, existe c em (a, b) tal que f (c) = 0. Se a função y = f(t), contínua é a posição de um objeto em movimento retilíneo uniforme, então a derivada, f (t), da função f representa a velocidade desse objeto. Se o objeto estiver no mesmo lugar em 2 instantes diferentes, então pelo Teorema de Rolle 2.2.5 existirá um tempo no qual a velocidade é nula. Em outras palavras, se partirmos e chegarmos ao mesmo ponto com uma velocidade não constante, em algum momento da trajetória, a reta tangente não possuirá inclinação, sendo assim paralela ao eixo x (momento de velocidade nula). Teorema 2.2.6 (Teorema do Valor Médio Generalizado). Se f e g forem contínuas em [a, b] e deriváveis em (a, b), então existirá pelo menos um c em (a, b) tal que f(b) f(a) g(b) g(a) = f (c) g (c), se g(b) g(a) e g (c) 0. 4 Se f(x) for definida para todos os valores de x no intervalo aberto (a, b) e se f tiver um máximo ou mínimo relativo c, onde a < c < b,então f (c) = 0, se f (c) existir.

2.2. Teorema do Valor Médio Generalizado (ou de Cauchy) 23 Dem. Seja h(x) = [f(b) f(a)]g(x) [g(b) g(a)]f(x), x [a, b],pelos Teoremas 2.1.3,?? e 2.1.4, h é contínua em [a,b] e derivável em (a,b). Além disso, h(a) = h(b), pois h(a) = [f(b) f(a)]g(a) [g(b) g(a)]f(a). h(a) = f(b)g(a) f(a)g(a) f(a)g(b) + f(a)g(a). h(a) = f(b)g(a) f(a)g(b). e h(b) = [f(b) f(a)]g(b) [g(b) g(a)]f(b). h(b) = f(b)g(b) f(a)g(b) f(b)g(b) + f(b)g(a). h(b) = f(b)g(a) f(a)g(b). Assim sendo, h(a) = h(b). Pelo Teorema de Rolle 2.2.5, existe c em (a, b) tal que h (c) = 0, daí [f(b) f(a)]g (c) [g(b) g(a)]f (c) = 0. ou seja, [f(b) f(a)]g (c) = [g(b) g(a)]f (c) f(b) f(a) g(b) g(a) = f (c) g (c). Teorema 2.2.7 (Valor Médio). Se f é uma função contínua em [a, b] e derivável em (a, b), então existe um ponto c em (a, b), tal que f(b) f(a) = f (c)(b a). (2.2) Dem. Tomemos a função identidade g(x) = x, note que g (x) = 1 x (a, b) g(a) = a g(b) = b

2.2. Teorema do Valor Médio Generalizado (ou de Cauchy) 24 Como g (x) = 1, particularmente para c, segue que g (c) = 1, substituindo tais informações na equação 2.2.6, temos que de obtemos organizando os termos f(b) f(a) g(b) g(a) = f (c) g (c), f(b) f(a) b a = f (c) 1, f(b) f(a) = f (c)(b a) Geometricamente,o teorema do valor médio diz que se f é uma função suave que liga os pontos A = (a, f(a)) e B = (b, f(b)), existe um ponto c entre a e b tal que, a reta tangente ao gráfico de f em c é paralela á reta secante que passa por A e por B. Observe que a fórmula 2.2 é válida com a e b substituídos por dois números quaisquer x 1 e x 2 do intervalo [a, b], não importa qual desses dois números é o menor, isto é, f(x 1 ) f(x 2 ) = f (c)(x 1 x 2 ), (2.3) onde c é um número conveniente entre x 1 e x 2. Figura 2.3: Teorema do Valor Médio

2.3. Aplicações 25 2.3 Aplicações 2.3.1 Regra de L Hospital Primeira Regra Sejam f e g deriváveis em (p r, p) e em (p, p + r), (r > 0), com g (x) 0 para 0 < x p < r. f (x) f(x) Nestas condições, se lim f(x) = 0, lim g(x) = 0 e lim x p x p x p g existir (finito ou infinito) então lim (x) x p g(x) também existirá e lim x p f(x) g(x) = lim x p f (x) 5 g (x) Dem. Suponhamos f e g contínuas em p, assim: bem como Observamos que, lim f(x) = 0 f(p) = 0, x p lim g(x) = 0 g(p) = 0. x p g(x) 0, x (p r, p + r), x p. Suponhamos g(x) = 0 para algum x (p r, p + r), x p, e como g(x) = 0 g(p) = 0, mas g(x) é conínua em p. Como g(x) é derivável em (p r, p + r) exceto em p, g(x) é contínua em (p r, p + r). Segundo o Teorema de Rolle existe x entre x e p, tal que g (x) = 0, contradição. Vamos provar agora que f(x) lim x p + g(x) = lim f (x) x p + g (x). Seja x (p, p + r), de f(p) = 0 e g(p) = 0 segue que f(x) g(x) = f(x) f(p) g(x) g(p). Sendo f(x) e g(x) contínuas em [p, x], deriváveis em (p, x), com g (x) 0, x (p, x) pelo Teorema de Cauchy, existe c entre p e x, tal que f(x) f(p) g(x) g(p) = f (c) g (c). f(x) g(x) = f (c) g (c). (2.4) 5 Segundo Guidorizzi,[?]

2.3. Aplicações 26 f (x) Suponhamos que lim x p + g = L, L R. Assim dado ε > 0, existe δ > 0, com δ < ε, tal que (x) p < x < p + δ f (x) g L < ε. (2.5) (x) De 2.4 e 2.5 segue que logo p < x < p + δ f (c) g (c) L < ε p < x < p + δ f(x) g(x) L = f (c) g (c) L < ε f(x) lim x p + g(x) = lim f (x) x p+ g (x). Observação 2.3.1. Se f e g não forem contínuas em p, consideremos as funções f(x) se x p F (x) = 0 se x = p g(x) se x p G(x) = 0 se x = p que são contínuas em p e para algum c entre p e x pelo Teorema de Cauchy f(x) g(x) F (x) F (p) = G(x) G(p) = F (c) G (c) = f (c) g (c) 2.3.2 Aplicações em física Exemplo 2.3.2. O Teorema do Valor Médio é a tradução matemática para um fato que aparece de forma corriqueira em muitas situações de nossa vida. Por exemplo, se a média de velocidade em uma viagem de carro de uma cidade a outra é de 80km/h, então em algum momento da viagem o velocímetro do carro deve ter marcado 80km/h. Vamos traduzir tal afirmação em termos matemáticos. Seja s(t) a posição do carro, em cada instante de tempo t. Se a viagem começa em t = a (horas) e termina em t = b (horas) a velocidade média é dada por v m = s(b) s(a). b a A afirmação de que, em algum momento da viagem, a velocidade instantânea deve ser igual a velocidade média significa que para algum instante de tempo c entre a e b têm-se v m = s(b) s(a) b a = v c = s (c). O Teorema do Valor Médio estabelece as condições mínimas que uma função s deve satisfazer para que a igualdade acima seja verdadeira.

2.3. Aplicações 27 Exemplo 2.3.3. Vejamos uma aplicação do Teorema do Valor Médio: Dois corredores iniciaram uma corrida no mesmo instante e terminaram empatados. Prove que em algum instante eles têm a mesma velocidade. Solução: Consideremos inicialmente que tais corredores gastaram um tempo T para terminar a corrida, daí sejam S 1 e S 2, definidas no intervalo [0, T ]. Figura 2.4: Reresentação do exemplo É bastante razoável do ponto de vista físico que tais funções serão deriváveis satisfazendo S 1 (0) = S 2 (0) (pois os corredores partem da mesma posição inicial) e S 1 (T ) = S 2 (T ) (pois os mesmos terminam a corrida empatados). Com base em tais funções, consideremos a função F : [0, T ] R definida por F (t) = S 1 (t) S 2 (t). Note que a função F também é derivável e a mesma satisfaz que F (0) = F (T ) = 0. Utilizando o Teorema do Valor Médio A.0.7, temos que deve existir um tempo t (0, T ) satisfazendo Usando a definição de F temos que F (t) = F (T ) F (0) T 0 S 1 (t) S 2 (t) = 0 = 0. e lembrando-se que a derivada da posição é a velocidade, seque que no tempo t, vale V 1 (t) = V 2 (t) onde V 1 e V 2 são as respectivas velocidades, concluindo assim nosso capítulo.

Considerações Finais O trabalho aqui apresentado tinha por objetivo principal fazer a generalização do Teorema do Valor Médio e a generalização do princípio dos Intervalos Encaixados. De acordo com as observações feitas, pudemos concluir que o mesmo pode ser utilizado como auxílio ao se cursar a disciplina de Análise Real, principalmente no que diz respeito a noções topológicas, pois conta com exemplos numéricos, algo pouco comum em livros. A metodologia utilizada na elaboração do mesmo, foi adequada, pois o trabalho só seria possível através da revisão de literatura, porém mesmo assim, não se obteve muitos regristos acerca do contexto histórico que cerceiam a descoberta do Teorema do Valor Médio e do princíio dos Intervalos Encaixados. O Teorema do Valor Médio e o princípio dos Intervalos Encaixados são considerados de difícil entendimento, uma maneira de sanar tal deficiência seria a sequência de conteúdos que o trabalho propõe, partindo da base topológica até a generalização do princípio, e em seguida de teoremas que necessitam dos resultados provenientes do princípio ao Teorema do Valor Médio, bem como o Teorema do Valor Médio Generalizado. Notamos que o Teorema do Valor Médio e o Princípio dos Intervalos Encaixados se tratam apenas de casos particulares de resultados mais amplos (do Teorema do Valor Médio Generalizado e da generalização do Princípio dos Intervalos Encaixados respectivamente), envolvendo conceitos mais gerais do Cálculo e da Análise Real. Uma das sugestões para que se continue os estudos acerca de tal assunto é o artigo de Acker [1], no qual se demonstra o Teorema do Valor Médio diretamente a partir do Princípio dos Intervalos Encaixados, porém é necessário salientar que tal artigo envolve conteúdos que não foram abordados ao longo deste trabalho, todavia, trata-se de um novo método bastante válido. 28

Referências Bibliográficas [1] ACKER, Felipe. Um Teorema bem conhecido. Rio de Janeiro, UFRJ. Revista Matemática Universitária n 37 pp.1-8, 2004. [2] GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo,Vol.1. Editora McGraw-Hill, 2007. [3] LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica, Vol.1. Editora Harbra, 3 a Edição, 1994. [4] LIMA, Elon Lages. Análise Real,Vol.1. Rio de Janeiro, IMPA. Coleção Matemática Universitária, 1999. [5] LIMA, Elon Lages. Curso de Análise,Vol.2. Rio de Janeiro, IMPA. Projeto Euclides, 1989. [6] STEWART, James. Cálculo,Vol.1. Editora Thomson, 5 a Edição, 2006. 29

Apêndice A Apêndice Definição A.0.4 (Ínfimo). Se X R é um conjunto não-vazio, limitado inferiormente, um número real a chama-se ínfimo do conjunto X, e escreve-se a = inf X, quando é a maior das cotas inferiores de X. Isto equivale ás afirmações: para todo x X, tem-se a x; Se c x para todo x X então c a. ε > 0, existe um x X tal que c x < c + ε. Definição A.0.5 (Supremo). Seja X R limitado superiormente e não-vazio. Um número b R chama-se supremo do conjunto X quando é a menor das cotas superiores de X. Mais explicitamente, b é o supremo de X quando cumpre as duas condições: Para todo x X, tem-se x b; Se c R é tal que x c para todo x X então b c ε > 0, existe um x X tal que b ε < x b Teorema A.0.6 (Intervalos encaixados). Dada uma sequência decrescente I 1 I 2 I 3... I n... de intervalos limitados e fechados I n = [a n, b n ], existe pelo menos um número real c tal que c I n para todo n N. Dem. As inclusões I n I n+1 significam que a 1 a 2 a 3... a n... b n... b 2 b 1. 30

31 O conjunto A = {a 1, a 2, a 3,..., a n,...} é, portanto, limitado superiormente. Seja c = sup A. Evidentemente, a n c para todo n N. Além disso, cada b n é cota superior de A, temos c b n para todo n N. Portanto c I n para qualquer que seja n N. Teorema A.0.7. [Valor Médio] Se f é uma função contínua em [a, b] e derivável em (a, b), então existe um ponto c em (a, b), tal que f(b) f(a) = f (c)(b a). (A.1) Dem. Consideremos a função F (x) = f(x) f(a) Repare que F se anula em x = a e x = b. f(b) f(a) (x a). b a Aplicando a esta função F o Teorema de Rolle 2.2.5, obteremos f(b) f(a) b a = f (c).

Índice Remissivo Ãnfimo, 29 conjunto aberto, 4 fechado, 7 conjunto compacto, 10 conjunto discreto, 9 fecho, 5 função contínua, 15 função descontínua, 16 ponto aderente, 5 ponto de acumulação, 9 ponto interior, 4 ponto isolado, 9 Regras de L Hospital, 23 supremo, 29 teorema da Limitação, 18 teorema de Cauchy, 21 teorema de Rolle, 20 teorema de Weierstrass, 18 teorema do Anulamento, 13 teorema do Valor Intermediário, 14 vizinhança, 4 32