GUILHERME BASTOS PINHEIRO A CONSTRUÇÃO DA RELATIVIDADE ESPECIAL E DA RELATIVIDADE GERAL E SUAS VALIDAÇÕES EXPERIMENTAIS

1 UNIVERSIDADE CATÓLICA DE BRASÍLIA PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO Curso de Física A CONSTRUÇÃO DA RELATIVIDADE ESPECIAL E DA RELATIVIDADE GERAL E SUAS VALIDAÇÕES EXPERIMENTAIS Autor: Guilherme Bastos Pinheiro Orientador: Prof. Dr. Paulo Eduardo de Brito BRASÍLIA 2008

GUILHERME BASTOS PINHEIRO A CONSTRUÇÃO DA RELATIVIDADE ESPECIAL E DA RELATIVIDADE GERAL E SUAS VALIDAÇÕES EXPERIMENTAIS Trabalho de Conclusão de Curso submetido à Universidade Católica de Brasília para obtenção do Grau de Licenciado em Física. Orientador: Dr. Paulo Eduardo de Brito Brasília Junho de 2008

A CONSTRUÇÃO DA RELATIVIDADE ESPECIAL E GERAL E SUAS COMPROVAÇÕES EXPERIMENTAIS RESUMO O desenvolvimento da teoria da relatividade teve início no final do século XIX, quando a experiência de Michelson e Morley obteve resultados conflitantes com a mecânica clássica. A partir de então as idéias newtonianas de propagação instantânea da luz, de espaço e de tempo absolutos, deram lugar a novas hipóteses que visaram explicar o motivo pelo qual a natureza não se comporta conforme a previsão da mecânica clássica. Com isso serão, apresentadas neste trabalho a evolução história da teoria relativística, iniciando com as idéias fundamentais de Isaac Newton contidas em sua obra: Principia (Princípios Matemáticos de Filosofia Natural) de 1686 e aperfeiçoadas por diversos físicos ao longo de 200 anos. Por fim serão expostas as novas hipóteses físicas propostas por Jules Henri Poincaré e aperfeiçoada por Albert Einstein que levaram a quebra do paradigma newtoniano. Em seguida as comprovações experimentais da relatividade especial e geral desde a primeira publicação em 1905, no famoso annus mirabilis. Palavras-chave: Espaço, Tempo, Simultaneidade, Conservação do Momento linear, Conservação da energia. 2

ÍNDICE 1. INTRODUÇÃO...1 2. A HERANÇA DE NEWTON...4 2.1 Espaço Absoluto...5 2.2 Tempo Absoluto...6 2.3 A Conservação da Energia e do Momento Linear...6 2.4 O Éter...7 2.5 A Gravitação...8 2.6 O Sistema solar por Emanuel Kant...9 2.7 O Sistema solar segundo Simon Pierre Laplace...10 3. O ESPAÇO E A GEOMETRIA...10 3.1 O Espaço Geométrico e o Espaço Representativo... 11 3.2 Espaço Visual, Tátil e Motor.... 11 3.3 O Mundo Não-Euclidiano...12 3.4 O Espaço, o Tempo e a Força...13 4. EXPERIÊNCIA DE MICHELSON E MORLEY...15 5. O ANNUS MIRABILIS...18 5.1 Os Postulados...18 5.2 A Simultaneidade...19 5.3 A Dilatação do Tempo...21 5.4 A Contração das Distâncias...23 5.5 As Transformações de Lorentz...24 5.6 Efeito Doppler Relativístico...26 5.7 O Momento Relativístico e sua Conservação...26 5.8 A nova interpretação para massa e energia...29 6. O UNIVERSO DE MINKOWSKI...30 7. O PRINCÍPIO DA RELATIVIDADE GENERALIZADO...33 7.1 A propagação da luz em um campo gravitacional...34 7.2 A Ponderabilidade da Energia...34 7.3 Encurvamento dos raios de luz no campo de gravidade...37 7.4 Avanço do periélio de mercúrio...38 8. AS VALIDAÇÕES EXPERIMENTAIS DA TEORIA RELATIVISTA...40 8.1 O efeito Doppler-Fizeau...41 8.2 A massa variável dos elétrons...42 8.3 A relatividade e a mecânica quântica...42 8.4 As validações da relatividade geral...43 3

9. CONSIDERAÇÕES FINAIS...45 9. BIBLIOGRAFIA...47 4

1. INTRODUÇÃO Por que estudar mecânica clássica se atualmente existe a física moderna? Esta deve ser uma questão levantada por muitos estudantes quando iniciam o aprendizado de física moderna. Contudo nada pode ser construído sem que primeiro se forme uma base pela qual todo o entendimento possa ser analisado de maneira satisfatória e conseqüentemente construtiva. Nesse estudo serão discutidas as principais idéias sobre as obras de Isaac Newton (1643-1727), que perduraram por mais de duzentos anos, desde 1687. A física na época de Newton era conhecida como filosofia natural. Diversos temas eram reunidos em artigos científicos, para a divulgação no meio acadêmico da época. Com isso muitos dos conceitos sobre espaço, tempo, força, inércia, e cinemática, já estavam bastante familiarizados no século XVII. Portanto estas idéias foram bastante reforçadas, o que não deixou dúvidas sobre seus fundamentos ate o século XIX. Desta forma todas as observações foram colocadas de maneira que qualquer filósofo ou geômetra da época não discordasse sobre estes fundamentos. Porém os melhores experimentos do século XVIII não eram tão precisos como os realizados a partir do século XIX. Por esse motivo quando os conceitos de espaço e tempo são postos em discussão, muitos estudantes acreditam compreendê-los corretamente. Mas isso não é verdadeiro. Tendo em vista que tais conceitos tornam-se de certa maneira abstratos, quando levados aos demais referenciais: como o espaço vazio ou corpos em movimento em altas velocidades. Uma análise cuidadosa deve ser feita para compreender o sentido destas teorias. As idéias propostas por Newton foram tão aceitas que se tornaram paradigmas até o século XIX, embora algumas de suas propostas não concordaram com os experimentos mais minuciosos, como por exemplo, os de Thomas Young (1773-1829) em 1805. Young usando a dupla fenda observou um comportamento ondulatório da luz; as propostas de Fresnell para o éter luminífero questionaram as idéias newtonianas contidas em Óptica de 1704. Com isso à evolução dos experimentos começaram a colocar em questionamento conceitos fortemente aceitos, e abrindo novas possibilidades cujas hipóteses e as experiências poderiam revelar. Idéias como a formação da matéria e suas diferenças, eram questionadas e tratadas de diversas formas pelos físicos teóricos antes do século XX. Newton em pleno século XVII comenta sobre a matéria de maneira filosófica... entretanto, para que não parecessem áridas, ilustrei-as com alguns escólios filosóficos, e versei sobre generalidades, em parece fundar-se principalmente a filosofia, como sejam, a 5

densidade e resistência dos corpos, os espaços vazios de corpos, bem como o movimento da luz e dos sons. Newton usou a sua teoria dinâmica para exemplificar o conceito de inércia e sistemas acelerados. Ele exemplificou o movimento com comparações cotidianas, que poderiam ser feitas e comprovadas facilmente. Estas observações foram limitadas devido a construção teórica de sua época, pois existiam hipóteses, mas faltavam às experimentações adequadas para uma visão mais realista das características peculiares dos corpos. Como pode ser visto no comentário em (1983, Os Pensadores, p.21) principia, Nos corpos vemos somente suas figuras e cores, ouvimos somente os sons, tocamos somente suas superfícies exteriores, cheiramos somente os cheiros e provamos os sabores; mas suas substâncias interiores não deverão ser conhecidas nem por nossos sentidos, nem por qualquer ato reflexo de nossas mentes. A Óptica em pleno século XVII era vista de duas formas distintas: a corpuscular e a ondulatória. Robert Hook (1635-1703), René Descartes (1596-1650) e Christian Huygnes (1629-1695) eram defensores da ondulatória e buscavam explicações para o comportamento da luz entre os copos e também no espaço interplanetário. Robert Hook escreve sobre suas observações, onde afirma A luz é produzida por vibrações de um meio sutil e homogêneo e este movimento se propaga por impulso ou ondas simples e de forma perpendicular à linha de propagação. Este meio de propagação da luz, baseado no éter aristotélico-cartesiano seria posteriormente analisado por Poincaré, e mantid até a publicação dos trabalhos de Albert Einstein, que descartou completamente o conceito de um espaço etéreo e propôs a existência de um espaço vazio entre os planetas e os demais corpos celestes. Jules Henri Poincaré (1854-1912), já no final do século XIX, publica uma série de artigos destinados às mais diversas áreas da física. Tratam primeiramente dos conceitos mecânicos e geométricos antecessores a ele, os quais poderiam ser substituídos de maneira tal que muitos fenômenos físicos passassem a ser vistos de forma diferente, contudo não menos reais e possíveis. Assim as idéias sobre a natureza do espaço são levantadas de forma que a física poderia ser reformulada e aperfeiçoada; diferentemente da física clássica com idéias muitas vezes baseadas em conceitos antropomórficos. Estes artigos foram estudados por Albert Einstein (1879-1955) antes de 1905, e foram de suma importância para a criação da relatividade especial. Einstein posteriormente chegou às mesmas conclusões das hipóteses de Poincaré, porém indo além dessas quebrando com o domínio newtoniano e com as idéias do éter aristotélico-cartesiano de mais de 200 anos. 6

Esse novo conceito de relatividade não se tratava somente de uma teoria inovadora baseada em uma série de hipóteses bem formuladas, antes de tudo deveria explicava o universo de maneira mais clara e sucinta que as anteriores, e confirmadas experimentalmente. As mudanças de idéias seguiram uma disputa entre o velho e o novo de tal forma que surgiram conflitos, vivenciados pelo próprio Newton em 1687, Mas aqueles que não compreendem suficientemente os princípios estabelecidos não perceberão de modo algum a força das conseqüências, nem se desfarão dos preconceitos adquiridos já muito antes, e novamente por Poincaré no final do século XIX, Mudar os conceitos da ciência chega a ser mais difícil do que mudar os dogmas de uma religião. Por fim após as publicações de 1905 no famoso ano miraculoso, até 1916 na publicação da relatividade geral, houve uma demora de mais de 15 anos até sua aceitação no meio cientifico, ocorrendo em 1919 com as observações do eclipse solar. Chamando a atenção do mundo todo para a nova teoria relativística e finalmente abrindo as portas para um longo e produtivo século de confirmações, de conquistas teórico-experimentais dos mais diversos campos da ciência. 2. A HERANÇA DE NEWTON As leis de Newton foram bem fundamentadas pela contribuição de seus antecessores; Galileu Galilei com a cinemática e o método científico, junto com René Descartes, com sua filosofia baseada na matemática e experimentação. Segundo a visão de Galileu, todo corpo em movimento possui uma velocidade relativa que pode ser acrescentada ou diminuída conforme o referencial. Galileu percebeu que os corpos se movimentam de maneira constante desde que estejam livres de forças resistivas, assim propõe o principio da inércia junto com Descartes. A matemática e a observação não deixaram dúvidas sobre esses princípios, tanto que Isaac Newton construiu uma teoria que explicava o mundo mecânico de maneira simples e coesa. Para isso Newton propõe três axiomas básicos que explicam as interações entre os corpos. Em suas próprias palavras NEWTON (1983, Os Pensadores, p.14) afirma: Todo corpo permanece em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em linha reta, a menos que seja obrigado a mudar sue estado por forças impressas nele, (...) A mudança do movimento é proporcional à força motriz impressa, e se faz segundo a linha reta pela qual se imprime essa força, (...), a uma ação sempre se opõe uma reação igual, ou seja, as ações de dois corpos um sobre o outro são iguais e se dirigem as partes contrárias. Com essas palavras Isaac Newton deduz todos os movimentos e fenômenos mecânicos no planeta e consegue expandir esse conceito para a lua e os demais 7

planetas do sistema solar, que anteriormente eram tidos como o mundo supralunar regidos por leis perfeitas que não eram as mesmas do mundo sublunar. Newton chega à conclusão que o movimento é devido à inércia e a interação entre os corpos, seja diretamente ou não, como é o caso da gravitação. Isso permite aos corpos conservarem seus movimentos em torno do sol e manterem o equilíbrio de todo o sistema solar. 2.1 Espaço absoluto Para Newton, existe uma série de espaços distintos quando se observa o movimento do próprio sistema, mas esse espaço relativo faz parte de um espaço imutável e estável, onde, NEWTON (1983, Os Pensadores, p.8), afirma: O espaço é absoluto, por sua própria natureza sem nenhuma relação com algo externo, permanece sempre semelhante e imóvel; o relativo é certa medida ou dimensão móvel deste espaço, a qual nossos sentidos definem por sua situação relativamente aos corpos, e que a plebe emprega em vez do espaço imóvel, como é a dimensão do espaço subterrâneo, aéreo ou celeste definida por sua situação relativamente a terra.... Percebe-se com isso que a relatividade estava presente nos conceitos de Newton, porém sua idéia principal sobre o espaço era, O centro do sistema do mundo esta em repouso, logo tudo se move em torno desse espaço sem alterá-lo de nenhuma maneira. 2.2 Tempo absoluto Segue-se o raciocínio de Newton para o que era observável em sua época, usando instrumentos que com pouca precisão de medida, como os usados por Galileu na cinemática. NEWTON (1983 Os Pensadores, p.8), define o tempo como: O tempo, verdadeiro e matemático flui sempre igual por si mesmo e por sua natureza, sem relação com qualquer coisa externa, chamando-se como outro nome duração; o tempo relativo, aparente e vulgar é certa medida sensível e externa de duração por meio do movimento (seja exata, seja desigual), a qual vulgarmente se usa em vez do tempo verdadeiro, como é a hora, o dia, o mês, o ano. Assim afirma que apesar de conceitos astronômicos sobre o tempo e o movimento dos corpos, esses jamais interferirão no fluxo do tempo, pois a duração e a permanência das coisas são sempre as mesmas, quer os movimentos sejam rápidos ou lentos, ou até mesmo nulos como Newton acreditava. 2.3 A conservação da energia e do momento linear 8

Christian Huygens em 1669 observou que quando dois objetos em movimento colidem como é o caso de duas bolas de aço, a soma das vis viva (força viva ou energia cinética) de cada uma das bolas é a mesma antes e depois da colisão. Um corpo após a colisão poderia ter sua velocidade diminuída enquanto que o outro corpo teria sua velocidade aumentada. Como conseqüência, a soma das duas vis viva seria sempre a mesma. Segundo Christian Huygens (apud Ponczek e Rocha, 2002, p.97) A soma dos produtos da massa de cada corpo duro pelo quadrado da sua velocidade é sempre a mesma antes e depois do encontro. Para Gottfried Wilhelm Von Leibniz (1646-1716) a verdadeira quantidade de movimento deveria ter uma relação com o quadrado da velocidade e não como os seguidores de René Descartes acreditavam. Os choques para Descartes eram devidos uma quantidade de movimento criado por Deus no início e se conservava. A idéia de momento para Descartes era tal que (apud Ponczek e Rocha, 2002, p.93) Se um corpo que se move encontra outro mais forte que ele, não perde nada de seu movimento, e se encontra outro mais fraco, a quem possa mover, perde de seu movimento aquilo que transmite ao outro. Estas observações de momento linear e energia foram definidas ao longo de 200 anos e finalmente consolidadas no século XIX como leis fundamentais da natureza. A lei da conservação da energia afirma que a energia não pode ser criada e nem destruída, mas ela se transforma de um tipo em outra. Pode-se inferir que estavam estabelecidas duas grandezas físicas de suma importância, a conservação da energia e a conservação do momento linear. 2.4 O Éter Uma grande questão perdurava na física clássica, o que seria a luz e quais suas características? Muitos teóricos propuseram diversas hipóteses para a luz, mas devido a diferentes linhas de pensamento algumas dessas propostas permaneceram ignoradas por um longo período da história, A principal teoria da Óptica no século XVII se preocupava mais com a geometria do que com as causas que produziam a luz; escolha feita por Newton e seus seguidores, contudo existiam teóricos que discordavam do ponto de vista Newtoniano. Newton acreditava que a luz era composta de partículas rígidas e se propagavam em um meio sutil chamado Éter, que possuía densidades relativas; Sua densidade crescia conforme as distâncias entre os astros. Essa matéria sutil estava 9

presente em todo universo e ajudava inclusive no equilíbrio gravitacional entre os planetas. Mas este conceito era visto de maneira diferente por Robert Hook, René Descarte, Christian Huygens, onde a luz se caracterizava como uma propagação em um meio através de oscilações transversais. Tais teorias deveriam condizer com a velocidade da luz 230.000km/s, medida por Roemer. Estas hipóteses apresentaram conflitos, quando baseadas unicamente no éter, como aconteceu com Fresnel e Thomas Young que propuseram a idéia de o éter ser uma substancia sólida e elástica, (apud Ponczek e Rocha, 2002, p.232): Este modelo é pelo menos bastante engenhoso e pode dar origens a alguns cálculos satisfatórios; no entanto, dele faz parte uma circunstancia que tem conseqüências desastrosas (...) a resistência lateral tem sido apenas atribuída a sólidos; de modo que (...) se pode inferi que o éter luminífero que enche todo o espaço e penetra quase todas as substancias é não só altamente elástico como também totalmente sólido!. Somente James Clark Maxwell (1831-1879) em 1861 através de cálculos em eletrodinâmica chega a um resultado de suma importância para a óptica e o eletromagnetismo, onde a equivalência entre a velocidade da luz e das ondas eletromagnéticas era visível (apud Ponczek e Rocha, 2002, p.264): A velocidade das ondulações transversais no nosso meio hipotético, calculada a partir das experiências de eletromagnetismo efetuadas pelos Srs. Kolhraush e Weber (311.000km/s), tem um valor tão próximo do valor da velocidade da luz calculado a partir de experiências de óptica realizadas pelo Sr. Fizeau que é difícil evitar a inferência de que a luz consistirá em ondulações transversais do mesmo meio que é a causa dos fenômenos elétricos e magnéticos. As confirmações da teoria de Maxwell se deram em 1887 por Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894), que defendia de maneira unicamente didática que a luz era uma onda auto-sustentável, composta por campos eletromagnéticos que se propagavam sem a necessidade de um meio etéreo. 2.5 A gravitação O modelo de gravitação criado por Newton, teve o objetivo de explicar os movimentos da lua e dos corpos celestes. Newton conseguiu introduzir suas leis da mecânica nas leis de Kepler com extraordinária intuição. Pode concluir que as mesmas leis que regeriam o movimento na superfície da Terra poderiam também ser consideradas para os corpos celestes. 10

A única questão que diferenciava essas manifestações da natureza era o conceito de ação a distancia. Para Newton uma força motriz gera uma aceleração em um dado corpo e é proporcional a esta mesma força. Mas, e no caso desta interação indireta entre os corpos cuja força age a distância, poderia seguir os mesmos princípios que ocorrem na interação direta de dois corpos? Newton conclui que sim. Newton tentou criar um modelo de gravitação onde o éter agiria nos corpos e devido à variação de sua densidade em relação ao sol, poderia explicar o movimento das órbitas dos planetas. Contudo a melhor hipótese para a gravitação foi à ação a distância entre os corpos, que era diretamente proporcional ao produto das massas e inversamente proporcional ao quadrado das distancias que separam os centros dos corpos. Ou seja, nas próprias palavras de Isaac Newton (apud Ponczek e Rocha, 2002, p.105): É certo que ela (a gravidade) deve provir de uma causa que penetra nos centros exatos do sol e dos planetas (...) e que opera de acordo com a quantidade de matéria que eles contêm, e propaga a sua virtude em todos os lados a imensas distancias, decrescendo sempre no quadrado inverso das distancias. A gravitação com relação ao sol é composta a partir das gravitações em relação às varias partículas da qual o corpo do sol é composto; e ao afastar-se do sol, diminui com exatidão na proporção do quadrado inverso das distancias até a órbita de saturno. O principia de Isaac Newton sintetizou toda a ciência da mecânica e da astronomia de maneira tão consolidada que até o advento das equações do eletromagnetismo de James Clark Maxwell, no século XIX, foi dominante o pensamento da mecânica. Posteriormente um grande aprimoramento se deu através da unificação do conceito da energia e do trabalho nas leis de Newton. 2.6 O sistema solar por Emanuel Kant Emanuel Kant (1724-1804), (apud Ponczek e Rocha, 2002, p.121) filósofo alemão, tinha sofrido forte influência do pensamento newtoniano, tanto que propôs em sua obra: História Geral da Natureza e Teoria do Céu (1755), um modelo para a evolução do sistema solar, onde (apud Ponczek e Rocha, 2002, p.121) afirma: Eu suponho que, no começo de todas as coisas, todas as matérias de que são compostos os globos que pertencem ao nosso mundo solar todos os planetas e cometas decompostos em sua matéria primordial elementar incham todo o espaço do universo no qual eles atualmente giram. Este estado da natureza parece ser, o mais simples que possa existir, depois do nada (...) a composição dos corpos celestes, distantes um dos outros, seus afastamentos e sua forma, são uma conseqüência mais tardia. A natureza, imediatamente saída da criação, era tão grosseira e tão sem forma quanto possível. No entanto nas propriedades essenciais dos elementos que formam o caos, já se pode encontrar o sinal dessa perfeição que eles adquirem de sua origem, pois sua essência é uma conseqüência da idéia eterna da razão divina. As propriedades mais simples, as mais gerais, que parecem ter sido esboçadas sem nenhuma intenção (...) tem 11

desde seu estado mais simples, uma tendência a se transformar em uma constituição perfeita, por um desenvolvimento natural. Para Kant havia duas forças opostas responsáveis pela ordenação do universo: a atração gravitacional e uma força que gerava a expansão dos gases. A força gravitacional seria a responsável pela aproximação da matéria entorno de pontos de maior densidade, e obedeceria à lei do inverso do quadrado das distancias proposta por Newton, enquanto que a força de repulsão provocaria colisões entre as partículas em difusão, fazendo com que estas adquirissem um movimento rotação em torno dos pontos de maior densidade. 2.7 O sistema solar segundo Simon Pierre Laplace Em 1786 Simon Laplace (1749-1827) demonstrou a estabilidade do sistema solar, mostrando que os planetas do sistema solar possuem excentricidades praticamente constantes e inclinações, umas e relação às outras, sempre muito pequenas. Laplace aprimorou a hipótese nebular 1 na obra Exoisution du systeme du monde de 1796 e concluindo esta abordagem no famoso Traité du mecanique cleste, publicada entre 1799 e 1825. Com as teorias de Emanuel Kant e Simon Laplace tanto a astronomia quando a mecânica Newtoniana estava de sobremodo sedimentadas e tornou-se o paradigma do pensamento científico até o final do século XIX e início do século XX. 3. O ESPAÇO E A GEOMETRIA No final do século XIX a ciência estava passando por reformulações da qual a geometria ganhava novas fronteiras. A descrição dos sólidos pela geometria Euclidiana era insuficiente devido às convenções idealizadas. Os sólidos reais não condiziam com esta geometria e necessitava de algo mais abrangente para descrevêlos. Toda a criação da geometria baseava-se em uma aproximação entre as experiências cotidianas e uma transfiguração para a geometria idealizada. Jules Henri Poincaré (1854-1912) em 1902 publicou uma série de artigos científicos reunidos no livro à ciência e a hipótese, que avaliavam as questões 1 Segundo essa hipótese o Sistema Solar teria se originado há cerca de 4.600 milhões de anos a partir de uma vasta nuvem de gás e poeira - a nebulosa solar 12

epistemológicas da física vigente, e discutiam novas hipóteses para os fenômenos da natureza e para a geometria. O conceito do espaço para Poincaré necessitava de uma análise cuidadosa porque em princípio a geometria utilizada na física ate então era a geometria Euclidiana. Mas o que aconteceria se as descrições do espaço, e dos corpos estivessem sujeitas às impressões sensórias errôneas? Foi partindo desta hipótese que Poincaré propôs alguns exemplos que mostravam as limitações dos sentidos e as implicações que acarretariam na visão da física. 3.1 O espaço geométrico e o espaço representativo O espaço geométrico possui propriedades singulares. Ele é contínuo, infinito, tem três dimensões, é homogêneo e isotrópico na geometria Euclidiana. Mas como seria a descrição deste espaço se fossem usadas às representações e sensações do ser humano? Poincaré buscou classificar o espaço de duas maneiras distintas: o espaço geométrico idealizado pelos geômetras e o espaço representativo, resultado da percepção sensorial humana, POINCARÉ (1984, A ciência e a Hipótese, p.55) afirma: Diz-se, frequentemente, que as imagens dos objetos exteriores estão localizadas no espaço, que mesmo elas só podem ser formadas com essa condição. Diz-se também, que esse espaço, serve, assim, de quadro as nossas sensações e representações é idêntico ao espaço dos geômetras. Possuindo todas as suas propriedades. Todos os que pensam assim, a frase acima deve ter parecido bem extraordinária. Mas convém examinar se não estão sendo vítimas de alguma ilusão que uma análise cuidadosa poderia dissipar. 3.2 Espaço visual, tátil e motor. Quando se enxerga um objeto, a imagem deste é formada dentro dos olhos, na parte que corresponde à retina. Esta imagem é contínua, mas com duas dimensões apenas. Poincaré observa que esse espaço percebido pelos olhos se diferencia do espaço de três dimensões dito pelos geômetras. Esse espaço pode ser chamado de puro espaço visual, a luz que chega a retina será interpretada de uma forma diferenciada, dependendo do local onde a informação se situa na retina. A visualização da terceira dimensão de um objeto ocorrerá quando a posição entre os olhos e o objeto sofrerem uma acomodação. 13

Nesse caso alem da visão propriamente dita uma outra variável teve que ser acrescentada para a percepção do espaço visual completo.se uma impressão tátil pode contrapor-se a uma impressão puramente visual, então qual das duas impressões seria a correta? Somente a junção das duas impressões daria uma descrição mais realista, qualquer uma dessas impressões sensoriais isoladas seria contraditória quando conflitadas uma com a outra. Sendo assim a percepção completa de um corpo necessita da relação entre visão e posição dos olhos. Um objeto retangular somente seria identificado se um observador pudesse variar sua posição relativa a este objeto. Em outras palavras, POINCARÉ (1984, A ciência e a Hipótese, p.57) diz que a terceira dimensão nos é revelada de duas maneiras diferentes: pelo esforço de acomodação e pela convergência dos olhos. O espaço Motor corresponde aos movimentos musculares, esses nos informam a direção pela qual estamos nos orientando. A conclusão de Poincaré acarreta numa distinção clara entre o espaço ideal dos geômetras e o espaço representativo. O que ocorre é uma tentativa de levar as percepções do espaço representativo para o espaço geométrico, POINCARÉ (1984, A ciência e a Hipótese, p.59) afirma: Nenhuma de nossas sensações isoladas, teriam podido nos levar à idéia do espaço. Só pudemos chegar a ela pelo estudo das leis segundo as quais essas sensações se sucedem (...) Quer um objeto mude de estado ou de posição, isso se traduz para nos sempre da mesma maneira? Por uma modificação num conjunto de impressões. 3.3 O mundo não-euclidiano Poincaré expõe as representações de espaço como sendo uma aproximação de nossas percepções, dessa forma, ele propõe uma conjectura exótica, de um mundo cujas leis da natureza são diferentes das que regem nosso universo real. Nesse universo imaginário, haveria um centro aquecido, cuja temperatura decairia até chegar ao zero absoluto em seus limites espaciais. Seres que habitassem esse mundo teriam uma geometria diferenciada da euclidiana, pois se baseariam a partir de suas percepções sensoriais. Caso um objeto fosse deslocado da parte central desse mundo em direção às bordas, ele sofreria contrações que dependeriam da temperatura em cada ponto; com isso as descrições de corpos rígidos em mundo hipotético não seriam como as do mundo real,pois um corpo que se deslocasse em tais situações teria um deslocamento não-euclidiano. 14

Nesse mundo cujas leis diferenciam-se das do mundo real, Poincaré propõe um possível comportamento da luz. POINCARÉ (1984, A ciência e a Hipótese, p.64) afirma: Apresentaria ainda, uma outra hipótese, suporei que a luz atravesse meios diversamente refringentes, de tal modo que o índice de refração seja inversamente proporcional a R²-r². É fácil ver que, nessas condições os raios luminosos não mais serão retilíneos, mas circulares. Essas hipóteses fantasiosas segundo Poincaré, descreveram fenômenos que não são cotidianos, mas que são possíveis do ponto de vista geométrico. Poincaré apresentou uma idéia de universo quadridimensional, que em determinadas situações poderia ser perceptível a seres que se baseassem em leis naturais próprias. Um exemplo de geometria não-euclidiana, comentada por Poincaré é a geometria de Riemann (1826-1866), cuja forma é curva. Propunha um novo axioma a priori incompatível com o 3 axioma de Euclides. Por um ponto, só podemos fazer passar uma paralela a uma reta dada. Riemann encontrou uma forma de representar um espaço curvo que em certas circunstâncias; em um ponto podem passar infinitas retas. A conclusão de Poincaré é que POINCARÉ (1984, A ciência e a Hipótese, p.54): nenhuma geometria é mais verdadeira do que a outra; o que ela pode ser é mais cômoda. 3.4 O espaço, o tempo e a força. A crítica de Poincaré às ciências unicamente experimentais teve grande importância no processo da criação da relatividade,ele percebeu que por mais desenvolvidos que foram os experimentos de sua época, existiu ainda sim um grande limite no desenvolvimento da ciência que acarretou em informações incompletas, POINCARÉ (1984, A ciência e a Hipótese, p.81) afirma: Por outro lado, se os princípios da mecânica, só têm a experiência como fonte, não serão eles, unicamente, aproximativas e provisórias? Novas experiências não poderão nos levar, um dia, a modificá-las ou ate mesmo a abandoná-los? Essas são questões que se colocam naturalmente e a dificuldade da solução deriva, antes de mais nada, do fato de que os tratados de Mecânica não definem com clareza o que é experiência, o que é raciocínio matemático, o que é convenção e o que é hipótese. Esse raciocínio de Poincaré o levou a questionar as bases da mecânica newtoniana. As afirmações da visão absoluta de Newton foram originadas por falhas 15

na construção da mecânica. Não existiam experimentos que demonstrassem a idéia de espaço e tempo absoluto. Para POINCARÉ (1984, A ciência e a Hipótese, p.81), estas hipóteses deixaram de lado o mais importante na construção da ciência, a experimentação. Em contraposição as idéias de Newton, Poincaré afirmou: 1 não existe espaço absoluto e só conhecemos movimentos relativos; contudo enunciamos, quase sempre, fatos mecânicos como se houvesse um espaço absoluto como referencia. 2 não existe tempo absoluto; dizer que dois períodos de tempo são iguais é uma afirmação que não tem nela própria, nenhum sentido, e só pode vir a ter sentido por convenção. 3 Não só não temos a intuição direta de dois períodos de tempo, como também não temos, sequer, a da simultaneidade de dois acontecimentos que se dão em lugares diferentes; é o que expliquei num artigo intitulado Mesure du Temps. As convenções na física simplificam diversos problemas, mas muitas vezes deixam conclusões precipitadas. Poincaré comenta o conceito de inércia, mas não acha qualquer experimento possível que o comprovasse verdadeiramente. Um exemplo que Poincaré apresenta refere-se à aparente ausência de forças externas na análise da inércia. Por mais que se busquem experimentos que possam comprovar a lei da inércia, jamais se conheceu um corpo que estivesse ausente de forças, e conseqüentemente descrevesse um movimento retilíneo e uniforme. A lei da inércia proposta por Galileu e em seguida aperfeiçoada por Newton seria nesse contexto um caso particular de uma lei mais generalizada, POINCARÉ (1984, A ciência e a Hipótese, p.82) afirma: O princípio da inércia, que não é uma verdade a priori, seria, então, um fato experimental? Mas, alguma vez, já se fizeram experiências com corpos que não estivessem sob ação de nenhuma força e, se isso foi feito, como é que se soube que esses corpos não estavam submetidos a nenhuma força? Essas observações anteciparam as conclusões da relatividade especial e geral, cujo princípio da relatividade foi expandido para sistemas acelerados. As antigas questões a respeito da mecânica, não foram as únicas observações que Poincaré fez. Ele cita uma série de novas teorias que complementam a eletrodinâmica de Maxwell. Na teoria de Lorentz, Poincare fala sobre as partículas eletrizadas antes da descoberta por Joseph John Thomson (1856-1940) em 1897. As interações entre matéria e Éter também foram apresentadas sem que se chegasse a conclusões convincentes para Poincaré. Mas uma de suas observações mais importantes refere-se ao comportamento de corpos em altas velocidades. POINCARÉ (1984, A ciência e a Hipótese, p.178) sugeriu que um fenômeno físico causaria variação na massa inerte de um corpo, mas que possivelmente não alteraria a verdadeira massa. 16

Quando a velocidade varia, a massa real, a massa mecânica, permanece constante, é, por assim dizer, sua própria definição; mas a inércia eletromagnética, que contribui para formar a massa aparente, cresce com a velocidade, obedecendo a uma lei. Deve, portanto, haver uma correlação entre a velocidade e a relação entre a massa e a carga, quantidades que podem ser calculadas; já o dissemos, pela observação dos desvios dos raios sobe ação de um imã ou de um campo elétrico. 4. EXPERIÊNCIA DE MICHELSON E MORLEY A mecânica ao final do século XIX já a mais de 150 anos explicará as interações da matéria, seja com as três leis de Newton, seja com a gravitação; e uma das suas conclusões mais importantes era que as leis da mecânica são as mesmas em todos os sistemas galileanos, ou seja, inerciais. Em outras palavras qualquer experiência realizada em sistemas galileanos não poderá dizer se um corpo está em movimento ou em repouso inercial. Contudo em sistema não galileanos, esta realidade muda, mesmo a mais simples experiência prova isso. A Terra apesar de sua grande massa e baixa velocidade rotacional é um sistema acelerado, e muitos experimentos foram realizados chegando às mesmas conclusões, a terra gira em torno de um eixo de rotação. Um experimento simples capaz de observar essa rotação é o pendulo de Foucault usado em 1851, por Jean Bernard Leon Foucault (1819-1868) para demonstrar o movimento rotacional da Terra ao longo do dia. Partido do princípio da relatividade de Galileu e Newton pode-se perceber o movimento acelerado da terra em torno do seu próprio eixo usando um compasso giroscópio, ou o desvio para o leste dos corpos em queda livre, ou desvio para a direita do plano de tiro no hemisfério norte ou mesmo observando o sentido dos ciclones que giram em sentidos contrários dependendo do hemisfério em que se encontram. Mas até a segunda metade do século XIX não havia experiências que demonstrassem qual a velocidade da terra em relação ao vento de Éter, que preenchia o espaço interplanetário. Apesar da translação da terra em torno do sol ser com uma velocidade de aproximadamente 30 km/s, em certos momentos pode-se considerar este movimento como retilíneo e uniforme. A Terra movendo-se de forma retilínea em um curto período poderia ser considerada como um sistema galileano, em relação aos eixos fixados no sol e dirigidos para as estrelas distantes. O princípio Galileano da relatividade é considerável a este movimento da terra e por mais rápido que seja esse movimento as experiências mecânicas feitas na superfície da terra foram incapazes de percebê-lo. 17

Assim a mecânica mostrou-se incapaz de discriminar o sistema onde a terra se move no espaço, do sistema de Ptolomeu onde ela está imóvel no universo. A rotação da terra não ultrapassa 1/2 km/s e é facilmente detectada, porém sua translação jamais foi detectada anteriormente por qualquer experimento. Mas usando os conceitos da óptica os físicos Albert Michelson(1852-1931) e Eduard Morley(1838-1923) que acreditavam firmemente que o principio galileano da relatividade que é válido para a mecânica, não o seria para a óptica. Com a crença na infinitude da velocidade da luz aceita até 1881, previa que um raio luminoso lançado na direção e no sentido do movimento da terra teria sua velocidade alterada pelo fator (c-v), Um outro raio luminoso lançado no sentido oposto afastar-se-ia dela com velocidade (c+v). Sendo assim a mecânica prevê uma diferença de 2v entre os dois raios luminosos, conseqüência esta, evidente e necessária das leis da adição das velocidades. Era essa diferença de 2v que os físicos da época acreditavam poder detectar usando experimentos de óptica especialmente precisos e capazes de obter interferências nos feixes luminosos. A óptica no século XIX possuía as experiências mais refinadas que existiam desde então, sua precisão atingia níveis incríveis de bilionésimos, ou seja, as interferências construtivas e destrutivas permitiam detectar desvios de 0,3 metros em 300.000km de percurso. A famosa experiência de Michelson teve o objetivo de por em evidência a translação da terra usando as propriedades da luz. O aparelho usado por Michelson era horizontal, um feixe luminoso de cor pura (monocromática) vindo do sentido da fonte bateria a 45 num vidro semi-refletor, uma parte do feixe refletia-se para um espelho, enquanto a outra parte atravessava o vidro e ia para um segundo espelho. Figura 1: Esquema do interferômetro de Michelson 18

Após a reflexão normal em ambos os espelhos, o primeiro raio atravessaria em parte e chegaria a uma luneta, outro raio luminoso iria ser refletido no segundo espelho e lançado para a mesma luneta. Pela figura 1, é possível observar isto. Pela diferença de caminho L e L + r, é possível medir a velocidade da luz. Assim os raios divididos no vidro semi-refletor, se juntariam novamente e produziriam riscas de interferência, construtivas e destrutivas. Mas o inesperado aconteceu, nenhuma alteração nas riscas foi perceptível. A precisão do experimento de Michelson e Morley poderia detectar interferências com velocidades de ate 1/6 da velocidade de translação da Terra, ou seja, com apenas 5km/s o interferômetro teria funcionado como previam, mas isso não ocorreu. 5. O ANNUS MIRABILIS Em 1905 Albert Einstein (1879-1955) reformulou a mecânica clássica e a nossa concepção do tempo absoluto. Ele descobriu a razão pela qual a natureza se opunha à previsão da adição das velocidades no caso da luz. Para Einstein a questão não teria sentido para a natureza, o conflito nas medidas provinha dos conceitos errôneos sobre o espaço e sobre o tempo. Não seria possível refazer a mecânica sem abandonar as idéias de propagação instantânea, e de tempo e de espaço absoluto. O tempo e o espaço nada significam alem daquilo que percebemos ou daquilo que medimos. Einstein adaptou a noção do tempo conforme a experiência com a propagação da luz e com o eletromagnetismo. Esse tempo relativo deu origem a uma nova mecânica que explica não só o resultado de Michelson, mas um grande número de outros resultados conhecidos por intermédio da nova teoria. 5.1 Os postulados Albert Einsten, em seus trabalhos sobre a eletrodinâmica dos corpos em movimento, aborda dois novos conceitos que até então não haviam sido defendidos com verdadeira coragem. Até essa época as leis da física ainda estavam sendo unificadas, o que era verdadeiro em mecânica, talvez não o fosse em óptica, ou em termodinâmica. 19

Um longo período construtivo se deu até 1905, o que acreditavam estar solucionado em toda a física. Mas os cientistas da época só precisavam explicar dois fenômenos interessantes, a radiação do corpo negro e a velocidade constante da luz. Einstein em uma atitude ousada propôs dois postulados que serviram de base para a sua teoria, partindo dessas hipóteses para explicar diversos fenômenos mecânicos e eletromagnéticos. O primeiro postulado afirma que não existe nenhum experimento capaz de detectar o movimento absoluto, foi o que Michelson e Morley observaram quando tentaram medir a velocidade de translação da Terra em relação ao vento de éter. O segundo postulado afirma que a velocidade da luz independe do movimento da fonte, ou seja, Einstein defendia a idéia de que velocidade da luz teria a mesma medida, fosse medida por qualquer observador, estando em movimento ou em repouso inercial. Com essas afirmações Einstein chega à conclusão de que tudo é relativo e a velocidade da luz é um limite imposto pela natureza, seja para o movimento dos corpos ou para propagação de campos. A mecânica clássica aceitava as idéias dos sólidos perfeitamente rígidos, que conseguiam transmitir instantaneamente uma informação de uma ponta a outra do corpo. Mas na realidade os sólidos por mais rígidos que sejam, transmitem a informação através de sua substancia, por deformação elástica, e com uma velocidade muito inferior que a da luz. Com essa falsa crença de velocidades ilimitadas surgem solidários os conceitos de tempo absoluto, de espaço absoluto, e de sólidos perfeitos que também implicam em massa absoluta. Porém uma limitação das velocidades implicou em tempo relativo, espaço relativo e massa relativa. 5.2 A simultaneidade A física dá o nome de acontecimento ao resultado de uma dupla coincidência no tempo e no espaço. Um exemplo pode ser observado quando duas esferas que tenderiam para um mesmo lugar se chocam no mesmo instante. Este choque possui um valor intrínseco que depende unicamente das medidas do espaço, do tempo e das massas das mesmas. Todos os observadores estarão em acordo quanto à existência de um efeito físico como a quebra ou o recuo dos corpos. Assim a física resume-se á constatação de acontecimentos assim definidos, sendo então de fundamental importância, as medidas de tempo e de comprimentos nos eventos. Quando se mede o tempo usando um relógio ou um pêndulo, é 20

necessário observar um ponteiro com uma divisão definida. Por isso medir um período é observar o fluxo do tempo no começo e no final do fenômeno. No começo do século XX, eram feitas correções dos atrasos ou adiantamentos dos relógios. Uma série de situações mostrava a importância de se ter relógios sincronizados; dentre estas umas que necessitavam de correção eram as viagens de trens. Os horários de partida e de chegada deveriam estar de acordo, para que não ocorressem colisões. O estudo do sincronismo era de fundamental importância para a organização das viagens de trem. Mas em mecânica clássica, a simultaneidade possui um significado absoluto, pois se acredita que as transmissões são instantâneas, o que Einstein discordava. Sendo assim nenhuma medida humana real de tempo e espaço (comprimento) poderia ser rigorosa sem o conhecimento das propriedades da luz, ou seja, das ondas eletromagnéticas que são importantíssimas para todas as medidas da física. Com objetos em baixas velocidades não se percebe estes efeitos sobre o tempo e o comprimento, mas no caso de movimentos rápidos e de medições precisas, a realidade é diferente do ideal absoluto da mecânica clássica. A medida do tempo deve ser baseada na análise da simultaneidade. Para sincronizar relógios em um dado referencial, Einstein partiu do princípio que dois eventos em um referencial são simultâneos se sinais luminosos provenientes dos eventos atingem um observador eqüidistante no mesmo instante, pois sabendo que a velocidade da luz é constante, pode-se estimar o tempo que ela (a luz) leva para chegar até o observador que deve estar a meio caminho das fontes luminosas. Isso implica que há distâncias iguais no mesmo referencial, dois eventos ocorrem ao mesmo tempo. Observa-se desta maneira que acontecimentos simultâneos em um determinado referencial, são acontecimentos que ocorrem no mesmo instante marcados por relógios locais, devidamente sincronizados. Porém quando se escolhe outro referencial inercial, a simultaneidade se torna relativa. Quando se analisa o movimento relativo de um segundo observador, percebese que duas fontes luminosas que emitem feixes luminosos no mesmo instante em um dado referencial serão percebidas de maneira diferente em outro referencial por um observador que se mova junto com este segundo referencial. O que ocorre neste caso é a aproximação do observador em direção a uma das fontes e o afastamento relativo à segunda fonte que se afasta com a mesma velocidade relativa do referencial em repouso inercial. O observador em movimento relativo às fontes irá perceber em tempos diferentes os dois sinais luminosos, ou seja, um ocorre antes que o outro. Com isso se 21

ele tiver dois relógios em mãos que são acionados quando um dado sinal luminoso atinge o mesmo, esse observador em movimento relativo às duas fontes perceberá que um dos relógios em suas mão acionará a marcação do tempo antes que o outro. 5.3 A dilatação do tempo Quando Albert Einstein analisou situações físicas baseadas em seus postulados, ele buscou uma explicação simples e fundamentada, usando o teorema de Pitágoras da geometria. Einstein então propôs o famoso gendanken (experimento mental) onde um observador em um referencial inercial R, marca segundo um relógio local, o tempo que um feixe luminoso leva pra sair da base do mesmo ate um espelho situado a certa altura neste referencial inercial. Partido da hipótese da invariância da velocidade da luz, e do princípio da relatividade galileana, este observador em movimento retilíneo uniforme percebe um movimento vertical do feixe de luz e marca o tempo de trajeto com base no espaço percorrido de ida e volta na direção vertical a uma velocidade constante visto na figura2. Figura 2: Observador no referencial R Mas quando um segundo observador situado no referencial R em repouso inercial, mas com uma velocidade relativa à R analisa o trajeto da luz quando sai da base do referencial R, que vai ate o espelho e volta para a base, percebe que o feixe luminoso não se move somente na vertical, mas também no sentido do movimento do referencial R, ou seja, em duas dimensões como visto na figura 3. 22

Figura 3: Observador no referencial R' Isto implica que para o observador situado no referencial R ele irá calcular o tempo de percurso da luz que se move na vertical e na horizontal por um principio de componentes vetoriais, descrevendo uma espécie de triangulo em seu movimento constante. O observador perceberá que o tempo medido por seu relógio será maior que o tempo medido pelo relógio do primeiro observador em movimento junto com a fonte luminosa no referencial R. O fato da velocidade da luz não poder aumentar ou diminuir seu valor na relatividade especial, infere que para um observador posicionado ao lado de uma fonte luminosa emitindo feixes luminosos na direção vertical gastará menos tempo no seu trajeto ate o espelho do que a luz do ponto de vista do outro observador no referencial R, com movimento relativo à fonte luminosa. O tempo marcado pelo observador R em movimento retilíneo uniforme é chamado de tempo próprio e a diferença entre o tempo próprio para o tempo marcado pelo observador em repouso inercial é dada pelo fator relativístico γ. 1 γ = (1) v² 1 c² 1 t = v² 1 c² t (2) 23

Onde ( t') é o tempo que passa para o observador em repouso inercial e ( t) é o tempo próprio do outro observador que se encontra em movimento. A relação entre os tempos marcados pelos dois observadores é dada pela razão entre as diferenças das velocidades do referencial e da luz, dentro, no fator relativístico γ. 5.4 A contração das distâncias Outra conseqüência dos postulados de Einstein e o efeito da contração das distâncias. Esse fenômeno ocorre quando comparamos duas medidas de comprimento em referenciais inerciais diferentes. Como não existe simultaneidade e cada referencial possui seu próprio tempo, deve-se, então concluir que o espaço e o tempo estão diretamente ligados, e a alteração de um deles resulta na alteração do outro. No caso das distancias, quando se estabelece uma medida de comprimento, marcam-se duas posições no espaço ao mesmo tempo. Para cada referencial tem-se um comprimento relacionado, que depende da velocidade relativa entre o referencial R em repouso inercial e o referencial R em movimento retilíneo uniforme. Lembrando que em uma medida deve-se haver uma coincidência nos marcadores do tempo, porém como cada referencial tem um fluxo do tempo característico isso influencia na contração das distancias onde: v² L = L0 1 (3) c² Sendo L a medida do comprimento no referencial em repouso inercial R, e L 0 o comprimento próprio do referencial R em movimento constante, a diferença nas medidas destes comprimentos se dá pelo fator relativístico γ. Onde quanto mais a velocidade do referencial se aproxima da velocidade da luz, maior será a contração do espaço para o referencial em movimento, visto pelo outro observador. O mesmo é percebido para o referencial R em repouso inercial, como não se pode determinar o movimento absoluto dos corpos, a percepção do observador R em movimento quando analisa a medida do comprimento no referencial R que se distancia ou aproxima-se de R. O Comprimento próprio, medido no próprio referencial sempre será maior que as demais medidas de comprimento em outros referenciais em movimento. 5.5 As transformações de Lorentz 24

Quando se parte da hipótese da invariabilidade da velocidade da luz, a cinemática deve ser descrita de uma nova maneira, para isso os cientistas que estudavam as discrepâncias na medida da velocidade da luz, dentre eles George Francis Firtzgerald (1851-1901) e posteriormente Hendrick Antoon Lorentz (1853-1928) propuseram uma transformação de velocidade que impunha o limite da velocidade da luz, de um referencial em movimento relativo para outro referencial qualquer. Essas transformações de velocidade hoje conhecidas como as transformações de Lorentz, foram úteis no modelo relativístico de Albert Einstein, mesmo que divergentes entre seus conceitos básicos. Enquanto Hendrick Atoon Lorentz acreditava que a alteração das medidas da velocidade da luz no experimento de Michelson e Morley era devido à contração do equipamento pelo movimento relativo ao éter, Albert Einstein simplesmente descartou a idéia do vento de éter e se baseou unicamente no limite imposto pela natureza para a velocidade da luz. Para isso as transformações de Lorentz foram adequadas tanto no caso de baixas velocidades relativas entre os referenciais inerciais que implicam diretamente nas transformações de Galileu quanto para altas velocidades impondo o limite para elas. Incorporou dessa forma tanto a antiga teoria da cinemática como também possibilitou a explicação nas discrepâncias das medidas da velocidade da luz conflitantes com a mecânica clássica e ainda levou a previsão de novos fenômenos físicos baseados numa mecânica relativística. As componentes vetoriais da velocidade de uma partícula em movimento em relação ao referencial R que também se move em relação ao referencial R em repouso inercial, quando observadas deste ponto são descritos de forma que: V x' Vx u uvx 1 c² = (4) Onde V x é a velocidade da partícula em relação ao referencial R, V x é a velocidade da partícula em relação ao referencial R e u é a velocidade relativa entre os referenciais inerciais. O denominador da equação é o fator que limita o sistema a velocidade da luz. V y' Vy = uv 1 x γ c² (5) 25