PROJETO DE CONTROLADOR PID DIGITAL NEBULOSO ROBUSTO VIA ESTRATÉGIA GENÉTICA MULTIOBJETIVA PARA SISTEMAS DINÂMICOS INCERTOS COM TEMPO DE ATRASO Danúbia Soares Pires e Ginalber Luiz de Oliveira Serra Departamento de Eletroeletrônica: Laboratório de Inteligência Computacional Aplicada a Tecnologia Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia São Luís - MA, Brasil Email: danubiapires@ifma.edu.br e ginalber@ifma.edu.br Abstract In this paper, a robust fuzzy digital PID control strategy, via multiobjective genetic algorithm, based on the gain and phase margins specifications, with applications to uncertain dynamic systems with time delay, is proposed. A mathematical formulation based on the gain and phase margins, the fuzzy model TS (Takagi-Sugeno) and PID digital controller structures, and the time delay of the uncertain dinamic system, is deduced. A multiobjective genetic strategy is defined to tune the fuzzy controller parameters, so the gain and phase margins specified to the fuzzy control system are get. Experimental results show the eficiency of the proposed methodology through tracking of the reference and the gain and phase margins keeping closed of the specified ones. Keywords Fuzzy Control, Digital PID Controller, Uncertain Dynamic Systems, Multiobjective Genetic Algorithm, Robust Control Resumo Neste artigo, é proposta uma estratégia de controle PID digital nebuloso robusto, baseado nas especificações das margens de ganho e fase. Uma formulação matemática, baseada nas margens de ganho e fase, para o modelo nebuloso TS (Takagi-Sugeno), as estruturas dos controladores digitais PID e o atraso de tempo do sistema dinâmico incerto é deduzida. Uma estratégia genética multiobjetiva é utilizada para encontrar os parâmetros do controlador nebuloso, de mode que as margens de ganho e fase especificadas para o sistema de controle nebuloso sejam alcançadas. Resultados experimentais mostram a eficiência da metodologia proposta, uma vez que a trajetória de referência é seguida e as margens de ganho e fase permanecem próximas às especificadas. Keywords Controle Fuzzy, Controlador PID Digital, Sistemas Dinâmicos Incertos, Algoritmo Genético Multiobjetivo, Controle Robusto Introdução Um controle é robusto quando o mecanismo de ajuste do controlador considera certas classes de incertezas paramétricas e dinâmicas da planta a ser controlada. Desde que projetistas e engenheiros precisam lidar com plantas cada vez mais complexas, levando em consideração características estruturais e dinâmicas, tais como nãolinearidades, incertezas, variações paramétricas, tempo de atraso, entre outras, muitos métodos de controle robusto tem sido propostos, permitindo que em sua formulação o uso de restrições e requisitos de desempenho (Matausek and Sekara, )(Serra, )(Cheng et al., 9)(Peng, )(Zhong, 6). Em (Okuyama, ), observa-se a estabilização de um sistema de controle robusto no tempo discreto com base no modelodereferência. Em(PahujaandRai,)éapresentada um controle robusto para sistemas com perturbação. Neste contexto, os controladores nebulosos tem sido uma boa alternativa para controle de sistemas dinâmicos complexos, uma vez que a estrutura nebulosa baseada em regras permite trabalhar com incertezas, não-linearidades e tempo de atraso(wang and Lin, ). Em (Linke et al., ) é proposto um controle PID nebuloso a fim de melhorar a estabilidade de um sistema hidráulico de posição servo. Neste artigo, é proposta uma estratégia genética multiobjetiva para projeto de controlador PID digital nebuloso robusto, baseado em modelo, por meio de especificações de margens de ganho e fase, com aplicações em sistemas dinâmicos incertos com tempo de atraso. Estratégia para o projeto do controlador PID digital nebuloso robusto. Fórmulas para sintonia de controle baseado em modelo através de especificações de margens de ganho e fase O sistema de inferência nebuloso TS a ser usado como modelo do sistema dinâmico incerto H(z, ν), apresenta a i [i=,,...,l] -ésima regra dada por: R (i) : SE ỹ(k ) É Fi k ỹ(k ) ENTÃO G i P (z) = Ki z +K i a i z +b i z +c i onde a i, b i, c i, K i e K i são os parâmetros a serem estimados pelo algoritmo de mínimos quadrados. A variável ỹ(k ) [t=,,...,n] pertence ao conjunto nebuloso F i k ỹ(k ) com um valor µi F k ỹ(k ) definido por uma função de pertinência µ ĩ y(k ) : R [,], com µ i F k ỹ(k ) µ i F ỹ(k ), µ i F ỹ(k ),
µ i F ỹ(k ),...,µ i F pỹ(k ) ỹ(k ), onde p ỹ(k ) corresponde ao número de partições do universo de discurso relacionado à variável linguística ỹ(k ). O controlador PID digital nebuloso TS apresenta a j [j=,,...,l] -ésima regra dada por: R (j) : SE ỹ(k ) É Fj k ỹ(k ) ENTÃO G j c(z) = αj z +β j z +γ j z +z onde: α j = K j P + Kj I T β j = Kj I T γ j = Kj D T + Kj D T K j P Kj D T e K P, K I, K D são os ganhos proporcional, integral e derivativo do controlador nebuloso, respectivamente (Jacquot, 995). Logo, o controlador nebuloso TS G c (ỹ(k ),z) é uma soma ponderada de sub-controladores PID lineares locais. No ramo direto do sistema de controle em malha fechada, considerando o modelo nebuloso TS, o tempo de atraso z n e o controlador PID digital nebuloso, tem-se: G c (ỹ(k ),z)g p (ỹ(k ),z) = l l γ i (ỹ(k )) γ j (ỹ(k )) j= ( i= α j z +β j z +γ j z +z ) Ki z +K i a i z +b i z +c iz n () A equação característica em malha fechada do sistema (), considerando o tempo de atraso z n é dada por: GM(ỹ(k ),z) = a i z n+ + ( b i a i) z n+ + + ( c i b i) z n+ c i z n+ + +α j K i z + ( ) α j K i +β j K i z + ( ) β j K i +γ j K i z +γ j K i () Asmargensdeganhoefasedosistemadecontrole nebuloso são dadas por: arg[g c (ỹ(k ),e jωp )G P (ỹ(k ),e jωp )] = π () A m = G c (ỹ(k ),e jωp )G P (ỹ(k ),e jωp ) () G c (ỹ(k ),e jωg )G P (ỹ(k ),e jωg ) = (5) φ m = arg[g c (ỹ(k ),e jωg )G P (ỹ(k ),e jωg )]+π (6) onde a margem de ganho é dada por () e () e a margem de fase é dada por (5) e (6), respectivamente. A frequência de cruzamento de fase é ω p e ω g é conhecida como a frequência de cruzamento de ganho.. Estratégia multiobjetiva genética para sintonia do controlador O AG desenvolvido neste artigo otimiza os parâmetrosk j P, Kj I e Kj D do controladorpid digital nebuloso na j-ésima regra através das especificações de margens de ganho e fase e apresenta a função de custo dada por: Custo = A mc A me + P mc P me (7) onde A mc e A me correspondem às margens de ganho calculada e especificada, respectivamente; P mc e P me correspondem às margens de fase calculada e especificada, respectivamente. O cruzamento entre dois cromossomos usado no algoritmo genético multiobjetivo gera dois novos descendentes através de um simples operador de cruzamento, o qual realiza uma soma poderada entre os genes dos pais para gerar o descendente, como segue: C = [K P,K I,K D ] C = [K P,K I,K D ] (8) d new = β C +( β) C d new = β C +( β) C onde os termos K P,K I,K D e K P,K I,K D representam os genes do cromossomo-mãe (C ) e os genes do cromossomo-pai (C ), respectivamente, d new é a nova geração obtida através dos dois cromossomos e β é um valor aleatório compreendido entre e. O operador de mutação usado neste artigo seleciona aleatoriamente um gene de um cromossomo da população e modifica o valor por outro, dentro da faixa de valores possíveis para os ganhos do controlador nebuloso. O melhor cromossomo da geração anterior permanece na próxima geração, a qual é complementada pelos pais e o resultado da mutação nos descendentes. Os estágios de avaliação, classificação, seleção de pais, cruzamento, mutação e formação da nova população são repetidos em cada iteração do algoritmo (Li et al., 9)(Wang et al., 6)(Haupt and Haupt, )(?).
A plataforma de controle em tempo real e composta de um processo te rmico, o software LabVIEW, o CompactRIO 97, o mo dulo de entrada analo gica NI 99,o mo dulo de saı da analo gica NI 96, o sensor de temperatura LM 5 e o atuador atrave s do CI TCA 785. O sistema te rmico consiste em uma torradeira monofa sica de Volts AC, com temperatura funcional compreendida no intervalo de 5 C a 65 C. O LabVIEW e um software que utiliza a linguagem gra fica para programac a o, no qual o sistema superviso rio foi desenvolvido para ana lises em tempo real do sistema de controle em malha-fechada: a temperatura e os sinais de entrada de tensa o sera o recebidos pelo sensor atrave s de um sistema de aquisic a o de dados, o controlador PID digital nebuloso robusto foi implementado para o controle do sinal a ser enviado ao processo te rmico. A plataforma do sistema de controle em tempo real do processo te rmico e mostrado na Fig.. Tensão AC (RMS) Descric a o da plataforma para controle de temperatura em tempo real 5 5 6 8 8 Temperatura ( oc). Resultados experimentais 5 5 6 Figura : Sinal de entrada e saı da utilizados na etapa de identificac a o Correlação Cruzada entre os dados de Entrada e Saída.8 Correlação Cruzada da Amostra.6.....6 Atraso x Figura : Correlac a o cruzada entre os sinais de entrada e saı da algoritmo gene tico, a fim de encontrar ganhos DC correspondentes aos submodelos. Os valores dos ganhos DC obtidos foram g =.55 e g =.7, para os sub-modelos Gp e Gp, respectivamente. A ana lise comparativa da resposta temporal pode ser observada na Fig.5 e a estrutura otimizada do modelo nebuloso na equac a o (9). Figura : Plataforma do sistema de controle do processo te rmico.9 F F. Modelagem nebulosa TS do processo te rmico Na etapa de identificac a o, foram utilizados os sinais de entrada e saı da, conforme a Fig.. O tempo de atraso foi estimado pela correlac a o cruzada entre os dados de entrada e saı da do sistema, resultando em um tempo de atraso de 6 amostras, ou seja,. segundos, conforme Fig.. O algoritmo FCM foi implementado para agrupamentos, expoente de ponderac a o m=. e tolera ncia ǫ=., obtendo-se os conjuntos nebulosos da Fig.. Sobre os dados de entrada e saı da do sistema dina mico incerto, considerando as func o es de pertine ncia, o algoritmo de mı nimos quadrados foi utilizado a fim de estimar os submodelos do consequente. A estrutura destes submodelos encontrados foram otimizados utilizando Grau de Pertinência.8.7.6.5.... 6 8 6 Temperatura ( oc) Figura : Func o es de Pertine ncia - FCM R : SE T emperatura e F, ENTA O Gp (z) =.55 z.5z +.5 z 6.585z.77 8
7 Melhor indivíduo em cada geração R : SE Temperatura é F, ENTÃO G.z. (9) p(z) =.7 z.59z.7 z 6 Custo 6 5 onde: F (a,b) a=7;b=5. () 5 5 5 Geração,Temperature a ( ) Temperature a,a Temperature a+b b a ( b Temperature b a,temperature b e F = F. Temperatura ( o C) 6 8 ), a+b Temperature b Modelo Nebuloso TS Modelo Nebuloso TS Otimizado Processo Térmico Figura 6: O custo do melhor indivíduo em cada geração no decorrer das gerações, pode ser observado na Fig. 6. Foi realizada uma análise de estabilidade do sistema de controle nebuloso em malha fechada, através do Critério de Jury (Jury and Blanchard, 96). A partir da equação característica (), temos () e (), pelas quais foram estruturadas as Tabelas. e. 6 6 8 Figura 5: Comparação das respostas temporais do processo, modelo nebuloso TS identificado e modelo nebuloso TS otimizado Equação característica de G pg cz n : z.585z 9 +.68z 8 +.77z 7 +.9z.6e z +.86z +6.55 5 () Com a estratégia multiobjetiva genética proposta, especificando as margens de ganho de.5 e de fase de 6 para o sistema de controle nebuloso e considerando o processo térmico, os parâmetros do controlador PID digital nebuloso, bem como as margens de ganho e fase obtidas, podem ser observados na Tabela.. Pode-se comprovar a eficiência da metodologia desenvolvida para o projeto do controlador PID baseado em modelo, uma vez que os valores especificados para as margens de ganho e fase foram alcançados através da estratégia multiobjetiva genética desenvolvida. Tabela : Parâmetros do Controlador PID e as Margens de Ganho e Fase obtidas para os submodelos. Sub-modelo (A mc,p mc) (A mc,p mc) Ganhos do PID (K P,K I,K D) G p (.5, 6 ) (.96, 6.85 ) (,.5,.) G p (.5, 6 ) (.596, 6.688 ) (.78,.76,.) O algoritmo genético multiobjetivo utilizado possui os seguintes parâmetros: gerações, população inicial aleatória de cromossomos, onde cada cromossomo compreende três genes, a taxa de seleção de 5% e a taxa de mutação de %. O desempenho da estratégia genética multiobjetiva, a fim de minimizar a função custo (7), Equação característica de G pg cz n : z.59z 9 +.89z 8 +.7z 7 + +.z.97z +.5z.7 () Nestas tabelas observa-se que os primeiros valores das linhas ímpares são positivos, garantindo a estabilidade do sistema de controle em malha fechada segundo o Critério de Jury. Os parâmetros do controlador PID digital nebuloso robusto obtidos através da estratégia genética multiobjetiva foi comparada a um controlador projetado através do Método Ziegler-Nichols (Jacquot, 995). O desempenho da resposta temporal da metodologia proposta é mostrada na Fig. 7. A temperatura inicial de referência foi de o C.Amudançadereferênciapara5 o Cfoirealizada em 5 segundos. Uma variação no ganho foi aplicada ao processo térmico em segundos. As ações de controle obtidas pelos controladores PID digital nebuloso robusto e Ziegler- Nichols, bem como as margens de ganho e fase instantâneas obtidas pelo controlador PID digital nebuloso robusto, são observadas nas Fig. 8 e Fig. 9, respectivamente.
Tabela : Análise de Estabilidade por Critério de Jury para G pg c 8 6 Ziegler Nichols PID didital nebuloso robusto Linha z z 9 z 8 z z.585.68.86 6.55 5 6.55 5.86.6.585.585..7.7..585 5..9999.9 5.9998.8 9.9997.8 5.9996.7 67.9995.6 8.999.5 99.999.5 7.999. 5.999. 5.999. 7.9989. 9.9988. 5.9987. 7.9986.9 6.9985.8 77.86.685.8 78.8.685.86 79.7.7 8 Voltagem (RMS) 8 6 5 5 Figura 8: Comparação das ações de controle Margem de Ganho Margem de Fase ( ).5 5 5 6 6 6 6 Margem Instantânea Margem Especificada 59 5 5 Figura 9: Margens de ganho e fase instantâneas obtidas pelo controlador PID digital nebuloso robusto busto, baseado nas especificações das margens de ganho e fase para controle de sistemas dinâmicos incertos com tempo de atraso. A estratégia genética multiobjetiva desenvolvida, mostrouse eficiente, uma vez que, as margens de ganho e fase especificadas foram alcançadas e mantidas na análise do controle do processo térmico, bem como a resposta em relação à trajetória de referência mostrou-se satisfatória, comparada a um PID projetado pelo método de Ziegler-Nichols, mesmo na presença de perturbações e tempo de atraso. Temperatura ( o C) 6 8 6 Sinal de Referência Controlador Ziegler Nichols Controlador PID digital nebuloso robusto 5 5 Figura 7: Comparação das respostas temporais do controlador PID digital nebuloso robusto e o controlador de Ziegler-Nichols Agradecimentos Os autores agradecem a FAPEMA pelo suporte financeiro à pesquisa e a PPGEE-UFMA pelo incentivo ao desenvolvimento deste trabalho. Referências Cheng, X., Lei, Z. and Junqiu, Y. (9). Fuzzy PID Controller for Wind Turbines, nd International Conference on Intelligent Networks and Intelligent Systems:7-77. Conclusões Neste artigo, foi proposta uma estratégia para o projeto de controlador PID digital nebuloso ro- Haupt, R. L. and Haupt, S. E. (). Practical Genetic Algorithms., John Wiley Sons, New Jersey.
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