SISTEMAS DIGITAIS APONTAMENTOS DAS AUAS TEÓRICAS Guilherme Arroz Carlos Sêrro Versão. 3 de Agosto de 2005 Instituto Superior Técnico Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores TagusPark Porto Salvo
istorial 3 de Agosto de 2005 v. Versão corrente. 22 de Fevereiro de 2005 v.0 Foi adicionado o Capítulo 9, e foram feitas correcções no texto da versão 0.2 6 de Dezembro de 2004 v0.2 Foram adicionados os Capítulos 7 e 8, e feitas correcções no texto da versão 0. 26 de Outubro de 2004 v0. Foram adicionados os Capítulos 5 e 6, e feitas correcções no texto da versão 0.0 4 de Setembro de 2004 v0.0 Versão original Referências Endereço de e-mail: cas @ digitais.ist.utl.pt Página da cadeira de Sistemas Digitais: http://sd.tagus.ist.utl.pt Versão, revisão, de 3 de Agosto de 2005
Prefácio Este texto foi desenvolvido a partir dos resumos das aulas teóricas da cadeira de Sistemas Digitais das licenciaturas em Engenharia Informática e de Computadores (EIC), em Engenharia Electrónica (EE), e em Redes de Comunicação e de Informação (ERCI), leccionados no ano lectivo de 2003/2004 no campus do TagusPark do Instituto Superior Técnico. Como tal, o presente texto representa uma tentativa de incluir num único local os apontamentos teóricos essenciais à compreensão da matéria de Sistemas Digitais, tal como ela foi ensinada nesse ano lectivo. Por isso, não deve ser entendido como um texto completo, mas sim como uma colecção de resumos teóricos que não dispensam o estudo mais aprofundado da matéria por um dos textos referenciados na bibliografia indicada no fim de cada um dos capítulos. No essencial, o texto segue a matriz das aulas teóricas, tais como elas foram desenvolvidas por um de nós (Guilherme Arroz) e postas à disposição dos alunos nesse ano lectivo. Aqui e ali o texto foi revisto e aumentado, com o objectivo de o tornar mais claro, por vezes mais completo. Organização do texto O presente texto encontra-se organizado em 3 partes: a primeira trata dos fundamentos teóricos subjacentes a todos os circuitos e sistemas digitais, e cobre os Capítulos a 5; a segunda trata dos circuitos combinatórios, e vai do Capítulo 6 ao Capítulo ; e a terceira parte lida com os circuitos sequenciais, nos Capítulos 2 a 9. Em simultâneo desenvolveram-se ainda dois outros textos, pelo que presentemente estão disponíveis: o presente documento, com os resumos das aulas teóricas, que designamos por Sistemas Digitais: Apontamentos das Aulas Teóricas ou, mais sucintamente, por SD:AAT; um manual com a resolução de alguns exercícios, os mais importantes, com o nome Sistemas Digitais: Exercícios Resolvidos, que designamos abreviadamente por SD:ER; e um Glossário, designado simbolicamente por SD:G. Em futuras versões prevê-se a inclusão, em SD:AAT, de alguns apêndices com matéria que complementa a que é dada nas aulas teóricas, e que a completa. iii
iv Salientam-se, em particular, um apêndice com uma descrição sucinta da notação de dependência usada na Norma IEC 6067-2, e um outro com as regras essenciais que estão na base de um correcto desenho dos diagramas de blocos, dos logigramas e dos esquemas eléctricos. Finalmente prevê-se a inclusão futura de um apêndice que descreve os métodos mais simples de análise que permitem o diagnóstico de falhas nos circuitos digitais. Notas à margem e índice remissivo Espalhados pelo texto podemos encontrar três tipos de notas à margem: chamadas de atenção para partes do texto particularmente importantes, geralmente escritas em itálico; são referenciadas pelo símbolo especial que se mostra nesta margem, à esquerda; Este é um comentário obviamente pouco interessante. Os conceitos em negrito estão no Glossário comentários em itálico destinados a complementar a matéria; serão incluídos ao longo das sucessivas versões do texto, à medida que a reacção dos alunos a determinados pontos mais obscuros ou difíceis justifique as suas inclusões; e conceitos chave, em negrito, que constituem as entradas do Glossário (SD:G). Nesse sentido, o Glossário é m coadjuvante importante do texto, na medida em que sistematiza os principais conceitos num único documento. Os conceitos são referenciados por entradas à margem, em cor, o que facilita a sua procura após consulta ao Glossário ou ao Índice Remissivo. No Índice Remissivo encontram-se três tipos de referências: (i) as normais, em tipo direito, para indicar as páginas do texto onde se encontram os conceitos que não precisam de ser salientados de forma especial; (ii) as referências em itálico, que identificam as páginas do texto onde existem conceitos chave, em negrito e acentuados à margem; e (iii) as entradas do Glossário ou de outros apêndices, em negrito. Agradecimentos Os autores estão agradecidos aos alunos Paulo Gomes, João Nunes e João oureiro, que apontaram erros no texto de versões anteriores e que sugeriram, em alguns casos, alterações ao mesmo, com o propósito de o tornar mais claro. Oeiras, 3 de Agosto de 2005 Guilherme Arroz Carlos Sêrro
Índice I FUNDAMENTOS SISTEMAS DE NUMERAÇÃO 3. Sistemas de numeraçãoposicionais... 3.. Representaçãonabase2... 5..2 Representaçãonabase6... 7.2 Conversão entre Bases........................ 7.2. Conversão entre a base 0 e as bases 2 e 6........ 7.2.2 Conversão da base 2 para a base 6............ 9.2.3 Conversão da base 6 para a base 2............ 9.2.4 Truncagens e arredondamentos............... 0.3 Aritmética Binária.......................... 2.3. Adições na base 2 e noutras bases............. 2.3.2 Subtracções na base 2 e noutras bases........... 5.3.3 Multiplicação na base 2 e noutras bases.......... 6.4 NúmeroscomSinal... 9.4. Notação de sinal e módulo.................. 9.4.2 Notação de complemento para 2.............. 9.5 Referências Bibliográficas...................... 25.6 Exercícios... 25 2 CÓDIGOS 29 2. Conceito de Código.......................... 29 2.2 Códigos Numéricos... 29 2.3 Código Binário Natural (CBN)................... 3 2.4 Código Binário Reflectido (CBR).................. 3 2.4. Construção do CBR a partir do CBN........... 33 v
vi ÍNDICE 2.5 CódigoBCD... 33 2.5. Representação de números em BCD............ 33 2.5.2 AdiçãoemBCD... 35 2.6 Os Códigos m em n......................... 36 2.7 Códigos Alfanuméricos... 37 2.7. OcódigoASCII... 37 2.7.2 O código ISO-8859-..................... 38 2.8 Referências Bibliográficas...................... 38 2.9 Exercícios... 39 3 ÁGEBRA DE BOOE BINÁRIA 4 3. Variáveis e FunçõesBooleanas... 4 3.2 Funções com Uma Variável..................... 42 3.3 Funções com Duas Variáveis..................... 44 3.4 Funções com Mais do que Duas Variáveis............. 47 3.5 Axiomas e teoremas......................... 48 3.5. Axiomas... 48 3.5.2 Teoremas... 48 3.6 Referências Bibliográficas...................... 50 3.7 Exercícios... 50 4 REPRESENTAÇÃO DAS FUNÇÕES 53 4. Expressões booleanas......................... 53 4.2 Tabelasdeverdade... 54 4.3 O Conjunto {AND, OR, NOT}... 58 4.4 Soma de mintermos......................... 58 4.5 Produto de maxtermos........................ 60 4.6 Representação por ogigrama.................... 62 4.7 Importância das Funções NAND e NOR.............. 64 4.8 Referências Bibliográficas...................... 65 4.9 Exercícios... 65
ÍNDICE vii 5 MÉTODO DE KARNAUG 69 5. Simplificação algébrica... 69 5.2 Minimização... 70 5.3 Adjacências... 70 5.4 Quadros de Karnaugh com 4 Variáveis............... 74 5.5 Implicantes e Implicantes Primos.................. 76 5.6 Minimização com Indiferenças.................... 79 5.7 Quadros de 5 Variáveis........................ 82 5.8 Minimização Usando os Maxtermos................. 84 5.9 O Algoritmo de Karnaugh...................... 87 5.0 Referências Bibliográficas...................... 87 5. Exercícios... 88 II CIRCUITOS COMBINATÓRIOS 93 6 EEMENTOS TECNOÓGICOS 95 6. Portasógicas... 95 6.2 SinaisBinários... 96 6.3 Tipos de Circuitos Integrados Digitais............... 97 6.4 A FamíliaTT... 99 6.4. Níveis eléctricos dos circuitos TT............. 00 6.4.2 Saídas totem-pole e tri-state................. 0 6.5 AFamiliaCMOS...03 6.5. Níveis eléctricos dos circuitos CMOS............ 03 6.6 Encapsulamento dos Integrados................... 04 6.7 Fan-out...04 6.8 Dissipação de Potência........................ 05 6.9 Tempos de PropagaçãodasPortas...05 6.0 Referências Bibliográficas...................... 06 7 ÓGICA DE POARIDADE 07 7. ógicas de Polaridade, Positiva e Negativa............. 07 7.. Símbolos dos circuitos digitais................ 07 7..2 Razão da lógica de polaridade................ 09 7..3 Tabelas de verdade físicas e lógicas............. 0
viii ÍNDICE 7..4 Portas lógicas em lógica de polaridade........... 3 7..5 Tabelas de verdade genéricas e físicas........... 4 7..6 ogigramas e esquemas eléctricos em lógica de polaridade 20 7.2 Conteúdo Semântico......................... 24 7.2. Buffers, inversores e conversores de polaridade...... 27 7.3 ogigramas e Expressões Booleanas................. 29 7.3. Geração de logigramas.................... 29 7.3.2 Expressões booleanas a partir de logigramas........ 3 7.4 Exemplo de Utilização...36 7.5 Referências Bibliográficas...................... 38 7.6 Exercícios...38 8 ANÁISE E SÍNTESE COMBINATÓRIA 45 8. Enquadramento...45 8.2 Análise de Circuitos Combinatórios................. 46 8.3 Projecto de Circuitos Combinatórios................ 48 8.4 Síntese de Circuitos Combinatórios................. 5 8.5 Referências Bibliográficas...................... 54 8.6 Exercícios...55 9 CODIFICADORES E DESCODIFICADORES 57 9. Descodificadores........................... 57 9.. Expansão de descodificadores................ 60 9..2 Utilização de descodificadores na implementação de funções lógicas...6 9.2 Codificadores...63 9.3 Referências Bibliográficas...................... 64 9.4 Exercícios...64 0 MUTIPEXERS E DEMUTIPEXERS 69 0.Multiplexers...69 0.. Simbolos dos multiplexers.................. 72 0..2 Expansão de multiplexers.................. 74 0.2 Demultiplexers............................ 75 0.3 Aplicações dos Multiplexers e dos Demultiplexers......... 79 0.4 Referências Bibliográficas...................... 82 0.5 Exercícios...82
ÍNDICE ix CIRCUITOS ARITMÉTICOS 87. Somadores Binários.......................... 87.2 Subtractores Binários........................ 90.3 Somadores e Subtractores em Complemento para 2........ 92.4SomadoresBCD...93.5 Referências Bibliográficas...................... 95.6 Exercícios...96 III CIRCUITOS SEQUENCIAIS 97 2 ATCES 99 2.atchesSimples...99 2.2 atches Controlados......................... 205 2.3 Referências Bibliográficas...................... 20 2.4 Exercícios...20 3 FIP-FOPS 27 3. Flip-flops Master-slave........................ 27 3.2 Flip-flops Edge-triggered....................... 224 3.3 Temporizações nos Flip-flops.................... 227 3.4 Referências Bibliográficas...................... 228 3.5 Exercícios...228 4 CONTADORES 233 4. Contadores Assíncronos....................... 233 4..Flip-flopsT...235 4..2 Diagrama temporal...................... 237 4..3 Contadores assíncronos com módulos arbitrários..... 237 4..4 Símbolos dos contadores assíncronos............ 239 4.2 Contadores Síncronos........................ 240 4.2. Concepção heurística de um contador síncrono...... 240 4.2.2 Contadores síncronos com entrada de Enable....... 243 4.2.3 Concepção de contadores síncronos de módulo qualquer. 243 4.2.4 Contadores síncronos com vários modos de funcionamento 246 4.2.5 Contadores síncronos com carregamento em paralelo... 247
x ÍNDICE 4.3 Símbolos dos Contadores....................... 249 4.4 Estados Instáveis........................... 25 4.5 Interligação de Contadores...................... 252 4.6 Carregamento em Paralelo...................... 253 4.7 Referências Bibliográficas...................... 254 4.8 Exercícios...254 5 REGISTOS 263 5. Conceito de Registo......................... 263 5.2 Registos Simples........................... 263 5.3 Registos com Enable......................... 265 5.4 Registos de Deslocamento...................... 266 5.5 Registos Multimodo......................... 268 5.6 Transferências entre Registos.................... 270 5.6. Interligação de registos.................... 270 5.6.2 Interligação entre registos utilizando multiplexers..... 270 5.6.3 Buffers tri-state........................ 272 5.6.4 Interligação entre registos utilizando barramentos tri-state 276 5.7 Referências Bibliográficas...................... 276 5.8 Exercícios...276 6 CIRCUITOS SEQUENCIAIS SÍNCRONOS 28 6. Circuitos Síncronos e Assíncronos.................. 28 6.2 Modelo de um Circuito Sequencial Síncrono............ 283 6.3 Análise dos Circuitos Sequenciais Síncronos............ 283 6.4 Modelos de Mealy e de Moore.................... 287 6.5 Síntese de Circuitos Sequenciais Síncronos............. 288 6.6 Exemplo de Concepção de Diagramas de Estados......... 289 6.6. Concepção de diagramas de estados: modelo de Moore.. 290 6.6.2 Concepção de diagramas de estados: modelo de Mealy.. 293 6.7 SínteseClássica...295 6.7. Síntese Clássica com Flip-flops D.............. 296 6.7.2 Síntese Clássica com Flip-flops JK............. 300 6.8 Síntese com um Flip-flop por Estado................ 30 6.9Fluxogramas...305 6.0Referências Bibliográficas...................... 34 6.Exercícios...34
ÍNDICE xi 7 MEMÓRIAS 329 7. Read Only Memories (ROMs).................. 330 7..TiposdeROMs...330 7..2 UtilizaçãodasROMs...33 7..3 Estrutura de uma ROM................... 33 7..4 Funcionamento de uma MROM............... 332 7..5 Descodificação coincidente.................. 334 7..6 Símbolos das ROMs..................... 334 7..7 Temporizações na leitura de uma ROM.......... 336 7..8 Expansão de ROMs..................... 339 7.2 Random Access Memories (RAMs)................ 34 7.2.TiposdeRAMs...34 7.2.2 Símbolos das RAMs..................... 342 7.2.3 Estrutura de uma RAM estática (SRAM)......... 344 7.2.4 Ciclos de leitura e de escrita numa SRAM......... 348 7.2.5 Expansão de RAMs..................... 350 8 ÓGICA PROGRAMÁVE 35 8. Read Only Memories (ROMs).................. 35 8.2 Programmable ogic Arrays (PAs)............... 353 8.3 Programmable Array ogic (PAs)............... 358 9 MÁQUINAS DE ESTADOS 363 9. Circuito Controlado e Circuito de Controlo............ 363 9.2 Máquinas de Estados e Fluxogramas................ 366 9.3 ImplementaçãocomROMs...367 9.3. Estrutura básica de controlo por ROM........... 369 9.3.2 Controlo por ROM com endereçamento explícito..... 373 9.3.3 Controlo por ROM com endereçamento implícito..... 382 9.4 Exercícios...388
xii ÍNDICE
Parte I FUNDAMENTOS
Capítulo Sistemas de Numeração. Sistemas de numeração posicionais Estamos tão habituados a contar e a executar as operações básicas (adição, subtracção, multiplicação e divisão) usando um sistema decimal, com base b = Sistema decimal = 0, que nem paramos para pensar por um momento nos algoritmos que estão Base 0 na base dessas operações. A utilização dessa base era inevitável, já que a humanidade se habituou, desde Sistema sexagesimal muito cedo, a contar pelos dedos das mãos. Ocasionalmente usa outros sistemas de numeração. Por exemplo, usa o sistema sexagesimal, com base b = 60, Base 60 para contar as unidades horárias de minutos e segundos, ou o sistema Sistema duodecimal duodecimal com base b = 2, ou o sistema de base b = 24, para identificar as Base 2 horas do dia. Todos estes sistemas são posicionais ou ponderados, na medida em que cada Sistemas posicionais ou número é formado por uma sequência de dígitos ou algarismos, em que cada ponderados dígito possui um peso característico da posição que ocupa na sequência. Dígito ou algarismo Nada nos impede, contudo, de usar sistemas com bases não naturais, por exemplo Peso com bases inteiras negativas, bases racionais e irracionais, reais, ou até bases complexas. E usamos ainda sistemas não posicionais, como é o caso do sistema Sistemas não de numeração romano, em que não há pesos associados aos dígitos. posicionais Neste curso vamos estar interessados apenas nos sistemas posicionais (que designamos, mais simplesmente, por sistemas de numeração) de base b e, em Sistema de numeração particular, nos sistemas de numeração binário (com b = 2) e hexadecimal (com de base b b = 6). Ocasionalmente, refererir-nos-emos a outros sistemas de numeração, com uma base natural arbitrária. Por outro lado, começaremos por estudar os números sem sinal, deixando para a Secção.4 o estudo dos números com sinal. Para que cada quantidade numérica seja expressa por uma e só uma sequência de dígitos, um sistema de numeração de base b arbitrária possui b dígitos, sendo que cada um deles deve exprimir, por si só, um número diferente, menor do que b. Assim, um dígito exprimirá a ausência de qualquer quantidade, usando-se, nesse caso, o símbolo 0 para o representar. Outro dígito expressará a quantidade 3 Números sem sinal
4 CAPÍTUO. SISTEMAS DE NUMERAÇÃO unitária, e o símbolo representará esse dígito. Os restantes dígitos exprimirão quantidades de duas, três, quatro,...,(b ) unidades. Um número sem sinal escrito num sistema de numeração de base b, que designaremos por N (b), vem representado por uma sequência infinita de dígitos, N (b) <> d 2 d d 0,d d 2, em que o símbolo <> é utilizado indistintamente para significar que N (b) é representado pela sequência, ou que a sequência representa N (b). Nesta sequência, cada dígito d i é ponderado por um peso b i associado à sua posição. Se agora efectuarmos a soma polinomial N (0) = + d i b i = + d 2 b 2 + d b + d 0 b 0 + d b + Equivalente decimal na base 0, obtemos o equivalente decimal N (0) de N (b). A igualdade anterior sugere que um número sem sinal deverá ser representado por uma sequência infinita de dígitos. Tal sequência é, naturalmente, impossível de escrever ou de utilizar. Nessas condições, torna-se finita a sequência procedendo às seguintes operações: (i) truncamento dos dígitos não significativos à esquerda da representação, se existirem; (ii) truncamento dos dígitos à direita da representação ou, quando tal não for possível, arredondamento do dígito de menor peso. Obtemos, nessas condições, uma sequência finita, N (b) <> d q d q 2...d d 0,d...d p, com precisão eventualmente reduzida em relação à de N (b), sequência essa com q dígitos para a esquerda e p dígitos para a direita da vírgula (eventualmente, p pode ser nulo). O equivalente decimal de N (b) vem, então, dado pela soma q N (0) i= p d i b i = d q b q + + d 0 b 0 + d b + + d p b p. Um exemplo ajuda a clarificar estas questões. equivalente decimal o número O número 460, 3 (7) tem por 4 7 2 +6 7 + 7 +3 7 2 = =4 49 + 6 7+ 7 +3 49 = 96 + 42 + 0, 42857 +0, 06224 = 238, 20408. Notemos que este resultado possui uma parte fraccionária infinita. Se a quisermos tornar finita o que podemos ou não querer fazer, consoante o problema que tivermos em mãos precisamos de a truncar ou de a arredondar. Escrevemos, então, por exemplo, que 460, 3 (7) 238, 20408 (0)
.. SISTEMAS DE NUMERAÇÃO POSICIONAIS 5 se quisermos obter uma precisão de 5 casas decimais fraccionárias (neste caso truncámos a parte fraccionária), ou 460, 3 (7) 238, 204 (0) se apenas precisarmos de 4 casas decimais (neste caso arredondámo-la). Mais à frente estudaremos a questão da precisão a dar a um número fraccionário, numa base arbitrária, que é como quem diz, a questão da truncagem ou do arredondamento correcto da parte fraccionária. Uma questão final sobre a designação a dar a um número escrito numa base arbitrária. Estamos habituados a dizer que o número trinta e sete vírgula cinco se representa por 37, 5. Mas, naturalmente, tal só é possível num sistema de base 0, em que trinta tem o significado de 3 0. Ou seja, a frase trinta e sete vírgula cinco representa apenas o número 37, 5 (0) e não possui qualquer espécie de significado em qualquer outro sistema de numeração. E se quisermos identificar verbalmente o número 37, 5 (8)? Ou o número 37, 5 (9)? Ou ainda o número 37, 5 (b), com b? Naturalmente, já não podemos verbalizar esses números da mesma forma. A maneira correcta de o fazer consiste em escrever que o número 37, 5 (b) se designa por três sete vírgula cinco na base b. E isto porque o três na base b =0é ainda o três numa base em que b 0eb 4, outro tanto acontecendo com os outros dois dígitos. Pela mesma ordem de razões, dizemos que um número decimal tem dízima ou parte decimal, mas que um número numa base arbitrária b 0 tem parte fraccionária. O maior dos dígitos no número 37, 5 (b) é o 7. ogo, b tem que ser, pelo menos, igual a 8... Representação na base 2 No sistema binário ou sistema de base b=2 usam-se apenas os dígitos 0 e, que também se designam por bits. Assim sendo, um número binário legítimo é, por exemplo, o número 0, (2), que tem por equivalente decimal o número que resulta da soma Sistema binário Base 2 Bit 2 3 + 2 2 +0 2 + 2 0 + 2 + 2 2 = = 8+ 4+ + 2 + 4 =8+4++0, 5+0, 25 = 3, 75 (0). Como podemos constatar, a dízima é, neste caso, finita. Escrevemos, então, 0, (2) =3, 75 (0) se quisermos duas casas na parte decimal, ou 0, (2) 3, 8 (0) se apenas quisermos uma casa decimal, ou ainda 0, (2) 4 (0)
6 CAPÍTUO. SISTEMAS DE NUMERAÇÃO se não quisermos nenhuma. Para o sistema de numeração binário é útil o conhecimento das potências de 2 mais importantes, porque nos ajuda a manejar com mais facilidade os pesos b i necessários às conversões entre bases. Por exemplo, ajuda saber que o mais significativo (com maior peso, mais à esquerda) no número 0000 (2) tem peso 2 8 = 256. Na Tabela. representam-se algumas potências 2 n, para valores inteiros de n entre 0 e +0. Tabela.: Potências 2 n, para n inteiro entre 0 e +0 2 n n 2 n 0, 0 2 0, 5 4 2 0, 25 8 3 0, 25 6 4 0, 0625 32 5 0, 0325 64 6 0, 05625 28 7 0, 007825 256 8 0, 00390625 52 9 0, 0095325 k = 024 0 0, 0009765625 Em particular, chama-se a atenção para a designação k dada à potência 2 0 = = 024 (0), que é a potência de 2 que mais se aproxima de 000 (0) (por essa razão, o factor k toma a designação habitual de quilo no sistema binário). Para 0 <n<20 usam-se exclusivamente estas designações. Por exemplo, 2 6 =2 6 2 0 =64 024 (0) = 65 536 (0), valor este que habitualmente se designa por 64 k. Para n = 20 usa-se a potência 2 20 =2 0 2 0 = 024 024 = 048 576. Também neste caso 2 20 =M=k k é a potência de 2 que mais se aproxima de 0 6 (0), pelo que o factor M toma a designação habitual de mega. Finalmente, para n = 30 usa-se a potência 2 30 =M k=g. Sendo G a potência de 2 que mais se aproxima de 0 9 (0), o factor G toma a designação habitual de giga. Assim, temos, por exemplo, 2 23 =2 3 2 20 =8M, e 2 39 =2 9 2 30 = 52 G.
.2. CONVERSÃO ENTRE BASES 7..2 Representação na base 6 No sistema hexadecimal, com base b=6, usamos 6 dígitos. É claro, teremos que encontrar 6 representações (símbolos) diferentes para cada um deles. No sistema decimal usamos os dígitos 0 a 9, que podemos continuar a utilizar no sistema hexadecimal. Mas agora precisamos de inventar dígitos. A forma habitual de o fazer consiste em recorrer às primeiras 6 letras do alfabeto para representar os dígitos hexadecimais que, no sistema decimal, correspondem aos números (sequências de dois dígitos) 0 a 5. Então, no sistema hexadecimal usamos, para além dos símbolos 0 a 9, também as letras a a f, ou, o que é o mesmo, A a F. E como estabelecer os equivalentes decimais destas letras? É simples: fazemos Sistema hexadecimal Base 6 A (6) =a (6) =0 (0), B (6) =b (6) = (0),... F (6) =f (6) =5 (0). Naturalmente os dígitos decimais mantêm-se no sistema hexadecimal: 0 (6) = =0 (0), (6) = (0), etc. Por exemplo, um número hexadecimal legítimo é F30,DA (6), que terá por equivalente decimal o número que resulta da soma 5 6 2 +3 6 +0 6 0 +3 6 +0 6 2 = =5 256 + 3 6 + 3 6 +0 256 = 3840 + 48 + 0, 825 + 0, 0390625 = 3888, 855625 (0). Mais uma vez, estamos na presença de um número com uma dízima finita. Escrevemos, então, por exemplo F30, DA (6) 3888, 9 (0) se apenas quisermos uma precisão de uma casa decimal (neste caso arredondámos a dízima)..2 Conversão entre Bases.2. Conversão entre a base 0 e as bases 2 e 6 Uma vez que já sabemos obter o equivalente decimal de um número escrito no sistema binário ou no sistema hexadecimal (no fundo, já sabemos converter da base 2 ou 6 para a base 0), precisamos agora de aprender a converter da base 0 para a base 2 ou para a base 6, e ainda entre as bases 2 e 6. No caso geral, o problema da conversão entre sistemas de numeração consiste no seguinte: dado um número N representado num sistema de base b, ou
8 CAPÍTUO. SISTEMAS DE NUMERAÇÃO Método das divisões sucessivas seja, dado N (b), pretende-se representar esse número num sistema de base b 2, obtendo-se N (b2). No caso geral, quando b 0eb 2 0, a mudança pode efectuar-se directamente, utilizando operações aritméticas na base b ou na base b 2, existindo para tanto algoritmos apropriados para os dois casos. Contudo, a mudança vem geralmente facilitada se for efectuada através do sistema de numeração de base 0, utilizando-se exclusivamente operações aritméticas nessa base. Assim, por exemplo, para converter um número, dado no sistema de base b = 3, para o seu equivalente no sistema com base b 2 =7, converte-se primeiro o número para o seu equivalente na base 0 e, em seguida, opera-se a conversão para a base b 2 =7. Este processo não introduz erros no tocante à conversão da parte inteira. Contudo, a conversão da parte fraccionária nem sempre dá um resultado finito e, nesses casos, há que arredondá-lo ou truncá-lo. Então, a utilização da base 0 como passo intermédio pode, se não pusermos os cuidados devidos, provocar uma acumulação de erros que devemos evitar. Quando b =0eb 2 0, a conversão pode ser feita com as operações aritméticas na base b 2, o que torna esse método por vezes incómodo. Por isso, usa-se frequentemente um método diferente que utiliza a aritmética da base b, isto é, a aritmética decimal. Nesse método opera-se em duas fases, uma que trata a parte inteira, e outra que trata a parte decimal do número. A conversão da parte inteira é feita pelo método das divisões sucessivas, que consiste em reter os restos das sucessivas divisões por b 2 do número decimal dado e dos quocientes entretanto obtidos, até obter um quociente nulo. Como exemplo, admitamos que queríamos converter 36 (0) para a base 2. Fazemos as seguintes divisões: 36 2 0 68 2 0 34 2 d 0 0 7 2 d 8 2 d 2 0 4 2 d 3 0 2 2 d 4 0 2 d 5 0 d 6 d 7 Obtemos, assim, 36 (0) <> 000000 (2). Método das multiplicações sucessivas Para a conversão da parte decimal utiliza-se o método das multiplicações sucessivas, que consiste em reter as partes inteiras das multiplicações por b 2 da parte decimal dada e das sucessivas partes decimais entretanto obtidas, até que seja atingida a precisão pretendida para a parte fraccionária do número convertido (mais à frente estudaremos a questão da precisão mais em pormenor).
.2. CONVERSÃO ENTRE BASES 9 Por exemplo, para converter 0, 375 (0) para a base 2 fazemos 0, 375 2=0, 750 d =0 0, 750 2=, 500 d 2 = 0, 500 2=, 000 d 3 =. Ou seja, 0, 375 (0) <> 0, 0 (2) (neste caso particular obteve-se uma parte fraccionária finita). A conversão de um número na base b = 0 para a base b 2 = 6 pode ser feita usando os mesmos algoritmos. Basta, para isso, obter os restos das divisões por 6 e as partes inteiras das multiplicações por 6. Contudo, existe um processo mais expedito que consiste em converter o número dado para a base 2, e em seguida convertê-lo para a base 6 utilizando o método que iremos estudar já a seguir..2.2 Conversão da base 2 para a base 6 Este processo de conversão vem simplificado (não necessitamos de passar pela base 0) porque a base b 2 = 6 é uma potência da base b =2. Para percebermos o que está em jogo, vamos estabelecer um paralelo entre cada dígito hexadecimal e o seu equivalente binário. Vamos então escrever, na Tabela.2, essas equivalências (já agora, incluímos também os equivalentes decimais). Como podemos constatar, cada dígito hexadecimal é formado sempre por sequências de 4 dígitos binários. Então, no processo de conversão para a base 6 basta-nos formar grupos de 4 bits a partir da vírgula do número binário, para a esquerda e para a direita, e escrever um dígito hexadecimal por cada grupo. Nos casos em que, ao fazermos os agrupamentos, restam grupos com menos do que 4 bits (nas posições mais significativas e menos significativas), preenchem-se esses agrupamentos com zeros não significativos até ficarem com 4 bits. Por exemplo, para converter 0, 0 (2) para a base 6 fazemos os agrupamentos 000 0, 00 e as correspondências 000 0, 00 E, A (6) de onde resulta que 0, 0 (2) =E, A (6)..2.3 Conversão da base 6 para a base 2 Este processo de conversão é o oposto do anterior: o número na base 6 vê cada um dos seus dígitos decomposto em 4 bits. Por exemplo, se quisermos converter para binário o número 4A9, E (6) fazemos
0 CAPÍTUO. SISTEMAS DE NUMERAÇÃO Tabela.2: Equivalências entre os dígitos hexadecimais e as sequência de dígitos (números) binários e decimais Dígito Número Número hexadecimal binário decimal 0 0000 0 000 2 000 2 3 00 3 4 000 4 5 00 5 6 00 6 7 0 7 8 000 8 9 00 9 A 00 0 B 0 C 00 2 D 0 3 E 0 4 F 5 4 A 9, E (6) 000 00 00, 0 de onde resulta que 4A9, E (6) = 000000, (notar que se eliminaram os zeros não significativos nas posições mais e menos signiticativas). É claro que este método é válido para qualquer conversão em que b e b 2 se relacionam por potências de 2. Por exemplo, para converter um número da base 4 para a base 2 decompomos cada dígito do número na base 4 em dois dígitos binários (porque 4 = 2 2 ). Identicamente, para converter um número da base 3 para a base 9 agrupamos cada conjunto de 2 dígitos do número na base 3 para formar um dígito na base 9 (porque 9 = 3 2 )..2.4 Truncagens e arredondamentos Vamos definir em seguida os critérios de arredondamento da parte fraccionária de um número, quando há lugar a tal. Quando não se justificar fazer um arredondamento, truncamos a parte fraccionária. Em primeiro lugar, nem sempre se torna necessário arredondar a parte fraccionária de um número. Por exemplo, se o número a representar for abstracto, sem conteúdo físico, pode não fazer sentido proceder ao seu arredondamento. Assim, uma representação para o número π com a parte fraccionária reduzida a p dígitos só faz sentido porque não queremos com ela encher várias folhas