FÍSICA Professor Ricardo Fagundes MÓDULO EXTRA TÓPICOS DE FÍSICA MODERNA II
RELATIVIDADE ESPECIAL Vamos começar com um exemplo: O píon (π + ou π ) é uma partícula que pode ser criada em um acelerador de partículas de alta energia. É uma partícula muito instável, com vida média de 26 ns. Em um experimento, píons foram criados a uma velocidade de 0,913c. Nesse caso, observou-se que essas partículas percorriam uma distância de 17,4 m antes de se desintegrarem. 17,4 Sendo assim, elas se deslocaram durante = 63,7 ns, um tempo 8 0,913. 3. 10 muito maior que a vida média dessa partícula me repouso. Esse efeito de dilatação do tempo surge devido ao movimento relativo entre a partícula e o laboratório. Agora, para um sistema de coordenadas fixo no píon, o seu deslocamento foi de 0,913. 3. 10 8. 26. 10 9 = 7,1 m. Ou seja, dois observadores que estão em movimento relativo (um fixo no laboratório e outro na partícula) medem valores diferentes para o mesmo comprimento, o que não acontecia na física clássica.
Em 1905, Einstein propôs dois postulados que formam a base de sua teoria especial da relatividade: 1. As leis da física são as mesmas em todos os referenciais inerciais. 2. A velocidade da luz no espaço livre tem o mesmo valor c em todos os referenciais inerciais.
Vamos interpretar esses postulados com um exemplo. Vamos imaginar duas pessoas em diferentes referenciais: uma no solo, do lado de fora do trem (S) e outra dentro do trem em movimento relativístico (S ), como mostra a figura abaixo:
O referencial que está dentro do trem está com uma lâmpada a uma distância vertical L 0 de um espelho, no teto do vagão. Para o menino dentro do trem, a luz irá realizar uma trajetória vertical. Irá bater no espelho e voltar. Já para o menino do lado de fora do trem, a trajetória é a que está na figura acima, já que o trem se move com alta velocidade na horizontal. Portanto, para o menino dentro do vagão, o tempo de deslocamento da luz será: t 0 = 2L 0 c Já para o menino do lado de fora, a luz irá percorrer uma distância 2L igual a: 2L = 2 L 0 2 + v t 2 2
Então o intervalo de tempo medido por ele será: Ou seja: t = 2L 2 L 0 + v t 2 2 c = 2 c t = t 0 1 v 2 c 2 = t 0 Onde é o fator de Lorentz, que é sempre maior que 1.
Aplicando no exemplo dos píons: t 0 t = t = 1 v 2 c 2 26ns 1 0,913 2 = 63,7 ns. Valor medido pelo observador em repouso no laboratório. Usando um raciocínio análogo, com um pouco de cálculo, podemos chegar a relação de relatividade do comprimento: L = L 0 1 v 2 c 2 = L 0 γ Voltando ao exemplo dos píons, L = 17,4 1 + 0,913 2 = 7,1 m. Onde L 0 é a distância medida pelo observador em repouso no laboratório.
VELOCIDADE RELATIVA De acordo com Galileu, o módulo da velocidade de um corpo A em relação a um corpo B é medida pela equação a seguir: v AB = v A ± v B + sentidos opostos - mesmo sentido Ou seja, para um corpo A que se move na horizontal, da direita para esquerda, com módulo de velocidade de 20 m/s, um outro, no sentido oposto, a 30 m/s, apresenta uma velocidade relativa de 20 + 30 = 50 m/s. Então, usando esse raciocínio, um corpo que se move a 0,6 c no sentido oposto a outro, que se move a 0,8c, o vê com uma velocidade de 1,4c, o que violaria o 2º postulado de Einstein! v A ± v B Significa, então, que essa equação não está correta. Funcionava para baixas velocidades.
O que temos acima é velocidade relativa de Galileu, que funciona para baixas velocidades. Para movimentos relativísticos (altas velocidades), temos que aplicar a velocidade relativa de Einstein: v AB = v A ± v B 1 ± v A v B c 2
Voltando no exemplo de dois corpos em sentidos opostos, um a 0,6c e o outro a 0,8c, em relação ao solo. A velocidade com que o 1º observa o 2º (e vice-versa) vale: v AB = 0,6c + 0,8c 1 + 0,48 = 1,4 1,48 c 0,95c Repare que, para baixas velocidades, esse efeito é desprezível. Vamos voltar ao caso clássico, 20 m/s e 30 m/s, do exemplo anterior: v AB = 20 + 30 = 50 m/s 16 1 + 600/9. 10
QUANTIDADE DE MOVIMENTO RELATIVÍSTICA Resolvendo um problema simples de colisão de partículas que apresentam movimento relativístico, fica claro que, se Q = m.v, como conhecemos classicamente, a quantidade de movimento não se conservará. Como essa grandeza deve se conservar, devido há ausência de forças externas em uma colisão, há a necessidade de consertarmos essa fórmula. Einstein, debruçado sob esse problema, usando Lorentz, chegou à formulação abaixo: Q = mv 1 v 2 c 2 = γmv O que pode ser interpretado como uma alteração na massa devido ao movimento da partícula.
Exemplo: Qual é o módulo da quantidade de movimento de um próton a 0,86c? Resolução: Q = mv 1 v 2 c 2 = 1,67. 10 27. 0,86. 3. 10 8 1 0,86 2 = 8,44. 10 19 kgm/s
OBSERVAÇÃO: Quando estudamos física de partículas não utilizamos o sistema m.k.s.. Como a unidade de energia /velocidade equivale a unidade de quantidade de movimento, vamos transformar a unidade acima: 8,44. 10 19. 3. 10 8 = 2,53. 10 10 J 1,6. 10 19 = 1580. 106 ev ou 1580 MeV. A quantidade de movimento do próton vale, portanto, 1580 MeV/c.
ENERGIA RELATIVÍSTICA Usando a equação de quantidade de movimento a fim de conservar a energia mecânica na colisão, conseguimos chegar a energia total (mecânica) de uma partícula de massa m a velocidade v: E = mc 2 1 v 2 c 2 = γmc 2 Sendo a energia de repouso da partícula (o equivalente a energia potencial) vale: E 0 = mc 2 Portanto a energia cinética vale: E E 0 = (γ 1)mc 2
Exemplo: O Sol libera aproximadamente 3,9. 10 33 erg/s de energia devido a fusão de aproximadamente 600 milhões de toneladas de Hidrogênio em Hélio por segundo. Sabendo-se que 1 erg = 10-7 J, qual é a massa que o Sol perde por ano? Resolução: 1 ano 3,1. 10 7 s
Vamos considerar que o Sol está em repouso. Sendo assim, a relação entre energia e massa perdidas fica: E = mc 2 m = 3,9. 1033. 10 7. 3,1. 10 7 3. 10 8 2 = 1,3. 10 17 kg Apesar de o número ser bem grande, se compararmos com a massa do Sol, que é de aproximadamente 2. 10 30 kg, esse valor representa uma parcela ínfima. Uma pessoa que tem uma massa de 80 kg, ao perder 1kg, está perdendo, proporcionalmente, uma quantidade infinitamente maior que o Sol ao longo de um ano inteiro.