CAPÍTULO AJUSTAMENTO DE OBSERVAÇÕES.1 Motvção pr AJUSTAR OBSERVAÇÕES! As observções coduzds pelo homem se crcterzm pel evtável preseç dos erros de medd. Erros que decorrem ão pes de flhs hums, ms tmbém d mperfeção do equpmeto e d fluêc ds codções mbets s qus se process mesurção. Cbe qu, de medto, célebre frse do Prof. Cml Gemel: Quem dá os prmeros pssos álse de observções começ por fzer um cocessão: bdcr d pretesão de obter o verddero vlor de um grdez medd. A descofç o resultdo de um medd sold, fruto d certez flbldde hum, lev turlmete à repetção ds observções. Assm, prtr d plurldde de observções, sbdmete correts pels dscrepâcs que presetm como extrr um resultdo que sej úco e que poss represetr com cofç grdez medd? O justmeto de observções proporco este resultdo bem como estm precsão d solução dotd.. Erros: Verddero, Aprete e Resíduo Desgdo por X o vlor estmdo de um grdez medd; por o seu verddero vlor, e por l os vlores observdos, tem-se que: l - erro verddero; l X - erro prete; V X l - resíduo Em fução d certez de ão podermos cosegur chegr o verddero vlor de um grdez tmbém ão é possível cohecer os erros verdderos e seus comportmetos. Assm, devemos lçr mão d plurldde de observções sobre um grdez e procurr um procedmeto pr estmr o melhor vlor ou o vlor ms provável d grdez. Assm, tod álse dos erros e seus comportmetos é relzd prtr dos resíduos..3 O Método dos Mímos Qudrdos - MMQ Pr presetr o MMQ, cosdere o cso muto smples de medd dret de um grdez X. Sejm l, l, l,..., l 1 3 os vlores obtdos em um sére de observções medds d grdez X. N mpossbldde de se obter o verddero vlor de X, pesqusemos um estmtv qul se poss cofr; dote-se, com bse um certo crtéro, o vlor x e determm-se s dfereçs:
6 x l x l 1 1... x l Ts dfereçs ( v ) são os resíduos; estes, pror são descohecdos, e somdos às observções reproduzem o vlor escolhdo x. Muddo o crtéro, poder-se- dotr outro vlor x ; resultr um ovo cojuto de resíduos: x l v E ssm por dte. Qul dos vlores x, x,... dotr? Como escolher um crtéro que permt, ds observções repetds l, dscreptes etre s, extrr um vlor úco pr represetr cógt X? Há dos séculos, Guss e Legedre dcrm solução: Método dos Mímos Qudrdos MMQ. ENUNCIADO: A melhor estmtv de um grdez X é o vlor que tor mím som dos qudrdos dos resíduos: 1 v m Qudo s observções ão oferecem o mesmo gru de cofç, são homogeezds trvés d trbução de pesos p : 1 pv m Modermete, prefere-se otção mtrcl: sedo V o vetor colu dos resíduos. T VV m V PV m Até há bem pouco tempo, teor clássc dos mímos qudrdos mteve-se lterd; sto é, mpuh restrções hoje dspesáves: observções ão correlcods e os resíduos obedecerem à dstrbução orml. Form os vços d Esttístc Mtemátc, trvés d extrordár cocsão d lgugem mtrcl ssocd o uso de computdores cpzes de mpulr mtrzes de elevds dmesões, que mostrrm coveêc d revsão de certos cocetos. Assm, os pré-requstos de observções ão correlcods e os de desvos orms recebem tulmete outro efoque: s observções são ecrds como vráves letórs ou estocástcs (sujets s osclções probblístcs) e o justmeto proporco estmtvs ds T
7 mesms e/ou de qutddes (prâmetros) els lgds. A trodução d estmtv por tervlos e dos testes esttístcos veo possbltr o trtmeto ms lógco de certos problems. RESUMO Em resumo, pode-se dzer que: A prtr de observções superbudtes, sujets flutuções probblístcs e de um estmtv de su precsão, o AJUSTAMENTO tem por objetvo: ) Estmr medte plcção de modelos mtemátcos dequdos e do MMQ, um vlor úco pr cd um ds cógts do problem; b) Estmr precsão de ts cógts e evetul correlção etre els..3.1 Cosderções gers A mor ds medções topográfcs relzds em levtmetos devem se dequr certs codções geométrcs. Qudo s medções ão stsfzem ests codções surge o cohecdo erro de fechmeto e sso é dctvo d preseç de erros letóros. Dversos procedmetos são utlzdos pr dstrbur esses erros e produzr codções geométrc e mtemtcmete perfets. Algus profssos plcm correções gus às medds o que sgfc dstrbur gulmete o erro de fechmeto etre tods s medds evolvds. Outros troduzem correções proporcos os pesos estbelecdos pr s medções. Vmos terormete que os erros letóros em Topogrf ocorrem em coformdde com s les mtemátcs d probbldde e se dstrbuem ormlmete. Por est rzão o processo de juste ms dequdo deverá bser-se ests les. O procedmeto dos Mímos Qudrdos é um deles. Não é um método ovo, pos o fl do século XVIII Guss já o hv plcdo. Etretto o método fo pouco dfuddo devdo grde qutdde de cálculos evolvdos. Com o precmeto dos computdores e utlzção do cálculo mtrcl, o método torou-se ovmete trtvo. Além do fto de o método produzr solução úc pr o problem, permte tmbém determr quldde dest solução (curác). O Método dos Mímos Qudrdos é um procedmeto dequdo pr justr qusquer tpos de medção e é especlmete dcdo pr todos os procedmetos topográfcos. O método reforç codção que som dos qudrdos dos resíduos é mím, ou, se s medções forem poderds som dos produtos dos pesos ds medds multplcds pelos resíduos correspodete elevdos o qudrdo, se mmz. Est codção, que se desevolve prtr d dstrbução orml de erros, proporco os vlores ms prováves pr s qutddes justds. Além dsso, o MMQ possblt: 1- determr s precsões dos vlores justdos; - detectr preseç de erros grosseros e equívocos de tl form que se poss tomr medds pr elmá-los; 3- plejr s trefs de cmpo d o escrtóro, defdo o procedmeto e equpmetos ms dequdos pr tomd de medds de cmpo. As hpóteses básc em que se po o MMQ são:
8 1- os equívocos e erros sstemátcos já form trtdos dequdmete, de tl form que só restrm os erros letóros; - o úmero de observções serem justds deve ser grde; em outrs plvrs, pr plcção do MMQ é ecessáro exstêc de observções redudtes (superbudtes); 3- dstrbução de frequêc dos erros é cosderd orml. Cso ess hpótese ão poss ser cumprd tegrlmete, mesmo ssm o juste por mímos qudrdos proporco o trtmeto ms rgoroso dos erros..3. Aplcdo o Método dos Mímos Qudrdos Algebrcmete expressão do MMQ pode ser escrt form φ = v 1 + v + v 3 + + v =mímo = v ode os v são os resíduos d observções relzds. Se s observções forem obtds com dferetes íves de cofbldde, tor-se ecessáro trodução de pesos e esse cso pode-se escrever φ = p 1.v 1 + p.v + p 3.v 3 + + p.v =mímo = v.p Afl, qudo um fução pss por um mímo? Um fução pss por um mímo se dervd prmer for ul. Assm, tod vez que plcmos o MMQ vmos mpor codção de dervd ul e resolver o sstem de equções que result desse processo. Pr fcltr o etedmeto do prcípo vmos desevolver exemplos um form gerl sem defção do método de justmeto ser utlzdo. 1) Num bse ABCD form meddos os segmetos AB, BC, CD, AC e BD. Tods s medds são ão correlcods e possuem mesm cofbldde. Os vlores meddos ecotrm-se exos o croqus. Ajustr s medds pelo MMQ e formr qul dstâc etre A e D. Solução: Com os comprmetos AB (x 1 ), BC (x ) e CD (x 3 ) já pode-se determr bse AD desejd. Porém form relzds ms dus medções, totlzdo cco observções. Exstem, portto dus observções redudtes. Pr cd observção vmos escrever um equção evolvedo s observções efetuds (colu d esquerd). Ocorre que s equções presetds ão são cosstetes, um vez que s medções presetm erros. Assm temos que serr os resíduos pr elmr cosstêc (colu d dret).
9 L 1 = x 1 L = x L 3 = x 3 L 4 = x 1 + x L 5 = x + x 3 L 1 + v 1 = x 1 L + v = x L 3 + v 3 = x 3 L 4 + v 4 = x 1 + x L 5 + v 5 = x + x 3 v 1 = x 1 - L 1 v = x - L v 3 = x 3 - L 3 v 4 = x 1 + x - L 4 v 5 = x + x 3 - L 5 Vmos plcr o MMQ: som dos qudrdos dos resíduos deve ser mím; etão φ = v 1 + v + v 3 + v 4 + v 5 =mímo = v c/ = 1,...,5 Substtudo os resíduos pels respectvs expressões dds o qudro (colu d dret), pode-se escrever: φ = (x 1 100,000) + ( x -100,000) +( x 3-100,080) + + ( x 1 + x 00,040) + ( x + x 3 00,000) = mímo Pr mmzr fução φ sus dervds prcs com relção s cógts (dstâcs x 1, x e x 3 ) devem ser gus zero: (δφ/δ x 1 ) = ( x 1 100,000) + ( x 1 + x 00,040) = 0 (δφ/δ x ) = ( x 100,000) + ( x 1 + x 00,040) + (x + x 3 00,000) = 0 (δφ/δ x 3 ) = ( x 3 100,080) + ( x + x 3 00,000) = 0 Efetudo s operções lgébrcs dcds, result o sstem de equções orms segur: x 1 + x = 300,040 x 1 + 3 x + x 3 = 500,040 x + x 3 = 300,080 As equções cm possuem s três cógts procurds e são cohecds por equções orms. Resolvedo s equções por qulquer procedmeto ecotrm-se os vlores pr s cógts: x 1 = 100,05 m x = 99,990 m x 3 = 100,045 m Etão, dstâc justd AD = x 1 + x + x 3 = 300,060 m. Com o tuto de efetur lgums verfcções vmos clculr os resíduos: v1 = x 1 - L1 = 0,05 m v4 = x 1 + x v = x - L = -0,01 m v5 = x + x 3 v3 = x 3 - L3 = -0,035 m - L4 = -0,05 m - L5 = 0,035 m ) Os três âgulos horzots meddos (coforme fgur) o redor do horzote form: x = 4 o 17', y = 60 o 48' e z = 56 o 5'. Ajuste estes âgulos pelo MMQ de mer que som sej 360 o.
10 Solução: 1) Prmermete vmos escrever s equções de observção: x = 4 o 17' + v 1 y = 60 o 48' + v z = 56 o 5' + v 3 ) Exste um codção geométrc que deve ser tedd; escrevmos expressão: x + y + z = 360 o Devdo est codção geométrc, o resíduo d observção z ão é depedete dos dems; ssm, temos que reescrever equção exprmdo- somete em fução dos resíduos depedetes. Logo, teremos: 3) Vmos crr fução φ = v = mí ( 4 o 17' + v 1 + 60 o 48' + v + 56 o 5' + v 3 ) = 360 o φ = v = v 1 + v + (03' v 1 v ) = mí v 3 = 03' v 1 v 4) Dervdo prclmete fução em relção v 1 e v, temos: v / v 1 = 0 = v 1 + (03' v 1 v )(-1); 4 v 1 + v = 06' v / v = 0 = v + (03' v 1 v )(-1); v 1 + 4 v = 06' 5) Resolvedo s dus equções surge: v 1 = 01' e v = 01' 6) ) O tercero resíduo é medto: v 3 = 03' v 1 v = 01' 7) Flmete substtudo os vlores ecotrdos equção de observção, resultm os vlores justdos: x = 4 o 17' + v 1 x = 4 o 17' + 01' = 4 o 18' y = 60 o 48' + v y = 60 o 48' +01' = 60 o 49' z = 56 o 5' + v 3 z = 56 o 5' + 01' = z = 56 o 53' cuj som result 360 o, coforme esperdo. O resultdo deste exemplo evdec outro procedmeto básco usulmete plcdo em Topogrf; sto é, pr âgulos gulmete poderdos meddos o redor do horzote, se
11 plcm correções de gul mgtude cd âgulo. O mesmo cotece qudo os três âgulos gulmete poderdos de um trâgulo plo se justm por MMQ: cd um recebe um correção de gul mgtude..3.3 Cosderções sobre o peso s observções A trbução de pesos às observções ão é tref trvl e é td como um ds ms complexs em justmeto de observções. Iúmeros ftores devem ser levdos em cot o mometo de decdr por poderr s observções, ts como, strumetos utlzdos, operdores evolvdos e codções mbets o mometo d tomd ds medds. O peso de um observção é cofç reltv de um vlor observdo comprdo com lgum outro vlor. N verdde são estmtvs ou expressões ds cofçs reltvs ds observções. Um lt precsão mplc um pequeo desvo, que por su vez demostr um bo observção e um peso lto. Em gerl expressão geérc do peso é dd por: p = σ 0 / σ ode σ 0 é um vlor gul à vrâc de um observção cujo peso é cosderdo utáro e σ é vrâc d observção. O peso de um observção é, portto, versmete proporcol o qudrdo do desvo pdrão correspodete. Em gerl, o íco do justmeto, trbu-se o vlor utáro pr σ 0. Ns medções gulres os pesos são trbuídos proporcolmete o úmero de vezes em que os âgulos são meddos. No velmeto, os pesos são versmete proporcos o comprmeto ds seções serem velds. Assm, quto ms log seção veld meor será o peso gregdo..3.4 Atrbução de pesos usdo Mtrz Vrâc-Covrâc Nos cálculos de justmeto utlzdo mtrzes é comum utlzr MVC ds observções pr trbução de pesos. Admtmos que s mecods observções ão ofereçm o mesmo gru de cofç ; este cso, podemos homogeezá-ls multplcdo por pesos. Quto mor o vlor trbuído o peso, mor é cofç que s observções sprm quto mor cofç, meor o vlor d vrâc d observção. Sej L b mtrz vrâc-covrâc do vetor ds observções e σ o um ftor de escl, vlor dmesol umercmete gul à vrâc d observção à qul fo trbuído peso utáro. Dvddo L b por σ o obteremos ov mtrz, smétrc, deomd mtrz dos coefcetes de peso: Se mtrz Q for ão sgulr dmtrá vers: Q = 1/σ o. L b Q -1 = σ o L b -1 = P ode P recebe o ome de mtrz dos pesos. A mtrz P, tmbém smétrc se reduz um mtrz dgol qudo s observções são ão correlcods etre s. Neste cso os elemetos dgos de P são os pesos ds observções.