Análise de Fourier e timbre sonoro Niels Fontes Lima IFBA Introdução Quando um instrumento musical produz uma determinada nota, ele produz não apenas o som da freqüência fundamental, que dá a qualidade de tonalidade, mas também o de freqüências harmônicas múltiplas da fundamental. Se não fosse assim, não haveria diferença entre o som de instrumentos diferentes. É a proporção dos harmônicos presentes no som produzido por cada tipo ou qualidade de instrumento que os diferencia, dando-lhes sua qualidade de timbre. A mesma nota tocada em instrumentos diferentes soará com timbres diferentes pelo fato do som gerado por cada instrumento conter os harmônicos do tom fundamental em proporções diferentes. Essas proporções são características de cada tipo de instrumento, e, para o ouvido mais acurado, características de cada modelo ou exemplar de instrumento. O som produzido por um instrumento é uma série de Fourier onde a intensidade sonora de cada freqüência harmônica componente é determinada pelas características do instrumento. Por exemplo, o som produzido por instrumentos de corda geralmente possue todos os múltiplos da freqüência fundamental como componentes, enquanto alguns instrumentos de sopro, que possuem tubo de ressonância aberto num extremo e fechado no outro, produzem som que contém apenas os harmônicos ímpares. Dessa forma, o som produzido por uma clarineta contém quase que somente harmônicos ímpares; já no som de uma flauta, o primeiro e o segundo harmônico estão presentes (praticamente só eles) (Resnick, p. 132, Fig. 9). O som que ouvimos depende apenas da intensidade relativa de cada componente, e não depende das fases de cada componente. Assim, formas de sinal sonoro muito diferentes, geradas pelos mesmos componentes mas com fases diferentes, soam iguais. Atividade Na atividade intitulada Séries de Fourier, usando o applet "Fourier", você compõe algumas funções periódicas superpondo funções harmônicas. Nesta atividade, usando o programa "CoolEdit" você vai compor sinais sonoros superpondo funções harmônicas, e vai ouvir o resultado. Inicie o programa "CoolEdit". Aparecerá uma janela para você escolher quais recursos do programa estarão disponíveis na sessão, e você vai marcar a primeira (Save, External Clipboard... etc.) e a quinta (Amplify, Envelope...etc.) opções. Com o programa iniciado, execute o seguinte procedimento: no item de menu File escolha New; na janela que será aberta, escolha Sample Rate = 48000, Channels = Mono e Resolution = 16-bit; pressione OK. Salve o arquivo com um nome adequado no formato Windows PCM (extensão.wav). No exemplo a seguir, você vai gerar a função dente-de-serra, mas obviamente o procedimento pode ser usado para outras funções.
1) Gerar um sinal sonoro por superposição de harmônicos (dente-de-serra, no exemplo) No ítem de menu Generate escolha Tones... Na janela Generate Tones que se abrirá, certifique-se que a opção escolhida é "Lock to these settings only". Em Base Frequency escreva o valor 440 (Hz), e no meio da parte de baixo da janela, no quadro "General", escolha Flavor = Sine e Duration = 5 (s). No quadro "Frequency Components" defina a intensidade relativa das 5 primeiras componentes de Fourier da função dente-de-serra (que é o máximo que o programa permite). Por exemplo, para a função dente-de-serra, defina os seguintes valores das intensidades de cada componente: 2 = 50 3 = 33 4 = 25 5 = 20 No quadro "Phasing" defina Start Phase = 180, e pressione OK. Figura 1. Geração das 5 primeiras componentes de uma função dente-de-serra ("Start Phase" = 180 ). Em File escolha Save As... e salve o arquivo com um nome adequado. Figura 2. Forma da função produzida pela superposição das cinco primeiras componentes da função dentede-serra.
Pressione o botão In sucessivas vezes, até que você possa visualizar satisfatoriamente a forma do sinal sonoro. Observe como ela se aproxima da função dente-de-serra. Para ouvir o som aperte o botão Full (com isso você seleciona todo o intervalo gerado), e ouça o som pressionando o botão Play. 2) Gerar um sinal sonoro que tem o mesmo espectro de potência mas forma diferente Ponha o cursor no final do trecho gerado no item anterior (t = 5). Em Generate escolha Tones... (Se você não tiver alterado nenhum parâmetro ou opção do programa desde o item anterior, você só precisará modificar o parâmetro Start Phase. Caso contrário, deverá se assegurar que as opções escolhidas sejam conforme segue). Na janela Generate Tones, certifique-se que a opção escolhida é "Lock to these settings only". Em Base Frequency escreva o valor 440 (Hz), e no meio da parte de baixo da janela, no quadro "General", escolha Flavor = Sine e Duration = 5 (s). No quadro "Frequency Components" defina a intensidade relativa das 5 primeiras componentes de Fourier da função dente-de-serra, como antes: 2 = 50 3 = 33 4 = 25 5 = 20 No quadro "Phasing", defina Start Phase = 90, e pressione OK. Figura 3. Geração das 5 primeiras componentes da série de cossenos que tem as mesmas componentes da série de senos da função dente-de-serra ("Start Phase" = 90 ). Em File escolha Save e salve o arquivo. Pressione o botão In sucessivas vezes, até que você possa visualizar satisfatoriamente a forma do sinal sonoro. Compare essa forma obtida pela série de cossenos com a função obtida no item anterior (Figura 2). Para ouvir o som aperte o botão Full, selecionando todo o intervalo de 0 a 10 s. Ponha o cursor um pouco antes da transição entre os dois trechos, e ouça o som pressionando o botão Play. Dessa maneira você estará ouvindo os dois trechos gerados em sucessão. Ouça com atenção os sons gerados por cada um dos sinais, e a transição entre os dois sons. Faça isso com o volume baixo, para que as distorções introduzidas pelo sistema de som não comprometam o experimento.
Figura 4. Forma da função produzida pela superposição das cinco primeiras componentes série de cossenos que tem as mesmas componentes da série de senos da função dente-de-serra. 3) Gerar um sinal sonoro dente-de-serra Ponha o cursor no começo do trecho gerado até agora (t = 0). Em Generate escolha Tones... Na janela Generate Tones certifique-se que a opção escolhida é "Lock to these settings only". Em Base Frequency escreva o valor 440 (Hz), e no meio da parte de baixo da janela, no quadro "General", escolha Flavor = Sawtooth e Duration = 5 (s). No quadro "Frequency Components" defina a intensidade relativa da freqüência básica como igual a 100 e a intensidade das componentes harmônicas (segunda à quinta) como igual a zero: 2 = 0 3 = 0 4 = 0 5 = 0 Para que a amplitude dessa função, com "infinitas" componentes, seja igual às funções geradas anteriormente, mude o controle db Volume para -9, e pressione OK. Figura 5. Geração da função dente-de-serra
Observe se as amplitudes do trecho gerado agora e a do existente são muito diferentes. Se isso acontecer, modifique a amplitude do dente-de-serra, gerando novamente a mesma função, mas com a amplitude aumentada ou diminuída de acordo com o botão de correr no quadro "db Volume"; repita isso até que as amplitudes dos sinais nos dois trechos sejam aproximadamente iguais. Em File escolha Save e salve o arquivo. Pressione o botão In sucessivas vezes, até que você possa visualizar satisfatoriamente a forma do sinal. Compare-a com a forma da função obtida no ítem 1 (figura 2). Figura 6. Forma da função dente-de-serra Para ouvir o som aperte o botão Full, selecionando todo o intervalo de 0 a 15 s. Ouça o som gerado pela função dente-de-serra. Ponha o cursor um pouco antes da transição entre os dois primeiros trechos (dente-de-serra e sua aproximação), e ouça o som pressionando o botão Play. Dessa maneira você estará ouvindo os dois trechos em sucessão. Ouça com atenção os sons gerados por cada um dos sinais, e a transição entre os dois sons. 4) Comparar os espectros e os timbres dos sons gerados Selecione cada um dos trechos gerados em 1), 2) e 3). Em Analyze escolha Frequency Analysis. Na janela que se abrirá defina FFT Size = 1024 e Range = 120 db. Compare os espectros de cada um dos trechos. Ouça repetidas vezes os diferentes trechos gerados, comparando-os a respeito da sua sensação auditiva. Discussão Descreva de forma sucinta e clara suas observações nos quatro passos do procedimento acima, e as explique. Qual a diferença em timbre entre o dente de serra até a quinta componente e a função exata? O que o timbre tem a ver com a amplitude e a fase das componentes? Conclusão Escreva suas conclusões.