O Campo Conceitual do Cálculo Diferencial sob o Olhar de Professores LIMA, Melina Silva de 1 CAMPOS, Tânia Maria Mendonça Campos 2 SANTOS, José Vicente Cardoso Santos 3 Resumo Este trabalho apresenta os resultados de uma pesquisa realizada com professores de Cálculo Diferencial e Integral a respeito de como os mesmos concebem processos de conceitualização referentes ao Cálculo Diferencial, no que tange o tripleto (S,I,R) da Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud. Este é um recorte de uma pesquisa mais abrangente, que utilizou uma metodologia de caráter descritivo e experimental (pesquisa de campo). Os resultados aqui mostrados tratam apenas da interpretação dos professores sobre alguns elementos da TCC na construção dos esquemas pelos aprendentes. Como resultado, um esquema pictórico e uma proposta de algoritmo pensados e construídos pelos professores são mostrados. Palavras-Chave: Ensino de cálculo diferencial, TCC, tripleto (R,I,S). The Conceptual Field of Differential Calculus under the Teachers View Abstract This paper presents the results of a research carried out with teachers of Differential and Integral Calculus regarding how they conceive processes of conceptualization referring to Differential Calculus concerning the triplet (S, I, R) of Vergnaud's Conceptual Field Theory. This is a cut of a more comprehensive research, which used a descriptive and experimental methodology (field research). The results presented here deal only with teachers' interpretation of some elements of TP (Term Paper) in the construction of schemes by learners. As a result, a pictorial scheme and an algorithm proposal thought and constructed by the teachers are shown. Keywords: Teaching of differential calculus, TP, triplet (R, I, S). INTRODUÇÃO Este trabalho é recorte de uma pesquisa que contemplou a análise de um estudo de aplicação, em sala de aula de sequências didáticas para o ensino de Cálculo Diferencial (CD) sob o viés da Teoria dos Campos Conceituais (TCC) de Vergnaud. Para tanto, cinco professores foram pesquisados a respeito do que seria o campo conceitual do Cálculo para eles, após estudo e discussões entre pares e um consenso sobre os descritores do processo. Posteriormente, passou-se a aplicação, com os alunos, para detecção de possíveis invariantes operatórios do CD na formação de conceitos do sujeito e as situações que consolidam o 1 SENAI/CIMATEC; melinasl_mel@hotmail.com; melina.lima@fieb.org.br 2 UNIBAN/Anhanguera; taniammcampos@hotmail.com 3 UNEB; prof.vicentecardoso@gmail.com
2 aprendizado de Cálculo, em cursos de graduação não voltados à formação de matemáticos, tendo, como pano de fundo, a Teoria dos Campos Conceituais de Gérard Vergnaud. A pesquisa, em todas as suas fases, teve início em um Mestrado em Educação Matemática, culminando na dissertação da primeira autora. Posteriormente, atendendo ao convite de um Editora nacional, com algumas considerações postas a posteriori e algumas modificações e adequações, o livro de título A Teoria dos Campos e o Ensino de Cálculo, foi lançado em 2015. Pelo caráter sintético deste trabalho, aqui mostramos, em linhas gerais, os resultados parciais a respeito do entendimento dos professores sobre o campo conceitual do Cálculo, mais especificamente, os elementos fundamentais do tripleto (S,I,R) no contexto do Cálculo Diferencial. Pretendemos mostrar, no âmbito geral, quais invariantes operatórios fazem parte dos esquemas de funções, limites e derivadas na perspectiva destes professores. A TCC, o Ensino de Calculo e as Estratégias Adotadas Nos conceitos abordados na teoria dos campos conceituais identifica-se, segundo Vergnaud apud Moreira (1996), o conjunto ternário composto pelos subconjuntos, C = (S, I, R) onde: S é um conjunto de situações que dão sentido ao conceito; I é um conjunto de invariantes (objetos, propriedades e relações) sobre os quais repousa a operacionalidade do conceito, ou o conjunto de invariantes operatórios associados ao conceito, ou o conjunto de invariantes que podem ser reconhecidos e usados pelos sujeitos para analisar e dominar as situações do primeiro conjunto e R é um conjunto de representações simbólicas (linguagem natural, gráficos e diagramas, sentenças formais etc) que podem ser usadas para indicar e representar esses invariantes e, consequentemente, representar as situações e os procedimentos para lidar com elas. A construção dos I.O. associados ao Cálculo depende do conjunto de situações estabelecidas e incorporadas às aulas, mas que dão sentido aos conceitos estudados (tais como funções, derivadas e limites). Enquanto as representações sejam aliadas neste processo, em se tratando do Cálculo Diferencial, a própria notação é, por vezes, também a vilã dos processos cognitivos. A linguagem matemática depende de uma hermenêutica textual, mas também pictórica e de neologismos simbólicos que costumam causar impactos nos alunos. Embora o processo de conceitualização se dê na estrutura cognitiva do aprendente por meio da aquisição de esquemas cada vez mais eficazes, consideramos, nesta pesquisa, que eles existem também numa estrutura mais abrangente, dentro do próprio corpo teórico do
3 campo conceitual a ser estudado. Por exemplo, o conceito de derivada como taxa de variação tem seus aspectos históricos, epistemológicos, sociais, políticos, etc, que foram construindo este conjunto de representações, significados e significantes da teoria posta. Uma justificativa é que, sendo um campo conceitual um conjunto de estruturas relacionadas entre si e, sendo que tais estruturas não fazem parte de um só campo conceitual (os vetores, por exemplo, são estruturas matemáticas estudadas na geometria, na geometria analítica, na álgebra e no cálculo, por exemplo), eles também podem fazer parte dos campos conceituais de estruturas aditivas e multiplicativas, mas permeiam, obviamente, diversos conceitos a eles associados nestas áreas/sub-áreas. Nem estamos considerando aqui o entrelaçamento existente entre estes conteúdos, assim como não pretendemos hierarquizá-los. Apenas tentamos descrever, sucintamente, como professores de Cálculo compreendem ser a formação deste campo conceitual nos moldes supra citados. Para nos alicerçar nas questões teórico-práticas da teoria, nos indagamos: se conseguirmos determinar ao menos três invariantes operatórios (pois consideramos que existem inúmeros) e, por meio das aulas, da aplicação das sequências didáticas e da análise das atividades a priori e a posteriori, conseguirmos mensurar o crescimento ou estagnação da aprendizagem, podemos intuir que o reconhecimento de possíveis invariantes operatórios foi válido e que a conceitualização do Cálculo Diferencial é possível, considerando-se os aspectos filosóficos e epistemológicos da teoria de Vergnaud?. Participaram da pesquisa cinco professores de Cálculo de três Instituições de Ensino distintas, todas localizadas em Salvador (BA). Ao mudar o enfoque na explicação, o professor deverá ter percebido quais pontos de ruptura entre o processo de aprendizagem e os de inércia cognitiva estão envolvidos no processo. A solução na mudança do enfoque pode ser dada pela utilização de um software, ao contar a história que permeia os conceitos estudados etc, mas, muitas vezes, uma nova maneira de explicar o mesmo assunto pode solucionar a questão da inércia. Isto se justifica pelo fato de que, para Vergnaud, um conceito torna-se significativo para o aprendiz, por meio de uma variedade de situações e os diversos aspectos desse mesmo conceito que estão envolvidos nas diferentes situações (VERGNAUD 1996). Além disso, uma situação não pode ser analisada sob a ótica de um só conceito, vários deles tornam-se necessários. Por exemplo, o sentido de diferenciação para um determinado sujeito (discente) é o conjunto de esquemas que ele pode utilizar para lidar com situações com as quais se depara e que implicam a ideia de diferenciação. É também o conjunto de esquemas que ele pode usar para operar com símbolos numéricos, algébricos, gráficos e lingüísticos que representam a
4 diferenciação. Mas o professor deve estar atento aos invariantes específicos da teoria em si, cabendo a ele o papel de direcionar e acompanhar o desenvolvimento estrutural da construção do conceito pelo aluno. Ao verificar que os invariantes operatórios, por meio de situações e representações que dêem sentido ao conceito, portanto, dêem sentido à construção cognitiva do invariante operatório, foram construídos eficazmente, ele pode continuar direcionando o aluno no mesmo caminho e, em caso contrário, direcioná-lo para que o mesmo supere esta ruptura ou saia da ZDP (VYGOTSKY, 1999) para aquisição de um novo esquema que condiz coerentemente com o esperado. Se o aluno construiu um campo conceitual particular referente aos limites, as derivadas e as funções, de forma que seus invariantes permeiem os sentidos exatos (aproximação, taxa de variação e correspondência, respectivamente), então a estrutura de direcionamento das aulas pode permanecer. Caso contrário, o professor deve intervir para linearizar as rupturas existentes na formação dos conceitos. Questões Metodológicas O ponto inicial foi a leitura e análise de textos sobre a TCC, com posteriores discussões sobre os elementos fundamentais para a compreensão básica da teoria, tais como o conceito de esquemas, I.O., significado, significante, representações, entre outros. A terceira etapa foi a constução de descritores que tentassem sugerir quais as ideias básicas de conteúdos da disciplina de Cálculo no âmbito do tripleto. A quarta etapa foi a escolha e construção de questões que abrangessem tais elementos considerados pelos professores, especialmente os possíveis I.O. com aplicação de atividades aos estudantes para averiguar se o entendimento dos mesmos condizia com os I.O. considerados pelos professores dentro da teoria e das asserções mais próximas relativas ao conhecimento científico tácito do Cálculo. A partir da análise das respostas dos alunos por meio da taxonomia SOLO 2, os professores construíram um quadro sucinto e explicativo sobre o entendimento consensual dos elementos gerais já descritos. Resultados e Discussões 2 Sistema hierárquico denominado Taxonomia SOLO (Structure of the Observed Learning Outcome), e pode ser usado para avaliar a qualidade de aprendizagem ou para objetivos curriculares (BIGGS e COLLIS, 1982). Quanto aos níveis de resposta, Biggs e Collis (1991) definiram cinco estágios.
5 Os invariantes operatórios, cujas categorias principais são teoremas-em-ato e conceitos-em-ato, constituem a base conceitual que permite obter a informação e, a partir dela e dos objetivos a alcançar, inferir as regras de ação mais pertinentes. Quando, por exemplo, um docente explicita o conceito de diferencial (signicado: I) ao aprendiz, o faz ao menos com a tradicional dedução utilizando o conceito prévio de limites (significante: R) e também explicitando um exemplo de aplicabilidade prática (referente: S). ILUSTRAÇÃO 1: CAMPO CONCEITUAL PARA O CÁLCULO DIFERENCIAL Fonte: Elaboração dos próprias autores Considerações Finais O primeiro passo aqui inserida foi detectar os invariantes operatórios (teoremas-emato). Feito isso, o professor, por meio da interação com o grupo e as avaliações aplicadas, pôde verificar se os invariantes operatórios construídos pelos aprendizes correspondiam aos da teoria. Para tanto, após a explicação de um determinado assunto e em seguida à feitura de exercícios, o docente pôde avaliar o nível de apreensão do conceito estudado. A compreensão dos teoremas-em-ato torna-se então fundamental para que a aprendizagem significativa no que tange a Teoria dos Campos Conceituais. Consideramos que um estudo apurado dos invariantes operatórios das disciplinas matemáticas deva ser realizado, com o intuito de corroborar a tese aqui proposta e aplicada. A compreensão dos I.O. por parte dos discentes, torna-os capazes de criar mecanismos pessoais de incorporação dos conteúdos a eles relacionados, alicerçados nestes, mas em consonância com a teoria como um todo. Isso é
6 fundamental para que os conteúdos não se percam em uma aprendizagem puramente mecânica e sem as devidas correlações com o campo conceitual a qual faz parte. Os professores pesquisados sugeriram um esquema algoritmo de como se dá a construção do campo conceitual do Cálculo Diferencial, de forma abrangente. Referências BIGGS, J.; COLLIS, K. Evaluating the quality of learning: the SOLO taxonomy. New York: Academic Press, 1982. GRECA, Ileana; MOREIRA, Marco Antonio. Além da Detecção de Modelos Mentais dos Estudantes - uma Proposta representacional Integradora, Rio Grande do Sul. Disponível em: http://www.if.ufrgs.br/public/ensino/vol7/n1/v7_n1_a2.html. Acesso em 20.06.2003. LIMA, Melina Silva de. Uma Proposta de Aplicação da Teoria dos Campos Conceituais para o Ensino de Cálculo em Cursos Superiores. 2012. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) UNIBAN (Universidade Bandeirante de São Paulo), São Paulo, 2012. MOREIRA, Marco Antônio. A Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud, o Ensino de Ciências e a Pesquisa nesta Área. Revista Investigações em Ensino de Ciências. Rio Grande do Sul, 1996. Disponível em http://www.if.ufrgs.br/ienci/artigos/artigo_id80/v7_n1_a2002.pdf VERGNAUD, G. La Teorie des Champs Conceptuals RDM, V10, N23, 1990. VERGNAUD, G.. Teoria dos campos conceituais. In Nasser, L (Ed.) Anais do 1º Seminário Internacional de Educação Matemática do Rio de Janeiro: 1993 VERGNAUD, G. A teoria dos campos conceituais. In: BRUN, Jean. Didáctica das Matemáticas. Lisboa: Instituto Piaget, 1996. VYGOTSKY, L.S. Teoria e Método em Psicologia. 2.ed. São Paulo: Martins Fontes, 1999.