EME 311 Mecânica dos Sólidos

2 ESTÁTICA DOS CORPOS RÍGIDOS EME 311 Mecânica dos Sólidos - CAPÍTULO 2 - Profa. Patricia Email: patty_lauer@unifei.edu.br IEM Instituto de Engenharia Mecânica UNIFEI Universidade Federal de Itajubá 2.1 Vetores Posição e Deslocamento 2.3 Momento de uma Força em relação a um Eixo 2.4 Momento de um Conjugado 2.5 Sistema de Forças Equivalentes 2.5.1 Translação de uma Força para uma Posição Paralela 2.5.2 Redução de um Sistema de Forças a uma Força e um Conjugado Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 2 2 ESTÁTICA DOS CORPOS RÍGIDOS 2.5 Sistema de Forças Equivalentes 2.5.1 Translação de uma Força para uma Posição Paralela 2.5.2 Redução de um Sistema de Forças a uma Força e um Conjugado 2.6 Equilíbrio de um corpo rígido 2.6.1 Condições de equilíbrio para um corpo rígido; 2.6.2 Equações de equilíbrio 2.6.3 Diagrama de corpo livre 2.6.4 Vínculos ou apoios 2.6.5 Restrições para um corpo rígido 2.1 Vetores Posição e Deslocamento Vetor posição r é um vetor fixo que localiza um ponto do espaço em relação a outro; r = xi + yj + zk Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 3 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 4

2.1 Vetores Posição e Deslocamento 2.1 Vetores Posição e Deslocamento Módulo - é a distância entre a origem do sistema coordenado e o ponto P. A adição vetorial da origem para a extremidade dos 3 componentes dá o vetor r. r = xi + yj + zk r = xi + yj + zk Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 5 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 6 2.1 Vetores Posição e Deslocamento Observação: Em manuscritos o vetor posição r é representado por uma letra com uma flecha em cima ( ). r Então, na forma do vetor cartesiano: r = x ˆi + yˆj + z kˆ 2.1 Vetores Posição e Deslocamento Se r é o vetor posição orientado do ponto A ao ponto B, então: r + r = r A B r = r = r r AB B A ( xb yb zb ) ( xa ya za ) ( x x ) ( y y ) ( z z ) r = i + j+ k i + j+ k = i + j+ k B A B A B A Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 7 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 8

2.1 Vetores Posição e Deslocamento O vetor r que vai de um ponto no espaço a outro ponto qualquer também é conhecido como vetor deslocamento. Exemplo 1 (Hibbeler pág. 50) O homem mostrado na figura puxa a corda com uma força de 70 lb. Represente essa força, que atua sobre o suporte A, como vetor cartesiano e determine sua direção. ( x x ) ( y y ) ( z z ) r = r = i + j+ k AB B A B A B A Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 9 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 10 Tendência da força de provocar a rotação de um corpo em torno do ponto ou de um eixo. Seja F x que age perpendicularmente ao cabo da chave inglesa e está localizada a uma distância d y do ponto O. Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 11 F x tende a provocar um giro do tubo em torno do eixo z. Essa tendência de rotação é chamada de torque, ou momento de uma força ou momento (M O ) z. F x e d y estão no plano xy que é perpendicular ao eixo do momento (z). Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 12

F z tende a provocar rotação no tubo em torno do eixo z? Não, a tendência de giro é em torno do eixo x, produzindo o momento (M O ) x F z e d y estão no plano yz que é perpendicular ao eixo (x). Se uma força F y é aplicada à chave, nenhum momento é produzido em relação ao ponto O. Haverá ausência total de giro do tubo, pois a linha de ação da força passa pelo ponto O. Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 13 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 14 M o = Fd = df Direção - perpendicular ao plano formado pela distância d e a força. Sentido - regra da mão direita. Seja um sistema de forças no plano xy, o momento resultante M RO é a soma dos momentos de cada força: + M RO = Fd Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 15 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 16

Exemplo 2 (Hibbeler pág. 100) Determine o momento resultante das quatro forças que atuam na haste, em relação ao ponto O. Produto escalar A B = AB cos θ O resultado é um escalar! Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 17 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 18 Produto vetorial Propriedades: ( AB senθ ) C A B = u Não-comutativo A B B A O resultado é um vetor! ou A B = B A Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 19 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 20

Propriedades: Multiplicação por escalar ( A B ) = ( A ) B = A ( B ) a a a = ( A B)a Produto vetorial de um par de vetores unitários cartesianos: i j = k i k = j i i = 0 j k = i j i = k j j = 0 k i = j k j = i k k = 0 Lei distributiva A ( B + D) = ( A B) + ( A D) Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 21 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 22 Produto vetorial como vetores cartesianos ( Ax Ay Az ) ( Bx By Bz ) ( AyBz Az By ) ( Ax Bz Az Bx ) ( Ax By AyBx ) A B = i + j+ k i + j+ k = i j + k que pode ser escrito como i j k A B = A A A x y z B B B x y z O momento de uma força pode ser expresso na forma de produto vetorial: M = r F O r é o vetor posição traçado de O até qualquer ponto sobre a linha de ação de F Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 23 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 24

Do cálculo vetorial: O ( θ ) M = r F = rf senθ = F r sen = Fd Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 25 Princípio da Transmissibilidade F aplicada no ponto A M = r F O F deslizante e pode agir em qualquer ponto sobre sua linha de ação, produzindo o mesmo momento M = r F = r F O Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 26 B A C Finalmente, o momento M O pode ser resolvido por meio de um determinante: E como seria determinado o momento resultante de um sistema de forças? M = r F = O i j k r r r x y z F F F x y z ( ) M = R r F O Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 27 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 28

Exemplo 3 (Hibbeler pág. 105) O poste da figura está sujeito a uma força de 60 N na direção de C para B. Determine a intensidade do momento criado pela força em relação ao suporte em A. Princípio dos Momentos (teorema de Varignon) O momento de uma força em relação a um ponto é igual à soma dos momentos dos componentes da força em relação ao mesmo ponto. M = + O r F r F 1 2 ( ) = r F + F = r F 1 2 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 29 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 30 2.3 Momento de uma Força em relação a um Eixo Seja a tubulação espacial livre em A e engastada no plano xz. 2.3 Momento de uma Força em relação a um Eixo O momento da força F em relação ao ponto O tende a girar a tubulação em relação ao eixo Ob. Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 31 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 32

2.3 Momento de uma Força em relação a um Eixo Como obter o momento da força F em relação ao eixo y? 2.3 Momento de uma Força em relação a um Eixo É obtido por meio de duas etapas: 1 - Encontrar o momento em relação a um ponto localizado no eixo desejado; O A ( 0,3 0, 4 ) ( 20 ) ( 8i 6j) N.m M = r F = i + j k = + Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 33 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 34 2.3 Momento de uma Força em relação a um Eixo É obtido por meio de duas etapas: 2 - A componente (projeção) desse momento sobre o eixo desejado é dado por M = M u = M j y O a O ( ) = 8i + 6j j = 6 N.m 2.3 Momento de uma Força em relação a um Eixo 1 Generalizando: ) ) M = r F O 2 M a = M O cosθ = M O u a Combinando: a ( ) M = r F u a a a ( ) M = u r F COMUTATIVO Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 35 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 36

2.3 Momento de uma Força em relação a um Eixo ( ) u u u a a a x y z M = u r F = r r r a a x y z F F F x y z O resultado pode ser um escalar positivo ou negativo. Positivo - M a com o mesmo sentido de u a ; Negativo - M a com o sentido oposto de u a. 2.3 Momento de uma Força em relação a um Eixo Na forma de um vetor cartesiano ( ) M = M u = u r F u a a a a a Momento resultante de uma série de forças, calculado em relação ao eixo aa, é dado por ( ) ( ) M a = ua r F = ua r F Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 37 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 38 Exemplo 4 (Hibbeler pág. 121) A barra mostrada na figura é sustentada por dois grampos em A e B. Determine o momento M AB produzido por F = (-600i + 200j -300k) N, que tende a girar a barra em torno do eixo AB. 2.4 Momento de um Conjugado Um conjugado ou binário é formado por duas forças paralelas de mesma intensidade, sentidos opostos e separadas por uma distância perpendicular d. Como a força resultante é nula, o único efeito de um conjugado é produzir rotação ou tendência de rotação em determinada direção. Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 39 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 40

2.4 Momento de um Conjugado Momento conjugado sobre a origem: ( ) ( A B ) ( ) M = r F + r F A M = r + r F B A B M = r r F M = r F ( ) ( ) M = r F 2.4 Momento de um Conjugado Logo, o momento de um conjugado é um vetor livre; Depende apenas do vetor posição r, que é orientado entre as forças, não se encontrando ligado ao ponto arbitrário O; Isso não acontece com os vetores posição r A e r B, que têm origem no ponto O. Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 41 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 42 2.4 Momento de um Conjugado M está na direção normal ao plano do conjugado; O sentido pode ser visto pela figura. 2.4 Momento de um Conjugado Como lembrar da equação do momento conjugado? Tome o momento em relação ao ponto A ou ao ponto B. Com relação ao ponto A: - O momento de (-F) é nulo; - O momento de F é M = r F Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 43 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 44

2.4 Momento de um Conjugado Conjugados equivalentes: Se produzem o mesmo momento; É necessário que as forças de conjugados iguais estejam ou no mesmo plano ou em planos paralelos entre si. Momento conjugado resultante: Como os momentos conjugados são vetores livres, podem ser aplicados em qualquer ponto de um corpo e somados vetorialmente. 2.4 Momento de um Conjugado Exemplo: Substitua os conjugados que estão em planos diferentes por seus momentos conjugados; Mova-os (vetor livre) até um ponto P e os soma para obter o momento conjugado resultante. ( ) M = r F Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 45 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 46 2.4 Momento de um Conjugado Exemplo 5 (Hibbeler pág. 129) Determine o momento conjugado que atua sobre a estrutura de tubos mostrada na figura. O segmento AB está orientado em 30 o abaixo do plano xy. Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 47 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 48

Exemplo 6 Uma força F 1 = 10i + 6j + 3k age na posição (3,0,2). No ponto (0,2,-3) age uma força igual e oposta - F1. a) Qual o momento conjugado? b) Quais são os cossenos diretores da normal ao plano do conjugado? 2.5 Sistema de Forças Equivalentes Quando um sistema de força e momento conjugado produz o mesmo efeito externo de translação e rotação do corpo que sua resultante, os dois conjuntos de cargas são ditos ser equivalentes. c) Qual é a distância perpendicular entre essas forças? Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 49 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 50 2.5 Sistema de Forças Equivalentes Condições necessárias e suficientes para que dois sistemas sejam equivalentes: n ( F ) = ( F ) n 1 2 i I i= 1 i= 1 n m n m 1 1 2 2 ( r F ) + ( M ) = ( r F ) + ( M ) i i P I i I i i P II i II i= 1 i= 1 i= 1 i= 1 P - qualquer ponto sobre o qual o momento é tomado; M i - momento conjugado. i II Exemplo 7 Dados dois sistemas de forças (I) F 1 = (5i + 10j 4k) kgf aplicada no ponto (0,0,0) F 2 = (2i + 2j + 3k) kgf aplicada no ponto (1,2,0) m M 1 = (5i + 10j + 12k) kgf.m M 2 = (2i + 3j + 7k) kgf.m (II) F 3 = (4i + 8j + 2k) kgf aplicada no ponto (2,0,0) m F 4 =? aplicada no ponto (3,1,0) m M 3 = (16i - 2j 3k) kgf.m M 4 =? Encontrar F4 e M4 para que os dois sistemas sejam equivalentes. Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 51 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 52

2.5.1 Translação de uma Força para uma Posição Paralela Consideremos uma força F atuante sobre um ponto A. Suponha que por alguma razão a força F tivesse que atuar no ponto O. 2.5.1 Translação de uma Força para uma Posição Paralela Pelo princípio da transmissibilidade podemos mover F ao longo de sua linha de ação; Mas movê-la para o ponto O, muda a ação original de F sobre o corpo rígido. Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 53 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 54 2.5.1 Translação de uma Força para uma Posição Paralela Sem modificar a ação original, aplica-se duas forças no ponto O (F e F); 2.5.1 Translação de uma Força para uma Posição Paralela Logo, além do momento conjugado M (vetor livre) que pode atuar em qualquer ponto P do corpo, F atua agora no ponto O As forças indicadas por um traço formam um binário, cujo momento é M = r F. Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 55 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 56

2.5.2 Redução de um Sistema de Forças a uma Força e um Conjugado Usando o mesmo conceito para substituir um sistema de forças e momentos conjugados por uma única força resultante equivalente, atuando em um dado ponto O, e um momento resultante. Vetor livre 2.5.2 Redução de um Sistema de Forças a uma Força e um Conjugado FR = F M = M + M R C O Vetor livre Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 57 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 58 Exemplo 8 (Hibbeler pág. 140) Um elemento estrutural está sujeito a um momento M e as forças F 1 e F 2, como mostrado na figura. Substitua este sistema por uma força resultante e um momento equivalente que atuam em sua base no ponto O. 2.5.2 Redução de um Sistema de Forças a uma Força e um Conjugado Simplificação a uma única força resultante: quando a força e o momento resultantes são perpendiculares entre si. Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 59 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 60

2.5.2 Redução de um Sistema de Forças a uma Força e um Conjugado Em geral, um dado sistema de forças e momentos atuantes são reduzidos a uma força resultante e a um momento resultante em O que não são perpendiculares entre si. 2.5.2 Redução de um Sistema de Forças a uma Força e um Conjugado M RO pode ser decomposto em dois componentes, um perpendicular e outro paralelo em relação à linha de ação da força F R ; Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 61 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 62 2.5.2 Redução de um Sistema de Forças a uma Força e um Conjugado Redução a um torsor: Eliminar o momento perpendicular pelo deslocamento da força até o ponto P; O momento paralelo é um vetor livre. O resultado é uma combinação de força e momento colineares. chamado TORSOR. 2.5.2 Redução de um Sistema de Forças a uma Força e um Conjugado Redução a um torsor: O torsor está na mesma linha de ação das forças, então, ele tende a provocar tanto uma translação ao longo do eixo quanto uma rotação em torno dele. Torsor positivo - momento paralelo e força resultante no mesmo sentido; Torsor negativo - momento paralelo e força resultante sentidos opostos. Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 63 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 64

Exemplo 9 (Hibbeler pág. 144) A viga AE da figura está sujeita a um sistema de forças coplanares. Determine a intensidade, a direção, o sentido e a localização na viga de uma força resultante equivalente ao sistema de forças dado em relação ao ponto E. Exemplo 10 Um bloco é carregado pelas cinco forças mostradas na figura. Reduzir o sistema de forças em: a) Um sistema força-conjugado na origem; b) Um torçor, especificando o eixo central. y 5 kgf 8 cm 5 kgf 10 kgf 6 cm x 10 kgf 5 kgf z Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 65 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 66 2.6.1 - Condições de equilíbrio para um corpo rígido Considere um corpo rígido que está em repouso ou movendose com velocidade constante. 2.6.1 - Condições de equilíbrio para um corpo rígido No diagrama de corpo livre da i-ésima partícula do corpo, há duas forças: força interna (f i ); força externa (F i ). Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 67 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 68

2.6.1 - Condições de equilíbrio para um corpo rígido 2.6.1 - Condições de equilíbrio para um corpo rígido f i - provocada pela interação das partículas adjacentes; F i - representando os efeitos externos (força gravitacional, elétrica, magnética ou das forças de contato entre a i- ésima partícula e os corpos ou partículas vizinhos não incluídos no corpo). Se a partícula está em equilíbrio, da primeira lei de Newton F + f = 0 i Para cada uma das outras partículas do corpo, equações similares são obtidas, que são somadas vetorialmente Fi i + f = 0 i Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 69 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 70 2.6.1 - Condições de equilíbrio para um corpo rígido O somatório das forças internas é igual a zero, pois essas forças entre as partículas do próprio corpo ocorrem aos pares, são opostas e de mesma intensidade. Portanto, De modo análogo, Fi = F = 0 M O = 0 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 71 2.6.2 Equações de equilíbrio Para cada diagrama de corpo livre é possível substituir o sistema de forças e conjugados agindo sobre o corpo por um sistema único, força-conjugado, agindo sobre um ponto arbitrário do corpo. As condições necessárias e suficientes para um corpo rígido estar em equilíbrio são F = 0 M O = 0 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 72

2.6.2 Equações de equilíbrio Num sistema coplanar (forças no plano xy), as condições de equilíbrio em duas dimensões são: F = 0 x F y = 0 M O = 0 Ponto O pode pertencer ao corpo ou estar fora dele! 2.6.3 Diagrama de corpo livre Esboço da forma do corpo livre dos elementos vizinhos; Para estudar o equilíbrio de um corpo impedido de mover-se livremente, imagina-se sempre que os apoios ou vínculos foram retirados e que, em seus lugares, permanecem as reações que exercem sobre o corpo. Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 73 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 74 2.6.3 Diagrama de corpo livre No caso de uma viga, pode-se ter as seguintes reações: 2.6.4 Vínculos ou apoios Um corpo geralmente é fixo, ou seja, é impedido de mover-se devido aos vínculos ou apoios que conectamos neste corpo. A seguir, veremos os tipos de vínculos mais comuns. Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 75 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 76

2.6.4 Vínculos ou apoios Apoio ou Ligação Reação Nº Incógnitas 2.6.4 Vínculos ou apoios Apoio ou Ligação Reação Nº Incógnitas Roletes Balancim Superfície Lisa Força com linha de ação conhecida Cabo curto Biela curta Força com linha de ação conhecida Articulação Pino sem sem atrito atrito ou articulação apoio fixo Superfície rugosa Força com linha de ação desconhecida Cursor sobre haste lisa Pino deslizante sem atrito Força com linha de ação conhecida Engaste Força e Momento Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 77 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 78 2.6.4 Vínculos ou apoios Representações Rolete 2.6.4 Vínculos ou apoios Por que as forças internas ao corpo não devem ser representadas no diagrama de corpo livre? Engastamento Articulação Porque essas forças são iguais em intensidade, sempre ocorrem aos pares colineares e opostos. Logo, sua resultante sobre o corpo é nula. Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 79 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 80

Exemplo 11 (Hibbeler pág. 179) Determine os componentes horizontal e vertical da reação para a viga carregada, como mostrado na figura. Despreze o peso da viga em seus cálculos. Exemplo 12 (Hibbeler pág. 180) A corda mostrada na figura suporta uma força de 100 lb apoiando-se numa polia sem atrito. Determine a força de tração na corda em C e nos componentes horizontal e vertical da reação no pino em A. Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 81 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 82 Exemplo 12 (Hibbeler pág. 180) Continuação... Diagramas isolados: Exemplo 13 (Hibbeler pág. 181) A haste mostrada na figura é conectada por um pino em A e sua extremidade B tem movimento limitado pelo apoio liso em B. Calcule os componentes horizontal e vertical da reação no pino A. Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 83 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 84

Exemplo 14 (Hibbeler pág. 182) A chave de boca mostrada na figura é utilizada para apertar o parafuso em A. Se a chave não gira quando a carga é aplicada ao seu cabo, determine o torque ou momento e a força da chave aplicados ao parafuso. 2.6.5 Restrições para um corpo rígido. Quando um corpo tem apoios redundantes (mais apoios do que o necessário), seu estado de equilíbrio se torna estaticamente indeterminado, pois haverá mais incógnitas do que equações para resolver o problema. Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 85 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 86 2.6.5 Restrições para um corpo rígido. Estaticamente indeterminado Proposto A viga AB é apoiada sobre suportes A e B. Determine as reações nos apoios, sendo a força P = 2000 (kgf). Desprezar o peso próprio da viga. 5 incógnitas Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 87 Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 88