MODELAGEM MATEMÁTICA: ÁLCOOL E DIREÇÃO UMA CONSCIENTIZAÇÃO Jéssika Naves de Oliveira Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Cornélio Procópio jessikanaves04@gmail.com Bruna Santana Sotero Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Cornélio Procópio bru_na_ss@hotmail.com Karina Alessandra Pessôa da Silva Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Londrina karinasilva@utfpr.edu.br Resumo Neste relato apresentamos uma atividade de modelagem matemática para o ensino de matemática, especificamente para o ensino de função linear no Ensino Médio. Apresentamos aspectos da modelagem matemática na educação matemática, bem como indicações da literatura de como introduzir atividades de modelagem nas aulas de Matemática. Procurando ir além do ensino, conscientizando os alunos e a comunidade escolar, sobre o consumo de álcool e a condução de um veículo, é que pensamos no desenvolvimento de uma atividade de modelagem com essa temática. Essa atividade está associada à experiência dos autores com o terceiro momento de familiarização com atividades de modelagem matemática na sala de aula. Palavras-chave: Educação Matemática. Modelagem Matemática. Função Linear. Consumo de Álcool. Introdução Atualmente o professor de Matemática encontra muitas dificuldades em despertar o interesse do aluno pela disciplina e se depara, cada vez mais, com elevados índices de reprovação. Nesse contexto, a Modelagem Matemática na sala de aula emerge com o intuito de problematizar os conteúdos matemáticos correlacionando-os com o cotidiano dos alunos, entrelaçando outras áreas do conhecimento. Este artigo aborda uma atividade desenvolvida por alunos da Universidade Tecnológica Federal do Paraná, na disciplina de Modelagem Matemática do curso de Licenciatura em Matemática. Após o desenvolvimento da atividade, constatamos que
esta pode ser desenvolvida no Ensino Médio, abordando o conteúdo relacionado à função linear. Nas seções que se seguem, apresentamos nossos entendimentos sobre modelagem matemática, para então apresentarmos como foi o desenvolvimento da atividade que realizamos, cuja temática está relacionada ao consumo de álcool, mais precisamente do consumo de cerveja. Sobre Modelagem Matemática Para Bassanezi (2002, p. 16), modelagem é uma nova forma de encarar a Matemática e consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real. Na sala de aula, apresenta-se como uma situação de investigação que envolve situações do cotidiano do aluno. A modelagem matemática representa um desafio para os alunos e professores, pois eles devem sair de suas rotinas, que são as aulas tradicionais, e partir para uma nova forma de construir o conhecimento. Desse modo, a modelagem matemática pode ser descrita em termos de uma situação inicial (problemática) até uma situação final (solução para a problemática), passando por algumas fases caracterizadas por Almeida, Silva e Vertuan (2012) como inteiração, matematização, resolução, interpretação de resultados e validação (Figura 1). Figura 1- Fases da Modelagem Matemática Fonte: Almeida, Silva e Vertuan, 2012, p.12. Atividades de modelagem matemática dentro da sala de aula podem ser realizadas de modo gradativo, fazendo com que os alunos se habituem à tendência. Para Almeida, Silva e Vertuan (2012, p. 26):
Em um primeiro momento, o professor coloca os alunos em contato com uma situação-problema, juntamente com os dados e as informações necessárias. A investigação do problema, a dedução, a análise e a utilização de um modelo matemático são acompanhadas pelo professor, de modo que ações como definição de variáveis e hipóteses, a simplificação, a transição para a linguagem matemática, obtenção e validação do modelo bem como o seu uso para a análise da situação, são em certa medida, orientadas e avalizadas pelo professor. Posteriormente, em um segundo momento, uma situaçãoproblema é sugerida pelo professor aos alunos, e estes, divididos em grupos, completam a coleta de informações para a investigação da situação e realizam a definição de variáveis e a formulação das hipóteses simplificadoras, a obtenção e validação do modelo matemático e seu uso para análise da situação. O que muda, essencialmente, do primeiro momento para o segundo é a independência do estudante no que se refere à definição de procedimentos extramatemáticos e matemáticos adequados para a realização da investigação. Finalmente, no terceiro momento, os alunos, distribuídos em grupos, são responsáveis pela condução de uma atividade de modelagem, cabendo a eles a identificação de uma situaçãoproblema, a coleta e análise dos dados, as transições de linguagem, a identificação de conceitos matemáticos, a obtenção e validação do modelo e seu uso para análise da situação, bem como a comunicação desta investigação para a comunidade escolar. No âmbito da sala de aula, a modelagem também possibilita a interdisciplinaridade e a espiralidade na abordagem de conteúdos, fatores que auxiliam a aprendizagem na disciplina. A atividade que relatamos neste artigo se situa no terceiro momento gradativo proposto por Almeida, Silva e Vertuan (2012) e foi desenvolvida segundo as fases da modelagem matemática. O desenvolvimento de tal atividade é apresentado a seguir. Sobre o desenvolvimento da atividade: álcool e direção uma conscientização Esta atividade foi desenvolvida por dois dos autores deste relato, sob a orientação do terceiro autor na disciplina de Modelagem Matemática do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Durante a disciplina de modelagem matemática, a professora inseriu as atividades para os alunos de modo gradativo, conforme proposto por Almeida, Silva e Vertuan (2012). No terceiro momento, foi proposto aos alunos o desenvolvimento de
uma atividade de modelagem matemática, ou seja, os alunos deveriam escolher o tema, coletar dados, definir o problema, levantar as hipóteses, matematizar a situação e resolver o problema. O tema escolhido pelos alunos foi a relação de bebidas alcoólicas com o trânsito, focando-se em saber após quanto tempo um indivíduo pode dirigir, depois de ingerir bebida alcoólica, para não ser pego pelo bafômetro. Os alunos se interessaram pelo tema com o intuito de conscientizar seus colegas e pessoas que iriam ler sua atividade, mostrando o risco que podem correr se dirigirem alcoolizados. Inteirando sobre a situação Para o desenvolvimento da atividade algumas informações se fizeram necessárias para adentrarmos à situação e, posteriormente, ao problema que iríamos trabalhar. O principal ingrediente das bebidas alcoólicas é a molécula de etanol. Assim que uma pessoa toma um gole, estas moléculas rapidamente começam a entrar na corrente sanguínea, e se espalham pelo corpo, em que aproximadamente 90% são metabolizadas pelo fígado e o restante pelos pulmões, rins e pele, para sua eliminação. Este processo ocorre lentamente, eliminando em média 0,10g/L de álcool do sangue do indivíduo por hora. O consumo de bebidas alcoólicas é um assunto que envolve desde festas e comemorações até riscos. Mesmo com a Lei Seca aprovada em 19 de junho de 2008, Julia Greve médica fisiatra que trabalha no Instituto de Ortopedia e Traumatologia da Universidade de São Paulo afirma que, os números do IML indicam que 50% dos mortos no Brasil vítimas de acidente de trânsito estavam embriagados no momento do acidente. Evidenciando que o hábito de conduzir automóveis após ingerir bebidas alcoólicas continua. Dados da Universidade Estadual Paulista informam que uma lata da cerveja Skol de 269ml possui 9,22g de álcool. E um condutor que ingerir qualquer quantidade de bebida alcoólica e for submetido à fiscalização de trânsito estará automaticamente sujeito a multa de R$ 1915,40, suspensão do direito de dirigir e terá o veículo retido. Na prática, o condutor não poderá ingerir alguma quantidade de álcool que já será considerada a infração de trânsito. Se o indivíduo fizer o teste e a concentração for maior do que 0,068g/L (recomendação do Inmetro como margem de segurança do
bafômetro) de sangue, será considerado crime de trânsito e o agente o encaminhará à autoridade policial. Na Tabela 1 apresentamos a quantidade de sangue no organismo de homens e mulheres com 1,70 m de altura e massa de 65 kg a 75 kg. Tabela 1- Quantidade de sangue no organismo de homens e mulheres de 1,70 m de acordo com a massa Massa (em kg) Quantidade de sangue (em litros) em homens Quantidade de sangue (em litros) em mulheres 65 4,499 4,083 70 4,660 4,248 75 4,821 4,414 Fonte: <http://www.prosangue.sp.gov.br/calculo/default.aspx>. Acesso em 15 nov. 2013. Definindo o problema De posse das informações coletadas sobre como o álcool contido na cerveja é eliminado do organismo e como funciona a lei que pune quem dirige alcoolizado, bem como da quantidade de sangue existente no organismo de seres humanos do sexo masculino e do sexo feminino com 1,70 m, nosso intuito foi investigar o seguinte problema: Depois de quanto tempo o álcool é eliminado do organismo, após um indivíduo ingerir uma lata de cerveja Skol de 269ml, para que como motorista, possa dirigir sem ser pego pelo bafômetro? Matematizando e resolvendo a situação Para desenvolver a atividade de modelagem levamos em consideração as variáveis e hipóteses apresentadas a seguir: Variável independente: t (tempo em horas) Variável dependente: Q (quantidade de álcool no organismo em g/l) Variável auxiliar: n H 1 : O organismo elimina em média 0,10 g/l de álcool no sangue por hora; H 2 : 269 ml de cerveja contêm 9,22 g de álcool; H 3 : Se o indivíduo fizer o teste do bafômetro e a concentração for maior do que 0,068g/L (recomendação do Inmetro como margem de segurança do bafômetro) de sangue, será considerado crime de trânsito; H 4 : Considerando um homem de 75 kg e 1,70 m de altura. Com essas hipóteses em mãos consideramos assim que a cerveja Skol lata de 269 ml contém cerca de 9,22g de álcool e o organismo de um homem de 75 kg e 1,70 m de altura possui aproximadamente 4,821 L de sangue, então analisamos que, se o álcool
é diluído no sangue, então é preciso dividir o valor do álcool pela quantidade de sangue. Assim, encontramos a quantidade de álcool que há no organismo do indivíduo por litro de sangue. Também consideramos, por hipótese, que o organismo elimina em média 0,10 g/l de álcool no sangue por hora. Logo é preciso diminuir a cada uma hora 0,10g/L de álcool do sangue. Com isso, realizamos os cálculos da quantidade de álcool no organismo de acordo com o tempo (de hora em hora), conforme apresentado na Tabela 2. t Tabela 2- Quantidade de álcool no organismo de acordo com o tempo Q(t) 0 Q 0 =9,22/4,821= 1,912466293 1 Q 1 = Q 0-0,10=1,912466293-0,10= 1,812466293 2 Q 2 = Q 1-0,10= Q 0-0,10-0,10= Q 0-2(0,10)= 1,712466293 3 Q 3 = Q 0-3(0,10)= 1,912466293-0,30= 1,612466293... n Fonte: Construída pelos autores. Q n = Q 0 n(0,10)= 1,912466293 - n(0,10) A partir dos cálculos realizados na Tabela 2, obtivemos um modelo, retratando matematicamente a realidade: Q n 1,912466293 0,10n, n N. Ao realizarmos mudança da variável discreta n para a variável contínua, ficamos com Q( t) 1,912466293 0,10t, t R. Com o auxílio do software Excel, montamos a Tabela 3 que apresenta a quantidade de álcool no organismo durante o tempo com a ingestão de 9,22 g de álcool de um homem de 75 kg e 1,70 m de altura com 4,821 L de sangue. Tabela 3- Eliminação do álcool no sangue. t 0 1 2 3 4 5 6 7 Q(t) 1,912466 1,812466 1,712466 1,612466 1,512466 1,412466 1,312466 1,212466 t 8 9 10 11 12 13 14 15 Q(t) 1,112466 1,012466 0,912466 0,812466 0,712466 0,612466 0,512466 0,412466 t 16 17 18 19 Q(t) 0,312466 0,212466 0,112466 0,012466 Fonte: Construída pelos autores. Para visualizarmos os valores apresentados na Tabela 3, realizamos a construção de uma representação gráfica (Gráfico 1). Com isso, visualizamos no plano cartesiano o
comportamento decrescente da função linear e, que assim, aos poucos o álcool vai sendo eliminado do organismo. Gráfico 1 - Eliminação do álcool no sangue Fonte: Construído pelos autores. Interpretando os resultados e validando Vejamos que agora se faz necessária uma análise para a resposta ao problema. Segundo Almeida e Ferruzzi (2009, p. 121), A análise da resposta constitui um processo avaliativo realizado pelos envolvidos na atividade e implica em uma validação da representação matemática associada ao problema, considerando tanto os procedimentos matemáticos quanto a adequação da representação para a situação. Sendo assim, é de grande importância ser realizada uma interpretação e validação dos resultados pelos autores da devida atividade. Com o modelo matemático em mãos, realizamos a sua validação como apresentado na Tabela 4. Tabela 4 - Validação do modelo matemático n Q(Q(t)t) Validação 0 1,912466 1,9125 1 1,812466 1,8125 2 1,712466 1,7125 3 1,612466 1,6125 4 1,512466 1,5125 5 1,412466 1,4125
6 1,312466 1,3125 7 1,212466 1,2125 8 1,112466 1,1125 9 1,012466 1,0125 10 0,912466 0,9125 11 0,812466 0,8125 12 0,712466 0,7125 13 0,612466 0,6125 14 0,512466 0,5125 15 0,412466 0,4125 16 0,312466 0,3125 17 0,212466 0,2125 18 0,112466 0,1125 19 0,012466 0,0125 20-0,08753-0,0875 Fonte: Construída pelos autores A partir da construção da Tabela 4, selecionamos os dados obtidos e construímos o Gráfico 2, utilizando a função do programa Excel adicionar linha de tendência, que possibilita a visualização da função mais adequada aos pontos, explicitando a função (opção exibir equação no gráfico) e sua margem de erro (opção R-quadrado). Notamos que a função que software explicitou corresponde à função que obtivemos na dedução do modelo matemático. Gráfico 2 - Modelo matemático que representa a eliminação do álcool no sangue
Fonte: Construído pelos autores. Um homem de 75 kg e 1,70 m de altura, após ingerir uma lata de cerveja de 269ml, poderá dirigir sem correr riscos de ser detectado no bafômetro após 19 horas. É de se considerar as simplificações realizadas no desenvolvimento da atividade, pois consideramos a eliminação do álcool no sangue, sem considerar fatores como alimentação, digestão e transpiração, por exemplo. Observamos que a eliminação do álcool no sangue ocorre lentamente, então é preciso que o motorista aguarde o tempo necessário para conduzir seu veículo sem correr riscos de ser detectado pelo bafômetro e levar multas, além de evitar acidentes. Chamamos a atenção para o fato de termos utilizado, para a dedução do modelo matemático, um homem de 75 kg, 1,70m de altura que ingeriu 269ml de cerveja. No entanto, é possível fazer uma generalização do modelo para qualquer ser humano, desde que saibamos a quantidade de sangue no organismo e a quantidade de álcool ingerida. Considerações finais Com o desenvolvimento de uma atividade de modelagem matemática caracterizada como de terceiro momento, seguindo as fases caracterizadas por Almeida, Silva e Vertuan (2012), pudemos representar um modelo matemático, que nos possibilitou realizar uma análise da concentração de álcool no organismo. Para além da situação estudada, fizemos uso da função linear na qual pudemos utilizar tabelas e
gráficos para nos auxiliar nos cálculos e visualizações do comportamento do fenômeno em estudo. Neste sentido, uma abordagem da função linear utilizando a modelagem matemática como alternativa pedagógica pode possibilitar uma concepção significativa no ensino da matemática, além de estabelecer relações com outras ciências. Consideramos também que outras variáveis podem ser inseridas para aprimorar o modelo matemático obtido, levando em consideração a digestão, a realização da filtragem do sangue pelos rins que poderia acrescentar um modelo exponencial e, de certa forma, mais próximo da realidade. Esse desenvolvimento fica como proposta a ser desenvolvida em trabalhos posteriores. Vejamos que a resolução de problemas reais do cotidiano do aluno a partir da modelagem pode contribuir para uma formação crítica, reflexiva e questionadora, proporcionando uma atitude analítica frente a sua realidade. E atividades visando essa temática na sala de aula podem proporcionar momentos de conscientização. Se uma pessoa tomar 269ml de cerveja, desconsiderando o metabolismo do organismo, podemos perceber que o álcool será eliminado totalmente após 19 horas. Questões do tipo: vale a pena beber e arriscar vidas?; será que esse é o momento certo para eu beber?; quando esse álcool vai ser eliminado do meu organismo se eu tomar mais de uma lata de cerveja? podem permear e elucidar discussões que tem como foco a conscientização em sala de aula referente à bebida e direção. Nesse sentido, a modelagem matemática emerge como uma tendência que auxilia o professor no ensino da matemática, sendo assim um rico e criativo procedimento, que fará o processo de ensino e aprendizagem se desenvolver de uma forma natural. Referências ALMEIDA, L. M. W.; FERRUZZI, E. C. Uma aproximação socioepistemológica para a modelagem matemática. Alexandria. Santa Catarina, v. 2, n. 2, p. 117-134, 2009. ALMEIDA, L. W.; SILVA, K. P; VERTUAN, R. E. Modelagem Matemática na Educação Básica. São Paulo: Contexto, 2012. BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2002.