IDEB DO ENSINO MÉDIO: UMA ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA Leandro Meneses da Costa UEL lmenesescosta@hotmail.com Karina Alessandra Pessôa da Silva UTFPR Câmpus Londrina karinasilva@utfpr.edu.br Resumo: Neste trabalho relatamos uma experiência durante o desenvolvimento de uma atividade de modelagem matemática relacionada com as projeções do Ideb do Ensino Médio brasileiro. Para tanto, levamos em consideração os momentos de familiarização com atividades de modelagem destacadas na literatura e sob os quais tivemos contato. A atividade que relatamos foi desenvolvida como trabalho final de uma disciplina de Modelagem Matemática proposta em um curso de especialização em Educação Matemática de uma universidade paranaense. Finalizamos concluindo que quando temos contato com atividades de modelagem sob uma forma gradativa, o fazer modelagem se torna familiar e possível para alunos de diferentes níveis de escolaridade, bem como entendemos a modelagem enquanto uma alternativa pedagógica para o ensino de matemática. Palavras-chave: Educação Matemática. Modelagem Matemática. Ideb. Introdução O estudo da Matemática leva o sujeito ao desenvolvimento do raciocínio lógico, fundamental para o processo de tomada de decisão e o desenvolvimento cultural deste indivíduo, tornando-o mais crítico e atento ao ambiente que o cerca. Neste sentido, apoiando-nos em entender que é fundamental que o indivíduo se assegure de um desenvolvimento de habilidades que lhe possa garantir uma evolução cultural e social também nas aulas de Matemática, é que nos debruçamos sob um enfoque da Modelagem Matemática enquanto alternativa pedagógica para o estudo de conteúdos matemáticos. Esse fato é defendido nas Diretrizes Curriculares da Educação Básica para Matemática (PARANÁ, 2008, p. 64): A modelagem matemática tem como pressuposto a problematização de situações do cotidiano. Ao mesmo tempo em que propõe a valorização no contexto social, procura levantar Problemas que sugerem questionamentos sobre situações de vida.
Com o intuito de nos aprimorar em estudos relativos à Educação Matemática é que participamos de um curso de especialização em Educação Matemática de uma universidade paranaense no qual Modelagem Matemática se constitui enquanto uma disciplina. Nesta disciplina, aprendemos o fazer modelagem por meio de familiarização gradativa com atividades desta natureza. O findar da disciplina foi caracterizado pelo desenvolvimento de uma atividade de modelagem que realizamos em grupos no qual participamos ativamente deste a escolha da situação cotidiana a ser estudada até a resposta ao problema que nos propusemos a estudar. Neste trabalho, relatamos a atividade que desenvolvemos. Para tanto, a princípio fizemos uma abordagem sobre os aspectos que caracterizam uma atividade de modelagem matemática, bem como explicitamos a questão da familiarização para então relatarmos o desenvolvimento da atividade de modelagem que realizamos. Finalizamos com considerações de que a modelagem é uma alternativa pedagógica para se ensinar matemática e esta é possível de ser realizada em diferentes níveis de escolaridade, seguindo os momentos de familiarização. Modelagem Matemática: nossas interpretações A modelagem matemática na Educação Matemática assume diversas caracterizações, dependendo de como se pretende trabalhar. Neste trabalho entendemos a modelagem matemática como a busca de uma representação matemática para um objeto ou fenômeno não-matemático (ALMEIDA; FERRUZZI, 2009). Ao nos referirmos ao objeto em uma atividade de modelagem, consideramos o objeto matemático que, segundo Godino, Batanero e Font (2006, p. 5) é qualquer entidade ou coisa à qual nos referimos, ou da qual falamos, seja real, imaginária ou de qualquer outro tipo, que intervém de alguma maneira na atividade matemática. Desse modo, ao nos remetermos à modelagem matemática, estamos nos referindo a atividades que têm como ponto de partida uma situação inicial (problemática) e como ponto de chegada uma situação final (solução para a situação inicial); para tanto, são utilizados procedimentos que definem estratégias de ação do sujeito envolvido com a atividade em relação à situação problemática. Almeida, Silva e Vertuan (2012) identificam elementos que, de modo geral, se fazem presentes em atividades de modelagem. Segundo os autores,
[...] o início é uma situação-problema; os procedimentos de resolução não são predefinidos e as soluções não são previamente conhecidas; ocorre a investigação de um problema; conceitos matemáticos são introduzidos ou aplicados; ocorre a análise da solução (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2012, p. 17). Sendo assim, consideramos a modelagem matemática uma alternativa pedagógica que parte de um contexto não essencialmente matemático, para fazer a relação entre situações reais e a matemática, tendo como ponto de partida a problematização do contexto em estudo, o que chamamos de situação-problema, a fim de chegar a uma situação final que se associa a uma representação matemática, um modelo matemático, do objeto de estudo em questão. Ao tratarmos de modelo matemático nos referimos segundo Bassanezi (2002, p. 20), ao "conjunto de símbolos e relações matemáticas que representam de alguma forma o objeto matemático". A procura de estabelecer a relação matemática com a situação real de estudo, ainda é algo que gera certo desconforto no professor. Há certa resistência com relação à implementação de atividades de modelagem em sala de aula, pois a não linearidade dos conteúdos e representações matemáticas que podem aparecer na execução da atividade é um grande empecilho. Contudo é necessário ao profissional que queira fazer uso de tal alternativa pedagógica, preparar seus alunos, para que estes se familiarizem com uma abordagem mais investigativa. Para tanto, Almeida e Dias (2004), referem-se que o aluno se familiariza com as atividades de modelagem de forma gradativa, o que caracteriza diferentes momentos. Esses momentos estão divididos em Primeiro Momento, Segundo Momento e Terceiro Momento. No Primeiro Momento, cabe ao professor abordar com os alunos uma situaçãoproblema, colocando os alunos em contato com os dados e as informações necessárias para sua resolução. Nesse momento todo processo de investigação, dedução, análise e utilização do modelo matemático é acompanhado pelo professor. No Segundo Momento, professor sugere uma situação-problema aos alunos que, em grupos, completam a coleta de dados. Neste momento, o professor não sistematiza toda situação-problema, de forma que os alunos investiguem mais acerca da problemática. Sendo assim, os alunos definem as variáveis, formulam as hipóteses
pertinentes, encaminham a obtenção do modelo matemático, realizam a validação e apresentam a resposta da situação fazendo a análise do modelo obtido. Almeida e Vertuan (2011, p. 28) referem-se a diferença entre o Primeiro e o Segundo Momento da Modelagem Matemática: [...] O que muda, essencialmente, do primeiro momento para o segundo é a independência do estudante no que se refere à definição de procedimentos extramatemáticos e matemáticos adequados para realização da investigação. O que demonstra que no segundo momento os alunos já devem começar a caminhar sem a mediação do professor, e esse com uma função orientadora instiga os alunos com questionamentos, que validem as hipóteses dos alunos, levando-os a reflexões sobre o modelo matemático obtido. No Terceiro Momento, os alunos organizados em grupos são os responsáveis por todo o processo da atividade de modelagem matemática, desde a escolha da situaçãoproblema a ser estudada até a situação final e comunicação dos resultados obtidos. Este modelo de encaminhamento para a familiarização dos alunos com atividades de modelagem matemática, não é uma estrutura rígida. No entanto, seu uso tem se mostrado eficiente, conforme relatos de pesquisa e de práticas sobre o uso de modelagem em sala de aula. Neste trabalho relatamos uma atividade que foi desenvolvida no Terceiro Momento de familiarização em uma disciplina de Modelagem Matemática de um curso de especialização em Educação Matemática de uma universidade estadual do Paraná. A disciplina foi desenvolvida conforme os encaminhamentos dos momentos de familiarização. A atividade foi desenvolvida por um dos autores deste trabalho. Uma experiência com a modelagem matemática A atividade que relatamos neste trabalho foi desenvolvida e apresentada na disciplina de Modelagem Matemática de um curso de especialização em Educação Matemática de uma universidade paranaense. O desenvolvimento de tal atividade constituía-se como trabalho final a ser apresentado no último dia do curso, que foi encaminhado segundo os momentos de familiarização com atividades de modelagem.
Durante o curso entramos em contato com diferentes situações-problema encaminhadas e propostas pela professora regente. A atividade realizada como de terceiro momento que aqui relatamos consiste em abordar a questão do Ideb brasileiro, suas projeções para os anos futuros, uma vez que esse índice vem sendo muito discutido nas escolas paranaenses. Esta atividade foi desenvolvida com a intenção de exemplificar diferentes conteúdos matemáticos, seja do Ensino Médio ou do Ensino Superir, porém o foco da especialização em que a atividade foi apresentada é o ensino da matemática para a Educação Básica. Com isso, buscamos nessa atividade explorar no desenvolvimento de uma atividade de modelagem, as diferentes possibilidades e inserção de conteúdos matemáticos, ainda que ao desenvolver uma atividade de modelagem, o conteúdo a priori não é delimitado. Com isso buscamos articular a temática e a forma com que o conteúdo foi desenvolvido. Muito se tem discutido no país para alavancar os índices apontados pelos indicadores da Educação Básica, desde as séries iniciais do Ensino Fundamental até o Ensino Médio, uma vez que várias discussões apontam que um país só se torna desenvolvido quando seus índices de educação também são altos. Para avaliar o ensino no país, contamos com o Ideb, Índice de Desenvolvimento da Educação Básica, que compreende todas as esferas da educação, uma vez que ele serve para medir a qualidade das escolas públicas no Brasil, divulgado pelo Ministério da Educação (MEC) tornando-se o maior indicador da qualidade do ensino. Medido em uma escala de 0 a 10, o Ideb teve um notório crescimento nas suas esferas, nos anos iniciais do Ensino Fundamental de 4,6 para 5,0, nos anos finais dessa etapa de 4,0 esperado para 4,1 alcançados, e no Ensino Médio chegou na meta de 3,7. Esse índice foi criado em 2005, quando as metas foram estabelecidas, com o objetivo de chegar a 2012 com índice de 6,0 nos anos iniciais do Ensino Fundamental, 5,5 nos anos finais do Ensino Fundamental e 5,2 no Ensino Médio. Seu cálculo é feito com base nos resultados da Prova Brasil de Português e Matemática, e na taxa de aprovação das escolas. No Quadro 1 apresentamos o desenvolvimento do Ensino Médio segundo as projeções do Ideb.
Quadro 1 - Desenvolvimento do Ensino Médio segundo as projeções do Ideb Ideb observado Metas 2005 2007 2009 2011 2007 2009 2011 2013 2021 Total 3.4 3.5 3.6 3.7 3.4 3.5 3.7 3.9 5.2 Dependência Administrativa Pública Estadual 3.1 3.2 3.4 3.4 3.1 3.2 3.4 3.6 4.9 3.0 3.2 3.4 3.4 3.1 3.2 3.3 3.6 4.9 Privada 5.6 5.6 5.6 5.7 5.6 5.7 5.8 6.0 7.0 Fonte: Sistema de Avaliação da Educação Básica (Saeb). Neste trabalho fazemos uma análise sobre o resultado total do Ideb do Ensino Médio. Com duração mínima de três anos, esse estágio consolida e aprofunda o aprendizado do Ensino Fundamental, além de preparar o estudante para trabalhar e exercer a cidadania. Segundo dados do Censo Escolar 2009, um total de 8.337.160 estudantes estão matriculados no Ensino Médio regular 1,1% em escolas federais (90.353), 85,9% em estaduais (7.163.020), 1,33% em municipais (110.780) e 11,67% em instituições privadas (973.007). A região Sudeste tem o maior número de matrículas no Ensino Médio com 3.356.293 alunos, seguida pela região Nordeste, com 2.512.783. O Centro- Oeste tem o menor número de alunos matriculados nessa etapa de ensino, com 609.722 estudantes. Ainda segundo o Censo Escolar 2009, o Ensino Médio brasileiro conta com 25.923 instituições. Desta forma, propusemos a seguinte situação-problema, que desencadeou todo o estudo da atividade de modelagem matemática: tendo em vista o desenvolvimento do Ensino Médio no país, será possível em 2021 o Brasil alcançar ou até mesmo superar o índice de 5,2 no Ideb como estipulado pelo MEC? Para tanto, levamos em consideração o IDEB dos anos de 2005, 2007, 2009 e 2011 que é apresentado no Quadro 2.
Quadro 2 Ideb do Ensino Médio Ideb observado Metas Ensino 2005 2007 2009 2011 2007 2009 2011 2013 2021 Médio 3.4 3.5 3.6 3.7 3.4 3.5 3.7 3.9 5.2 Fonte: Sistema de Avaliação da Educação Básica (Saeb). De posse da situação-problema partimos para a obtenção do modelo matemático. Em nosso estudo fazemos a proposta da resolução em diferentes níveis de escolaridade: Ensino Médio, abordando o conteúdo de funções; Ensino Superior no desenvolvimento do método dos mínimos quadrados, que também irá se remeter ao estudo de funções, porém com enfoque mais aprofundado. Para resolver o problema que nos propusemos a investigar, consideramos os dados que relacionam os índices com cada ano. Nesse caso, consideramos como n períodos, em que cada período corresponde a um intervalo de 2 em 2 anos, como consta na primeira e na segunda colunas da Tabela 1. Para a abordagem tanto no Ensino Médio quanto no Ensino Superior, a construção do modelo se embasou nas seguintes hipóteses: Há um crescimento no índice do Ideb em relação ao tempo n períodos; A tendência dos dados segue um padrão linear. Para uma abordagem voltada para o Ensino Médio, o desenvolvimento da atividade foi feita por meio da dedução de um modelo linear, no qual resolvemos o sistema de equações lineares: no qual obtivemos o modelo matemático Tabela 1. que foi validado conforme Tabela 1 Validação do modelo matemático obtido por meio de função linear Intervalo: n f(n) = f(x) 2005-2006 1 3,4 2007 2008 2 3,5 2009-2011 3 3,6 Atual 2012-2013 4 3,7 Fonte: construída pelos autores. Para resolver o problema em 2021 temos que: 2021 2005 = 16 anos, ou seja, passaram-se 8 períodos. Portanto, f(8) =, o que nos possibilita
inferir que se o índice de desenvolvimento da Educação Básica continuar crescendo linearmente o Brasil não alcançará a meta de 5,2. Em uma abordagem levando em consideração conteúdos do Ensino Superior, nosso modelo foi obtido por meio do Método dos Mínimos Quadrados, na qual consideramos como variáveis: P(i): Projeção do Ideb no decorrer do tempo; i: intervalo de tempo (2 anos). O método consiste na resolução do seguinte sistema de equações, xa nb y 2 x a xb xy para a obtenção de um modelo da forma P i ai b, para o qual obtivemos o modelo matemático P(i) = 0,1 i + 3,3 que foi validado conforme Tabela 2. Tabela 2 Validação do modelo matemático obtido por meio do método dos mínimos quadrados Intervalo: I P(i) = P(i) 2005-2006 1 3,4 2007 2008 2 3,5 2009-2011 3 3,6 Atual 2012-2013 4 3,7 Fonte: construída pelos autores. Para responder ao problema em questão considerando i = 8 (8 períodos de 2 anos = 16 anos ( de 2005 até 2021), temos que P(8) = = 4,1. Sendo assim, o Brasil não alcançará o índice estabelecido pelo Ideb, que é de 5,2. Outro conteúdo que pode ser explorado com esse problema e as informações a eles relacionadas é Progressão Aritmética, considerando a sequência de projeções observadas para o IDEB do Ensino Médio (Quadro 3). Quadro 3 IDEB do Ensino Médio Projeções observadas 1 2005 2 2007 3 2009 4 2012 3.4 3.5 3.6 3.7 Fonte: Saeb, adaptado pelo autor Com os dados do Quadro 3, observamos que se trata de uma sequência crescente, com razão. Para determinarmos o Ideb de 2021 seguindo as projeções observadas temos que encontrar o termo geral dessa P.A. Notamos que os anos considerados pelo Ideb é de 2 em 2 anos, dessa forma consideramos períodos,
como 1 que corresponde a 2005 até 2006, 2 corresponde a 2007 até 2008, assim por diante. Desta forma, para n = 1 temos que ; para n = 2 temos que ; para n = 3 temos que ; para n = 4 temos que ;... para n períodos, temos que. Como de 2005 até 2021 temos 16 anos, que estão divididos em 2 a 2 anos, 16/2 = 8 períodos, então, que não corresponde ao valor estimado para o Ideb de 2021, por meio de uma abordagem utilizando progressão geométrica. Contudo, podemos destacar que ao concretizar esse trabalho tivemos uma maior noção sobre os caminhos do desenvolvimento de uma atividade de modelagem matemática. Esta atividade que foi desenvolvida no terceiro momento pode retratar na prática o fazer modelagem. Em suma, ao passar por todo esse desenvolvimento pudemos entender melhor a dinâmica da Modelagem Matemática enquanto alternativa pedagógica, bem como analisar a previsão do Ideb caso não sejam tomadas medidas para melhorar a Educação. O que sabemos é que as metas estão postas e para alcançálas, muito além de realizar previsões é concretizar esforços e investimentos na área da Educação. Considerações finais Neste trabalho apresentamos uma atividade de modelagem que é caracterizada para ser desenvolvida no terceiro momento de familiarização. Como a disciplina Modelagem Matemática foi organizada levando em consideração os momentos de familiarização, pudemos sentir o nosso papel enquanto o fazer modelagem ao desenvolver a atividade desde a escolha da situação até a comunicação dos resultados obtidos. Com o desenvolvimento gradativo da disciplina, pudemos nos apropriar das concepções de modelagem enquanto alternativa pedagógica, e nos atentar a cada especificidade da resolução de uma atividade. Esse desenvolvimento foi muito rico para
determinar como seria enfim o trabalho no último momento, no embasamos no que foi desenvolvido de antemão nos momentos anteriores, com isso entendemos a importância desta familiarização gradativa com atividades de modelagem matemática. Destacamos ainda, com base nesta atividade que desenvolvemos, que atividades de modelagem matemática pode ser desenvolvida em diferentes níveis de escolaridade, cujo o foco é o ensino da matemática. No entanto, reflexões de cunho social e cultural, podem ser destacadas levando o aluno a perceber as relações existentes entre a matemática e o cotidiano. Referências ALMEIDA, L. M. W.; DIAS, M. R. Um estudo sobre o uso da Modelagem Matemática como estratégia de ensino e aprendizagem. Bolema, ano 17, n. 22, p. 19-35, 2004. ALMEIDA, L. M. W.; FERRUZZI, E. C. Uma aproximação socioepistemológica para a modelagem matemática. Alexandria. Santa Catarina, v. 2, n. 2, p. 117-134, 2009. ALMEIDA, L. W. de; SILVA, K. P. da; VERTUAN, R. E. Modelagem Matemática na Educação Básica. São Paulo: Contexto, 2012. ALMEIDA, L. M. W.; VERTUAN, R. E. Discussões sobre como fazer Modelagem Matemática na sala de aula. In: ALMEIDA, L. M. W.; ARAÚJO, J. L; BISOGNIN, E. Práticas de Modelagem Matemática na Educação Matemática: relatos de experiências e propostas pedagógicas. Londrina, PR: Eduel, p. 19-43, 2011. BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2002. GODINO, J. D.; BATANERO, C.; FONT, V. Um enfoque onto-semiótico do conhecimento e a instrução Matemática. Disponível em http://www.ugr.es/local/jgodino capturado em 1/5/2006. PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação do Paraná, Departamento de Educação Básica. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática. Paraná: Secretaria de Estado da Educação do Paraná, 2008.