INFORMAÇÕES IMPORTANTES Nesta edição as Olimpíadas de Matemática da UVA homenageiam a Grécia Antiga, destacando os filósofos gregos Euclides de Alexandria ( Pai da Geometria ) e Pitágoras de Samos que viveram entre os anos 600 a.c e 250 a.c; A prova está dividida em 2 baterias: a Bateria Euclides conta com 10 questões objetivas contemplando os níveis Fundamental e Médio e a Bateria Pitágoras que contempla o nível Universitário; Cada questão da Bateria Euclides vale 1,0 ponto e cada questão da Bateria Pitágoras vale 2,0 pontos; A Bateria Euclides(BE) tem peso 1 e a Bateria Pitágoras(BP) tem peso 2. A nota da prova será a média ponderada, ou seja, = + Não será permitido o uso de calculadoras ou qualquer tipo de material eletrônico. As questões devem ser feitas à caneta azul ou preta; O desenvolvimento e resposta das questões discursivas devem constar nas folhas de resposta correspondentes a cada questão; Resoluções à lápis ou nas folhas de rascunho não serão consideradas; Ao final da prova todas as folhas serão entregues (inclusive as folhas de rascunho); A prova terá duração de 4 horas.
BATERIA EUCLIDES E1) Sabendo que a equação: + + + + = Tem solução nos reais, o valor de x é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 E2) As medidas de um terreno retangular, são a e b, medidos em metros. Tais medidas satisfazem a relação a + 4b = 480. Qual a maior área possível deste terreno? a) 1.800 m 2 b) 3.600 m 2 c) 5.280 m 2 d) 14.400 m 2 e) 16.800 m 2 E3) Alexandre comprou um livro de Cálculo diferencial e integral que contém 600 páginas. Devido a um problema na máquina de impressão, alguns exemplares apresentaram páginas em branco cujos números eram múltiplos de 3 ou de 4. Quantas páginas este livro tem impressas? a) 200 b) 250 c) 300 d) 350 e) 400
E4) Uma estrada de 600 km de extensão liga os pontos A e B. Iniciando uma viagem do ponto A para o ponto B, encontra-se uma placa, no Km 100, que indica a cidade Belmonte a 80 Km. Continuando a viagem, no mesmo sentido, verifica-se outra placa no Km 480, que indica a cidade de Devaneio a 130 Km. Qual a distância entre as cidades de Belmonte e Devaneio? a) 120 Km b) 170 Km c) 230 Km d) 450 Km e) 610 Km E5) Quando Otávio entrou na sala de aula, verificou que a professora estava apagando uma expressão numérica que ela tinha acabado de passar como exercício de fixação. Otávio ainda conseguiu ver uma parte da expressão escrita. Qual o número que foi apagado? a) 8 b) 10 c) 15 d) 20 e) 22 E6) Seja a equação: Para x > 0. O valor de é igual a: + = a) 80 b) 105 c) 156 d) 208 e) 256 E7) Num grupo de 7 universitários, somente 4 fazem Engenharia. Escolhidos ao acaso 3 estudantes do grupo, a probabilidade de apenas um deles estar fazendo Engenharia é: a) 4/35 b) 4/7 c) 1/7 d) 12/35 e) 6/35
E8) Um determinado nadador olímpico treina intensamente para as olimpíadas. Em 1 h de treinamento consegue atravessar 80 vezes a piscina. Como ele manteve o mesmo ritmo, quantas vezes ele atravessou a piscina nos primeiros 24 minutos de treino? a) 20 b) 24 c) 26 d) 30 e) 32 E9) A distância do menino ao poste é de 12 metros, sabendo que o menino tem 1,60 m e a altura do poste é de 6,60 m, a que distância está a pipa do menino? a) 13 m b) 15 m c) 18 m d) 20 m e) 22 m E10) Efetuando as operações indicadas na expressão:. +.. +.. Obtemos o seguinte resultado expresso em Notação Científica: a) 1,4 x 10 6 b) 1,4 x 10 7 c) 6,4 x 10 6 d) 6,4 x 10 7 e) 3,2 x 10 6
BATERIA PITÁGORAS P1) Em 27 de julho de 2012 foram realizados, na cidade de Londres (Inglaterra), os XXX Jogos Olímpicos. Dentre os 205 países participantes, a Rússia ocupou o 4 o lugar no quadro de medalhas, conquistando 26 medalhas de prata. Podemos destacar ainda: - O número de medalhas de ouro conquistadas pela Rússia corresponde a 3/4 do número de medalhas de bronze; - A Rússia obteve 8 medalhas de bronze a mais que as de ouro. Determine o total de medalhas conquistadas pela Rússia. P2) Para a figura abaixo: Determine: a) O valor do lado AC em função de m e n; b) Derive AC em função de n; P3) A velocidade média do fluxo de ar que passa pela traqueia quando tossimos é modelada pela equação: = cm/s,, Onde é o raio, em centímetros, da traqueia em repouso e c é uma constante positiva, cujo valor depende do comprimento da traqueia. Ao tossir, o raio da traqueia se reduz fazendo com que o fluxo de ar aumente de velocidade. Demonstre que v é máximo quando =, ou seja, quando a traqueia é contraída em cerca de 33%.
P4) As populações de duas culturas de bactérias têm seus respectivos crescimentos dados pelas expressões =. e =., nas quais t é o tempo, em meses, contado a partir do início das culturas. Determine após quanto tempo do início dessas culturas suas populações são iguais. (Dados: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48.) P5) A rapidez com que as pessoas ouvem falar de um aumento das tarifas postais é proporcional ao número de pessoas que ainda não ouviram falar do aumento. Expresse o número de pessoas que ouviram falar do aumento em função do tempo. (Utilize P(t) como o número de pessoas que ouviram falar do evento até o instante t e A o número total de pessoas)