Eame Final Nacional de Matemática A Prova 635.ª Fase Ensino Secundário 07.º Ano de Escolaridade Decreto-Lei n.º 39/0, de 5 de julho Duração da Prova: 50 minutos. Tolerância: 30 minutos. 0 Páginas VERSÃO Indique de forma legível a versão da prova. Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta. É permitido o uso de régua, compasso, esquadro, transferidor e calculadora gráfica. Não é permitido o uso de corretor. Risque aquilo que pretende que não seja classificado. Para cada resposta, identifique o grupo e o item. Apresente as suas respostas de forma legível. Apresente apenas uma resposta para cada item. A prova inclui um formulário. As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado da prova. Na resposta aos itens de escolha múltipla, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida. Na resposta aos restantes itens, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproimação, apresente sempre o valor eato. Nos termos da lei em vigor, as provas de avaliação eterna são obras protegidas pelo Código do Direito de Autor e dos Direitos Coneos. A sua divulgação não suprime os direitos previstos na lei. Assim, é proibida a utilização destas provas, além do determinado na lei ou do permitido pelo IAVE, I.P., sendo epressamente vedada a sua eploração comercial. Prova 635.V/.ª F. Página / 0
Formulário Geometria Comprimento de um arco de circunferência: ar^a-amplitude, emradianos, doângulo ao centro; r -raioh Área de um polígono regular: Semiperímetro # Apótema Área de um sector circular: ar ^a -amplitude, emradianos, doângulo ao centro; r -raioh Probabilidades n = p + f + p n n v = p ] - ng + f + p ^ - nh n n Se X é N] nv, g, então: P] n- v X n+ vg. 0, 687 P] n- v X n+ vg. 09545, P] n- 3v X n+ 3vg. 09973, Área lateral de um cone: r rg^r- raio da base; g- geratrizh Regras de derivação Área de uma superfície esférica: 4rr ^r - raioh Volume de uma pirâmide: # Áreadabase # Altura 3 Volume de um cone: # Áreadabase # Altura 3 Volume de uma esfera: Progressões 4 3 rr ^r- raioh 3 Soma dos n primeiros termos de uma progressão _ u n i: Progressão aritmética: u + u n n # Progressão geométrica: u r # - - r Trigonometria n sen] a+ bg= sena cosb+ senb cosa cos] a+ bg= cosa cosb- sena senb tga+ tgb tg ] a+ bg= - tga tgb Compleos n ^tcisih = t n cis ^nih tcisi = t cisb i+ kr l ] k!! 0,, n- + e n! Ng n n n f ^u+ vhl = ul + vl ^uvhl= uv l + uvl u l uv l = - uvl ` j v v ^ n n u hl = nu - ul ^n! Rh ^senuhl = ul cos u ^cosuhl = - ul sen u ^tg uhl = ^ u e hl = ul e ul cos u ^ u a hl u = ul a ln a ^a! R ^ln uhl = ul u log u au l l ^ h = uln a Limites notáveis limb + l = e n u lim sen = " 0 lim " 0 lim ln ^ + h = " 0 lim " + 3 lim " + 3 e - = ln = 0 e p n =+ 3 + ^a! R + ^n! Nh ^ p! Rh ", h ", h Prova 635.V/.ª F. Página / 0
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GRUPO I. Considere todos os números naturais de cinco algarismos diferentes que se podem formar com os algarismos 34,,, e 5 Destes números, quantos têm os algarismos pares um a seguir ao outro? (A) 7 (B) 96 (C) 4 (D) 48. A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é a seguinte. i 3 4 P^X = i h 3 4 6 4 Qual é o valor da probabilidade condicionada P^X X # 3h? (A) 4 (B) 9 5 (C) 9 8 (D) 4 3 3. De uma função f, de domínio R, com derivada finita em todos os pontos do seu domínio, sabe-se que lim = 4 " f ^ h f ^h Qual é o valor de (A) f ' ^h? (B) 4 (C) (D) 4 Prova 635.V/.ª F. Página 4/ 0
4. Na Figura, está representado o gráfico de uma função f, de domínio 6, 6@, e, na Figura, está representada parte do gráfico de uma função g, de domínio R Tal como as figuras sugerem, em ambas as funções, todos os objetos inteiros têm imagens inteiras. y y g f O O Figura Figura Quais são os zeros da função g % f? (o símbolo % designa a composição de funções) (A) e 6 (B) e 3 (C) e 5 (D) 0 e 4 5. Seja f uma função de domínio R A tabela de variação de sinal da função f ', segunda derivada de f, é a seguinte. 3 0 0 0 + 3 '' f 0 + 0 0 + Seja g a função definida por g^h = f ^ 5h Em qual dos intervalos seguintes o gráfico de g tem concavidade voltada para baio? (A) @ 006, (B) @ 55, 6 (C) @ 556, (D) @ 5, 56 Prova 635.V/.ª F. Página 5/ 0
6. Seja z um número compleo de argumento Qual dos seguintes valores é um argumento do número compleo r 5 5iz? (A) 4r (B) 5 3r (C) 0 3r (D) 0 7r 5 7. Considere, num referencial o.n. Oy, a região definida pela condição Qual é o perímetro dessa região? ^ + h + ^y + h # / + y + $ 0 (A) r + (B) r + (C) r + (D) r + 8. Seja _ u n i a sucessão definida por u n = c m Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) A sucessão (B) A sucessão (C) A sucessão (D) A sucessão n _ u n i é uma progressão aritmética de razão _ u n i é uma progressão aritmética de razão _ u n i é uma progressão geométrica de razão _ u n i é uma progressão geométrica de razão Prova 635.V/.ª F. Página 6/ 0
GRUPO II. Em C, conjunto dos números compleos, sejam z e z tais que z = + i e z # z = 4 3i Considere a condição z z = z z Mostre que o número compleo cis r verifica esta condição e interprete geometricamente este facto. 4 Resolva este item sem recorrer à calculadora.. Na Figura 3, está representado, num referencial o.n. Oyz, o cubo 6 ABCDEFGH@ Sabe-se que: a face 6 ABCD@ está contida no plano Oy a aresta 6 CD@ está contida no eio Oy o ponto D tem coordenadas ^040,, h z F E G H o plano ACG é definido pela equação y z 6 0 + = O D C y.. Verifique que o vértice A tem abcissa igual a A Figura 3 B.. Seja r a reta definida pela condição = y = z Determine as coordenadas do ponto de intersecção da reta r com o plano ACG.3. Seja P o vértice de uma pirâmide regular de base 6 EFGH@ Sabe-se que: a cota do ponto P é superior a o volume da pirâmide é 4 Determine a amplitude do ângulo OGP Apresente o resultado em graus, arredondado às unidades. Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais. Prova 635.V/.ª F. Página 7/ 0
3. Uma escola secundária tem alunos de ambos os seos. 3.. Escolhe-se, ao acaso, um aluno dessa escola. Seja A o acontecimento «o aluno escolhido é rapariga», e seja B o acontecimento «o aluno escolhido frequenta o 0.º ano». Sabe-se que: a probabilidade de o aluno escolhido ser rapaz ou não frequentar o 0.º ano é 0,8 a probabilidade de o aluno escolhido frequentar o 0.º ano, sabendo que é rapariga, é 3 Determine P^Ah 3.. Uma das turmas dessa escola tem trinta alunos, numerados de a 30 Com o objetivo de escolher quatro alunos dessa turma para formar uma comissão, introduzem-se, num saco, trinta cartões, indistinguíveis ao tato, numerados de a 30. Em seguida, retiram-se quatro cartões do saco, simultaneamente e ao acaso. Qual é a probabilidade de os dois menores números saídos serem o 7 e o? Apresente o resultado arredondado às milésimas. + 4. Considere a função f, de domínio R, definida por f^h= ln Resolva os itens 4.., 4.. e 4.3. recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. 4.. Estude a função f quanto à eistência de assíntotas do seu gráfico paralelas aos eios coordenados. 4.. Resolva a inequação f^h ln Apresente o conjunto solução usando a notação de intervalos de números reais. 4.3. Para um certo número real k, a função g, de domínio um etremo relativo para = Determine esse número k + R, definida por g^h= k + f^h, tem 5. Considere o desenvolvimento de csena + cosa m, em que a! R e! 0 Determine os valores de a, pertencentes ao intervalo @ r,r6, para os quais o termo independente de, neste desenvolvimento, é igual a Resolva este item recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. Prova 635.V/.ª F. Página 8/ 0
6. Num jardim, uma criança está a andar num baloiço cuja cadeira está suspensa por duas hastes rígidas. Atrás do baloiço, há um muro que limita esse jardim. A Figura 4 esquematiza a situação. O ponto P representa a posição da cadeira. haste muro P d(t) solo Figura 4 Num determinado instante, em que a criança está a dar balanço, é iniciada a contagem do tempo. Doze segundos após esse instante, a criança deia de dar balanço e procura parar o baloiço arrastando os pés no chão. Admita que a distância, em decímetros, do ponto P ao muro, t segundos após o instante inicial, é dada por 30 + t sen^rth se 0# t d^th = * 30 e + t sen^rth se t $ (o argumento da função seno está epresso em radianos) 6.. Determine, recorrendo à calculadora gráfica, o número de soluções da equação d^th = 7 no intervalo 606, @, e interprete o resultado no conteto da situação descrita. Na sua resposta, reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora que lhe permite(m) resolver o problema. 6.. Admita que, no instante em que é iniciada a contagem do tempo, as hastes do baloiço estão na vertical e que a distância do ponto P ao chão, nesse instante, é 4 dm Treze segundos e meio após o instante inicial, a distância do ponto P ao chão é 4, dm Qual é o comprimento da haste? Apresente o resultado em decímetros, arredondado às unidades. Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais. FIM Prova 635.V/.ª F. Página 9/ 0
COTAÇÕES Grupo Item Cotação (em pontos) I. a 8. 8 5 pontos 40 II......3. 3.. 3.. 4.. 4.. 4.3. 5. 6.. 6.. 5 5 0 5 5 5 5 5 5 5 5 0 60 TOTAL 00 Prova 635.V/.ª F. Página 0/ 0
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