TEORIA DA INFORMAÇÃO II

Medidas de Tendência Central Aula n ọ 08 TEORIA DA INFORMAÇÃO II Introdução: Numa empresa, três funcionários discutiam valores salariais, cada um com um diferente ponto de vista. Observe os argumentos de cada um: Na nossa empresa, o salário médio é de $ 800,00! disse João. O salário predominante na nossa empresa é de $ 350,00! falou Beto. Metade dos funcionários ganha até $ 600,00! afirmou Ana. Por incrível que pareça, é possível que todos tenham dito a verdade. Isto ocorre porque cada um deles utiliza uma medida salarial diferente. O primeiro utiliza a média aritmética, o segundo, a moda, e o terceiro, a mediana. Média aritmética, mediana e moda são as principais medidas de tendência central. Uma medida de tendência central é utilizada para caracterizar um conjunto de valores substituindo-o por um único valor que represente este conjunto. A denominação medida de tendência central deve-se ao fato de que, por ser uma medida que caracteriza um conjunto, provavelmente ela estará no meio dos dados. Média aritmética simples Seja um conjunto de n valores x 1, x 2 x 3,..., x n. A média aritmética simples desse conjunto, denotada por M a, é dada por: M a = x 1 + x 2 + x 3+... + x n n Carlos tem o costume de jantar fora todas as semanas. Preocupado com o gasto adicional que vinha tendo todos os meses por força deste hábito, resolveu registrar o que havia gasto em cada um dos restaurantes no último mês: Restaurante Bon apetit Gula s Mamma mia Exageru s Total Valor da conta R$ 25,00 R$ 30,00 R$ 24,00 R$ 33,00 R$ 112,00 Qual foi o gasto médio por restaurante? O gasto médio é obtido adicionando-se todos os gastos e dividindo-se o total encontrado pela quantidade de gastos (quantidade de restaurantes frequentados). Denotando por M a o gasto médio, temos: 25,00 + 30,00 + 24,00 + 33,00 112,00 M a = = = 28,00 4 4 Logo, o gasto médio mensal por restaurante foi de R$ 28,00. Média Aritmética Ponderada A média aritmética dos valores x 1, x 2,..., x n com pesos, respectivamente, iguais a f 1, f 2,.., f n é igual a: (x 1.f 1) + (x 2.f 2) +... + (x n.f n) M p = f + f +... + f 1 2 n Suponha que, em três provas, um aluno tenha obtido notas iguais a 4, 6 e 7, com pesos respectivamente iguais a 1, 2 e 3. Qual foi a nota média? M p = ( 4. 1) + ( 6. 2) + ( 7. 3) 37 = 6,167 1+ 2+ 3 6 Logo, a média é aproximadamente igual a 6,167. Observando atentamente o cálculo anterior, podemos perceber que a média aritmética ponderada é um caso particular de média aritmética simples: MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Vol. I 45

M p = ( 4. 1) + ( 6. 2) + ( 7. 3) 1+ 2+ 3 M p = 1vez 2 vezes 3 vezes (4) + (6 + 6) + (7 + 7 + 7 1+ 2+ 3 Pode-se, assim considerar que o aluno realizou 6 provas no total, obtendo nota igual a 4 em uma prova, nota igual a 6 em duas provas e nota igual a 7 em três provas. Observação: Em algumas circunstâncias, tais como a presença de valores extremos, a média aritmética não consegue representar adequadamente um conjunto de valores. Por isso, é importante que outras medidas de tendência central possam ser utilizadas para a devida representação de um conjunto. A moda e a mediana são, a exemplo da média aritmética, medidas de tendência central que auxiliam na compreensão efetiva de um conjunto de valores. Moda Moda é o valor mais frequente num conjunto de dados. Qual é a moda do conjunto {1; 2; 2; 3; 4; 5; 5; 5; 7; 7; 8}? O valor mais frequente é igual a 5. Logo, a moda do conjunto é igual a 5. A moda também pode ser chamada de valor típico, norma ou valor dominante. O termo moda foi primeiramente utilizado por Karl Pearson (1857 1936) em 1895, possivelmente em referência ao seu significado usual. Quando existe um único valor mais frequente, dizemos que o conjunto é unimodal. Pode ocorrer também que existam dois valores mais frequentes. Neste caso, o conjunto será bimodal. Qual é a moda para o conjunto de valores {2, 2, 4, 5, 6, 7, 7, 8}? Como os valores 2 e 7 são os mais frequentes, o conjunto é bimodal, ou seja, tanto 2 quanto 7 são modas. Um conjunto que tenha mais do que duas modas pode ser chamado de multimodal. Qual é a moda para o conjunto de valores {1, 2, 4, 5, 6, 8}? Não existe moda, pois nenhum valor é mais frequente que outro. Em resumo, quanto ao número de modas, um conjunto poderá ser: Amodal: conjunto sem moda; Unimodal: Conjunto com uma única moda; Bimodal: Conjunto com duas modas; Multimodal: Conjunto com três ou mais modas. Observação: A moda é a única das medidas de tendência central que pode representar variáveis qualitativas. Mediana Para obter a mediana (Md) de um conjunto de dados numéricos, devemos sempre ordenar este conjunto. A ordem pode ser crescente ou decrescente. Se o conjunto tiver um número ímpar de termos, a mediana é o termo central. Caso o conjunto tenha um número par de termos, a mediana é a média aritmética dos dois termos centrais. Qual é a mediana do conjunto {6; 8; 3; 5; 8; 9; 2}? Inicialmente, vamos ordenar o conjunto: (2; 3; 5; 6; 8; 8; 9) Como são 7 termos (número ímpar), existe um único termo central que, nesse caso, é igual a 6. Logo, a mediana é igual a 6. 46 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Vol. I

Qual é a mediana do conjunto ordenado (1; 3; 5; 7; 8; 9)? O conjunto já se encontra ordenado. Como são 6 termos (número par), basta calcular a média aritmética dos dois termos centrais: M d = 5 + 7 = 6 2 Observação: A mediana é uma medida de tendência central que tem a característica de dividir um conjunto ao meio. Por isso, também é chamada de medida separatriz. Calcule a média aritmética, a mediana e a moda do conjunto: {350; 350; 600; 700; 2 000} A média é dada por: 350 + 350 + 600 + 700 + 2000 M a = = 800 5 A mediana é o terceiro valor: M d = 600,00 A moda é o valor mais frequente, logo: M o = 350,00 Testes 01. (UEM PR) O gráfico a seguir indica o percentual de gasto com assistência à saúde, em função da faixa etária da população. Percentual gasto com a assistência à sáude por idade Assinale a alternativa correta. a) Percentualmente, a população de 10 a 19 anos gasta com saúde metade do que gasta a população da faixa dos 50 a 59 anos. b) Os gastos com saúde crescem em progressão aritmética dos 10 aos 49 anos, passando a crescer em progressão geométrica a partir dos 50 anos de idade. c) A média (aritmética) e a mediana dos percentuais gastos com assistência à saúde são iguais. d) Os pontos referentes às faixas etárias de 40 a 49, de 50 a 59 e de 60 a 69 são colineares. e) Percentualmente, os idosos na faixa de 70 anos ou mais gastam com saúde um pouco mais que o triplo do que os jovens na faixa de 10 a 19 anos gastam. 02. (ENEM) Um sistema de radar é programado para registrar automaticamente a velocidade de todos os veículos trafegando por uma avenida, onde passam em média 300 veículos por hora, sendo 55 km/h a máxima velocidade permitida. Um levantamento estatístico dos registros do radar permitiu a elaboração da distribuição percentual de veículos de acordo com sua velocidade aproximada. A velocidade média dos veículos que trafegam nessa avenida é de: a) 35 km/h b) 44 km/h c) 55 km/h d) 76 km/h e) 85 km/h Fonte: Folha de São Paulo, em 30/08/07, p. C1. MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Vol. I 47

03. (ENEM) O Brasil, em 1997, com cerca de 160 x 10 6 habitantes, apresentou um consumo de energia da ordem de 250.000 TEP (tonelada equivalente de petróleo), proveniente de diversas fontes primárias. O grupo com renda familiar de mais de vinte salários mínimos representa 5% da população brasileira e utiliza cerca de 10% da energia total consumida no país. O grupo com renda familiar de até três salários mínimos representa 50% da população e consome 30% do total de energia. Com base nessas informações, pode-se concluir que o consumo médio de energia para um indivíduo do grupo de renda superior é x vezes maior do que para um indivíduo do grupo de renda inferior. O valor aproximado de x é: a) 2,1 b) 3,3 c) 6,3 d) 10,5 e) 12,7 04. (ENEM) O consumo total de energia nas residências brasileiras envolve diversas fontes, como eletricidade, gás de cozinha, lenha, etc. O gráfico mostra a evolução do consumo de energia elétrica residencial, comparada com o consumo total de energia residencial, de 1970 a 1995. Consumo de Energia (x10 tep) 6 50 40 30 20 10 0 1970 1975 1980 1985 1990 1995 energia total energia elétrica *tep = toneladas equivalentes de petróleo Fonte: valores calculados através dos dados obtidos de: http://infoener.iee.usp.br/1999. Verifica-se que a participação percentual da energia elétrica no total de energia gasto nas residências brasileiras cresceu entre 1970 e 1995, passando, aproximadamente, de: a) 10% para 40% b) 10% para 60% c) 20% para 60% d) 25% para 35% e) 40% para 80% 48 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Vol. I

05. Analisando o gráfico, considere as seguintes afirmações: I. O menor índice foi obtido em agosto de 2003. II. A variação ocorrida de agosto/2004 em relação a agosto/2003 foi de aproximadamente 244%. III. A maior variação entre dois meses consecutivos foi de 0,86 ponto percentual. IV. Em exatos 4 meses, ocorreu inflação negativa (deflação). V. O índice foi menor que 0,60 em 6 meses. Mais devagar Evolução da segunda prévia do IGP-M (em %) 06. (FUVEST SP) O Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) é um indicador do nível de desenvolvimento socioeconômico de um dado país que leva em conta, simultaneamente, diversos aspectos, tais como expectativa de vida, índice de mortalidade infantil, grau de escolaridade e poder de compra da população. A relação entre o consumo anual de energia per capita (TEP) e o IDH, em vários países, está indicada no gráfico abaixo, no qual cada ponto representa um país. Fonte: FGV 20/10/04 Estado de SP IGPM Índice Geral de Preços do Mercado A quantidade total de afirmações verdadeiras é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Com base nesse conjunto de dados, pode-se afirmar que a) o IDH cresce linearmente com o consumo anual de energia per capita. b) o IDH aumenta, quando se reduz o consumo anual de energia per capita. c) a variação do IDH entre dois países é inferior a 0,2, dentre aqueles, cujo consumo anual de energia per capita é maior que 4 TEP. d) a obtenção de IDH superior a 0,8 requer consumo anual de energia per capita superior a 4 TEP. e) o IDH é inferior a 0,5 para todos os países com consumo anual de energia per capita menor que 4 TEP. MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Vol. I 49

07. (UEM PR) O gráfico a seguir mostra, em termos percentuais, como pobres e ricos gastam o dinheiro reservado para a saúde. 08. (ENEM) Para testar o uso do algicida sulfato de cobre em tanques para criação de camarões, estudou-se, em aquário, a resistência desses organismos a diferentes concentrações de íons cobre (representados por Cu 2+ ). Os gráficos relacionam a mortandade de camarões com a concentração de Cu 2+ e com o tempo de exposição a esses íons. 100 Gráfico I % de camarões mortos 80 60 40 20 Tempo de exposição = 14h Sabe-se ainda que, com saúde, o gasto médio mensal per capita de ricos e de pobres é assim distribuído: 10% mais ricos (renda familiar acima de R$ 3.876,00 em 2003): R$ 1.815,00 40% mais pobres (renda familiar até R$ 758,00 em 2003): R$ 179,00 Fonte: Folha de São Paulo, em 30/08/07, p. C1. Utilize as informações anteriores para assinalar a alternativa correta. a) Nos itens remédios, planos de saúde e consultas médicas, os gastos médios mensais dos 40% mais pobres superam os gastos dos 10% mais ricos. b) O gasto médio mensal dos 10% mais ricos é um pouco maior que dez vezes o valor das despesas mensais dos 40% mais pobres. c) A população pobre gasta menos porque, em geral, é beneficiada pelos programas de saúde pública do Estado. d) No item hospitalização, o gasto mensal dos 40% mais pobres é R$ 16,28. e) O gasto com remédios dos 10% mais ricos é, aproximadamente, R$ 970,00. Tempo de exposição (horas) 167 96 24 1,7 0,2 0,4 0,7 1 2 5 10 20 40 60 2+ Concentração de íons Cu (mg/l) Gráfico II 1 2 3 4 5 7 10 20 40 60 100 2+ Concentração de íons Cu que causa 50% da mortalidade dos camarões (mg/l) Adaptado de VOWLES, P.D & CONNELL, D.W. Experiments in environmental chemistry a laboratory manual. Oxford: Pergamon Press, 1980. Se os camarões utilizados na experiência fossem introduzidos num tanque de criação contendo 20000 L de água tratada com sulfato de cobre, em quantidade suficiente para fornecer 50 g de íons cobre, estariam vivos, após 24 horas, cerca de: a) 1/5 b) 1/4 c) 1/2 d) 2/3 e) 3/4 50 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Vol. I

09. (ENEM) Uma pesquisa da ONU estima que, já em 2008, pela primeira vez na história das civilizações, a maioria das pessoas viverá na zona urbana. O gráfico a seguir mostra o crescimento da população urbana desde 1950, quando essa população era de 700 milhões de pessoas, e apresenta uma previsão para 2030, baseada em crescimento linear no período de 2008 a 2030. Almanaque Abril, 2008, p. 128 (com adaptações) De acordo com o gráfico, a população urbana mundial em 2020 corresponderá, aproximadamente, a quantos bilhões de pessoas? a) 4,00 b) 4,10 c) 4,15 d) 4,25 e) 4,50 10. (ENEM) O índice de massa corpórea (IMC) é uma medida que permite aos médicos fazer uma avaliação preliminar das condições físicas e do risco de uma pessoa desenvolver certas doenças, conforme mostra a tabela a seguir. IMC classificação risco de doença menos de 18,5 magreza elevado entre 18,5 e 24,9 normalidade baixo entre 25 e 29,9 sobrepeso elevado entre 30 e 39,9 obesidade muito elevado 40 ou mais obesidade grave muitíssimo elevado Considere as seguintes informações a respeito de João, Maria, Cristina, Antônio e Sérgio. Internet: <www.somatematica.com.br> nome peso (kg) altura (m) IMC João 113,4 1,80 35 Maria 45 1,50 20 Cristina 48,6 1,80 15 Antônio 63 1,50 28 Sérgio 115,2 1,60 45 Os dados das tabelas indicam que a) Cristina está dentro dos padrões de normalidade. b) Maria está magra, mas não corre risco de desenvolver doenças. c) João está obeso e o risco de desenvolver doenças é muito elevado. d) Antônio está com sobrepeso e o risco de desenvolver doenças é muito elevado. e) Sérgio está com sobrepeso, mas não corre risco de desenvolver doenças. MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Vol. I 51

Gabarito 01. e 02. b 03. b 04. b 05. c 06. d Resolução: O gráfico apresentado mostra a relação entre maiores índices de desenvolvimento humano e consumo de energia, embora esse desempenho não seja necessariamente linear. Podemos, contudo, afirmar que, entre os países com elevado IDH, a variação será sempre inferior a 0,2, pois, no gráfico apresentado, todos os países, cujo consumo anual de energia per capita é maior que 4 TEP, possuem IDH entre 0,8 a 1,0. 07. b 08. c 09. d Resolução: De acordo com as informações apresentadas no gráfico, o cruzamento da dados do ano de 2020 mostra uma população urbana mundial de 4,25 bilhões de habitantes. 10. c Resolução: Pela tabela, João, com IMC = 35, está obeso e corre risco muito elevado de desenvolver doenças. 52 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS - Vol. I