Sinalização: O Modelo de Spence

Sinalização: O Modelo de Spence Em virtude do problema de seleção adversa, os indivíduos mais produtivos da economia ficam desempregados. É natural que busquem uma forma de comunicar ao mercado (ou sinalizar) sua maior produtividade. A questão é se encontram uma tecnologia para fazê-lo que não seja acessível (ou que o seja somente a um custo que não compensa) aos indivíduos de produtividade baixa. Spence (1973), em seu clássico artigo, considerou o papel da educação como instrumento de sinalização. Os indivíduos tem dois possíveis níveis de produtividade, θ: 0 < θ l < θ h. A probabilidade de que um indivíduo tenha produtividade θ h é λ (0, 1). Seja e o nível educacional escolhido por um indivíduo. Temos, então que o custo de adquirir tal nível de educação depende do seu tipo θ e é representado por c(e, θ), com as propriedades: c(0, θ) = 0; c e (e, θ) = e c(e, θ) > 0 e c ee (e, θ) = eec(e, 2 θ) > 0. c(e, θ h ) < c(e, θ l ) c e (e, θ h ) < c e (e, θ l ) A utilidade do trabalhador é w c(e, θ), se empregado e r(θ), se desempregado. No que se segue e, a não ser que explicitemos o contrário, suporemos r(θ) = 0. A condição que vai permitir avançar muito na caracterização do equilíbrio é a condição de single-crossing, c e (e, θ h ) < c e (e, θ l ), também conhecida como condição de Spence-Mirrlees. O jogo se desenvolve nas seguintes etapas: 1

1. A natureza determina a produtividade do trabalhador. O trabalhador, e somente ele, observa sua produtividade. 2. O trabalhador escolhe seu nível educacional, e 0, que é observado por todos (é de conhecimento comum, na verdade). 3. Conhecendo e as frimas simultaneamente, ofertam w i (e), i = 1, 2. 4. O trabalhador observa as ofertas e escolha se trabalha, e onde trabalha, caso opte por trabalhar. A hipótese sobre a natureza do jogo que distingue o modelo de sinalização do modelo de triagem, que estudaremos mais adiante é a de que é a parte desinformada que move primeiro. Ocorre que essa ordem cronológica seria desprovida de qualquer importância prática se as firmas possuíssem uma tecnologia de compromisso que as permitisse definir já no início do jogo um mapa associando e a um salário w(e). Em vez disso, no estágio 3, dadas as crenças, temos um sub-jogo de Bertrand entre as duas firmas que competem pelo trabalhador de nível educacional e. Definição 1 Um equilíbrio Bayesiano perfeito (PBE) deste jogo é um conjunto de estratégias e uma função e µ(e), que descreve a crença associada à probabilidade que um indivíduo com educação e tenha produtividade alta, tais que; A estratégia dos trabalhadores é ótima dada a estratégia das firmas; A funçãoµ(.) é obtida a partir da estratégia dos trabalhadores usando a regra de Bayes (sempre que possível); 2

As ofertas salariais das firmas para cada nível de educação, e, são um equilíbrio de Nash do jogo simultâneo em que a probabilidade de um trablhador ser de produtividade alta é µ(e). Ou seja, a solução do jogo é uma coleção de estratégias e crenaçs tais que: i) dadas as crenças, o equilíbrio é perfeito em sub-jogos; ii) dadas as estratégias, as crenças são auto-confirmadas. Suponha, então, que tenhamos definido a função µ(.). A produtividade esperada é, então, µ(e)θ h +(1 µ(e))θ l. Portanto, dadas as crenças, o equilíbrio do sub-jogo de Bertrand das firmas é caracterizado pelas ofertas salariais w 1 (e) = w 2 (e) = µ(e)θ h + (1 µ(e))θ l. Ou seja, o equilíbrio é simétrico e, em equilíbrio, as firmas têm lucro zero. Falamos em o equilíbrio. Como veremos a seguir, este jogo tem equilíbrios em estratégias puras ou mistas. Os equilíbrios em estratégia pura, por sua vez são de dois tipos, separadores e agregadores. E há infinitos equilíbrios de cada tipo. Equilíbrio Separador Um equilíbrio é dito separador quando os níveis educacionais escolhidos são distintos. Lemma 1 Em um PBE, w (e (θ i )) = θ i para i = 1, 2. Demonstração. Sendo o equilíbrio separador, ao observar um nível e (θ l ) as firmas concluem que o indivíduo tem produtividade θ l. Usando regra de Bayes, isso implica em crenças i.e., µ(e (θ l )) = 0 e µ(e (θ h )) = 1. Portanto, w i (e (θ l )) = 1.θ l + 0.θ h = θ l. Analogamente, w i (e (θ h )) = 0.θ l + 1.θ h = θ h. 3

Lemma 2 Em um equilíbrio separador, e (θ l ) = 0. Demonstração. O indivíduo de baixa produtividade recebe pelo menos que θ l em qualquer nível educacional pois w i (e) θ l.assim pela desutilidade de se educar é ótimo escolher e = 0. Naturalmente, a pior crença que a firma pode ter sobre o trabalhador é de que ele tem produtividade θ l e pagar w = θ l. Mas, θ l > θ l c(e, θ l ) para qualquer e > 0. Sejam ẽ e e 1 tais que θ h c(ẽ, θ l ) = θ l θ h c(e 1, θ h ) = θ l Note que, pela condição de single-crossing, necessariamente, e 1 > ẽ. Proposição 1 Existe um equilíbrio separador com e (θ h ) = e se e só se e [ẽ, e 1 ]. Demonstração. Necessidade é trivial (ver gráfico). A demonstração da suficiência será feita por construção. Seja e (θ h ) = ẽ e e (θ l ) = 0, e seja w (e) uma função tal que w (ẽ) = θ h, w (0) = θ l, θ l w (e) θ h para todo e ew (e) c(e, θ l ) < θ l para todo e > 0. Note que essa construção é possível pela propriedade de single-crossing. As crenças das firmas são µ (e) = w (e) θ l θ h θ l [0, 1] Note que temos completa liberdade de escolher as crenças fora do equilíbrio, i.e., para valores de e diferentes de 0 e ẽ. Vamos, então, considerar as estratégias dos trabalhadores. Claramente, w (e) induz as escolhas e = 0 para o indivíduo de tipo θ l e e = ẽ para o indivíduo de tipo θ h. estratégias [e (θ), w (θ)] e as crenças µ (e) constituem um PBE. Portanto, as 4

Multiplicidade de Equilíbrios Primeiro, cabe notar que há várias funções w (e) com as propriedades acima. Portanto, descrevemos não um, mas infinitos equilíbrios possíveis, todos com a característica comum de e (θ h ) = ẽ e e (e l ) = 0. Por exemplo, se µ(e) = 0 para todo e < ẽ e µ(e) = 1 para todo e ẽ, então, as mesmas estratégias de educação e a função salário w(e) = θ l para e < ẽ, w(e) = θ h para e ẽ, descrevemos um desses equilíbrios. Além disso, outros níveis de educação para o indivíduo mais produtivo, e (θ h ) [ẽ, e 1 ], podem surgir em equilíbrio, basta substituirmos ẽ por e (θ h ) em nossa construção. Os equilíbrios separadores são hierarquizáveis. No melhor deles tem-se e (θ h ) = ẽ. Eficiência do Equilíbrio Separador Podemos comparar o equilíbrio separador com a situação em que a sinalização não é possível. Neste caso, como supusemos r(θ) = 0, ambos os tipos de trabalhadores estaríam empregados no equilíbrio sem sinalização. Quando a sinalização é introduzida, o indivíduo menos perde o subsídio cruzado e reduz seu bem estar. E o indivíduo mais produtivo? Estes pioram se λθ h + (1 λ)θ l = E[θ] > θ h c(ẽ, θ h ). Equilíbrio Agregador No equilíbro agregador ambos os tipos escolhem a mesma educação, e. Necessariamente, temos que µ(e ) = λ e w (e ) = E[θ]. Seja e tal que E[θ] c(e, θ l ) = θ l. 5

Então, para todo e [0, e ] existe um equilíbrio agregador com nível educacional e. Nenhum e > e pode ser um equilíbrio agregador já que E[θ] c(e, θ l ) < E[θ] c(e, θ l ) = θ l. 6