Ternos pitagóricos e sequências numéricas

Ternos pitagóricos e sequências numéricas São Paulo março de 2017 1

Ternos pitagóricos e sequências suas relações com a potência de base numéricas 2. 2 Obra inédita reúne informações embutidas na Tabuada de Pitágoras que nos revelam regularidades e sequências numéricas interessantíssimas de como os números se encadeiam e como se relacionam uns com os outros. Como as figuras geométricas se relacionam com os números? Sequências Numéricas Mágicas abordam através de vários exemplos com gráficos e tabelas um estudo de como gerar números triangulares e a sua relação com números quadrados, cúbicos e vice-versa, utilizando como base figuras de triângulos e quadrados. Livro apresenta novos estudos de sequências numéricas de números: naturais, triangulares, quadrados e perfeitos. Você leitor, verá que um número diminuído da soma dos seus algarismos tem como resultado um número divisível por 3 e por 9. Como determinar um múltiplo de 3 por meio de uma fórmula simples e rápida. Outros estudos interessantes apresentados são sobre a soma de números entre os intervalos de um múltiplo de um número; a soma do primeiro intervalo de números consecutivos e a soma do primeiro intervalo de números ímpares consecutivos. E também estudos sobre a decomposição em fatores primos de números perfeitos e Livro releva novas fórmulas para se obterem medidas dos lados de um triângulo retângulo. Após vários estudos e cálculos com modelos matemáticos do triângulo retângulo, as novas fórmulas além de poderem ser utilizadas para se obterem as medidas dos catetos e da hipotenusa de um triângulo retângulo, elas também podem ser utilizadas para se obter a medida da diagonal de um retângulo e ou de um quadrado. O livro também apresenta duas fórmulas variantes sintetizadas do Teorema de Pitágoras, com as quais são possíveis obterem medidas dos lados de um triângulo retângulo de ângulo de 30 graus. Com vários exemplos práticos, você leitor, neste estudo inédito verá que ternos primitivos estão relacionados com a ordem de números triangulares e que eles formam um grupo especial dentro do conjunto de todos os ternos primitivos e derivados. Há também a ocorrência de um outro grupo especial de ternos primitivos, os quais neste estudo são denominados de Ternos Raros, pois não ocorrem com frequência em relação aos demais ternos pitagóricos, sejam eles primitivos ou derivados. Aprenderá a formar um terno pitagórico sem o uso da Fórmula Padrão, simplesmente escolhendo um determinado número. Aprenderá também a deduzir como um terno primitivo ou derivado foi formado, observando as posições dos seus termos

Copyright 2017 3 Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra poderá ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou quaisquer meios sem permissão do autor. Livro registrado na Fundação Biblioteca Nacional sob o n o registro/protocolo 1980/17 Ternos pitagóricos e sequências numéricas Capa, Diagramação e Produção Gráfica ricjotaric@gmail.com contato@osfantasticosnumerosprimos.com.br São Paulo março de 2017

4 Imagine esta situação: Você se depara hoje com o seguinte grupo (3, 4, 5), começa a analisar, vê que são três números, um seguido do outro, dois números ímpares, um número par. Alguns milênios atrás, nem alfabeto e números existiam, você hoje, é um privilegiado, você enxergou três números e os caracterizou-os como pares e ímpares. Estou falando de uma sequência numérica, com números que têm nomes: três, quatro e cinco, que podem ser classificados como pares e ímpares; formam um terno (conjunto de três números), vejam quantas informações elementares consegue-se extrair deste exemplo. Este (3, 4, 5) faz parte hoje do que é denominado: Terno Pitagórico, Trinca Pitagórica, Tripla Pitagórica, etc., e já era conhecido pelas civilizações mais remotas como: babilônios, egípcios, indianos e chineses que o utilizavam de forma prática em seus dia-dia e deixaram raros escritos ou inscrições em tabuletas de argila, papiros, pergaminhos, ossos, etc. A civilização grega apareceu e em seu explendor começou a formalizar o conhecimento, isto é, escrever como e porque eventos físicos, mecânicos, químicos, astronômicos, matemáticos, etc, aconteciam, e com a matemática não foi diferente, devemos a Euclides de Alexandria a reunião de conhecimento matemático em sua obra Os Elementos. Então, passei também a fazer análises a partir da sequência (3, 4, 5), dela surgiu este estudo: Ternos Pitagóricos e sequências numéricas, que discorre sobre regularidades e padrões numéricos encontrados em ternos pitagóricos. Com vários exemplos práticos, você leitor, neste estudo inédito verá que ternos primitivos estão relacionados com a ordem de números triangulares e que eles formam um grupo especial dentro do conjunto de todos os ternos primitivos e derivados. Há também a ocorrência de um outro grupo especial de ternos primitivos, os quais neste estudo são denominados de Ternos Raros, pois não ocorrem com frequência em relação aos demais ternos pitagóricos, sejam eles primitivos ou derivados. Aprenderá a formar um terno pitagórico sem o uso da Fórmula Padrão, simplesmente escolhendo um determinado número. Aprenderá também a deduzir como um terno primitivo ou derivado foi formado, observando as posições dos seus termos. Espero que você goste e aprecie este estudo com as belezas que a matemática nos proporciona. Boa leitura!

5 CAPÍTULO 1 NÚMEROS 8 1.01 - Números naturais... 9 1.02 - Números pares... 9 1.03 - Números ímpares... 9 1.04 - Números primos... 9 1.05 - Números compostos... 10 1.06 - Número primos entre si... 10 1.07 - Números quadrados perfeitos...11 1.07.01 - Podem ser gerados através de uma multiplicação...11 1.07.02 - Podem ser gerados através de uma potenciação...11 1.07.03 - Podem ser gerados pela soma consecutiva de números ímpares...12 1.07.04 - Podem ser gerados pela soma consecutiva de números triangulares...12 1.08 - Números figurados... 12 1.08.01 - Números figurados triangulares...13 1.08.02- Podem ser gerados pela soma consecutiva de números naturais a partir de 1...13 1.08.03 - Números figurados quadrados...13 CAPÍTULO 2 TRIÂNGULOS 14 2.01- Triângulos... 15 2.02 - O triângulo retângulo isóceles... 16 2.03 - O triângulo equilátero... 17 2.04 - O triângulo retângulo escaleno... 18 2.05 - Os ângulos agudos no triângulo retângulo escaleno... 21 2.06 - Os ângulos agudos no triângulo retângulo escaleno de lados (3, 4, 5)... 21 CAPÍTULO 3 TERNO PITAGÓRICO 22 3.01 - O que é um terno pitagórico... 23 3.02 - O clássico terno pitagórico 3, 4, 5... 23 CAPÍTULO 4 TERNOS PITAGÓRICOS GERADOS SEM FÓRMULA 25 4.01 - A soma de dois números quadrados consecutivos... 26 4.02 - Método de construção da tabela com a soma de números quadrados... 27

6 CAPÍTULO 5 FÓRMULAS PARA GERAR TERNOS PITAGÓRICOS 30 5.01 - Gerando ternos pitagóricos primitivos e derivados...31 CAPÍTULO 6 ESTRUTURA DA TABELA DE TERNOS PITAGÓRICOS 35 6.01- Coluna Triangulares...36 6.02 - Coluna Ordem...36 6.03 - Colunas m e n...36 6.04 - Coluna m 2 e n 2...36 6.05 - Coluna Primitivo ou Derivado...36 6.06 - Coluna Par ou Ímpar...37 6.07- Coluna a...39 6.08 - Coluna b...39 6.09 - Coluna c...39 6.10 - Colunas a 2, b 2 e c 2...40 CAPÍTULO 7 TABELA DE TERNOS PITAGÓRICOS 41 7.01 -Tabela de ternos pitagóricos primitivos e derivados...42 CAPÍTULO 8 TERNOS PRIMITIVOS DE ORDEM TRIANGULAR 46 8.01 - Ternos primitivos de ordem triangular...47 8.02 - Os intervalos entre ternos primitivos de ordem triangular...48 8.03 - O primeiro termo dos ternos primitivos de ordem triangular...49 8.04 - A soma do segundo e terceiro termos de ternos primitivos...49 8.05 - Os números primos entre si e os ternos de ordem triangular...50 8.06 - Método prático para gerar terno primitivo de ordem triangular...51 8.07- Os primeiros 31 ternos primitivos de ordem triangular...54 8.08 - Ternos primitivos de ordem triangular e os múltiplos de 4...55 8.09 - O produto de um número triangular por 4...56 8.10 - Método para se gerar terno primitivo triangular a partir de um...56

7 CAPÍTULO 9 TERNOS PRIMITIVOS DE ORDEM NÃO TRIANGULAR 58 9.01 - Ternos primitivos de ordem não triangular - modelo base (15, 8, 17)...59 9.02 - Ternos primitivos de ordem não triangular (ímpar, par, ímpar)...59 9.03 - Método para se gerar ternos primitivos com múltiplos de 4...61 CAPÍTULO 10 TERNOS PRIMITIVOS RAROS 63 10.01 - Ternos primitivos de ordem não triangular - ternos raros...64 CAPÍTULO 11 TERNOS PITAGÓRICOS DERIVADOS 66 11.01 - Ternos derivados...67 11.02 - Ternos derivados cujos termos são todos pares...67 11.03 - Ternos derivados cujo primeiro termo é ímpar...70 CAPÍTULO 12 NÚMEROS TRIANGULARES E TERNOS PITAGÓRICOS...72 12.01 - Números triangulares e ternos pitagóricos...73 12.02 - Como encontrar um terno primitivo de ordem triangular...73 12.03 - Como encontrar um terno primitivo de ordem não triangular...73 12.04 - Como encontrar um terno derivado cujo o termo do meio é...74 12.05 - Números triangulares e a quantidade de ternos pitagóricos...75 13 BIBLIOGRAFIA...77

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