Números pares e ímpares 1 O que tem neste Capítulo Todos os números inteiros são divididos em dois grupos pares e ímpares. Eles se seguem um ao outro em ordem ímpar, par, ímpar, par, como os números das páginas deste livro. Mas, algumas vezes, um número par pode ser ímpar, e um número ímpar pode ser par. Você vai ler sobre isso neste capítulo. Saber como os números se comportam pode melhorar bastante seu senso numérico. Esse conhecimento pode ajudá- -lo a descobrir quando os números são usados sem nenhum sentido numérico. Você vai aprender a identificar quando um número é par ou ímpar como resposta a um problema aritmético. Os antigos egípcios, há quase 4 mil anos, tinham um jeito de multiplicar números usando quase só números pares. Você também vai aprender isso.
16 Claudia Zaslavsky QUANDO UM NÚMERO PAR É ÍMPAR? Uma ovelha com duas cabeças!, exclamou Eddie, apontando para uma figura no livro que estava lendo. Um animal ter esse número de cabeças é algo ímpar. Isso é sem sentido, retrucou sua irmã Molly quando foi olhar. Nenhum animal tem duas cabeças! E o que é mais sem sentido ainda é que dois não é um número ímpar. É um número par. Olha, essa ovelha existiu, disse Eddie. Mas você tem razão, os animais devem ter apenas uma cabeça. Um animal com duas é bem incomum. Quando eu disse que era algo ímpar se ter duas cabeças, queria dizer que é incomum uma ovelha ter essa quantidade de cabeças. Números como 1, 3, 5, 7 e 9 são chamados ímpares. Os números 2, 4, 6 e 8 são chamados pares. Os números ímpares são incomuns? Não, há tantos números ímpares quanto pares. Então por que se usa a palavra ímpar para se designar incomum? Palavras que descrevem números, como ímpar e par, podem ter outros significados. O dicionário dá muitos significados para a palavra ímpar. Um deles é que não tem par. Outro é único ou sem igual. Numericamente, faz sentido chamar o 7 de número ímpar. Pense em sete ovos. Coloque-os em uma caixa de ovos com duas filas e você vai ter três pares. O que sobra, ou seja, não tem par, é o ovo ímpar. E é apenas senso comum dizer que uma ovelha com duas cabeças é algo peculiar, estranho ou incomum. Como se sabe quando um número natural é par ou ímpar? Sabemos que os números de um dígito 1, 3, 5, 7 e 9 são ímpares, enquanto 2, 4, 6 e 8 são pares. E os números maiores? Veja o 825: Você sabe que 8 e 2 são pares, enquanto o 5 é ímpar. Mas e o 825, é par ou ímpar? Como você pode testar o número?
Criatividade e Confiança em Matemática 17 Você pode colocar 825 ovos em várias caixas de duas fileiras para descobrir se sobra um ovo depois que todos os ovos tiverem um par. Mas tem um jeito melhor. Você pode dividir 825 por 2 e ver se sobra algo. A resposta é 412, e sobra 1. Então, 825 deve ser um número ímpar. Mas tem um jeito ainda melhor, que leva menos tempo! Olhe para o dígito na casa das unidades, o dígito à direita. Você sabe que 5 é um número ímpar. Isso quer dizer que 825 é um número ímpar. É bom senso numérico olhar o dígito na casa das unidades para saber se o número é par ou ímpar. Não importa se os outros dígitos no número são pares ou ímpares. 1. O zero é par ou ímpar? E os números que terminam em zero, como 10 ou 50? 2. Determine se cada um dos números abaixo é par ou ímpar. Para testar suas respostas, divida cada número por 2. Sobra alguma coisa? 426 807 250 999 QUANDO UM NÚMERO ÍMPAR É PAR? Molly e seus cinco amigos iam dividir uma caixa de biscoitos. Havia 18 biscoitos na caixa. Ela se perguntou se todas as crianças teriam a mesma quantidade de biscoitos, sem sobrar nenhum. A classe de Molly ainda não tinha aprendido a dividir. Ela então deu um biscoito para cada pessoa, depois mais outro. Sobraram alguns biscoitos na caixa, e ela deu, a cada um, um terceiro biscoito. A caixa então estava vazia. É par, então, disse Molly a seus amigos. Todo mundo ficou com três biscoitos e não sobrou nenhum na caixa. Quando Molly disse é par, então, será que ela quis dizer que cada criança recebeu um número par de biscoitos? Isso é sem sentido numérico. Ela sabe que 3 é um número ímpar. Por que ela disse par? A palavra par tem muitos significados, assim como a palavra ímpar. Um dos significados é o de exato. Cada criança recebeu exatamente a mesma quantidade de biscoitos, mesmo que o número seja ímpar. Molly poderia ter dito ficou emparelhado. Então sabería-
18 Claudia Zaslavsky mos que Molly não estava falando de um número par. Ela estava dizendo que cada criança recebeu exatamente a mesma quantidade de biscoitos que as outras. 1. Olhe os números das páginas deste livro. Quais páginas têm números pares? Quais páginas têm números ímpares? Descubra o padrão. 2. Você, ou alguém que você conhece, vive em uma rua em que cada casa tem um número? Preste atenção em quais números são pares e quais são ímpares. Descubra o padrão. 3. Anote cinco números de telefone, o seu e de seus amigos e parentes. Conte a quantidade de dígitos pares e ímpares. Elas são as mesmas ou um grupo é um pouco maior que o outro? Algumas pessoas anotam a data do jeito mais curto, em numerais. Em vez de escrever 27 de março de 2001, elas escrevem 27/3/01, ou 27-3-01. Para ocupar menos espaço, elas escrevem só os últimos dígitos do ano: 01 em vez de 2001. Quando os computadores se tornaram populares, no final do século XX, as pessoas ocupavam menos espaço escrevendo uma data como 1975 apenas como 75, usando os últimos dígitos. Mas isso causou um grande problema, chamado de bug do milênio. Muitas pessoas tinham medo de que no final de 1999 os computadores registrassem o próximo ano como 1900 e não 2000. O erro poderia causar desastres terríveis, como a interrupção de sistemas hidráulicos ou da eletricidade, e talvez causasse uma guerra nuclear! Bilhões de dólares foram gastos à medida que o ano 2000 se aproximava para corrigir esse erro e evitar um possível desastre. Falar no ano 2000 fez Maria se lembrar de uma pergunta que ela ouviu no rádio no ano 2000. Ela perguntou a Eddie: Qual é a primeira data do ano 2000 que tem todos os números pares, quando escrita em numerais? F E V E R E I R O O PROBLEMA DA DATA
Criatividade e Confiança em Matemática 19 Eddie pensou do seguinte modo: O ano é 2000, é par. O primeiro mês de número par é fevereiro. Então a data será 2 de fevereiro de 2000, que se escreve 2/2/00. Ok., disse Maria. Agora me diga a última data antes dessa que possa ser escrita só com números pares. Não pode ser em 1999, pois é um número ímpar. Tem que ser em 1998. Dezembro é o décimo segundo mês, é par. A data é 30 de dezembro de 1998, que se escreve 30/12/98. Bem pensado, falou Maria. Tente este aqui: qual foi a última data, antes do ano 2000, que poderia ser escrita em forma de numerais apenas com dígitos pares? Não é 30/12/98?, perguntou Eddie. Esses são números pares. Eu disse dígitos pares. Senso numérico na adição Aqui temos um jeito para você desenvolver seu senso numérico. Complete cada frase com as palavras par ou ímpar. Tente com vários exemplos antes de decidir. A soma de dois números pares é sempre. A soma de dois números ímpares é sempre. A soma de um número par e de um número ímpar é sempre. Descubra a resposta para a última pergunta. Depois faça a pergunta a um amigo ou a um adulto. SENSO NUMÉRICO SOBRE PARES E ÍMPARES Saber a diferença entre pares e ímpares e como eles se comportam pode ser de grande ajuda quando você está trabalhando com números inteiros. Kwan somou os tipos de cartas diferentes em sua coleção: 12 + 26 + 8 + 16 = 63 Maria viu a soma e em dois segundos disse a ele que tinha um erro. Sua resposta não fazia sentido era nonsense. Ela não somou números. A única coisa que ela fez foi perceber que todos os números eram pares. O senso numérico dela disse que a soma de números pares é sempre par. A resposta de Kwan foi um número ímpar, então, só podia estar errada.
20 Claudia Zaslavsky Antes de resolver cada problema de adição, determine se a soma é par ou ímpar. Então verifique sua resposta fazendo a soma. Você pode querer usar uma calculadora, mas, sem ela, você desenvolverá melhor o seu senso numérico. Você pode tentar fazer algumas das somas de cabeça, o que seria ainda melhor. Isso se chama cálculo mental. 8 35 64 77 32 25 106 60 15 24 320 149 Senso numérico na subtração Agora vamos falar sobre subtração, que significa achar a diferença entre um número e outro. Complete cada frase com as palavras par ou ímpar. Primeiro, tente com vários exemplos de cada tipo. A diferença entre dois números pares é sempre. A diferença entre dois números ímpares é sempre. A diferença entre um número par e um número ímpar é sempre. Faz alguma diferença se o número par ou ímpar é grande? Peça a um amigo que ele anote alguns problemas de subtração. Então diga a ele, sem fazer a conta, se a diferença é par ou ímpar, usando as regras de subtração que você aprendeu anteriormente. Senso numérico na multiplicação Quando dois números são multiplicados, a resposta se chama produto. Agora, complete as frases com par ou ímpar : O produto de dois números ímpares é sempre. O produto de dois números pares é sempre. O produto de um número par e um número ímpar é sempre. Saber como números pares e ímpares se comportam deve ajudar você a se lembrar dos fatos da multiplicação. 1. Anote os produtos, multiplicando os números por 4: 4 x 1, 4 x 2, 4 x 3, e daí por diante. Dá na mesma se você contar de quatro em quatro. Então faça a mesma coisa, multiplicando desta vez por 7: 7 x 1, 7 x 2, 7 x 3, e daí por diante. Os produtos são pares ou ímpares? Eles seguem um padrão? 2. Abra um livro e olhe os números de duas páginas opostas. Então abra o livro em outra parte e veja os números das páginas. Faça isso várias vezes. Complete as frases com as palavras par ou ímpar: A soma dos números das duas páginas opostas é sempre. O produto dos números das duas páginas opostas é sempre. Senso numérico na divisão Isto é um pouco mais difícil de se explicar. Quando a resposta é par, ou seja, quando não sobra nada, você pode perceber algumas regras. Use os fatos da multiplicação para ajudá-lo. Talvez você prefira trabalhar junto com um colega. Usando o senso numérico e apenas senso comum Professor: Sete é um número ímpar. Como podemos transformálo em par? Estudante: tire o ím de ímpar.
Criatividade e Confiança em Matemática 21 JOGOS PARA NÚMEROS PARES E ÍMPARES Jogos de abra-o-livro Aqui temos algumas afirmações sobre os possíveis números em duas páginas opostas de um livro aberto. As páginas do livro são numeradas do jeito comum. Diga se cada afirmação faz sentido ou não. 1. A soma dos números das páginas é 21. 2. O produto dos números das páginas é 380. 3. O produto dos números das páginas é 420. 4. A soma dos números das páginas é 46. 5. O produto dos números das páginas é 99. 6. A soma dos números das páginas é 99. Crie algumas perguntas desse tipo para seu amigo responder. E peça para um adulto responder. 1. Maria disse que tem 28 estudantes na turma. E tem cinco garotos a mais que garotas. 2. Kwan disse que tem 28 estudantes na turma. E tem quatro garotos a mais que garotas. 3. Eddie disse que tem 27 estudantes na sala de aula. E tem quatro garotos a mais que garotas. MULTIPLICAÇÃO POR DUPLICAÇÃO: O MODO DO ANTIGO EGITO Os antigos egípcios deviam gostar de trabalhar com números pares. Eles multiplicavam dois números por duplicação. Sabemos que quando um número é multiplicado por dois, o resultado é um número par. Então, eles continuavam duplicando sem parar, como você vai ver no exemplo. Suponha que o problema seja multiplicar 14 por 13. Era assim que eles faziam: 4 1 4 14 2 28 4 4 4 56 4 8 4 112 Somas 13 182 O produto de 14 e 13 é 182. Procedimento Quantos meninos e quantas meninas? Maria, Kwan e Eddie estavam em uma discussão sobre a quantidade de meninos e de meninas na sala de aula. Cada um tinha uma opinião diferente. Só uma fazia sentido numericamente. As outras duas não. Descubra qual das crianças tinha a resposta certa, e por que as outras duas não faziam sentido numérico. 1. Faça duas colunas. Escreva o número 1 na primeira e 14 na segunda. 2. Multiplique os números em ambas as colunas por 2. Continue duplicando até que o próximo número na primeira coluna seja maior que 13. 3. Marque os números na coluna da esquerda que, somados, dão 13.
22 Claudia Zaslavsky 4. Marque os números na segunda coluna que correspondem aos números marcados na primeira. 5. Some os números marcados na segunda coluna. A soma é 182, que é o produto de 14 e 13. 1. Para praticar, multiplique 13 por 14, usando o método de duplicação egípcio. A primeira linha das duas colunas é: 1 13 2. Descubra muitos outros produtos com o método egípcio. Invente seus próprios números. 3. Descubra por que o método funciona. Perceba que 13 = 1 + 4 + 8, então 14 x 13 = 14 x (1 + 4 +8) = 14 + 56 + 112 = 182. Como sabemos sobre a multiplicação no Antigo Egito? Os egípcios escreviam em papiros, e alguns de seus registros originais resistiram até hoje. Os cientistas aprenderam a ler a escrita do antigo Egito no papiro, conhecida como escrita hierática. Uma fonte importante dessa informação é o papiro do escriba Ahmose (também conhecido como Ahmes), escrito há mais de 3.600 anos. Ele começou seu texto com as seguintes palavras: Reconhecimento preciso. A porta de entrada para o conhecimento de todas as coisas que existem e de todos os segredos obscuros. Em um capítulo posterior você lerá sobre como os antigos egípcios e outros povos contavam e escreviam os números, há muito tempo.