LIST 1 - Prof. Jason allas I URS de Setembro de 200 às 7:47 Exercícios Resolvidos de Dinâmica Clássica Jason lfredo Carlson allas professor titular de física teórica Doutor em ísica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique lemanha Universidade ederal do Rio rande do Sul Instituto de ísica Matéria para a PRIMEIR prova. Numeração conforme a quarta edição do livro. Em vermelho em parêntesis: numeração da (sexta) edição. undamentos de ísica Halliday Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Contents 7 Trabalho e Energia Cinética 2 7.1 Questões................. 2 7.2 Problemas e Exercícios......... 2 7.2.1 Trabalho: movimento com força constante......... 2 7.2.2 Trabalho executado por força variável............. 3 7.2.3 Trabalho realizado por uma mola 4 7.2.4 Energia Cinética........ 7.2. Potência............. 6 7.2.6 Energia Cinética a Velocidades Elevadas............ 8 Comentários/Sugestões e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br (listam1.tex) http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Página 1 de 8
( LIST 1 - Prof. Jason allas I URS de Setembro de 200 às 7:47 7 Trabalho e Energia Cinética 7.1 Questões Q 7-13 s molas e B são idênticas exceto pelo fato de que é mais rígida do que B isto é. Qual das duas molas realiza um trabalho maior (a) quando elas sofrem o mesmo deslocamento e (b) quando elas são distendidas por forças iguais. (a) Temos e onde representa o deslocamento comum a ambas molas. Portanto ou seja. (b) gora temos e onde e representam os delocamentos provocados pela força idêntica que atua sobre ambas as molas e que implica ter-se em magnitude! " donte tiramos! # ". Portanto ou seja. % & ' 7.2 Problemas e Exercícios )( 7.2.1 Trabalho: movimento com força constante E 7-2 (7-7/6* edição) Para empurrar um caixote de kg num piso sem atrito um operário aplica uma força de N dirigida.- acima da horizontal. Se o caixote se desloca de / m qual o trabalho executado sobre o caixote (a) pelo operário (b) pelo peso do caixote e (c) pela força normal exercida pelo piso sobre o caixote? (d) Qual o trabalho total executado sobre o caixote? (a) força aplicada é constante e o trabalho feito por ela é 0 1#243 6"748 9;: onde 1 é a força 3 é o deslocamento do caixote e : é o ângulo entre a força 1 0 <= '> / ' e o deslocamento 3. Portanto 7>8?9 - @ J (b) força da gravidade aponta para baixo perpendicular ao deslocamento do caixote. O ângulo entre esta força e o deslocamento é @ - e como 748 9 @ -B o trabalho feito pela força gravitacional é ZERO. (c) força normal exercida pelo piso também atua perpendicularmente ao deslocamento de modo que o trabalho por ela realizado também é ZERO. (d) s três forças acima mencionadas são as únicas que atuam no caixote. Portanto o trabalho total é dado pela soma dos trabalhos individuais realizados por cada uma das três forças ou seja o trabalho total é @ J. P 7-9 (C na 6* ) ig. 7-27 mostra um conjunto de polias usado para facilitar o levantamento de um peso D. Suponha que o atrito seja desprezível e que as duas polias de baixo às quais está presa a carga pesem juntas N. Uma carga de E N deve ser levantada m. (a) Qual a força mínima 1 necessária para levantar a carga? (b) Qual o trabalho executado para levantar a carga de m? (c) Qual o deslocamento da extremidade livre da corda? (d) Qual o trabalho executado pela força 1 para realizar esta tarefa? (a) Supondo que o peso da corda é desprezível (isto é que a massa da corda seja nula) a tensão nela é a mesma ao longo de todo seu comprimento. Considerando as duas polias móveis (as duas que estão ligadas ao peso D ) vemos que tais polias puxam o peso para cima com uma força aplicada em quatro pontos de modo que a força total para cima aplicada nas polias móveis é. Se for a força mínima para levantar a carga (com velocidade constante i.e. sem acelera-la) então a segunda lei de Newton nos diz que devemos ter HJIH onde IH representa o peso total da carga mais polias móveis ou seja IH L E 6M ' N. ssim encontramos que E N N http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Página 2 de 8
LIST 1 - Prof. Jason allas I URS de Setembro de 200 às 7:47 (b) O trabalho feito pela corda é 6 IH onde é a distância de levantamento da carga. Portanto o trabalho feito pela corda é E N '4 ' / J ( resposta na tradução do livro está incorreta.) (c) cada metro que a carga sobe cada segmento da corda entre o conjunto superior e inferior de polias diminui de um metro. Ou seja a extremidade livre da corda abaixo de metros. Portanto no total a extremidade livre da corda move-se '4 '?E m para baixo. (d) O trabalho feito pela pessoa que puxa a corda pela 6 IH extremidade livre é onde é a distância que a extremidade livre se move. Portanto EN '?E / J Observe que os valores encontrados nos itens (b) e (d) devem coincidir o que não ocorre com as respostas fornecidas no livro. P 7-12 (C na 6* ) Um bloco de /. kg é puxado com velocidade constante por uma distância de N m em um piso horizontal por uma corda que exerce uma força de N E N fazendo um ângulo de?- acima da horizontal. Calcule (a) o trabalho executado pela corda sobre o bloco e (b) o coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco e o piso. (a) força na corda é constante de modo que o trabalho é dado por L1 23 onde 1 é 6"748 9;: a força exercida pela corda 3 é a distância do deslocamento e : é o ângulo entre a força e o deslocamento. Portanto NE '4 N ' 748 9 - /; (b) resposta pode ser obtida facilmente fazendo-se um diagrama de corpo livre onde constem todas as (quatro) forças aplicadas. Desenhe um ponto representando o bloco. Em desenhe a força normal apontando para cima a força peso apontando para baixo. pontando horizontalmente para a esquerda desenhe a força de atrito. Desenhe a força 1 que puxa o bloco apontando para a direita e para cima fazendo um ângulo : com a horizontal Com isto tudo a segundo lei de Newton nos diz que para que o bloco se mova sem acelerar devemos ter equilíbrio tanto na horizontal quanto na vertical o que nos fornece as equações respectivamente 7>8 9: J M sen : magnitude da força de atrito é dada por J sen : ' onde o valor de foi obtido da segunda equação acima. Substituindo o valor de na primeira das equações acima e resolvendo-a para encontramos sem problemas que 7>8?9;: sen : 748 9 N E ' - /; '4 @. E ' N E ' sen ; - 7.2.2 Trabalho executado por força variável E 7-13 (7-24 na 6* ) Um bloco de kg se move em linha reta numa superfície horizontal sem atrito sob a influência de uma força que varia com a posição da forma indicada na ig. 7-28. Qual o trabalho executado pela força quando o bloco se desloca da origem até o ponto E m? Basta calcular-se a área debaixo da curva da cada um dos quatro segmentos de reta. '4 M P 7-14 (7-2 na 6* ) ' M M M E M. '> N '4 J ' ' E E Uma massa de kg está se movendo ao longo do eixo dos. Sua aceleração varia com a posição da forma indicada na ig. 7-29. Qual o trabalho total executado sobre a massa quando ela se move de m até m? Do gráfico vemos que a aceleração varia linearmente com ou seja que onde H s. Portanto como temos E J '>= '> E ' http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Página 3 de 8
- / ' LIST 1 - Prof. Jason allas I URS de Setembro de 200 às 7:47 P 7-16 (7-27 na 6* ) força exercida num objeto é ' '. Calcule o trabalho realizado para deslocar o objeto de até (a) fazendo um gráfico de!' e determinando a área sob a curva e (b) calculando a integral analiticamente. (a) expressão de ' diz-nos que a força varia linearmente com. Supondo escolhemos dois pontos convenientes para através deles desenhar uma linha reta. Para temos enquanto que para temos ou seja devemos desenhar uma linha reta que passe pelos pontos ' e = '. aça a figura! Olhando para a figura vemos que o trabalho total é dado pela soma da área de dois triângulos: um que vai de B até o outro indo de até B. Como os dois triângulos tem a mesma área sendo uma positiva a outra negativa vemos que o trabalho total é ZERO. (b) naliticamente a integral nos diz que E 7-17 (7-29/6* ). Qual o trabalho realizado por uma força dada em Newtons por 1 M / onde está em metros que é exercida sobra uma partícula enquanto ela se move da posição em metros ) M#/ para a posição (em metros) / Suponha que a partícula mova-se primeiramente digamos ao longo da quota constante / m indo desde m até m. Neste percurso o trabalho realizado é: ' ' J seguir para completar o percurso suponhamos que a partícula mova-se ao longo da linha m indo de / m até / m. O trabalho para tanto é / / O trabalho total do percurso todo é M / ' E / ' N J E J PERUNT DEVERS PERTINENTE: o valor do trabalho depende do caminho escolhido para fazer-se as integrações? Repita a integração escolhendo outro caminho!... 7.2.3 Trabalho realizado por uma mola E 7-18 (7-21/6* ) Uma mola com uma constante de mola de N/cm está presa a uma gaiola como na ig. 7-31. (a) Qual o trabalho executado pela mola sobre a gaiola se a mola é distendida de N mm em relação ao seu estado relaxado? (b) Qual o trabalho adicional executado pela mola se ela é distendida por mais N mm? (a) Quando a gaiola move-se de B o trabalho feito pela mola é dado por ' onde para B ' é a constante de força da mola. Substituindo N m encontramos m e '> N! ' ; / J (b) gora basta substituir-se N" m e m na expressão para o trabalho: ; '# / J. ' N ' &% ' Perceba que durante o segundo intervalo o trabalho realizado é mais do que o dobro do trabalho feito no primeiro intervalo. Embora o deslocamento tenha sido idêntico em ambos intervalos a força é maior durante o segundo intervalo. http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Página 4 de 8
LIST 1 - Prof. Jason allas I URS de Setembro de 200 às 7:47 7.2.4 Energia Cinética E km/h E 7-21 (C na 6* ) Se um foguete Saturno V com uma espaçonave polo acoplada tem uma massa total de @ kg e atinge uma velociade de km/s qual a sua energia cinética neste instante? Usando a definição de energia cinética temos que E 7-22 (7-1/6* ) = @ '> J Um elétron de condução (massa @; kg) do cobre numa temperatura próxima do zero absoluto tem uma energia cinética de N; J. Qual a velocidade do elétron? energia cinética é dada por onde é a massa do elétron e a sua velocidade. Portanto. N; ' m/s @. E 7-29 (C na 6* ) Um carro de kg está viajando a N km/h numa estrada plana. Os freios são aplicados por um tempo suficiente para reduzir a energia cinética do carro de kj. (a) Qual a velocidade final do carro? (b) Qual a redução adicional de energia cinética necessária para fazê-lo parar? (a) energia cinética inicial do carro é onde é a massa do carro e N km/h N /N N; é a sua velocidade inicial. Isto nos fornece '> N. ' 6 /@ m/s J pós reduzir em kj a energia cinética teremos / @ E. @ Com isto a velocidade final do carro será. E. @ ' ' J /; / m/s (b) Como ao parar a energia cinética final do carro será ZERO teremos que ainda remover E. @ J para fazelo parar. P 7-3 (7-17/6* ) Um helicóptero levanta verticalmente um astronauta de kg até m de altura acima do oceano com o auxílio de um cabo. aceleração do astronauta é. Qual o trabalho realizado sobre o astronauta (a) pelo helicóptero e (b) pelo seu próprio peso? Quais são (c) a energia cinética e (d) a velocidade do astronauta no momento em que chega ao helicóptero? (a) Chame de a magnitude da força exercida pelo cabo no astronauta. força do cabo aponta para cima e o peso do astronauta aponta para baixo. lém disto a aceleração do astronauta é para cima. De acordo com a segunda lei de Newton. Como a força 1 e o deslo- de modo que camento 3 estão na mesma direção o trabalho feito pela força 1 é 0 6 N '4 @. E '4 J (b) O peso tem magnitude e aponta na direção oposta do deslocamento. Ele executa um trabalho (c) O trabalho total feito é N '4 @; E '> ' N N J ' J Como o astronauta partiu do repouso o teorema do Trabalho-Energia diz-nos que sua energia cinética final deverá ser igual a (d) Como será P 7-36 (7-19/6* ) a velocidade final do astronauta. '. m/s E. @ km/h Uma corda é usada para fazer descer verticalmente um bloco inicialmente em repouso de massa I com uma http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Página de 8
M / / - LIST 1 - Prof. Jason allas I URS de Setembro de 200 às 7:47 aceleração constante. Depois que o bloco desceu uma distância calcule (a) o trabalho realizado pela corda sobre o bloco (b) o trabalho realizado sobre o bloco pelo seu peso (c) a energia cinética do bloco e (d) a velocidade do bloco. (a) Chame de a magnitude da força da corda sobre o bloco. força aponta para cima enquanto que a força da gravidade de magnitude IH aponta para baixo. aceleração é para baixo. Considere o sentido para baixo como sendo o sentido positivo. segunda lei de Newton diz-nos que IH IH de modo que / IH. força está direcionada no sentido oposto ao deslocamento de modo que o trabalho que ela faz é 0 6 IH (b) força da gravidade aponta no mesmo sentido que o deslocamento de modo que ela faz um trabalho IH. (c) O trabalho total feito sobre o bloco é IH IH IH Como o bloco parte do repouso o valor acima coincide com sua energia cinética após haver baixado uma distância. (d) velocidade após haver baixado uma distância é 7.2. Potência P 7-43 (C na 6* ver Probl. Res. 7-) I Um bloco de granito de kg é puxado por um guindaste a vapor ao longo de uma rampa com velocidade constante de / m/s (ig. 7-38). O coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco e a rampa é ;. Qual a potência do guindaste? Para determinar a magnitude da força com que o guindaste puxa o granito usaremos um diagrama de corpo livre. Chamemos de a força de atrito no sentido oposto ao de. normal aponta perpendicularmente à rampa enquanto que a magnitude da força da gravidade aponta verticalmente para baixo. Da figura dada vemos que ângulo do plano inclinado vale tan / / - Tomemos o eixo na direção do plano inclinado apontando para cima e o eixo apontando no mesmo sentido da normal. Como a aceleração é zero as componentes e da segunda lei de Newton são respectivamente H sen 748 9. Da segunda equação obtemos que 748 9 de modo que 7>8?9. Substiutindo este resultado na primeira equação e resolvendo-a para obtemos sen 7>8 9 M força do guindaste aponta no mesmo sentido que a velocidade do bloco de modo que a potência do guindaste é sen M? '4 @; E '> kw P 7-44 (7-31/6* ) / ' 748 9 sen / - M; Um bloco de kg é puxado com uma velocidade constante de m/s sobre um piso horizontal por uma força de N orientada / - acima da horizontal. Qual a potência aplicada pela força? Como a velocidade é constante a força também o é atuando apenas para vencer o atrito entre as superfícies. Sendo a força constante podemos usar a fórmula 748 9;: 1#2 7>8?9 '4 ' P 7-47 (7-32/6* ) 748 9 - @ W Uma força de N age sobre um corpo de kg inicialmente em repouso. Determine (a) o trabalho executado pela força no primeiro segundo e terceiro segundos e (b) a potência instantânea aplicada pela força no final do terceiro segundo. http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Página 6 de 8
LIST 1 - Prof. Jason allas I URS de Setembro de 200 às 7:47 por 1 (a) potência é dada por e o trabalho feito entre o instante e é Como 1 é a força total a magnitude da aceleração é e a velocidade em função do tempo é dada por. Portanto Para Para Para s e s e s e s temos ' s temos = ' / s temos / ' ' ; E / J ' J = ' J (b) Substitua em obtendo então para a potência num instante qualquer. o final do terceiro segundo temos P 7-48 (7-3/6* ) ' / ' W Um elevador de carga totalmente cheio tem uma massa total de kg e deve subir m em / min. O contrapeso do elevador tem uma massa de @ kg. Calcule a potência (em cavalos-vapor) que o motor do elevador deve desenvolver. Ignore o trabalho necessário para colocar o elevador em movimento e para freá-lo isto é suponha que se mova o tempo todo com velocidade constante. O trabalho total é a soma dos trabalhos feitos pela gravidade sobre o elevador o trabalho feito pela gravidade no contrapeso e o trabalho feito pelo motor sobre o sistema: M "M. Como o elevador move-se com velocidade constante sua energia cinética não muda e de acordo com o teorema do Trabalho- Energia o trabalho total feito é zero. Isto significa que M M. O elevador move-se m para cima de modo que o trabalho feito pela gravidade sobre ele é '4 @. E '4 ' N. / J O contrapeso move-se para baixo pela mesma distância de modo que o trabalho feito pela gravidade sobre ele é Como H @ '> @. E '4 ' / o trabalho feito pelo motor é N. / / / ' J J Este trabalho é feito num intervalo de tempo / min E s e portanto a potência fornecida pelo motor para levantar o elevador é / / W E Este valor corresponde a P 7-49 (7-37/6* ) / W N W/hp. @@ hp força (mas não a potência) necessária para rebocar um barco com velocidade constante é proporcional à velocidade. Se são necessários hp para manter uma velocidade de km/h quantos cavalos-vapor são necessários para manter uma velocidade de km/h? Como o problema afirma que a força é proporcional à velocidade podemos escrever que a força é dada por onde é a velocidade e é uma constante de proporcionalidade. potência necessária é Esta fórmula nos diz que a potência associada a uma velocidade é e a uma velocidade é. Portanto dividindo-se por podemos nos livrar da constante desconhecida obtendo que Para hp e / vemos sem problemas que ' / ' ' @ hp Observe que é possível determinar-se explicitamente o valor de a partir dos dados do problema. Porém tal solução é menos elegante que a acima apresentada onde determinamos implicitamente chegando ao resultado final mais rapidamente. http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Página 7 de 8
LIST 1 - Prof. Jason allas I URS de Setembro de 200 às 7:47 7.2.6 Energia Cinética a Velocidades Elevadas E 7-0 (C na 6* ) Um elétron se desloca de. cm em ; ns. (a) Qual é a relação entre a velocidade do elétron e a velocidade da luz? (b) Qual é a energia do elétron em elétrons-volt? (c) Qual o erro percentual que você cometeria se usasse a fórmula clássica para calcular a energia cinética do elétron? (a) velocidade do elétron é. ;! H Como a velocidade da luz é H @@E ; N E @ @E m/s m/s temos (b) Como a velocidade do elétron é próxima da velocidade da luzdevemos usar expressão relativística para a energia cinética: @. /; '4= @@ E J Este valor é equivalente a /. N ' ; N E ' @ (c) Classicamente a energia cinética é dada por @; @ '4= J @ kev 4' Portanto o erro percentual é simplificando já a potência comum que aparece no numerador e denominador erro percentual /. /. @. / ou seja /. Perceba que não usar a fórmula relativística produz um grande erro!! http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Página 8 de 8