Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de física teórica,

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1 LSTA 1 - Prof. Jason Gallas, F UFRGS 16 de Setembro de 24, às 14:7 Eercícios Resolvidos de inâmica Clássica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de física teórica, outor em Física pela Universidade Ludwig aimilian de unique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul nstituto de Física atéria para a PRERA prova. Numeração conforme a quarta edição do livro Fundamentos de Física, alliday, Resnic e Waler. Esta e outras listas encontram-se em: jgallas Conteúdo 7 Trabalho e Energia Cinética Questões Problemas e Eercícios Trabalho: movimento com força constante Trabalho eecutado por força variável Trabalho realiado por uma mola Energia Cinética Potência Energia Cinética a Velocidades Elevadas ComentáriosSugestões e Erros: favor enviar para if.ufrgs.br (listam1.te) jgallas Página 1 de 7

2 + LSTA 1 - Prof. Jason Gallas, F UFRGS 16 de Setembro de 24, às 14:7 7 Trabalho e Energia Cinética 7.1 Questões Q 7-13 As molas A e B são idênticas, eceto pelo fato de que A é mais rígida do que B, isto é. Qual das duas molas realia um trabalho maior (a) quando elas sofrem o mesmo deslocamento e (b) quando elas são distendidas por forças iguais. (a) Temos e, onde representa o deslocamento comum a ambas molas. Portanto, ou seja,. (b) Agora temos e!, onde e representam os delocamentos provocados pela força idêntica que atua sobre ambas as molas e que implica ter-se, em magnitude, # $ % donte tiramos & %. Portanto ou seja, ( )! *. 7.2 Problemas e Eercícios, Trabalho: movimento com força constante E 7-2 (7-76. edição) Para empurrar um caiote de g num piso sem atrito, um operário aplica uma força de N, dirigida 1 acima da horiontal. Se o caiote se desloca de 2 m, qual o trabalho eecutado sobre o caiote (a) pelo operário, (b) pelo peso do caiote e (c) pela força normal eercida pelo piso sobre o caiote? (d) Qual o trabalho total eecutado sobre o caiote? (a) A força aplicada é constante e o trabalho feito por ela é 3 4&576 9%:7;<>= onde 4 é a força, 6 = é o deslocamento do caiote, e é o ângulo entre a força 4 e o deslocamento 6. Portanto, 3?@ *A 2 * :A;B< 1 C J (b) A força da gravidade aponta para baio, perpendicular ao deslocamento do caiote. O ângulo entre esta força e o deslocamento é C 1 :A;< e, como C 1E, o trabalho feito pela força gravitacional é ERO. (c) A força normal eercida pelo piso também atua perpendicularmente ao deslocamento, de modo que o trabalho por ela realiado também é ERO. (d) As três forças acima mencionadas são as únicas que atuam no caiote. Portanto o trabalho total é dado pela soma dos trabalhos individuais realiados por cada uma das três forças, ou seja, o trabalho total é C J. P 7-9 (???6. ) A Fig mostra um conjunto de polias usado para facilitar o levantamento de um peso F. Suponha que o atrito seja despreível e que as duas polias de baio, às quais está presa a carga, pesem juntas N. Uma carga de G N deve ser levantada m. (a) Qual a força mínima 4 necessária para levantar a carga? (b) Qual o trabalho eecutado para levantar a carga de m? (c) Qual o deslocamento da etremidade livre da corda? (d) Qual o trabalho eecutado pela força 4 para realiar esta tarefa? (a) Supondo que o peso da corda é despreível (isto é, que a massa da corda seja nula), a tensão nela é a mesma ao longo de todo seu comprimento. Considerando as duas polias móveis (as duas que estão ligadas ao peso F ) vemos que tais polias puam o peso para cima com uma força aplicada em quatro pontos, de modo que a força total para cima aplicada nas polias móveis é. Se for a força mínima para levantar a carga (com velocidade constante, i.e. sem acelera-la), então a segunda lei de Newton nos di que devemos ter JLKJ onde KJ representa o peso total da carga mais polias móveis, ou seja, KJ N GB%O * N. Assim, encontramos que GP N jgallas Página 2 de 7

3 = O ^ t LSTA 1 - Prof. Jason Gallas, F UFRGS 16 de Setembro de 24, às 14:7 (b) O trabalho feito pela corda é 9 KJQ, onde é a distância de levantamento da carga. Portanto, o trabalho feito pela corda é N GP *7 *R 2 J (A resposta na tradução do livro está incorreta.) (c) A cada metro que a carga sobe, cada segmento da corda entre o conjunto superior e inferior de polias diminui de um metro. Ou seja, a etremidade livre da corda abaio de metros. Portanto, no total a etremidade livre da corda move-se *A *! G m para baio. (d) O trabalho feito pela pessoa que pua a corda pela etremidade livre é 9 KJQ, onde é a distância que a etremidade livre se move. Portanto, N G P * BG 2 J Observe que os valores encontrados nos itens (b) e (d) devem coincidir, o que não ocorre com as respostas fornecidas no livro. P 7-12 (???6. ) Um bloco de 2SUT g é puado com velocidade constante por uma distância de P m em um piso horiontal por uma corda que eerce uma força de TV P G N faendo um ângulo de 1 acima da horiontal. Calcule (a) o trabalho eecutado pela corda sobre o bloco e (b) o coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco e o piso. (a) A força na corda é constante, de modo que o trabalho é dado por 4$5W6 9%:A;B<>=, onde 4 é a força eercida pela corda, 6 é a distância do deslocamento, e é o ângulo entre a força e o deslocamento. Portanto N TV P G *7 P * :7;< 1 2 > (b) A resposta pode ser obtida facilmente faendo-se um diagrama de corpo livre onde constem todas as (quatro) forças aplicadas. esenhe um ponto representando o bloco. Em, desenhe a força normal Y apontando para cima, a força peso E[ apontando para baio. Apontando horiontalmente para a esquerda desenhe a força \ de atrito. esenhe a força 4 que pua o bloco apontando = para a direita e para cima, faendo um ângulo com a horiontal, Com isto tudo, a segundo lei de Newton nos di que para que o bloco se mova sem acelerar devemos ter equilíbrio tanto na horiontal quanto na vertical, o que nos fornece as equações, respectivamente, $:A;<=]_^ =a sen S J A magnitude da força de atrito é dada por bdc ebdcv fl sen = * onde o valor de foi obtido ^ da segunda equação acima. Substituindo o valor de na primeira das equações acima e resolvendo-a para b c encontramos sem problemas que $:A;B<>= b c g$ = sen TQ PG * :7;< 1 2> BT *7 CS G * TQ PG * sen 1 > Trabalho eecutado por força variável P 7-16 (???6. ) l 9 A força eercida num objeto é hi*j mi *. Calcule o trabalho realiado para deslocar o objeto de n até &o (a) faendo um gráfico de hi* e determinando a área sob a curva e (b) calculando a integral analiticamente. (a) A epressão de hi* di-nos que a força varia linearmente com. Supondo p, escolhemos dois pontos convenientes para, através deles, desenhar uma linha reta. Para q r temos enquanto que para sj temos, ou seja devemos desenhar uma linha reta que passe pelos pontos r * *. Faça a figura! Olhando para a figura vemos que o trabalho total é dado pela soma da área de dois triângulos: um que vai de E até q, o outro indo de Ee até q. Como os dois triângulos tem a mesma área, sendo uma positiva, a outra negativa, vemos que o trabalho total é ERO. (b) Analiticamente, a integral nos di que vu w y - 1 { } vu w S jgallas Página 3 de 7

4 t LSTA 1 - Prof. Jason Gallas, F UFRGS 16 de Setembro de 24, às 14: Trabalho realiado por uma mola E 7-1 ( ) Uma mola com uma constante de mola de Ncm está presa a uma gaiola, como na Fig (a) Qual o trabalho eecutado pela mola sobre a gaiola se a mola é distendida de TV P mm em relação ao seu estado relaado? (b) Qual o trabalho adicional eecutado pela mola se ela é distendida por mais TQ P mm? (a) Quando a gaiola move-se de Eey~ para E o trabalho feito pela mola é dado por u- u i* u u h onde é a constante de força da mola. Substituindo Sƒ# m encontramos ~ m e TQ P *7 TV P ƒi * TV PL ~ * S B2 J Sƒ# m e (b) Agora basta substituir-se y~ Q Sƒ# m na epressão para o trabalho: S 2 J Q * TV P * ˆ ƒi * Perceba que durante o segundo intervalo o trabalho realiado é mais do que o dobro do trabalho feito no primeiro intervalo. Embora o deslocamento tenha sido idêntico em ambos intervalos, a força é maior durante o segundo intervalo Energia Cinética E 7-21 (7-???6. ) Se um foguete Saturno V com uma espaçonave Apolo acoplada tem uma massa total de C] g e atinge uma velociade de ms, qual a sua energia cinética neste instante? Usando a definição de energia conética temos que C ŒT f *A ~ J * E 7-22 (7-16. ) Um elétron de condução (massa CS Sƒ# ~ g) do cobre, numa temperatura próima do ero absoluto, tem uma energia cinética de P>ŒT( Qƒ ~Ž J. Qual a velocidade do elétron? A energia cinética é dada por q, onde é a massa do elétron e a sua velocidade. Portanto E 7-29 (???6. ) S PSUTf C> ƒ ~Ž * ƒ# ~ ms Um carro de g está viajando a P mh numa estrada plana. Os freios são aplicados por um tempo suficiente para reduir a energia cinética do carro de J. (a) Qual a velocidade final do carro? (b) Qual a redução adicional de energia cinética necessária para faê-lo parar? (a) A energia cinética inicial do carro é ] s onde é a massa do carro e P mh Pf 2 P é a sua velocidade inicial. sto nos fornece N *7 P>ŒT * 2 C PSUT ms J Após reduir em J a energia cinética teremos a 2 C GS C Com isto, a velocidade final do carro será a S GS C * J 2> 2 ms VTQ G mh, (b) Como ao parar a energia cinética final do carro será ERO, teremos que ainda remover GS C! J para faelo parar. P 7-35 ( ) Um helicóptero levanta verticalmente um astronauta de T g até m de altura acima do oceano com o auílio de um cabo. A aceleração do astronauta é. Qual o trabalho realiado sobre o astronauta (a) pelo helicóptero e (b) pelo seu próprio peso? Quais são (c) a energia cinética e (d) a velocidade do astronauta no momento em que chega ao helicóptero? jgallas Página 4 de 7

5 K O LSTA 1 - Prof. Jason Gallas, F UFRGS 16 de Setembro de 24, às 14:7 (a) Chame de a magnitude da força eercida pelo cabo no astronauta. A força do cabo aponta para cima e o peso do astronauta aponta para baio. Além disto, a aceleração do astronauta é, para cima. e acordo com a segunda lei de Newton, J. Como a força 4 e o deslo- de modo que camento 6 estão na mesma direção, o trabalho feito pela força 4 é 3 9 T *A CS G *A P J (b) O peso tem magnitude e aponta na direção oposta do deslocamento. Ele eecuta um trabalho V T *7 CS G *7 (c) O trabalho total feito é P *) P Pg J * J Como o astronauta partiu do repouso, o teorema do Trabalho-Energia di-nos que sua energia cinética final deverá ser igual a (d) Como q, a velocidade final do astronauta será P 7-36 ( ) > * T Q T ms G> C mh Uma corda é usada para faer descer verticalmente K um bloco, inicialmente em repouso, de massa com uma aceleração constante. epois que o bloco desceu uma distância, calcule (a) o trabalho realiado pela corda sobre o bloco, (b) o trabalho realiado sobre o bloco pelo seu peso, (c) a energia cinética do bloco e (d) a velocidade do bloco. (a) Chame de a magnitude da força da corda sobre o bloco. A força aponta para cima, enquanto que a força da gravidade, KJ de magnitude, aponta para baio. A aceleração é, para baio. Considere o sentido para baio como sendo o sentido positivo. A segunda lei de KJf$ KJ Newton di-nos que, de modo que 2 KJ. A força está direcionada no sentido oposto ao deslocamento de modo que o trabalho que ela fa é 3 r9 2 KJQ (b) A força da gravidade aponta no mesmo sentido que o deslocamento de modo que ela fa um trabalho KJV. (c) O trabalho total feito sobre o bloco é 2 KJV KJQ KJQ Como o bloco parte do repouso, o valor acima coincide com sua energia cinética após haver baiado uma distância. (d) A velocidade após haver baiado uma distância é Q Potência P 7-43 (???6. ) N Um bloco de granito de B g é puado por um guindaste a vapor ao longo de uma rampa com velocidade constante de 2 ms (Fig. 7-3). O coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco e a rampa é S. Qual a potência do guindaste? Para determinar a magnitude da força com que o guindaste pua o granito usaremos um diagrama de corpo livre. Chamemos ^ de a força de atrito, no sentido oposto ao de. A normal Y aponta perpendicularmente à rampa, enquanto que a magnitude da força da gravidade aponta verticalmente para baio. a figura dada vemos que ângulo do plano inclinado vale tanƒ ~ 2 2VT 1 Tomemos o eio na direção do plano inclinado, apontando para cima e o eio š apontando no mesmo sentido da normal Y. Como a aceleração é ero, as componentes e š da segunda lei de Newton são, respectivamente, J_^a sen ò :7;< S a segunda ^ :7;< equação obtemos que, de modo que œb c œb c :A;<. Substiutindo este resultado na primeira equação e resolvendo-a para obtemos sen O bdc :A;< jgallas Página 5 de 7

6 ^ t LSTA 1 - Prof. Jason Gallas, F UFRGS 16 de Setembro de 24, às 14:7 A força do guindaste aponta no mesmo sentido que a velocidade do bloco, de modo que a potência do guindaste é sen (O b c *7 CS G *7 T W P 7-47 (???6. ) 2 * :7;< sen 2BT 1 OžS Uma força de N age sobre um corpo de Œ g inicialmente em repouso. etermine (a) o trabalho eecutado pela força no primeiro, segundo e terceiro segundos e (b) a potência instantânea aplicada pela força no final do terceiro segundo. (a) A potência é dada por por 4 entre o instante ~ e é t t Como 4 por Para ~ s e Para ~ :A;B< 2BT 1 e o trabalho feito é a força total, a magnitude da aceleração é e a velocidade em função do tempo é dada ~. Portanto s temos ) * s e e s temos Para ~e s e 2 s temos R 2 * ˆ ~ * ˆ S G 2 J * ˆ ˆ J (b) Substitua em obtendo então para a potência num instante qualquer. Ao final do terceiro segundo temos * 2 * W P 7-4 ( ) Um elevador de carga totalmente cheio tem uma massa total de g e deve subir m em 2 min. O contrapeso do elevador tem uma massa de C g. Calcule a potência (em cavalos-vapor) que o motor do elevador deve desenvolver. gnore o trabalho necessário para colocar o elevador em movimento e para freá-lo, isto é, suponha que se mova o tempo todo com velocidade constante. O trabalho total é a soma dos trabalhos feitos pela gravidade sobre o elevador, o trabalho feito pela gravidade no contrapeso, e o trabalho feito pelo motor sobre o sistema: $ Oe %Oe. Como o elevador move-se com velocidade constante, sua energia cinética não muda e, de acordo com o teorema do Trabalho- Energia, o trabalho total feito é ero. sto significa que $ ROž$ )Ož. O elevador move-se m para cima, de modo que o trabalho feito pela gravidade sobre ele é r V *7 CS G *7 *l PS 2f J O contrapeso move-se para baio pela mesma distância, de modo que o trabalho feito pela gravidade sobre ele é $ E Q N C *A CS G *7 * Q 2 Como, o trabalho feito pelo motor é J PS 2 2 Q 2 * J J Este trabalho é feito num intervalo de tempo f 2 min G s e, portanto, a potência fornecida pelo motor para levantar o elevador é f Este valor corresponde a P 7-49 (???6. ) 2 G T2 W TP S C C hp Whp T2 W A força (mas não a potência) necessária para rebocar um barco com velocidade constante é proporcional à velocidade. Se são necessários hp para manter uma velocidade de mh, quantos cavalos-vapor são necessários para manter uma velocidade de mh? jgallas Página 6 de 7

7 LSTA 1 - Prof. Jason Gallas, F UFRGS 16 de Setembro de 24, às 14:7 Como o problema afirma que a força é proporcional à velocidade, podemos escrever que a força é dada por?, onde é a velocidade e é uma constante de proporcionalidade. A potência necessária é e Esta fórmula nos di que a potência associada a uma velocidade ~ é ~ ª ~ e a uma velocidade é «. Portanto, dividindo-se por ~ podemos nos livrar da constante desconhecida, obtendo que ~ ~ Para ~r hp e 2 ~, vemos sem problemas que *!N 2 * *) C hp Observe que é possível determinar-se eplicitamente o valor de a partir dos dados do problema. Porém, tal solução é menos elegante que a acima apresentada, onde determinamos implicitamente, chegando ao resultado final mais rapidamente Energia Cinética a Velocidades Elevadas E 7-5 (???6. ) Um elétron se desloca de Q cm em S ns. (a) Qual é a relação entre a velocidade do elétron e a velocidade da lu? (b) Qual é a energia do elétron em elétrons-volt? (c) Qual o erro percentual que você cometeria se usasse a fórmula clássica para calcular a energia cinética do elétron? (a) A velocidade do elétron é S > g ƒ ƒ J ms Como a velocidade da lu é e CC G( C C G > PG ms, temos (b) Como a velocidade do elétron é próima da velocidade da lu,devemos usar epressão relativística para a energia cinética: E CS 2> - ~ *7@ C CG -* ƒ ~ J Este valor é equivalente a 2S P Qƒ ~ ƒ ~ C > PG * (c) Classicamente a energia cinética é dada por q CS Cf ƒ# ~ *A ± ƒ ~ J C ev -* Portanto, o erro percentual é, simplificando já a potência comum Qƒ ~ que aparece no numerador e denominador, erro percentual 2S C 2S S 2BT ou seja, 2BT ². Perceba que não usar a fórmula relativística produ um grande erro!! jgallas Página 7 de 7