Constantes Velocidade do som no ar: v som = 344 m /s Velocidade da luz no vácuo c = 3 10 8 m/s 8.1. Considere uma corda de comprimento L e densidade linear µ = m/l, onde m é a massa da corda. Partindo da equação de Newton para o movimento de uma pequena porção da corda com comprimento dx, demonstre que, no caso de haver ondas transversais de pequena amplitude a propagar-se na corda, as oscilações dos pontos da corda relativamente à posição de equilíbrio podem ser dadas por: 2 y x 2 = 1 v 2 2 y t 2, onde y = y(x, t), v = T x /µ é a velocidade de propagação da onda na corda e T x é a tensão aplicada ao longo do eixo dos xx. 8.2. Na extremidade de uma corda suficientemente longa é imposta uma perturbação com frequência f = 5 Hz que provoca uma onda de amplitude A=12 cm e velocidade de propagação v =20 m /s. A densidade linear da corda é µ=5 10 2 kg/m. a) Determine a frequência angular, ω, e o número de onda, k, bem como a expressão para a onda que se propaga na corda. A posição dos pontos da corda sujeita à onda resultante da perturbação é dada pela função y(x, t) = A sin(kx ωt) A frequência angular relaciona-se com a frequência por ω = 2πf, logo, atendendo ao valor indicado para f, ω = 10π rad /s. Para determinarmos o número de onda, usando a relação acima, podemos escrever y(x, t) = A sin (2π(x/λ ft)) onde λ é o comprimento de onda. Donde, k = 2π/λ. Mas, a velocidade de propagação da onda é v = fλ, donde tiramos k = 2πf/v = π/2 m 1. 101
E podemos descrever a onda como [ ( )] x y(x, t) = 0, 12 sin 2π 4 5t m b) Qual a tensão a que está sujeita a corda? Sabemos já que v = T x /µ pelo que obtemos, T x = µv 2 = 20 N c) ( ) Qual a potência que deverá ser transmitida à corda para que se consiga manter a corda a vibrar como indicado anteriormente? Se quiséssemos aumentar a frequência num factor de 10, em quanto teríamos que aumentar a potência? Sugestão: Comece por demonstrar que a energia de cada pequeno segmento de corda com comprimento x e massa m está relacionada com a energia cinética máxima desse segmento (E c,max ) e é dada por E c,max = 1 ( ) y(x, t) 2 2 m t max = 1 2 µdxa2 ω 2. Solução: A força F aplicada na extremidade da corda a um elemento de massa dm, imprima uma aceleração a tal que F = dm ÿ = dm ω 2 y = ky a qual se relaciona com a energia potencial por F = dep dy, o que nos permite obter por integração, de p = 1 2 ky2 = 1 2 dm ω2 y 2. Por outro lado, a energia cinética é de c = 1 dm v2 2 = 1 2 dm ω2 A 2 cos 2 (kx ωt) = 1 ( ) 2 dm ω2 A 2 1 sin 2 (kx ωt) = 1 2 dm ω2 ( A 2 y 2) 102
Obtendo, para a energia total de = de c + de p, de = 1 2 dm ω2 A 2 Numa extensão de corda de um comprimento de onda, a energia transportada pela onda será de = 1 2 ω2 A 2 dm = 1 λ 2 µω2 A 2 dx = 1 2 µλω2 A 2, onde usamos dm = µdx. Em cada cada período a potência será, P = f de = f 1 2 µλω2 A 2 Como λ = v/f, substituindo valores, obtemos P = 7 W. Por outro lado como P f 2, para aumentar a frequência de um factor de 10, a potência terá de aumentar 10 2 vezes. 0 8.3. Um sinal sonoro é emitido por um par de colunas iguais colocadas a uma distância de 2D = 3 m. Um ouvinte está a uma distância de r = 8 m do centro da linha que une as duas colunas e à mesma distância de ambas as colunas. As colunas estão ligadas a um mesmo amplificador. Se o ouvinte se deslocar x = 35 cm na direcção paralela à linha que une as duas colunas o som anula-se. Qual a frequência do som emitido pelas colunas? D r 2 r 2 B r x A D r 1 r 1 Figura 8.1: Sobreposição de ondas emitidas por um mesmo amplificador Sugestão: Considere que a ondas sonoras recebidas pelo ouvinte e emitidas pelas colunas 1 e 2 podem ser dadas, respectivamente, por Φ 1 = A sin(kr 1 ωt) e Φ 2 = A sin(kr 2 ωt) e calcule a resultante da sobreposição das duas ondas Φ = Φ 1 (r 1, t)+φ 2 (r 2, t), onde r 1 e r 2 são as distâncias indicadas na figura 8.1. 103
A onda que é recebida pelo ouvinte é a sobreposição das duas ondas emitidas, Φ = Φ 1 (r 1, t) + Φ 2 (r 2, t). Usando a relação trigonométrica ( ) ( ) 1 1 sin α ± sin β = 2 sin 2 (α ± β) cos 2 (α β), (8.1) obtemos ( ) ( ) 1 1 Φ = 2A cos 2 k[r 1 r 2 ] sin 2 (k[r 1 + r 2 ] 2ωt) Ou seja obtemos uma nova onda cuja amplitude depende da distância r 1 r 2, ( ) 1 A = 2A cos 2 k[r 1 r 2 ]. Essa amplitude será zero sempre que o argumento do coseno for π(n+ 1/2) com n inteiro. Como k = 2πf/v onde v é a velocidade do som no ar, a amplitude do som anula-se sempre que se verifique ( v f = r 1 n + 1 ) n = 0, ±1, ±2,... r 2 2 Atendendo à figura 8.1 temos r 1 = r 2 = ((D + x) 2 + r 2) 1/2 ((D x) 2 + r 2) 1/2 Substituindo valores, obtemos f = (1,33, 4,00, 6,67,...) khz. 8.4. Duas ondas Φ 1 (x, t) = 4 sin(3x 2t) cm e Φ 2 (x, t) = 4 sin(3x + 2t) cm, propagam-se numa corda de comprimento L que tem as extremidades fixas. a) Qual a resultante da sobreposição das duas ondas na corda? Como as ondas Φ 1 e Φ 2 têm a mesma amplitude, a resultante é Φ(x, t) = 4(sin(3x 2t) + sin(3x + 2t)) cm mas, usando novamente a relação trigonométrica 8.1, (e como cos( α) = cos(α)) a equação anterior pode ser escrita Φ(x, t) = 8 sin(3x) cos(2t) cm 104
b) Qual a amplitude de oscilação para o ponto x = 2 cm? A amplitude de oscilação é dada pelo termo A(x) = 8 sin(3x). Assim, nesse ponto, A(2) = 8 sin(6) = 2,24 cm c) Qual a equação de movimento para o ponto x = 2 cm? Nesse ponto teremos Φ(2 cm, t) = 2,24 cos(2t) cm d) Determine as coordenadas x na corda para as quais a amplitude de oscilação é máxima. A amplitude é máxima para sin(3x) = 1 ou seja para 3x = 2n + 1 π, n = 0, 1, 2,..., n max 2 com n max determinado pela condição x n L. Os primeiros máximos de x ocorrem para x = (π/6, 3π/6,...) cm. e) Determine as coordenadas na corda para as quais a amplitude do movimento é sempre zero. Neste caso, a amplitude é zero para sin(3x) = 0 ou seja para x = n 3 π, n = 0, 1, 2,..., n max Os primeiros mínimos ocorrem para x = (0, π/3, 2π/3,...) cm. 8.5. Numa corda presa em ambas as extremidades e com comprimento L = 1, 5 m, consigo produzir um som com uma frequência fundamental de f = 264 Hz. 105
a) Qual o comprimento de onda da harmónica fundamental, f 1? O comprimento de onda das frequências próprias da corda corresponde às fracções inteiras de 2L: λ n = 2L n, n = 1, 2,... A harmónica fundamental corresponde a n = 1. Logo λ 1 = 3 m. b) Calcule a expressão para as frequências possíveis na corda (f n ). Como f = v/λ, tem-se f n = n v 2L = nf 1 c) Calcule as frequências das duas harmónicas seguintes, f 2 e f 3. Da aplicação directa da expressão acima, temos f 2 = 528 Hz, f 3 = 792 Hz. d) Determine a localização dos nodos correspondentes a f 1, f 2 e f 3. Como vimos anteriormente, a amplitude anula-se quando o seno é zero, isto é para os pontos que obedecem à condição kx = nπ. Atendendo a que k = 2π/λ, os nodos serão os pontos x n = n λ 2, n = 0, 1, 2,..., x n L usando a expressão para λ m da alínea a) podemos construir a seguinte tabela: n f n λ n nodos 1 f 1 2L 0, L 2 f 2 L 0, L/2, L 3 f 3 2L/3 0, L/3, 2L/3, L 106
e) Qual a velocidade de propagação das ondas na corda quando o som produzido tem a frequência f 1? Podemos escrever v = f 1 λ 1 = 2Lf 1. Substituindo valores, obtemos v = 792 m /s. f) Qual a tensão nas extremidades da corda sabendo que a densidade linear é µ = 0, 007 kg /m. Por outro lado também sabemos que v = T/µ. Logo, T = µv 2 = 4390, 85 N. g) Qual a frequência da vibração que passa para o ar? Qual o comprimento de onda do som no ar? Considere a velocidade do som v som = 340 m /s. Passa a frequência fundamental, f ar = 264 Hz. Por sua vez, o comprimento de onda é λ ar = v som /f ar = 1, 29 m. 8.6. Um raio de luz incide com um ângulo de 20 o em relação à normal à face de uma placa de vidro de faces paralelas. A espessura da placa é de 2 cm. O vidro tem um índice de refracção n = 1,5 para essa radiação. a) Qual o ângulo, em relação à normal, com que o feixe de luz sai do outro lado da placa de vidro? Faça um esquema. Com o auxílio da figura ao lado, sabemos que os ângulos na fronteira (1)-(2) obedecem à lei de Snell: n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 (onde n 1 e n 2 são os índices de refracção), o mesmo acontecendo na fronteira (2)-(3): n 2 sin θ 2 = n 3 sin θ 3. Ora, uma vez que as faces são paralelas, θ 2 = θ2. O que implica que θ 3 = θ 1. Por outro lado n 1 = n 3 e portanto o raio sai fazendo um ângulo de 20 o com a normal. θ 1 θ 2 θ 2 θ 3 n 1 = 1 n 2 = 1,5 n 3 = 1 107
8.7. Um feixe de luz branca incide sobre um placa de vidro fazendo um ângulo de 80 o com a superfície. Sabendo que o índice de refracção desse vidro para a luz vermelha é n vermelho = 1, 5885 e para a luz azul é n azul = 1, 5982, determine a dispersão angular dessas duas cores quando o feixe atravessa a placa de vidro. Faça um esquema. 8.8. Uma onda plana incide sobre uma superfície com duas fendas que distam d = 0, 03 mm. Num ecran a uma distância D = 1, 2 m formase um padrão de interferência. Qual a relação entre a posição dos máximos, (y max ), e o comprimento de onda (λ) da onda plana? R: y max = md d λ. 8.9. Duas fendas estreitas são iluminadas pela luz amarela de sódio λ = 589 nm. Num ecran a um metro de distância formam-se riscas espaçadas de 1 cm. a) Qual a distância entre as fendas? Com a ajuda da figura ao lado, verificamos que a diferença de percurso entre dois raios é d sin θ. Para que a interferência entre dois raios seja construtiva é necessário que se verifique a condição: d sin θ = mλ, m = 0, 1, 2,... d θ θ d senθ D = 1 m y m para sin θ pequeno, podemos escrever sin θ tan θ = y m /D e, portanto, d y m D = mλ y m = m D d λ onde y m indica a ordem do máximo para um e outro lado da linha divisória das fendas. A distância entre máximos será y = y m y m 1 donde tiramos d = D y λ Substituindo valores, obtemos d = 100 λ = 58,9 µm b) Qual seria o espaçamento entre as riscas formadas no ecran se as mesmas fendas fossem iluminadas com luz vermelha de comprimento de onda λ = 650 nm? 108
y = 1 m 58,9 10 6 m 650 10 9 m = 0,011 m = 1,1 cm 8.10. Faz-se incidir um feixe de luz branca sobre duas fendas e um segundo feixe (semelhante ao primeiro) sobre um prisma, por forma a comparar o que acontece ao feixe de luz em cada caso. Considere que cada feixe é composto por radiação que, na zona do visível, tem comprimento de onda entre 350 nanómetros (violeta) e 700 nanómetros (vermelha). Analise o que se observa em cada caso e responda às perguntas seguintes. a) Para o primeiro caso observa-se um padrão de interferência na parede em frente. Sabendo que as duas fendas distam d = 6 10 6 m, indique a largura angular do máximo de 1 a ordem que sai das fendas. Para isso determine o ângulo θ max,350 (relativo ao máximo central) para o máximo de 1 a ordem correspondente à radiação violeta e θ max,700 para o máximo de 1 a ordem correspondente à radiação vermelha. A figura ao lado representa o trajecto dos raios que atravessam as fendas para radiação de dois comprimentos de onda. Para cada comprimento de onda o primeiro máximo ocorre quando a condição d sin(θ λ ) = λ d d max(verm) max(viol) Δ é satisfeita. Daqui podedmos obter a diferença dos ângulos, θ = θ 700 θ 350 : θ = arcsin(λ vermelho /d) arcsin(λ violeta /d) = 3,36 o b) No segundo caso o feixe de luz incide perpendicularmente sobre uma das superfícies do prisma, atravessando-o e incidindo com um ângulo de 30 o numa outra face. Sabendo que o índice de refracção depende do comprimento de onda (n vermelho,700 = 1,48 e n violeta,350 = 1,50), calcule a largura angular do feixe que sai do prisma (largura angular do arco-íris). θ 2 θ 1 Δθ 2 Recorrendo à lei de Snell, n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2, para cada um dos valores de índice de refracção indicados, obtemos n 1 n 2 =1 θ violeta = 48,59 o, θ vermelho = 47,73 o 109
e, θ = 0,86 o c) Compare os resultados das alíneas anteriores, fazendo um esquema para a imagem que se observa na parede no primeiro caso (com as duas fendas) e para o segundo caso (com o prisma). 8.11. Um feixe de luz de uma lâmpada de hidrogénio faz-se passar através de duas fendas que distam d = 41 10 6 m. A luz incide posteriormente sobre um ecran a 2, 5 m de distância. O espectro visível do hidrogénio compreende radiação com os seguintes comprimentos de onda: Risca λ/nm Cor H α 656,3 vermelho H β 485,8 verde H γ 434,0 azul H δ 410,0 violeta a) Justifique por que motivo a luz que passa pelas duas fendas dá origem à formação de máximos e mínimos de intensidade luminosa no ecran. b) Calcule: ˆ a que distância do ponto central se encontra o máximo de 1 a ordem para a luz violeta de λ Hδ = 410 nm e para a luz azul de λ Hγ = 434, 0 nm; ˆ a que distância do ponto central se encontra o mínimo de intensidade para a risca violeta e a risca de côr azul. c) Qual a distância mínima a que o ecran deve estar para que se consiga distinguir a luz azul da luz ultravioleta com uma resolução y = 0, 5 mm. d) Conseguindo distinguir a luz azul da luz violeta conseguirá distinguir a luz vermelha da luz violeta? Justifique. 8.12. Num ecran situado a uma distância L = 1, 2 m de um sistema de fenda dupla forma-se um padrão de interferência da luz que passa pelas fendas. A distância entre as fendas é d = 0, 03 mm. O máximo de segunda ordem, m = 2, dista 4,5 cm do máximo central. a) Determine o comprimento de onda da radiação que incide nas fendas. R: λ = 562, 5 nm. 110
b) Determine a distância no ecran entre dois máximos consecutivos R: y m+1 y m = 2, 25 cm. 8.13. Uma fonte de luz emite radiação com comprimentos de onda λ 1 = 430 nm e λ 2 = 510 nm. Esta fonte é usada numa experiência de interferência com fendas duplas distantes entre sí de d = 17 µm. Calcule a distância a que se encontram os máximos de 3 a ordem num ecran à distância de d = 1 m. R: y = 1, 4 cm. 8.14. Uma bola de sabão é iluminada com luz, cujo comprimento de onda no vácuo é λ = 600 nm. O índice de refracção da água com sabão é igual ao da água, n = 1, 33. a) Calcule a espessura mínima que deverá ter uma bola de sabão para que se obtenha interferência construtiva da luz reflectida. A interferência verifica-se entre a luz reflectida na superfície da bola de sabão e a luz reflectida no interior da bola. Quando a luz incide na superfície da bola de sabão, uma parte vai atravessar a superfície, difractando-se, enquanto outra parte vai ser reflectida (raio (a)), conforme representado na figura ao lado. A onda reflectida sofre uma mudança de fase de π por se tratar de uma reflexão num material com maior índice de refracção (n 2 > n 1 ). A luz difractada vai, por sua vez, ser parcialmente reflectida na superfície oposta (desta vez sem mudança de fase já que (n 2 < n 1 ) ), voltando a atravessar a primeira superfície (raio (b)) e podendo interferir com o raio (a). Note que o comprimento de onda da luz na bola de sabão também se altera de acordo com d 1 2 a b n 1 = 1 n 2 = 1,33 n 3 = 1 λ 2 = λ ar n 2 Considerando que o percurso do raio na bolha de sabão é 2d, a condição para que se observe interferência construtiva entre os dois raios (a) e (b) é 2d = mλ 2 + λ 2 2, m = 0, 1, 2,... 111
e onde o último termo do lado direito é devido à mudança de fase discutida acima. Ou, usando a relação entre comprimentos de onda, ( 2d = m + 1 ) λar 2 n 2 Pondo m = 0 podemos calcular a espessura mínima: d min = 1 λ ar 4 n 2 = 112,8 nm b) Haverá interferência construtiva se a película da bola de sabão tiver uma espessura que seja o dobro da calculada na alínea anterior? Justifique. Podemos escrever a condição para interferência construtiva como d = (2m + 1) λ ar 4n 2, m = 0, 1,... E vemos que só quando a espessura variar número ímpar de vezes em relação à espessura mínima, voltamos a obter interferência construtiva. 8.15. Um feixe monocromático de luz de um laser de hélio-néon, de comprimento de onda λ = 632, 8 nm incide sobre uma rede de difracção com 6000 fendas por centímetro. a) Determine os ângulos a que se observam os máximos de 1 a e 2 a ordens. R: θ 1 = 22, 31 o ; θ 2 = 49, 39 o. b) Determine se é possível observar o máximo de 3 a ordem. R: Para m = 3 obtém-se sin θ 3 = 1, 139 o que é impossível. 8.16. Luz de comprimento de onda λ = 589 nm é usada para iluminar um objecto que se pretende observar ao microscópio. A objectiva do microscópio tem uma abertura com diâmetro d = 0, 9 cm. Calcule o menor ângulo que se consegue resolver. 112
Se em vez desta radiação for usada luz visível, qual o menor ângulo que se consegue resolver. Considere que a radiação visível com o menor comprimento de onda corresponde a luz violeta com λ violeta = 400 nm. 8.17. A intensidade de um som é frequentemente referida em unidades de decibel (db). A relação entre o valor da intensidade do som em db e em W/m 2 é dada por ( I(W/m 2 ) ) I(dB) = 10 log 10 10 12, onde I(W/m 2 ) é a intensidade do som medida em unidades de W/m 2. Como pode facilmente verificar, nesta escala considera-se que o valor de I o = 10 12 W/m 2 define o zero da escala. a) A que corresponde uma intensidade de som de I= 1W/m 2 na escala de db? b) Num concerto dos Green Flying Dinossaurs, quando um dos GFD sobrevoa o palco suspenso do tecto, uma fonte sonora pontual emite um efeito acústico com uma potência P emitida = 100 W. Determine a que distância do palco a intensidade deste som é igual a 90 db, limite a partir do qual se devem utilizar de protectores auditivos para evitar lesões irreversíveis do aparelho auditivo? 113