O que é um problema? Um problema é uma tarefa em que te são indicados de forma mais ou menos clara os dados que necessitas para a resolveres e o objetivo a atingir. Num problema, compreendes facilmente qual é a pergunta a que tens de responder, mas podes usar o método que quiseres para chegar à resposta! Há problemas com uma solução apenas, outros com várias soluções e outros com tantas que nem as podes contar! Os problemas não são coisas que se resolvem aplicando rapidamente regras ou procedimentos que tenhas aprendido nas aulas. Levam algum tempo para que os consigamos resolver, mas a piada toda está aí: não se consegue encontrar uma solução sem que tenhamos de dar alguma luta!!! Mas não te assustes! Os problemas deste campeonato não são difíceis, mas sim desafiantes. Com mais ou menos esforço, tu consegues de certeza resolvê-los, e podes sempre pedir ajuda!!! No Vilhenas15, é este mesmo o espírito de um problema: ser desafiante, despertar a tua curiosidade, o teu gosto pela matemática e fazer-te lutar por encontrar a solução. Assim desenvolves o teu raciocínio e ficarás orgulhoso das tuas capacidades. A seguir apresentamos-te alguns exemplos!
A viagem de carro pela Europa O Sr. Américo e a família vão fazer uma viagem de automóvel pela Europa. No total vão percorrer. Por precaução comprou pneus novos, levando deles de reserva. Ao longo da viagem vai trocando o pneu suplente de modo a que cada pneu rode o mesmo número de quilómetros. Quantos quilómetros irá rodar cada um dos 5 pneus? Não te esqueças de explicar o teu processo de resolução. Problema 8 da edição de 2010/2011 do SUB14 Campeonato de resolução de problemas organizado pela Universidade do Algarve. Ao lermos bem o enunciado deste problema, facilmente retiramos a informação importante para o resolver: O que é que sabemos? O carro anda ; Há pneus novos; Troca-se o pneu suplente de modo a que cada pneu rode o mesmo número de quilómetros. O que pretendemos saber? Quantos quilómetros irá rodar cada um dos 5 pneus? Mas o que é certo é que, sem pensarmos um bocadinho, não conseguimos encontrar a resposta ao problema. No entanto, este é um problema engraçado e que dá vontade de resolver.
Algumas resoluções dos alunos que participaram no SUB14 de 2010/2011: (disponíveis no site do campeonato SUB14)
A marcação do canteiro A Rosa explicou ao seu jardineiro que queria colocar uma zona de flores triangular no seu jardim de relva retangular. E acrescentou que a área do triângulo ficaria ao critério do jardineiro. O bom do empregado pegou numa vara de 2 metros, estendeu-a perpendicularmente a um dos bordos do jardim, num ponto ao acaso (E). Depois, com um fio, traçou uma linha que passava pela extremidade da vara (F) e que unia os dois lados opostos do retângulo, obtendo o triângulo [EGH]. No dia seguinte, a Rosa olhou para o triângulo e não gostou, mudou a mesma vara para outro ponto ao acaso da borda do jardim e traçou outra linha que passava pela extremidade da vara e unia os dois lados opostos do retângulo (obtendo outro triângulo amarelo [EGH]). Quando lá chegou, o jardineiro protestou, dizendo que a área para as flores tinha diminuído. Mas a Rosa garantiu-lhe que não. Quem tem razão e porquê? Não te esqueças de explicar o teu processo de resolução. Problema 6 da edição de 2010/2011 do SUB14 Campeonato de resolução de problemas organizado pela Universidade do Algarve. Temos de ler muito bem o enunciado deste problema para organizarmos as nossas ideias e percebermos qual é a informação importante que nos permite resolvê-lo:
O que é que sabemos? A Rosa quer criar um canteiro triangular para flores dentro de um jardim retangular; O jardineiro desenha um triângulo com altura de 2 metros e perpendicular a um lado do jardim (1ª figura); A Rosa usou o mesmo processo, mas construiu outro triângulo, diferente do triângulo do jardineiro mas com a mesma altura de 2 metros (2ª figura); O jardineiro diz que a área para as flores diminuiu; A Rosa garante que não. O que pretendemos saber? Quem tem razão, o jardineiro ou a Rosa? Porquê? Sem pensarmos um bocadinho, não conseguimos encontrar a resposta ao problema. Temos de extrair do enunciado a informação que precisamos para esquematizar o problema em termos matemáticos; e depois pensamos numa forma de o resolver. É um problema algo exigente. No entanto, estimula-nos a procurar uma solução porque ficamos curiosos para saber quem, de facto, tem razão. Algumas resoluções dos alunos que participaram no SUB14 de 2010/2011: (disponíveis no site do campeonato SUB14)
A estante bem arrumada A Diana esteve a organizar melhor os livros que tem nas prateleiras do seu escritório. Decidiu que cada uma das cinco prateleiras da estante deveria ficar com o mesmo número de livros e ela contou um total de 85 livros. Para conseguir que todas as prateleiras ficassem com o mesmo número de livros, teve de mudar vários livros de prateleira em prateleira: - passou 11 livros da primeira para a segunda; - passou 6 livros da segunda para a terceira; - passou 8 livros da terceira para a quarta; - passou 5 livros da quarta para a quinta; - passou 4 livros da quinta para a primeira. No fim, ficou tudo certo e bem arrumado! Quantos livros estavam em cada uma das prateleiras antes da arrumação? Não te esqueças de explicar o teu processo de resolução. Problema 4 da edição de 2011/2012 do SUB12 Campeonato de resolução de problemas organizado pela Universidade do Algarve. Depois de lermos bem o enunciado deste problema, retiramos a informação importante para o resolver: O que é que sabemos? Temos uma estante com 5 prateleiras; Existem 85 livros para distribuir pelas 5 prateleiras; Trocam-se os livros de umas prateleiras para outras: passou 11 livros da primeira para a segunda; passou 6 livros da segunda para a terceira; passou 8 livros da terceira para a quarta; passou 5 livros da quarta para a quinta; passou 4 livros da quinta para a primeira.
O que pretendemos saber? Quantos livros estavam em cada uma das prateleiras antes da arrumação? Mais uma vez, temos de pensar um bocadinho para conseguimos encontrar a resposta ao problema. Este é outro exemplo de um problema engraçado e que dá vontade de resolver. Algumas resoluções dos alunos que participaram no SUB12 de 2011/2012: (disponíveis no site do campeonato SUB12)
Bibliografia: -Jacinto, H., & Carreira, S. (2012). Estratégias de resolução de problemas de matemática: que lugar no desenvolvimento do currículo? Comunicação apresentada no XIX Colóquio Internacional da AFIRSE. Instituto de Educação da Universidade de Lisboa, 2-4 fevereiro. -Nobre, S., Amado, N., & Carreira, S. (2009). Manifestações do pensamento algébrico na resolução de problemas. Atas do XX SIEM (pp. 321-338). Viana do Castelo, 1-2 setembro: APM. -Pólya, G. (1945). How to solve it: A new aspect of the mathematical method. Universidade de Princeton: EUA.