Sequência Didática Matemática Prof. Lúcio Fassarella * 2014 * Resumo: Revemos o conceito de sequência didática focalizando seu uso na Educação Matemática e discutimos alguns qualificantes na perspectiva de orientar sua aplicação profícua nos processos de ensino-aprendizagem. INTRODUÇÃO "Que ninguém afirme que eu não disse nada de novo. A disposição do tema é nova. Quando jogamos tênis, os dois usamos a mesma bola, mas um dos dois a coloca melhor." Blaise Pascal, defendendo sua contribuição ao que veio a ser chamado posteriormente de Triângulo de Pascal. Definimos sequência didática como um conjunto ordenado de atividades didáticas concebidas para ensinar algum conhecimento de um campo do saber. Zabala considera as sequências didáticas como uma "das diferentes variáveis que configuram as propostas metodológicas" e define essa variável como uma "série ordenada e articulada de atividades que formam as unidades didáticas" (Zabala, 1998: p.53). O Guia de Orientação para Intervenção Pedagógica da Secretaria Estatual de Educação do Espírito Santo (SEDU) também define o termo de modo similar: "[Sequência didática] é um conjunto de atividades ligadas entre si, planejadas para ensinar um determinado conhecimento etapa por etapa, numa perspectiva dinâmica, intencionada, contextualizada e interdisciplinar. Constitui-se por uma sequência de atividades que permite vivências, visando a atingir os aspectos conceituais, atitudinais e procedimentais propostos, fundamentais para a aprendizagem do aluno e desenvolvimento da autonomia intelectual." (SEDU, 2011: p.34)
A Engenharia Didática, que é uma metodologia de pesquisa em Educação Matemática, conceitua sequências didáticas da mesma forma, embora com a finalidade própria de servir-se delas para "observar as situações de aprendizagem": "[No âmbito da Engenharia Didática,] uma sequência didática é formada por um certo número de aulas planejadas e analisadas previamente com a finalidade de observar situações de aprendizagem, envolvendo os conceitos previstos na pesquisa didática. Essas aulas são também denominadas de sessões, tendo em vista seu caráter específico para a pesquisa. Em outros termos, não são aulas comuns no sentido da rotina de sala de aula." (Pais, 2011: p.102). Realmente, a noção geral de sequência didática está bem definida e caracterizada na Didática por um conjunto de qualificantes que amparam sua utilização pelos professores. Contudo, acreditamos que o conceito carece de qualificações específicas no âmbito da Educação Matemática que permitam discutir mais profundamente e melhor orientar sua aplicação nos processos de ensino-aprendizagem dessa disciplina. Fundamos nossa posição na ideia de que o potencial didático de uma metodologia depende de sua adequação às características próprias do assunto, bem como ao sujeito que aprende. Portanto, defendemos que: (i) o conceito de sequência didática seja especializado para o ensino de Matemática de modo a incorporar as componentes fundamentais da sua aprendizagem e (ii) esse conceito possua um elenco de qualificantes que orientem sua concepção e possam dar melhor garantias de um uso profícuo. Para subsidiar nossa posição, destacamos que (Zabala, 1998: Capítulo 3) define quatro tipos de sequências didáticas de conteúdo, referentes ao que se pretende ensinar: conteúdos factuais, conceituais, procedimentos ou atitudinais. Entretanto, entendemos que o ensino de um tópico da Matemática deve integrar de modo mais ou menos abrangente todos os aspectos
pertinentes para que sua aprendizagem seja consistente e significativa, especialmente porque, na Matemática, conceitos e procedimentos estão indissoluvelmente relacionados. Acreditamos que a Teoria dos Campos Conceituais fornece amplo amparo para essa ideia, mas nos limitamos a mencionar a discussão simples e direta de Elon L. Lima em (Lima, 2003: Capítulos 15 e 18), onde ele defende que aprendizagem da Matemática possui três componentes chamadas conceituação, manipulação, aplicações: "Cada tópico apresentado na sala de aula, cada novo assunto tratado no curso, cada tema estudado deve ser visto sob esses três aspectos, o conceitual, o manipulativo e o aplicativo. O professor deve submeter-se ao desafio de compor esse trio a cada nova etapa do seu trabalho." "A dosagem adequada dessas três componentes é o fator de equilíbrio do processo de aprendizagem." (Lima, 2003: p.177) Enfim, aqui apresentamos uma definição de sequência didática matemática como uma especialização do conceito de sequência didática e propomos alguns qualificantes específicos, uma delas focalizando a consideração adequada das quatro dimensões (ao invés de três componentes) do ensino-aprendizagem da Matemática: as dimensões conceitual, procedimental, contextual e atitudinal. Além dos objetivos específicos que defendemos, também acreditamos que esse trabalho coloca em perspectiva diversos temas em voga na Educação Matemática, constituindo uma introdução sucinta que pode ser útil tanto para professores de matemática atuantes na Educação Básica quanto para estudantes e professores de cursos de licenciatura.
As 4 Dimensões do Ensino-aprendizagem da Matemática Definimos quatro componentes do ensino-aprendizagem da Matemática, usando uma terminologia similar àquela apresentada em (Zabala, 1998) e significados próximos aos definidos em (Lima, 2003): A dimensão conceitual diz respeito as noções intuitivas e a formalização dos conceitos matemáticos, tendo como referência o saber institucionalizado e como paradigma o método axiomático-dedutivo. Também inclui o conhecimento acerca das relações do tema de estudo com outros temas matemáticos e com outras áreas do saber, bem como uma noção de sua evolução histórica. "A conceituação compreende a formulação correta e objetiva das definições matemáticas, o enunciado preciso das proposições, a prática do raciocínio dedutivo, a nítida conscientização de que conclusões sempre são provenientes de hipóteses que se admitem, a distinção entre uma afirmação e sua recíproca, o estabelecimento de conexões entre conceitos diversos, bem como a interpretação e a reformulação de ideias e fatos sob diferentes formas e termos. É importante ter em mente e destacar que a conceituação é indispensável para o bom resultado das aplicações." (Lima, 2003: p.140-141) A dimensão procedimental diz respeito à manipulação numérica, a manipulação algébrica, aos métodos de cálculo, ou a qualquer procedimento algorítmico. "A manipulação, de caráter principalmente (mas não exclusivamente) algébrico, está para o ensino e o aprendizado da Matemática assim como a prática dos exercícios e escalas musicais está para a música (ou mesmo como o repetido treinamento dos chamados 'fundamentos' está para certos esportes, como o tênis e o voleibol). A habilidade e a destreza no manuseio de equações, fórmulas e construções geométricas elementares, o desenvolvimento de atitudes mentais automáticas, verdadeiros reflexos
condicionados, permite ao usuário da Matemática concentrar sua atenção consciente nos pontos realmente cruciais, poupando-lhe da perda de tempo e energia com detalhes secundários." (Lima, 2003: p.140) A dimensão contextual engloba a resolução de problemas, a contextualização dos conceitos e as aplicações. "As aplicações são empregos das noções e teorias da Matemática para obter resultados, conclusões e previsões em situações que vão desde problemas triviais do dia-a-dia a questões mais sutis que surgem noutras áreas, quer científicas, quer tecnológicas, quer mesmo sociais. (...) Como as entendemos, as aplicações do conhecimento matemático incluem a resolução de problemas, essa arte intrigante que, por meio de desafios, desenvolve a criatividade, nutre a autoestima, estimula a imaginação e recompensa o esforço de aprender." "As aplicações são a parte ancilar da Matemática. São a conexão entre a abstração e a realidade." (Lima, 2003: pp.140-141, 184) A dimensão atitudinal refere-se principalmente às disposições mentais relacionadas a resolução de problemas matemáticos, tais como atenção, criatividade, iniciativa e autonomia; secundariamente, refere-se também a postura social no que tange à capacidade para comunicar e discutir ideias - o que inclui as habilidades para leitura e escrita de textos com conteúdo matemático. "Ao contrário das demais matérias que se estudam na escola, que se referrem a objetos e situações concretas, a Matemática trata de noções e verdades de natureza abstrata. (...) A generalidade com que valem as proposições matemáticas exige precisão, proíbe ambiguidades e por isso requer mais concentração e cuidado por parte do estudante. (...) A perseverança, a dedicação e a ordem no trabalho são qualidades indispensáveis para o estudo da Matemática. Note-se que não se trata de talentos e que não se nasce dotado delas." (Lima, 2003: p.3) Como exemplo, analisamos as 4 dimensões do ensino-aprendizagem do tema
"derivada" - conteúdo das disciplinas introdutórias de Cálculo Diferencial e Integral: A dimensão conceitual concerne às motivações para a definição da derivada, aos seus significados analítico (limite de taxas médias de variação) e geométrico (inclinação das retas tangentes ao gráfico), às suas propriedades algébricas (incluindo as respectivas demonstrações); também envolve o discernimento do conceito em situações contextualizadas (especialmente quando for pertinente em outras disciplinas acadêmicas), o enquadramento do tema no âmbito maior da disciplina a qual pertence (o Cálculo), o conhecimento acerca da origem e desenvolvimento histórico do Cálculo, bem como sua importância para a ciência e a tecnologia contemporâneas; A dimensão procedimental refere-se às técnicas de cálculo (e.g., aplicação das regras de derivação), algoritmos e métodos de resolução de problemas padronizados (e.g., fórmulas para determinação de tangentes, a técnica dos pontos críticos para obtenção de máximos e mínimos); A dimensão contextual envolve, por exemplo o uso da derivada na definição do conceito físico de velocidade instantânea, a resolução de problemas de otimização, às aplicações das funções deriváveis na modelagem matemática e etc.; A dimensão atitudinal está relacionada às atitudes que se deve tomar para estudar o tema com eficiência: atenção, dedicação, utilização de recursos e abordagens diversas.
DEFINIÇÃO E DISCUSSÃO Uma Sequência Didática Matemática é uma sequência didática caracterizada pelos seguintes elementos: Tema: tópico ou conjunto de tópicos que constituem a unidade didática; Objetivos: conhecimentos ou competências específicos que devem ser aprendidos da unidade didática; Requisitos: conjunto dos tópicos necessários para compreensão do tema ou pressupostos para o aproveitamento adequado da sequência didática; Atividades Didáticas, organizadas numa ordem predeterminada e que incorporem (explícita ou implicitamente) as dimensões conceitual, contextual, procedimental e atitudinal do ensino da Matemática. Detalhemos cada um desses itens. Objetivos Os objetivos devem focalizar o tema de ensino, considerando a abrangência e o nível de profundidade do aprendizado pretendido com a aplicação da sequência didática. Podemos dividir os objetivos em duas categorias: Objetivos principais: conceitos e competências que se pretende ensinar, tendo como referência saber matemático institucionalizado; Objetivos subsidiários: conceitos e competências abordados para facilitar a aprendizagem pretendida, podendo (eventualmente) ser entendidos como construções didáticas. Os objetivos principais geralmente estão fixados pelo currículo da instituição de ensino. Já os objetivos subsidiários devem ser escolhidos pelo professor tendo em vista tanto os objetivos principais quanto o perfil dos estudantes em perspectiva. Percebemos que já na elaboração dos objetivos de uma sequencia didática matemática é importante considerar a questão da transposição
didática, definida como "o trabalho que, de um objeto de saber a ensinar faz um objeto de ensino" (Chevalard, Apud. Pais, 2011: p.19). Exemplo de objetivos de uma sequência didática matemática com tema Semelhança de Figuras Planas: - Objetivo principal: compreender o conceito de semelhança de figuras planas; - Objetivos Subsidiários: recapitular os critérios de congruência de triângulos e aprender os critérios de semelhança de triângulos. Requisitos Requisitos são os conhecimentos necessários para compreensão do tema ou que são pressupostos serem conhecidos pelos estudante para que possam realizar proficuamente a sequência didática. Sua descrição deve se limitar aos conhecimentos mais diretamente ligados aos objetivos, a maioria deles podendo ser deixados implícitos. Eventualmente, uma sequência didática pode incorporar alguns requisitos como objetivos subsidiários. Por exemplo, considere uma sequência didática que tenha como objetivo principal o ensino do conceito de semelhança de figuras planas e que possua uma atividade que tenha como objetivo específico desenhar polígonos regulares de diferentes tamanhos num software de geometria dinâmica; nesse caso, os conhecimentos básicos do software necessários para realizar a atividade podem ser considerados tanto como requisitos quanto como objetivos subsidiários da sequência didática - naturalmente, a escolha vai depender do grupo de estudantes visado. Exemplo de objetivos e requisitos de uma sequência didática matemática com tema Semelhança de Figuras Planas: - Objetivo principal: compreender o conceito de semelhança de figuras planas; - Objetivos Secundário: recapitular os critérios de congruência de triângulos e aprender os critérios de semelhança de triângulos; - Requisitos: conhecimento do conceito e critérios de congruência de triângulos; conhecimentos básicos do software Geogebra, especificamente as ferramentas inserir ponto, desenhar segmento definido por dois pontos, desenhar polígono regular, medir comprimento, medir ângulo, medir área.
Atividades didáticas As atividades didáticas constituem o cerne da sequências didáticas e podem ser concebidas de modo inteiramente livre, desde que o conjunto cumpra as condições de relevância, prioridade e adequação. A relevância diz respeito à pertinência ou adequação de uma atividade para o ensino do tema na perspectiva do conjunto das atividades; a prioridade consiste da ordenação das atividades de modo que sejam precedentes aquelas que ensinam conhecimentos necessários para as outras; a adequação é definida pelo equilíbrio e abrangência do tratamento das dimensões conceitual, procedimental, contextual e atitudinal do ensino-aprendizagem da Matemática. Embora seja admissível a concepção livre das atividades didáticas, acreditamos ser proveitoso concebê-las com os seguintes componentes devidamente caracterizados: Objetivo específico; Metodologia específica; Recursos didáticos; Descrição; Avaliação; Cronograma. As metodologias específicas das atividades de uma sequência didática podem ser iguais ou diferentes. O importante é que cada metodologia seja adequada ao objetivo da atividade, ao tamanho da turma e ao nível de desenvolvimento dos estudantes. Observação 1: Embora possa parecer trivial que as atividades da sequência didática devam cumprir as condições de relevância e prioridade (sem mencionar a condição de adequação), sua garantia já requer do professor um conhecimento sólido do tema em questão, pois dele depende uma concepção
da sequência de atividades consistente com o caráter cumulativo da Matemática e compatível com o saber institucionalizado 1. Esse conhecimento sólido envolve tanto o domínio de uma formulação axiomática do assunto quanto uma razoável extensão de tudo aquilo que deve ser ensinado relativamente às quatro dimensões do ensino-aprendizagem. Observação 2: Não é necessário que cada atividade de uma sequência didática matemática corresponda a um único momento ou aula: uma atividade pode ocupar apenas parte de uma aula ou pode ocupar partes de várias aulas. Naturalmente, essa circunstância depende da duração das aulas e do planejamento das atividades. Uma atividade que consista da abordagem de um problema desafiador e sua discussão em classe pode durar metade de uma aula, enquanto uma atividade que envolva diversas etapas (tais como realizar uma série de medidas de campo, sua representação gráfica e interpretação) pode ocupar duas ou mais aulas com duração de 1h. QUALIFICANTES Definimos alguns qualificantes específicos para as sequências didáticas matemáticas, a partir das quais quais podemos analisá-las e qualificá-las: Motivação; Abrangência; Adequação Dimensional; Tratamendo de Obstáculos. Motivação Todo tópico de ensino deve ser adequadamente motivado, visando tanto 1 Evidentemente, o professor deve ter a opção de escolher recursos didáticos e metodológicos no ensino da Matemática, mas não tem a liberdade de modificar ou definir conceitos a revelia do consenso acadêmico da área.
justificar quanto incentivar o máximo possível o estudantes ao trabalho de estudar, posto que o aprendizado depende crucialmente do interesse e do engajamento pessoal no processo. Podemos imaginar diversos tipos de dispositivos motivacionais para aprender um assunto, inclusive seu apelo lúdico ou o interesse que ele desperta nas outras pessoas. Entretanto, consideramos a percepção da relevância um elemento motivacional importante no âmbito do ensino de um tema de Matemática. De fato, as aplicações constituem excelentes motivadores para o aprendizado da Matemática, podendo ser mencionadas em qualquer momento da sequência didática (e não somente na parte final). "As aplicações constituem a principal razão pela qual o ensino da Matemática é tão difundido e necessário, desde os primórdios da civilização até os dias de hoje e certamente cada vez mais no futuro." "As aplicações são a parte ancilar da Matemática. São a conexão entre a abstração e a realidade." "O professor deve considerar como parte integrante e essencial de sua tarefa o desafio, a preocupação de encontrar aplicações interessantes para a matemática que está apresentando." (Lima, 2003: pp.140-141, 184) A motivação com base em aplicações não conflita com a possibilidade da Matemática nos atrair pelas suas qualidades intrínsecas (dentre elas beleza); entretanto, não é razoável esperar que o ensino dependa exclusivamente dessa atração, até porque sua emergência depende da aquisição de um conhecimento preliminar. Cabe registrar que não consideramos como motivação qualquer tipo de coação ao estudante, tal como como comumente aquela gerada pelos exames. Abrangência A abrangência de uma sequência didática matemática diz respeito a parcela do conteúdo abordado, tendo em vista seus objetivos e o perfil dos estudantes.
Assim, por exemplo, um mesmo tema de geometria euclideana pode ser abordado com abrangências diferentes dependendo da maturidade dos estudantes. Adequação Dimensional Uma sequência didática matemática deve conter atividades que trabalhem as quatro dimensões do ensino-aprendizagem da Matemática de modo equilibrado e articulado. O excesso ou carência de ênfase de qualquer dos aspectos distorce a percepção dos estudantes e compromete sua compreensão, quando não estimula o desinteresse (fenômeno típico quando há excesso de manipulação). "Da dosagem adequada de cada uma dessas três componentes [viz., conceituação, manipulação e aplicações] depende o equilíbrio do processo de aprendizagem, o interesse dos alunos e a capacidade que terão para empregar futuramente, não apenas as técnicas aprendidas nas aulas, mas sobretudo o discernimento, a clareza das ideias, o hábito de pensar e agir ordenadamente, virtudes que são desenvolvidas quando o ensino respeita o balanceamento das três componentes básicas. Elas devem ser pensadas como um tripé de sustentação: as três são suficientes para assegurar a harmonia do curso e cada uma delas é necessária para o seu bom êxito." (Elon, 2003: pp.139-140) Não é necessário que as sequências didáticas matemáticas tenham atividades focalizadas em cada uma das quatro dimensões. Entretanto, essa circunstância é conveniente, pois elas requerem diferentes habilidades dos estudantes (abstrair e articular conceitos, memorizar procedimentos, interpretar situações-problema, assumir uma atitude de autonomia intelectual) e seu isolamento facilita a identificação de eventuais dificuldades. Tratamento de obstáculos O planejamento de uma sequência didática deve prever dificuldades típicas e
incorporar elementos que facilitem sua superação. Característico do aprendizado da Matemática é seu caráter cumulativo, no sentido de que ele deve respeitar uma organização. (Por exemplo, a compreensão dos números inteiros precede a compreensão dos números racionais e esta precede a compreensão dos números reais e complexos.) Essa característica acaba sendo responsável por diversas dificuldades quando tentamos aprender algum tema sem conhecer adequadamente os tópicos subjacentes. Independentemente de haver defasagem no conhecimento, no processo de ensino-aprendizagem da Matemática surge naturalmente os chamados obstáculos epistemológicos, cuja superação requer do professor o diagnóstico e a aplicação de recursos didáticos e metodológicos específicos para facilitar sua superação. CONCLUSÃO O ensino-aprendizagem da Matemática engloba a discussão acerca da sua natureza, sua essência e razão fundamental para nos ocuparmos dela que é formular e resolver problemas: "What does mathematics really consist of? Axioms (such as the parallel postulate)? Theorems (such as the fundamental theorem of algebra)? Proofs (such as Godel's proof of undecidability)? Concepts (such as sets and classes)? Definitions (such as the Menger definition of dimension)? Theories (such as category theory)? Formulas (such as Cauchy's integral formula)? Methods (such as the method of successive approximations)? Mathematics could surely not exist without these ingredients; they are all essential. It is nevertheless a tenable point of view that none of them is at the heart of the subject, that the mathematician's main reason for existence is to solve problems, and that, therefore, what mathematics really consists of is problems and solutions." "I do believe that problems are the heart of mathematics, and I hope that as teachers, in the classroom, in seminars,
and in the books and articles we write, we will emphasize them more and more, and that we will train our students to be better problem-posers and problem-solvers than we are." (Halmos, 1980) O aspecto criativo da resolução de problemas revela o caráter artístico da Matemática - seu aspecto mais fundamental e menos considerado no ensino da Matemática, embora no contexto pedagógico apareça na forma de abordagens lúdicas. "The first thing to understand is that mathematics is an art. The difference between math and other arts, such as music and painting, is that our culture does not recognize it as such." "The art is not in the 'truth' but in the explanation, the argument. It is the argument itself that gives the truth its context, and determines what is really being said and meant. Mathematics is the art of explanation." "By concentrating on what, and leaving out why, mathematics is reduced to an empty shell." (Lockhart, 2009: p.29) Acreditamos que tanto a Teoria dos Campos Conceituais (Vergnaud, 1996) quanto a Teoria das Situações Didáticas (Brousseau, 2008) podem ser usadas como paradigmas para a concepção de sequências didáticas adequadas. O uso da Teoria das Situações Didáticas na elaboração de uma sequência didática para o ensino de frações está bem ilustrado no livro de Brousseau "Teaching Fractions Through Situations: A Fundamental Experiment" (Brousseau, 2014). Nesse caso, considerando o capítulo 2 do livro, podemos identificar as atividades didáticas com as lições ("lessons") e cada módulo pode ser identificado com uma sequência didática que tem como requisitos todos os conteúdos dos módulos precedentes; alternativamente, podemos considerar que todas as lições constituem uma única sequência didática e etc. Finalmente,
"A proposição de uma sequência didática para o ensino de um determinado conceito matemático requer, portanto, a consideração cuidadosa dos obstáculos epistemológicos a vencer, da negociação com o professor e dos contratos a conservar, reforçar e principalmente introduzir (caso dos novos contratos [didáticos]). Precisa ainda levar em conta eventuais metáforas às quais fará apelo como auxiliares representacionais, de forma a possibilitar, num primeiro momento, um elo do tipo "como se", que possibilite a capitalização de conhecimento-em-ação 2 já disponíveis rumo à construção de conceitos abstratos." (Falcão, 2008: p.57) Referências [Barrroso, 2013] Natália M.C. Barroso, José M. Soares, João C.M. Mota, Hermínio B. Neto: Uma sequência didática baseada em realimentação para o ensino da integral. In: Maria C.R. Frota, Bárbara L. Bianchini, Ana M.F.T. Carvalho. Marcas da Educação Matemática no Ensino Superior. Campinas. SP: Papirus, 2013. [Brousseau, 2008] Guy Brousseau: Introdução ao Estudo das Situações Didáticas: Conteúdo e Métodos de Ensino. Editora Ática: São Paulo, 2008. [Brousseau, 2014] Guy Brousseau, N. Brousseau, V. Warfield: Teaching Fractions Through Situations: A Fundamental Experiment. Springer, 2014. [Halmos, 1980] P. R. Halmos: The Heart of Mathematics. The American Mathematical Monthly, Vol. 87, No. 7 (1980): pp. 519-524. [Lima, 2003] Elon L. Lima: Matemática e Ensino (Coleção do Professor de Matemática) - 2a. edição. SBM: Rio de Janeiro, 2003. [Lockhart, 2009] Paul Lockhart: A Mathematician's Lament. Bellevue Literary Press: New York, 2009. [Falcão, 2008] Jorge T. da Rocha Falcão: Psicologia da Educação Matemática: uma introdução. Editora Autêntica: Belo Horizonte, 2008. [Meyer, 2013] João F.C. A. Meyer: Ademir D. Caldeira, Ana P.S. Malheiros: Modelagem em Educação Matemática - 3a. edição. Editora Autêntica: Belo 2"Conhecimento-em-ação" é um conceito da Teoria dos Campos Conceituais que, essencialmente, designa um conhecimento matemático específico que uma pessoa aprende e usa na prática, sem respaldo teórico. Vide (Moreira, 2002).
Horizonte, 2013. [Moreira,2002] Marco A. Moreira: A teoria dos campos conceituais de Vergnaud, o ensino de ciências e a pesquisa nesta área. Investigações em Ensino de Ciências, Porto Alegre, v. 7, n.1, (2002): p. 7-29. [Pais, 2011] Luiz C. Pais: Didática da Matemática: uma análise da influência francesa. Autêntica: Belo Horizonte, 2011. [Pais, 2013] Luiz C. Pais: Ensinar e Aprender Matemática. Autêntica: Belo Horizonte, 2013. [Ponte, 2013] João P. da Ponte, Joana Brocardo, Hélia Oliveira: Investigações Matemáticas na Sala de Aula - 3a. edição Revista e Ampliada. Editora Autêntica: Belo Horizonte, 2013. [SEDU, 2011] SEDU: Guia de Orientação para Intervenção Pedagógica - Ensino Médio, ano 11. URL: http://www.sedu.es.gov.br/download/guiaorientacoes2011ensmedio.pdf [Vergnaud, 1996] G. Vergnaud: A Teoria dos Campos Conceituais. In: J. Brun: Didática das Matemáticas. Instituto Piaget: Lisboa, 1996: pp.155-191. [Zabala, 1998] Antoni Zabala: A Prática Educativa: Como Ensinar. Editora Artmed: Porto Alegre, 1998. [Zaiz, 1993] I. Zaiz: Análise de situações didáticas em geometria para alunos de 4 e 7 anos. In: Grossi Ester (org.): Construtivismo Pós-piagetiano. Vozes: Petrópolis 1993.