Aula Lei de Coulomb Introdução Vimos na aula anterior que corpos carregados com carga sofrem interação mutua podendo ser atraídos ou repelidos entre si. Nessa aula e na próxima trataremos esses corpos como sendo partículas puntiformes, ou seja, seu tamanho sempre será muito menor que as distâncias utilizadas. Não é difícil mostrar que a interação entre partículas carregadas aumenta com o valor da carga de cada partícula e diminui com a distância entre essas partículas. O problema é qual a forma com que a força que surge e a energia envolvida variam com os parâmetros citados, isto é, a carga e a distância. Esse problema foi resolvido por Charles Coulomb e sua balança de torção, pouco tempo depois dos experimentos de Benjamin Franklin. É em sua homenagem que a unidade de medida de carga é o coulomb. Força Coulombiana Suponha uma partícula puntiforme carregada com carga q separada de outra partícula puntiformes com carga q por uma distância d. Se o sinal dessas cargas forma iguais surge uma força de repulsão enquanto que se for diferentes surge uma força de atração. Em qualquer um desses casos, o valor da força será dado por: F q (d q ) onde k é uma constante que depende das unidades de medida utilizadas e da matéria que está entre as duas cargas. Supondo que o meio entre elas seja o vácuo ou o ar, o
valor de k no SI será dado por 9x0 9 N.m /C. Esta força entre cargas elétricas é chamada de força coulombiana e a expressão dessa força Lei de Coulomb. A equação anterior representa o módulo do vetor força, e por isso que deve ser sempre positivo. Dessa forma devemos esquecer o sinal das cargas negativas para o calculo da força coulombiana. A direção da força é dada pela reta que uni as duas cargas, e o sentido será apontando para a carga oposta no caso de atração e ao oposto em caso de repulsão. Devemos ainda lembrar que a força que surge em uma partícula também surge na outra com mesmo valor como dada pela a lei de Newton. atração repulsão Exemplo: Duas cargas, uma de C e outra de C estão separadas pela distância de cm. Sabendo que o meio é o vácuo calcule a força de atração entre essas cargas. Resolução: F 9 0 9 0 ( 0. 0 ) 4 0 N 40N Energia Eletrostática Já vimos que surge uma força entre duas cargas elétricas quaisquer separadas por uma dada distância. Dessa forma se soltarmos as cargas elas se movem devido a essa força quer ela seja de atração ou mesmo de repulsão. Todo movimento está associado a uma velocidade e portanto a uma energia cinética. Então se as cargas quando soltas adquirem energia cinética é porque elas possuem energia potencial armazenada chamada portanto de energia potencial eletrostática. sando a expressão da força coulombiana não é difícil demonstrar que uma carga q separada de uma distancia d por outra carga q tem energia eletrostática armazenada da forma: q q d
onde k tem o mesmo significado e mesmo valor anterior. As cargas não estão em módulo porque energia é um escalar e portanto pode ter valores positivos, negativos e nulos. Como sempre há uma certa escolha arbitrária sobre o ponto em que a energia potencial é nula. Para a energia eletrostática esse ponto será quando as cargas estiverem muito distantes uma das outras, idealmente escolhida como o infinito. Quando as cargas forem de mesmo sinal representando uma repulsão, o valor da energia do sistema é positivo pois foi necessário dar realizar trabalho a fim de aproximar as cargas. Quando as cargas forem de sinal oposto representado uma atração, o valor da energia é negativo pois o sistema perdeu energia pois o sistema tende a aproximar as cargas naturalmente. Muito importante dizer que a energia potencial pertence ao sistema como um todo. Não é possível atribuir uma fração da energia a uma única carga. Exemplo: Duas cargas, uma de C e outra de C estão separadas pela distância de cm. Sabendo que o meio é o vácuo calcule a energia eletrostática acumulada entre essas cargas. Resolução: 9 0 9 0. 0 0 0 J,J Princípio da Superposição Pode-se por medições, que a presença de uma carga elétrica não influi sobre a presença de outra. Em outras palavras, a força com o qual duas cargas interagem não é modificada por uma terceira carga. Vamos supor por exemplo, uma carga elétrica q próxima das cargas q e q cada um com distâncias d e d respectivamente. A carga q sentirá uma força F, devido a carga q e outra força F devido a carga q, ambas sendo dadas pela Lei de Coulomb. Assim a força sentida pela carga q será a soma vetorial das forças F e F, sendo necessário considerar suas direções e sentidos. Esse resultado não pode ser previsto por argumentos lógicos ou de simetria sendo uma propriedade intrínseca da interação eletrostática.
Exemplo: Dada a configuração de cargas seguindo o desenho abaixo, determine a força resultante sobre a partícula do centro sabendo que o meio entre as cargas é o vácuo. São dados q = - C, q = c e q = c. q q q F F 0 - m x 0 - m Resolução: Surge força de atração entre q e q (F ) e entre q e q (F ). Ambas forças estão representadas no desenho. Pela Lei de Coulomb: q q 9 0 0 F 9 0 8 0 ( d ) (0 ) q q 9 0 0 F 9 0 4,5 0 ( d ) ( 0 ) N N Como F e F são dois vetores com mesma direção porêm com sentidos opostos, então a força sobre a carga q é dada por: F F F F F F (8 4,5) 0,5 0 4 N É importante ressaltar que não importa a quantidade de cargas presentes: sempre usaremos a lei de Coulomb para o cálculo de forças de cada par de cargas elétricas e no final a soma vetorial das forças sobre cada dessas cargas será a força que age sobre ela. Da mesma forma que no caso da força, a energia potencial eletrostática de um par de cargas elétricas não é modificada devido à presença de uma terceira carga. Só que nesse caso, a energia total do sistema será dada pela soma algébrica entre as energias de cada par de cargas. O problema para o cálculo aqui é determinar o número de pares em um dado sistema com mais de duas cargas. Por exemplo, quando o sistema possui cargas o número de pares é. Já quando possui 4 cargas, o número de pares é 6. 4
Exemplo: Determine a energia potencial eletrostática do sistema de cargas dada na configuração desenhada no exemplo anterior. Resolução: Como temos cargas elétricas teremos então energias a somar, e relativos aos pares de cargas q e q, q e q, e q e q respectivamente q q 9 0 0 9 0 0 d q q 8 J 9 0 0 9 0 0 d q q 9 J 9 0 0 9 0 0 d A energia potencial eletrostática total do sistema é dada por: 8 9 5J J Exercícios ) A constante k na Lei de Coulomb pode ser definido a partir de outra constante chamada permissividade no vácuo 0 através da relação k (4 ). Determine 0 o valor de 0 bem como sua unidade de medida. ) Determine a força entre duas cargas puntiformes de,0 C e 4,0 C respectivamente separadas pela distância de mm. Ao aumentar em duas ordens de grandezas a distância o que ocorre com o valor da força? Represente os vetores força no sistema das cargas. ) A distância entre dois prótons na molécula de água é de,8 x 0-0 m. Determine a força de repulsão entre eles. Tal força explica o porquê do ângulo diferente de zero na molécula. 4) Supondo o modelo atômico de Bohr, num átomo de hidrogênio o elétron se movimenta em torno do próton numa trajetória circular de raio R = 5,9 x 0 - m. Determine a força de interação elétrica que mantém esse átomo coeso e a energia potencial eletrostática acumulado nesse átomo. Dado a massa do elétron m e = 9, x 0 - g tente estimar a velocidade com que o elétron gira ao redor do próton. 5
5) Três cargas de 5,0 mc, 6,0 mc, e 8,0 mc são colocados nos vértices de um triangulo eqüilátero de lado,0 m, determine a força resultante sobre a carga de 5,0 mc. 6) Considere as cargas q =,0 x 0-4 C, q = -,0 x 0-4 C e q = 4,0 x 0-4 C, como mostra a figura. Determine a força resultante sobre cada carga. q q q mm 6 mm 7) As cargas q = -,0 x 0-4 C, q = -4,0 x 0-4 C e q = 5,0 x 0-4 C, são colocadas nos vértices de um quadrado de lado,0 cm, como mostra a figura. Calcule: a) a força resultante sobre uma carga Q = -4,0 x 0-4 C colocada no vértice vago. b) a força sobre esta carga quando colocada no centro do quadrado. q q q 8) m eletroscópio é um instrumento que mede valor de cargas elétricas como uma balança, isto é, equilibrando a força elétrica com a força peso. Duas pequenas esferas com mesma carga q e de massa m =,00 g, estão suspensas for fios de comprimento l = 0,5 m. Verifica-se que o ângulo entre os dois fios é de 5 graus. Qual o valor da carga das esferas? 9) Qual a energia eletrostática de duas cargas iguais a mc separadas por uma distancia de 0, mm? Se a massa de cada um for de 0 - g qual será a velocidade adquirida por elas quando forem soltas? 0) Determine a energia eletrostática acumulada num triangulo eqüilátero de cm de lado com cargas iguais a C em cada vértice. ) Em um quadrado de mm de lado são colocadas cargas conforme a figura abaixo, determine a energia potencial acumulada em todo o quadrado. - C - C C C 6
) (para matemáticos) Para contar a energia potencial eletrostática acumulada em um sistema de cargas precisamos contar a energia de cada par. Quantos pares existem em um sistema de N cargas elétricas? 7