ISAAC NEWTON E AS LEIS DO MOVIMENTO PARTE 2 CONTEÚDO Princípio Fundamental da Dinâmica (2ª lei de Newton) AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Vimos anteriormente que as três Leis de Newton (Princípio da Inércia, Princípio Fundamental da Dinâmica e Princípio da Ação e Reação) aparecem frequentemente em nosso dia a dia, mas, muitas vezes não notamos a sua presença. Pretendemos explorar um pouco mais, alguns aspectos matemáticos da 2 a Lei de Newton. Vimos no capítulo anterior, que ela estabelece uma relação entre as grandezas força (F), massa (m) e aceleração (a). Naquele capítulo estudamos que: A aceleração que um corpo adquire é diretamente proporcional à força que atua sobre ele e tem mesma direção e mesmo sentido desta força. Matematicamente, a frase acima foi escrita da seguinte maneira: Uma observação importante Na expressão da 2ª lei de Newton, Fr representa ainda a força resultante de todas as forças que podem atuar sobre o corpo. Como exemplo, vejamos a figura na qual existem duas forças atuando sobre o corpo: A força resultante será a diferença entre os valores das forças denominadas F 1 = 10 N e F 2 = 18 N. Matematicamente: Figura 1 Forças atuando em um objeto Fonte: Fundação Bradesco F r = F 2 - F 1 F r = 18 N 10 N F r = 8 N para a direita, conforme a figura 2, mostrada a seguir.
Figura 2 Forças resultante em um objeto Fonte: Fundação Bradesco Admitamos ainda que o corpo acima, com força resultante de valor 8 N, tenha uma massa de 2kg. Qual seria o valor de sua aceleração, quando submetido à ação dessa força resultante? Pela 2 a lei de Newton: Descobrimos anteriormente que F R = F 2 - F 1 e encontramos o valor 8 N, então teremos para a aceleração. 8 = 2.a 8 a = = 4 ; ou seja a = 4 m/s 2 2 Isso significa que o corpo de 2 kg, ao ser submetido às forças F 1 e F 2, terá uma força resultante de 8 N e se movimentará para a direita, com uma aceleração de 4m/s 2. Um outro exemplo em que evidenciamos a utilidade da 2 a lei de Newton é mostrado a seguir. O elevador da figura possui massa de 500 kg e se move para cima com aceleração constante. Admitindo que a tensão no cabo que sustenta o elevador vale 8.000 N, qual seria o valor dessa aceleração? Tração As forças que atuam no elevador são a tração T e o Peso P (força da gravidade). Conforme foi informado o elevador sobe. Sendo assim, teremos que o valor da tração T será maior que o peso P. Para a situação analisada, a força resultante terá sentido para cima e podemos escrever a 2 a lei de Newton, subtraindo o peso P da tensão T, de maneira que: F R = m.a T P = m.a Para encontrarmos P, fazemos: P = m.g (expressão vista no capítulo anterior) Onde g 10m/s 2 P = 500.10 Peso Figura 3 Forças atuando em um elevador Fonte: Fundação Bradesco
P = 5.000 N Então, com a 2 a lei de Newton, obtemos o seguinte valor para a aceleração: F R = m.a T - P = m.a 8.000 5.000 = 500.a 3.000 = 500.a a = 3.000 500 = 6 m/s2 ATIVIDADES 1. Se o elevador estivesse com 10 pessoas em seu interior, cada uma com uma massa de aproximadamente 60 kg, essa força de 8.000N, feita pelo cabo, seria suficiente para que o elevador subisse? Justifique sua resposta. 2. A figura abaixo mostra um corpo submetido à ação de algumas forças. Admita que o corpo possua massa de 3 kg e determine o valor da força resultante e o valor da aceleração que o corpo adquire: 5 N 2 N 3N 7 N 11 N
3. Um automóvel está se deslocando em linha reta, com velocidade v 1 = 15 m /s. O motorista pisa no acelerador, durante um intervalo de tempo t = 5 s e a velocidade do carro passa a ser v 2 = 25 m/s. a) Qual o valor da aceleração comunicada ao carro? b) Considerado que o automóvel possui massa de 1.100 kg, qual o valor da resultante das forças que atuam no veículo? 4. Um elevador de 5.000 N sobe com aceleraçao constante de 3 m/s 2. Qual a tensão no cabo de sustentação deste elevador? 5. (UEL PR. Adaptada.) Um corpo de massa 200 g é submetido à ação das forças F 1, F 2 e F 3, coplanares, de módulos F 1 = 5,0 N, F 2 = 2,0 N e F 3 = 4,0 N, conforme a figura a seguir. A aceleraçao do corpo vale, em m/s 2 F 3 a) 0,025 b) 0,25 c) 2,5 d) 25 F 2 F 1
LEITURA COMPLEMENTAR Para aprofundar nossos estudos sobre as leis de Newton e sua importância em nosso dia a dia, leia o texto Uma questão de ponto de vista, a seguir. No texto, o autor propõe uma reflexão as leis de Newton e ainda aborda a Teoria da Relatividade que trataremos nos capítulos finais deste material. Uma questão de ponto de vista Os princípios da teoria da relatividade, que geraram a mais célebre equação da física, questionaram as leis da mecânica clássica então vigentes, como a gravitação universal, cuja origem é associada à queda de uma maçã. Uma característica importante no processo de ensino e aprendizagem é estimular a habilidade dos alunos de emitir opiniões e refletir sobre os assuntos e temas abordados. Há sempre a expectativa de que os estudantes se interessem e sejam participativos, apresentando questionamentos e defendendo o seu ponto de vista. Da mesma maneira, na física e na ciência em geral, quando surge uma teoria ou é feita uma descoberta, os cientistas normalmente não aceitam de imediato os resultados. Surgem controvérsias e divergências de opinião acerca do tema, que podem levar muito tempo para serem esclarecidas. Geralmente os pontos de vista são defendidos de maneira muito intensa, e polêmicas podem aparecer. No caso de uma nova teoria física, ela somente é considerada válida quando verificada experimentalmente. Além disso, pode-se ter uma centena de resultados que concordem com a teoria, mas basta apenas um para nos mostrar que ela está equivocada ou incompleta. A grande vantagem da ciência como uma forma de conhecermos a natureza é o fato de que ela está em constante evolução. Quando se realiza um novo experimento e este mostra um resultado inusitado, ele somente será considerado válido quando for reproduzido, de maneira independente, por outros pesquisadores. Nesse sentido, a grande vantagem da ciência como uma forma de conhecermos a natureza é o fato de que ela está em constante evolução, ou seja, novos resultados ou teorias sempre surgem para reforçar ou refutar o paradigma vigente. Entre as inúmeras controvérsias que já surgiram na física, destaca-se a grande revolução que ocorreu no começo do século passado. A teoria da relatividade especial, proposta pelo físico alemão Albert Einstein (1879-1955), colocou em xeque a chamada mecânica clássica, um conjunto de conhecimentos construído ao longo de mais de 300 anos.
Os pilares da mecânica clássica As bases da mecânica clássica foram estabelecidas no século 17 pelo físico inglês Isaac Newton (1642-1727) a partir das três leis do movimento e da lei da gravitação universal. A primeira lei de Newton (o princípio da inércia) estabelece que todo corpo se mantém em repouso ou em movimento uniforme se não houver a ação de uma força externa sobre ele. Esse princípio foi proposto primeiramente pelo físico e astrônomo italiano Galileu Galilei (1564-1642) para compreender a natureza dos movimentos, em particular os movimentos da Terra em torno de si e ao redor do Sol. O funcionamento do motor de um foguete baseia-se na terceira lei de Newton, segundo a qual ao se aplicar uma força sobre um corpo (no caso, a exercida pelos gases expelidos na queima do combustível), este reage com outra força de mesma intensidade, mas em sentido contrário. A segunda lei de Newton (o princípio fundamental da mecânica) mostra que a variação da quantidade de movimento (produto da massa multiplicada pela velocidade de um corpo) é igual à força aplicada sobre o objeto. Na terceira lei de Newton (o princípio de ação e reação), apresenta-se a ideia de que, ao se aplicar uma força sobre um corpo, este reage com outra força de mesma intensidade, mas em sentido contrário. Completando o quadro, Newton propôs que há entre os corpos uma força de atração que é proporcional ao produto de suas massas e ao inverso do quadrado das distâncias que os separam. Essa força ficou conhecida como a força da gravidade. Com base nessas leis e nas ferramentas matemáticas também desenvolvidas por Newton (o cálculo diferencial e integral), foi possível construir um modelo completo para descrever o movimento dos corpos, tanto na Terra como no espaço. Para a mecânica clássica, não havia um limite para a velocidade dos corpos e o espaço e o tempo eram absolutos, independentemente do observador. Esse paradigma reinou praticamente como o único ponto de vista aceito pela física por quase 250 anos. Quebra de paradigma Contudo, quando Einstein apresentou outro ponto de vista, no ano de 1905, a física nunca mais foi a mesma. Os princípios propostos por ele, embora sejam simples, provocaram mudanças radicais. Um desses princípios é que as leis da física são as mesmas para todos os observadores em referenciais inerciais (referenciais que não estão sob a ação de qualquer força e, dessa forma, conservam seu estado de movimento).
O outro princípio é que a velocidade da luz é constante, independentemente do referencial do observador ou do movimento da fonte que a emite. A controvérsia que Einstein provocou está justamente em questionar os conceitos de espaço e tempo absolutos estabelecidos na física newtoniana. Aplicando os dois princípios descritos acima, Einstein mostrou que a velocidade da luz jamais pode ser atingida e, quando nos movemos em uma velocidade próxima à da luz, o tempo passa mais devagar e as distâncias são contraídas na direção do movimento. Portanto, se fosse possível atingir a velocidade da luz, o tempo pararia e os objetos colapsariam. Além disso, surgiu como consequência da aplicação desses dois princípios a famosa relação E = mc 2 (onde E é energia, m, massa e c, a velocidade da luz no vácuo). Quando se fornece energia para um corpo aumentar a sua velocidade, como ele não pode acelerar até a velocidade da luz, parte da energia se transforma em massa, de acordo com a equação de Einstein. Aceitação das novas ideias Essas divergências que a teoria da relatividade restrita (ou especial) apresentou em relação ao ponto de vista da mecânica clássica não foram imediatamente aceitas. Demorou alguns anos para que experimentos pudessem comprovar que a proposta de Einstein correspondia a uma descrição mais completa da natureza. De fato, em 1915, Einstein ampliou a sua teoria para incluir os objetos em movimento acelerado, o que levou a uma nova teoria da gravitação, que ficou conhecida como teoria da relatividade geral. Com essa nova teoria, ele pôde explicar algumas questões que a teoria newtoniana não conseguia, como o movimento do periélio (ponto da órbita de um corpo mais próximo do Sol) e o desvio da luz das estrelas devido à ação gravitacional do Sol. Esta última constatação a mais polêmica foi comprovada pela primeira vez a partir da observação de um eclipse total do Sol em Sobral, no Ceará, em maio de 1919. As observações concordaram com a previsão de Einstein. Esse é apenas um exemplo de como a física e a ciência em geral são construídas a partir da discussão de novas teorias e experimentos que levam a novos pontos de vista sobre a natureza. A razão fica sempre com quem consegue provar as suas ideias a partir dos experimentos. Por isso, a discussão e a defesa de ideias com base em fatos e propostas são de fundamental importância para o desenvolvimento científico. (Disponível em: http://cienciahoje.uol.com.br/colunas/fisica-sem-misterio/uma-questao-de-ponto-de-vista>. Acesso em: 15 mar. 2015.
INDICAÇÕES Web aula Leis de Newton. Disponivel no endereço http://www.eja.educacao.org.br/bibliotecadigital/cienciasnatureza/webaulas/lists/weba ula/dispform.aspx?id=8&source=http%3a%2f%2fwww%2eeja%2eeducacao%2eor g%2ebr%2fbibliotecadigital%2fcienciasnatureza%2fwebaulas%2fpaginas%2fweba ulas%5fem%2easpx. Oficina Interdisciplinar A cultura do automóvel. Disponível no endereço http://www.eja.educacao.org.br/bibliotecadigital/cienciasnatureza1/oficinasinterdiscilpli nares/lists/oficinasinterdisciplinares/dispform.aspx?id=1&source=http%3a%2f%2f www%2eeja%2eeducacao%2eorg%2ebr%2fbibliotecadigital%2fcienciasnatureza1% 2FOficinasInterdiscilplinares%2FPaginas%2Fdefault%2Easpx. Material didático complementar à Oficina Interdisciplinar A cultura do automóvel. Disponível no endereço http://www.eja.educacao.org.br/bibliotecadigital/cienciasnatureza1/oficinasinterdiscilpli nares/lists/oficinasinterdisciplinares/dispform.aspx?id=1&source=http%3a%2f%2f www%2eeja%2eeducacao%2eorg%2ebr%2fbibliotecadigital%2fcienciasnatureza1% 2FOficinasInterdiscilplinares%2FPaginas%2Fdefault%2Easpx. REFERÊNCIAS ALVARENGA, B. Curso de Física (volume 1). São Paulo: Scipione, 2010. GASPAR, A. Física: Mecânica. São Paulo: Ática, 2000. GREF - Grupo de Reelaboração do Ensino de Física. Leituras de Física Mecânica. São Paulo: Edusp, 1998. HAMBURGER, E. Telecurso: Física: ensino médio. Rio de Janeiro: Fundação Roberto Marinho, 2008.. Fundamentos da Física conceitual. Porto Alegre: Bookman, 2009. LUCIANO, P., ÁLVARO, T. Física - Mecânica. São Paulo: Editora Nova Geração, 2002. OLIVEIRA, A. Uma questão de ponto de vista. Disponível em: <http://cienciahoje.uol.com.br/colunas/fisica-sem-misterio/uma-questao-de-ponto-devista>. Acesso em: 15 mar. 2015. 09h11min. PIETROCOLA. M. Física em contextos: movimento, força, astronomia: volume 1. São Paulo: FTD, 2011.
GABARITO 1. Com a inclusão de 10 pessoas, cada uma de 60 kg, teremos uma massa total igual a: Massa total = massa do elevador + mais das 10 pessoas Massa total = 500 + 10x60 Massa total = 500 + 600 Massa total = 1.100 kg E o novo peso total (elevador + pessoas) será P = m.g P = 1.100 x 10 P = 11.000 N A nova configuração de forças no elevador está indicada na ilustração a seguir: Tração = 8.000 N Para esta nova configuração de forças, a tração de 8.000 N não é suficiente para vencer a força peso. Peso = 11.000 N 2. Para a direita temos 3 forças que, somadas, fornecem 21 N e para a esquerda temos 2 forças que fornecem como resultado 7 N. Considerando que elas estão em sentidos contrários, precisamos fazer a subtração desses valores para que obtenhamos o valor da força resultante. Obtemos assim F r = 14 N para a direita, conforme figura abaixo: 14 N
Utilizando a expressão da 2ª determinamos o valor da aceleração. 14 = 3.a a 4,7 m/s 2 3. a) a = v t v = v 2 -v 1 v = 25-15 v = 10 m/s Temos então que v = 10 m/s e t = 5 s. Para aceleração, encontraremos: a = v t a = 10 5 a = 2 m/s 2 b) F r = 1.100x2 F r = 2.400 N 4. Temos a configuração de forças no elevador, conforme mostrado na ilustração T Elevador sobe com aceleração de 3 m/s Para que o elevador suba, a força de tração deve ser maior que a força peso. A força resultante será P = 5.000 N
Fr = Tração Peso F r = T 8000 E substituindo esses valores na expressão da 2ª lei de Newton, teremos: T 8000 = m.a O valor da aceleração foi fornecidono, no enunciado (3 m/s 2 ). Por outro lado, o valor da massa não foi fornecido no enunciado. Mas sabemos o valor do peso que é 5.000 N. Pela expressão P = m.g, determinamos o valor da massa. P = m.g 5.000 = m.10 m = 500 kg Retornando na expressão da 2ª lei de Newton, ficamos com: T 8000 = m.a E substituindo na expressão os valores conhecidos ficamos com: T 8000 = 500.3 T 8.000 = 1.500 T = 8.000 + 1.500 T = 9.500 N 5. Alternativa D As duas forças horizontais se subtraem e ficamos com a configuração mostrada na figura. Considerando que as duas forças restantes são perpendiculares, a força resultante pode ser determinada pelo Teorema de Pitágoras, como vimos no capítulo Ele foi naquela direçao! Ou seria, naquele sentido? deste material didático. (F r ) 2 = (4) 2 + (3) 2 4 N (F r ) 2 = 16+ 9 (F r ) 2 = 25 F r = 5 N E lembrando que m = 200 g = 0,2 kg, teremos pela 2ª lei de Newton F r =m.a 3 N 5 = 0,2.a a = 25 m/s 2