EXERCÍCIO COMPLEMENTARES - MATEMÁTICA - ª SERIE - ENSINO MÉDIO - 3ª ETAPA ============================================================================================== 0- Assunto: Análise Combinatória Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra SOCIOLOGIA? 0- Assunto: Sistemas Lineares Calcule o valor de m, de modo que o sistema mx y + z = 6 x + y z = 0 seja possível e indeterminado. x y + z = 4 03- Assunto: Números Complexos Escreva o número complexo Z = 3 + i na forma trigonométrica. 04- Assunto: Probabilidade Um casal deseja ter quatro filhos. Qual a probabilidade de serem todos do mesmo sexo? 05- Assunto: Análise Combinatória Quantos números de 5 algarismos distintos podemos formar com os números,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? 06- Assunto: Análise Combinatória Quantos grupos de 6 alunos podemos formar numa turma com 0 alunos? 07- Assunto: Análise Combinatória Encontre quantas maneiras podem ser dispostos 4 damas e 4 cavalheiros numa fila, de modo que não fiquem juntos dois cavalheiros e duas damas. 08- Assunto: Binômio de Newton Sabendo que 09- Assunto: (n (n + )! n = 4, calcule o valor de. )! n 3 Jogando-se dois dados, qual a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja menor que 4? 0- Assunto: Número Complexos + 5i Resolva 3i. + - Assunto: Números Complexos Obtenha o valor de m, para que Z = 4 + mi 3i seja um número real. - Assunto: Binômio de Newton Calcule o termo médio no desenvolvimento de x x. 3- Assunto: Probabilidade No lançamento de um dado, determine a probabilidade de se obter um número maior ou igual a 3. 4- Assunto: Análise Combinatória Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra VESTIBULAR? 5- Assunto: Números Complexos Determine o valor de m para que o número complexo z = 0 + (m - 8)i seja um número real. 6- Assunto: Análise Combinatória Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ESTACIONAMENTO? Página de 4 3//09 :50
7- Assunto: Análise Combinatória Numa sala temos 0 rapazes e 8 moças. Quantos grupos podemos formar com 6 rapazes e 4 moças? 8- Assunto: Sistemas Lineares Determine o valor de a, de modo que o sistema y + az = x + y + z = a ax y + 4z = 5 seja possível e determinado. 9- Assunto: Análise Combinatória Num acidente automobilístico, após ouvir várias testemunhas, conclui-se que o motorista culpado do acidente dirigia o veículo cuja placa era constituída de duas vogais distintas e quatro algarismos diferentes, sendo que o algarismo das unidades era o dígito. Determine o número de veículos suspeitos. 0- Assunto: Binômio de Newton Determine o coeficiente de x 7 no desenvolvimento de 5x 3 + x 7. - Assunto: Números Complexos ( + 3 i) Seja z o produto dos números complexos 3 + i e. Determine o módulo e o argumento de Z. 3 - Assunto: Binômios de Newton Calcule o termo médio no desenvolvimento de (x + y). 3- Assunto: Números Complexos Determine o número complexo z, tal que 5z + z = + 6i. 4- Assunto: Análise Combinatória Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra PIRATININGA? 5- Assunto: Probabilidade Lançam-se dois dados com faces numeradas de a 6. Calcule a probabilidade de que a soma obtida seja 0. 6- Assunto: Números Complexos Escreva o número complexo Z = (cos π /3 + i sen π /3) na forma algébrica. 7- Assunto: Números Complexos Considere os números complexos Z = + i, Z = -3 + i, Z 3 = + i e Z 4 = - + 3i. Calcule (Z + Z ) (Z 3 - Z 4 ). 8- Assunto: Análise Combinatória Numa eleição de uma escola há três candidatos a presidente, cinco a vice-presidente, seis a secretário e sete a tesoureiro. Quantos podem ser os resultados da eleição? 9- Assunto: Sistemas Lineares Calcule o valor de x, y e z indicados no sistema abaixo: x + y z = x y + 3z = 9 3x + 3y z = 3 30- Assunto: Sistemas Lineares x Resolva a equação matricial 0. y =, sendo U = R. 0 3 z 3- Assunto: Sistemas Lineares 6x + ay = Calcule o valor de (a + b) 3 de modo que o sistema seja possível e indeterminado. 4x + 4y = b Página de 4 3//09 :50
3- Assunto: Sistemas Lineares x + y 3z = 0 Resolva o sistema 3x 4y + 5z = 0, utilizando a regra de Cramer. x + y + z = 33- Assunto: Análise Combinatória Os números dos telefones da cidade de São Paulo têm 8 algarismos. Determinar o número máximo de telefones que podem ser instalados, sabendo-se que os números não podem começar com zero. 34- Assunto: Análise Combinatória Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavras MATEMÁTICA? 35- Assunto: Números Complexos Calcule o valor de m, de modo que o número complexo Z = (m - 9) + 0i seja imaginário puro. 36- Assunto: Análise Combinatória Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? 37- Assunto: Sistemas Lineares Calcule o valor de m, de modo que o sistema 3x + y = mx 4y = 0 seja possível e determinado. 38- Assunto: Análise Combinatória Quantas comissões contendo 3 alunos podemos formar numa turma com 30 alunos? 39- Assunto: Binômio de Newton Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de (x + ) 0. 40 Assunto: Probabilidade De um baralho de 5 cartas tira-se ao acaso uma das cartas. Determine a probabilidade de que a carta seja uma carta de ouros. 4- Assunto: Análise Combinatória Numa embaixada trabalham 8 brasileiros e 6 estrangeiros. Quantas comissões de 5 funcionários podem ser formados, devendo cada comissão ser constituída de 3 brasileiros e estrangeiros? 4- Assunto: Binômio de Newton Calcule o sexto termo no desenvolvimento de (x + ) 8. 43- Assunto: Números Complexos O determinante i + i i i i 0 define um número complexo. Encontre o módulo desse complexo. 44- Assunto: Binômio de Newton Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de x + 8. x 45- Assunto: Análise Combinatória Calcule o número de placas de carro que se pode formar com 3 letras e quatro algarismos. Considere o alfabeto com 6 letras. 46- Assunto: Probabilidade Lançam-se dois dados com faces numeradas de a 6. Calcule a probabilidade de que a soma obtida seja 0. 47- Assunto: Análise Combinatória Em um congresso há 30 físicos e 0 matemáticos. Quantas comissões podemos formar contendo 3 físicos e 5 matemáticos? 48- Assunto: Análise Combinatória Permutando os algarismos, 4, 6 e 8 formamos números. Dispondo esses números em ordem crescente, qual o número que ocupa a ª posição? Página 3 de 4 3//09 :50
49- Assunto: Análise Combinatória Formados e dispostos em ordem crescente, os números que se obtém, permutando-se os algarismos, 3, 4, 8 e 9, que lugar ocupa o número 43.89? 50- Assunto: Sistemas Lineares Calcule o valor de K, de modo que o sistema x + y + z = 3x y + z = 3 y + kz = seja possível e determinado. 5- Assunto: Binômio de Newton Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de x 4 x 8. 5- Assunto: Fatorial Resolva a equação (x +3)! + (x + )! = 8 (x + )!, sendo U = R. 53- Assunto: Probabilidade Jogando-se dois dados simultaneamente, qual a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja 4 ou 5? 54- Assunto: Fatorial ( x )! ( x 3)! x! 3 Resolva a equação + = 9, sendo U = R.! (x )! 55- Assunto: Análise Combinatória Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra MISSISSIPI? 56- Assunto: Análise Combinatória Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra CLASSIFICADOS? 57 Assunto: Fatorial (x )! Resolva a equação = 6,sendo U = R. (x 4)! 58- Assunto: Fatorial (x + )! Resolva a equação = 56, sendo U = R. (x )! 59- Assunto: Sistemas Lineares Calcule o valor de m para que o sistema x y = x + my + z = 0 x + y z = 4 seja possível e determinado. 60- Assunto: Números Complexos Encontre a e b pertencentes ao conjunto dos números reais de modo que (a + 8ai) + (-4 + bi) seja um número imaginário puro. 6- Assunto: Probabilidade No lançamento simultâneo de dois dados, um branco e um vermelho, determine a probabilidade da soma dos números ser igual a 9. 6- Assunto: Análise Combinatória Quantas comissões com 6 membros podemos formar com 0 alunos? 63- Assunto: Binômio de Newton Calcule o 4º termo no desenvolvimento de (x + ) 7 64- Assunto: Análise Combinatória Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra BRASIL? 65- Assunto: Binômio de Newton Calcule o 4º termo no desenvolvimento de (x + 3y) 6. Página 4 de 4 3//09 :50
66- Assunto: Números Complexos Resolva a equação x - 6x + 3 = 0, sendo U = C. 67- Assunto: Análise Combinatória Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar com os algarismos,, 3, 4, 5, 6 e 7? 68- Assunto: Sistemas Lineares x + y = k O sistema é indeterminado. Então k + m é igual a... 4x + my = 69- Assunto: Sistemas Lineares 3x + 4my = 0 Calcule o valor de m para que o sistema seja possível e determinado. x 8y = 8 70- Assunto: Análise Combinatória Quantas comissões com 6 membros podemos formar com 5 alunos? 7- Assunto: Números Complexos a + bi 3 Calcule o valor de a e b R, sabendo que = b + i. 3 i i 7- Assunto: Sistemas Lineares x y + z = 4 O sistema x + 3y 4z = 5 é possível e indeterminado. Calcule o valor de m. mx y + 6z = 73- Assunto: Fatorial Calcule o valor de a, sendo a = 00! + 0! + 0! 00! 74- Assunto: Probabilidade Dois dados perfeitos são lançados ao acaso. Determine a probabilidade dos resultados obtidos ser igual a 6. 75- Assunto: Binômios de Newton Calcule o 6º termo no desenvolvimento de (x + ) 8. 76- Assunto: Análise Combinatória Num hospital, há 3 vagas para trabalhar no berçário, 5 no banco de sangue e na radioterapia. Se 6 funcionários se candidataram para o berçário, 8 para o banco de sangue e 5 para a radioterapia, de quantas formas distintas essas vagas podem ser preenchidas? 77- Assunto: Análise Combinatória Quantos números naturais maiores que 00 e menores que 000, formados por algarismos diferentes, podemos formar com os algarismos,, 3, 4, 5, 6 e 7? 78- Assunto: Sistemas Lineares x + my = 0 Discuta o sistema em função do parâmetro m. x 3y = 79- Assunto: Fatorial n! (n )! Resolva a equação = 6. (n )! 80- Assunto: Análise Combinatória Seis cavalos disputam uma corrida. Quantos são os resultados possíveis para os três primeiros lugares, sabendo que o cavalo "SORRISO TÍMIDO" chega sempre em segundo lugar? Página 5 de 4 3//09 :50
8- Assunto: Análise Combinatória No sistema de numeração decimal, quantos números existem: a) de três algarismos distintos? b) de três algarismos? c) que sejam pares e de quatro algarismos? 8- Assunto: Função Trigonométrica x Seja a função y = sen. Construa o seu gráfico (um período completo), dê o domínio, a imagem e o período. 4 y π 4 π 6 π 8 π x - 83- Assunto: Números Binomiais 6x + ay = O sistema é possível e indeterminado. Neste caso, determine os valores de a e b. 4x + 4y = b 84- Assunto: Números Binomiais Quantos números múltiplos de 5 existem entre 00 e 000, de modo que o algarismo das centenas seja múltiplo de 4 e o das dezenas seja um número par? 85- Assunto: Análise Combinatória A diretora de uma empresa é constituída de 7 diretores brasileiros e 4 diretores japoneses. Quantas comissões de três brasileiros e 3 japoneses podem ser formadas? 86- Assunto: Análise Combinatória Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos,, 3, 4 e 5? 87- Assunto: Equações Trigonométricas Resolva a equação sen x + = 0, x [0, π ]. 88- Assunto: Binômio e Newton Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de 6 x +. x 89- Assunto: Binômio e Newton Qual o termo em x 5 no desenvolvimento de (x + 3) 8? 90- Assunto: Análise Combinatória Com os algarismos 0,,, 3, 4, 5, 6 e 7: a) quantos números de 3 algarismos podemos formar? b) quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar? 9- Assunto: Análise Combinatória Quantos números ímpares de 4 algarismos não repetidos podemos escrever com os algarismos,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? 9- Assunto: Análise Combinatória Após uma reunião de negócios, foram trocados um total de 5 apertos de mão. Sabendo que cada executivo cumprimentou todos os outros, qual o número de executivos que estavam presentes nessa reunião? Página 6 de 4 3//09 :50
93- Assunto: Probabilidade Considere todos os números naturais de 4 algarismos distintos que se pode formar com os algarismos, 3, 4, 7, 8 e 9. Escolhendo um deles, ao acaso, qual é a probabilidade de sair um número que comece por 3 e termine por 7? 94- Assunto: Números Binomiais Resolva a equação com números binomiais. 5 5 = x + x + 95- Assunto: Binômio de Newton Determine o termo médio do desenvolvimento de (x + ) 8. 96- Assunto: Binômio de Newton Determine o termo independente de x no desenvolvimento de 8 3 x x. 97- Assunto: Probabilidade Em uma urna há 0 bolas idênticas, numeradas de a 0. Se retirarmos uma bola da urna, qual é a probabilidade de não obter a bola número 7? 98- Assunto: Probabilidade Lançando-se simultaneamente dois dados não viciados, qual é a probabilidade de que suas faces superiores exibam soma igual a 7 ou igual a 9? 99- Assunto: Binômio de Newton Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de (x + x ) 6. 0- Assunto: Binômio de Newton Determine o 4º termo no desenvolvimento de (x - ) 7. 0- Assunto: Análise Combinatória Quantos são os números compreendidos entre 000 e 3000, compostos por algarismos distintos escolhidos entre,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? 0- Assunto: Equações Trigonométricas Ache o conjunto solução da equação - cos x = 0, no intervalo 0 x π. 03- Assunto: Análise Combinatória Um campeonato de futebol de salão é disputado por várias equipes, jogando entre si, turno e returno. Sabendo-se que foram jogadas 7 partidas, determine o número de equipes participantes. 04 Assunto: Análise Combinatória Numa empresa existem 0 diretores, dos quais 4 estão sob suspeita de corrupção. Para que se analisem os suspeitos, será formada uma comissão especial com 5 diretores, na qual os suspeitos não sejam maioria. Qual o número possível de comissões? 05- Assunto: Binômio de Newto Ache o 4º termo no desenvolvimento de (x - ) 7. 06- Assunto: Equações Trigonométricas Resolva a equação sen x = -, sendo 0 x π. 07- Assunto: Análise Combinatória Oito cavalos disputam uma corrida. Quantas são as possibilidades de chegada para os 3 primeiros lugares sabendo que um dos cavalos, chamado "ossos" sempre chega em último e outro, chamado "nevrálgico" sempre chega em segundo. 08- Assunto: Análise Combinatória Um piano de brinquedo possui 7 teclas que emitem sons distintos entre si, correspondentes às 7 notas musicais. Se forem pressionadas ao mesmo tempo, no mínimo 3 e no máximo 6 teclas, determine o número total de sons diferentes que podem ser obtidos. Página 7 de 4 3//09 :50
09- Assunto: Lei dos Cossenos Os ponteiros de um relógio medem: 3m, o dos minutos e m, o das horas. Determine a distância entre as extremidades dos ponteiros quando o relógio marcar 4:30h. (Use =, 4.) 0- Assunto: Binômio de Newton Determine o coeficiente do termo em x no desenvolvimento de x + x 7. - Assunto: Análise Combinatória Determine quantos jogadores disputaram um torneio de xadrez no qual cada jogador jogou com todos os outros e foram realizadas 435 partidas. Assunto: Probabilidade Em uma pesquisa realizada com 80 alunos de uma escola, verifica-se que 60 alunos gostam de matemática, 40 gostam de química e 30 alunos gostam de matemática e química. Escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade deste aluno não gostar de química nem de matemática? 3- Assunto: Probabilidade Sabe-se que, num grupo de 30 pessoas que trabalham numa fazenda de criação de gado, são alfabetizadas. Se um pesquisador escolher 3 delas ao acaso, uma após a outra, qual a probabilidade: a) de todas serem alfabetizadas? b) de todas serem analfabetas? 4- Assunto: Lei dos Cossenos No triângulo isósceles da figura, calcule cos α. 3a α 3a a 5- Assunto: Lei dos Senos Seja o triângulo da figura, com AC = 6, AB = + 3 e A ˆ = 45º. Calcule a e OD. A D C 0 a B 6- Assunto: Binômio de Newton Determine o valor de a para que o coeficiente de x 4 no desenvolvimento de (x + a) 7 seja igual a 890 7- Assunto: Análise Combinatória Num determinado setor de um hospital trabalham 4 médicos e 8 enfermeiras. Quantas equipes distintas, com 5 pessoas cada, podemos formar tendo as mesmas, pelo menos, médicos? 8- Assunto: Binômio de Newton Determine o 4º termo no desenvolvimento de (x + 3) 7. 9- Assunto: Análise Combinatória Um construtor dispõe de quatro cores para pintar cinco casas dispostas lado a lado. Ele deseja que cada casa seja pintada com apenas uma cor e que duas casas consecutivas não possuam a mesma cor. Determine o número de possibilidades diferentes de pintura. Página 8 de 4 3//09 :50
0- Assunto: Fatorial (m + )! + m! Calcule o valor de m na equação =. (m + )! - Assunto: Análise Combinatória Sabendo que um escritório tem 5 portas, determine o número de maneiras distintas de entrar nele e sair dele sem usar a mesma porta. - Assunto: Análise Combinatória Dispomos de 4 cores diferentes entre si; todas elas devem ser usadas para pintar as 5 letras da palavra F E L I Z, cada letra de uma só cor, e de modo que as vogais E e I sejam as únicas letras pintadas com a mesma cor. De quantos modos pode ser feito isso? 3- Assunto: Análise Combinatória Com os algarismos,, 3, 4, 5 e 6 são formados números de 4 algarismos distintos. Dentre esses números, quantos são divisíveis por 5? 4- Assunto: Lei dos Cossenos No triângulo ABC, o ângulo do triângulo mede: (A) 5cm (C) 7 cm (E) 0 cm  vale 60º, o lado oposto mede 7cm e um dos lados adjacentes mede 3cm. O outro lado (B) 6 cm (D) 8 cm 5- Assunto: Probabilidade Os 40 cartões de um conjunto são numerados consecutivamente de a 40. Retirando-se ao acaso um cartão desse conjunto, a probabilidade de se obter um cartão numerado com um múltiplo de 3 é... 6- Assunto: Probabilidade Dois jogadores, A e B, vão lançar um par de dados. Eles combinam que, se a soma dos números dos dados for 5, A ganha, e se essa soma for 8, B é quem ganha. Os dados são lançados. Sabe-se que A não ganhou. Qual a probabilidade de B ter ganhado? 7- Assunto: Binômio de Newton 4 Desenvolvendo-se o binômio + x x, encontramos um termo em x. O coeficiente desse termo é: (A) 4 (B) 36 (C) 3 (D) 48 (E) 9 8- Assunto: Análise Combinatória Usando-se os algarismos, 3, 5, 7 e 9, existem x números de 4 algarismos, de modo que pelo menos dois algarismos sejam iguais. O valor de x é: (A) 505 (B) 47 (C) 0 (D) 65 (E) 384 9- Assunto: Binômio de Newton Calcule o coeficiente de x no desenvolvimento de (x - x ) 6. 30- Assunto: Análise Combinatória Quantos números situados entre 000 e 5000 podemos formar com os elementos do conjunto {,, 3, 4, 5, 6, 7}? Página 9 de 4 3//09 :50
3- Assunto: Lei dos Cossenos Calcule o valor de x na figura. x 45º 3 3- Assunto: Probabilidade As chances de um boxeador ganhar uma luta são de " para ". Então, qual é a probabilidade de esse boxeador ganhar? E de perder? 33- Assunto: Lei dos Senos Determine a medida do ângulo β. β a 45º a GABARITO 0-30400 0- m = 3 π π 03- Z = cos + i sent 6 6 04-8 05-50 06-38760 07-5 08-0 09-0- i - m = -6-94 3-3 4-368800 5- m = ± 9 6-743600 7-4700 Página 0 de 4 3//09 :50
8- a e a 4 9-060 0-4375 - 8 ρ = ; 3 θ = π - 94x 6 y 6 3- Z = + 4i 4-66300 5-6- Z = + 3 i 7- Z = + 8i 8-630 9- x = ; y = ; z = 3 30- x = 3 ; y = ; z = 0 3-744 3- x = ; y = - ; z = 0 33-90000000 34-500 35- m = 3 ou m = -3 36-504 37- m -6 38-4060 39-04 40-4 4-840 4-79x 3 43- ρ = 44-70 45-75760000 46-47- 694640 48-846 49-58ª Página de 4 3//09 :50
50- K 4 5-53 5- x = 0 53-36 7 54- x = 8 55-6300 56-979600 57- x = 5 58- x = 7 59- m - 60- a = 4 e b -3 6-9 6-0 63-80x 4 64-70 65-430x 3 y 3 66- x = 3 + i ou x = 3 - i 67-840 68-3 69- m 6 70-5005 7- a = -5 e b = 3 7- m = -6 73-0404 74-36 5 75-79x 3 76-.00 77-0 78- SPD m -6 SPI - SI m = 6 79- n = 5 80-0 Página de 4 3//09 :50
8- a) 648 b) 900 c) 4500 8- Dom = R Im = [-, ] Período = 8 π 83- a = 6 e b = 8 84-0 85-40 86-60 87-3π, 4 7π 4 88-0 89-5x 5 90- a) 448 b) 94 9-680 9-6 93-30 94- x = ou x = 4 95-70x 4 96-9 97-0 5 98-8 99-5 00- -80x 4 0-336 π 0-, 4 03-7 7π 4 04-86 05- -560x 4 06-7π π, 6 6 07-30 08-98 Página 3 de 4 3//09 :50
09-5,8m 0-35 - 30-8 3- a) 03 04 b) 005 4- cos α = 5-6- a = 7-456 8-945x 4 9-34 0- m = 0-0 - 4 3-60 4- (D) 3 5-40 3 3 7 9 6-3 5 7- (A) 8- (A) 9-40 30-09 3-5 3- G = 3 P = 3 33- β = 30º MCS/080/DOCUMENTOS/EXERCICIOS COMPLEMENTARES - MATEMATICA - ª SPERIE - ENSINO MÉDIO - 008-3A ETAPA.DOC Página 4 de 4 3//09 :50