Métodos de Física Teórica II Prof. Henrique Boschi IF - UFRJ 1º. semestre de 2010 Aula 2 Ref. Butkov, cap. 8, seção 8.2
O Método de Separação de Variáveis A ideia central desse método é supor que a solução para uma EDP pode ser escrita como o produto de funções de uma variável No caso da solução u(x, t), vamos supor que onde X(x) é uma função de x apenas, e T(t) somente de t.
Assim se impusermos as condições de contorno u(0,t)=0 e u(l,t)=0 sobre a solução geral, teremos neste caso com T(t) arbitrário. X(0)=0 e X(L)=0 Analogamente, as condições iniciais sobre a solução geral u(x,t) ficam T(0)=cte. e dt(0)/dt=cte.
Antes de substituir a solução u(x,t)=x(x)t(t) na EDP da onda na corda, notemos que e logo, a equação da onda na corda, obtida na aula anterior implica em
Dividindo os dois lados desta equação por X(x)T(t), encontramos Note que cada lado desta equação só depende de uma variável x ou t. Portanto, se mantivermos t fixo, o lado direito dessa equação permanecerá constante. Analogamente, se mantivermos x fixo, o lado esquerdo dessa eq. será constante. Essas constantes devem ser iguais, por força desta equação. Logo,
onde λ é uma constante a ser determinada, chamada de constante de separação de variáveis. O problema da EDP com duas variáveis foi então reduzido a duas equações diferenciais ordinárias.
Vamos resolver primeiro a equação para X(x): Essa equação é análoga a de um oscilador harmônico, porém, com sinal da constante de separação λ não definido. Assim, temos que levar em conta as três possibilidades: λ > 0, λ < 0, e λ = 0. Se λ > 0, as soluções são exponenciais reais: onde A e B são constantes arbitrárias;
Se λ < 0, as soluções são exponenciais imaginárias, ou equivalentemente, senos e cossenos, que podemos escrever como: onde A e B são constantes arbitrárias; Se λ = 0, a solução é simplesmente uma função linear: onde A e B são também constantes arbitrárias.
Assim, as soluções para X(x) são Até esse ponto o sinal de λ está indeterminado. Porém, aplicando as condições de contorno para a corda fixa X(0)=0 e X(L)=0 vemos que somente a solução com λ < 0 é admissível.
OBS.: Note que para outras condições de contorno, ou condições iniciais, como veremos em outros exemplos, as soluções com λ > 0 ou λ = 0 podem ser válidas. Assim, a solução para essas condições de contorno é Note que a condição X(0) = 0 implica em Assim a solução fica A = 0
Impondo, agora, a condição X(L) = 0, vemos que a constante λ só pode assumir os seguintes valores: chamados de autovalores do problema. A constante B não é fixada por essas condições. A princípio, essa constante pode ser diferente para cada valor dos. Assim, escrevemos a solução como Resta, agora, obter a solução para T(t).
Voltando à equação da onda na corda e lembrando que devemos usar a mesma constante λ = obtida para a solução Assim Note que usamos a notação como na parte. Se não soubéssemos o sinal de λ deveríamos proceder como na parte de e obter três soluções, uma para cada sinal de λ.
Porém, como já sabemos que λ < 0, devido ao uso das condições de contorno X(0)=0 e X(L)=0, temos que a solução para pode ser escrita como onde e são constantes arbitrárias. Assim a solução da equação da onda na corda obtida pelo método de separação de variáveis é
ou seja, onde constantes arbitrárias., e definimos as novas e Essas constantes arbitrárias podem ser fixadas com o uso de condições iniciais. Antes disso, vamos notar que esta solução representa os modos de vibração da corda.
Cada modo vibra com uma frequência igual à Voltando às condições iniciais, queremos que nossas soluções satisfaçam
Note que, fazendo t = 0 nessas soluções encontramos Por outro lado, derivando as soluções em relação à t e fazendo t = 0, achamos Portanto, as configurações iniciais de posição e velocidade seriam sempre do tipo sen(x) o que seria uma restrição forte demais.
Para contornar essa dificuldade vamos invocar o Princípio da Superposição e escrever a solução geral como onde somamos todos os (infinitos) modos. Dessa forma, a condição implica em que é uma série de Fourier de senos (devido a escolha das condições de contorno)
Analogamente, a condição implica em que também é uma série de Fourier. Assim, essa solução pode ter a forma de qualquer função que possa ser escrita como séries de Fourier, ou seja uma classe bastante abrangente de funções. OBS.: Os coeficientes são determinados por, enquanto os são determinados por