Associações de resistências e condensadores

apítulo 4 Associações de resistências e condensadores Por volta de 1745, na Universidade de Leiden foi usada uma garrafa de vidro para isolar uma lâmina metálica, colocada no se interior, onde podiam ser armazenadas cargas. Alguém descobriu que quando se agarrava a garrafa na mão, a capacidade dela aumentava bastante em relação a quando a garrafa era deixada em cima da mesa. A razão para esse aumento é que na mão, que é um condutor, são induzidas cargas de sinal contrário que atraem as cargas no metal, permitindo que seja mais fácil introduzir mais cargas do mesmo 32

4 Associações de resistências e condensadores 2007-11-21 33 sinal. olocando uma segunda lâmina metálica por fora da garrafa, facilita-se a entrada de cargas na garrafa, podendo ser armazenadas cargas muito elevadas. A invenção da garrafa de Leiden foi uma das invenções mais importantes na história da electricidade, pois permitia que fossem armazenadas cargas maiores, facilitando a realização de experiências. Hoje em dia outros condensadores semelhantes à garrafa de Leiden, mas muito mais pequenos, são usados com muita frequência nos circuitos eléctricos. Em qualquer circuito onde for preciso que a corrente varie rápidamente, por exemplo num amplificador de áudio, é preciso utilizar condensadores; os condensadores acumulam cargas em alguns intervalos, que são logo libertadas em outros instantes. 4.1 Actividade prática Ligue duas resistências diferentes em série a uma pilha de 9 V. Meça a diferença de potencial em cada uma das resistências e no sistema; meça a corrente nas resistências. om esses valores, confira o valor de cada resistência e o valor da resistência total. Ligue as duas resistências em paralelo à pilha de 9 V. Meça a corrente em cada resistência e a corrente total no sistema; meça também a diferença de potencial nas resistências. om esses valores, confira o valor de cada resistência e o valor da resistência total. 4.2 orrente e tensão nos circuitos A corrente e a diferença de potencial em diferentes parte de um circuito podem ser calculadas usando duas regras simples, conhecidas como regras de Kirchhoff. A primeira regra, a regra dos nós, diz que em qualquer ponto de um circuito onde exista passagem de corrente para diferentes elementos do circuito, a diferença entre a soma das correntes que entram no ponto e a soma das correntes que saem é igual a zero. Por exemplo, no diagrama seguinte há uma corrente I 1 a entrar num ponto, e duas correntes I 2 e I 3 a sair. I 1 I2 I 3 A regra dos nós implica que: I 1 I 2 I 3 = 0

4 Associações de resistências e condensadores 2007-11-21 34 Essa regra é válida sempre que as correntes forem estacionárias, nomeadamente, quando a densidade da nuvem de cargas de condução permanecer constante dentro dos condutores, sem existir acumulação de cargas em nenhum ponto; nesse caso, toda a carga que entra por um condutor, por unidade de tempo, deverá sair por outros condutores. A segunda regra, designada de regra das malhas, diz que a soma algébrica dos aumentos e diminuições de potencial ao longo de qualquer circuito fechado, deve ser igual a zero. Por exemplo, no circuito seguinte podemos identificar 3 circuitos fechados, designados de malhas: os percursos ABDA, BEFB e ABEFDA. D 4 Ω 5 Ω F 4 V 33 V 7 Ω 42 V A 6 Ω B 3 Ω E a regra das malhas, na malha ABDA, implica que: V AB + V B + V D + V DA = 0 o resultado tem que ser nulo pois está a calcular-se a diferença de potencial do ponto A com si próprio. A nossa convenção dos índices é que, por exemplo, V DA é o potencial do ponto A, menos o potencial no ponto D; neste caso, essa diferença de potencial é igual a 4 V. Se arbitrarmos que a corrente nas resistências de 4 Ω e 6 Ω é I 1, e circula no sentido BAD, então as diferenças de potencial V AB e V D são 6I 1 e 4I 1. Para calcular a diferença de potencial entre e B, arbitramos que há uma corrente I 2 a circular desde para B; assim, V B será igual a 7I 2 33, e a equação para a malha é: 6I 1 + 7I 2 33 + 4I 1 4 = 0 A equação da malha BEF envolverá outra corrente desconhecida I 3. Essas duas equações, junto com a regra dos nós (no ponto B ou no ponto ), que relaciona as correntes I 1, I 2 e I 3, permite calcular as 3 correntes; se alguma dessas correntes tiver um valor negativo, o sinal indicará que a corrente circula em sentido oposto ao que foi arbitrado. 4.3 Associação de resistências em série R 1 R 2 I

4 Associações de resistências e condensadores 2007-11-21 35 Num sistema de duas resistências ligadas em série, a corrente é a mesma nas duas resistências. A diferença de potencial no sistema é a soma das diferenças de potencial em cada resistência: V = V 1 + V 2 = (R 1 + R 2 )I Assim, o sistema é equivalente a uma única resistência com valor igual à soma das duas resistências. 4.4 Associação de resistências em paralelo R 1 I 1 R 2 I 2 Num sistema de duas resistências ligadas em paralelo, a diferença de potencial é a mesma nas duas resistências. A corrente no sistema é a soma das correntes em cada resistência: ( 1 I = I 1 + I 2 = + 1 ) V R 1 R 2 Assim, o sistema é equivalente a uma única resistência R que verifica a equação 1 R = 1 R 1 + 1 R 2 Num sistema com várias resistências, é possível simplificar o sistema substituindo as resistências que se encontram em sério ou em paralelo por uma resistência equivalente. 4.5 apacidade de um condutor isolado O potencial num condutor isolado é uniforme em todo o condutor e proporcional à carga total no condutor. Define-se a capacidade do condutor, igual à relação entre a carga e o potencial no condutor = Q V

4 Associações de resistências e condensadores 2007-11-21 36 A capacidade não dependerá nem da carga nem do potencial, pois os dois aumentam na mesma proporção; a capacidade depende unicamente da forma e tamanho do condutor. O potencial V é medido em relação a um ponto no infinito. No sistema internacional de unidades, a capacidade é medida em farads. Um farad, designado pela letra F, é a capacidade de um condutor que, quando nele for colocada uma carga de 1, o potencial resultante será de 1 V: 1F = 1 V Uma capacidade de 1 F é muito elevada, na prática é comum encontrar-mos capacidades de µf, nf ou pf. 4.6 Esfera condutora isolada Numa esfera condutora isolada, a carga acumula-se toda na superfície, e em forma uniforme, devido à simetria da esfera. + + + a + + + + + + Se a carga total na esfera for Q, a força sobre uma carga pontual q, a uma distância r do centro da esfera, será igual à força produzida por uma carga pontual Q no centro da esfera; assim, a força será na direcção radial e com componente: F = k Qq r 2 onde k é a constante de oulomb (9 10 9 N m 2 / 2 ). O aumento da força, com a diminuição da distância, pode ser visualizado colocando duas velas acesas a diferentes distâncias, como se pode ver na fotografia acima. Se a carga de prova, q estiver dentro da esfera, r < a, onde a é o raio da esfera, a força será nula:

4 Associações de resistências e condensadores 2007-11-21 37 F kqq a 2 E p r a A energia potencial, E p, que terá a carga de prova quando estiver a uma distância r, obtém-se integrando F, desde infinito até r (trabalho que faz uma força externa, contrariando a força electrostática, para deslocar a carga de prova q até o ponto à distância r). O potencial é essa energia potencial, dividida pela carga; há dois casos, no primeiro caso, se r > a: No segundo caso, se r < a: V = 1 q Z r Z r Z r 1 F dr = kq r 2 dr = kq r V = 1 Z a 1 F dr = kq q r 2 dr = kq a Dentro da esfera (se r < a) a força é nula e o potencial é constante; o potencial decresce inversamente proporcional à distância: V kq a a r O potencial na esfera é V e = kq/a, e portanto a capacidade será: = Q V e = a k quanto maior for a esfera, maior será a sua capacidade. omo já foi dito anteriormente, a capacidade não depende nem da carga armazenada na esfera, nem do potencial produzido por essa carga.

4 Associações de resistências e condensadores 2007-11-21 38 4.7 ondensadores Vimos, no abertura do capítulo, a garrafa de Leiden que foi o primeiro condensador construído na história. Os dois condutores separados por um isolador (neste caso vidro), designamse de armaduras. Quando existirem cargas numa das armaduras serão induzidas cargas de sinal contrário na outra armadura, o que faz diminuir o potencial de cada armadura em relação ao potencial de referência (a terra). A diminuição do potencial do sistema de duas aramaduras, comparado com o potencial que teria uma única armadura com a mesma carga, implica uma capacidade muito maior para o condensador em comparação com um único condutor isolado. A garrafa de vidro serve de isolador e ajuda também a aumentar a capacidade por ter uma constante dieléctrica maior que a do ar. Quanto maior for a capacidade, mais fácil será armazenar cargas. Se uma das armaduras tiver carga Q a outra terá carga Q. Se V for a diferença de potencial entre as armaduras, define-se a capacidade do condensador assim: = Q V Se entre as duas armaduras existir um isolador, a constante de coulomb, k, que entra no cálculo da diferença de potencial V, a partir da força, deverá ser substituída por k/k, onde K é a constante dieléctrica do isolador. onsequentemente, com isolador a capacidade do condensador aumenta num factor K. O isolador, neste caso designado de dieléctrico, também ajuda a aumentar a diferença de potencial máxima que pode existir entre as armaduras. ada material isolador tem um valor da rigidez dieléctrica, que é o valor máximo que pode ter a diferença de potencial, por unidade de comprimento, sem que as moléculas/átomos sejam ionizados, tornando o isolador em condutor, com a aparição de uma faísca que deixa fendas no material. O valor máximo da diferença de potencial no condensador está limitado pela rigidez do dieléctrico, multiplicada pela distância entre as armaduras.

4 Associações de resistências e condensadores 2007-11-21 39 A tabela seguinte mostra a constante dieléctrica e a rigidez dieléctrica de vários materiais isoladores. Material onstante dieléctrica Rigidez (MV/m) Água (20 ) 80 Ar seco 1.00059 3 Óleo 2.24 12 Papel 3.7 16 Acrílico 3.4 40 Vidro pirex 5.6 14 Porcelana 7 5.7 Poliéster 2.55 24 Parafina 2.1-2.5 10 A rigidez dieléctrica do ar é 3 MV/m. Durante uma tormenta eléctrica, quando a diferença de potencial, por unidade de comprimento, ultrapassar esse valor, aparece um raio que descarrega as nuvens, fazendo diminuir essa diferença de potencial. 4.8 ondensador plano Um condensador plano está formado por duas armaduras planas, de área A, paralelas e separadas por uma distância d,

4 Associações de resistências e condensadores 2007-11-21 40 +Q Q A capacidade desse tipo de condensador é directamente proporcional à área das armaduras, e inversamente proporcional à distância entre elas: = KA 4πkd onde K é a constante dieléctrica do isolador entre as duas armaduras, e k é a constante de oulomb. 4.9 Ultracondensadores Nos ultracondensadores, inventados recentemente, conseguem-se capacidades muito elevadas (milhares de farads) usando um meio poroso. A área de contacto entre eléctrodos e electrólito é muito elevada. Os ultracondensadores usam-se como fontes nos actuais motores eléctricos com células de combustível, por exemplo, nos motores usados pelo autocarro experimental a hidrogénio da STP no Porto:

4 Associações de resistências e condensadores 2007-11-21 41 Os ultracondensadores podem fornecer carga e serem recarregados muito mais rapidamente do que uma bateria e sem sofrer o desgaste que faz com que a bateria tenha um número limitado de ciclos de carga e descarga. 4.10 Energia eléctrica armazenada num condensador Para carregar um condensador, é preciso carregar uma das armaduras com carga Q e a outra com carga Q. O processo é equivalente a transferir carga Q de uma armadura para a outra. +q q + + + + + + + + + V = q + dq Para calcular a energia dispensada nesse processo, dividimos a carga total Q em pequenas cargas infinitesimais dq que são transferidas entre as armaduras. ada vez que uma carga dq passa da armadura negativa para a positiva, ganha uma energia de p = V dq = q dq A energia total armazenada no condensador obtem-se por integração, desde q = 0, até q = Q V Q q E p q q Q o resultado obtido é: E p = Q2 2 = 1 2 Q V = 1 2 V 2

4 Associações de resistências e condensadores 2007-11-21 42 4.11 Associação de condensadores em série 1 2 +Q Q +Q Q Num sistema de dois condensadores ligados em série, a carga é a mesma nos dois condensadores. A diferença de potencial no sistema é a soma das diferenças de potencial em cada condensador: ( 1 V = V 1 + V 2 = + 1 ) Q 1 2 Assim, o sistema é equivalente a um único condensador com capacidade que verifica a equação: ( 1 1 = + 1 ) 1 2 4.12 Associação de condensadores em paralelo 1 Q 1 2 Q 2 Num sistema de dois condensadores ligados em paralelo, a diferença de potencial é a mesma nos dois condensadores. A carga no sistema é a soma das cargas em cada condensador: Q = Q 1 + Q 2 = ( 1 + 2 ) V Assim, o sistema é equivalente a um único condensador com capacidade igual à soma das duas capacidades. 4.13 Perguntas e problemas 1. Se duas resistências forem ligadas em paralelo,

4 Associações de resistências e condensadores 2007-11-21 43 (a) a resistência equivalente é superior à mais forte, intermédia entre a maior e a mais pequena ou inferior à mis fraca? (b) qual delas é atravessada pela corrente mais intensa: a mais forte ou a mais fraca? (c) nos terminais de qual a diferença de potencial é maior? (d) em qual é consumida a maior potência? 2. Temos três resistências: R 1 > R 2 > R 3 De que forma podemos dispô-las respectivamente no esquema para que a resistência equivalente seja a maior possível? A B 3. O circuito do lado esquerdo, com quatro terminais, vai ser substituído pelo circuito equivalente do lado direito. alcule os valores que deverão ter R 1, R 2, e R 3. A 560 Ω B A R 1 R 2 B 50 Ω 65 Ω R 3 D D 4. No circuito seguinte calcule a capacidade equivalente: (a) Entre os pontos B e D. (b) Entre os pontos A e B. A 18 pf B 6 pf 18 pf 4 pf 6 pf 18 pf D 6 pf 5. Um condensador de placas planas e paralelas distanciadas 1 cm e de 12 cm 2 de área, está totalmente preenchido por dois dieléctricos, cada um com espessura igual a 0.5 cm e a mesma área das placas. alcule a capacidade do condensador sabendo que as constantes dos dieléctricos são 4.9 e 5.6 (sugestão: admita que o condensador é equivalente a dois condensadores em série, cada um com um dieléctrico diferente).

4 Associações de resistências e condensadores 2007-11-21 44 6. onsidere um condensador de placas planas e paralelas, de área 0.3 m 2 e distanciadas 0.5 cm. Entre as placas encontra-se uma chapa de acrílico com a mesma área e espessura igual a 0.5 cm. O condensador é carregado até a diferença de potencial ser igual a 12 V e, de seguida, é desligado da fonte usada para o carregar. (a) Qual é o trabalho necessário para retirar a chapa de acrílico de entre as placas do condensador? (b) alcule o potencial de ruptura com dieléctrico e depois de este ser removido. 7. Dois condensadores de 10 µf e 20 µf ligam-se em série a uma fonte de 1200 V. (a) alcule a carga em cada condensador. (b) A fonte é logo desligada, ligando-se entre si os dois condensadores (armadura positiva com positiva e negativa com negativa). alcule a diferença de potencial e carga final em cada condensador. 8. Um flash fotográfico típico fornece 2 kw durante aproximadamente 2 ms. Essa energia é obtida descarregando um condensador de 50 µf. Até que diferença de potencial deverá ser carregado o condensador? Se o condensador fosse substituído por outro de 250 µf, até que diferença de potencial deveria ser carregado? Qual seria a desvantagem em usar o condensador com maior capacidade? 9. Qual é o número mínimo de resistências necessárias para obter uma resitência equivalente de: (a) 5 Ω, usando unicamente resistências de 3 Ω. (b) 7 Ω, usando unicamente resistências de 4 Ω. 4.14 Respostas 1. (a) Inferior à mais fraca; (b) a mais fraca; (c) igual nas duas resistências; (d) a mais fraca. 2. É necessário por R 1 em A. 3. R 1 = 41.48 Ω, R 2 = 53.93 Ω, R 3 = 4.81 Ω. 4. (a) 12 pf. (b) 21.6 pf. 5. 5.55 pf 6. (a) 3.12 10 7 J. (b) Sem dieléctrico, 15 kv; com dieléctrico 200 kv 7. (a) 8 m (b) V = 1600/3 V, Q 1 = 16/3 m, Q 2 = 32/3 m 8. 400 V. 179 V. 9. (a) 4 resistências; duas delas em série, em paralelo com a terceira e o conjunto em série com a quarta. (b) 5 resistências; 3 em série, em paralelo com a quarta e o conjunto em série com a quinta resistência.