UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA MEDIDAS DESCRITIVAS Departamento de Estatística Luiz Medeiros http://www.de.ufpb.br/~luiz/

MEDIDAS DESCRITIVAS Vimos que é possível sintetizar os dados sob a forma de distribuições de frequências e gráficos. Pode ser de interesse apresentar esses dados através de medidas descritivas que sintetizam as características da distribuição. Para representar um conjunto de dados de forma condensada utilizaremos algumas medidas de posição e de dispersão.

ALGUMAS MEDIDAS DESCRITIVAS Mínimo: O menor valor observado; Máximo: O maior valor observado; Média: É a soma das observações dividido pelo número de observações; Moda: É o valor que ocorre com maior frequência; Mediana: É o valor que ocupa a posição central em um conjunto de dados ordenado; Quartil: Divide o conjunto de dados ordenado em quatro partes iguais; Decil: Divide o conjunto de dados ordenado em dez partes iguais; Percentil: Divide o conjunto de dados ordenado em cem partes iguais.

MEDIDAS DE POSIÇÃO - MÉDIA Média Aritmética: É a soma das observações dividida pelo número de observações e seus valores tendem a se localizar em um ponto central dentro de um conjunto de dados. Em geral é a medida de tendência central mais comum para um conjunto de dados e é denotada por µ ou X a) Para dados não agrupados: Sejam X 1,X 2,...,X N, um conjunto de valores da variável X. Temos então que a média aritmética de X é dada por: Na prática não conhecemos toda a população. Logo, utilizamos a média amostral,dada por:

MEDIDAS DE POSIÇÃO - MÉDIA b) Para dados agrupados: Uma vez que os valores da variável estão agrupados em tabelas de frequências, temos que onde k é o número de classes e X mi, para i = 1,..., k são os respectivos pontos médios das classes. Na prática não conhecemos toda a população. Logo, utilizamos a média amostral,dada por:

PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA i) A soma algébrica dos desvios de um conjunto de números em relação a média aritmética é zero. ii) Quando somamos ou subtraímos uma constante aos valores de uma variável, a média fica aumentada ou diminuída dessa constante. iii) Quando multiplicamos ou dividimos todos os valores de uma variável por uma constante, a média fica multiplicada ou dividida por essa constante.

Vantagens e Desvantagens da Média

MEDIDAS DE POSIÇÃO MÉDIA GEOMÉTRICA Usada em casos em que o crescimento da série é muito grande (M G é mais representativa). Importante: Para n grande é conveniente uso do logaritmo

MEDIDAS DE POSIÇÃO MÉDIA HARMÔNICA Recomendada para séries de valores que são inversamente proporcionais as frequências Relação entre as médias

MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA Nos cálculos envolvendo média aritmética simples, todas as ocorrências têm exatamente a mesma importância ou o mesmo peso. No entanto, existem casos onde as ocorrências têm importância relativa diferente. Nestes casos, o cálculo da média deve levar em conta esta importância relativa ou peso relativo.

Exemplo: As aplicações mais comuns no mercado financeiro são: Poupança, Certificado de Depósito Bancário (CDB), Recibo de Depósito Bancário (RDB) e os Fundos de Investimento. Uma multinacional decide aplicar parte do seu lucro em três diferentes aplicações no período de um ano. Segue abaixo o montante aplicado em cada uma das aplicações no período. Tipos de Aplicações Valor das Aplicações Rentabilidade (%) Poupança R$ 250.000,00 7% CDB R$ 100.000,00 11% RDB R$ 80.000,00 12% Qual foi a rentabilidade (%) média da empresa com as aplicações no final do período? Justifique sua resposta.

Exemplo: Qual a idade média da população de Recife, em 1993, que possui AIDS.

MEDIDAS DE POSIÇÃO - MEDIANA Mediana: Ocupa a posição central de uma série de observações ordenadas, ou seja, é o valor que divide os dados em duas partes iguais (isto é, em duas partes de 50% cada). É denotada por Me. a) Para dados não agrupados: Caso 1 - n ímpar: Para a série de valores ordenados em ordem crescente de grandeza (isto é, um rol), a mediana é o valor central, isto é Me = elemento que está na posição (n+1)/2; Caso 2 - n par: Para a série de valores ordenados em ordem crescente de grandeza (isto é, um rol), a mediana é a média aritmética dos valores centrais, isto é Me = média aritmética entre os elementos das posições n/2 e (n/2)+1

MEDIDAS DE POSIÇÃO - MEDIANA b) Para dados agrupados por valor: É necessário construir a frequência acumulada para encontrar o elemento mediano através da sua ordem c) Para dados agrupados por classes: 1º Passo: Calcula-se o elemento central de ordem n/2 (par) e (n+1/2) (ímpar). 2º Passo: Pela frequência acumulada identifica-se a classe que contém a mediana. 3º Passo: Utiliza-se a fórmula Onde: l me é o limite inferior da classe mediana; n é o tamanho da amostra; F ANT é a soma das freqüências anteriores à classe mediana; h me é a amplitude da classe mediana; f me é a frequência da classe mediana.

Exemplo: Determinar a mediana dos dados apresentados na tabela abaixo.

Vantagens e Desvantagens da Mediana

MEDIDAS DE POSIÇÃO - MODA Moda: É o valor (valores) mais frequente no conjunto de dados, e será denotado por M O. a. Se todos os valores se repetem a mesma quantidade de vezes, dizemos que não há moda, ou seja, a distribuição é amodal; b. Se um valor ocorre com mais frequência, dizemos que a distribuição é unimodal; c. Se dois valores se repetem a mesma quantidade de vezes e com mais frequência, dizemos que a distribuição é bimodal. d. Se mais de dois valores se repetem a mesma quantidade de vezes e com a mesma frequência, dizemos que a distribuição é multimodal.

MEDIDAS DE POSIÇÃO MODA Para dados agrupados em classes: Moda Bruta Moda de King Moda de Czuber Moda de Pearson Para os três primeiros processos, o primeiro passo é identificar a classe modal, isto é, a classe que apresenta a maior frequência.

MODA BRUTA

MODA DE KING

MODA DE CZUBER

MODA DE PEARSON

RELAÇÕES ENTRE MÉDIA, MEDIANA E MODA Média = mediana = moda -> distribuição simétrica Média > Mediana > Moda -> distribuição simétrica positiva Média < Mediana < Moda -> distribuição assimétrica negativa

Exemplo: Determinar a moda através dos 4 processos.

Vantagens e Desvantagens da Moda

Exemplo: Calcular a média, moda e mediana para os seguintes casos 1) Idade dos alunos 18 25 20 19 22 22 21 19 2) Altura dos alunos 1,75 1,69 1,81 1,72 1,73 1,66 1,59

Exemplo: Num estudo sobre rotatividade de mão de obra na indústria, anotou-se o número de empregos nos últimos 3 anos para operários especializados e não especializados. Calcule a média, moda e mediana e tire suas conclusões.

MEDIDAS DE POSIÇÃO QUANTIS OU SEPARATRIZES Em alguns casos, o pesquisador tem interesse em conhecer outros aspectos relativos ao conjunto de dados. Quantis ou Separatrizes são medidas que dividem o rol de um conjunto de dados em partes iguais. Obs: A mediana é um quantil, pois divide o conjunto de dados em duas partes iguais.

MEDIDAS DE POSIÇÃO - QUARTIL Quartis: São as observações que dividem o rol em 4 partes iguais e são denotadas por Q 1, Q 2 e Q 3.

MEDIDAS DE POSIÇÃO - QUARTIL

MEDIDAS DE POSIÇÃO - DECIS Decis: São as observações que dividem o rol em 10 partes iguais e são denotadas por D 1,D 2,...,D 9.

MEDIDAS DE POSIÇÃO - DECIS

MEDIDAS DE POSIÇÃO - PERCENTIS Percentis: São as observações que dividem o rol em 100 partes iguais e são denotadas por P 1, P 2,..., P 99. Note que Q 2 = D 5 = P 50 = Me.

MEDIDAS DE POSIÇÃO - PERCENTIS

Exemplo: Calcular o primeiro quartil, o oitavo decil e o trigésimo percentil.

Exemplo: Num estudo sobre rotatividade de mão de obra na indústria, anotou-se o número de empregos nos últimos 3 anos para operários especializados e não especializados. Calcule o terceiro quartil, o sexto decil e o vigésimo percentil.