AULA 01 CINEMÁTICA 1. Introdução Na Mecânica, estudaremos os movimentos dos corpos e, para melhor compreensão, dividiremos a mecânica em três partes: cinemática, dinâmica e estática. Nesta aula, estudaremos a cinemática escalar, utilizando conceitos geométricos vinculados ao tempo para descrevermos os movimentos através de funções matemáticas. No estudo da Cinemática não nos preocuparemos com as causas nem com as leis da natureza que explicam estes movimentos, pois esta preocupação ficará por conta da dinâmica, o que estudaremos futuramente. 2. Ponto Material (partícula) e Corpo Extenso Imagine uma pessoa caminhando e atravessando uma ponte de 600 metros de extensão. O tamanho desta pessoa comparado ao tamanho da ponte é insignificante e então pode ser desprezado no equacionamento deste movimento. Logo, esta pessoa é considerada uma partícula ou um ponto material. Ponto Material é todo corpo cujas dimensões não alteram o estudo de qualquer fenômeno que ele participe. Imagine agora que por esta ponte passe uma estrada férrea e que uma composição de 300 metros de extensão vá atravessá-la. Para o equacionamento deste novo movimento, não poderemos desprezar o tamanho da composição. Logo, esta composição é considerada um corpo extenso.
Corpo Extenso é todo corpo cujas dimensões alteram o estudo de qualquer fenômeno de que ele participe 3. Referencial, Movimento e Repouso Definimos como referencial ou sistema de referência um corpo, ou parte dele, em relação ao qual identificamos se um móvel está em movimento ou em repouso. Considere uma pessoa em seu carro, trafegando em uma rua calma. Ao passar por um grupo de estudantes parados em um ponto de ônibus, começa uma discussão entre eles. Um dos estudantes afirma: O motorista daquele carro está em movimento. Um outro colega se opõe à afirmação: Não é o motorista que está em movimento e sim o seu carro. Um terceiro colega tenta aliviar a discussão explicando: Se considerarmos o ponto de ônibus como referencial tanto o motorista como o carro estão em movimento, mas se o referencial considerado for o volante do carro, ambos estão em repouso. Um corpo está em movimento, quando a distância entre ele e o referencial adotado se altera; e, está em repouso, quando a distância entre ele e o referencial adotado permanece constante. Movimento e Repouso são conceitos relativos e dependem sempre do referencial adotado. 4. Trajetória A trajetória é a união de todas as posições que um corpo ocupa ao se deslocar. Considere um carro passando por uma estrada coberta com uma fina camada de neve. As marcas dos pneus do carro determinam sua trajetória para aquele deslocamento. A trajetória depende de um referencial Um exemplo clássico que nos permite afirmar que realmente a trajetória depende de um referencial é o de um avião que, em pleno vôo, abandona um
corpo. Ao abandonar o corpo, um observador que se encontra lateralmente ao movimento verá uma trajetória com formato parabólico. Um outro observador, que se situa frontalmente ao movimento, verá uma trajetória retilínea. Então, para dois observadores (referenciais) diferentes, teremos duas trajetórias de formatos diferentes. 5. Posição ou Espaço(s) Escalar de um corpo numa trajetória A posição de um corpo está vinculada a um ponto da trajetória que nomearemos origem dos espaços e que será o nosso referencial na determinação das posições (espaços). Na figura abaixo, os carros A e B estão a uma mesma distância da origem (marco zero), porém o A está à esquerda e o B à direita da origem. Note que, para definir a posição de um corpo na trajetória, o sinal positivo (+) e o sinal negativo (- ) são muito importantes para identificar o lado em que se encontra o corpo em relação à origem. origem dos espaços Espaço é a medida algébrica desde a origem até o corpo estudado. O espaço pode ser positivo (corpo A) ou negaivo (corpo B). O espaço será nulo (S=0) quando o corpo estudado estiver na origem dos espaços. 6. Espaço Inicial (So) e Deslocamento Escalar ( S) Espaço inicial é a posição ocupada pelo corpo quando este inicia o seu movimento.
Todo movimento se inicia na origem dos tempos (t=0) Por exemplo, na figura anterior, se o tempo fosse zero, os espaços iniciais dos carros A e B seriam: So A = -3km e So B = +3km Deslocamento escalar é a diferença entre as posições ocupadas pelo corpo entre o início e o fim do movimento. Logo: S = 3 - (-4) = 7km 7. Velocidade Escalar Média (Vm) A velocidade escalar média de um corpo é o quociente entre seu deslocamento e o tempo que ele gastou para se deslocar. S = S f S o (deslocamento escalar) t = t f t o (intervalo de tempo) 8. Velocidade Escalar Instantânea (V ) A velocidade escalar instantânea é o valor limite para o qual tende a velocidade escalar média quando o t tende a zero. V = lim S t t 0 obs: O limite (lim) é calculado pela função matemática denominada derivada. V= s isto é a representação da derivação e lê-se: t A velocidade é a derivada do espaço relativa ao tempo. Cálculo da derivada Vamos considerar a seguinte equação: X = a.y 4 + b.y 3 =c.y 2 + d.y + e X é a nossa grandeza, Y é a nossa variável e a,b,c,d e e são os nossos parâmetros.
Regra prática 1- o expoente da variável multiplica o parâmetro. Regra prática 2- subtrai uma unidade do expoente da variável. Regra prática 3- a derivada de uma constante é zero. Exemplo: X = a.y 4 + b.y 3 c.y 2 + d.y + e dx = 4.a.Y 4-1 + 3.b.Y 3-1 + 2.c.Y 2-1 + 1.d.Y 1-1 + 0 dy dx = 4.a.Y 3 + 3.b.Y 2 + 2.c.Y 1 + 1.d.Y 0 dy dx = 4.a.Y 3 + 3.b.Y 2 + 2.c.Y + d dy Unidades: S.I. (Sistema Internacional de Unidades) unid ( S) = m (metro) unid (Vm) = m/s (metro/segundo) C.G.S. unid ( S) = cm (centímetro) unid (Vm) = cm/s (centímetro/segundo) No Brasil usamos: unid ( S) = km (quilômetro) unid ( t) = h (hora) unid (Vm) = km/h (quilômetro/hora) Relações importantes: 1km = 1.000m 1m = 100 cm 1h = 60 minutos = 3.600s 1km = 1.000m 1km = 1m 1h 3.600s 1h 3,6s Para transformar km/h em m/s, basta dividir por 3,6; para transformar m/s para km/h, basta multiplicar por 3,6 9. Aceleração Escalar Média (γm) A aceleração escalar média de um corpo é o quociente entre sua variação de velocidade e a variação de tempo.
αm = V = Vf Vo t tf - to Unidades: S.I. (Sistema Internacional de Unidades) unid (V) = m/s (metro/segundo) unid (αm) = m/s (metro/segundo ao quadrado). C.G.S. unid (V) = cm/s (centímetro/segundo) unid(αm) = cm/s (centímetro/segundo ao quadrado) No Brasil usamos: unid (V) = km (quilômetro/hora) unid ( t) = h (hora) unid (αm) = km/h quilômetro/hora ao quadrado) 10. Aceleração Escalar Instantânea (Ύ) A aceleração escalar instantânea é o valor limite para o qual tende a aceleração escalar média quando o t tende a zero. α = lim = V t α = v isto é a representação da derivação e lê-se: t A aceleração é a derivada da velocidade relativa ao tempo Unidades: S.I. (Sistema Internacional de Unidades) unid (V) = m/s (metro/segundo) unid (α) = m/s (metro/segundo ao quadrado). C.G.S. unid (V) = cm/s (centímetro/segundo) unid (. cm/s (centímetro/segundo ao quadrado) No Brasil, usamos: No Brasil usamos: unid (V) = km/h (quilômetro/hora) unid ( t) = h (hora) unid (α) = km/h quilômetro/hora ao quadrado)
11. Classificação de Movimentos Classificaremos os movimentos de um corpo, levando em consideração o grau da sua função horária, o sentido do movimento em relação à trajetória e se o módulo de sua velocidade está alterando. 1º) se a função horária for de 1º grau, o movimento será denominado uniforme, porém se a função horária for de 2º grau, o movimento será uniformemente variado. 2º) se o móvel percorre a trajetória em seu sentido positivo, isto é, posições progredindo, o movimento será progressivo. Contudo, se o móvel percorre a trajetória no sentido oposto ao positivo, isto é, posições retrocedendo, o movimento será retrógrado. 3º) se o módulo da velocidade está aumentando, isto é, o ponteiro do velocímetro está subindo, o movimento é acelerado e, neste caso, a velocidade e a aceleração têm sinais iguais. Contudo, se o módulo da velocidade está diminuindo, isto é, o ponteiro do velocímetro está descendo, o movimento é retardado e neste caso, a velocidade e a aceleração têm sinais opostos. Porém, se o módulo da velocidade mantém-se constante, o movimento será uniforme. EXERCÍCIOS 1. FACULDADE DE DIREITO DE CURITIBA: Agora, faremos uma rápida avaliação de seus conhecimentos de Física. Você provavelmente deve estar preocupado em recordar tudo que aprendeu durante a preparação para o vestibular. Mas não fique nervoso. Vamos começar a analisar seus conhecimentos de movimento e repouso. Olhe seus companheiros, já sentados em seus lugares, preste atenção em você e reflita sobre as noções de movimento, repouso e referencial. Agora, julgue as afirmativas a seguir. (01) Você está em repouso em relação a seus colegas, mas todos estão em movimento em relação à terra. (02) Em relação ao referencial sol, todos nesta sala estão em movimento. (04) Mesmo para o fiscal, que não para de andar, seria possível achar um referencial para o qual ele estivesse em repouso. (08) Se dois mosquitos entrarem na sala e não pararem de amolar, podemos afirmar que certamente estarão em movimento em relação a qualquer referencial. (16) Se alguém lá fora correr atrás de um cachorro, de modo que ambos descrevam uma mesma reta, com velocidades de mesma intensidade, então a pessoa estará em repouso em relação ao cachorro e vice-versa. Dê como resposta a soma dos números associados às proposições corretas. 2. UNIRIO: Um rapaz está em repouso na carroceria de um caminhão que desenvolve velocidade horizontal constante de módulo igual a 30m/s.
Enquanto o caminhão se move para frente, o rapaz lança verticalmente para cima uma bola de ferro de 0,10kg. Ela leva 1,0s para subir e outro para voltar. Desprezando-se a resistência do ar, podese afirmar que a bola caiu na (o): a) estrada, a mais de 60m do caminhão. b) estrada, a 60m do caminhão. c) estrada, a 30m do caminhão. d) estrada, a 1,0m do rapaz. e) caminhão, na mão do rapaz. 3. EFEI-MG: Um veículo descreve sempre uma mesma trajetória retilínea, movendo-se da seguinte maneira: a) durante 0,5h, sempre no mesmo sentido, com velocidade escalar média de 70km/h b) em seguida, inverte o sentido do movimento e se movimenta durante 0,3h com velocidade escalar média de módulo igual a 30km/h. c) em seguida, torna a inverter o sentido de seu movimento e se movimenta durante 0,7h com velocidade escalar média de 70km/h. d) Calcule: a) a distância total percorrida. b) a velocidade escalar média no trajeto todo. 4. VUNESP: Um automóvel desloca-se com velocidade escalar média de 80km/h durante os primeiros quarenta e cinco minutos de uma viagem de uma hora e com velocidade escalar média de 60km/h durante o tempo restante. A velocidade escalar média do automóvel, nessa viagem, em km/h, foi igual a: a) 60 b) 65 c) 70 d) 75 e) 80 5. PUC-PR: Uma partícula desloca-se em uma trajetória retilínea obedecendo à seguinte função horária dos espaços: S = 1,0t2 5,0t + 6,0 (SI). A equação horária da velocidade escalar é dada, em unidades SI, por: a) V = - 5,0 + 6,0t b) V = - 5,0 6,0t c) V = 5,0 + 6,0t d) V = 6,0 5,0t e) V = - 5,0 + 2,0t 6. USF-SP: Um ponto material tem seu movimento regido pela função horária dos espaços: S = 5,0 + 2,0t 2,0t2 (SI).
A sua velocidade escalar no instante t=2,0s vale: a) 6,0m/s b) 2,0m/s c) zero d) 6,0m/s e) 10,0m/s. 7. UNITAU: Um carro de fórmula 1, partindo do repouso, atinge a velocidade escalar de 108km/h em um intervalo de tempo de 5,0s. Calcule, para este intervalo de tempo: a) a aceleração escalar média b) a velocidade escalar média 8. Um corpo se desloca com velocidade variando com o tempo segundo a função: V = 2,0t2 +2,0t 10,0 (SI) Classifique o movimento como progressivo ou retrógrado, acelerado ou retardado no instante t = 2,0s 9. UCGO: Se o movimento de uma partícula é retrógrado e retardado, então a aceleração da partícula é: a) nula b) constante c) variável d) positiva e) negativa 10. FEI-SP: É dado o gráfico da velocidade escalar V em função do tempo t, para o movimento de uma partícula. No instante t, podemos afirmar que o movimento é: a) uniforme b) progressivo e acelerado c) retrógrado e acelerado d) retrógrado e retardado e) progressivo e retardado
RESPOSTAS 1. (01) FALSA você esta em repouso em relação a seus colegas e todos estão em repouso em relação à Terra. (02) VERDADEIRA (04) VERDADEIRA (08) FALSA se eles estiverem voando com velocidades iguais em módulo, direção e sentido, um estará em repouso em relação ao outro. (16) VERDADEIRA 2. e Como a resistência do ar foi desprezada, a bola mantém sua velocidade horizontal, o que nos permite afirmar que ela terá o mesmo deslocamento horizontal que a mão do rapaz. 3. a) O móvel andou 35km para a direita, voltou 9km (esquerda) e depois andou mais 49km para a direita. D= 35 + 9 + 49 = d = 93 km b) Vm = S = 75 Vm = 50km/h 4. d V 1 = S 1 80 = S 1 = 80. 3 = S 1 S = 60 km t 1 3 4 4 V 2 = S 2 60 = S 2 60.1 = S 2 S2 = 15 km t 2 1 4 4 S T = S 1 + S2 S T = 60 + 15 S T = 75 km VmT = ST Vm T = 75km/h 5. e S = 1,0t 2 5,0t + 6,0
V = ds = 2,0t 5,0 dt 6. A S = 5,0 + 2,0t 2,0t 2 V = d S = 2,0 4,0t dt V = 2,0 4,0.2,0 V = 2,0 8,0 V = - 6,0 m/s 7. a) V=108km/h : 3,6 = 30 m/s αm = V = 30 t 5 αm = 6 m/s b) Não podemos determinar a velocidade escalar média, pois não sabemos qual é o tipo de movimento. 8. V = 2,0t 2 + 2,0t 10,0 V>0, movimento progressivo V = 8,0 + 4,0 10,0 V = 2,0 m/s α = V = 4,0t + 2,0 t α = 4,0(2,0) + 2,0 α = 10,0 m/s2 V>0 e α>0, movimento acelerado. 9. d Para movimento retrógrado, temos velocidade negativa. Para movimento retardado, a velocidade e a aceleração têm sinais opostos, logo a aceleração épositiva. 10. d Em t a velocidade é negativa e crescente, o que resulta em V<0 e α>0