Avaliação de Técnicas de Redução de Variância na Estimação do Prêmio de Opções de Compra do Tipo Asiática

A pesquisa Operacional e os Recursos Renováveis 4 a 7 de novembro de 2003, Natal-RN Avaliação de Técnicas de Redução de Variância na Estimação do Prêmio de Opções de Compra do Tipo Asiática Jaqueline Terra Moura Marins Instituto COPPEAD de Administração da Universidade Federal do Rio de Janeiro e Banco Central do Brasil e-mail: jaque@coppeadufrjbr Joséte Florencio dos antos Instituto COPPEAD de Administração da Universidade Federal do Rio de Janeiro e Departamento de Ciências Administrativas / UFPE e-mail: jfs@coppeadufrjbr Eduardo aliby Instituto COPPEAD de Administração / UFRJ e-mail: saliby@coppeadufrjbr Resumo O presente trabalho apresenta uma avaliação empírica de diferentes técnicas de redução de variância aplicadas à simulação Monte Carlo de prêmios de opções de compra asiáticas, no que se refere à precisão das estimativas e ao tempo de processamento As opções estudadas levaram em conta três situações distintas quanto ao seu exercício: fora do dinheiro, dentro do dinheiro e em cima do dinheiro As técnicas utilizadas foram Variáveis Antitéticas, Variável de Controle, Hipercubo atino e Amostragem Descritiva Foi também avaliada a combinação das técnicas Variável de Controle com a Amostragem Descritiva Para todas as técnicas consideradas, foram obtidas estimativas mais precisas do que com o método de Monte Carlo simples, sobressaindo-se, com pequena vantagem em relação aos demais métodos, a combinação Variável de Controle com Amostragem Descritiva O método Monte Carlo imples e a técnica da Amostragem Descritiva apresentaram tempos de processamento relativamente baixos e praticamente iguais, enquanto que o Hipercubo atino, em função de sua maior complexidade operacional, resultou no maior tempo de processamento e portanto, mais dispendioso em termos computacionais Palavras-chave: Técnicas de Redução de Variância; Opção Asiática; imulação de Monte Carlo Abstract This paper compares the performance of variance reduction techniques, applied to Monte Carlo simulation for the valuation of Asian calls, in terms of estimates accuracy and processing time Three different option situations are considered: out of the money, in the money and at the money The techniques used here were: Antithetic Variates, Control Variate, atin Hypercube and Descriptive ampling A combination of techniques, Control Variate with Descriptive ampling, was also tested All the examined techniques leaded to more accurate estimates than with the use of traditional Monte Carlo Moreover, a small advantage is reported for the combination Control Variate with Descriptive ampling As far as processing time is concerned, Monte Carlo method and Descriptive ampling were the most efficient, with practically the same processing time On the other hand, due to its higher operational complexity, atin Hypercube was the most time consuming procedure, therefore less efficient in computational terms

Keywords: Variance Reduction Techniques; Asian Call; Monte Carlo imulation Method 1 - Introdução A precificação de opções por meio de simulação foi inicialmente utilizada por Boyle (1977), que desenvolveu um modelo de Monte Carlo para simular o processo de geração de preços do ativo-objeto, baseado na premissa de neutralidade ao risco Esta técnica de simulação tradicionalmente utiliza a Amostragem Aleatória imples como método amostral No entanto, o emprego de técnicas redutoras de variância na simulação de Monte Carlo tem apresentado resultados mais robustos, do ponto de vista da precisão e da velocidade de obtenção das estimativas, do que os obtidos pelo método tradicional (Moreira, 2001; Araújo, 2001; aliby e Pacheco, 2002) Neste sentido, o objetivo deste trabalho é comparar os desempenhos de algumas das principais técnicas de redução de variância quando aplicadas à simulação Monte Carlo de prêmios de opções de compra asiáticas, no que se refere ao ganho de precisão e ao tempo de processamento das estimativas As opções asiáticas fazem parte da família das opções exóticas, cujos payoffs dependem da média da trajetória dos preços do ativo ao longo da vigência da opção Foram utilizadas as técnicas Variáveis Antitéticas, Variável de Controle, Hipercubo atino e Amostragem Descritiva Também foi testada a combinação de técnicas Variável de Controle com Amostragem Descritiva Este trabalho está organizado da seguinte forma: a segunda seção descreve a metodologia utilizada, identificando-se o tipo de opção asiática e o parâmetro das estimativas que serão considerados, além da apresentação das técnicas de redução de variância empregadas Na seção 3, estão apresentados os principais resultados obtidos pelas simulações Por fim, na seção 4, são mostradas as conclusões 2 - Metodologia Alguns artigos tratam do emprego de técnicas de redução de variância na simulação de Monte Carlo para precificar derivativos A aplicação de técnicas dessa natureza torna a utilização do método de Monte Carlo mais atrativa, pois diminui uma grande desvantagem da simulação, que é a necessidade de uma enorme quantidade de replicações para obter resultados precisos No presente trabalho, foram utilizadas as técnicas Variáveis Antitéticas, Variável de Controle, Hipercubo atino e Amostragem Descritiva na simulação do prêmio de opções de compra asiáticas, além da combinação da técnica Variável de Controle com a Amostragem Descritiva As simulações utilizaram como ferramenta o software Matab 61 21 Opções Asiáticas Existem diversas variações de opções de compra do tipo asiática Tais variações incluem: a possibilidade ou não de exercício antecipado; a média da trajetória dos preços do ativo como sendo, na função payoff, o preço do ativo-objeto ou o preço de exercício da opção; e o cálculo dessa média em bases aritméticas ou geométricas (Milevsky e Posner, 1998; Hansen e Jorgensen, 1997) A forma mais comum de negociação desse tipo de opção considera que o payoff da opção será o máximo entre zero e a diferença entre a média aritmética dos preços do ativo da data atual à data de vencimento da opção e o seu preço de exercício O preço da opção asiática (prêmio) é a média dos valores presentes dos payoffs gerados Neste trabalho, foi considerada esta forma de payoff, que pode ser representada pela seguinte expressão: Payoff = máx ( 0; K) equação (1) Onde: = média aritmética dos preços do ativo-objeto da opção entre a data atual e a data de vencimento da opção; 547

K = preço de exercício da opção 22 Escolha do Parâmetro para os Prêmios Estimados As opções asiáticas definidas em bases aritméticas, como as consideradas neste trabalho, não possuem uma solução analítica fechada para os seus prêmios Isso se deve, principalmente, ao fato de seu payoff depender da soma de variáveis lognormais correlacionadas, representadas pelos preços do ativo-objeto em datas diferentes, a qual não é lognormal e não possui nenhuma função de distribuição de probabilidade reconhecível (Milevsky e Posner, 1998 e Neave e Ye, 2000) Assim, para o caso das opções asiáticas definidas em bases aritméticas, somente existem soluções aproximadas para o valor do prêmio Um procedimento padrão utilizado em casos como esse é realizar um experimento de simulação de Monte Carlo com um número elevado de corridas, para ser empregado como parâmetro das estimativas Neste trabalho, a simulação a ser usada como parâmetro envolveu um total de 10000 corridas e será denominada como simulação-parâmetro de agora em diante Cabe ressaltar que, para o caso das opções asiáticas em bases geométricas, existe uma solução analítica dentro da estrutura do modelo de Black e choles egundo Hull (1999), essa solução é uma boa aproximação para o prêmio de opções asiáticas definidas em bases aritméticas Porém, aqui ela não será utilizada como parâmetro, para se evitar viés nas estimativas eu uso se restringirá à técnica redutora de variância chamada Variável de Controle, a ser apresentada adiante 23 O Modelo de imulação de Monte Carlo Para se obter uma estimativa do prêmio de uma opção asiática, utilizou-se um modelo de simulação de Monte Carlo de geração da trajetória do preço do ativo-objeto da opção ao longo de um período de tempo Assim como Black e choles (1973), admitimos neste trabalho que a trajetória de preços do ativo-objeto segue um movimento geométrico browniano, representado pela seguinte equação diferencial estocástica: d t t = µ dt + σ dw, equação (2) Onde: t = preço do ativo no instante t; µ = retorno do ativo; σ = volatilidade do ativo; dw = processo de Wiener Com a discretização da equação (2), a adoção da hipótese de neutralidade ao risco (retorno do ativo sendo igual à taxa de juros livre de risco) e o uso do ema de Itô, é possível chegar à seguinte equação para o preço do ativo na data t, considerando o intervalo de tempo de 1 dia 1 : Onde: t 2 [( R f σ / 2)*1/ 252 + σ * 1/ 252* t ] = e, equação (3) t 1 t = preço do ativo na data t; t-1 = preço do ativo na data t -1; t = variável aleatória normal padrão referente à data t Os preços do ativo-objeto foram simulados para 42 dias 2, com base na equação (3) Em cada corrida de simulação, foram geradas 1000 trajetórias para o preço do ativo-objeto O experimento de simulação realizado neste trabalho totalizou 40 corridas Em termos matriciais, tal experimento pode ser apresentado da seguinte forma: 548

Para j = 1 a 40 corridas: j ésima matriz de Aleatórios ( j 1,1 2,1 ) = 3,1 O 1000,1 1,2 1,3 K K K K K 1,42 2,42 3,42 O 1000,42 j ésima matriz de Preços dos Ativos ( j ) = 1,1 2,1 3,1 1000,1 1,2 1,3 1,42 2,42 3,42 1000,42 1 2 3 1000 Médias Aritméticas Máx [ 0; ( Máx [ 0; ( j ésimo vetor dos Payoffs = Máx [ 0; ( K Máx [ 0; ( 1 2 3 K)] K)] K)] K)] 1000 Payoff Payoff j ésimo vetor dos valores Presentes dos Payoffs = Payoff K Payoff 1 2 3 * exp ( R f * T /252) * exp ( R f * T /252) * exp ( R f * T /252) * exp ( R * T /252) f Estimativa j do Prêmio = Média dos 1000 componentes do j-ésimo Vetor dos Valores Presentes dos Payoffs Prêmio Final Estimado = Média das 40 estimativas obtidas Os demais parâmetros da equação (3) são assumidos constantes, conforme o Quadro 1: 1000 Quadro 1 íntese dos dados considerados nas simulações 0 Preço inicial ativo-objeto da opção (t=0) $55 R f Taxa anual de juros livre de risco 3% K Preços de exercício ($) $30, $35, $40, $45, $50, $55 e $60 σ Volatilidade anual do ativo 20%, 30% e 40%; T Pontos da Trajetória (dias úteis) 1, 2,, 42 T Prazo de vencimento das opções (dias úteis) 42 Nº de observações por corrida (trajetórias) 1000 Nº de corridas 40 Os vários valores de K e σ definiram 21 combinações possíveis dos dois parâmetros, cada qual consistindo em uma opção asiática a ser precificada 549

24 Amostragem Aleatória imples (AA) A simulação de Monte Carlo tradicionalmente utiliza a Amostragem Aleatória imples como método amostral A aplicação deste método consistiu em sortear aleatoriamente valores da função distribuição acumulada da variável normal padrão t da equação (3) Em seguida, aplicou-se a transformada inversa da função distribuição acumulada sobre os valores sorteados e assim, obteve-se uma amostra de valores para a variável aleatória t Apesar de ser o método mais utilizado em simulação, sabe-se que é possível obter estimativas mais precisas, sem um correspondente aumento do esforço de amostragem, com o emprego de técnicas redutoras de variância (aliby, 1989) As técnicas que foram utilizadas neste trabalho são apresentadas a seguir 25 Técnicas de Redução de Variância 251 - Variáveis Antitéticas (VA) Esta técnica propõe uma redução de variância por meio da introdução de uma correlação negativa entre as estimativas (Bratley, Fox e chrage, 1987) eja X 1 uma variável aleatória definida como uma função f da variável u da seguinte forma: X 1 = f ( u) Define-se uma outra variável aleatória X 2 baseada na mesma função f, porém da variável simétrica -u, conforme expressão a seguir: X 2 = f ( u) Observa-se que X 1 e X 2 assim definidas têm mesma distribuição, sendo porém negativamente correlacionadas Gerando-se n valores aleatórios para a variável u, é possível obter amostras de tamanho n para as duas variáveis aleatórias X 1 e X 2 Com base nessas amostras, pode-se dizer que: [ X ] [ X ] + Var[ X ] + * Cov[ X, X ] Var( ) Var 1 2 2 1 2 X Var = = = * ( 1 + ρ ), equação (4) 4 2 Onde: X - média aritmética entre os pares de observações de X 1 e X 2; Var ( X ) = Var [ X 1 ] = Var [ X 2 ]; ρ - coeficiente de correlação entre X 1 e X 2 Pela equação (4), nota-se que a média aritmética entre duas variáveis aleatórias tal como definidas acima terá variância menor do que a da variável aleatória original devido à correlação negativa introduzida A aplicação desta técnica ao caso da precificação de opções asiáticas abordado neste estudo, consiste na geração de valores aleatórios para a variável t da equação (3) e na obtenção de valores correspondentes à variável - t e t possui distribuição normal padrão, então - t também possui A estimativa do prêmio da opção é então calculada pela média entre as duas estimativas intermediárias de prêmio criadas, uma dependente de t e a outra de - t A variância dessa nova estimativa, calculada pela média das estimativas intermediárias, é reduzida, já que a covariância entre as estimativas intermediárias é negativa (Charnes, 2000) Para a aplicação dessa técnica, a matriz de aleatórios de cada corrida de simulação foi redefinida, de modo que suas 500 primeiras linhas fossem iguais às 500 primeiras linhas da matriz original e suas 500 últimas linhas fossem iguais ao simétrico das 500 últimas linhas da matriz original A partir disso, novas matrizes de preços do ativo-objeto, de payoffs e de valores presentes foram geradas de forma correspondente em cada corrida A matriz abaixo ilustra esse procedimento: 550

j ésima matriz de Variáveis Antitéticas ( j AV 1,1 2,2 ) = 500,1 501,1 502,1 1000,1 1,42 2,42 500,42 501,42 502,42 1000,42 252 Variável de Controle com Amostragem Aleatória imples (VC com AA) Apesar de existirem diferentes metodologias para o emprego desta técnica, sua forma usual é a substituição do problema em análise, que não dispõe de solução analítica, por um similar mais simplificado, que tenha esse tipo de solução A solução do problema simplificado é então usada para aumentar a precisão da solução de simulação do problema complexo Os valores simulados usam como método amostral a Amostragem Aleatória imples Mais especificamente, um ajuste no valor estimado por simulação do problema sem solução analítica é promovido ao se aplicar nele um coeficiente da diferença entre o valor analítico e o valor estimado por simulação do problema com solução analítica Essa diferença é chamada de erro de simulação Dessa forma, o erro de simulação serve como um controle na estimação por simulação do problema sem solução analítica Pode ser mostrado que o coeficiente do erro de simulação que minimiza a variância da variável ajustada é o coeficiente angular da regressão entre o valor estimado por simulação do problema sem solução analítica e o valor estimado por simulação do problema com solução analítica (Bratley, Fox e chrage, 1987) Esta idéia está resumida abaixo: 2 [ X k * Y ] = Var[ X ] + k * Var[ Y ] 2 * k * Cov[ X Y ] Var, equação (5) Onde: X - valor estimado por simulação do problema sem solução analítica; Y - variável de controle, dada pela diferença entre o valor analítico e o valor estimado por simulação do problema com solução analítica; k - coeficiente angular da regressão entre o valor estimado por simulação do problema sem solução analítica e o valor estimado por simulação do problema com solução analítica Neste estudo, o emprego da técnica da Variável de Controle com Amostragem Aleatória imples, aplica a diferença entre o prêmio obtido por Black e choles para o caso geométrico e o prêmio geométrico estimado por simulação ao prêmio aritmético estimado por simulação usando a Amostragem Aleatória imples Esta técnica será, daqui em diante, chamada simplesmente de Variável de Controle Dessa forma, para a aplicação da técnica da Variável de Controle no caso das opções asiáticas em estudo, tem-se que: PA VC = PA + β ( C PG), equação (6) Onde: PA VC = prêmio aritmético estimado por Variável de Controle; PA = prêmio aritmético estimado por simulação usando AA; β = coeficiente angular da regressão entre PA e PG; C = prêmio obtido pelo modelo de Black e choles para o caso geométrico; PG = prêmio geométrico estimado por simulação usando AA 551

A solução analítica do prêmio para o caso geométrico, correspondente à variável C da equação (5), é obtida dentro da estrutura do modelo de Black e choles, conforme expressão abaixo 3 : com, d C = (( ) ( T 252)) ( R T 252) 0 e a f d N( d1) K e N( 2 ) 2 ln( 0 / K) + ( a + 05σ a ) T / 252 1 = d 2 = d1 σ a T σ a T 2 a = 05 ( R f + σ / 6) σ a = σ / 3, equação (7) / 252 Onde: C = prêmio justo da opção asiática de compra; 0 = preço do ativo-objeto da opção no instante zero; R f = taxa anual de juros livre de risco; σ = volatilidade anual do ativo-objeto; T = prazo de vencimento da opção em anos (252 dias úteis); K = preço de exercício da opção; N(d1) = valor da função de distribuição acumulada Normal Padrão no ponto d1; N(d2) = valor da função de distribuição acumulada Normal Padrão no ponto d2 O prêmio geométrico estimado por simulação, equivalente à variável PG na equação (6), é obtido por meio da geração de um novo vetor de Payoffs, calculado com base na média geométrica dos preços do ativo-objeto ao longo do tempo, para cada corrida Assim, em cada corrida, foram gerados um vetor de valores presentes dos novos Payoffs e uma estimativa do prêmio geométrico Finalmente, o prêmio geométrico estimado foi obtido por meio da média das 40 estimativas geradas As matrizes abaixo ilustram o processo: Para j = 1 a 40 corridas: j ésima matriz de Preços do Ativo ( j ) = 1,1 2,1 3,1 1000,1 1,2 1,3 1,42 2,42 3,42 1000,42 1 2 3 1000 Máx Máx j ésimo vetor dos Payoffs Geométri cos = Máx Máx j ésimo vetor de Valor Presente dos Payoffs Geométri [ 0; ( 1 K )] [ 0; ( 2 K )] [ 0; ( 3 K )] [ 0; ( K )] 1000 PayoffGeo1 *exp PayoffGeo 2 *exp cos = PayoffGeo *exp 3 PayoffGeo1000 *exp Médias Geométricas ( R f *T/ 252) ( R f *T/ 252) ( R *T/ 252) f ( R *T/ 252) f 552

Estimativa j do Prêmio Geométrico = Média dos 1000 componentes do j-ésimo Vetor dos Valores Presentes dos Payoffs Geométricos Prêmio Geométrico Estimado = Média das 40 estimativas obtidas 253 Hipercubo atino (HC) A amostragem por Hipercubo atino propõe a estratificação da distribuição acumulada de probabilidade das variáveis de entrada do modelo de simulação em n partes de igual probabilidade e, em seguida, a escolha aleatória de um elemento dentro de cada estrato Os n elementos assim escolhidos formarão o primeiro conjunto de valores hipercúbicos, os quais serão depois permutados aleatoriamente para compor a amostra hipercúbica O método assim garante que todos os extratos estarão representados na amostra (McKay, Beckman e Conover, 1979) No caso da variável de entrada ter mais de uma dimensão (K-dimensional), a composição da amostra hipercúbica exigirá que o processo de estratificação seguido de permutação aleatória seja repetido K vezes A fórmula usada para a geração do primeiro conjunto de valores hipercúbicos, a serem depois permutados aleatoriamente, é: 1 i 1 + Randi 1 ( i Randi ) xhi = F = F, equação (8) n n Onde: n = tamanho da amostra hipercúbica; i = 1,2,3,, n; xh i = i-ésimo elemento do primeiro conjunto de valores da amostra hipercúbica; F -1 = inversa da função de distribuição acumulada da variável de entrada X; Rand i = i-ésimo número aleatório entre 0 e 1 O emprego do método de amostragem por Hipercubo atino neste trabalho consistiu em estratificar a função distribuição acumulada da variável aleatória t normal padronizada em 1000 partes de igual probabilidade e, em seguida, sortear aleatoriamente um valor dentro de cada estrato A transformada inversa da função acumulada da normal padrão foi aplicada sobre esses valores Finalmente, uma permutação aleatória dos valores foi implementada e a amostra por Hipercubo atino para a data t foi, então, obtida Esse procedimento foi executado para cada um dos 42 dias da trajetória de preços do ativo e repetido em cada uma das 40 corridas de simulação Dessa forma, a matriz de aleatórios da equação (3) foi redefinida de modo a conter valores amostrados por Hipercubo atino e não mais por Amostragem Aleatória imples 254 Amostragem Descritiva (AD) A Amostragem Descritiva se baseia numa seleção totalmente determinística e intencional dos valores das variáveis de entrada do modelo de simulação Esses valores, uma vez selecionados, serão permutados aleatoriamente No processo de seleção dos valores, os momentos das amostras de entrada são fixados de modo a serem praticamente iguais aos respectivos valores teóricos, não mais variando entre diferentes corridas No caso da variável de entrada ter mais de uma dimensão (K-dimensional), a composição da amostra descritiva exigirá que a permutação aleatória do mesmo conjunto de valores descritivos seja repetida K vezes Dado que a variação de conjunto e a variação de seqüência são as fontes de variabilidade das estimativas de simulação, esse procedimento de amostragem consegue eliminar o primeiro efeito de variabilidade e, assim, levar a estimativas mais precisas (aliby, 1989) 553

Cabe ressaltar que a diferença entre os métodos Hipercubo e Descritiva está na forma de seleção dos valores dentro de cada estrato Enquanto o Hipercubo atino faz um sorteio aleatório para a seleção dos valores, a Amostragem Descritiva seleciona o ponto médio de cada estrato (aliby, 1989, 1990 e 1997) A fórmula usada para a geração do conjunto (único) de valores descritivos, a serem depois permutados aleatoriamente, é: ( i 0 ) 1 i 1 + 05 1 5 xd i = F = F, equação (9) n n Onde: n = tamanho da amostra descritiva; i = 1,2,3,, n; xd i = i-ésimo elemento do conjunto de valores da amostra descritiva; F -1 = inversa da função de distribuição acumulada da variável de entrada X O uso do método da Amostragem Descritiva na precificação das opções do presente trabalho consistiu, assim como no método do Hipercubo atino, em estratificar a função distribuição acumulada da variável aleatória t normal padronizada em 1000 partes de igual probabilidade A partir daí, a aplicação do método Amostragem Descritiva é semelhante a do Hipercubo Contudo, na Amostragem Descritiva, observa-se que é possível trabalhar com um mesmo conjunto de valores para todas as corridas, bastando gerá-lo uma vez Dessa forma, espera-se um menor tempo de processamento da simulação baseada na Amostragem Descritiva do que no Hipercubo atino Vale mencionar ainda que, a cada corrida, a mesma regra de permutação aleatória dos valores componentes da amostra foi implementada nos dois métodos, para se ter um controle a mais na comparação entre eles A matriz de aleatórios da equação (3) foi assim redefinida de forma a conter valores amostrados por Amostragem Descritiva e não mais por Amostragem Aleatória imples 255 Variável de Controle com Amostragem Descritiva (VC com AD) Esta técnica incorpora a Amostragem Descritiva na estimação do prêmio por Variável de Controle, de forma que os prêmios aritmético e geométrico estimados por simulação simples na equação (6) são substituídos, respectivamente, pelos prêmios aritmético e geométrico estimados por Amostragem Descritiva A partir daí, o procedimento para a simulação é semelhante ao da Variável de Controle 3 Análise dos Resultados Para avaliar os diferentes métodos de simulação do prêmio das opções de compra asiáticas, no que se refere à precisão e ao tempo de processamento das estimativas, foi utilizada a metodologia descrita na seção anterior Além disso, foi analisada a combinação da técnica de Variável de Controle com a Amostragem Descritiva, já que essas duas técnicas, isoladamente, apresentaram, em trabalhos anteriores dos autores 4, os melhores ganhos de precisão das estimativas 31 Avaliação da precisão das técnicas em relação ao método padrão A tabela 31 apresenta os resultados da simulação-parâmetro (Monte Carlo com 10000 corridas) e os resultados analíticos do modelo de Black e choles para os prêmios das opções de compra consideradas Observa-se que as diferenças algébricas entre os dois métodos de precificação são pequenas em quaisquer dos 21 casos analisados, o que indica que a solução 554

Black e choles Isso ocorre pois médias aritméticas (soluções da simulação-parâmetro) são superiores a médias geométricas (soluções de Black e choles) Nota-se também uma repetição dos valores das diferenças algébricas entre os dois métodos no caso de preços de exercício mais distantes de $55 (preço inicial do ativo) Isso provém do uso da mesma semente de aleatórios em todas as 21 combinações de K e σ consideradas O efeito do uso dos mesmos aleatórios sobre os resultados será mais explorado adiante Tabela 31 - Prêmios das opções de compra do tipo asiáticas obtidos pela simulação-parâmetro (Monte Carlo tradicional de 10000 corridas) e obtidos segundo o modelo de Black & choles, com as respectivas diferenças algébricas entre os métodos imulação-parâmetro Black & choles Diferenças Algébricas σ 1 = 20% σ 2 = 30% σ 3 = 40% σ 1 = 20% σ 2 = 30% σ 3 = 40% σ 1 = 20% σ 2 = 30% σ 3 = 40% K 1 = 30 250120 250119 250118 249818 249438 248905 00302 00681 01212 K 2 = 35 200370 200368 200367 200068 199687 199155 00302 00681 01212 K 3 = 40 150619 150618 150618 150317 149936 149408 00302 00681 01210 K 4 = 45 100868 100882 101077 100566 100208 99928 00302 00675 01150 K 5 = 50 51271 52434 54753 50992 51891 53879 00279 00543 00873 K 6= 55 10946 16062 21176 10839 15779 20632 00107 00283 00544 K 7= 60 00401 02322 05503 00380 02204 05198 00021 00118 00305 Já os prêmios estimados pelas técnicas em análise, suas respectivas variâncias e os erros quadráticos médios das estimativas (calculados em relação à simulação-parâmetro), estão apresentados na tabela 32 5 Em cada método considerado, observa-se uma repetição dos valores da variância e do erro quadrático médio para valores baixos de K Novamente, isso se deve ao emprego da mesma semente de números aleatórios em todas as combinações de K e σ consideradas Entre os diversos métodos analisados, pode-se notar que os prêmios estimados por simulação apresentaram um padrão de comportamento semelhante Dentro do mesmo nível de volatilidade e para valores baixos de K, os valores dos prêmios diferem de uma constante 6 Isso acontece porque, no caso de preços de exercício mais distantes de $55, as opções são sempre exercidas e, nos demais casos, nem sempre há exercício 7 Esse efeito da constante sobre as estimativas dos prêmios determina uma repetição dos valores da variância para preços de exercício mais baixos em todos os métodos analisados Em todos os métodos, qualquer que seja a combinação de K e σ, podemos também observar a não-tendenciosidade das estimativas, uma vez que a variância corresponde a praticamente todo o erro quadrático médio dos prêmios estimados De fato, ao se comparar as estimativas dos prêmios apresentadas na tabela 32 com os prêmios obtidos pela simulaçãoparâmetro na tabela 31, nota-se que as diferenças entre os respectivos são bastante pequenas Pode-se verificar que o uso do método Variável de Controle resultou em estimativas com menor variabilidade Entretanto, quando foi testada a combinação da técnica de Variável de Controle com Amostragem Descritiva, a variância dos prêmios estimados foi, na grande maioria dos 21 casos, igual ou um pouco menor do que a dos estimados pela Variável de Controle Para melhor avaliar o ganho de precisão obtido com a utilização dos diversos métodos de simulação em relação ao método da Amostragem Aleatória imples, comparou-se a variação relativa do erro-padrão de cada um dos métodos, conforme apresentado na tabela 33 Quanto mais negativos os valores apresentados nesta tabela, maior o ganho de precisão do método em relação ao Monte Carlo tradicional Constatou-se, assim, que todas as técnicas de redução de variância mostraram-se bem superiores ao método tradicional de Monte Carlo, com pequenas diferenças em seus ganhos Em ordem crescente de precisão, os métodos se classificaram da seguinte forma: Variáveis Antitéticas, Hipercubo atino e Amostragem Descritiva (empate técnico), e Variável de Controle Observou-se, entretanto, uma pequena vantagem na precisão quando foi utilizada a combinação das técnicas Variável de Controle com Amostragem Descritiva Nota-se também um bom desempenho dos métodos de simulação no caso de valores baixos de K (região de preços de exercício mais distantes do preço inicial do ativo) e uma 555

degradação dos mesmos no caso de valores altos Esse fato se justifica pela não-linearidade da função que define a variável de resposta da simulação (função de máximo para o payoff, expressa pela equação (1)), uma vez que as técnicas redutoras atuam melhor sobre funções lineares, correspondendo, neste caso, à região onde há exercício das opções Os métodos Variável de Controle e Variável de Controle com Amostragem Descritiva praticamente não apresentaram degradação na região em torno do preço de exercício Cabe destacar que o Hipercubo atino também apresentou grandes ganhos de precisão, bem próximos dos mostrados pela Amostragem Descritiva De fato, a diferença entre os prêmios estimados por esses dois métodos é muito próxima de zero (na ordem de 10-4 ), sendo essas estimativas, em média, altamente correlacionadas (na ordem de 97%) Tabela 32 - Prêmios das opções de compra do tipo asiáticas estimados por simulação, segundo os métodos indicados Em cada corrida de simulação, foram geradas 1000 trajetórias para o preço do ativo-objeto O experimento totalizou 40 corridas Também são apresentados a variância e o erro quadrático médio dos prêmios estimados Prêmios estimados por simulação Variância Erro Quadrático Médio AA σ 1 = 20% σ 2 = 30% σ 3 = 40% σ 1 = 20% σ 2 = 30% σ 3 = 40% σ 1 = 20% σ 2 = 30% σ 3 = 40% K 1 = 30 250097 250084 250072 0005472 0012174 0021420 0005477 0012186 0021441 K 2 = 35 200346 200334 200321 0005472 0012174 0021420 0005477 0012186 0021441 K 3 = 40 150595 150583 150574 0005472 0012174 0021389 0005477 0012186 0021409 K 4 = 45 100845 100850 101043 0005472 0012057 0020362 0005477 0012068 0020374 K 5 = 50 51255 52421 54725 0005097 0009925 0015149 0005100 0009926 0015157 K 6= 55 10942 16054 21164 0001608 0003639 0006580 0001608 0003640 0006581 K 7= 60 00399 02310 05495 0000060 0000546 0001756 0000060 0000547 0001757 VA σ 1 = 20% σ 2 = 30% σ 3 = 40% σ 1 = 20% σ 2 = 30% σ 3 = 40% σ 1 = 20% σ 2 = 30% σ 3 = 40% K 1 = 30 250120 250115 250108 0000024 0000120 0000380 0000024 0000121 0000381 K 2 = 35 200369 200364 200357 0000024 0000120 0000380 0000024 0000121 0000381 K 3 = 40 150618 150613 150609 0000024 0000120 0000378 0000024 0000121 0000379 K 4 = 45 100868 100880 101054 0000024 0000125 0000547 0000024 0000125 0000553 K 5 = 50 51260 52380 54679 0000063 0000730 0002834 0000064 0000759 0002888 K 6= 55 10919 16018 21116 0001591 0003804 0007157 0001598 0003823 0007193 K 7= 60 00372 02254 05421 0000060 0000718 0002641 0000068 0000764 0002709 VC com AA σ 1 = 20% σ 2 = 30% σ 3 = 40% σ 1 = 20% σ 2 = 30% σ 3 = 40% σ 1 = 20% σ 2 = 30% σ 3 = 40% K 1 = 30 250131 250139 250151 0000001 0000003 0000010 0000002 0000007 0000021 K 2 = 35 200380 200389 200400 0000001 0000003 0000010 0000002 0000007 0000021 K 3 = 40 150629 150638 150652 0000001 0000003 0000010 0000002 0000007 0000020 K 4 = 45 100879 100903 101119 0000001 0000003 0000008 0000002 0000007 0000025 K 5 = 50 51288 52481 54836 0000000 0000001 0000004 0000003 0000023 0000074 K 6= 55 11008 16151 21288 0000000 0000002 0000005 0000038 0000082 0000130 K 7= 60 00412 02362 05573 0000000 0000001 0000005 0000002 0000018 0000053 HC σ 1 = 20% σ 2 = 30% σ 3 = 40% σ 1 = 20% σ 2 = 30% σ 3 = 40% σ 1 = 20% σ 2 = 30% σ 3 = 40% K 1 = 30 250128 250132 250138 0000007 0000037 0000117 0000008 0000039 0000121 K 2 = 35 200378 200382 200387 0000007 0000037 0000117 0000008 0000039 0000121 K 3 = 40 150627 150631 150638 0000007 0000037 0000118 0000008 0000039 0000121 K 4 = 45 100876 100895 101093 0000007 0000037 0000152 0000008 0000039 0000154 K 5 = 50 51276 52445 54801 0000021 0000271 0000842 0000021 0000272 0000865 K 6= 55 11007 16152 21295 0000416 0001037 0002021 0000452 0001119 0002163 K 7= 60 00388 02321 05527 0000047 0000462 0001486 0000049 0000462 0001491 AD σ 1 = 20% σ 2 = 30% σ 3 = 40% σ 1 = 20% σ 2 = 30% σ 3 = 40% σ 1 = 20% σ 2 = 30% σ 3 = 40% K 1 = 30 250125 250127 250130 0000007 0000037 0000118 0000008 0000038 0000120 K 2 = 35 200375 200377 200379 0000007 0000037 0000118 0000008 0000038 0000120 K 3 = 40 150624 150626 150630 0000007 0000037 0000119 0000008 0000038 0000121 K 4 = 45 100873 100889 101084 0000007 0000038 0000155 0000008 0000038 0000155 K 5 = 50 51272 52437 54787 0000021 0000275 0000842 0000021 0000275 0000854 K 6= 55 11000 16141 21280 0000421 0001050 0002048 0000450 0001113 0002154 K 7= 60 00387 02313 05515 0000046 0000461 0001500 0000048 0000462 0001502 VC com AD σ 1 = 20% σ 2 = 30% σ 3 = 40% σ 1 = 20% σ 2 = 30% σ 3 = 40% σ 1 = 20% σ 2 = 30% σ 3 = 40% K 1 = 30 250129 250136 250146 0000000 0000003 0000008 0000001 0000005 0000016 K 2 = 35 200379 200385 200395 0000000 0000003 0000008 0000001 0000005 0000016 K 3 = 40 150628 150635 150647 0000000 0000003 0000008 0000001 0000005 0000016 K 4 = 45 100877 100900 101109 0000000 0000003 0000011 0000001 0000006 0000021 K 5 = 50 51285 52478 54830 0000001 0000003 0000006 0000003 0000022 0000066 K 6= 55 11006 16148 21282 0000000 0000001 0000004 0000036 0000075 0000117 K 7= 60 00413 02364 05576 0000000 0000001 0000003 0000002 0000019 0000056 556

Tabela 33 - Variação percentual do erro-padrão dos prêmios de opções de compra asiáticas estimados por simulação segundo os métodos indicados, em relação ao erropadrão do prêmio estimado pelo método Amostragem Aleatória imples VA σ 1 = 20% σ 2 = 30% σ 3 = 40% K 1 = 30-934% -901% -867% K 2 = 35-934% -901% -867% K 3 = 40-934% -901% -867% K 4 = 45-934% -898% -836% K 5 = 50-889% -729% -568% K 6= 55-05% 22% 43% K 7= 60-04% 147% 226% VC com AA σ 1 = 20% σ 2 = 30% σ 3 = 40% K 1 = 30-990% -984% -979% K 2 = 35-990% -984% -979% K 3 = 40-990% -984% -979% K 4 = 45-990% -985% -981% K 5 = 50-991% -988% -983% K 6= 55-986% -979% -973% K 7= 60-946% -950% -949% HC σ 1 = 20% σ 2 = 30% σ 3 = 40% K 1 = 30-963% -945% -926% K 2 = 35-963% -945% -926% K 3 = 40-963% -945% -926% K 4 = 45-963% -944% -914% K 5 = 50-936% -835% -764% K 6= 55-492% -466% -446% K 7= 60-113% -80% -80% AD σ 1 = 20% σ 2 = 30% σ 3 = 40% K 1 = 30-963% -945% -926% K 2 = 35-963% -945% -926% K 3 = 40-963% -945% -925% K 4 = 45-963% -944% -913% K 5 = 50-936% -834% -764% K 6= 55-488% -463% -442% K 7= 60-126% -81% -76% VC com AD σ 1 = 20% σ 2 = 30% σ 3 = 40% K 1 = 30-991% -986% -981% K 2 = 35-991% -986% -981% K 3 = 40-991% -986% -980% K 4 = 45-991% -985% -977% K 5 = 50-988% -983% -980% K 6= 55-987% -981% -975% K 7= 60-957% -952% -957% 32 Avaliação do tempo de processamento Observou-se que a técnica da Amostragem Descritiva apresentou um tempo de processamento do script de simulação praticamente igual ao do método de Monte Carlo simples, tendo as demais técnicas mostrado tempos superiores (tabela 34) 557

Tabela 34 - Tempo de processamento dos scripts de 40 corridas de simulação dos prêmios, desenvolvidos para os métodos indicados Também foram apresentados tempos de processamento de scripts de 1000 corridas de simulação para alguns métodos O tempo de processamento está apresentado em segundos Tempo de Processamento Duração (em segundos) AA 550 VA 637 VC com AA 1080 HC 1807 AD 527 VC com AD 1140 AA (1000 corridas) 11960 HC (1000 corridas) 43630 AD (1000 corridas) 12450 Nota-se que os tempos de processamento dos métodos Variável de Controle e Variável de Controle com Amostragem Descritiva são aproximadamente o dobro do tempo do método Amostragem Aleatória imples Isso se deve ao fato de esses dois métodos necessitarem de dois tipos de estimativa de prêmio, uma aritmética e outra geométrica, nas suas respectivas simulações, ao passo que, na Amostragem Aleatória imples, somente é realizada a estimativa do tipo aritmética Um resultado interessante obtido refere-se ao tempo de processamento do Hipercubo atino comparado ao da Amostragem Descritiva Conforme mencionado anteriormente, esses dois métodos apresentaram, em média, prêmios praticamente iguais e ganhos de precisão bastante semelhantes No entanto, quando se compara seus tempos de processamento, verificase que o Hipercubo dispende mais do que o triplo do tempo de processamento da Amostragem Descritiva Esse resultado também se verificou no caso de um experimento de simulação muito maior, contendo 1000 corridas ao invés de 40, conforme pode ser visto na tabela 34 Isso pode ser atribuído à necessidade de o método Hipercubo atino aplicar 1000 vezes a transformada inversa da Normal padronizada, para cada dia da trajetória dos preços do ativo e a cada corrida No caso da Amostragem Descritiva, basta realizar uma vez a aplicação e, dessa forma, trabalhase com um mesmo conjunto de valores em todas as corridas Além disso, o Hipercubo possui, por definição, um termo aleatório adicional para a geração dos valores, que é aplicado a cada dia da trajetória e a cada corrida Todas as simulações foram realizadas com oftware Matab 61 em um mesmo equipamento 8 Otimizações dos scripts gerados, bem como usos de softwares de simulação mais especializados, poderiam gerar melhores tempos de processamento No entanto, as relações entre esses tempos deverão permanecer 4 - Conclusões Ao avaliar o desempenho de diversas técnicas de redução de variância na estimação do prêmio de opções de compra asiáticas, confirmamos a utilidade destas técnicas em relação à abordagem tradicional de Monte Carlo, empregando a Amostragem Aleatória imples Os resultados obtidos confirmaram a não-tendenciosidade das estimativas geradas por meio dos diferentes procedimentos, com a variância das estimativas sendo o termo dominante do erro quadrático médio dos prêmios estimados Quanto à precisão das estimativas, o uso das técnicas de redução de variância mostrou-se extremamente vantajoso: todas as técnicas levaram a resultados bem superiores aos do método 558

tradicional de Monte Carlo Foram observadas pequenas diferenças de ganho entre as técnicas, com a seguinte classificação em ordem crescente de precisão: Variáveis Antitéticas, Hipercubo atino e Amostragem Descritiva (empate técnico), e Variável de Controle No entanto, observou-se que ganhos ainda melhores foram obtidos quando se combinou o uso das técnicas Variável de Controle com a Amostragem Descritiva Em termos computacionais, Monte Carlo simples e Amostragem Descritiva foram os mais eficientes, com tempos de processamento bastante próximos eguiram-se Variáveis Antitéticas e Variável de Controle O método Hipercubo atino teve o pior desempenho em termos computacionais Este resultado, na verdade, era esperado, sendo explicado pela maior complexidade operacional do método, envolvendo duas etapas: a geração dos valores amostrais com um componente aleatório e sua permutação também aleatória Cabe lembrar que no caso da Amostragem Descritiva, a amostragem também é feita em duas etapas: geração de valores descritivos e sua permutação aleatória A principal vantagem computacional da Descritiva em relação ao Hipercubo reside no fato de que os valores amostrais são gerados uma única vez para todas as corridas Os autores entendem que novas combinações de técnicas de redução de variância podem também levar a expressivos ganhos de precisão e computacionais como os aqui relatados, merecendo portanto serem testadas Em particular, as combinações envolvendo a Amostragem Descritiva, que, confirmando as expectativas, proporcionou muito bons resultados 5 - Referências Bibliográficas ARAÚJO, M imulação de Monte Carlo para Cálculo do Var: o Uso da Amostragem Descritiva 2001 120p Dissertação (Mestrado em Administração) - Instituto COPPEAD de Administração, Universidade Federal do Rio de Janeiro BACK, F e CHOE, M The pricing of options and corporate liabilities Journal of Political Economy, 81 (3): 637-59, May 1973 BRATEY, P; FOX, B e CHRAGE, E A Guide to imulation, 2nd e, 1987 BOYE, PP Options: A Monte Carlo approach Journal of Financial Economics, v4, p323-338, 1977 BROADIE M e GAERMAN P Estimating ecurity Price Derivatives Using imulation Management cience, 42 (2): 268-285, 1996 CHARNE J M Using imulation for Option Pricing In Proceedings of the 2000 Winter imulation Conference, ed J A Joines, R R Barton, K Kang, and P A Fishwick, 2000 HANEN, AT e JORGENEN, P Analytical Valuation of Amercan-style Asian Options Working Paper eries id=87888, November, 1997 wwwssrncom acessado em 18 de abril de 2003 HU, J C Options, Futures and Other Derivatives Prentice Hall Fourth Edition, 1999 MCKAY, MD, BECKMAN, RJ e CONOVER, WJ A Comparison of Three Methods for electing Values of Input in the Analysis of Output from a Computer Code Technometrics, vol21, 2, May, 1979 MIEVKY, M e PONER, AIAN OPTION, The um of ognormals and the Reciprocal Gamma Distribution Journal of Financial and Quantitative Analysis, eptember 1998 MOREIRA, F Estudo Comparativo dos Métodos de Quasi-Monte Carlo, Amostragem Descritiva, Hipercubo atino e Monte Carlo Clássico na Análise de Risco 2001 155p Dissertação (Mestrado em Administração) - Instituto COPPEAD de Administração, Universidade Federal do Rio de Janeiro NEAVE, H e YE, G Pricing Asian Options using path bundling ocial cience Research Network Electronic Paper Collection: http://papersssrncom/abstract=284888, 2000 AIBY, E Descriptive ampling: An Improvement Over atin Hypercube ampling In: Proceedings of the 1997 Winter imulation Conference, ed Andradóttir, KJ Healy, DH Withers and B Nelson, 1997 Repensando a imulação: A Amostragem Descritiva Ed Atlas, 1989 Descriptive ampling: A Better Approach to Monte Carlo imulation Journal of the 559

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