1 Impacto do trabalho de lógicos e matemáticos na concepção e evolução da lógica e da computação Bruno Silva Guedes 1 Leonardo Roveda Faganello 2 Thiago Caberlon Santini 3 (artigo escrito para trabalho da disciplina INF05508 Lógica para Computação) Resumo A ciência da lógica e sua aplicação na computação não foram elaboradas de uma hora para outra, e sim, desenvolvida através de mais de 150 anos pelo empenho e trabalho de vários lógicos e matemáticos que se dedicaram a desenvolver os axiomas e teoremas que hoje regem desde celulares até supercomputadores. Este artigo versará sobre a vida e obra de alguns desses cientistas, analisando a produção de cada um e sua respectiva importância na evolução da ciência. 1 Graduando em Engenharia de Computação Universidade Federal do Rio Grande do Sul E-mail: bsguedes@inf.ufrgs.br 2 Graduando em Engenharia de Computação Universidade Federal do Rio Grande do Sul E-mail: lrfaganello@inf.ufrgs.br 3 Graduando em Engenharia de Computação Universidade Federal do Rio Grande do Sul E-mail: tcsantini@inf.ufrgs.br Março de 2008 INF05508 Lógica para Computação
2 INTRODUÇÃO O desenvolvimento das ciências e do conhecimento sempre foi fruto do extenso trabalho e afinco de inúmeros pesquisadores, não importa de qual área do conhecimento nos refiramos. Com a lógica, e particularmente a computação, não foi diferente. Desde o século XIX, quando os teoremas que hoje conhecemos como Lógica foram fundamentados e desenvolvidos, muitas pessoas trabalharam sobre essa descoberta teórica para desenvolver sua aplicação, no caso, a computação. Claro que, dentre estas pessoas, algumas se destacaram por terem produzido os resultados mais importantes ou aplicáveis. E é sobre a vida e a produção científica destas pessoas que este artigo discursa. Desde os pilares básicos da Lógica Moderna no século XIX com Frege e De Morgan até aos cientistas considerados pais da computação, como Turing e Boole.
3 OS PRIMEIROS PASSOS DA LÓGICA MODERNA Os pilares da lógica foram fundamentados e desenvolvidos desde a Antiguidade, iniciando por Aristóteles. Mas ela só tomou caráter científico no século XIX. Um dos responsáveis por isso foi Augustus De Morgan (1806-1871), matemático e lógico nascido na Índia, mas que ainda criança foi para a Inglaterra, centro do mundo científico no início da Idade Contemporânea. Trabalhando na matemática, e principalmente na lógica, durante toda sua vida, formalizou símbolos e leis algébricas e lógicas até um nível não encontrado na época. De Morgan formulou as leis de De Morgan da Lógica, que em palavras, dizem que a negação da conjunção (o AND) de duas proposições é a disjunção (o OR) das duas proposições negadas separadamente, e vice-versa (o mesmo vale apenas trocando as palavras conjunção e disjunção de local). De Morgan também introduziu o conceito de Indução Matemática, até então não formulado na época, o que se mostrou depois uma poderosa ferramenta de demonstração de teoremas. O outro grande matemático de importância para a lógica no século XIX foi George Boole (1815-1864). Boole é o fundador da conhecida Álgebra Booleana, uma estrutura algébrica muito importante. Embora seu trabalho não parecesse ter alguma aplicação prática na época, sete anos após sua morte, Claude Shannon 4 escreveu uma tese no MIT 5, sobre possíveis aplicações da Álgebra Booleana, como, por exemplo, aplicação em circuitos elétricos, o que torna o trabalho de Boole o início da fundação de circuitos digitais, posteriormente utilizados amplamente na computação. Devido a isso, também é considerado um dos fundadores da Ciência da Computação, embora os computadores ainda nem existissem em seu tempo. Boole morreu em 1864, sofrendo de pneumonia, embora tenha continuado pesquisando na área até o fim de seus dias. A QUESTÃO DA FORMALIZAÇÃO MATEMÁTICA Na transição do século XIX para o século XX aparece o trabalho daquele que é considerado o maior lógico de todos os tempos: Gottlob Frege (1848-1925). Frege escreveu, no ano de 1879, Begriffsschrift, um livro em que o autor sugere uma linguagem para a lógica, em alguns casos utilizando notações pouco modificadas em 4 Engenheiro Elétrico, considerado pai da Teoria da Informação. 5 Massachussets Institute of Technology.
4 relação às que usamos atualmente. Apesar de ser um livro simples, é considerada a mais importante publicação de lógica até então (na verdade, desde que Aristóteles 6 criou os conceitos básicos da ciência). Seu trabalho influenciou muitos lógicos que vieram depois, como Russell, Wittgenstein e Whitehead. Frege ainda buscou unificar um padrão para demonstrações matemáticas, o que certamente foi muito importante para a lógica, e posteriormente, o desenvolvimento da computação. Até seu tempo, as demonstrações eram freqüentemente incorretas, nunca obedecendo a uma linguagem formal e unificada. Frege iniciou essa padronização, que depois foi aperfeiçoada por Hilbert. No século XIX tivemos ainda o trabalho menos destacado de Charles Sanders Peirce (1839-1914). Não que ele seja menos importante, mas este matemático se dedicou mais à Filosofia e outros assuntos menos relacionados ao escopo deste artigo. Na área de Lógica, Peirce demonstrou que qualquer expressão lógica pode ser reduzida em apenas operadores NAND ou apenas em operadores NOR. Também formulou axiomas da Teoria de Conjuntos e outros trabalhos de menor importância. Peirce influenciou, junto com De Morgan e Boole, o trabalho de um dos mais importantes pensadores da Lógica e da Teoria da Computação: Bertrand Russell (1872-1970). Britânico, Russell possuía vários campos de atividade, como filosofia, história, lógica e matemática. Também era um ativista nas lutas sociais e um pacifista. Se envolveu em críticas e campanhas antiguerra e chegou até a ser demitido e preso por isso durante a Primeira Guerra Mundial. Durante o período na prisão, escreveu uma de suas obras mais significantes Introduction to Mathematical Philosophy. Ganhou, em 1950, um prêmio Nobel de literatura, em reconhecimento à sua obra humanitária e seus princípios de liberdade de pensamento. Seu trabalho posteriormente foi aplicado na Ciência da Computação e na Tecnologia de Informação. Membro da Royal Society, e co-autor de Principia Mathematica (junto com Alfred N. Whitehead), ganhou fama no campo da Matemática por volta de 1911. É considerado um dos fundadores da filosofia analítica, e adotou o princípio de William 6 Filósofo grego, com inúmeros trabalhos em lógica, geometria e álgebra.
5 of Ockahm (Navalha de Occam 7 ) como parte central de seu método de análise. É de sua autoria também o Paradoxo de Russell, que basicamente se resume ao paradoxo do barbeiro: considerando um barbeiro que faz a barba de um grupo de homens, que não se barbeiam, e não faz a barba de mais ninguém, então chegamos a uma contradição: se o barbeiro não se barbeia a si mesmo, então terá de fazer a barba a si mesmo. Porém, se o barbeiro se barbeia, então ele não poderá se barbear a si mesmo, de acordo com a hipótese. O matemático que compartilhou a autoria de Principia Mathematica com Russell foi Alfred North Whitehead (1861-1947). A obra pode ser considerada uma expansão de Begriffsschrift, uma nova tentativa de compilar os teoremas e axiomas desenvolvidos até então na área de lógica, teoria dos conjuntos e teoria dos números. Russell e Whitehead publicaram os três primeiros volumes de Principia entre 1910 e 1913. Essa foi basicamente a participação mais importante de Whitehead no desenvolvimento da lógica, já que ele se dedicou a dar aulas na University College London de Londres e à Filosofia pelo resto de sua vida. O Principia é considerado um sistema, no sentido de possuir seus próprios axiomas e teoremas. A questão da consistência de sistemas diz que, ou alguma contradição poderia ser derivada dos axiomas do Principia (inconsistência), ou então alguma das declarações do Principia não poderiam ser provadas dentro desse sistema. Kurt Gödel (1906-1978) encontrou a resposta. Nascido onde atualmente está a República Tcheca, Gödel foi um dos mais importantes lógicos de todos os tempos. Seu trabalho teve imenso impacto na ciência do século XX. É mais conhecido por seus dois teoremas da incomplitude. O mais famoso entre eles mostrava que um sistema que podia descrever a aritmética dos números naturais possuía duas proposições: - Se o sistema é consistente, ele não pode ser completo; - A consistência dos axiomas não pode ser provada dentro do sistema. Logo, se um sistema não pode provar sua própria consistência, ele não pode demonstrar a consistência de nenhum sistema matemático mais complexo. Esse 7 Princípio lógico que assume que toda e qualquer explicação sobre algum fenômeno deve utilizar apenas as hipóteses necessárias para a demonstração daquele fenômeno, descartando qualquer hipótese supérflua que não altera a hipótese inicial.
6 teorema termina o trabalho proposto por Frege, pelo Principia Mathematica, e pelo 'Formalismo de Hilbert', que tentavam encontrar um conjunto de axiomas para toda a matemática. Esse teorema também prova, que nem todos os problemas matemáticos são computáveis. Basicamente, uma fórmula é improvável em um sistema formal. Se for provável, é falso, o que contradiz o fato de que em um sistema consistente, proposições prováveis são sempre verdadeiras. Gödel também fez importantes contribuições para conexões entre a lógica clássica, a lógica intuitiva e a lógica modal. A resolução do problema da incomplitude de sistemas é a resposta para um dos 23 problemas 8 sugeridos por David Hilbert (1862-1943), matemático alemão, em 1900. Hilbert, assim como Russell, Frege e Whitehead, sempre tentou uma maneira de formar um conjunto de axiomas e teoremas matemáticos. Embora seu objetivo não tenha sido alcançado, ainda assim seu trabalho ajudou a desenvolver a lógica a um nível que pôde ser posteriormente aproveitada por Turing e Church para estabelecerem as bases da Teoria da Computação e da Teoria da Recursão. Influenciado pelos sistemas de Lógica de Russell e Frege, Ludwig Joseph Johann Wittgenstein (1889-1951), procurou, e achou ter conseguido, resolver os problemas da Filosofia com a publicação de seu primeiro e único livro publicado em vida: Tractatus Logico-Philosophicus, datado de 1921. Nesta época se dá o recesso de Ludwig, que só retorna a estudar em Cambridge em 1929, ano em que consegue seu Doutorado usando como tese seu Tractatus, após perceber que não havia resolvido todos os problemas da Filosofia. Aqui começa sua segunda fase científica, que se prolonga até dois anos após sua morte com a publicação das Investigações Filosóficas (1953), onde mais uma vez tenta resolver os problemas da Filosofia. Os trabalhos de Wittgenstein possuíam um enfoque muito mais filosófico do que lógico, porém eles apresentam algumas inovações em lógica, em especial uma versão da tabela verdade. 8 A lista inicial de Hilbert continha vinte e quatro problemas, mas decidiu por não usar um deles que falava sobre Teoria da Prova. Dos 23 problemas originalmente propostos, sete ainda estão em aberto.
7 O mais ativo autor de obras versando sobre a Lógica no século XX foi o matemático Alfred Tarski (1901-1983). Polonês, é considerado um lógico do calibre de Gödel e Frege, devido ao extenso arsenal de publicações que escreveu durante sua vida. Tarski trabalhou e orientou doutorandos nas áreas de teoria dos conjuntos, teoria dos números, álgebra, geometria, e é claro, Lógica. Conheceu Gödel, com quem teve a oportunidade de discutir questões sobre os teoremas da incomplitude e da formalização matemática. Escreveu sobre métodos axiomáticos e dedutivos que formalizam a apresentação de teoremas e demonstrações matemáticas, numa área conhecida como metamatemática. AS TEORIAS DA LÓGICA APLICADAS NA COMPUTAÇÃO Após a resolução de todas as discussões envolvendo axiomas e teoremas, demonstrações e conjectura, os estudiosos começaram a pensar em aplicar os conhecimentos desenvolvidos em mais de cem anos em alguma coisa mais prática. A aplicação da Lógica na Computação se deveu principalmente a dois estudiosos do início do século XX. Suas pesquisas impulsionaram o desenvolvimento de sistemas de computação baseados na álgebra de Boole. São o matemático inglês Alan Mathison Turing (1912-1954) e o pesquisador americano Alonzo Church (1903-1995). Church trabalhou principalmente nas áreas de lógica matemática, teoria da recursão e teoria da computação. Seus trabalhos ajudaram a ligar o computador com a Máquina de Turing. Além disso, a tese de Church-Turing fez surgir à sistematização e desenvolvimento de funções recursivas, que haviam sido propostas por Jacques Herbrand (1908-1931). Apesar de sua curta vida, Herbrand criou o chamado Universo de Herbrand 9, onde introduziu a recursividade, ferramenta extremamente útil que tornou possível a resolução de diversos tipos de problemas tanto em computação quanto em lógica. Também desenvolveu o Teorema de Herbrand, muito usado na demonstração automática de teoremas. Alonzo Church também influenciou fortemente as linguagens de programação (especialmente as linguagens funcionais) com seu Cálculo Lambda, uma espécie de linguagem de programação primitiva, onde funções podem ser combinadas de modo a 9 O Universo de Herbrand define recursivamente o conjunto de todos os termos que podem ser compostos aplicando uma composição funcional a partir de símbolos básicos.
8 formar outras funções e são usadas variáveis como argumentos que podem ser retornadas com o valor de outra função. Considerado o pai da Ciência de Computação moderna, Turing é o maior responsável pelo desenvolvimento da Teoria da Computação no século XX. Também atuante no campo da lógica e da criptografia, o inglês criou diversas técnicas de quebra de criptografia, e trabalhou na Bletchley Park (central britânica de quebra de códigos) durante a Segunda Guerra Mundial. Criou o primeiro programa de computador, que nunca foi compilado. Turing teve contribuições importantes nos conceitos de algoritmo e computação, com a Máquina de Turing (dispositivo simples que, segundo Turing, é capaz de resolver qualquer problema matemático 10 que possa ser representado sob a forma de um algoritmo), bem como no campo de inteligência artificial. Entre 1937 e 1938 Turing estudou orientado por Church. Em 1938, sua dissertação para o Ph.D. introduziu a noção de computação relativa, possibilitando o estudo dos problemas que antes não podiam ser solucionados pela Máquina de Turing. Dentro dos estudos de inteligência artificial, Turing tentou elaborar o primeiro programa de xadrez para um computador. Turing jogou uma partida simulando o computador, demorando meia hora para cada movimento. Por fim, o programa foi derrotado pelo colega de Turing, Alick Glennie 11. 10 Posteriormente, foi provado que há problemas matemáticos que não podem ser solucionados com a Máquina de Turing, o que se tornou o estudo central da Teoria de Computação. 11 Cientista da Computação, criou em 1952 o AutoCode, primeiro compilador de programas de computador.
9 CONCLUSÃO Conforme dito e exemplificado, o desenvolvimento da Lógica e da Computação foi construído aos poucos, porém em um intervalo historicamente curto de tempo. Ao contrário da Mecânica ou da Geometria que vêm sendo estudadas há mais de 2000 anos, a Lógica se assemelha ao Eletromagnetismo, que só veio ser fortemente estudado desde a Revolução Francesa. A computação, por outro lado, só veio surgir no século XX, no início de forma lenta, e nas últimas três décadas de forma assustadoramente rápida. O trabalho dos quatorze estudiosos destacados nesse artigo foi fundamental para o estágio de conhecimento que hoje possuímos nas duas áreas. A percepção destes cientistas de que a Lógica, estruturada em seus axiomas e teoremas, poderia ter uma aplicação do porte da computação, foi essencial para o patamar em que hoje nos encontramos.
10 BIBLIOGRAFIA WILLIAMS, Gerald E. Boolean Algebra with computer applications, McGraw- Hill Book Company, New York, 1970. HUTH, Michael. Logic in Computer Science, Cambridge University Press, Cambridge, 2000. MENEZES, Paulo B. Matemática Discreta para Computação e Informática, Série Livros Didáticos do Instituto de Informática, Editora Sagra-Luzzatto, Porto Alegre, 2006. TEUSCHER, Christof. Alan Turing: Life and Legacy of a Great Thinker, Springer-Verlag, 2004. KLEENE, Stephen C. Mathematical Logic, John Wiley & Sons Inc., 1967. GRAYLING, A. C. Wittgenstein, A Very Short Introduction, 2001. WHITEHEAD, Alfred North. RUSSELL, Bertrand. Principia Mathematica, The University Press, Cambridge, 1910. CHURCH, Alonzo. A bibliography of symbolic logic. Journal of Symbolic Logic 1: 121-218; 3:178-212, 1918. CIRCUMSCRIPTIONSv0ikipediaSvCisponÌvelvemâv FhttpâççenSwikipediaSorgçwikiç1ircumscriptionESvWcessovemâvxõvjunSvíõ õ(s