2º Caderno de Exercícios

2º Caderno de Exercícios Exercícios Referentes ao Capítulo 3 do Programa 1. Certo capital C 0 foi investido durante n anos em regime de capitalização composta à taxa de juro anual i. Sabendo que se tivéssemos prolongado mais um ano aquele investimento o seu valor incrementarse-ia de 41.600$00, ou seja, atingiria 81.600$00 mais do que o valor acumulado ao fim do período n-1, determine: a) O valor de i. b) Para n=3: b1) O valor de C 0 b2) O montante de juros totais e do juro de juro do terceiro período. 2. Certo indivíduo comprou um automóvel cujo preço de pronto pagamento era de 150 contos, nas - uma prestação de 160 contos a realizar no fim do primeiro ano. - outra prestação final de 25 contos a entregar no fim do 2º ano após a celebração do contrato. Determine a taxa de juro composta semestral implícita nesta venda a prazo. 3. A comprou a B um lote de mercadorias por 100 contos. Como de momento A não dispunha da verba necessária para o seu pagamento, ficou combinado que A liquidaria o valor da factura ao fim de ano e meio, acrescido de juros calculados à taxa anual nominal de 12% com capitalização mensal. Calcule, nestas condições, o valor de pagamento. 4. A depositou uma certa quantia num banco que remunera semestralmente os capitais à taxa anual nominal i (2). Passados 2 anos, fez um levantamento de 80 contos, precisamente 1/3 do valor até então acumulado, realizando um ano depois um segundo depósito, no valor de 150 contos, ficando assim a sua conta bancária com o saldo de 326,4 contos. Em face do exposto determine: a) A taxa i (2) declarada pelo banco. b) A quantia inicialmente depositada. 5. A determinado detentor de poupança depararam-se 3 alternativas de aplicação: 1ª - Empréstimo à taxa de juro anual de 5% durante 10 anos em regime composto. 2ª - Aquisição de títulos de empréstimo reembolsáveis ao fim de 10 anos, sendo o valor do reembolso de 150% do valor subscrito. 3ª - Depósito renovável ano a ano com capitalização de juros vencidos à taxa de juro anual de 4% durante os 5 anos iniciais e de 6% durante os 5 anos seguintes. Determine a hipótese por que deve optar o capitalista. 6. Certa empresa solicitou a um banco apoio financeiro para reconversão e modernização do seu processo de fabrico e instalações. A operação foi aprovada nas - montante: 5.000 contos; - amortização de capital e juros em 10 semestralidades constantes, vencendo-se a primeira 12 meses após a aprovação da operação; - taxa de juro: 7,5% semestral efectiva. Em face do exposto, determine o valor de cada semestralidade. 1

7. A empresa X adquiriu em 30/6/77 uma máquina industrial à empresa Y, tendo sido estabelecido no contrato que o pagamento seria feito da forma seguinte: - 6 prestações anuais de 60 contos cada, vencendo-se a primeira em 30/6/78; - 5 prestações igualmente anuais, mas de 40 contos cada, vencendo-se a primeira em 31/12/78; -1 prestação final de 100 contos a efectuar em 31/12/83. Pretende-se saber o preço de venda da máquina transaccionada, sabendo que a taxa de juro estipulada foi de 18% anual nominal, capitalizável semestralmente. 8. A Empresa E contraiu um empréstimo junto do Banco B, de 150.000 contos com vista à renovação do seu equipamento. Este foi concedido em 1/3/88 pelo montante pedido. A forma de amortização acordada foi: - 15 pagamentos anuais iguais e consecutivos - o primeiro pagamento ocorreria em 1/3/90 - a taxa de juro anual efectiva seria de 24% Na passada semana, e tendo em consideração o estado financeiro da tesouraria da Empresa, esta informou o Banco B, da impossibilidade de continuar a honrar os seus compromissos, o que já incluiria a prestação que se venceria em 1/3/94. Hoje, o Banco B informa a Empresa, que aceita a prorrogação do prazo de amortização nas - 50 pagamentos trimestrais iguais e consecutivos - o primeiro pagamento ocorreria em 1/3/96 - a taxa de juro anual efectiva seria de 27% Assim a Empresa E solicita-lhe que determine: a) O valor de cada um dos pagamentos inicialmente previstos. b) O valor de cada um dos novos pagamentos de acordo com a proposta apresentada pelo Banco B. c) Se a Empresa aceitasse a proposta apresentada pelo Banco quais seriam os juros totais pagos pela mesma (quer os já pagos, quer os ainda por pagar). 9. O Sr. A vem fazendo depósitos trimestrais de 400 contos desde há 5 anos atrás numa instituição financeira, que remunera os depósitos da seguinte forma: - Saldos até 5.000 contos i (4) =12% - Saldos iguais ou superiores a 5.000 contos i (12) =15% a) Calcule o saldo da conta do Sr. A hoje, logo após o 21º depósito. b) Hoje o Sr. B pediu um financiamento ao Sr. A de 4.000 contos o qual seria pago através de 16 prestações bimensais, iguais e postcipadas calculadas à taxa de juro i (6) =18%. Calcule o valor de cada uma dessas prestações. c) Sabendo que a partir de hoje os únicos movimentos efectuados na conta do Sr. A têm sido os depósitos correspondentes aos recebimentos de B, calcule o saldo da sua conta bancária daqui por 4 anos. 2

10. Uma empresa com o fim de se reestruturar financeiramente, pediu em 21-9-90 um empréstimo bancário de longo prazo, ao Banco A. Berto SA, o qual lhe foi concedido nas seguintes condições: - Montante 150.000 contos - Prazo de diferimento 2 anos - Taxa de juro anual nominal i (4) = 16% - Pagamento de juros e Capital em 20 prestações trimestrais iguais, ocorrendo a primeira em 21-9-92. A empresa aceitou as condições, por lhe parecer que as poderia cumprir. a) Determine o montante de cada prestação. b) Qual o montante de Juros Totais envolvidos nesta operação? c) Ontem, 19-9-94, a empresa verificou que lhe era impossível cumprir a prestação que se vence amanhã, pelo que propôs ao banco uma renegociação do contrato, a qual foi hoje (20-9- 94) aceite nas - Pagamento do montante em dívida em 12 prestações semestrais iguais, vencendo-se a primeira em 21-9-95. - Acréscimo de 2 pontos percentuais à taxa de juro nominal inicialmente contratada, sendo esta agora de capitalização semestral. c1) Calcule o montante em dívida em 21-9-94. c2) Calcule o valor da próxima prestação da empresa. 11. A empresa Alfa Ldª recorreu a um conjunto de 12 financiamentos anuais, junto do Banco Beta, o qual exige uma remuneração de 24% anual efectiva. Após o último financiamento (2/2/90) a dívida total da Empresa Alfa perante o Banco Beta ascendia a 120.000 contos. A forma inicial de amortização acordada previa: - 24 pagamentos trimestrais iguais e consecutivos; - O primeiro pagamento ocorreria em 2/2/91; - A taxa de juro manter-se-ia em 24% anual efectiva até 2/2/94; - A partir de 2/2/94 e anualmente a taxa de juro seria reajustada pelo Banco. Determine: a) O valor de cada um dos financiamentos feitos pelo Banco à Empresa. b) A Empresa foi notificada pelo Banco que "a taxa de juro será de x % a partir de 2/2/94", o que levou a mesma a liquidar hoje o montante ainda em dívida. b1) Qual o montante pago hoje (2/2/94) por Alfa a Beta? b2) Qual o montante de juros totais pagos por Alfa a Beta? 12. O Sr. A tem vindo a projectar a concretização de um sonho, a realização de uma viagem à volta do mundo. No final de Junho, e após ter consultado o mercado, verificou que se pretendesse efectuar a viagem nesse momento, necessitaria de um montante de 4.000 contos. Decidiu então iniciar de imediato um Fundo de Acumulação de modo a que daqui por 3 anos possa dispor do montante necessário para a realização do seu sonho. Este Fundo de Acumulação será realizado através de 11 depósitos trimestrais, de igual valor, relativamente aos quais vigora uma taxa de juro anual nominal com capitalização mensal r (12) = 18%. Admitindo que o valor nominal dos custos da sua viagem aumentarão nos próximos 3 anos de acordo com a taxa de inflação média verificada nos últimos 5 anos, determine: a) Qual o montante mínimo de cada depósito trimestral a ser realizado pelo Sr. A no respectivo Fundo de Acumulação? b) Qual o juro total obtido nesse Fundo de Acumulação? 3

c) Qual o acréscimo no valor das prestações originado pela inflação? Nota: Taxas de inflação nos últimos 5 anos: 12%, 10%, 9%, 6% e 5% 13. Hoje, a empresa Alfa, após o pagamento da 30ª prestação, tem um capital em dívida de 150.000 contos, resultante de ter pedido há 18 anos atrás um empréstimo junto da Banca nas Montante? Prazo de diferimento: 3 anos Taxa de juro anual nominal: r(2) = 10%, a qual pode vir a ser revista após o pagamento da 30ª prestação Forma de amortização: 60 prestações semestrais e postcipadas, sendo: - as primeiras 30 de valor X e destinadas unicamente ao pagamento dos juros periódicos; - e as restantes 30 de valor Y, destinadas a pagar juros e capital. a) Calcule o valor da prestação Y. b) Calcule o montante do empréstimo inicial. c) Sabendo que hoje a taxa de juro anual nominal foi renegociada, aumentando em 2 pontos percentuais, qual será a variação absoluta sofrida pelo total de juros do empréstimo, devido a esta alteração da taxa? 14. Uma família obteve hoje um financiamento de 20 000 contos para a compra de uma habitação. Do contrato constam as - amortização através de uma renda anual, postcipada de n termos, a iniciar-se daqui a um ano, de valor constante de 2000 contos. - o último pagamento (inferior a 2000 contos) é feito um ano após o pagamento do n-iésimo termo da renda constante. - a taxa de juro efectiva anual contratada foi de 7%. a) Determine durante quanto tempo tem lugar o pagamento anual de 2000 contos. b) Calcule os juros totais formados ao longo de todo o processo. c) Calcule o montante apenas respeitante à amortização de capital do 1º e do n-iésimo termos da renda constante. 15. Uma empresa pediu um financiamento de X contos para melhoramento da qualidade dos seus produtos. As condições de amortização aceites prevêem: Uma taxa de juro anual efectiva de 6% ao longo de todo o processo. Rendas anuais, postcipadas e imediatas. Durante os primeiros 12 anos, a amortização será feita com uma renda de termos constantes iguais a 10.000 contos. No fim desse prazo o capital em dívida (e após o pagamento da correspondente prestação) representava cerca de 32,52024% do valor inicial do empréstimo. Nos restantes n anos, a amortização será feita com uma renda anual de termos constantes iguais a Y. 4

a) Determine o valor do empréstimo inicial (X). b) Determine o montante de juros totais pagos no período dos primeiros 12 anos de amortização. c) Explicite (sem o resolver) na forma mais simplificada possível, um sistema de equações que lhe permitiria obter o número de anos da segunda fase da amortização (n) e o valor da prestação constante (Y), sabendo que o montante de juros totais pagos nesta segunda fase iguala o montante de juros totais pagos na primeira fase. 16. Uma empresa em dificuldades financeiras recorreu a um empréstimo junto de um banco nas Montante do empréstimo: 50 000 contos; Taxa de juro anual efectiva, acordada para todo o período do empréstimo: 10%; Pagamentos postcipados: - durante os três primeiros anos, o valor de cada prestação corresponde exactamente a 60% do montante dos respectivos juros anuais; - nos restantes anos, o valor de cada prestação é de 10.000 contos. Duração do empréstimo:? a) Determine o valor de cada uma das prestações anuais a pagar ao banco durante os três primeiros anos. b) Calcule o valor da dívida ao fim de quatro anos. c) Ao fim de quantos anos a empresa amortizará o empréstimo? d) Admita que as taxas de inflação na economia nos 4 primeiros anos do empréstimo foram de i 1 =2%, i 2 = -1%, i 3 =4% e i 4 =3%. Calcule qual foi o valor da taxa de juro anual efectiva em termos reais correspondente ao período dos primeiros quatro anos do empréstimo. 17. Há k períodos atrás foram depositados numa conta bancária 10.000 euros, em regime de capitalização composta, à taxa de juro anual nominal, de capitalização trimestral, de 20,304%. Sabendo que o juro hoje vencido foi de um determinado montante X, sendo o valor do juro de juro exactamente igual ao valor do juro simples, calcule: a) O valor k. b) O valor do capital acumulado ao fim de 27 trimestres. c) Sabendo que para extinguir esta conta bancária se efectuarão 15 levantamentos semestrais iguais e constantes de valor Y, ocorrendo o primeiro no final do 27º trimestre, determine Y. 18. Um empresário contraiu um empréstimo no valor de 1 000 000 euros numa instituição de crédito nas - taxa anual efectiva de 6,5%; - pagamento em 8 prestações de valor constante; - pagamento da primeira prestação um ano após a concessão do empréstimo, da segunda prestação seis meses depois da primeira, e das seis prestações seguintes com periodicidade mensal. a) Determine o valor de cada prestação a pagar pelo empresário à instituição de crédito. b) Calcule quanto o empresário deveria entregar à instituição de crédito se pretendesse saldar a dívida no momento do pagamento da 4ª prestação. c) Determine a diferença nos juros totais que seriam pagos nas duas hipóteses de amortização enunciadas. (Exame Janeiro de 2001) 5

19. A empresa de camionagem A Viagem teve necessidade de renovar o seu parque de viaturas, pelo que se dirigiu a uma instituição financeira adequada, tendo ambos acordado o seguinte: - Custo de aquisição das 20 viaturas: X. - No fim do prazo estipulado, a empresa financeira compromete-se a retomar a frota pelo valor de 0,2 X. - A amortização de empréstimo, durante o prazo estipulado, será feita através de prestações trimestrais postcipadas, nas Durante as oito primeiras trimestralidades, pagamento somente de juros. Durante as restantes vinte trimestralidades, pagamento de um valor Y constante e igual, para o pagamento dos juros e do empréstimo, de forma a liquidá-lo na sua totalidade Taxa de juro anual nominal com capitalização trimestral: i (4) = 16%. Sabendo que o primeiro dos 28 pagamentos é de 20.000 euros, calcule: a) O valor de X. b) O valor de Y. c) Os juros totais pagos d) A partir de que pagamento estará amortizado 60% do empréstimo. (Exame Setembro de 2001) 20. O Sr. A, sócio maioritário da empresa XYZ, tem hoje um saldo de 500.000 euros no Banco B. Este montante resultou de um conjunto de 15 depósitos trimestrais feitos pelo Sr. A, sendo os primeiros cinco de valor X e os restantes dez de valor 2X. O último depósito foi feito exactamente há seis meses atrás, e os juros foram calculados com base numa taxa de juro anual nominal, com capitalização trimestral, de i (4) = 6%. a) Determine os valores dos diferentes depósitos. b) Calcule os juros totais produzidos até hoje nesta conta. A empresa XYZ tem tido ultimamente problemas de tesouraria pelo que o Sr. A está disposto a financiar a sua empresa, através de n financiamentos trimestrais postcipados, de 25.000 euros, recorrendo para tal à sua conta bancária. c) Qual o número máximo de financiamentos de 25.000 euros que o mesmo pode fazer? d) Admitindo que ao fim de 16 financiamentos a empresa deixará de ter problemas financeiros, calcule o valor a pagar ao Sr. A um semestre após o último dos financiamentos, sendo os juros desta operação calculados com base numa taxa de juro anual nominal, com capitalização mensal, de i (12) = 12%. (Exame Janeiro de 2002) 21. Certo empresário contraiu um empréstimo no valor de 1 000 000 euros numa instituição de crédito para lançamento de uma nova actividade económica nas - taxa anual nominal de 8% com capitalização semestral; - pagamento em 8 prestações semestrais de valor constante; - pagamento da primeira prestação um ano e meio após a concessão do empréstimo; - a actividade inicia-se com a concessão do empréstimo e as respectivas receitas são apuradas e depositadas no final de cada semestre. 6

a) Determine o valor de cada prestação a pagar pelo empresário à instituição de crédito. b) Se o empresário renegociasse as condições de amortização imediatamente após o pagamento da quarta prestação inicialmente acordada, passando a taxa de juro anual nominal, com capitalização semestral, para 10% e o número total de semestralidades de 8 para 10, qual seria o acréscimo no valor dos juros totais envolvidos? (Exame Setembro de 2002) 22. O Sr Alexandre pretendia comprar uma habitação, mas apenas dispunha da verba necessária para o pagamento de 40% do valor do imóvel. A fim de conseguir a restante verba, o Sr Alexandre recorreu a um crédito do banco TAE. Ficou acordado que esse empréstimo seria amortizado nas montante do crédito de valor igual a 60% do valor total do imóvel 120 prestações mensais constantes de valor igual a 330,07 pagamento da primeira prestação um ano após a data de concessão do empréstimo taxa de juro anual nominal de capitalização mensal de 9% a) Determine o valor do imóvel. b) Determine o valor total dos juros pagos pelo Sr Alexandre ao banco TAE quando reembolsar a totalidade do capital em dívida. 3 anos após o pagamento da primeira prestação, o Sr Alexandre ganhou a lotaria e recebeu 150 000. Nessa data, decidiu reembolsar a totalidade do capital em dívida ao banco TAE. O restante foi investido num produto financeiro do banco FEP durante 5 anos. Este produto financeiro rende juros à taxa semestral efectiva de 2%. c) Determine o valor pago para amortizar integralmente o empréstimo. d) Calcule o valor do capital acumulado no banco FEP no final dos cinco anos e o montante de juros de juros obtidos nos dois primeiros anos. (Exame Janeiro de 2003) 23. O Sr. X depositou há um ano atrás 4.500 euros no Banco Universitário, o qual remunera tais depósitos à taxa de juro anual nominal i (4) = 8%. Como podia continuar a realizar poupanças, o Sr. X realizou quatro depósitos trimestrais e postcipados no valor de 1.500 euros. a) Qual o valor da conta do Sr. X no Banco Universitário no momento presente? b) Qual o valor dos juros obtidos até hoje? E o valor dos juros de juros obtidos no último trimestre? c) O filho do Sr. X entrou este ano para a Universidade. Assim, o Sr. X pretende iniciar daqui a um mês uma transferência mensal de 600 euros para uma conta do seu filho de modo a suportar as respectivas despesas escolares. Por quantos meses pode o Sr. X transferir aquele valor utilizando unicamente o saldo da conta que tem actualmente no Banco Universitário? (Exame Setembro de 2003) 24. O Sr. A, pessoa cautelosa, fazendo hoje 50 anos e prevendo a sua reforma daqui por 15 anos, pretende fazer um conjunto de depósitos trimestrais constantes e antecipados, de valor Y, de forma a que quando atingir a mesma tenha na sua conta bancária um saldo de 175.000. 7

A conta a ser constituída vencerá juros à taxa anual nominal, com capitalização trimestral, de i (4) = 4%. a) Determine o valor de cada depósito Y. b) Qual o valor dos juros totais produzidos durante os 15 anos? E o valor dos juros de juros durante o 1º ano desta aplicação? c) Qual o valor máximo que poderá ser levantado trimestralmente pelo Sr. A após atingir a reforma de modo a que a sua conta nunca se esgote? d) Admitindo que a variação média anual do IPC será de 3% determine o valor da taxa de juro anual real proporcionada pela aplicação em estudo. (Exame Janeiro de 2004) 25. O Sr. António comprou um barco de recreio em Setembro de 2002, para o qual prevê a necessidade de reparação passados quatro anos, ou seja, em Setembro 2006 (admita, para simplificação, a data 30/09/2006). Para não ter de mobilizar todo o dinheiro de uma só vez decidiu realizar um Fundo de Poupança unicamente para fazer face à despesa da reparação, através da realização de 12 depósitos trimestrais constantes e de valor igual a X, tendo efectuado o primeiro em 30/06/03. O Fundo de Poupança escolhido tem uma taxa de remuneração de i (4) = 8%. Tendo em conta que o juro de juro produzido no respectivo Fundo, durante o ano de 2003, foi de 3, determine: a) O valor previsto para a reparação. b) Quanto depositará o Sr. A no seu Fundo de Poupança. c) Quantos depósitos são necessários para acumular 50% do valor da reparação. (Exame Setembro de 2004) 26. Determinada instituição bancária remunera as poupanças, em regime de capitalização composta trimestral, praticando taxas de juro diferentes consoante o saldo da conta é inferior ou não inferior a 25 000. O Sr. Aguiar fez um depósito de 24 024,51. O valor acumulado era de 25 000 ao fim do primeiro ano e de 26 534,09 ao fim do segundo ano. Calcule: a) Os juros totais gerados ao longo dos dois anos. b) As taxas de juro anuais nominais praticadas pelo Banco. c) O valor do juro de juro gerado no primeiro semestre do primeiro ano. (Exame Janeiro de 2005) 27. A Empresa Kapa, tendo em vista a ampliação das suas instalações fabris recorreu a um financiamento nas Montante 10 000 000 Taxa de Juro (anual nominal) i (12) = 3 % Forma de amortização: 20 mensalidades constantes, sendo a primeira paga um ano após a data do financiamento. 8

Como hoje, data de pagamento da décima prestação, a Empresa Kapa apresenta uma boa capacidade financeira, está a ponderar na próxima prestação saldar a sua divida através de um único pagamento. a) Calcule o valor da mensalidade inicialmente acordada. b) Quais os juros totais que seriam pagos pela empresa até ao final do processo se não optasse por saldar a dívida antecipadamente? c) Na hipótese de saldar a dívida daqui a um mês, qual seria o valor a pagar? d) Calcule o valor da quota de capital amortizado contida na 3ª mensalidade. (Exame Janeiro de 2005) 28. Um cliente de um banco solicitou um empréstimo para construção de casa própria, tendo acordado para a fase de construção as montante global do empréstimo de 150 000 o qual é entregue ao cliente parcelarmente. As entregas são semestrais e correspondem a 20% do montante global. A primeira entrega ocorre no momento 0; taxa de juro anual nominal com capitalização mensal de 4,5%; processo de amortização: - desde o início do processo e até um ano após a realização da última transferência pelo banco, pagamento exclusivamente dos juros, no final de cada mês; - durante os vinte anos seguintes, prestações constantes pagas no final de cada mês de modo a amortizar completamente o empréstimo nesse prazo. a. Até ao momento em que o cliente começa a reembolsar o capital: i. Qual foi o maior valor de juro mensal pago? ii. Qual o montante total de juros pagos pelo cliente ao banco? iii. Qual o valor em dívida perante o banco? b. Sabendo que nos últimos vinte anos do processo a taxa de juro mensal efectiva é de 0,35% i. Qual o valor da prestação mensal? ii. Qual o montante total de juros pagos durante o primeiro ano de amortização? Qual o valor do capital em dívida no fim desse ano? iii. No momento em que se vence a última prestação mensal do décimo ano do prazo de amortização, o cliente pretende pagar a totalidade do capital em dívida, sendo penalizado em 10% do total de juros que teria de pagar até ao fim do prazo de amortização. Qual o valor a pagar nessa última prestação? (Exame Setembro de 2005) 9