Bertolo Ondas 1 INTRODUÇÃO 1 ONDAS Uma perturbação é uma modificação qualquer nas condições físicas de um meio. I Fig. 01 Trigal com corvos, tela pintada por Vincent van Gogh, em 1890 1. PULSO Você já deve ter brincado alguma vez de pular corda, com uma extremidade da corda presa num suporte e a outra na mão de seu amigo. O seu amigo produz um pulso, ou seja, uma perturbação na extremidade da corda que vai se propagar através desta para todos os seus pontos. Outro exemplo ainda seria um punhado de peças de dominó enfileiradas, na vertical e próximas umas Outro exemplo que podemos citar é o de uma gota lançada na superfície de um lago de águas calmas e tranqüilas. Nota-se que, a partir daquele ponto onde se provocou uma perturbação, pulsos se movimentam em círculo se afastando dele e vibrando todos os pontos do meio. das outras. Derrubando uma delas contra a seguinte, inicia-se um processo de transferência da perturbação de uma peça para outra, transferindo energia sem haver um deslocamento das peças ao longo de toda a sua extensão. É o efeito dominó!!!!. 1 Ao ler estas palavras, a informação chega até você na forma de ondas de luz, refletidas da página. Ao assistir a uma aula, as lições do professor chegam aos seus ouvidos sob a forma de ondas sonoras. A importância das ondas decorre do fato de que grande parte do contato que temos com o ambiente chega até nós em forma de ondas. Mas há ainda outra razão para as estudarmos. A matéria em escala atômica ou ainda menor exibe um comportamento ondular intrínseco. Para entendermos a natureza dos átomos, das moléculas e dos núcleos devemos primeiro estudar as ondas 1
Bertolo Ondas 2 Pulso é, portanto, uma perturbação dada num meio, que vai se propagar através deste, sem carregar matéria, apenas transportando energia. Quando provocamos uma perturbação no meio, estamos fornecendo energia que de alguma forma precisa se manifestar, e esta manifestação se dá através do pulso. 2. ONDAS Uma onda é uma sucessão periódica de pulsos (a fonte de pulso o faz continuamente e no mesmo ritmo) 2 A onda transporta energia e não a matéria do meio. Podemos verificar isto através de um barquinho da figura abaixo: Notamos que a onda ao passar pelo barco, o faz subir e descer, mas não o arrasta, uma vez que ele não se movimenta horizontalmente e sim oscila verticalmente, para permitir a passagem da perturbação. ONDA é uma sucessão periódica de pulsos que transporta energia sem transportar matéria do meio. OBS:- A matéria pode transferir energia de um ponto a outro. Ex:- balas de metralhadora transferem energia da pólvora para o alvo. As ondas também fazem isso, sem haver transporte de matéria!!!!!.
Bertolo Ondas 3 Em nossa vida diária, estamos continuamente em contato com diversos tipos de ondas. Algumas destas ondas são velhas conhecidas como é o caso do o som, o qual sem ele não existiria a comunicação verbal, muito menos a audição ou então a luz, responsável por fenômenos tão complexos como a visão dos animais e a fotossíntese das plantas, a qual sem ela não existira vida na Terra. Deste modo, algumas destas ondas podemos ver (luz, pulsos produzidos por uma corda esticada, ondas que se propagam na superfície da água quando algum objeto cai sobre ela, etc.), outras podemos ouvir (desde o mais irritante barulho, até a mais melodiosa sinfonia) e outras não podemos ver nem ouvir, mas nem por isso deixam de existir ou ter menor importância sobre os mecanismos que regem a natureza. 3. FORMAS DE ONDAS Podemos classificar as ondas, quanto à forma de propagação, em dois tipos: longitudinal e transversal. A. ONDA LONGITUDINAL 3 É a onda que se propaga num meio de forma que a direção de vibração coincide com a direção de propagação. Podemos citar como exemplo as ondas audíveis (ondas sonoras) que entram pela cavidade dos nossos ouvidos, vindas pela vibração das moléculas de ar. A variável física que oscila é a pressão. 2 Um movimento periódico produz um trem de ondas periódico, que transmite a cada partícula do meio um movimento periódico. O caso especial mais simples de onda periódica é a onda harmônica simples, que produz em cada partícula um movimento harmônico simples. 3 As ondas envolvem dois movimentos: o da própria onda através do meio e o das partículas no meio.
Bertolo Ondas 4 B. ONDA TRANSVERSAL É a onda que se propaga de forma que a sua direção de propagação é perpendicular à direção de vibração. Por exemplo, as ondas numa corda ou numa mola. 4 3. NATUREZA DAS ONDAS Podemos classificar as ondas quanto a sua natureza em Mecânicas e Eletromagnéticas. A. ONDA MECÂNICA A onda é dita mecânica quando só se propagar em meios materiais deformáveis ou elásticos, de forma a vibrar os pontos deste meio. Elas se originam de uma perturbação ou distúrbio numa região e tendo o meio, propriedades elásticas, o distúrbio é transmitido sucessivamente de um ponto a outro. As partículas do meio vibram somente ao redor de sua posição de equilíbrio, sem, no entanto, se deslocar como um todo juntamente com a onda. Ela pode ser longitudinal ou transversal. As ondas mecânicas podem ser descritas com auxílio da 2ª lei de Newton. Mais tarde mostraremos que há duas propriedades de um meio que regem o comportamento de uma onda mecânica: uma força restauradora e 4 A luz é uma onda transversal, mas as partículas do meio não vibram quando a luz passa. São campos elétricos e magnéticos que oscilam perpendicularmente à direção de propagação da onda
Bertolo Ondas 5 uma massa inercial. Em uma onda na água, por exemplo, a gravidade proporciona uma força que tende a restaurar a água à sua condição de equilíbrio (nivelada). Ou seja, a gravidade puxa a crista da onda para baixo e preenche os seus vales. Como a água tem uma massa inercial, ela ultrapassa a condição de equilíbrio: a perturbação persiste e a onda se propaga. B. ONDA ELETROMAGNÉTICA Uma onda é dita eletromagnética quando se propagar tanto no vácuo quanto em certos meios materiais, sem vibrar os pontos do meio. Por exemplo, a luz ou as ondas de rádio e TV, que podem se propagar no vácuo, ar, água, etc. A luz ao atravessar o ar, não vibra as suas moléculas. As variáveis físicas que oscilam são: o campo elétrico E e o campo magnético B em direções perpendiculares entre si e à direção de propagação. As ondas ainda podem ser progressivas ou estacionárias. Numa onda progressiva, cada partícula do meio vibra com a mesma amplitude, enquanto que numa onda estacionária a amplitude função da posição do ponto. EXEMPLO Nas últimas décadas, o cinema tem produzido inúmeros filmes de ficção científica com cenas de guerras espaciais, como Guerra nas Estrelas. Com exceção de 2001, Uma Odisséia no Espaço, estas cenas apresentam explosões com estrondos impressionantes, além de efeitos luminosos espetaculares, tudo isso no espaço interplanetário. a. Comparando Guerra nas Estrelas, que apresenta efeitos sonoros de explosão, com 2001, Uma Odisséia no Espaço, que não os apresenta, qual deles está de acordo com as leis da Física? Justifique. b. E quanto aos efeitos luminosos que todos apresentam? Justifique. Solução a. 201, Uma Odisséia no Espaço. O som, como é uma onda mecânica, não pode se propagar no espaço vazio. b. Todos os dois falham ao representar os fenômenos luminosos. Porque a luz, ao propagar pelo espaço (vácuo), não sofreria dispersão ou reflexão difusa. No caso ainda de Guerra nas Estrelas, as batalhas com laser não obedece ao princípio de independência dos raios de luz. Apesar de existirem ondas de origem e natureza diversas (luz é onda eletromagnética ao passo que o som é onda mecânica), todas elas possuem algo em comum: são energias propagando-se por um meio, que não é transportado nessa propagação. O estudo das ondas é relevante não só pela beleza de conhecer os mecanismos que produzem o pôr-do- Sol ou um arco-íris, mas pelos benefícios tecnológicos decorrentes a este estudo, como o advento dos meios de comunicação (telégrafo, o aparelho de AM/FM, a televisão, telefone, etc.), ou o uso dos Raios-X no diagnóstico de fraturas ou doenças, o qual fez emergir todo um campo da física aplicada à medicina. Por isto, os conceitos relativos à mecânica ondulatória são importantes para que se compreenda o mundo como ele é mesclando suas partes poéticas como a música com as tecnologicamente investigadas como a eletrônica. Instrumentos Eletrônicos Telecomunicações Microcomputadores
Bertolo Ondas 6 Para finalizar, com o aparecimento da mecânica quântica no começo do século XX, descobrimos que tudo o que existe na natureza vibra (átomos, moléculas, pêndulos, etc.), de modo que, hoje em dia, a compreensão dos fenômenos oscilatórios representa um papel primordial no entendimento do Universo. EXERCÍCIOS 1. Quando uma pedra cai num lago tranqüilo, formam-se ondas circulares. O fato das ondas serem circulares é uma evidência de que: a. as ondas transportam energia; b. as ondas transportam matéria; c. a velocidade de propagação das ondas é a mesma em todas as direções; d. a velocidade de propagação das ondas depende da densidade da pedra; e. n. d. a. 2. A figura mostra duas posições de um pulso que se propaga num fio de densidade constante. As condições são tais que cada ponto do fio só se desloca perpendicularmente à direção de propagação do pulso. A escala da figura é 1:1 e o intervalo de tempo entre as duas posições do pulso P 1 (inicial) e P 2 (posterior), é 1 segundo. A velocidade de propagação do pulso no fio é: a. 3 cm/s b. 2 cm/s c. 3 cm/s d. 4 cm/s e. 3 2 cm/s 3. A figura representa, nos instantes t =0 s e t = 2,0 s, configurações de uma corda sob tensão constante, na qual se propaga um pulso cuja forma não varia. a. Qual a velocidade de propagação do pulso? b. Indique em uma figura a direção e o sentido das velocidades dos pontos materiais A e B da corda, no instante t = 0 s. 4. GRANDEZAS ASSOCIADAS ÀS ONDAS Dada uma onda transversal, representada na figura abaixo, vamos para algumas definições: CRISTA:- é o ponto mais alto da onda. VALE:- é o ponto mais baixo da onda. AMPLITUDE:- é o máximo afastamento que essa onda é o máximo afastamento que essa onda apresenta em relação ao nível da corda esticada. COMPRIMENTO de ONDA λ (lâmbda) é o comprimento medido ao nível da corda esticada que compreende uma região completa de crista mais uma completa de vale. PERÍODO T da onda corresponde ao intervalo de tempo necessário para passar por um ponto da corda uma onda completa λ. FREQÜÊNCIA f da onda corresponde ao número de ondas λ que atravessam um ponto da corda a cada unidade de tempo. Unidades: [f] = s -1 = Hertz (Hz) 1 000 Hz = 10 3 Hz = kilohertz = khz 1 000 000 Hz = 10 6 Hz = MegaHertz = MHz
Bertolo Ondas 7 f 1 = T VELOCIDADE de ONDA v é representada por v e ela está na direção e sentido de propagação da onda. Para passar uma onda completa por um ponto da corda: s = λ e t = T s λ λ v = = = t T 1 f v = λ. f A relação acima determina a velocidade de propagação da onda ao longo da corda e não a velocidade dos pontos da corda. Os pontos da corda se movimentam na direção perpendicular ao movimento da corda e se for necessário calcular a sua velocidade escalar média, basta medir o deslocamento escalar no intervalo de tempo pedido e fazer a razão s e t. EXERCÍCIOS 1. Uma rádio FM opera na freqüência 105,9 MHz. Admitindo 3,0. 10 8 m/s como velocidade de propagação das ondas de rádio, ache o comprimento de onda de transmissão. 2. A freqüência da nota musical chamada dó central é 261,6 Hz. Determine o comprimento de onda da onda sonora que progride pelo ar quando um flautista toca o dó central (a nota mais baixa na flauta). A velocidade do som no ar na temperatura ambiente (20ºC) vale 344 m/s. 3. Em um lago o vento produz ondas periódicas que se propagam com a velocidade de 2 m/s. O comprimento de onda λ é 10 m. Determine o período de oscilação de um barco: a. quando ancorado nesse lago; b. quando se movimenta em sentido contrário ao da propagação das ondas, com uma velocidade de 8 m/s. 4. Pesquisas atuais das comunicações indicam que as infovias (sistemas de comunicação entre redes de computadores como a INTERNET, por exemplo) serão capazes de enviar informação através de pulsos luminosos transmitidos por fibras ópticas com freqüência de 10 11 pulsos/segundos. Na fibra óptica a luz se propaga com velocidade de 2.10 8 m/s. a. Qual o intervalo de tempo entre dois pulsos de luz consecutivos? b. Qual a distância (em metros) entre dois pulsos? 5. Um rádio receptor opera em duas modalidades: uma, AM, cobre o intervalo de 550 a 1550 khz e outra, FM, de 88 a 108 MHz. A velocidade das ondas eletromagnéticas vale 3.10 8 m/s. Quais, aproximadamente, o menor e o maior comprimento de onda que podem ser captados por esse rádio? a. 0,0018 m e 0,36 m. b. 0,55 m e 108 m. c. 2,8 m e 545 m. d. 550.10 3 m e 108.10 6 m. e. 1,6.10 14 m e 3,2.10 16 m.
Bertolo Ondas 8 5. ESTUDO MATEMÁTICO DE UMA ONDA Como vimos um pulso de onda é uma onda de extensão relativamente curta. Em razão dessa compacidade, podemos utilizar as fotografias de pulsos de onda para demonstrar algumas propriedades importantes das ondas. Nesta seção, usamos essas fotografias para descobrir a forma matemática de uma onda progressiva e para demonstrar o significado de alguns temos usados para descrever ondas. EXPRESSÃO MATEMÁTICA DE UMA ONDA PROGRESSIVA a. Um pulso se propagando para a direita quando visto pelo observador O no instante t = 0 b. A mesma situação num instante posterior t > 0 visto por º Tanto o pulso quanto O' se movimentaram a mesma quantidade vt em relação a O A figura acima mostra o esboço de um pulso em uma corda movendo-se para a direita com velocidade v em dois instantes diferentes. Aparece também um sistema de coordenadas com o eixo-x ao longo da corda não perturbada. Suponhamos que a forma da onda na corda em t = 0 seja dada pela expressão y = f(x) (Fig a). Em um instante posterior t, o pulso se deslocou de uma distância v.t para a direita (Fig b). Um observador O' viajando junto com o pulso o verá sempre em repouso no seu referencial, e este o descreverá por y' = f(x').se admitirmos que o pulso mantenha sua forma ao se mover (isto é não haja dispersão), teremos: y' = f (x') = f (x - vt) = y pois x' = x - vt e y' = y já que o pulso mantém a mesma forma. Logo, podemos escrever: y (x,t) = f ( x - vt) para um pulso movendo-se para a direita. As variáveis x e t devem sempre entrar nesta função na combinação x - vt, não importando qual seja a forma específica da função. Qualquer outra combinação de x e t levaria à situação fisicamente impossível onde diferentes observadores não poderiam conciliar suas observações. Por exemplo, este seria o caso da combinação x - 2vt estar dimensionalmente coerente, mas fisicamente impossível. Um exemplo de tal função f seria aquela que descreve uma sucessão de pulsos consecutivos que se estendem acima e abaixo da corda não-perturbada em movimento harmônico simples, isto é,
Bertolo Ondas 9 y (t) = A cos ( ω.t + θ 0 ) A: amplitude θ 0: fase inicial ω: pulsação Um pulso emitido em F (fonte) chega em P com um atraso t, então o M.H.S. em P está atrasado em relação ao M.H.S. realizado em F. Para o ponto P, temos y P = A. cos [θ 0 + ω. (t - t)]...acontece aí o que aconteceu em F no instante (t - t) Mas, x x λ v = t = e também v = λ. f = t v T Então x y = A. cos θ 0 + ω. t - ou v y = A. cos θ 0 + 2π. t T x - λ... função de onda harmônica progressiva EXERCÍCIOS 1. A função de onda de uma onda transversal progressiva numa corda é y = 20 sen [ π (0,01 x - 2,00 t )] na qual x e y são medidos em centímetros e t em segundos. Determine a amplitude, o comprimento de onda, a velocidade e a freqüência da onda. 2. A função de onda de uma onda transversal numa corda é y = 2 sen ( 0,628 x - 31 t ). Y é medido em metros, x em centímetros e t em segundos. Determine a amplitude, o comprimento de onda, a velocidade e a freqüência da onda. 3. Um vibrador ligado a uma mola espirada produz uma onda longitudinal harmônica que se propaga ao longo dela. A freqüência da fonte é de 100 Hz e a distância entre duas rarefações consecutivas na mola é de 0,05 m. a. Escreva a função onda, sabendo-se que o deslocamento longitudinal máximo de uma partícula da mola é de 1 cm. b. Determine a velocidade da onda nessa mola. 4. O deslocamento y de um ponto a 5 m da origem de uma onda senoidal que se propaga para a direita, no instante t = 0,15 s é de 1,2 m. O comprimento de onda da senóide é de 6 m, e a velocidade da onda é de 30 m/s. Calcule a amplitude da onda. 5. Para t = 0 a equação de uma onda senoidal é y = 0,2 sen (0,5 π x ), sendo y e x dados em cm. Para essa onda, calcule: a. sua amplitude b. seu comprimento de onda c. seu deslocamento para x = 0,50 cm; d. desenhe esta onda até 2 cm;
Bertolo Ondas 10 e. se essa onda se deslocar para a direita com velocidade de 50 cm/s, calcule seu deslocamento vertical para x = 0,66 cm no instante 0,0066 s; f. repita o item e para t = 0,04s e x = 0,5 cm. 6. Uma onda progressiva transversal numa corda longa é descrita pela função de onda y = 10 sen [ 90º (x - 2 t)] sendo y dado em cm, x em m e t em segundos. Desenhe a configuração da corda até x = 4 m para os instantes t = 0, (1/4)T, (1/2)T, (3/4)T e T. Determine a amplitude, a velocidade, o período e a freqüência da onda. 7. Uma onda senoidal se propaga ao longo de uma corda esticada. O ponto da corda na origem (x = 0) oscila da forma descrita pela equação y = A cos (ω t), onde A = 0,10 m e ω = 20 π s -1. O ponto localizado em x = 0,050 m oscila da forma descrita pela equação y' = A cos (ω t - π/4 ). a. Qual a freqüência da onda? b. Suponha que a onda se propague no sentido positivo dos x e que o seu comprimento de onda seja maior do que 0,050 m. Determine o comprimento de onda e a velocidade da onda. Escreva uma equação do tipo y = f(x, t) que descreva essa onda se propagando. 8. A equação para uma onda senoidal que se propaga é dada por y = 0,00500 cos [ 10,0 π x - 40,0 π t ] a. determine a direção de propagação, a amplitude, o comprimento de onda e a velocidade da onda. b. Qual é o deslocamento y em x = 0,0500 m nos instantes t = 0 s; t = 0,0125 s; e t = 0,0375 s? c. Qual o comprimento y para t = 0,0125 nas posições x = 0 m; x = 0,0500 m; e x = 0,150 m?
Bertolo Ondas 11 QUESTIONÁRIO DE REVISÃO 1. O que é uma onda? 2. Dê exemplos de onda. 3. O que as ondas em geral têm em comum? 4. O que caracteriza um tipo de onda? 5. Dê o exemplo mais comum de detetor de ondas eletromagnéticas. 6. Qual é a variável física que oscila numa onda sonora? 7. Dê o exemplo mais comum de detetor de ondas sonoras 8. Como se classificam as ondas quanto ao meio de propagação? 9. O que são ondas mecânicas? Dê exemplos. 10. Como as ondas mecânicas se propagam? 11. Como as ondas eletromagnéticas se propagam? 12. Como se classificam as ondas quanto a direção de propagação? 13. Defina: a. pulso b. trem de ondas 14. Conceitue: a. Onda progressiva b. Onda estacionária 15. O que são ondas harmônicas simples? 16. Defina período e freqüência de uma onda.