Matemática Elementar II Caderno de Atividades Autor Leonardo Brodbeck Chaves 2009
2008 IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais. C512 Chaves, Leonardo Brodbeck. Matemática Elementar I. Leonardo Brodbeck Chaves. Curitiba: IESDE Brasil S.A., 2009. 196 p. ISBN: 978-85-7638-798-5 1. Matemática. 2. Matemática Estudo e ensino. I. Título. CDD 510 Todos os direitos reservados IESDE Brasil S.A. Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482 Batel 80730-200 Curitiba PR www.iesde.com.br
Leonardo Brodbeck Chaves Mestre em Informática na área de Engenharia de Software pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Engenharia Elétrica com ênfase em Eletrônica também pela UFPR.
Sumário Contagem 11 1. A noção básica da Matemática: a contagem 11 2. O sistema de numeração decimal 13 Adição e subtração 17 1. A adição 17 2. A subtração 18 Multiplicação e divisão 21 1. A multiplicação 21 2. A divisão 23 Frações (I) 25 1. As frações 25 2. Resolução de problemas com frações 28 3. Frações próprias e impróprias 30 4. Simplificação de frações 31 Frações (II) 35 1. Mínimo múltiplo comum (m.m.c) 35 2. Adição e subtração de fração com o mesmo denominador 36 3. Adição e subtração de frações com denominadores diferentes 37 4. Multiplicação com frações 40 5. Divisão com frações 41 Potenciação 43 1. Potenciação 43
Expressões numéricas 47 1. Introdução 47 2. Regras para a resolução de expressões numéricas 47 Geometria (I) 53 1. Polígono 53 2. Ângulos 55 3. Triângulo 55 4. Quadrilátero 56 5. Perímetro de um polígono 57 6. Medida do comprimento da circunferência 62 Geometria (II) 65 1. Unidade de área 65 2. Áreas de figuras planas 66 3. Volumes 70 Razão e proporção 75 1. Razão 75 2. Proporção 79 3. Aplicando razão e proporção para calcular densidade volumétrica 80 Grandezas proporcionais (I): regra de três simples 85 1. Grandezas diretamente proporcionais 85 2. Grandezas inversamente proporcionais 88 Grandezas proporcionais (II): regra de três composta 95 1. Proporcionalidade composta 95 2. Regra de três composta 97
Porcentagem e juro 105 1. Porcentagem 105 2. Juro 111 Equações do 1. o grau 117 1. Introdução 117 Equações do 2. o grau 125 1. Noção de equação do 2. o grau 125 2. Forma geral 125 3. Solução de uma equação do 2. o grau 127 4. Resolução de problemas do 2. o grau 137 5. Problemas que envolvem equações do 2. o grau 138 Sistemas lineares 2 x 2 143 1. Introdução 143 2. Sistema de equações lineares 2 x 2 144 3. Solução de um sistema linear 2 x 2: método gráfico 144 4. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da substituição 146 5. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da comparação 151 6. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da adição 153 Radiciação 159 1. Introdução 159 2. Quadrados perfeitos 160 3. Raiz quadrada 161 Gráfico e função 163 1. Plano cartesiano 163 2. Função afim 164 3. Função quadrática 168
Apresentação O mundo moderno está repleto de idéias, modelos e aplicações matemáticas. E desde o surgimento do homem foi dessa forma. Quando vislumbramos o céu, a terra e o mar, encontramos inúmeras aplicações matemáticas: a) as colméias com os seus prismas hexagonais de seus favos; b) o círculo da lua cheia; c) um cristal de gelo com angulação precisa; d) as ondas, que trazem consigo o conceito de periodicidade; e) o sistema solar, que nos traz uma riqueza sem fim de relações geométricas, entre outros. Várias atividades do nosso cotidiano necessitam de ações que envolvam idéias matemáticas, como a aquisição de um plano adequado de financiamento (com menores taxas de juros do mercado), o controle do orçamento familiar (mediante a relação salário X gastos), a compreensão das escalas próprias de fenômenos da natureza (por exemplo, a escala Ritchter dos terremotos). Buscando um breve histórico, o homem, desde a época das cavernas, tem usado a Matemática para contar, medir e calcular. Ele dividia a caça em partes iguais
(conceito de frações), media um pedaço de pele com a finalidade de comparar comprimentos (idéias de menor e maior) e fabricava utensílios de barro que eram seus padrões de medida (idéia de volume). Desse modo, percebemos que o homem primitivo utilizava a Matemática para sua sobrevivência e transcendência como espécie humana, a partir de ações que demonstravam novas estratégias geradas pelo seu raciocínio lógico, frente às situações da realidade. A capacidade de desenvolvimento, a criatividade e a necessidade de adaptação do homem fizeram com que fossem desenvolvidas ferramentas de apoio com a finalidade de auxiliar a resolução de problemas com agilidade, assim surgiram os computadores. O computador é uma máquina que executa operações matemáticas construindo seqüências lógicas, resolvendo problemas e executando operações matemáticas com maior eficiência e rapidez, por sua capacidade de memória. Percebemos assim, que a Matemática nos ajuda a estruturar idéias e definições, nos auxilia no desenvolvimento do raciocínio por meio de modelos matemáticos com a resolução de problemas, promove a concentração e desenvolve a memorização. Assim, a Matemática é uma ciência dinâmica que se constitui como produto cultural do homem, que está em constante evolução, e estudar Matemática traz benefícios e desenvolvimento para a sociedade.
Porcentagem e juro 1. Porcentagem É usual nos cálculos financeiros utilizarmos a porcentagem com taxa. Isso permite que seja feito um cálculo direto, de acréscimos e descontos, sobre determinado valor. Exemplos: a) Um assalariado ganha um salário bruto de R$3.200,00. Descontando imposto de renda, contribuições previdenciárias e outras deduções, temos um total de desconto de 40%. Qual é o valor do salário líquido, que é o salário bruto com as deduções? Salário líquido = salário bruto deduções S L = S B D S L = (% de 3 200) (40% de 3 200) S L = 60% de 3 200 S L = 60. 3 200 S L = 0,60. 3 200 = 1 920 Resposta: O salário líquido é de R$1.920,00. Note que o fator de diminuição é 0,6: Usando taxas, bastaria calcular assim: S L = ( 40). 3 200 S L = 60. 3 200 S L = 0,60. 3 200 = 1 920
106 Matemática Elementar I Caderno de Atividades b) André tinha uma dívida no cartão de crédito de R$450,00. O juro mensal é de 11%. Qual é o total da dívida ao final de um mês? Montante = capital + juros M = C + j M = ( % de 450) + (11% de 450) M = 111% de 450 111 M =. 450 M = 1,11. 450 Note que o fator de aumento é 1,11. M = 499, 50 Resposta: O total da dívida (montante) será de R$499,50. Vamos calcular rapidamente então? Situação Cálculo do fator Operação Desconto de 10% % 10% = 90% = 90 = 0,90 Acréscimo de 3,5% % + 3,5% = 103,5% = 103,5 = 1,035 Desconto de 2% % 2% = 98% = 98 = 0,98 Multiplicar por 0,90 Multiplicar por 1,035 Multiplicar por 0,98 Para uma situação geral, temos: Se um valor V sofre um aumento percentual de uma taxa i, o novo valor é dado por: N = V + i.v = V(1+i), em que 1 + i é o fator de aumento. Da mesma maneira, se um valor V sofre uma diminuição percentual de uma taxa i, o novo valor N é dado por: N = V iv = V(1-i) onde 1 i é o fator de diminuição. Agora, vamos acompanhar alguns exemplos: 1. Calcule as porcentagens a seguir: a) 27% de 1 300 27 27% de 1 300 = 1 300 = 0,27. 1 300 = 351 fator
Porcentagem e juro 107 b) 3,7% de 8 500 3,7 3,7% de 8 500 =. 8 500 = 0, 037. 8 500 = 314, 50 fator 2. Com o auxílio de sua calculadora, resolva os seguintes problemas: a) O senhor Antônio aplicou a quantia de R$250,00 na caderneta de poupança. Qual é o seu saldo depois de 30 dias se naquele mês a aplicação rendeu no total 0,71%? N = V + iv N = V (1+ i) 0,71 N = 250 1+ N = 250 (1+ 0,0071) N = 250.1,0071 fator de aumento N = 251,78 Resposta: O seu saldo é de R$251,78. b) O preço de um televisor é de R$1.,00. Se for pago à vista, o desconto é de 8,5%. Se for comprá-lo à vista, qual o valor final? N = V + iv N = V (1 i) 8, 5 N = 1 1- N = 1. (1-0, 085) N = 1. 0, 915 fator N = 1 006,50 Resposta: O preço final será R$1.006,50.
108 Matemática Elementar I Caderno de Atividades 3. O senhor Antônio tem o salário de R$800,00 mensais. Ele receberá um aumento de 15%. De quanto será o aumento? 15 15% de 800 = 800 = 120 Resposta: O aumento será de R$120,00. 4. Calcule as porcentagens a seguir: a) 22% de 250 22 Resposta: 55. 250 = 55 b) 90% de 22 500 Resposta: 20 250. 90 22 500 = 20 250 c) 5% de R$120 Resposta: R$6. 5 120 = 6 5. O salário mínimo atual é de R$360,00. Entidades da classe pleiteiam um aumento de 15%. Se as reivindicações forem atendidas, qual será o valor do salário? Dica: para um cálculo rápido, multiplique 360 por 1,15. Assim: 360.1,15 = 414,00. S = SATUAL + aumento 15 S = 360 +. 360 S = 360 + 0,15. 360 S = (1+ 0,15). 360 S = 414, 00 Resposta: O salário será de R$414,00.
Porcentagem e juro 109 6. Dona Joana está pesquisando o preço de uma roupa que custa R$220,00. Se ela pagar à vista, o desconto é de 8%. Qual será o preço final se ela pagar à vista? Dica: para um cálculo rápido, multiplique 220 por 0,92. Assim: 220. 0,92 = 202,40. P FINAL = P ORIGINAL D 8 P FINAL = 220. 220 P FINAL = 220 0,08. 220 P FINAL = (1 0,08). 220 P = 202, 40 FINAL Resposta: O preço com desconto será R$202,40. Exercícios Resolva os exercícios que seguem: 1. Calcule as porcentagens a seguir: a) 2% de 530 b) 88% de 1 700 c) 6% de R$22.500,00
110 Matemática Elementar I Caderno de Atividades 2. Para pagamento a prazo, um calçado que custa R$80,00 terá um acréscimo de 11%. Qual é o valor do acréscimo? 3. O preço de um computador é de R$2.500,00. Se for pago a prazo, o preço sobe 7%. Qual é o preço a prazo? 4. O preço da gasolina, que era R$2,50 o litro, sofreu uma redução de 3%. Qual o valor do preço final?
Porcentagem e juro 111 2. Juro Juro é a remuneração que se paga por um capital emprestado por um certo período de tempo. 2.1 Juro simples O senhor José precisa de um empréstimo. Ele foi a uma financeira e obteve R$500,00 a ser pago dentro de 1 ano, com taxa de 20% ao ano. Quanto o senhor José pagará de volta à financeira? Quando fazemos um empréstimo bancário, pagamos juros. No caso do senhor José, ele terá de pagar ao banco o valor do capital emprestado (R$500,00) mais o juro, que vamos calcular assim: Juros = 500 x 20% x 1 20 Juros = 500 1 taxa Juros = 500. 0, 20. 1= capital numerador de períodos Assim, o senhor José pagará: Total = 500 + = 600. Resposta: Ele pagará R$600,00 à financeira. O cálculo do juro pode ser generalizado: J = juro C = capital i = taxa n = número de períodos J = C. i. n
112 Matemática Elementar I Caderno de Atividades Vejamos mais alguns exemplos: a) Determinar o juro recebido por um capital de R$5.000,00 com taxa de 25% durante um período de 3 anos. C = 5 000 25 i = 25% = = 0, 25 n = 3 j =? J = C. i. n J = 5 000. 0,25. 3 J = 3 750 Resposta: O juro é de R$3.750,00 b) Qual é o montante resgatado de um capital de R$8.000,00 aplicado a uma taxa de 5% durante 1 ano? Aqui precisamos definir o que é montante. Montante é o capital aplicado mais o rendimento. Dessa maneira: Montante = Capital aplicado + rendimento M = C + J M = C + C.i.n M = C (1+ i.n) Voltando ao problema, C = 8 000 5 i = 5% = = 0, 05 n = 1 ano = 12 meses (repare que o período e a taxa devem estar sempre na mesma base de tempo) M = 8 000 (1+ 0,05.12) M = 8 000. 1,6 = 1 280. Resposta: O montante é de R$12.800,00.
Porcentagem e juro 113 c) Qual capital produz um montante de R$88.000,00 a 20% ao ano, durante 6 meses? M = 88 000 20 i = 20% ano = ao ano = 0, 20 ano 6 1 n = 6 meses ano = ano 12 2 C =? M = C + C.i.n 1 88 000 = C 1 + 0, 20. 2 88 000 = C (1 + 0,10) 88 000 C = C = 80 000, 00 1,10 Resposta: O capital é de R$80.000,00. 2.2 Juro composto Quando fazemos uma aplicação em caderneta de poupança, por exemplo, os rendimentos do período de 1 mês são incorporados ao capital. Acompanhe os montantes (saldos) de um capital de R$1.000,00 com taxa de 5% mensais, durante 3 meses. Início do 1.º mês Ao final do 1.º mês Capital inicial Rendimento Montante R$1.000,00 R$50,00 R$1.050,00 Início do 2.º mês Ao final do 2.º mês Capital inicial Rendimento Montante R$1.050,00 R$52,50 R$1.102,50 Início do 3.º mês Ao final do 3.º mês Capital inicial Rendimento Montante R$1.102,50 R$55,12 R$1.157,62
114 Matemática Elementar I Caderno de Atividades Anteriormente, tivemos o exemplo do funcionamento do juro composto. Juro composto é aquele que no fim de cada período é aplicado ao capital anterior. Vejamos alguns exemplos: a) Se as cadernetas pagam rendimento de 0,65% ao mês, calcule, usando uma calculadora, quanto rende um capital de R$500,00 ao final de 3 meses. :: Primeiro mês: C = 500, 00 0, 65 i = 0, 65% = = 0, 0065 ao mês n = 1 mês M = C (1 + n.i) = 500 (1. 0,0065) = 500. 1,0065 = 503,25 :: Segundo mês: C = 503, 25 i = 0, 0065 ao mês n = 1 mês M = C (1 + n.i) = 503,25 (1. 0,0065) = 503,25. 1,0065 = 506,52 :: Terceiro mês: C = 506, 52 i = 0, 0065 ao mês n = 1 mês M = C (1 + n.i) = 506,52 (1. 0,0065) = 506,52. 1,0065 = 509,81 Logo o capital rende R$509,81 R$500,00 = R$9,81 Resposta: O capital rende R$9,81. b) Determinar o juro recebido por um capital de R$8.750,00 com taxa de 12% ao ano, no regime de juros simples, durante um período de 5 anos. C = 8 750 12 i = 12% ao ano = = 0,12 ao ano n = 5 anos
Porcentagem e juro 115 j = C.i.n j= 8 750. 0,12. 5 j = 5 250 Resposta: O juro simples é de R$5.250,00. c) Qual é o montante resgatado de um capital de R$2.200,00 aplicado a uma taxa de 1,5% ao mês, no regime de juros simples, durante 2 anos? C = 2 200 1,5 i = 1,5% ao ano = = 0,015 ao mês n = 2 anos = 24 meses M = C (1 + i.n) M = 2 200 (1+ 0,015. 24) M = 2 200. 1,36 M = 2 992 Resposta: O montante é R$2.992,00. d) Suponha que as cadernetas de poupança rendam 0,63% ao mês. Simule uma aplicação de um capital de R$1.000,00 por três meses. Início do 1.º mês Ao final do 1.º mês Capital inicial Rendimento Montante R$1.000,00 1 000. 0,0063. 1 = 6,30 1 000,00 + 6,30 = 1 006,30 Início do 2.º mês Ao final do 2.º mês Capital inicial Rendimento Montante R$1.006,30 1 006,30. 0,0063. 1 = 6,34 1 006,30 + 6,34 = 1 012,64 Início do 3.º mês Ao final do 3.º mês Capital inicial Rendimento Montante R$1.012,64 1 012,64. 0,0063. 1 = 6,38 1 012,64 + 6,38 = 1 019,02
116 Matemática Elementar I Caderno de Atividades Exercícios Resolva os exercícios que seguem: 5. Determinar o juro recebido por um capital de R$920,00 com taxa de 8% ao ano, durante 4 anos, no regime de juros simples. 6. Qual é o montante resgatado de um capital de R$30.000,00 aplicado a uma taxa de 1% ao mês, no regime de juros simples, durante 6 anos? 7. Faça a simulação de uma aplicação em fundos de um capital de R$8.000,00 com taxa de 1,5% ao mês, durante 4 meses.
Gabarito Gabarito Porcentagem e juro 1. a) 10,60 b) 1 496 c) R$1.350,00 2. R$8,80 3. R$2.675,00 4. R$2,42 5. R$294,40 6. R$51.600,00 7. R$8.490,90
Matemática Elementar I Caderno de Atividades Anotações